线性代数知识点总结汇总


    线性代数知识点总结
    1 行列式
    ()行列式概念性质
    1逆序数:逆序总数
    2行列式定义:行列元素积代数
    3行列式性质:(化简行列式)
    (1)行列互换(转置)行列式值变
    (2)两行(列)互换行列式变号
    (3)提公式:行列式某行(列)元素数k等数k行列式
    (4)拆列分配:行列式中果某行(列)元素两组数行列式等两行列式
    (5)行(列)k加行(列)行列式值变
    (6)两行成例行列式值0
    (二)重行列式
    4()三角(角线)行列式值等角线元素积
    5副角线行列式值等副角线元素积
    6Laplace展开式:(Am阶矩阵Bn阶矩阵)

    7n阶(n≥2)范德蒙德行列式
    数学纳法证明
    ★8角线元素a余元素b行列式值:

    (三)行(列)展开
    9行展开定理:
    (1)行(列)元素应代数余子式积等行列式值
    (2)行列式中某行(列)元素行(列)应元素代数余子式积等0
    (四)行列式公式
    10行列式七公式:
    (1)|kA|kn|A|
    (2)|AB||A|·|B|
    (3)|AT||A|
    (4)|A1||A|1
    (5)|A*||A|n1
    (6)A特征值λ1λ2……λn
    (7)AB相似|A||B|
    (五)克莱姆法
    11克莱姆法:
    (1)非齐次线性方程组系数行列式0方程唯解

    (2)果非齐次线性方程组解两解系数行列式必0
    (3)齐次线性方程组系数行列式0齐次线性方程组0解果方程组非零解必D0
    2 矩阵
    ()矩阵运算
    1矩阵法注意事项:
    (1)矩阵法求前列行致
    (2)矩阵法满足交换律(式分解公式矩阵适BEOA1A*f(A)时交换律)
    (3)ABO推出AOBO
    2转置性质(5条)
    (1)(A+B)TAT+BT
    (2)(kA)TkAT
    (3)(AB)TBTAT
    (4)|A|T|A|
    (5)(AT)TA
    (二)矩阵逆
    3逆定义:
    ABEBAE成立称A逆BA逆矩阵记BA1
    注:A逆充条件|A|≠0
    4逆性质:(5条)
    (1)(kA)11k·A1 (k≠0)
    (2)(AB)1B1·A1
    (3)|A1||A|1
    (4)(AT)1(A1)T
    (5)(A1)1A
    5逆求法:
    (1)A抽象矩阵:定义性质求解
    (2)A数字矩阵:(A|E)→初等行变换→(E|A1)
    (三)矩阵初等变换
    6初等行(列)变换定义:
    (1)两行(列)互换
    (2)行(列)非零常数c
    (3)行(列)k加行(列)
    7初等矩阵:单位矩阵E次初等变换矩阵
    8初等变换初等矩阵性质:
    (1)初等行(列)变换相左(右)相应初等矩阵
    (2)初等矩阵均逆矩阵Eij1Eij(ij两行互换)
    Ei1(c)Ei(1c)(第i行(列)c)
    Eij1(k)Eij(k)(第i行k加j)
    ★(四)矩阵秩
    9秩定义:非零子式高阶数
    注:(1)r(A)0意味着元素0AO
    (2)r(An×n)n(满秩)←→ |A|≠0 ←→A逆
    r(A)<n←→|A|0←→A逆
    (3)r(A)r(r12…n1)←→r阶子式非零r+1子式均0
    10秩性质:(7条)
    (1)Am×n阶矩阵r(A)≤min(mn)
    (2)r(A±B)≤r(A)±(B)
    (3)r(AB)≤min{r(A)r(B)}
    (4)r(kA)r(A)(k≠0)
    (5)r(A)r(AC)(C逆矩阵)
    (6)r(A)r(AT)r(ATA)r(AAT)
    (7)设Am×n阶矩阵Bn×s矩阵ABOr(A)+r(B)≤n
    11秩求法:
    (1)A抽象矩阵:定义性质求解
    (2)A数字矩阵:A→初等行变换→阶梯型(行第非零元素面元素均0)r(A)非零行行数
    (五)伴矩阵
    12伴矩阵性质:(8条)
    (1)AA*A*A|A|E → ★A*|A|A1
    (2)(kA)*kn1A*
    (3)(AB)*B*A*
    (4)|A*||A|n1
    (5)(AT)*(A*)T
    (6)(A1)*(A*)1A|A|1
    (7)(A*)*|A| n2·A
    ★(8)r(A*)n (r(A)n)
    r(A*)1 (r(A)n1)
    r(A*)0 (r(A)<n1)
    (六)分块矩阵
    13分块矩阵法:求前列行分法相
    14分块矩阵求逆:


    3 量
    ()量概念运算
    1量积:(αβ)αTββTα
    2长度定义: ||α||
    3正交定义:(αβ)αTββTαa1b1+a2b2+…+anbn0
    4正交矩阵定义:An阶矩阵AATE ←→ A1AT ←→ ATAE → |A|±1
    (二)线性组合线性表示
    5线性表示充条件:
    非零列量βα1α2…αs线性表示
    (1)←→非齐次线性方程组(α1α2…αs)(x1x2…xs)Tβ解
    ★(2)←→r(α1α2…αs)r(α1α2…αsβ)(系数矩阵秩等增广矩阵秩题第步检验)
    6线性表示充分条件:(解)
    α1α2…αs线性关α1α2…αsβ线性相关βα1α2…αs线性表示
    7线性表示求法:(题第二步)
    设α1α2…αs线性关β线性表示
    (α1α2…αs|β)→初等行变换→(行简形|系数)
    行简形:行第非0数1余元素均0
    (三)线性相关线性关
    8线性相关注意事项:
    (1)α线性相关←→α0
    (2)α1α2线性相关←→α1α2成例
    9线性相关充条件:
    量组α1α2…αs线性相关
    (1)←→量余量线性表示
    (2)←→齐次方程(α1α2…αs)(x1x2…xs)T0非零解
    ★(3)←→r(α1α2…αs)<s 秩数
    特nn维列量α1α2…αn线性相关
    (1)←→ r(α1α2…αn)<n
    (2)←→|α1α2…αn |0
    (3)←→(α1α2…αn)逆
    10线性相关充分条件:
    (1)量组含零量成例量必相关
    (2)部分相关整体相关
    (3)高维相关低维相关
    (4)少表必相关
    ★推:n+1n维量定线性相关
    11线性关充条件
    量组α1α2…αs 线性关
    (1)←→意量均余量线性表示
    (2)←→齐次方程(α1α2…αs)(x1x2…xs)T0零解
    (3)←→r(α1α2…αs)s
    特nn维量α1α2…αn 线性关
    ←→r(α1α2…αn)n ←→|α1α2…αn |≠0 ←→矩阵逆
    12线性关充分条件:
    (1)整体关部分关
    (2)低维关高维关
    (3)正交非零量组线性关
    (4)特征值特征量关
    13线性相关线性关判定
    (1)定义法
    ★(2)秩:阶数线性相关等阶数线性关
    专业知识补充
    (1)矩阵左边列满秩矩阵(秩列数)矩阵秩变矩阵右边行满秩矩阵矩阵秩变
    (2)n维列量α1α2α3 线性关β1β2β3 线性表示(β1β2β3)(α1α2α3)Cr(β1β2β3)r(C)线性关
    ←→r(β1β2β3)3 ←→ r(C)3 ←→ |C|≠0
    (四)极线性关组量组秩
    14极线性关组唯
    15量组秩极关组中量数成量组秩
    :矩阵秩非零子式高阶数
    ★注量组α1α2…αs 秩矩阵A(α1α2…αs)秩相等
    ★16极线性关组求法
    (1)α1α2…αs 抽象:定义法
    (2)α1α2…αs 数字:
    (α1α2…αs)→初等行变换→阶梯型矩阵
    行第非零数应列量构成极关组
    (五)量空间
    17基(极线性关组)变换公式:
    α1α2…αn β1β2…βn n维量空间V两组基基变换公式(β1β2…βn)(α1α2…αn)Cn×n
    中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵
    C(α1α2…αn)1(β1β2…βn)
    18坐标变换公式:
    量γ基α1α2…αn基β1β2…βn 坐标分x(x1x2…xn)Ty(y1y2…yn)Tγx1α1 + x2α2 + … +xnαn y1β1 + y2β2 + … +ynβn坐标变换公式xCyyC1x中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵C(α1α2…αn)1(β1β2…βn)
    (六)Schmidt正交化
    19Schmidt正交化
    设α1α2α3 线性关
    (1)正交化
    令β1α1


    (2)单位化

    4 线性方程组
    ()方程组表达形解量
    1解形式:
    (1)般形式
    (2)矩阵形式:Axb
    (3)量形式:A(α1α2…αn)
    2解定义:
    η(c1c2…cn)T满足方程组AxbAηb称ηAxb解(量)
    (二)解判定性质
    3齐次方程组:
    (1)零解←→r(A)n(nA列数未知数x数)
    (2)非零解←→r(A)<n
    4非齐次方程组:
    (1)解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)r(A)1
    (2)唯解←→r(A)r(A|b)n
    (3)穷解←→r(A)r(A|b)<n
    5解性质:
    (1)ξ1ξ2Ax0解k1ξ1+k2ξ2Ax0解
    (2)ξAx0解ηAxb解ξ+ηAxb解
    (3)η1η2Axb解η1η2Ax0解

    推广
    (1)设η1η2…ηsAxb解k1η1+k2η2+…+ksηs
    Axb解 (Σki1)
    Ax0解 (Σki0)
    (2)设η1η2…ηsAxbs线性关解η2η1η3η1…ηsη1Ax0s1线性关解
    变式:①η1η2η3η2…ηsη2
    ②η2η1η3η2…ηsηs1
    (三)基础解系
    6基础解系定义:
    (1)ξ1ξ2…ξs Ax0解
    (2)ξ1ξ2…ξs 线性相关
    (3)Ax0解均线性表示
    →基础解系解极关组
    注:基础解系唯
    意nr(A)线性关解均作基础解系
    ★7重结:(证明重)
    设A施m×n阶矩阵Bn×s阶矩阵ABO
    (1)B列量均方程Ax0解
    (2)r(A)+r(B)≤n(第2章秩)
    8总结:基础解系求法
    (1)A抽象:定义性质凑nr(A)线性关解
    (2)A数字:A→初等行变换→阶梯型
    未知量分取100010001代入解非未知量基础解系
    (四)解结构(通解)
    9齐次线性方程组通解(解)
    设r(A)rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系
    Ax0通解k1η1+k2η2+…+knrηnr (中k1k2…knr意常数)
    10非齐次线性方程组通解
    设r(A)rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系ηAxb特解
    Axb通解η+ k1η1+k2η2+…+knrηnr (中k1k2…knr意常数)
    (五)公解解
    11公解定义:
    果α方程组Ax0解方程组Bx0解称α公解
    12非零公解充条件:
    方程组Ax0Bx0非零公解
    ←→ 非零解←→
    13重结(需掌握证明)
    (1)设Am×n阶矩阵齐次方程ATAx0Ax0解r(ATA)r(A)
    (2)设Am×n阶矩阵r(A)nBn×s阶矩阵齐次方程ABx0Bx0解r(AB)r(B)

    5 特征值特征量
    ()矩阵特征值特征量
    1特征值特征量定义:
    设An阶矩阵果存数λ非零列量αAαλα称α矩阵A属特征值λ特征量
    2特征项式特征方程定义:
    |λEA|称矩阵A特征项式(λn次项式)
    |λEA |0称矩阵A特征方程(λn次方程)
    注特征方程写|AλE|0
    3重结:
    (1)α齐次方程Ax0非零解Aα0·αα矩阵A特征值λ0特征量
    (2)A行元素k(11…1)T特征值k特征量
    (3)()三角角矩阵特征值角线元素
    △4总结:特征值特征量求法
    (1)A抽象:定义性质凑
    (2)A数字:特征方程法求解
    5特征方程法:
    (1)解特征方程|λEA|0矩阵An特征值λ1λ2…λn
    注:n次方程必须n根(重根写作λ1λ2…λs实数省略)
    (2)解齐次方程(λiEA)0属特征值λi线性关特征量基础解系(nr(λiEA)解)
    6性质:
    (1)特征值特征量线性关
    (2)k重特征值k线性关特征量
    1≤nr(λiEA)≤ki
    (3)设A特征值λ1λ2…λn|A|ΠλiΣλiΣaii
    (4)r(A)1AαβT中αβ均n维非零列量A特征值λ1ΣaiiαTββTαλ2…λn0
    (5)设α矩阵A属特征值λ特征量
    A
    f(A)
    AT
    A1
    A*
    P1AP(相似)
    λ
    f(λ)
    λ
    λ1
    |A|λ1
    λ
    α
    α

    α
    α
    P1α
    (二)相似矩阵
    7相似矩阵定义:
    设AB均n阶矩阵果存逆矩阵PBP1AP称AB相似记作A~B
    8相似矩阵性质
    (1)AB相似f(A)f(B)相似
    (2)AB相似BC相似AC相似
    (3)相似矩阵相行列式秩特征项式特征方程特征值迹(角线元素)
    推广
    (4)AB相似ABBA相似ATBT相似A1B1相似A*B*相似
    (三)矩阵相似角化
    9相似角化定义:
    果A角矩阵相似存逆矩阵PP1APΛ
    称A相似角化
    注:Aαiλiαi(αi≠0P逆)P列均矩阵A特征值λi特征量
    10相似角化充条件
    (1)An线性关特征量
    (2)Ak重特征值k线性关特征量
    11相似角化充分条件:
    (1)An特征值(特征值特征量线性关)
    (2)A实称矩阵
    12重结:
    (1)A相似角化r(A)非零特征值数nr(A)零特征值数
    (2)A相似角化r(A)定非零特征值数
    (四)实称矩阵
    13性质
    (1)特征值全实数
    (2)特征值特征量正交
    (3)A相似角化存逆矩阵PP1APΛ
    (4)A正交相似角化存正交矩阵QQ1AQQTAQΛ
    6 二次型
    ()二次型标准形
    1二次型:
    (1)般形式
    (2)矩阵形式(常)
    2标准形:
    果二次型含方项f(x1x2…xn)d1x12+d2x22+…+dnxn2
    样二次型称标准形(角线)
    3二次型化标准形方法:
    (1)配方法:
    通逆线性变换xCy(C逆)二次型化标准形中逆线性变换标准形通先配方换元
    ★(2)正交变换法:
    通正交变换xQy二次型化标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
    中λ1λ2…λn An特征值QA正交矩阵
    注正交矩阵Q唯γiλi 应
    (二)惯性定理规范形
    4定义:
    正惯性指数:标准形中正方项数称正惯性指数记p
    负惯性指数:标准形中负方项数称负惯性指数记q
    规范形:fz12+…zp2zp+12…zp+q2称二次型规范形
    5惯性定理:
    二次型选取样逆线性变换标准形正负惯性指数变
    注:(1)正负惯性指数变规范形唯
    (2)p正特征值数q负特征值数p+q非零特征值数r(A)
    (三)合矩阵
    6定义:
    AB均n阶实称矩阵存逆矩阵CBCTAC称AB合

    △7总结:n阶实称矩阵AB关系
    (1)AB相似(BP1AP)←→相特征值
    (2)AB合(BCTAC)←→相正负惯性指数←→相正负特征值数
    (3)AB等价(BPAQ)←→r(A)r(B)
    注:实称矩阵相似必合合必等价
    (四)正定二次型正定矩阵
    8正定定义
    二次型xTAx果意x≠0恒xTAx>0称二次型正定称实称矩阵A正定矩阵
    9n元二次型xTAx正定充条件:
    (1)A正惯性指数n
    (2)AE合存逆矩阵CACTCCTACE
    (3)A特征值均0
    (4)A序子式均0(k阶序子式前k行前k列行列式)
    10n元二次型xTAx正定必条件:
    (1)aii>0
    (2)|A|>0
    11总结:二次型xTAx正定判定(题)
    (1)A数字:序子式均0
    (2)A抽象:①证A实称矩阵:ATA②定义特征值判定
    12重结:
    (1)A正定矩阵kA(k>0)AkATA1A*正定
    (2)AB均正定矩阵A+B正定


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    文档贡献者

    l***i

    贡献于2020-10-25

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