20192020学年广东省广州市天河区高考数学模（10月）（文）试题
单选题
1．设集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析试题分析：集合选B
考点集合交集运算
2．高铁扫码支付享单车网购称中国新四发明评估享单车情况选n座城市作试验基n座城市享单车量（单位：次天）分x1x2…xn面出指标中评估享单车量稳定程度( )
A．x1x2…xn均数 B．x1x2…xn标准差
C．x1x2…xn值 D．x1x2…xn中位数
答案B
解析根均数标准差中位数值实际意义逐判断
详解
均数中位数众数描述样数集中趋势 方差标准差描述波动
表示组数稳定程度方差标准差．选B．
点睛
题考查均数标准差中位数实际意义意考查基础知识掌握熟练程度灵活运学知识解答问题力属基础题
3．复数纯虚数（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析题意首先求实数a值然求解
详解
复数运算法：
复数纯虚数
题选择A选项
点睛
复数中求解参数(范围)数量关系表现约束参数方程(等式)复数分问题中参数必实数确定参数范围基思想复数问题实数化
4．设等差数列前n项（ ）
A．18 B．36 C．45 D．60
答案C
解析试题分析：选C
考点等差数列通项公式性质前项公式
5．已知值等
A B C D
答案C
解析已知正弦二倍角公式求解
详解
解
．
选：．
点睛
题考查诱导公式正弦二倍角公式属基础题
6．实数满足值
A2 B C1 D
答案B
解析先作出等式组表示面区域求目标函数值
详解
解：等式组区域(含边界)表示图：
图知轴交点处取值．
选：．
点睛
题考查简单线性规划问题属基础题
7．三国时代吴国数学家赵爽注周髀算中出勾股定理绝妙证明面赵爽弦图注文弦图勾股形弦边正方形面积称弦实图中包含四全等勾股形正方形分涂成红（朱）色黄色面积称朱实黄实利化简设勾股形中勾股弦图机抛掷颗图钉（忽略计）落黄色图形图钉数约（ ）
A B C D
答案A
解析分析：设三角形直角边分1利概型出图钉落正方形概率出结
解析：设三角形直角边分1弦2正方形面积4正方形面积
图钉落黄色图形概率
落黄色图形图钉数约
选：A
点睛：应概型求概率方法
建立相应概型试验构成总区域求事件构成区域转化图形加度量．
(1)般连续变量建立长度关概型需变量放数轴
(2)机事件需两变量描述两变量序实数表示基事件然利面直角坐标系利建立面积关概型
(3)机事件需三连续变量描述三变量组成序数组表示基事件利空间直角坐标系建立体积关概型．
8．已知满足（ ）
A B C D
答案A
解析根数化简公式指数运算公式数性质>0进结果
详解
已知>0
进
答案：A
点睛
题考查指函数运算公式数函数性质较常方法：两式做差0较分式注意分进行式分解两式相形式者利等式求值判断值0关系
9．图示棱长正方体中棱中点侧面动点面侧面轨迹长度
A B C D
答案D
解析设分边中点面面行性质落线段求长度
详解
解：设分边中点
四点面
面面
面
落线段
正方体中棱长
侧面轨迹长度．
选：．
点睛
题考查面面行性质动点轨迹问题属中档题
10．已知函数图象称中心该图象相邻高点低点单调递增区间
A B
C D
答案C
解析三角函数图性质求：令求出函数单调增区间
详解
解：函数
图象称中心该图象相邻高点低点
求．
根
令求
单调递增区间
选：．
点睛
题考查三角函数图性质单调性属中档题
11．夫妇独生孩子支付学费孩子周岁生日开始年银行储蓄元年定期年利率保持变年期时存款（含利息）动转新年定期孩子18岁生日时存入存款（含利息）全部取回取回钱总数
A B
C D
答案D
解析题意：孩子18岁生日时存款（含利息）全部取回成首项公等数列前17项等数列前项公式求解
详解
解：根题意
孩子18岁生日时孩子周岁生日时存入元产生利合计
理：孩子2周岁生日时存入元产生利合计
孩子3周岁生日时存入元产生利合计
孩子17周岁生日时存入元产生利合计
成首项公等数列前17项
时存款（含利息）全部取回
取回钱总数：
选：．
点睛
题考查完全纳法等数列前项属中档题
12．已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋k∈[4＋∞）曲线y＝f（x）总存两点M（x1y1）N（x2y2）曲线y＝f（x）MN两点处切线互相行x1＋x2取值范围
A．（＋∞） B．（＋∞） C．[＋∞） D．[＋∞）
答案B
解析利MN点处切线互相行建立方程结合基等式求值求x1+x2
取值范围．
详解
题f′（x）﹣﹣1﹣﹣（x＞0k＞0）
题意f′（x1）f′（x2）（x1x2＞0x1≠x2）
﹣1﹣﹣1
化简4（x1+x2）（k+）x1x2
x1x2＜
4（x1+x2）＜（k+）
x1+x2＞k∈[4+∞）恒成立
令g（k）k+
g′（k）1﹣＞0k∈[4+∞）恒成立
∴g（k）≥g（4）5
∴≤
∴x1+x2＞
x1+x2取值范围（+∞）
答案：B
点睛
题运导数解决曲线切线问题函数单调性极值值正确求导解题
关键属中档题
二填空题
13．已知量．量_____．
答案
解析量差坐标运算：
两量行坐标运算：运算解
详解
解：量
．
答案：．
点睛
题考查两量行坐标运算属基础题
14．已知数列满足时__．
答案
解析换中 做差数列等数列出答案
详解
数列满足
①
换②
②①
数列1首项2公等数列
．
答案：．
点睛
题考查根递推公式求通项属基础题
15．图示位A处信息中心获悉：正东方40海里B处艘渔船遇险原等营救．信息中心立消息告知南偏西相距20海里C处乙船现乙船北偏东θ方直线CB前B处救援______________．
答案
解析中余弦定理求正弦定理求利两角余弦公式求解值．
详解
中海里海里
余弦定理
海里
正弦定理
知锐角
．
点睛
题考查解三角形实际问题解答中需根正余弦定理结合已知条件灵活转化边角间关系合理正余弦定理解答关键基步骤：第步：定条件确定三角形中已知求图形中标出然确定转化方第二步：定工具根条件求合理选择转化工具实施边角间互化第三步：列方程求结果．
16．已知直三棱柱外接球表面积外接圆圆心半径直三棱柱体积_____．
答案6
解析直三棱柱补形长方体直三棱柱长方体外接球球设外接球半径题意利三棱柱体积公式运算解
详解
解：图外接圆圆心
中点直角直角三角形
半径．
直三棱柱补形长方体设
外接球半径．
直三棱柱外接球表面积
．
解．
直三棱柱体积．
答案：．
点睛
题考查三棱柱外接球三棱柱体积公式属中档题
三解答题
17．某校次期末数学测试中统计学生考试情况学校2000名学生中机抽取50名学生考试成绩测学生成绩全部介65分145分间（满分150分）统计结果方式分成八组：第组第二组第八组图述分组方法频率分布直方图部分．
（1）求第七组频率完成频率分布直方图
（2）样数估计该校2000名学生次考试成绩均分（组中数该组区间中点值代表该组数均值）
（3）样成绩属第六组第八组学生中机抽取2名求分差绝值10分概率．
答案（1）绘图见解析（2）（3）
解析（1）频率分布直方图：矩形高01运算解
（2）频率分布直方图中均数求法解
（3）样成绩属第六组样成绩属第八组机抽取2名
基事件总数分差绝值10分包含基事件数利古典概型概率公式运算
详解
解：（1）频率分布直方图第七组频率：
．
完成频率分布直方图：
（2）样数估计该校2000名学生次考试成绩均分：
（3）样成绩属第六组样成绩属第八组
样成绩属第六组第八组学生中机抽取2名
基事件总数
分差绝值10分包含基事件数
分差绝值10分概率．
点睛
题考查频率分布直方图古典概型概率公式属中档题
18．等数列中公满足．
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项取值时求值．
答案（1）（2）
解析（1）题意等数列通项公式解
（2）题意 等差数列等差数列前项公式运算解
详解
解：（1）
①
②
①②解舍）
（2）
3首项1公差等差数列
7时取值．
值67．
点睛
题考查等数列通项等差数列前项公式属中档题
19．中角边分．
（1）求角
（2）面积求值．
答案（1）（2）
解析（1）三角恒等变形．
（2）余弦定理正弦定理三角形面积公式：解
详解
解：（1）：
．
（2）
．
点睛
题考查三角恒等变形正余弦定理属中档题
20．图四棱锥底面矩形侧面正三角形．分中点．
（1）求证：
（2）求点面距离．
答案（1）详见解析（2）
解析（1）先面面证明面
证明
（2）先建立原点轴轴轴建立空间直角坐标系
求面法量利空间量求点面距离解
详解
（1）证明：正三角形
根勾股定理
矩形
面交点面
面面面
中点正三角形
面
面．
（2） 解：取中点原点轴轴轴建立空间直角坐标系
0200
20
设面法量
取1
点面距离．
点睛
题考查线面垂直线线垂直利空间量求点面距离属中档题
21．已知函数．
（1）讨函数单调区间极值
（2）关等式恒成立求整数值．
答案（1）详见解析（2）
解析先求函数导函数
讨①时②时函数单调区间极值
（2）等式恒成立等价恒成立
构造函数利导数求函数值解
详解
解：（1）定义域
①时恒成立增函数极值
②时令
令
函数增函数减函数
时极值极值极值
（2）：恒成立知恒成立
令
令（1）增函数．
存
时增函数时减函数．
整数值2．
点睛
题考查利导数研究函数单调区间极值函数值属综合性较强题型
22．直角坐标系中曲线参数方程（参数）坐标原点极点轴正半轴极轴取相长度单位建立极坐标系直线极坐标方程
（Ⅰ）求曲线直线直角坐标方程
（Ⅱ）直线轴交点点直线曲线交两点证明：定值
答案（Ⅰ）曲线：直角坐标方程（Ⅱ）见证明
解析（Ⅰ）根曲线参数方程方相加求曲线普通方程根极坐标方程直角坐标方程互化公式直线直角坐标方程．
（Ⅱ）设点直线方程（参数）代入曲线普通方程根参数意义求解．
详解
（Ⅰ）题意
化简曲线：
直线极坐标方程展开
直角坐标方程
（Ⅱ）显然坐标妨设点直线方程（参数）
代入：
定值
点睛
题考查参数方程普通方程极坐标方程直角坐标方程互化直线参数方程应中解答中熟记参数方程普通方程极坐标方程直角坐标方程互化公式直线参数方程中参数意义解答关键着重考查推理运算力属基础题．
23．已知函数
（1）时解等式
（2）关等式解求实数取值范围
答案（1）（2）
解析试题分析：
（1）时等式根分类讨解等式．（2）题意时解解需（结．
试题解析：
（1）时等式
原等式化
原等式化
原等式化．
综等式解集．
（2）时
题意知（
．
实数m取值范围．
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单选题
1．设集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析试题分析：集合选B
考点集合交集运算
2．高铁扫码支付享单车网购称中国新四发明评估享单车情况选n座城市作试验基n座城市享单车量（单位：次天）分x1x2…xn面出指标中评估享单车量稳定程度( )
A．x1x2…xn均数 B．x1x2…xn标准差
C．x1x2…xn值 D．x1x2…xn中位数
答案B
解析根均数标准差中位数值实际意义逐判断
详解
均数中位数众数描述样数集中趋势 方差标准差描述波动
表示组数稳定程度方差标准差．选B．
点睛
题考查均数标准差中位数实际意义意考查基础知识掌握熟练程度灵活运学知识解答问题力属基础题
3．复数纯虚数（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析题意首先求实数a值然求解
详解
复数运算法：
复数纯虚数
题选择A选项
点睛
复数中求解参数(范围)数量关系表现约束参数方程(等式)复数分问题中参数必实数确定参数范围基思想复数问题实数化
4．设等差数列前n项（ ）
A．18 B．36 C．45 D．60
答案C
解析试题分析：选C
考点等差数列通项公式性质前项公式
5．已知值等
A B C D
答案C
解析已知正弦二倍角公式求解
详解
解
．
选：．
点睛
题考查诱导公式正弦二倍角公式属基础题
6．实数满足值
A2 B C1 D
答案B
解析先作出等式组表示面区域求目标函数值
详解
解：等式组区域(含边界)表示图：
图知轴交点处取值．
选：．
点睛
题考查简单线性规划问题属基础题
7．三国时代吴国数学家赵爽注周髀算中出勾股定理绝妙证明面赵爽弦图注文弦图勾股形弦边正方形面积称弦实图中包含四全等勾股形正方形分涂成红（朱）色黄色面积称朱实黄实利化简设勾股形中勾股弦图机抛掷颗图钉（忽略计）落黄色图形图钉数约（ ）
A B C D
答案A
解析分析：设三角形直角边分1利概型出图钉落正方形概率出结
解析：设三角形直角边分1弦2正方形面积4正方形面积
图钉落黄色图形概率
落黄色图形图钉数约
选：A
点睛：应概型求概率方法
建立相应概型试验构成总区域求事件构成区域转化图形加度量．
(1)般连续变量建立长度关概型需变量放数轴
(2)机事件需两变量描述两变量序实数表示基事件然利面直角坐标系利建立面积关概型
(3)机事件需三连续变量描述三变量组成序数组表示基事件利空间直角坐标系建立体积关概型．
8．已知满足（ ）
A B C D
答案A
解析根数化简公式指数运算公式数性质>0进结果
详解
已知>0
进
答案：A
点睛
题考查指函数运算公式数函数性质较常方法：两式做差0较分式注意分进行式分解两式相形式者利等式求值判断值0关系
9．图示棱长正方体中棱中点侧面动点面侧面轨迹长度
A B C D
答案D
解析设分边中点面面行性质落线段求长度
详解
解：设分边中点
四点面
面面
面
落线段
正方体中棱长
侧面轨迹长度．
选：．
点睛
题考查面面行性质动点轨迹问题属中档题
10．已知函数图象称中心该图象相邻高点低点单调递增区间
A B
C D
答案C
解析三角函数图性质求：令求出函数单调增区间
详解
解：函数
图象称中心该图象相邻高点低点
求．
根
令求
单调递增区间
选：．
点睛
题考查三角函数图性质单调性属中档题
11．夫妇独生孩子支付学费孩子周岁生日开始年银行储蓄元年定期年利率保持变年期时存款（含利息）动转新年定期孩子18岁生日时存入存款（含利息）全部取回取回钱总数
A B
C D
答案D
解析题意：孩子18岁生日时存款（含利息）全部取回成首项公等数列前17项等数列前项公式求解
详解
解：根题意
孩子18岁生日时孩子周岁生日时存入元产生利合计
理：孩子2周岁生日时存入元产生利合计
孩子3周岁生日时存入元产生利合计
孩子17周岁生日时存入元产生利合计
成首项公等数列前17项
时存款（含利息）全部取回
取回钱总数：
选：．
点睛
题考查完全纳法等数列前项属中档题
12．已知函数f（x）＝（k＋）lnx＋k∈[4＋∞）曲线y＝f（x）总存两点M（x1y1）N（x2y2）曲线y＝f（x）MN两点处切线互相行x1＋x2取值范围
A．（＋∞） B．（＋∞） C．[＋∞） D．[＋∞）
答案B
解析利MN点处切线互相行建立方程结合基等式求值求x1+x2
取值范围．
详解
题f′（x）﹣﹣1﹣﹣（x＞0k＞0）
题意f′（x1）f′（x2）（x1x2＞0x1≠x2）
﹣1﹣﹣1
化简4（x1+x2）（k+）x1x2
x1x2＜
4（x1+x2）＜（k+）
x1+x2＞k∈[4+∞）恒成立
令g（k）k+
g′（k）1﹣＞0k∈[4+∞）恒成立
∴g（k）≥g（4）5
∴≤
∴x1+x2＞
x1+x2取值范围（+∞）
答案：B
点睛
题运导数解决曲线切线问题函数单调性极值值正确求导解题
关键属中档题
二填空题
13．已知量．量_____．
答案
解析量差坐标运算：
两量行坐标运算：运算解
详解
解：量
．
答案：．
点睛
题考查两量行坐标运算属基础题
14．已知数列满足时__．
答案
解析换中 做差数列等数列出答案
详解
数列满足
①
换②
②①
数列1首项2公等数列
．
答案：．
点睛
题考查根递推公式求通项属基础题
15．图示位A处信息中心获悉：正东方40海里B处艘渔船遇险原等营救．信息中心立消息告知南偏西相距20海里C处乙船现乙船北偏东θ方直线CB前B处救援______________．
答案
解析中余弦定理求正弦定理求利两角余弦公式求解值．
详解
中海里海里
余弦定理
海里
正弦定理
知锐角
．
点睛
题考查解三角形实际问题解答中需根正余弦定理结合已知条件灵活转化边角间关系合理正余弦定理解答关键基步骤：第步：定条件确定三角形中已知求图形中标出然确定转化方第二步：定工具根条件求合理选择转化工具实施边角间互化第三步：列方程求结果．
16．已知直三棱柱外接球表面积外接圆圆心半径直三棱柱体积_____．
答案6
解析直三棱柱补形长方体直三棱柱长方体外接球球设外接球半径题意利三棱柱体积公式运算解
详解
解：图外接圆圆心
中点直角直角三角形
半径．
直三棱柱补形长方体设
外接球半径．
直三棱柱外接球表面积
．
解．
直三棱柱体积．
答案：．
点睛
题考查三棱柱外接球三棱柱体积公式属中档题
三解答题
17．某校次期末数学测试中统计学生考试情况学校2000名学生中机抽取50名学生考试成绩测学生成绩全部介65分145分间（满分150分）统计结果方式分成八组：第组第二组第八组图述分组方法频率分布直方图部分．
（1）求第七组频率完成频率分布直方图
（2）样数估计该校2000名学生次考试成绩均分（组中数该组区间中点值代表该组数均值）
（3）样成绩属第六组第八组学生中机抽取2名求分差绝值10分概率．
答案（1）绘图见解析（2）（3）
解析（1）频率分布直方图：矩形高01运算解
（2）频率分布直方图中均数求法解
（3）样成绩属第六组样成绩属第八组机抽取2名
基事件总数分差绝值10分包含基事件数利古典概型概率公式运算
详解
解：（1）频率分布直方图第七组频率：
．
完成频率分布直方图：
（2）样数估计该校2000名学生次考试成绩均分：
（3）样成绩属第六组样成绩属第八组
样成绩属第六组第八组学生中机抽取2名
基事件总数
分差绝值10分包含基事件数
分差绝值10分概率．
点睛
题考查频率分布直方图古典概型概率公式属中档题
18．等数列中公满足．
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项取值时求值．
答案（1）（2）
解析（1）题意等数列通项公式解
（2）题意 等差数列等差数列前项公式运算解
详解
解：（1）
①
②
①②解舍）
（2）
3首项1公差等差数列
7时取值．
值67．
点睛
题考查等数列通项等差数列前项公式属中档题
19．中角边分．
（1）求角
（2）面积求值．
答案（1）（2）
解析（1）三角恒等变形．
（2）余弦定理正弦定理三角形面积公式：解
详解
解：（1）：
．
（2）
．
点睛
题考查三角恒等变形正余弦定理属中档题
20．图四棱锥底面矩形侧面正三角形．分中点．
（1）求证：
（2）求点面距离．
答案（1）详见解析（2）
解析（1）先面面证明面
证明
（2）先建立原点轴轴轴建立空间直角坐标系
求面法量利空间量求点面距离解
详解
（1）证明：正三角形
根勾股定理
矩形
面交点面
面面面
中点正三角形
面
面．
（2） 解：取中点原点轴轴轴建立空间直角坐标系
0200
20
设面法量
取1
点面距离．
点睛
题考查线面垂直线线垂直利空间量求点面距离属中档题
21．已知函数．
（1）讨函数单调区间极值
（2）关等式恒成立求整数值．
答案（1）详见解析（2）
解析先求函数导函数
讨①时②时函数单调区间极值
（2）等式恒成立等价恒成立
构造函数利导数求函数值解
详解
解：（1）定义域
①时恒成立增函数极值
②时令
令
函数增函数减函数
时极值极值极值
（2）：恒成立知恒成立
令
令（1）增函数．
存
时增函数时减函数．
整数值2．
点睛
题考查利导数研究函数单调区间极值函数值属综合性较强题型
22．直角坐标系中曲线参数方程（参数）坐标原点极点轴正半轴极轴取相长度单位建立极坐标系直线极坐标方程
（Ⅰ）求曲线直线直角坐标方程
（Ⅱ）直线轴交点点直线曲线交两点证明：定值
答案（Ⅰ）曲线：直角坐标方程（Ⅱ）见证明
解析（Ⅰ）根曲线参数方程方相加求曲线普通方程根极坐标方程直角坐标方程互化公式直线直角坐标方程．
（Ⅱ）设点直线方程（参数）代入曲线普通方程根参数意义求解．
详解
（Ⅰ）题意
化简曲线：
直线极坐标方程展开
直角坐标方程
（Ⅱ）显然坐标妨设点直线方程（参数）
代入：
定值
点睛
题考查参数方程普通方程极坐标方程直角坐标方程互化直线参数方程应中解答中熟记参数方程普通方程极坐标方程直角坐标方程互化公式直线参数方程中参数意义解答关键着重考查推理运算力属基础题．
23．已知函数
（1）时解等式
（2）关等式解求实数取值范围
答案（1）（2）
解析试题分析：
（1）时等式根分类讨解等式．（2）题意时解解需（结．
试题解析：
（1）时等式
原等式化
原等式化
原等式化．
综等式解集．
（2）时
题意知（
．
实数m取值范围．
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