1 行列式
()行列式概念性质
1逆序数:逆序总数
2行列式定义:行列元素积代数
3行列式性质:(化简行列式)
(1)行列互换(转置)行列式值变
(2)两行(列)互换行列式变号
(3)提公式:行列式某行(列)元素数k等数k行列式
(4)拆列分配:行列式中果某行(列)元素两组数行列式等两行列式
(5)行(列)k加行(列)行列式值变
(6)两行成例行列式值0
(二)重行列式
4()三角(角线)行列式值等角线元素积
5副角线行列式值等副角线元素积
6Laplace展开式:(Am阶矩阵Bn阶矩阵)
7n阶(n≥2)范德蒙德行列式
数学纳法证明
★8角线元素a余元素b行列式值:
(三)行(列)展开
9行展开定理:
(1)行(列)元素应代数余子式积等行列式值
(2)行列式中某行(列)元素行(列)应元素代数余子式积等0
(四)行列式公式
10行列式七公式:
(1)|kA|kn|A|
(2)|AB||A|·|B|
(3)|AT||A|
(4)|A1||A|1
(5)|A*||A|n1
(6)A特征值λ1λ2……λn
(7)AB相似|A||B|
(五)克莱姆法
11克莱姆法:
(1)非齐次线性方程组系数行列式0方程唯解
(2)果非齐次线性方程组解两解系数行列式必0
(3)齐次线性方程组系数行列式0齐次线性方程组0解果方程组非零解必D0
2 矩阵
()矩阵运算
1矩阵法注意事项:
(1)矩阵法求前列行致
(2)矩阵法满足交换律(式分解公式矩阵适BEOA1A*f(A)时交换律)
(3)ABO推出AOBO
2转置性质(5条)
(1)(A+B)TAT+BT
(2)(kA)TkAT
(3)(AB)TBTAT
(4)|A|T|A|
(5)(AT)TA
(二)矩阵逆
3逆定义:
ABEBAE成立称A逆BA逆矩阵记BA1
注:A逆充条件|A|≠0
4逆性质:(5条)
(1)(kA)11k·A1 (k≠0)
(2)(AB)1B1·A1
(3)|A1||A|1
(4)(AT)1(A1)T
(5)(A1)1A
5逆求法:
(1)A抽象矩阵:定义性质求解
(2)A数字矩阵:(A|E)→初等行变换→(E|A1)
(三)矩阵初等变换
6初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换
(2)行(列)非零常数c
(3)行(列)k加行(列)
7初等矩阵:单位矩阵E次初等变换矩阵
8初等变换初等矩阵性质:
(1)初等行(列)变换相左(右)相应初等矩阵
(2)初等矩阵均逆矩阵Eij1Eij(ij两行互换)
Ei1(c)Ei(1c)(第i行(列)c)
Eij1(k)Eij(k)(第i行k加j)
★(四)矩阵秩
9秩定义:非零子式高阶数
注:(1)r(A)0意味着元素0AO
(2)r(An×n)n(满秩)←→ |A|≠0 ←→A逆
r(A)<n←→|A|0←→A逆
(3)r(A)r(r12…n1)←→r阶子式非零r+1子式均0
10秩性质:(7条)
(1)Am×n阶矩阵r(A)≤min(mn)
(2)r(A±B)≤r(A)±(B)
(3)r(AB)≤min{r(A)r(B)}
(4)r(kA)r(A)(k≠0)
(5)r(A)r(AC)(C逆矩阵)
(6)r(A)r(AT)r(ATA)r(AAT)
(7)设Am×n阶矩阵Bn×s矩阵ABOr(A)+r(B)≤n
11秩求法:
(1)A抽象矩阵:定义性质求解
(2)A数字矩阵:A→初等行变换→阶梯型(行第非零元素面元素均0)r(A)非零行行数
(五)伴矩阵
12伴矩阵性质:(8条)
(1)AA*A*A|A|E → ★A*|A|A1
(2)(kA)*kn1A*
(3)(AB)*B*A*
(4)|A*||A|n1
(5)(AT)*(A*)T
(6)(A1)*(A*)1A|A|1
(7)(A*)*|A| n2·A
★(8)r(A*)n (r(A)n)
r(A*)1 (r(A)n1)
r(A*)0 (r(A)<n1)
(六)分块矩阵
13分块矩阵法:求前列行分法相
14分块矩阵求逆:
3 量
()量概念运算
1量积:(αβ)αTββTα
2长度定义: ||α||
3正交定义:(αβ)αTββTαa1b1+a2b2+…+anbn0
4正交矩阵定义:An阶矩阵AATE ←→ A1AT ←→ ATAE → |A|±1
(二)线性组合线性表示
5线性表示充条件:
非零列量βα1α2…αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组(α1α2…αs)(x1x2…xs)Tβ解
★(2)←→r(α1α2…αs)r(α1α2…αsβ)(系数矩阵秩等增广矩阵秩题第步检验)
6线性表示充分条件:(解)
α1α2…αs线性关α1α2…αsβ线性相关βα1α2…αs线性表示
7线性表示求法:(题第二步)
设α1α2…αs线性关β线性表示
(α1α2…αs|β)→初等行变换→(行简形|系数)
行简形:行第非0数1余元素均0
(三)线性相关线性关
8线性相关注意事项:
(1)α线性相关←→α0
(2)α1α2线性相关←→α1α2成例
9线性相关充条件:
量组α1α2…αs线性相关
(1)←→量余量线性表示
(2)←→齐次方程(α1α2…αs)(x1x2…xs)T0非零解
★(3)←→r(α1α2…αs)<s 秩数
特nn维列量α1α2…αn线性相关
(1)←→ r(α1α2…αn)<n
(2)←→|α1α2…αn |0
(3)←→(α1α2…αn)逆
10线性相关充分条件:
(1)量组含零量成例量必相关
(2)部分相关整体相关
(3)高维相关低维相关
(4)少表必相关
★推:n+1n维量定线性相关
11线性关充条件
量组α1α2…αs 线性关
(1)←→意量均余量线性表示
(2)←→齐次方程(α1α2…αs)(x1x2…xs)T0零解
(3)←→r(α1α2…αs)s
特nn维量α1α2…αn 线性关
←→r(α1α2…αn)n ←→|α1α2…αn |≠0 ←→矩阵逆
12线性关充分条件:
(1)整体关部分关
(2)低维关高维关
(3)正交非零量组线性关
(4)特征值特征量关
13线性相关线性关判定
(1)定义法
★(2)秩:阶数线性相关等阶数线性关
专业知识补充
(1)矩阵左边列满秩矩阵(秩列数)矩阵秩变矩阵右边行满秩矩阵矩阵秩变
(2)n维列量α1α2α3 线性关β1β2β3 线性表示(β1β2β3)(α1α2α3)Cr(β1β2β3)r(C)线性关
←→r(β1β2β3)3 ←→ r(C)3 ←→ |C|≠0
(四)极线性关组量组秩
14极线性关组唯
15量组秩极关组中量数成量组秩
:矩阵秩非零子式高阶数
★注量组α1α2…αs 秩矩阵A(α1α2…αs)秩相等
★16极线性关组求法
(1)α1α2…αs 抽象:定义法
(2)α1α2…αs 数字:
(α1α2…αs)→初等行变换→阶梯型矩阵
行第非零数应列量构成极关组
(五)量空间
17基(极线性关组)变换公式:
α1α2…αn β1β2…βn n维量空间V两组基基变换公式(β1β2…βn)(α1α2…αn)Cn×n
中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵
C(α1α2…αn)1(β1β2…βn)
18坐标变换公式:
量γ基α1α2…αn基β1β2…βn 坐标分x(x1x2…xn)Ty(y1y2…yn)Tγx1α1 + x2α2 + … +xnαn y1β1 + y2β2 + … +ynβn坐标变换公式xCyyC1x中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵C(α1α2…αn)1(β1β2…βn)
(六)Schmidt正交化
19Schmidt正交化
设α1α2α3 线性关
(1)正交化
令β1α1
(2)单位化
4 线性方程组
()方程组表达形解量
1解形式:
(1)般形式
(2)矩阵形式:Axb
(3)量形式:A(α1α2…αn)
2解定义:
η(c1c2…cn)T满足方程组AxbAηb称ηAxb解(量)
(二)解判定性质
3齐次方程组:
(1)零解←→r(A)n(nA列数未知数x数)
(2)非零解←→r(A)<n
4非齐次方程组:
(1)解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)r(A)1
(2)唯解←→r(A)r(A|b)n
(3)穷解←→r(A)r(A|b)<n
5解性质:
(1)ξ1ξ2Ax0解k1ξ1+k2ξ2Ax0解
(2)ξAx0解ηAxb解ξ+ηAxb解
(3)η1η2Axb解η1η2Ax0解
推广
(1)设η1η2…ηsAxb解k1η1+k2η2+…+ksηs
Axb解 (Σki1)
Ax0解 (Σki0)
(2)设η1η2…ηsAxbs线性关解η2η1η3η1…ηsη1Ax0s1线性关解
变式:①η1η2η3η2…ηsη2
②η2η1η3η2…ηsηs1
(三)基础解系
6基础解系定义:
(1)ξ1ξ2…ξs Ax0解
(2)ξ1ξ2…ξs 线性相关
(3)Ax0解均线性表示
→基础解系解极关组
注:基础解系唯
意nr(A)线性关解均作基础解系
★7重结:(证明重)
设A施m×n阶矩阵Bn×s阶矩阵ABO
(1)B列量均方程Ax0解
(2)r(A)+r(B)≤n(第2章秩)
8总结:基础解系求法
(1)A抽象:定义性质凑nr(A)线性关解
(2)A数字:A→初等行变换→阶梯型
未知量分取100010001代入解非未知量基础解系
(四)解结构(通解)
9齐次线性方程组通解(解)
设r(A)rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系
Ax0通解k1η1+k2η2+…+knrηnr (中k1k2…knr意常数)
10非齐次线性方程组通解
设r(A)rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系ηAxb特解
Axb通解η+ k1η1+k2η2+…+knrηnr (中k1k2…knr意常数)
(五)公解解
11公解定义:
果α方程组Ax0解方程组Bx0解称α公解
12非零公解充条件:
方程组Ax0Bx0非零公解
←→ 非零解←→
13重结(需掌握证明)
(1)设Am×n阶矩阵齐次方程ATAx0Ax0解r(ATA)r(A)
(2)设Am×n阶矩阵r(A)nBn×s阶矩阵齐次方程ABx0Bx0解r(AB)r(B)
5 特征值特征量
()矩阵特征值特征量
1特征值特征量定义:
设An阶矩阵果存数λ非零列量αAαλα称α矩阵A属特征值λ特征量
2特征项式特征方程定义:
|λEA|称矩阵A特征项式(λn次项式)
|λEA |0称矩阵A特征方程(λn次方程)
注特征方程写|AλE|0
3重结:
(1)α齐次方程Ax0非零解Aα0·αα矩阵A特征值λ0特征量
(2)A行元素k(11…1)T特征值k特征量
(3)()三角角矩阵特征值角线元素
△4总结:特征值特征量求法
(1)A抽象:定义性质凑
(2)A数字:特征方程法求解
5特征方程法:
(1)解特征方程|λEA|0矩阵An特征值λ1λ2…λn
注:n次方程必须n根(重根写作λ1λ2…λs实数省略)
(2)解齐次方程(λiEA)0属特征值λi线性关特征量基础解系(nr(λiEA)解)
6性质:
(1)特征值特征量线性关
(2)k重特征值k线性关特征量
1≤nr(λiEA)≤ki
(3)设A特征值λ1λ2…λn|A|ΠλiΣλiΣaii
(4)r(A)1AαβT中αβ均n维非零列量A特征值λ1ΣaiiαTββTαλ2…λn0
(5)设α矩阵A属特征值λ特征量
A
f(A)
AT
A1
A*
P1AP(相似)
λ
f(λ)
λ
λ1
|A|λ1
λ
α
α
α
α
P1α
(二)相似矩阵
7相似矩阵定义:
设AB均n阶矩阵果存逆矩阵PBP1AP称AB相似记作A~B
8相似矩阵性质
(1)AB相似f(A)f(B)相似
(2)AB相似BC相似AC相似
(3)相似矩阵相行列式秩特征项式特征方程特征值迹(角线元素)
推广
(4)AB相似ABBA相似ATBT相似A1B1相似A*B*相似
(三)矩阵相似角化
9相似角化定义:
果A角矩阵相似存逆矩阵PP1APΛ
称A相似角化
注:Aαiλiαi(αi≠0P逆)P列均矩阵A特征值λi特征量
10相似角化充条件
(1)An线性关特征量
(2)Ak重特征值k线性关特征量
11相似角化充分条件:
(1)An特征值(特征值特征量线性关)
(2)A实称矩阵
12重结:
(1)A相似角化r(A)非零特征值数nr(A)零特征值数
(2)A相似角化r(A)定非零特征值数
(四)实称矩阵
13性质
(1)特征值全实数
(2)特征值特征量正交
(3)A相似角化存逆矩阵PP1APΛ
(4)A正交相似角化存正交矩阵QQ1AQQTAQΛ
6 二次型
()二次型标准形
1二次型:
(1)般形式
(2)矩阵形式(常)
2标准形:
果二次型含方项f(x1x2…xn)d1x12+d2x22+…+dnxn2
样二次型称标准形(角线)
3二次型化标准形方法:
(1)配方法:
通逆线性变换xCy(C逆)二次型化标准形中逆线性变换标准形通先配方换元
★(2)正交变换法:
通正交变换xQy二次型化标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
中λ1λ2…λn An特征值QA正交矩阵
注正交矩阵Q唯γiλi 应
(二)惯性定理规范形
4定义:
正惯性指数:标准形中正方项数称正惯性指数记p
负惯性指数:标准形中负方项数称负惯性指数记q
规范形:fz12+…zp2zp+12…zp+q2称二次型规范形
5惯性定理:
二次型选取样逆线性变换标准形正负惯性指数变
注:(1)正负惯性指数变规范形唯
(2)p正特征值数q负特征值数p+q非零特征值数r(A)
(三)合矩阵
6定义:
AB均n阶实称矩阵存逆矩阵CBCTAC称AB合
△7总结:n阶实称矩阵AB关系
(1)AB相似(BP1AP)←→相特征值
(2)AB合(BCTAC)←→相正负惯性指数←→相正负特征值数
(3)AB等价(BPAQ)←→r(A)r(B)
注:实称矩阵相似必合合必等价
(四)正定二次型正定矩阵
8正定定义
二次型xTAx果意x≠0恒xTAx>0称二次型正定称实称矩阵A正定矩阵
9n元二次型xTAx正定充条件:
(1)A正惯性指数n
(2)AE合存逆矩阵CACTCCTACE
(3)A特征值均0
(4)A序子式均0(k阶序子式前k行前k列行列式)
10n元二次型xTAx正定必条件:
(1)aii>0
(2)|A|>0
11总结:二次型xTAx正定判定(题)
(1)A数字:序子式均0
(2)A抽象:①证A实称矩阵:ATA②定义特征值判定
12重结:
(1)A正定矩阵kA(k>0)AkATA1A*正定
(2)AB均正定矩阵A+B正定
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