164. 矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算.
矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢?
这就是本节所要讨论的问题.
这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看,n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地位类似于 1 在复数中的地位. 一个复数 a ≠ 0的倒数 a-1可以用等式 a a-1 = 1 来刻划. 类似地,我们引入对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A,都有
165. 定义: n 阶方阵 A 称为可逆的,如果有 n 阶方阵 B,使得这里 E 是 n 阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式.
对于任意的 n 阶方阵 A,适合上述等式的矩阵 B 是唯
一的(如果有的话).定义: 如果矩阵 B 满足上述等式,那么 B 就称为 A 的逆矩阵,
记作 A-1 .
166. 下面要解决的问题是:
在什么条件下,方阵 A 是可逆的?
如果 A 可逆,怎样求 A-1 ?
231. 性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl,使 A = P1 P2 …, Pl .这表明,可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实,可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵.推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 .推论2 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ,使 PAQ = B .
232. 四、初等变换的应用
233. 解例1
234. (本页无文本内容)
235. 即初等行变换
236. 例2解
237. (本页无文本内容)
238. (本页无文本内容)
239. 列变换行变换
240. §2 矩阵的秩
241. 一、矩阵的秩的概念定义:在 m×n 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列( k ≤ m,k≤n),
位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在 A中所处
的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵 A 的 k 阶子式.显然,m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个.概念辨析: k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
242. 与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵 A 的一个 2 阶子块矩阵 A 的一个 2 阶子式
243. 定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有
r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵
A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).规定:零矩阵的秩等于零.
244. 矩阵 A 的一个 3 阶子式矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零,那么这个 3 阶子式也等于零 .
245. 定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有
r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵
A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).根据行列式按行(列)展开法则可知,矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式(如果存在的话)都可以用 r +1 阶子式来表示.
如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零,那么所有 r +2阶子式也都等于零 .
事实上,所有高于 r +1 阶的子式(如果存在的话)也都等于零 .
因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数.规定:零矩阵的秩等于零.
246. 矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数. 显然,
若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零,则 R(A) ≥ s ;
若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零,则 R(A) < t .
若 A 为 n 阶矩阵,则 A 的 n 阶子式只有一个,即|A| .
当|A|≠0 时, R(A) = n ;
可逆矩阵(非奇异矩阵)又称为满秩矩阵.
当|A| = 0 时, R(A) < n ;
不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵.
若 A 为 m×n 矩阵,则 0≤R(A)≤min(m, n) .
R(AT) = R(A) .
247. 矩阵 A 的一个 2 阶子式矩阵 AT 的一个 2 阶子式AT 的子式与 A 的子式对应相等,从而 R(AT) = R(A) .
248. 例:求矩阵 A 和 B 的秩,其中解:在 A 中,2 阶子式 . A 的 3 阶子式只有一个,即|A|,而且|A| = 0,因此 R(A) = 2 .
249. 例:求矩阵 A 和 B 的秩,其中解(续):B 是一个行阶梯形矩阵,其非零行有 3 行,因此其 4 阶子式全为零.以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 ,因此 R(B) = 3 .还存在其它3 阶非零子式吗?
250. 例:求矩阵 A 和 B 的秩,其中解(续):B 还有其它 3 阶非零子式,例如结论:行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.
251. 二、矩阵的秩的计算例:求矩阵 A 的秩,其中 .分析:在 A 中,2 阶子式 . A 的 3 阶子式共有 (个),
要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的.
253. 定理:若 A ~ B,则 R(A) = R(B) . 证明思路:
证明 A 经过一次初等行变换变为 B,则 R(A)≤R(B) .
B 也可经由一次初等行变换变为 A,则 R(B)≤R(A),于是 R(A) = R(B) .
经过一次初等行变换的矩阵的秩不变,经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变.
设 A 经过初等列变换变为 B,则 AT 经过初等行变换变为 BT ,从而 R(AT) = R(BT) .
又 R(A) = R(AT) ,R(B) = R(BT),因此 R(A) = R(B) .
254. 第 1 步: A 经过一次初等行变换变为 B,则R(A)≤R(B) . 证明:
设 R(A) = r ,且 A 的某个 r 阶子式 D ≠ 0 .
当 或 时,
在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1 .
由于D1 = D 或 D1 = -D 或 D1 = kD,因此 D1 ≠ 0 ,从而
R(B) ≥r .
当 时,只需考虑 这一特殊情形.
255. (本页无文本内容)
256. 返回
257. 第 1 步: A 经过一次初等行变换变为 B,则R(A)≤R(B) . 证明(续):分两种情形讨论:
(1) D 中不包含 r1 中的元素
这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式,故 R(B) ≥ r .
(2) D 中包含 r1 中的元素
这时 B 中与 D 相对应的 r 阶子式 D1 为
258. 若p = 2,则 D2 = 0,D = D1 ≠ 0 ,从而 R(B) ≥ r ;
若p≠2,则 D1-kD2 = D ≠ 0 ,
因为这个等式对任意非零常数 k 都成立,
所以 D1、D2 不同时等于零,
于是 B 中存在 r 阶非零子式 D1 或 D2,从而 R(B) ≥ r ,
即R(A)≤R(B) .
259. 定理:若 A ~ B,则 R(A) = R(B) . 应用:根据这一定理,为求矩阵的秩,只要用初等行变换把
矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是
该矩阵的秩.例:求矩阵 的秩,并求 A 的一个
最高阶非零子式.
260. 解:第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵有 3 个非零行,故R(A) = 3 .第二步求 A 的最高阶非零子式.选取行阶梯形矩阵中非零行
的第一个非零元所在的列 ,与之对应的是选取矩阵 A 的第一、
二、四列.
261. R(A0) = 3,计算 A0的前 3 行构成的子式因此这就是 A 的一个最高阶非零子式.
262. 分析:对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵,设 B 的行阶梯
形矩阵为 ,则 就是 A 的行阶梯形矩阵,因此可从
中同时看出R(A)及 R(B) .例:设 ,求矩阵 A 及矩阵
B = (A, b) 的秩.解:R(A) = 2
R(B) = 3
268. 分析:若 R(A) = n,则 A 的行最简形矩阵应该
有 n 个非零行;
每个非零行的第一个非零元为 1 ;
每个非零元所在的列的其它元素都为零.
于是 A 的行最简形中应该包含以下 n 个列向量:又因为 A 是 m×n 矩阵,所以 A 的行最简形矩阵为 .前 n 行后 m - n 行例:若 Am×n Bn×l = C,且 R(A) = n,则R(B) = R(C) .返回
269. 例:若 Am×n Bn×l = C,且 R(A) = n,则R(B) = R(C) .附注:
当一个矩阵的秩等于它的列数时,这样的矩阵称为列满秩矩阵.
特别地,当一个矩阵为方阵时,列满秩矩阵就成为满秩矩阵,也就是可逆矩阵.
因此,本例的结论当 A 为为方阵时,就是性质④ .
本题中,当 C = O,这时结论为:
设 AB = O,若 A 为列满秩矩阵,则 B = O .
270. §3 线性方程组的解
271. 一、线性方程组的表达式一般形式
向量方程的形式
方程组可简化为 AX = b .增广矩阵的形式
向量组线性组合的形式
272. 二、线性方程组的解的判定设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组定义:线性方程组如果有解,就称它是相容的;如果无解,
就称它是不相容的.问题1:方程组是否有解?
问题2:若方程组有解,则解是否唯一?
问题3:若方程组有解且不唯一,则如何掌握解的全体? m、n 不一定相等!
273. 定理:n 元线性方程组 Ax = b
无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b);
有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ;
有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n .分析:只需证明条件的充分性,即
R(A) < R(A, b) 无解;
R(A) = R(A, b) = n 唯一解;
R(A) = R(A, b) < n 无穷多解.
那么
无解 R(A) < R(A, b) ;
唯一解 R(A) = R(A, b) = n ;
无穷多解 R(A) = R(A, b) < n .
274. 证明:设 R(A) = r ,为叙述方便,不妨设 B = (A, b) 的行最
简形矩阵为
第一步:往证 R(A) < R(A, b) 无解.
若 R(A) < R(A, b) ,即 R(A, b) = R(A)+1,则 dr+1 = 1 .
于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1,故原线性方程组无解.R(A) ≤ R(A, b) ≤ R(A)+1 前 r 列 后 n - r 列
275. 前 n 列前 r 列第二步:往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解.
若 R(A) = R(A, b) = n,
故原线性方程组有唯一解.后 n - r 列 则 dr+1 = 0 且 r = n,对应的线性方程组为 从而 bij 都不出现.
276. 前 r 列n 列第二步:往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解.
若 R(A) = R(A, b) = n,
故原线性方程组有唯一解. 则 dr+1 = 0 且 bij 都不出现. 即 r = n,前 r 行后 m-r 行后 n - r 列 n 行对应的线性方程组为后 m-n 行
277. 第三步:往证 R(A) = R(A, b) < n 无穷多解.
若 R(A) = R(A, b) < n ,
对应的线性方程组为前 r 列 则 dr+1 = 0 .后 n - r 列 即 r < n ,
292. 定理:n 元线性方程组 AX = b
无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b);
有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ;
有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n .分析:因为对于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ,所以可从 R(A)
判断齐次线性方程组的解的情况.定理:n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件
是 R(A) < n .定理:线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A, b) .定理:矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A, B) .
293. 定理:矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A, B) .证明:设 A 是 m×n 矩阵, B 是 m×l 矩阵, X 是 n×l 矩阵.
把 X 和 B 按列分块,记作
X = ( x1, x2, …, xl ) ,B = ( b1, b2, …, bl )
则
即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解
R(A) = R( A, bi )
294. 设 R(A) = r ,A 的行最简形矩阵为 ,则 有 r 个非零行,
且 的后 m-r 行全是零.
再设
从而 . 矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解
R(A) = R( A, bi )
的后 m-r 个元素全是零
的后 m-r 行全是零
R(A) = R(A, B) .
295. 定理:矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是
R(A) = R(A, B) .定理:设 AB = C ,则 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} .证明:因为 AB = C ,所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B,
于是 R(A) = R(A, C) .
R(C) ≤ R(A, C) ,故 R(C) ≤ R(A) .
又 (AB)T = CT,即 BTAT = CT,所以矩阵方程 BTX = CT 有解
X = AT ,同理可得,R(C) ≤ R(B) .
综上所述,可知 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} .
296. 非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含 n-R(A) 个自由变量
的通解
297. 第四章向量组的线性相关性
298. §1 向量组及其线性组合
299. 定义:n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数 ai 称为第 i
个分量.
分量全为实数的向量称为实向量.
分量全为复数的向量称为复向量.
备注:
本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) .
行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量.
本书中,列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示,行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示.
305. 结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.向量b 能由
向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解P.83 定理1 的结论:
306. 定义:设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若
向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示,则称向
量组 B 能由向量组 A 线性表示.
若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示,则称这两个向量
组等价.
307. 设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若向量组
B 能由向量组 A 线性表示,即线性表示的
系数矩阵
308. 设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若向量组
B 能由向量组 A 线性表示,即
对于 b1 ,存在一组实数 k11, k21, …, km1 ,使得
b1 = k11a1 + k21 a2 + … + km1 am ;
对于 b2 ,存在一组实数 k12, k22, …, km2 ,使得
b2 = k12a1 + k22 a2 + … + km2 am ;
……
对于 bl ,存在一组实数 k1l , k2l , …, kml ,使得
bl = k1l a1 + k2l a2 + … + kml am
309. 若 Cm×n = Am×l Bl×n ,即则结论:矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示,
B 为这一线性表示的系数矩阵.
310. 若 Cm×n = Am×l Bl×n ,即则结论:矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示,
A 为这一线性表示的系数矩阵.
311. 口诀:左行右列定理:设A是一个 m×n 矩阵,
对 A 施行一次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;
对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
结论:若 C = AB ,那么
矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示,A为这一线性表示的系数矩阵.(A 在左边)
矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示,B为这一线性表示的系数矩阵.(B 在右边)
312. A 经过有限次初等列变换变成 B
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ,使 AP1 P2 …, Pl = B
存在 m 阶可逆矩阵 P,使得 AP = B
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得 口诀:左行右列.把 P 看成是
线性表示的
系数矩阵
313. 向量组 B:b1, b2, …, bl 能由向量组 A:a1, a2, …, am 线性表示
存在矩阵 K,使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) (P.84 定理2)
R(B) ≤ R(A) (P.85 定理3)推论:向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl 等价的充分
必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B).
证明:向量组 A 和 B 等价
向量组 B 能由向量组 A 线性表示
向量组 A 能由向量组 B 线性表示
从而有R(A) = R(B) = R(A, B) .因为 R(B) ≤ R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B)
314. 例:设
证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示,并求出表示式.解:向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) .因为R(A) = R(A, b) = 2, 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示.
315. 行最简形矩阵对应的方程组为
通解为
所以 b = (-3c + 2) a1 + (2c-1) a2 + c a3 .
316. n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量.
设有n×m 矩阵 A = (a1, a2, …, am) ,试证:n 维单位坐标向
量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是
R(A) = n .分析:
n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示
R(A) = R(A, E)
R(A) = n . (注意到:R(A, E) = n 一定成立)
317. 小结向量 b 能由
向量组 A
线性表示线性方程组
Ax = b
有解向量组 B 能
由向量组 A
线性表示矩阵方程组AX = B
有解向量组 A 与
向量组 B
等价
333. 定理(P.89定理5)
若向量组 A :a1, a2, …, am 线性相关, 则向量组 B :a1, a2, …, am, am+1 也线性相关.
其逆否命题也成立,即若向量组 B 线性无关,则向量组 A 也线性无关.
m 个 n 维向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时,一定线性相关.
特别地, n + 1个 n 维向量一定线性相关.
设向量组 A :a1, a2, …, am 线性无关, 而向量组 B :a1, a2, …, am, b 线性相关,则向量 b 必能由向量组 A 线性表示,且表示式是唯一的.
334. §3 向量组的秩
335. 矩阵线性
方程组有限
向量组系数矩阵
增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax = b 有解
当且仅当
向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示课本P. 88定理4:
向量组 A:a1, a2, …, am 线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ;
向量组 A:a1, a2, …, am 线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m .
336. 矩阵线性
方程组有限
向量组无限
向量组系数矩阵
增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应
矩阵的秩等于列(行)向量组的秩Ax = b 有解
当且仅当
向量 b 能否由向量组 A 线性表示向量组与自己的
最大无关组等价
337. (本页无文本内容)
338. 回顾:矩阵的秩定义:在 m×n 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列( k ≤ m,k≤n),
位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在 A中所处
的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵 A 的 k 阶子式.
规定:零矩阵的秩等于零.定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有
r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵
A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A).结论: 矩阵的秩
= 矩阵中最高阶非零子式的阶数
= 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
339. 向量组的秩的概念定义:设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …,
ar,满足
向量组 A0 :a1, a2, …, ar 线性无关;
向量组 A 中任意 r + 1个向量(如果 A 中有r + 1个向量的话)都线性相关;
那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组,
简称最大无关组.
最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩,记作RA .
340. 例:求矩阵 的秩,并求 A 的一个
最高阶非零子式.
341. 第二步求 A 的最高阶非零子式.选取行阶梯形矩阵中非零行
的第一个非零元所在的列 ,与之对应的是选取矩阵 A 的第一、
二、四列.解:第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵有 3 个非零行,故R(A) = 3 .
343. 事实上,
根据 R(A0) = 3 可知: A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线性无关的部分组.
在矩阵 A 任取 4 个列向量,根据 R(A) = 3 可知:A中所有4 阶子式都等于零,从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于 4,即这 4 个列向量线性相关.
A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组.
矩阵 A 的列向量组的秩等于 3.
同理可证,矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3.
344. 矩阵线性
方程组有限
向量组系数矩阵
增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应
矩阵的秩等于列(行)向量组的秩Ax = b 有解
当且仅当
向量 b 能否由向量组 A 线性表示一般地,
矩阵的秩等于它的列向量组的秩.
矩阵的秩等于它的行向量组的秩.(P.90 定理6)
345. 一般地,
矩阵的秩等于它的列向量组的秩.
矩阵的秩等于它的行向量组的秩.(P.90 定理6)
今后,向量组 a1, a2, …, am 的秩也记作 R(a1, a2, …, am ) .
若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式,则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组,Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组.
向量组的最大无关组一般是不唯一的.
347. 最大无关组的等价定义结论:向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的.
定义:设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …,
ar,满足
向量组 A0 :a1, a2, …, ar 线性无关;
向量组 A 中任意 r + 1个向量(如果 A 中有 r + 1个向量的话)都线性相关;
向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示;
那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
348. 矩阵线性
方程组有限
向量组无限
向量组系数矩阵
增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应
矩阵的秩等于列(行)向量组的秩Ax = b 有解
当且仅当
向量 b 能否由向量组 A 线性表示向量组与自己的
最大无关组等价
349. 最大无关组的意义结论:向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的.
用 A0 来代表 A,掌握了最大无关组,就掌握了向量组的全体.
特别,当向量组 A 为无限向量组,就能用有限向量组来代表.
凡是对有限向量组成立的结论,用最大无关组作过渡,立即可推广到无限向量组的情形中去.
362. 齐次线性方程组的解的性质性质1:若 x = x1, x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解,
则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解.
证明: A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 .
性质2:若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解,k 为实数,
则 x = kx 还是 Ax = 0 的解.
证明: A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 .
结论:若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解, 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
363. 结论:若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0
的解, 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量,可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解.
能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表示出来?
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S,若求得 S 的一个最大无关组S0:x = x1, x = x2, ...,, x = xt ,那么Ax = 0 的通解可表示为 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt .
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系(不唯一).
364. 回顾:向量组的秩的概念定义:设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …,
ar,满足
① 向量组 A0 :a1, a2, …, ar 线性无关;
② 向量组 A 中任意 r + 1个向量(如果 A 中有r + 1个向量的 话)都线性相关;
②' 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示;
那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.
向量组的最大无关组一般是不唯一的.返回
377. 定理:设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r,则 n 元齐次线性方程组
Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n − r .例:设Am×nBn×l = O (零矩阵),证明R(A) + R(B) ≤ n .例:证明 R(ATA) = R(A) .例:设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与Bx = 0 同解,证明
R(A) = R(B) .
378. 非齐次线性方程组的解的性质性质3:若 x = h1, x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解,
则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 (导出组)的
解.
证明: A(h1 − h2 ) = Ah1 − Ah2 = b − b = 0 .
性质4:若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解, x = x 是
导出组 Ax = 0 的解,则 x = x + h 还是 Ax = b 的解.
证明: A(x + h ) = Ax + Ah = 0 + b = b .
379. 根据性质3 和性质4 可知
若 x = h* 是 Ax = b 的解, x = x 是 Ax = 0 的解,那么
x = x + h* 也是 Ax = b 的解.
设 Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r .
于是 Ax = b 的通解为
h = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r +h*
382. 小结:关于线性方程组求解线性方程组(第三章,利用矩阵的初等行变换)
线性方程组的几何意义(第四章,四种等价形式)
齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造.
基础解系是解集 S 的最大无关组.
解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合.
非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.
383. §5 向量空间
384. 封闭的概念定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到
的结果仍属于该集合.
例:试讨论下列数集对四则运算是否封闭?
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
385. 向量空间的概念定义:设 V 是 n 维向量的集合,如果
① 集合 V 非空,
② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭,
具体地说,就是:
若 a ∈ V, b ∈ V,则a + b ∈ V .(对加法封闭)
若 a ∈ V, l ∈ R,则 l a ∈ V .(对乘数封闭)
那么就称集合 V 为向量空间.
387. 例:设 a, b 为两个已知的 n 维向量,集合
L = {l a + m b | l, m ∈R }
是一个向量空间吗?
解:设 x1, x2 ∈L, k∈R,因为
x1 + x2 = (l1a + m1b) + (l2a + m2b)
= (l1 + l2) a + (m1 + m2) b∈ L
k x1 = k (l1a + m1b) = (kl1) a + (km1) b ∈ L
所以,L 是一个向量空间.
388. 定义:把集合
L = {l a + m b | l, m ∈R }
称为由向量 a, b 所生成的向量空间.
一般地,把集合
L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm ∈R }
称为由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间.
例:设向量组a1 , a2 , ..., am 和 b1 , b2 , ..., bs 等价,记
L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R },
L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1, m2, ..., ms∈R },
试证 L1 = L2 .
结论:等价的向量组所生成的空间相等.
389. al aL = {l a | l∈R }L = {l a + m b | l, m∈R }abcL = {l a + m b + g c | l, m, g ∈R }l am bg cabl am b
392. 向量空间的基的概念定义:设有向量空间 V ,如果在 V 中能选出 r 个向量a1, a2, …,
ar,满足
① a1, a2, …, ar 线性无关;
② V 中任意一个向量都能由 a1, a2, …, ar 线性表示;
那么称向量组 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基.
r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间 . 向量空间
向量空间的基
向量空间的维数向量组
向量组的最大无关组
向量组的秩
414. 向量的长度定义:令
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度(或范数).
当 || x || = 1时,称 x 为单位向量.
向量的长度具有下列性质:
非负性:当 x = 0(零向量) 时, || x || = 0;
当 x≠0(零向量) 时, || x || > 0.
齐次性: || l x || = | l | · || x || .
415. 向量的长度定义:令
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度(或范数).
当 || x || = 1时,称 x 为单位向量.
向量的长度具有下列性质:
非负性:当 x = 0(零向量) 时, || x || = 0;
当 x ≠ 0(零向量) 时, || x || > 0.
齐次性: || l x || = | l | · || x ||.
三角不等式: || x + y || ≤ || x || + || y ||.xyx + yy
416. 向量的正交性施瓦兹(Schwarz)不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || · || y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时,
定义:当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时,把
称为 n 维向量 x 和 y 的夹角.
当 [x, y] = 0,称向量 x 和 y 正交.
结论:若 x = 0,则 x 与任何向量都正交.xy
430. 定义:如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E,
则称矩阵 A 为正交矩阵,简称正交阵. 即 A−1 = AT,于是
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量,且两两正交. 即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基.
431. 定义:如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E,即 A-1 = AT,
则称矩阵A 为正交矩阵,简称正交阵.
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量,且两两正交.即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基.
因为ATA = E 与AAT = E 等价,所以
432. 定义:如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E,即 A-1 = AT,
则称矩阵A 为正交矩阵,简称正交阵.
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量,且两两正交.即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基.
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量,且两两正交. 即 A 的行向量组构成Rn 的规范正交基.
433. 例:正交矩阵R4 的一个规范正交基
434. 正交矩阵具有下列性质:
若 A 是正交阵,则 A−1 也是正交阵,且|A| = 1 或-1.
若 A 和B是正交阵,则 A 和 B 也是正交阵.
定义:若 P 是正交阵,则线性变换 y = Px 称为正交变换.
经过正交变换,线段的长度保持不变(从而三角形的形状保
持不变),这就是正交变换的优良特性.
435. 表示一个从变量 到变量 线性变换,
其中 为常数. n 个变量 与 m 个变量 之间的
关系式
436. 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.返回
437. §2 方阵的特征值与特征向量
438. 引言纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律,即
(lEn)An = An (lEn) = lAn .
矩阵乘法一般不满足交换律,即AB ≠ BA .
数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的,即
l (AB) = (lA)B = A(lB).
Ax = l x ?
例:
439. 一、基本概念定义:设 A 是 n 阶矩阵,如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足
Ax = l x,
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值,非零向量 x 称为 A
对应于特征值 l 的特征向量.
例:
则 l = 1 为 的特征值, 为对应于l = 1 的特征向量.
440. 一、基本概念定义:设 A 是 n 阶矩阵,如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足
Ax = l x,
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值,非零向量 x 称为 A
对应于特征值 l 的特征向量.
Ax = l x = lE x
非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0(零向量)
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
441. 特征方程特征多项式特征方程 | A−lE | = 0
特征多项式 | A−lE |
442. 二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算).
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln,则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
448. 二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算).
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln,则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
若 l 是 A 的一个特征值,则齐次线性方程组的基础解系
就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组.
449. 例:设 l 是方阵 A 的特征值,证明
(1) l2 是 A2 的特征值;
(2) 当 A 可逆时,1/l 是 A−1 的特征值.
结论:若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量,则
l2 是 A2 的特征值,对应的特征向量也是 p .
lk 是 Ak 的特征值,对应的特征向量也是 p .
当 A 可逆时,1/l 是 A−1 的特征值,对应的特征向量仍然是 p .
450. 二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值(重根按重数计算).
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln,则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann
l1 l2 … ln = |A|
若 l 是 A 的一个特征值,则齐次线性方程组的基础解系
就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组.
若 l 是 A 的一个特征值,则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m
是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值.
451. 例:设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2,求
A* +3A−2E
的特征值.
解: A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 .
设 l 是 A 的一个特征值, p 是对应的特征向量.令
则
454. 定义:设 A, B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ,
则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵,或称矩阵A 和 B 相似.
对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换.
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同.
证明:根据题意,存在可逆矩阵 P ,使得 P −1AP = B .
于是
| B −lE | = | P −1AP − P −1(lE) P | = | P −1(A−lE ) P |
= | P −1| |A−lE | |P | = |A−lE | .
455. 定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同.
推论:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 的多项式 j (A) 和 B 的
多项式 j (B) 相似.
证明:设存在可逆矩阵 P ,使得 P −1AP = B ,则P −1AkP = Bk .
设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0,那么
P −1 j (A) P
= P −1 (cmAm + cm−1Am−1 + … + c1A + c0 E) P
= cm P −1 Am P + cm−1P −1 A m−1 P + … + c1 P −1 A P + c0 P −1 EP
= cmBm + cm−1Bm−1 + … + c1B + c0 E
= j (B) .
456. 定理:设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, …, ln ),则l1, l2, …, ln 就
是 L 的 n 个特征值.
证明:
故 l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值.
457. 定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同.
推论:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 的多项式 j (A) 和 B 的
多项式 j (B) 相似.
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似,则
从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).
若j (l) = | A−lE |,那么 j (A) = O(零矩阵).
458. 可逆矩阵 P ,满足 P −1AP = L (对角阵)AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, …, n)A 的
特征值对应的
特征向量其中?P.123定理4:
n 阶矩阵 A 和对角阵相似
当且仅当
A 有 n 个线性无关的特征向量推论:如果 A 有 n 个
不同的特征值,则 A
和对角阵相似.
461. 可逆矩阵 P ,满足 P −1AP = L (对角阵)AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, …, n)A 的
特征值对应的
特征向量其中?(A−li E) pi = 0 矩阵 P 的
列向量组
线性无关
462. 定理:设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值, p1, p2, …, pm 依
次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, …, lm 各不相同,则
p1, p2, …, pm 线性无关.(P.120定理2)
定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分
必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.(P.123定理4)
推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似.
说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关
的特征向量,从而不一定能对角化.(P.118例6)
464. 定理:设 A 为 n 阶对称阵,则必有正交阵 P,使得
P −1AP = PTAP = L,
其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵(不唯一).
(P.124定理7)定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分
必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. (P.123定理4)
推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似.
说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关
的特征向量,从而不一定能对角化.
465. 定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分
必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. (P.123定理4)
推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似.
说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关
的特征向量,从而不一定能对角化.推论:设 A 为 n 阶对称阵,l 是 A 的特征方程的 k 重根,则
矩阵 A −lE 的秩等于 n − k,
恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应.
466. 例:设 ,求正交阵 P,使P−1AP = L对角阵.
解:因为 A 是对称阵,所以 A 可以对角化.
求得 A 的特征值 l1 = −2, l2 = l3 = 1 .
471. 把对称阵 A 对角化的步骤为:
求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, …, ls ,它们的重数依次为k1, k2, …, ks (k1 + k2 + … + ks = n).
对每个 ki 重特征值 li ,求方程组 | A−li E | = 0 的基础解系,得 ki 个线性无关的特征向量.
把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化,得到 ki 个两两正交的单位特征向量.
因为k1 + k2 + … + ks = n ,总共可得 n 个两两正交的单位特征向量.
这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P,便有
P −1AP = L .
L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.
472. 例:设 ,求 An .
分析:
数学归纳法
473. 定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 的特征多项式相同,
从而 A 和 B 的特征值也相同.
推论:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 的多项式 j (A) 和 B 的
多项式 j (B) 相似.
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似,则
从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).
若j (l) = | A−lE |,那么 j (A) = O(零矩阵).
474. 例:设 ,求 An .
分析:
数学归纳法
因为 A 是对称阵,所以 A 可以对角化.
求得 A 的特征值 l1 = 1, l2 = 3.
下面求满足 P −1AP = Λ 的可逆矩阵 P .
475. 下面求满足 P −1AP = Λ 的可逆矩阵 P .
当 l1 = 1 时, 解方程组 (A−E) x = 0 .
,得基础解系 .
当 l2 = 3 时, 解方程组 (A−3E) x = 0.
,得基础解系 .
问题:是否需要单位化?
于是 Ap1 = p1, A p2= 3 p2,即 .
若 ,则 .
480. 令 aij = aji,则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ,于是
481. 对称阵
482. 对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩.
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的
二次型二次型
的矩阵
483. 对于二次型,寻找可逆的线性变换
使二次型只含平方项,即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
定义:只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式).
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即 f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形.
说明:这里只讨论实二次型,所求线性变换也限于实数范围.简记为 x = C y ,
于是 f = xTAx
= (C y)T A (C y)
= yT (CTAC) y
484. 定义:设 A, B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ,
则称矩阵A 和 B 相似.(P.121定义7)
定义:设 A, B 都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵 C 满足
CTAC = B ,
则称矩阵A 和 B 合同.(P.129定义9)
显然,
BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B
即若 A 为对称阵,则 B 也为对称阵.
R(B) = R(A) .
经过可逆变换后,二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵
CTAC,且二次型的秩不变.
485. 若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形,即问题:对于对称阵 A,寻找可逆矩阵 C,使 CTAC 为对角阵,
(把对称阵合同对角化).
486. 定义:如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E,即 A−1 = AT,
则称矩阵A 为正交矩阵,简称正交阵.
定理:设 A 为 n 阶对称阵,则必有正交阵 P,使得
P −1AP = PTAP = L,
其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵(不唯一).
(P.124定理7)
定理:任给二次型 f (x) = xTAx (其中A = AT) ,总存在
正交变换 x = P y ,使 f 化为标准形
f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值.
推论:任给二次型 f (x) = xTAx (其中A = AT) ,总存在
可逆变换 x = C z ,使 f (Cz) 为规范形.
487. 推论:任给二次型 f (x) = xTAx (其中A = AT) ,总存在
可逆变换 x = C z ,使 f (C z) 为规范形.
证明: f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2
若R(A) = r,不妨设 l1, l2, …, lr 不等于零, lr+1 = … = ln =0,
令
则 K 可逆,变换 y = Kz 把 f (P y) 化为
f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz
其中
488. 例:求一个正交变换 x = P y ,把二次型
f = -2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
化为标准形.
解:二次型的矩阵
根据P.125例12的结果,有正交阵
使得
于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形
f = -2y12 + y22 + y32
489. 如果要把 f 化为规范形,令
,即
可得 f 的规范形:f = -z12 + z22 + z32