2020届中学模数学（文）试题
单选题
1．复数中虚数单位( )
A． B．
C． D．
答案A
解析根复数模定义求解
详解
选A
点睛
题考查复数模考查基分析求解力属基础题
2．设集合（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析先求解集合N中等式求交集
详解
选：C
点睛
题考查集合基运算求两集合交集属基础题
3．某四棱锥三视图图示该四棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析已知中三视图知该体底面正方形四棱锥然求解体体积．
详解
该三视图原成直观图体图四棱锥三视图原体
CBAACD两全等直角三角形体体积：
选：C
点睛
题考查三视图求体积解决题关键原该体形状．
4．已知某程序框图图示执行该程序输出a值（ ）
A． B． C．1 D．2
答案A
解析已知中程序框图知该程序功利循环结构计算输出变量值模拟程序运行程答案
详解
代入
次代入继续代入难发现出现循环周期3
时跳出循环
选
点睛
题考查程序框图循环结构中找出循环规律出结果较基础
5．△ABC中c4b（ ）
A． B．3 C． D．
答案B
解析已知利角三角函数基关系式求sinC值根正弦定理计算解b值．
详解
∵c4
∴
∴正弦定理 ：解：b3．
选：B．
点睛
题考查角三角函数基关系式正弦定理解三角形中综合应考查转化思想属基础题．
6．设非零量存实数
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
答案B
解析题意结合量线性质分类讨充分性必性否成立
详解
存实数
说明量线时成立
反时成立充分性成立
成立时存实数成立必性成立
存实数必充分条件
选：B
点睛
题考查量线充分条件必条件量运算法等知识意考查学生转化力计算求解力
7．已知直线抛物线焦点抛物线交两点准线交点点中点线段长（ )
A． B． C． D．
答案C
解析题意结合抛物线定义性质首先求直线AB方程然联立直线方程抛物线方程点B坐标进步整理计算求终结果
详解
图A准线射影EB准线射影H
抛物线y28x焦点F（20）
∵点FAC中点∴AE2p8AF8
∴A点横坐标6代入抛物线方程
AF直线方程
联立方程：：
选：C
点睛
题考查抛物线标准方程抛物线性质应等知识意考查学生转化力计算求解力
8．已知等差数列前项（ ）
A．3 B．9 C．18 D．27
答案D
解析设等差数列首项公差
∵
∴
∴
∴
选D
9．(附加题）已知R奇函数偶函数时（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
答案A
解析先根函数奇偶性确定函数周期性根周期变量化[10]代入解析式结果
详解
偶函数R奇函数选A
点睛
题考查运函数奇偶性求周期性利周期性求解函数值考查转化求解力
10．正方体中动点棱动点线段底面中心四面体体积( )
A．关 B．关
C．关关 D．关关
答案B
解析根等体积法锥体体积公式判断选择
详解
VO－AEF＝VE－OAF
考察△AOF面积点E面AOF距离值
BB1∥面ACC1A1
点E面AOE距离定值
AO∥A1C1
OA定值点F直线AO距离定值
△AOF面积定值
四面体体积关选B
点睛
题考查三棱锥体积点面距离点直线距离考查基分析判断力属中档题
11．已知数列满足： 列关判断正确（ )
A．
B．
C．总
D．总
答案D
解析题意结合均值等式结数列单调性函数单调性特殊数列性质确定题中说法否正确
详解
选项A恒成立
存项选项A说法错误
选项B结合选项A知选项B说法错误
选项C构造函数函数区间单调递增存满足选项C说法错误
选项D令时数列常数列总选项D说法正确
选：D
点睛
题考查数列单调性数列中值问题递推关系应等知识意考查学生转化力计算求解力
12．已知函数定义偶函数满足函数6零点实数取值范围
A． B．
C． D．
答案C
解析原问题转化两函数六交点问题结合函数解析式利导数研究函数图变化情况函数图确定实数取值范围
详解
函数6零点
等价函数6交点
时
时
时递增时递减
极值：
作出函数图象图
图象6交点须表示区间形式
选：C
点睛
题考查导函数研究函数图性质数形结合数学思想等价转化数学思想等知识意考查学生转化力计算求解力
二填空题
13．实数满足值______．
答案2
解析约束条件作出行域图
令
图知直线B时t值
解
∴值
答案：
点睛：线性规划实质代数问题化数形结合思想需注意：准确误作出行域二画标准函数应直线时注意约束条件中直线斜率进行较避免出错三般情况目标函数会行域端点边界取
14．双曲线条渐线方程离心率等___
答案
解析根双曲线方程渐线方程根条件＝2离心率
详解
双曲线渐线方程：
＝2
离心率：
点睛
题考查双曲线渐线方程离心率考查基分析求解力属基础题
15．函数定义域值域___________．
答案
解析诱导公式正弦二倍角公式化简：结合该函数定义域求问题解
详解
：
时
该函数值域
答案：
点睛
题考查诱导公式正弦二倍角公式考查三角函数性质考查转化力计算力属中档题
16．点球面球表面积四面体体积值 ．
答案
解析试题分析：题意设中点球半径R三点截面圆半径球表面积知解面积四面体体积直线球交点球心线段球心三点截面距离四面体体积
考点1球性质2体表面积体积
三解答题
17．已知中
（1）求面积
（2）求边中线长
答案（1）28（2）
解析（1）求利诱导公式两角正弦公式求利正弦定理求利三角形面积公式计算解
（2）中余弦定理列方程解
详解
解：（1）
∴．
中正弦定理
解．
面积
（2）中 余弦定理
．
点睛
题考查正弦定理余弦定理考查两角正弦公式考查角三角函数基关系考查计算力属中档题
18．省环保厅三城市时进行天空气质量监测测三城市空气质量优良数180三城市空气质量优良数数表示：
城
城
城
优（）
28
良（）
32
30
已知180数中机抽取恰抽记录城市空气质量优数概率02
（I）现城市分层抽样方法述180数中抽取30进行续分析求城中应抽取数数
（II）已知求城中空气质量优天数空气质量良天数概率
答案（1）（2）
解析试题分析(1)计算出总数计算出例计算应抽数(2) （1）知利列举法古典概型计算公式计算相应概率
试题解析
（1）题意
∴
∴城中应抽取数数
（2）（1）知
∴满足条件数结果8种
中空气质量优天数空气质量良天数应结果3种
∴城中空气质量优天数空气质量良天数概率
19．图四棱锥ABCD中等边三角形面PAD面ABCD．
（1）求证：CDPA
（2）EF分棱PAAD点面BEF面PCD时求四棱锥体积．
答案（1）证明见解析（2）
解析（1）已知证：利等边三角形证：利面面垂直性质证：面问题证
（2）利面BEF面PCD：BFCD结合求：DF求利（1）四棱锥高利锥体体积公式计算
详解
证明：（1）等边三角形
．
等边三角形
．
面面面面面
面．
CDPA．
（2）面BEF面PCD
BFCDEFPD
．
直角三角形ABD中DF
．
．
（1）知面四棱锥体积．
点睛
题考查面面垂直性质线线垂直判定面面行性质锥体体积计算公式考查转化思想空间思维力属中档题
20．已知椭圆两焦点分长轴长．
（Ⅰ）求椭圆标准方程离心率
（Ⅱ）点直线椭圆交两点点满足求证：点 构成曲线关直线称．
答案（Ⅰ）离心率（Ⅱ）见解析
解析（Ⅰ）已知ac＝1 b求出椭圆方程离心率（Ⅱ）设A（x1y1）B（x2y2）分两种情况助韦达定理量运算求出点M构成曲线L方程2x2+3y2﹣2y＝0证明
详解
（Ⅰ）已知
椭圆标准方程离心率
（Ⅱ）设
①直线 轴垂直时点坐标分．
．
点原点重合
②直线轴垂直时设直线方程
．
．
．
消．
综点构成曲线方程
曲线意点关直线称点．
坐标代入曲线方程左端：．
点曲线．
点构成曲线关直线称
点睛
题考查椭圆标准方程直线椭圆位置关系考查韦达定理点轨迹方程考查计算力属中档题．
21．已知函数
（1）求证：意实数
（2）否存整数恒成立？存请求出值存请说明理（）
答案（1）见证明（2）见解析
解析（1）利导数求令利导数求问题证
（2）整理：令：否分类 时时利导数证时利导数求等式恒成立转化成成立令利导数求求问题解
详解
解：（1）证明：已知易
令：
显然时<0函数f（x）单调递减
时>0函数f（x）单调递增
令
时>0函数t（）单调递增
时<0函数t（）单调递减
结成立
（2）题设化简
令
0
①时函数单调递增
②时
函数单调递减
函数单调递增
欲需
令
时单调递减
点睛
题考查转化思想利导数求函数值考查分类思想化力考查计算力观察力属难题
22．已知直线l：(t参数) 曲线(参数)．
(1)设lC1相交AB两点求|AB|
(2)曲线C1点横坐标压缩原倍坐标压缩原倍曲线设点P曲线动点求直线l距离值．
答案(1) (2)
解析(1)直线曲线参数方程化般方程联立方程组求出交点坐标计算出长
(2)根题意求出曲线变化点坐标代入点直线距离公式运三角函数知识求出值
详解
（1）普通方程普通方程
联立方程组解交点
（2）参数方程（参数)点坐标点直线距离
时 取值值
点睛
题考查参数方程般方程转化运参数方程求解弦长问题值问题需掌握解题方法较基础
23．已知函数
(1)时求等式解集
(2)令图象两坐标轴交点分三角形面积求值
答案（1）（2）
解析(1)时等式化分类讨求解等式解集
(2)题意函数解析式图象两坐标轴交点坐标分根面积列出方程求解
详解
(1)时等式化
①时等式化解：
②时等式化解：
③时等式化解集
综等式解集
(2)题设
图象两坐标轴交点坐标分
三角形面积
（舍）
点睛
题考查含绝值等式求解分段函数应中解答中熟记含绝值等式解法熟练求函数图象两坐标轴交点解答关键着重考查推理运算力属基础题
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单选题
1．复数中虚数单位( )
A． B．
C． D．
答案A
解析根复数模定义求解
详解
选A
点睛
题考查复数模考查基分析求解力属基础题
2．设集合（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析先求解集合N中等式求交集
详解
选：C
点睛
题考查集合基运算求两集合交集属基础题
3．某四棱锥三视图图示该四棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析已知中三视图知该体底面正方形四棱锥然求解体体积．
详解
该三视图原成直观图体图四棱锥三视图原体
CBAACD两全等直角三角形体体积：
选：C
点睛
题考查三视图求体积解决题关键原该体形状．
4．已知某程序框图图示执行该程序输出a值（ ）
A． B． C．1 D．2
答案A
解析已知中程序框图知该程序功利循环结构计算输出变量值模拟程序运行程答案
详解
代入
次代入继续代入难发现出现循环周期3
时跳出循环
选
点睛
题考查程序框图循环结构中找出循环规律出结果较基础
5．△ABC中c4b（ ）
A． B．3 C． D．
答案B
解析已知利角三角函数基关系式求sinC值根正弦定理计算解b值．
详解
∵c4
∴
∴正弦定理 ：解：b3．
选：B．
点睛
题考查角三角函数基关系式正弦定理解三角形中综合应考查转化思想属基础题．
6．设非零量存实数
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
答案B
解析题意结合量线性质分类讨充分性必性否成立
详解
存实数
说明量线时成立
反时成立充分性成立
成立时存实数成立必性成立
存实数必充分条件
选：B
点睛
题考查量线充分条件必条件量运算法等知识意考查学生转化力计算求解力
7．已知直线抛物线焦点抛物线交两点准线交点点中点线段长（ )
A． B． C． D．
答案C
解析题意结合抛物线定义性质首先求直线AB方程然联立直线方程抛物线方程点B坐标进步整理计算求终结果
详解
图A准线射影EB准线射影H
抛物线y28x焦点F（20）
∵点FAC中点∴AE2p8AF8
∴A点横坐标6代入抛物线方程
AF直线方程
联立方程：：
选：C
点睛
题考查抛物线标准方程抛物线性质应等知识意考查学生转化力计算求解力
8．已知等差数列前项（ ）
A．3 B．9 C．18 D．27
答案D
解析设等差数列首项公差
∵
∴
∴
∴
选D
9．(附加题）已知R奇函数偶函数时（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
答案A
解析先根函数奇偶性确定函数周期性根周期变量化[10]代入解析式结果
详解
偶函数R奇函数选A
点睛
题考查运函数奇偶性求周期性利周期性求解函数值考查转化求解力
10．正方体中动点棱动点线段底面中心四面体体积( )
A．关 B．关
C．关关 D．关关
答案B
解析根等体积法锥体体积公式判断选择
详解
VO－AEF＝VE－OAF
考察△AOF面积点E面AOF距离值
BB1∥面ACC1A1
点E面AOE距离定值
AO∥A1C1
OA定值点F直线AO距离定值
△AOF面积定值
四面体体积关选B
点睛
题考查三棱锥体积点面距离点直线距离考查基分析判断力属中档题
11．已知数列满足： 列关判断正确（ )
A．
B．
C．总
D．总
答案D
解析题意结合均值等式结数列单调性函数单调性特殊数列性质确定题中说法否正确
详解
选项A恒成立
存项选项A说法错误
选项B结合选项A知选项B说法错误
选项C构造函数函数区间单调递增存满足选项C说法错误
选项D令时数列常数列总选项D说法正确
选：D
点睛
题考查数列单调性数列中值问题递推关系应等知识意考查学生转化力计算求解力
12．已知函数定义偶函数满足函数6零点实数取值范围
A． B．
C． D．
答案C
解析原问题转化两函数六交点问题结合函数解析式利导数研究函数图变化情况函数图确定实数取值范围
详解
函数6零点
等价函数6交点
时
时
时递增时递减
极值：
作出函数图象图
图象6交点须表示区间形式
选：C
点睛
题考查导函数研究函数图性质数形结合数学思想等价转化数学思想等知识意考查学生转化力计算求解力
二填空题
13．实数满足值______．
答案2
解析约束条件作出行域图
令
图知直线B时t值
解
∴值
答案：
点睛：线性规划实质代数问题化数形结合思想需注意：准确误作出行域二画标准函数应直线时注意约束条件中直线斜率进行较避免出错三般情况目标函数会行域端点边界取
14．双曲线条渐线方程离心率等___
答案
解析根双曲线方程渐线方程根条件＝2离心率
详解
双曲线渐线方程：
＝2
离心率：
点睛
题考查双曲线渐线方程离心率考查基分析求解力属基础题
15．函数定义域值域___________．
答案
解析诱导公式正弦二倍角公式化简：结合该函数定义域求问题解
详解
：
时
该函数值域
答案：
点睛
题考查诱导公式正弦二倍角公式考查三角函数性质考查转化力计算力属中档题
16．点球面球表面积四面体体积值 ．
答案
解析试题分析：题意设中点球半径R三点截面圆半径球表面积知解面积四面体体积直线球交点球心线段球心三点截面距离四面体体积
考点1球性质2体表面积体积
三解答题
17．已知中
（1）求面积
（2）求边中线长
答案（1）28（2）
解析（1）求利诱导公式两角正弦公式求利正弦定理求利三角形面积公式计算解
（2）中余弦定理列方程解
详解
解：（1）
∴．
中正弦定理
解．
面积
（2）中 余弦定理
．
点睛
题考查正弦定理余弦定理考查两角正弦公式考查角三角函数基关系考查计算力属中档题
18．省环保厅三城市时进行天空气质量监测测三城市空气质量优良数180三城市空气质量优良数数表示：
城
城
城
优（）
28
良（）
32
30
已知180数中机抽取恰抽记录城市空气质量优数概率02
（I）现城市分层抽样方法述180数中抽取30进行续分析求城中应抽取数数
（II）已知求城中空气质量优天数空气质量良天数概率
答案（1）（2）
解析试题分析(1)计算出总数计算出例计算应抽数(2) （1）知利列举法古典概型计算公式计算相应概率
试题解析
（1）题意
∴
∴城中应抽取数数
（2）（1）知
∴满足条件数结果8种
中空气质量优天数空气质量良天数应结果3种
∴城中空气质量优天数空气质量良天数概率
19．图四棱锥ABCD中等边三角形面PAD面ABCD．
（1）求证：CDPA
（2）EF分棱PAAD点面BEF面PCD时求四棱锥体积．
答案（1）证明见解析（2）
解析（1）已知证：利等边三角形证：利面面垂直性质证：面问题证
（2）利面BEF面PCD：BFCD结合求：DF求利（1）四棱锥高利锥体体积公式计算
详解
证明：（1）等边三角形
．
等边三角形
．
面面面面面
面．
CDPA．
（2）面BEF面PCD
BFCDEFPD
．
直角三角形ABD中DF
．
．
（1）知面四棱锥体积．
点睛
题考查面面垂直性质线线垂直判定面面行性质锥体体积计算公式考查转化思想空间思维力属中档题
20．已知椭圆两焦点分长轴长．
（Ⅰ）求椭圆标准方程离心率
（Ⅱ）点直线椭圆交两点点满足求证：点 构成曲线关直线称．
答案（Ⅰ）离心率（Ⅱ）见解析
解析（Ⅰ）已知ac＝1 b求出椭圆方程离心率（Ⅱ）设A（x1y1）B（x2y2）分两种情况助韦达定理量运算求出点M构成曲线L方程2x2+3y2﹣2y＝0证明
详解
（Ⅰ）已知
椭圆标准方程离心率
（Ⅱ）设
①直线 轴垂直时点坐标分．
．
点原点重合
②直线轴垂直时设直线方程
．
．
．
消．
综点构成曲线方程
曲线意点关直线称点．
坐标代入曲线方程左端：．
点曲线．
点构成曲线关直线称
点睛
题考查椭圆标准方程直线椭圆位置关系考查韦达定理点轨迹方程考查计算力属中档题．
21．已知函数
（1）求证：意实数
（2）否存整数恒成立？存请求出值存请说明理（）
答案（1）见证明（2）见解析
解析（1）利导数求令利导数求问题证
（2）整理：令：否分类 时时利导数证时利导数求等式恒成立转化成成立令利导数求求问题解
详解
解：（1）证明：已知易
令：
显然时<0函数f（x）单调递减
时>0函数f（x）单调递增
令
时>0函数t（）单调递增
时<0函数t（）单调递减
结成立
（2）题设化简
令
0
①时函数单调递增
②时
函数单调递减
函数单调递增
欲需
令
时单调递减
点睛
题考查转化思想利导数求函数值考查分类思想化力考查计算力观察力属难题
22．已知直线l：(t参数) 曲线(参数)．
(1)设lC1相交AB两点求|AB|
(2)曲线C1点横坐标压缩原倍坐标压缩原倍曲线设点P曲线动点求直线l距离值．
答案(1) (2)
解析(1)直线曲线参数方程化般方程联立方程组求出交点坐标计算出长
(2)根题意求出曲线变化点坐标代入点直线距离公式运三角函数知识求出值
详解
（1）普通方程普通方程
联立方程组解交点
（2）参数方程（参数)点坐标点直线距离
时 取值值
点睛
题考查参数方程般方程转化运参数方程求解弦长问题值问题需掌握解题方法较基础
23．已知函数
(1)时求等式解集
(2)令图象两坐标轴交点分三角形面积求值
答案（1）（2）
解析(1)时等式化分类讨求解等式解集
(2)题意函数解析式图象两坐标轴交点坐标分根面积列出方程求解
详解
(1)时等式化
①时等式化解：
②时等式化解：
③时等式化解集
综等式解集
(2)题设
图象两坐标轴交点坐标分
三角形面积
（舍）
点睛
题考查含绝值等式求解分段函数应中解答中熟记含绝值等式解法熟练求函数图象两坐标轴交点解答关键着重考查推理运算力属基础题
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