世代数
单项选择题
1A{1235}B{2367}（ ）
A{1234} B{2367}
C{23} D{123567}
答案：C
2循环群交换群关系正确（ ）
A循环群交换群 B交换群循环群
C循环群定交换群 D
答案：A
3列命题正确（ ）
An次换群阶 B整环定域
C交换环定域 D
答案：A
4关陪集命题中正确（ ）设HG子群
A
B
C
D
答案：D
5设AR（实数域） BR+（正实数域） f a→10a aA f
AB（ ）
A单射 B满射
C映射 D非单射非满射
答案：D
6限群中元素阶（ ）
A限 B限
C零 D1
答案：A
7整环（域）特征（ ）
A素数 B限
C限 D素数限
答案：D
8S半群( )
A意a(bc)(ab)c B意abba
C必单位元 D元素必存逆元
答案：A
9整环Z中6真子（ ）
A B
C D
答案：B
10偶数环单位元数（ ）
A0 B1
C2 D数
答案：A
11设非空集合映射（ ）
A集合中两两相
B次序调换
C中元应象必相
D元象唯
答案：B
12指出列运算二元运算（ ）
A整数集
B理数集
C正实数集
D集合
答案：D
13设整数集二元运算中（取中者）中（ ）
A适合交换律 B适合结合律
C存单位元 D元逆元
答案：C
14设群中实数集法里中固定常数群中单位元元逆元分（ ）
A0 B10 C D
答案：D
15设群中元素（ ）
A B C D
答案：A
16设群子群左陪集分类果6阶（ ）
A6 B24 C10 D12
答案：B
17设群态映射列错误命题（ ）
A态核变子群
B变子群逆象变子群
C子群象子群
D变子群象变子群
答案：D
18设环态满射列错误结（ ）
A零元零元 B单位元单位元
C零子零子D 交换交换
答案：C
19列正确命题（ ）
A欧氏环定唯分解环 B理想环必欧氏环
C唯分解环必理想环 D唯分解环必欧氏环
答案：A
20域限扩域限扩域（ ）
A B
C D
答案：D
二填空题
1集合A等价关系需满足反性称性（ ）
答案：传递性
2设AB限集（ ）
答：mn
3．设集合A＝｛面直线｝关系：
∥ （）（ ）等价关系
答：
4设群G中元素阶m充条件（ ）
答：
5群G非空子集H作成G子群充条件（ ）
答：
6次称群阶（ ）
答：
7设限群子群中指数（ ）
答：
8设G群eG单位元aa（ ）
答：ae
9数域（ ）
答：理数域
10设集合A｛12｝A×A（ ）2A＝（ ）
答：｛（11）（12）（21）（22）｝｛Φ｛1｝｛2｝｛12｝｝
11设A变换（ ）
答：
12设集合A等价关系（ ）等价关系
答：
13群G中元素适合方程（ ）群
答：交换群
14阶群循环群充条件（ ）
答：中存阶元素
15设限循环群态象充条件（ ）
答：
16果环R法满足交换律称R（）环
答：交换环
17数集关数加法法作成环做（ ）环
答：数环
18设限域阶81特征（ ）
答：3
19已知群中元素阶等50阶等（ ）
答：25
20单位元零子（ ）称整环
答：交换环
21果710002601国际标准书号（ ）
答：6
22剩余类加群Z12 （ ）生成元
答：6
23设群G元a阶nak阶（ ）
答：n(kn)（(kn)表示kn公约数）
246阶循环群 （ ）子群
答：3
26模8剩余类环Z8子环（ ）
答：6
27设集合（ ）
答：
28果间映射元（ ）
答：
29设集合分类中两类果（ ）
答：
31凯莱定理说：子群（ ）构
答：变换群
32出5循环置换（ ）
答：
33单位元环生成理想中元素表达（ ）
答：
34单位元交换环理想域仅（ ）
答：理想
35整环元做素元果（ ）
答：p零元单位q子
36域扩域做代数扩域果（ ）
答：E元F代数元
三判断题
1设非空集合 （ × ）
2设非空集合映射作二元运算（ × ）
3映射必唯逆映射 （ √ ）
4果循环群中生成元阶限整数加群构 （ √ ）
5果群子群循环群循环群 （ × ）
6群子群变子群充条件（ √ ）
7果环阶单位元 （ √ ）
8环满足左消律必定没右零子 （ √ ）
9中满足条件项式做元域极项式 （ × ）
10域特征限含构子域里整数环 素数生成理想 （ × ）
四解答题
1A{数学系全体学生}规定关系R：
证明RA等价关系
答案：反性： 显然班级
称性：ab班级显然ba班级
传递性：ab班级 bc班级显然ac班级
2R中代数运算否满足结合率交换率？
（等式右边指普通数运算）
答：
根实数加法法运算率
R代数运算满足结合率满足交换率
3设集合求
答案：
4设求关子群左陪集分解
答：
关子群左陪集分解
5设半群左单位元右单位元证明唯单位元
答：证明（右单位元）（左单位元）
单位元唯单位元
6面出ZZ映射
计算
答案：
7设变子群
答：变子群
8设0环零元
答：
关加法作成群加法满足消律式中两边时消理
9果半群左单位元存左逆元群
答：条件知左逆元中存左逆元
左逆元右逆元中逆元
知单位元群
10证明零子环充分必条件环中关法左消律成立
答：设环没左零子果
时没左零子中关法左消律成立
反中关法左消律成立果
左消中非零元均左零子零子
11两理想
理想
答：
理想
12设HG子群写出G关H左陪集分解
答案：
G关H左陪集分解
13Q中代数运算否满足结合率交换率？
答：取
Q代数运算满足结合率满足交换率
14设求关子群右陪集分解
答：
关子群右陪集分解
15设单位元半群左逆元右逆元逆元唯逆元
答：证明条件知
逆元理
唯逆元
16设环
答：
理
17设子群变子群
答：取定存
存
变子群
18果半群群充分必条件：方程中解
答：必性群中逆元分代入方程
分方程解
充分性半群非空集合取定方程中解存中元素
证左单位元方程中解
左单位元
方程中解左逆元中元素左逆元群
19证明零子环充分必条件环中关法右消律成立
答：设环没左零子右左零子
时没右零子中关法右消律成立
反中关法右消律成立果
右消中非零元均右零子零子
20设交换环证明：理想
答：（1）
（2）交换环
理想
21（z+）规定结合法
证明 群
证明：G二元运算显然设G中意三元
G中结合法满足结合律
易知2单位元直接验算中逆元
群
22设G非Abel群证明存非单位元aba≠babba
证：利元素逆交换元素幂交换求元素逆（幂）等G非Abel群必阶数2元素aa≠a1取b a1abba
23设H≤Gab∈G证明命题等价：
（1）a1b∈H(2)b∈aH(3)aHbH(4)aH∩bH≠Ø
证题熟悉陪集性质循环证法
（1）>（2）：a1b∈H > a1bh > bah > b∈aH
（2）>（3）：b∈aH > bh∈aH > bH 属aH方面
b∈aH > bah > abh1 > aH属 bH综aHbH
（3）>（4）：aHbH 显然aH∩bH≠Ø
（4）>（1）：aH∩bH≠Ø > 存 h1h2∈H ah1bh2 > a1b h1h21> a1b∈H
24叙述群定义
答：封闭律结合律单位元元逆元
25列出2群实例中限群限群
答：加群ZnZ
26整数环商域（分式域）什域？
答：理数域
27证明理数域包含真子域
答案：理数域Q子域F定含单位元1F包含整数环Z域含整数环Z必含Z分式域QFQ
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单项选择题
1A{1235}B{2367}（ ）
A{1234} B{2367}
C{23} D{123567}
答案：C
2循环群交换群关系正确（ ）
A循环群交换群 B交换群循环群
C循环群定交换群 D
答案：A
3列命题正确（ ）
An次换群阶 B整环定域
C交换环定域 D
答案：A
4关陪集命题中正确（ ）设HG子群
A
B
C
D
答案：D
5设AR（实数域） BR+（正实数域） f a→10a aA f
AB（ ）
A单射 B满射
C映射 D非单射非满射
答案：D
6限群中元素阶（ ）
A限 B限
C零 D1
答案：A
7整环（域）特征（ ）
A素数 B限
C限 D素数限
答案：D
8S半群( )
A意a(bc)(ab)c B意abba
C必单位元 D元素必存逆元
答案：A
9整环Z中6真子（ ）
A B
C D
答案：B
10偶数环单位元数（ ）
A0 B1
C2 D数
答案：A
11设非空集合映射（ ）
A集合中两两相
B次序调换
C中元应象必相
D元象唯
答案：B
12指出列运算二元运算（ ）
A整数集
B理数集
C正实数集
D集合
答案：D
13设整数集二元运算中（取中者）中（ ）
A适合交换律 B适合结合律
C存单位元 D元逆元
答案：C
14设群中实数集法里中固定常数群中单位元元逆元分（ ）
A0 B10 C D
答案：D
15设群中元素（ ）
A B C D
答案：A
16设群子群左陪集分类果6阶（ ）
A6 B24 C10 D12
答案：B
17设群态映射列错误命题（ ）
A态核变子群
B变子群逆象变子群
C子群象子群
D变子群象变子群
答案：D
18设环态满射列错误结（ ）
A零元零元 B单位元单位元
C零子零子D 交换交换
答案：C
19列正确命题（ ）
A欧氏环定唯分解环 B理想环必欧氏环
C唯分解环必理想环 D唯分解环必欧氏环
答案：A
20域限扩域限扩域（ ）
A B
C D
答案：D
二填空题
1集合A等价关系需满足反性称性（ ）
答案：传递性
2设AB限集（ ）
答：mn
3．设集合A＝｛面直线｝关系：
∥ （）（ ）等价关系
答：
4设群G中元素阶m充条件（ ）
答：
5群G非空子集H作成G子群充条件（ ）
答：
6次称群阶（ ）
答：
7设限群子群中指数（ ）
答：
8设G群eG单位元aa（ ）
答：ae
9数域（ ）
答：理数域
10设集合A｛12｝A×A（ ）2A＝（ ）
答：｛（11）（12）（21）（22）｝｛Φ｛1｝｛2｝｛12｝｝
11设A变换（ ）
答：
12设集合A等价关系（ ）等价关系
答：
13群G中元素适合方程（ ）群
答：交换群
14阶群循环群充条件（ ）
答：中存阶元素
15设限循环群态象充条件（ ）
答：
16果环R法满足交换律称R（）环
答：交换环
17数集关数加法法作成环做（ ）环
答：数环
18设限域阶81特征（ ）
答：3
19已知群中元素阶等50阶等（ ）
答：25
20单位元零子（ ）称整环
答：交换环
21果710002601国际标准书号（ ）
答：6
22剩余类加群Z12 （ ）生成元
答：6
23设群G元a阶nak阶（ ）
答：n(kn)（(kn)表示kn公约数）
246阶循环群 （ ）子群
答：3
26模8剩余类环Z8子环（ ）
答：6
27设集合（ ）
答：
28果间映射元（ ）
答：
29设集合分类中两类果（ ）
答：
31凯莱定理说：子群（ ）构
答：变换群
32出5循环置换（ ）
答：
33单位元环生成理想中元素表达（ ）
答：
34单位元交换环理想域仅（ ）
答：理想
35整环元做素元果（ ）
答：p零元单位q子
36域扩域做代数扩域果（ ）
答：E元F代数元
三判断题
1设非空集合 （ × ）
2设非空集合映射作二元运算（ × ）
3映射必唯逆映射 （ √ ）
4果循环群中生成元阶限整数加群构 （ √ ）
5果群子群循环群循环群 （ × ）
6群子群变子群充条件（ √ ）
7果环阶单位元 （ √ ）
8环满足左消律必定没右零子 （ √ ）
9中满足条件项式做元域极项式 （ × ）
10域特征限含构子域里整数环 素数生成理想 （ × ）
四解答题
1A{数学系全体学生}规定关系R：
证明RA等价关系
答案：反性： 显然班级
称性：ab班级显然ba班级
传递性：ab班级 bc班级显然ac班级
2R中代数运算否满足结合率交换率？
（等式右边指普通数运算）
答：
根实数加法法运算率
R代数运算满足结合率满足交换率
3设集合求
答案：
4设求关子群左陪集分解
答：
关子群左陪集分解
5设半群左单位元右单位元证明唯单位元
答：证明（右单位元）（左单位元）
单位元唯单位元
6面出ZZ映射
计算
答案：
7设变子群
答：变子群
8设0环零元
答：
关加法作成群加法满足消律式中两边时消理
9果半群左单位元存左逆元群
答：条件知左逆元中存左逆元
左逆元右逆元中逆元
知单位元群
10证明零子环充分必条件环中关法左消律成立
答：设环没左零子果
时没左零子中关法左消律成立
反中关法左消律成立果
左消中非零元均左零子零子
11两理想
理想
答：
理想
12设HG子群写出G关H左陪集分解
答案：
G关H左陪集分解
13Q中代数运算否满足结合率交换率？
答：取
Q代数运算满足结合率满足交换率
14设求关子群右陪集分解
答：
关子群右陪集分解
15设单位元半群左逆元右逆元逆元唯逆元
答：证明条件知
逆元理
唯逆元
16设环
答：
理
17设子群变子群
答：取定存
存
变子群
18果半群群充分必条件：方程中解
答：必性群中逆元分代入方程
分方程解
充分性半群非空集合取定方程中解存中元素
证左单位元方程中解
左单位元
方程中解左逆元中元素左逆元群
19证明零子环充分必条件环中关法右消律成立
答：设环没左零子右左零子
时没右零子中关法右消律成立
反中关法右消律成立果
右消中非零元均右零子零子
20设交换环证明：理想
答：（1）
（2）交换环
理想
21（z+）规定结合法
证明 群
证明：G二元运算显然设G中意三元
G中结合法满足结合律
易知2单位元直接验算中逆元
群
22设G非Abel群证明存非单位元aba≠babba
证：利元素逆交换元素幂交换求元素逆（幂）等G非Abel群必阶数2元素aa≠a1取b a1abba
23设H≤Gab∈G证明命题等价：
（1）a1b∈H(2)b∈aH(3)aHbH(4)aH∩bH≠Ø
证题熟悉陪集性质循环证法
（1）>（2）：a1b∈H > a1bh > bah > b∈aH
（2）>（3）：b∈aH > bh∈aH > bH 属aH方面
b∈aH > bah > abh1 > aH属 bH综aHbH
（3）>（4）：aHbH 显然aH∩bH≠Ø
（4）>（1）：aH∩bH≠Ø > 存 h1h2∈H ah1bh2 > a1b h1h21> a1b∈H
24叙述群定义
答：封闭律结合律单位元元逆元
25列出2群实例中限群限群
答：加群ZnZ
26整数环商域（分式域）什域？
答：理数域
27证明理数域包含真子域
答案：理数域Q子域F定含单位元1F包含整数环Z域含整数环Z必含Z分式域QFQ
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