九年级册数学知识点总结纳
第二十章 元二次方程
第二十二章 二次函数
第二十三章 旋转
第二十四章 圆
第二十五章 概率初步
第二十章 元二次方程
知识点1：元二次方程概念
元二次方程：含未知数未知数高次数2系数 0样方程元二次方 程．
般形式：ax2＋bx+c0(a≠0）注意：判断某方程否元二次方程时应首先方程化般形式
知识点2：元二次方程解法
1直接开方法：形(x+a）2b（b≥0）方程两边直接开方转化两元次方程方法
X+a
a+ a
2配方法：配方法解元二次方程：ax2＋bx+c0(k≠0）般步骤：①化般形式②移项常数项移方程右边③化二次项系数1方程两边二次项系数④配方方程两边加次项系数半方化原方程(x+a）2b形式⑤果b≥0两边开方求出方程解果b<0原方程解．
3公式法：公式法求根公式求出元二次方程解方法．通配方推导出．元二次方程求根公式(b2－4ac≥0)步骤：①方程转化般形式②确定abc值③求出b2－4ac值b2－4ac≥0时代入求根公式
4式分解法：式分解方法求元二次方程根方法做式分解法．理根：ab0a0b0步骤：①方程右边化0②方程左边分解两次式积③令式等0两元次方程积形式解两元次方程解原元二次方程解．
式分解方法：提公式公式法十字相法
5．元二次方程注意事项：
⑴ 元二次方程般形式中注意强调a≠0．a0时含二次项元二次方程．
⑵ 应求根公式解元二次方程时应注意：①先化方程般形式确定abc值②b2－4ac＜0方程解．
⑶ 利式分解法解方程时方程两边绝便约含未知数代数式．－2(x＋4) 3（x＋4）中便约x＋4
⑷ 注意：解元二次方程时般配方法（特求外）必须熟练掌握解元二次方程般序：开方法→式分解法→公式法．
6．元二次方程解情况
⑴b2－4ac≥0方程两相等实数根
⑵b2－4ac0方程两相等实数根
⑶b2－4ac≤0方程没实数根
解题诀窍：题目中含两等实数根两相等实数根没实数根时首先考虑b2－4ac解题求方程中未知系数值取值范围
知识点3：根系数关系韦达定理
方程ax2＋bx+c0(a≠0）说x1 +x2 —x1●x2
利韦达定理求代数式值（式子变形）
解题诀窍：元二次方程题目中出根求外根未知系数时韦达定理
知识点4：元二次方程应
考点讲解：
1．构建元二次方程数学模型常见模型：
⑴ 图形关应：图形面积模型勾股定理等
⑵ 关增长率应：类问题某数基础连续增长（降低）两次新数常见等量关系a(1±x）2b中a表示增长（降低）前数x表示增长率（降低率）b表示数注意：解中增长率负降低率超1
⑶ 济利润问题：总利润（单件销售额－单件成）×销售数量者总利润总销售额－总成
⑷ 动点问题：类问题般问题延伸根条件设出未知数想办法图中变化线段未知数表示出根题目中等量关系列出方程
2．注重解法选择验根：具体问题中注意恰选择解法保证解题程简洁流畅特方程解注意检验根实际做出正确取舍保证结准确性．
元二次方程实际问题
1 病毒传播问题
2 树干问题
3 握手问题（单循环问题）
4 贺卡问题（双循环问题）
5 围栏问题
6 图形（道路做水箱）
7 增长率降价率问题
8 利润问题（注意减少库存顾客受惠等字样）
9 数字问题
10折扣问题
第二十二章 二次函数
二次函数概念：
1．二次函数概念：般形（常数）函数做二次函数 里需强调：元二次方程类似二次项系数
零．二次函数定义域全体实数．
2 二次函数结构特征：
⑴ 等号左边函数右边关变量二次式高次数2．
⑵ 常数二次项系数次项系数常数项．
二二次函数基形式
1 二次函数基形式：性质：
a 绝值越抛物线开口越
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
2 性质：
加减
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
3 性质：
左加右减
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
4 性质：
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
三二次函数图象移
1 移步骤：
方法：⑴ 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
⑵ 保持抛物线形状变顶点移处具体移方法：
2 移规律
原函数基础值正右移负左移值正移负移．
概括成八字左 右 ．
方法二：
⑴轴移（）移单位变成
（）
⑵轴移：左（右）移单位变成（）
四二次函数较
解析式两种表达形式者通配方前者中．
五二次函数图象画法
五点绘图法：利配方法二次函数化顶点式确定开口方称轴顶点坐标然称轴两侧左右称描点画图般选取五点：顶点轴交点关称轴称点轴交点（轴没交点取两组关称轴称点）
画草图时应抓住点：开口方称轴顶点轴交点轴交点
六二次函数性质
1 时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增减时增增时值．
2 时抛物线开口称轴顶点坐标．时增增时增减时值．
七二次函数解析式表示方法
1 般式：（常数）
2 顶点式：（常数）
3 两根式（两点式）：（抛物线轴两交点横坐标）
注意：二次函数解析式化成般式顶点式非二次函数写成交点式抛物线轴交点时抛物线解析式交点式表示．二次函数解析式三种形式互化
八二次函数图象项系数间关系
1 二次项系数
二次函数中作二次项系数显然．
⑴ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越
⑵ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越．
总结起决定抛物线开口方正负决定开口方决定开口．
2 次项系数
二次项系数确定前提决定抛物线称轴．
⑴ 前提
时抛物线称轴轴左侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴右侧．
⑵ 前提结刚述相反
时抛物线称轴轴右侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴左侧．
总结起确定前提决定抛物线称轴位置．
符号判定：称轴轴左边轴右侧概括说左右异
总结：
3 常数项
⑴ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标正
⑵ 时抛物线轴交点坐标原点抛物线轴交点坐标
⑶ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标负．
总结起决定抛物线轴交点位置．
总确定条抛物线唯确定．
二次函数解析式确定：
根已知条件确定二次函数解析式通常利定系数法．定系数法求二次函数解析式必须根题目特点选择适形式解题简便．般说种情况：
1 已知抛物线三点坐标般选般式
2 已知抛物线顶点称轴（）值般选顶点式
3 已知抛物线轴两交点横坐标般选两根式
4 已知抛物线坐标相两点常选顶点式．
九二次函数图象称
二次函数图象称般五种情况般式顶点式表达
1 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
2 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
3 关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式
4 关顶点称（：抛物线绕顶点旋转180°）
关顶点称解析式
关顶点称解析式．
5 关点称
关点称解析式
根称性质显然作种称变换抛物线形状定会发生变化永远变．求抛物线称抛物线表达式时题意方便运算原选择合适形式惯先确定原抛物线（表达式已知抛物线）顶点坐标开口方确定称抛物线顶点坐标开口方然写出称抛物线表达式．
十二次函数元二次方程：
1 二次函数元二次方程关系（二次函数轴交点情况）：
元二次方程二次函数函数值时特殊情况
图象轴交点数：
① 时图象轴交两点中元二次方程两根．两点间距离
② 时图象轴交点
③ 时图象轴没交点
时图象落轴方实数
时图象落轴方实数．
2 抛物线图象轴定相交交点坐标
3 二次函数常解题方法总结：
⑴ 求二次函数图象轴交点坐标需转化元二次方程
⑵ 求二次函数（）值需利配方法二次函数般式转化顶点式
⑶ 根图象位置判断二次函数中符号二次函数中符号判断图象位置数形结合
⑷ 二次函数图象关称轴称利性质求已知点称点坐标已知轴交点坐标称性求出交点坐标
抛物线轴两交点
二次三项式值正零负
元二次方程两相等实根
抛物线轴交点
二次三项式值非负
元二次方程两相等实数根
抛物线轴交点
二次三项式值恒正
元二次方程实数根
⑸ 二次函数关二次三项式二次三项式身含字母二次函数面时例揭示二次函数二次三项式元二次方程间联系：
图参考：
十函数应
二次函数应
二次函数考查重点常见题型
1． 考查二次函数定义性质关试题常出现选择题中：
已知变量二次函数图原点 值
2． 综合考查正例反例次函数二次函数图题特点直角坐标系考查两函数图试题类型选择题：
图果函数图第二三象限函数图致（ ）
y y y y
1 1
0 x o1 x 0 x 0 1 x
A B C D
3． 考查定系数法求二次函数解析式关题出现频率高题类型中档解答题选拔性综合题：
已知条抛物线(03)(46)两点称轴求条抛物线解析式
4． 考查配方法求抛物线顶点坐标称轴二次函数极值关试题解答题：
已知抛物线（a≠0）x轴两交点横坐标－13y轴交点坐标－
（1）确定抛物线解析式（2）配方法确定抛物线开口方称轴顶点坐标
5．考查代数综合力常见作专项压轴题
例题典
抛物线位置确定系数符号
例1 （1）二次函数图图1点（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数yax2+bx+c（a≠0）图象图2示列结：①ab号②x1x3时函数值相等③4a+b0④y2时x值取0中正确数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(1) (2)
点评弄清抛物线位置系数abc间关系解决问题关键．
例2已知二次函数yax2+bx+c图象x轴交点(2O)(x10)1O③4a+cO中正确结数( )
A 1 B 2 C 3 D．4
会定系数法求二次函数解析式
例3已知：关x元二次方程ax2+bx+c3根x2二次函数yax2+bx+c称轴直线x2抛物线顶点坐标( )
A(23) B(21) C(23) D．(32)
例4图（单位：m）等腰三角形ABC2米秒速度直线L正方形移动直ABCD重合．设x秒时三角形正方形重叠部分面积ym2．
（1）写出yx关系式
（2）x235时y分少？
（3）重叠部分面积正方形面积半时
三角形移动长时间？求抛物线顶点坐标
称轴
例5已知抛物线yx2+x．
（1）配方法求顶点坐标称轴．
（2）该抛物线x轴两交点AB求线段AB长．
点评题（1）二次函数基方法考查第（2）问考查二次函数元二次方程关系．
例6已知：二次函数yax2(b+1)x3a图象点P(410)交x轴两点交y轴负半轴C点满足3AOOB．
(1)求二次函数解析式(2)二次函数图象否存点M锐角∠MCO>∠ACO存请求出M点横坐标取值范围存请说明理．
例7 已知函数图象点A（c－2）
求证：二次函数图象称轴x3题目中矩形框部分段墨水污染法辨认文字
（1）根已知结中现信息否求出题中二次函数解析式？请写出求解程画出二次函数图象请说明理
（2）请根已信息原题中矩形框中填加适条件原题补充完整
点评： 第（1）题根已知结中现信息求出题中二次函数解析式原结函数图象称轴x3作已知结合条件图象点A（c－2）列出两方程解析式中两未知数够求出题中二次函数解析式第（2）题出条件够求出二次函数解析式第（1）题中解析式角度考虑添加出条件考虑图象意点坐标出顶点坐标坐标轴交点坐标等
二次函数解决值问题
例1 某产品件成10元试销阶段件产品销售价x（元）产品日销售量y（件）间关系表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
日销售量y销售价x次函数．
（1）求出日销售量y（件）销售价x（元）函数关系式
（2）日销售利润件产品销售价应定少元？时日销售利润少元？
点评解决值问题应题思路般应题类似区两点：（1）设未知数某某值时什（省）设问中某某设变量什设函数（2）问求解配方法值公式解方程．
例2知道时跳绳时绳甩高处形状似抛物线．图示正甩绳甲乙两名学生绳手间距4 m距面均1m学生丙丁分站距甲绳手水距离1m2．5 m处．绳子甩高处时刚通头顶．已知学生丙身高1．5 m学生丁身高(建立面直角坐标系右图示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：题考查二次函数应
第二十三章 旋转
旋转
1定义
图形绕某点O转动角度图形变换做旋转中O做旋转中心转动角做旋转角
2性质
（1）应点旋转中心距离相等
（2）应点旋转中心连线段夹角等旋转角
二中心称
1定义
图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形互相重合图形做中心称图形点称中心
2性质
（1）关中心称两图形全等形
（2）关中心称两图形称点连线称中心称中心分
（3）关中心称两图形应线段行（直线）相等
3判定
果两图形应点连线某点点分两图形关点称
4中心称图形
图形绕某点旋转180°果旋转图形够原图形互相重合图形做中心称图形店称中心
考点五坐标系中称点特征 （3分）
1关原点称点特征
两点关原点称时坐标符号相反点P（xy）关原点称点P’（xy）
2关x轴称点特征
两点关x轴称时坐标中x相等y符号相反点P（xy）关x轴称点P’（xy）
3关y轴称点特征
两点关y轴称时坐标中y相等x符号相反点P（xy）关y轴称点P’（xy）
第二十四章 圆
知识回顾
圆周长： C2πrCπd圆面积：Sπr²
圆环面积计算方法：SπR²πr²Sπ（R²r²）(R圆半径r圆半径）
二知识点
圆概念
集合形式概念： 1 圆作定点距离等定长点集合
2圆外部：作定点距离定长点集合
3圆部：作定点距离定长点集合
轨迹形式概念：
1圆：定点距离等定长点轨迹定点圆心定长半径圆
固定端点O圆心连接圆意两点线段做弦圆心弦直径圆意两点间部分做圆弧简称弧
2垂直分线：线段两端距离相等点轨迹条线段垂直分线
3角分线：角两边距离相等点轨迹角分线
4直线距离相等点轨迹：行条直线条直线距离等定长两条直线
5两条行线距离相等点轨迹：行两条行线两条直线距离相等条直线
二点圆位置关系
1点圆 点圆
2点圆 点圆
3点圆外 点圆外
三直线圆位置关系
1直线圆相离 交点
2直线圆相切 交点
3直线圆相交 两交点
四圆圆位置关系
外离（图1） 交点
外切（图2） 交点
相交（图3） 两交点
切（图4） 交点
含（图5） 交点
五垂径定理
垂径定理：垂直弦直径分弦分弦弧
推1：（1）分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧
（2）弦垂直分线圆心分弦两条弧
（3）分弦条弧直径垂直分弦分弦条弧
4定理简称2推3定理：定理中5结中知道中2推出3结：
①直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中意2条件推出3结
推2：圆两条行弦夹弧相等
：⊙中∵∥
∴弧弧
六圆心角定理
顶点圆心角圆心角
圆心角定理：圆等圆中相等圆心角弦相等弧相等弦心距相等 定理称1推3定理述四结中
知道中1相等推出3结
：①②
③④ 弧弧
七圆周角定理
顶点圆两边圆相交角圆周角
1圆周角定理：弧圆周角等圆心角半
：∵弧圆心角圆周角
∴
2圆周角定理推：
推1：弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧等弧
：⊙中∵圆周角
∴
推2：半圆直径圆周角直角圆周角直角弧半圆弦直径
：⊙中∵直径 ∵
∴ ∴直径
推3：三角形边中线等边半三角形直角三角形
：△中∵
∴△直角三角形
注：推实初二年级中矩形推：直角三角形中斜边中线等斜边半逆定理
八圆接四边形
圆接四边形定理：圆接四边形角互补外角等角
：⊙中
∵四边形接四边形
∴
九切线性质判定定理
（1）切线判定定理：半径外端垂直半径直线切线
两条件：半径外端垂直半径二者缺
：∵半径外端
∴⊙切线
（2）性质定理：切线垂直切点半径（图）
推1：圆心垂直切线直线必切点
推2：切点垂直切线直线必圆心
三定理推称二推定理：
：①圆心②切点③垂直切线三条件中知道中两条件推出
十切线长定理
切线长定理：
圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角
：∵两条切线
∴
分
十圆幂定理
（1）相交弦定理：圆两弦相交交点分两条线段积相等
：⊙中∵弦相交点
∴
（2）推：果弦直径垂直相交弦半分直径成两条线段例中项
：⊙中∵直径
∴
（3）切割线定理：圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
：⊙中∵切线割线
∴
（4）割线定理：圆外点引圆两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等（图）
：⊙中∵割线
∴
十二两圆公弦定理
圆公弦定理：两圆圆心连线垂直分两圆公弦
图：垂直分
：∵⊙⊙相交两点
∴垂直分
十三圆公切线
两圆公切线长计算公式：
（1）公切线长：中
（2）外公切线长：半径差 公切线长：半径
十四圆正边形计算
（1）正三角形
⊙中△正三角形关计算中进行：
（2）正四边形
理四边形关计算中进行：
（3）正六边形
理六边形关计算中进行
十五扇形圆柱圆锥相关计算公式
1扇形：（1）弧长公式：
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形应圆半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2圆柱：
（1）A圆柱侧面展开图
B圆柱体积：
（2）A圆锥侧面展开图
B圆锥体积：
第二十五章 概率初步
概率概念
某种事件某条件发生发生知道发生性刻划（描述）事件发生性量做概率
2事件类型：
①必然事件：事情事先肯定定发生事情称必然事件
②事件： 事情事先肯定定会发生事情称事件
③确定事件： 许事情法确定会会发生事情称确定事件
3概率计算
般果次试验中n种结果发生性 相等事件A包含中m中结果事件A发生概率
（1） 列表法求概率
次试验设计两素 出现结果数目较时重漏列出结果通常采列表法
（2） 树状图法求概率
次试验设计三更素时列表法方便重漏列出结果通常采树状图法求概率
4利频率估计概率
①利频率估计概率 ：样条件做量重复试验利机事件发生频率逐渐稳定某常数估计事件发生概率
②统计学中常较简单试验方法代实际操作中复杂试验完成概率估计样试验称模拟实验
③机数：机事件中需量重复试验产生串机数开展统计工作机产生数称机数
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九年级册数学知识点总结纳
第二十章 元二次方程
第二十二章 二次函数
第二十三章 旋转
第二十四章 圆
第二十五章 概率初步
第二十章 元二次方程
知识点1：元二次方程概念
元二次方程：含未知数未知数高次数2系数 0样方程元二次方 程．
般形式：ax2＋bx+c0(a≠0）注意：判断某方程否元二次方程时应首先方程化般形式
知识点2：元二次方程解法
1直接开方法：形(x+a）2b（b≥0）方程两边直接开方转化两元次方程方法
X+a
a+ a
2配方法：配方法解元二次方程：ax2＋bx+c0(k≠0）般步骤：①化般形式②移项常数项移方程右边③化二次项系数1方程两边二次项系数④配方方程两边加次项系数半方化原方程(x+a）2b形式⑤果b≥0两边开方求出方程解果b<0原方程解．
3公式法：公式法求根公式求出元二次方程解方法．通配方推导出．元二次方程求根公式(b2－4ac≥0)步骤：①方程转化般形式②确定abc值③求出b2－4ac值b2－4ac≥0时代入求根公式
4式分解法：式分解方法求元二次方程根方法做式分解法．理根：ab0a0b0步骤：①方程右边化0②方程左边分解两次式积③令式等0两元次方程积形式解两元次方程解原元二次方程解．
式分解方法：提公式公式法十字相法
5．元二次方程注意事项：
⑴ 元二次方程般形式中注意强调a≠0．a0时含二次项元二次方程．
⑵ 应求根公式解元二次方程时应注意：①先化方程般形式确定abc值②b2－4ac＜0方程解．
⑶ 利式分解法解方程时方程两边绝便约含未知数代数式．－2(x＋4) 3（x＋4）中便约x＋4
⑷ 注意：解元二次方程时般配方法（特求外）必须熟练掌握解元二次方程般序：开方法→式分解法→公式法．
6．元二次方程解情况
⑴b2－4ac≥0方程两相等实数根
⑵b2－4ac0方程两相等实数根
⑶b2－4ac≤0方程没实数根
解题诀窍：题目中含两等实数根两相等实数根没实数根时首先考虑b2－4ac解题求方程中未知系数值取值范围
知识点3：根系数关系韦达定理
方程ax2＋bx+c0(a≠0）说x1 +x2 —x1●x2
利韦达定理求代数式值（式子变形）
解题诀窍：元二次方程题目中出根求外根未知系数时韦达定理
知识点4：元二次方程应
考点讲解：
1．构建元二次方程数学模型常见模型：
⑴ 图形关应：图形面积模型勾股定理等
⑵ 关增长率应：类问题某数基础连续增长（降低）两次新数常见等量关系a(1±x）2b中a表示增长（降低）前数x表示增长率（降低率）b表示数注意：解中增长率负降低率超1
⑶ 济利润问题：总利润（单件销售额－单件成）×销售数量者总利润总销售额－总成
⑷ 动点问题：类问题般问题延伸根条件设出未知数想办法图中变化线段未知数表示出根题目中等量关系列出方程
2．注重解法选择验根：具体问题中注意恰选择解法保证解题程简洁流畅特方程解注意检验根实际做出正确取舍保证结准确性．
元二次方程实际问题
1 病毒传播问题
2 树干问题
3 握手问题（单循环问题）
4 贺卡问题（双循环问题）
5 围栏问题
6 图形（道路做水箱）
7 增长率降价率问题
8 利润问题（注意减少库存顾客受惠等字样）
9 数字问题
10折扣问题
第二十二章 二次函数
二次函数概念：
1．二次函数概念：般形（常数）函数做二次函数 里需强调：元二次方程类似二次项系数
零．二次函数定义域全体实数．
2 二次函数结构特征：
⑴ 等号左边函数右边关变量二次式高次数2．
⑵ 常数二次项系数次项系数常数项．
二二次函数基形式
1 二次函数基形式：性质：
a 绝值越抛物线开口越
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
2 性质：
加减
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
3 性质：
左加右减
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
4 性质：
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
时增 时增 时 值 ．
时增 时增 时 值 ．
三二次函数图象移
1 移步骤：
方法：⑴ 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
⑵ 保持抛物线形状变顶点移处具体移方法：
2 移规律
原函数基础值正右移负左移值正移负移．
概括成八字左 右 ．
方法二：
⑴轴移（）移单位变成
（）
⑵轴移：左（右）移单位变成（）
四二次函数较
解析式两种表达形式者通配方前者中．
五二次函数图象画法
五点绘图法：利配方法二次函数化顶点式确定开口方称轴顶点坐标然称轴两侧左右称描点画图般选取五点：顶点轴交点关称轴称点轴交点（轴没交点取两组关称轴称点）
画草图时应抓住点：开口方称轴顶点轴交点轴交点
六二次函数性质
1 时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增减时增增时值．
2 时抛物线开口称轴顶点坐标．时增增时增减时值．
七二次函数解析式表示方法
1 般式：（常数）
2 顶点式：（常数）
3 两根式（两点式）：（抛物线轴两交点横坐标）
注意：二次函数解析式化成般式顶点式非二次函数写成交点式抛物线轴交点时抛物线解析式交点式表示．二次函数解析式三种形式互化
八二次函数图象项系数间关系
1 二次项系数
二次函数中作二次项系数显然．
⑴ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越
⑵ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越．
总结起决定抛物线开口方正负决定开口方决定开口．
2 次项系数
二次项系数确定前提决定抛物线称轴．
⑴ 前提
时抛物线称轴轴左侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴右侧．
⑵ 前提结刚述相反
时抛物线称轴轴右侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴左侧．
总结起确定前提决定抛物线称轴位置．
符号判定：称轴轴左边轴右侧概括说左右异
总结：
3 常数项
⑴ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标正
⑵ 时抛物线轴交点坐标原点抛物线轴交点坐标
⑶ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标负．
总结起决定抛物线轴交点位置．
总确定条抛物线唯确定．
二次函数解析式确定：
根已知条件确定二次函数解析式通常利定系数法．定系数法求二次函数解析式必须根题目特点选择适形式解题简便．般说种情况：
1 已知抛物线三点坐标般选般式
2 已知抛物线顶点称轴（）值般选顶点式
3 已知抛物线轴两交点横坐标般选两根式
4 已知抛物线坐标相两点常选顶点式．
九二次函数图象称
二次函数图象称般五种情况般式顶点式表达
1 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
2 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
3 关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式
4 关顶点称（：抛物线绕顶点旋转180°）
关顶点称解析式
关顶点称解析式．
5 关点称
关点称解析式
根称性质显然作种称变换抛物线形状定会发生变化永远变．求抛物线称抛物线表达式时题意方便运算原选择合适形式惯先确定原抛物线（表达式已知抛物线）顶点坐标开口方确定称抛物线顶点坐标开口方然写出称抛物线表达式．
十二次函数元二次方程：
1 二次函数元二次方程关系（二次函数轴交点情况）：
元二次方程二次函数函数值时特殊情况
图象轴交点数：
① 时图象轴交两点中元二次方程两根．两点间距离
② 时图象轴交点
③ 时图象轴没交点
时图象落轴方实数
时图象落轴方实数．
2 抛物线图象轴定相交交点坐标
3 二次函数常解题方法总结：
⑴ 求二次函数图象轴交点坐标需转化元二次方程
⑵ 求二次函数（）值需利配方法二次函数般式转化顶点式
⑶ 根图象位置判断二次函数中符号二次函数中符号判断图象位置数形结合
⑷ 二次函数图象关称轴称利性质求已知点称点坐标已知轴交点坐标称性求出交点坐标
抛物线轴两交点
二次三项式值正零负
元二次方程两相等实根
抛物线轴交点
二次三项式值非负
元二次方程两相等实数根
抛物线轴交点
二次三项式值恒正
元二次方程实数根
⑸ 二次函数关二次三项式二次三项式身含字母二次函数面时例揭示二次函数二次三项式元二次方程间联系：
图参考：
十函数应
二次函数应
二次函数考查重点常见题型
1． 考查二次函数定义性质关试题常出现选择题中：
已知变量二次函数图原点 值
2． 综合考查正例反例次函数二次函数图题特点直角坐标系考查两函数图试题类型选择题：
图果函数图第二三象限函数图致（ ）
y y y y
1 1
0 x o1 x 0 x 0 1 x
A B C D
3． 考查定系数法求二次函数解析式关题出现频率高题类型中档解答题选拔性综合题：
已知条抛物线(03)(46)两点称轴求条抛物线解析式
4． 考查配方法求抛物线顶点坐标称轴二次函数极值关试题解答题：
已知抛物线（a≠0）x轴两交点横坐标－13y轴交点坐标－
（1）确定抛物线解析式（2）配方法确定抛物线开口方称轴顶点坐标
5．考查代数综合力常见作专项压轴题
例题典
抛物线位置确定系数符号
例1 （1）二次函数图图1点（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数yax2+bx+c（a≠0）图象图2示列结：①ab号②x1x3时函数值相等③4a+b0④y2时x值取0中正确数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(1) (2)
点评弄清抛物线位置系数abc间关系解决问题关键．
例2已知二次函数yax2+bx+c图象x轴交点(2O)(x10)1
A 1 B 2 C 3 D．4
会定系数法求二次函数解析式
例3已知：关x元二次方程ax2+bx+c3根x2二次函数yax2+bx+c称轴直线x2抛物线顶点坐标( )
A(23) B(21) C(23) D．(32)
例4图（单位：m）等腰三角形ABC2米秒速度直线L正方形移动直ABCD重合．设x秒时三角形正方形重叠部分面积ym2．
（1）写出yx关系式
（2）x235时y分少？
（3）重叠部分面积正方形面积半时
三角形移动长时间？求抛物线顶点坐标
称轴
例5已知抛物线yx2+x．
（1）配方法求顶点坐标称轴．
（2）该抛物线x轴两交点AB求线段AB长．
点评题（1）二次函数基方法考查第（2）问考查二次函数元二次方程关系．
例6已知：二次函数yax2(b+1)x3a图象点P(410)交x轴两点交y轴负半轴C点满足3AOOB．
(1)求二次函数解析式(2)二次函数图象否存点M锐角∠MCO>∠ACO存请求出M点横坐标取值范围存请说明理．
例7 已知函数图象点A（c－2）
求证：二次函数图象称轴x3题目中矩形框部分段墨水污染法辨认文字
（1）根已知结中现信息否求出题中二次函数解析式？请写出求解程画出二次函数图象请说明理
（2）请根已信息原题中矩形框中填加适条件原题补充完整
点评： 第（1）题根已知结中现信息求出题中二次函数解析式原结函数图象称轴x3作已知结合条件图象点A（c－2）列出两方程解析式中两未知数够求出题中二次函数解析式第（2）题出条件够求出二次函数解析式第（1）题中解析式角度考虑添加出条件考虑图象意点坐标出顶点坐标坐标轴交点坐标等
二次函数解决值问题
例1 某产品件成10元试销阶段件产品销售价x（元）产品日销售量y（件）间关系表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
日销售量y销售价x次函数．
（1）求出日销售量y（件）销售价x（元）函数关系式
（2）日销售利润件产品销售价应定少元？时日销售利润少元？
点评解决值问题应题思路般应题类似区两点：（1）设未知数某某值时什（省）设问中某某设变量什设函数（2）问求解配方法值公式解方程．
例2知道时跳绳时绳甩高处形状似抛物线．图示正甩绳甲乙两名学生绳手间距4 m距面均1m学生丙丁分站距甲绳手水距离1m2．5 m处．绳子甩高处时刚通头顶．已知学生丙身高1．5 m学生丁身高(建立面直角坐标系右图示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：题考查二次函数应
第二十三章 旋转
旋转
1定义
图形绕某点O转动角度图形变换做旋转中O做旋转中心转动角做旋转角
2性质
（1）应点旋转中心距离相等
（2）应点旋转中心连线段夹角等旋转角
二中心称
1定义
图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形互相重合图形做中心称图形点称中心
2性质
（1）关中心称两图形全等形
（2）关中心称两图形称点连线称中心称中心分
（3）关中心称两图形应线段行（直线）相等
3判定
果两图形应点连线某点点分两图形关点称
4中心称图形
图形绕某点旋转180°果旋转图形够原图形互相重合图形做中心称图形店称中心
考点五坐标系中称点特征 （3分）
1关原点称点特征
两点关原点称时坐标符号相反点P（xy）关原点称点P’（xy）
2关x轴称点特征
两点关x轴称时坐标中x相等y符号相反点P（xy）关x轴称点P’（xy）
3关y轴称点特征
两点关y轴称时坐标中y相等x符号相反点P（xy）关y轴称点P’（xy）
第二十四章 圆
知识回顾
圆周长： C2πrCπd圆面积：Sπr²
圆环面积计算方法：SπR²πr²Sπ（R²r²）(R圆半径r圆半径）
二知识点
圆概念
集合形式概念： 1 圆作定点距离等定长点集合
2圆外部：作定点距离定长点集合
3圆部：作定点距离定长点集合
轨迹形式概念：
1圆：定点距离等定长点轨迹定点圆心定长半径圆
固定端点O圆心连接圆意两点线段做弦圆心弦直径圆意两点间部分做圆弧简称弧
2垂直分线：线段两端距离相等点轨迹条线段垂直分线
3角分线：角两边距离相等点轨迹角分线
4直线距离相等点轨迹：行条直线条直线距离等定长两条直线
5两条行线距离相等点轨迹：行两条行线两条直线距离相等条直线
二点圆位置关系
1点圆 点圆
2点圆 点圆
3点圆外 点圆外
三直线圆位置关系
1直线圆相离 交点
2直线圆相切 交点
3直线圆相交 两交点
四圆圆位置关系
外离（图1） 交点
外切（图2） 交点
相交（图3） 两交点
切（图4） 交点
含（图5） 交点
五垂径定理
垂径定理：垂直弦直径分弦分弦弧
推1：（1）分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧
（2）弦垂直分线圆心分弦两条弧
（3）分弦条弧直径垂直分弦分弦条弧
4定理简称2推3定理：定理中5结中知道中2推出3结：
①直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中意2条件推出3结
推2：圆两条行弦夹弧相等
：⊙中∵∥
∴弧弧
六圆心角定理
顶点圆心角圆心角
圆心角定理：圆等圆中相等圆心角弦相等弧相等弦心距相等 定理称1推3定理述四结中
知道中1相等推出3结
：①②
③④ 弧弧
七圆周角定理
顶点圆两边圆相交角圆周角
1圆周角定理：弧圆周角等圆心角半
：∵弧圆心角圆周角
∴
2圆周角定理推：
推1：弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧等弧
：⊙中∵圆周角
∴
推2：半圆直径圆周角直角圆周角直角弧半圆弦直径
：⊙中∵直径 ∵
∴ ∴直径
推3：三角形边中线等边半三角形直角三角形
：△中∵
∴△直角三角形
注：推实初二年级中矩形推：直角三角形中斜边中线等斜边半逆定理
八圆接四边形
圆接四边形定理：圆接四边形角互补外角等角
：⊙中
∵四边形接四边形
∴
九切线性质判定定理
（1）切线判定定理：半径外端垂直半径直线切线
两条件：半径外端垂直半径二者缺
：∵半径外端
∴⊙切线
（2）性质定理：切线垂直切点半径（图）
推1：圆心垂直切线直线必切点
推2：切点垂直切线直线必圆心
三定理推称二推定理：
：①圆心②切点③垂直切线三条件中知道中两条件推出
十切线长定理
切线长定理：
圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角
：∵两条切线
∴
分
十圆幂定理
（1）相交弦定理：圆两弦相交交点分两条线段积相等
：⊙中∵弦相交点
∴
（2）推：果弦直径垂直相交弦半分直径成两条线段例中项
：⊙中∵直径
∴
（3）切割线定理：圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
：⊙中∵切线割线
∴
（4）割线定理：圆外点引圆两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等（图）
：⊙中∵割线
∴
十二两圆公弦定理
圆公弦定理：两圆圆心连线垂直分两圆公弦
图：垂直分
：∵⊙⊙相交两点
∴垂直分
十三圆公切线
两圆公切线长计算公式：
（1）公切线长：中
（2）外公切线长：半径差 公切线长：半径
十四圆正边形计算
（1）正三角形
⊙中△正三角形关计算中进行：
（2）正四边形
理四边形关计算中进行：
（3）正六边形
理六边形关计算中进行
十五扇形圆柱圆锥相关计算公式
1扇形：（1）弧长公式：
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形应圆半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2圆柱：
（1）A圆柱侧面展开图
B圆柱体积：
（2）A圆锥侧面展开图
B圆锥体积：
第二十五章 概率初步
概率概念
某种事件某条件发生发生知道发生性刻划（描述）事件发生性量做概率
2事件类型：
①必然事件：事情事先肯定定发生事情称必然事件
②事件： 事情事先肯定定会发生事情称事件
③确定事件： 许事情法确定会会发生事情称确定事件
3概率计算
般果次试验中n种结果发生性 相等事件A包含中m中结果事件A发生概率
（1） 列表法求概率
次试验设计两素 出现结果数目较时重漏列出结果通常采列表法
（2） 树状图法求概率
次试验设计三更素时列表法方便重漏列出结果通常采树状图法求概率
4利频率估计概率
①利频率估计概率 ：样条件做量重复试验利机事件发生频率逐渐稳定某常数估计事件发生概率
②统计学中常较简单试验方法代实际操作中复杂试验完成概率估计样试验称模拟实验
③机数：机事件中需量重复试验产生串机数开展统计工作机产生数称机数
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