函数等式思想极值点偏移问题中应
教材分析
1．教材容
选修 11 第三章节属专题复课
2教材处位作
微积分创立数学发展史中里程碑发展应开创代数学渡新时期研究变量函数提供重方法手段导数概念微积分核心概念丰富实际背景广泛应选修模块中学生通量实例 历均变化率瞬时变化率刻画现实问题程理解导数含义体会导数思想涵应导数探索函数单调极值等性质实际中应感受导数解决数学问题实际问题中作体会微积分产生类文化发展价值
3学情分析
①通数学必修中函数代数数学建模等容学数学选修 11中第二三章容学学生已具备函数基知识运算力节讨极值点偏移问题提供前提基础
②学生具体研究学数学必修中函数单调性寻找证明应等式相关结具备定探究力基学生会产生思考运函数等式解决高考试题中极值点偏移问题否出般性解决方法步骤果够类问题较简单解题通法常常出现高考数学压轴题 21 题位置难点会造成太难阻碍甚会成部分学新分点
③教学象高三年级理科生学生年龄力题目身思维求高程繁计算难度等原学生思维活跃敏捷缺乏冷静深刻数学思维解难题力做探索片面结够严谨
4教学重点难点
重点：函数构造法数均等式极值点偏移判定定理
难点：函数构造法结题步骤构造函数选取数均等式放缩极值点偏移判定定理
二教学目标分析
1．知识技
1运函数等式解决导数应中极值点偏移问题
2掌握函数等式解决类题般步骤
3极值点偏移判定定理
2程方法
1通利画板展现极值点偏移程学生直观认识感受极值点偏移
质原激发学生探究解决问题激情培养学生认真观察事物变化程总结变化规律惯时处先出极值点偏移判定定理先函数构造法数均等式两种前已介绍方法求解例重感受极值偏移现象复纳已学知识方法
2结合例解题程重点回顾讨解题方法步骤展示两种方法易错点难点突破口树立学生解难题信心规范学生解题程然时间前推移六年例 2（2010 天津）学生模仿例解法尝试解例二通例复学生较容易中种两种方法题目答案学生体会学致成感时通两题解高考题目变迁历史体会该知识点高考中位清楚复学方
3展示学生例二解题程加点评提出更高求——没更方法 结合开始三张图片学生次重新审视极值点偏移原回数学质精准需说出直观感受通程学生锻炼数学直观想象数学运算分析等核心素养时面介绍极值点偏移判定定理做铺垫较分析函数构造法数均等式特点优缺点认识具体问题具体分析方法选择灵活针性盲目模仿生搬硬套通题解法异题求解加深解题方法理解应力提高具体问题角度思维出方法求解程培养学生探索精神数学纳力数学抽象力
3情感态度价值观
通历例例二高考真题探索解决激发学生数学奇心求知欲鼓励学生胆尝试勇探索敢创新磨练思维品质中获成功体验 感受数学思维奇异美结构称美形式简洁美数学严谨美．引导学生树立科学世界观提高学生数学素养综合素质
三教学方法手段分析
1教学方法
结合节课教学容学生认知水教法采探究发现模式教学方法整教学程学生体学生学中心思想时运媒体课件教学等技术手段题目方法相方法题目求解学生浅入深循序渐进参堂课程然然完成节课教学目标
2学法
观察分析→探究→ 合作交流 →初步运 →纳结
3教学手段
利计算机实物投影等辅助教学充分调动学生参课堂教学动性积极性
四教学程分析
教学教师导学生学教学程中悟构成谐整体
教师导教师启发诱导激励评价等学生学搭建支架学务转移学生学生接受务探究问题完成务果教学程中教学完美结合问题核心通知识发生发展运程演绎解释探究组织推动教学
Ⅰ创设情境提出问题
图 1 x
m x1 + x2 极值点偏移 图 2 x < m x1 + x2 极值点左偏
0
图 3 x0
2 0 2
> m x1 + x2
2
目：①例通出三张典型凹函数图学生图特征直观感受函数图极值点发生偏移原助调动学生学积极性时通图学生直观感受非繁琐计算思考解决问题助开拓学生视野回数学问题质降低学生该问题难情绪
②通学生观察教师然然出极值点偏移定义带出极值点偏移数学解释逐步学生感性认知升理认知然老师学生提出进步求出般性判定定理？里先提出问题做伏笔马求解避免问题难挫伤学生积极性时节课问题做铺垫
Ⅱ探究问题
例（2016 全国卷）已知函数 f (x) (x 2)ex + a(x 1)2 两零点
（I）求 a 取值范围（略）
（II）设 x1 x2 f (x)两零点证明： x1 + x2 < 2
目：①发挥学生观动性先探求结果检查学生前阶段复成果问题思考联系
②学生零点偏移求解程更加熟练思路更加清晰步数均等式极值点偏移判定定理做铺垫
解法：称构造函数法（1）知a ³ 0
① x1 < 1 < x2
②构造函数 F (x) f (x) f (2 x) (x < 1)
Þ F ＇ (x) f ＇ (x) f ＇ (2 x)
(x 1)(ex + 2a) + (1 x)(e2x + 2a)
(x 1)(ex e2x )
x < 1时 x 1 < 0
Þ 2 x > 1 > x Þ e2 x ex > 0
＼ F ＇ (x) > 0 Þ F (x)( ¥1)
③代入 x1 F (x1 )< F (1) 0
Þ f (x2 )
f (x1 ) <
f (2 x1 )
Q y
f (x)(1+ ¥) x2 Î (1 + ¥)2 x1 Î (1 + ¥)
＼ x2 < 2 x1 x1 + x2 < 2
提问 1：学生解法步骤步骤觉难方解决困难？
结合学生回答称化构造函数处理极值点偏移问题基步骤纳：
＇
①求导获 f (x) 单调性数形结合判断零点 x1 x2 极值点 x0 范围
②构造辅助函数 F (x)
性
f (x) f (2x0 x) 判断函数 F (x) 符号确定函数 F (x) 单调
③结合 F (x0 ) 0 限定 x 范围判定 F (x) 符号等式
④ x1 (x2 ) 代入述等式利 f (x1 ) f (x2 ) 换 f (x1 )
⑤结合①求 f (x) 单调性转化 x1 x2 等式证明结束提问 2流程继续简化？
中三步流程简化求导→构造→代入构造难点求导关键常构 造记清
提问 3：解法？提醒学生等式构造思考
学生困难先回顾基等式容学生熟悉简单问题入手
调均数£ 均数£ 算术均数£ £ 方均数
A(a b) a + b L(a b)
2
a b
ln a ln b
G(a b)
ab (a b > 0) Þ A £ L £ G
解法二：数均等式（ALG）
f (x ) f (x ) 0 Û (x 2)ex1 + a(x 1)2 (x 2)ex2 + a(x
1)2 0
1 2 1 1 2 2
ìïa(x 1)2 (2 x )ex1
2
2
1
Þ í 1 1
2
1
2
1
2
ïîa(x
1)2 (2 x )ex2 两式相减a(x + x
2)(x
x ) (2 x )ex1 (2 x )ex2
ìx1 + x2 2 ³ 0
（反证）假设 x + x ³ 2 Þ ïx x < 0 Þ (2 x )ex (2 x )ex £ 0
1 2 í 1 2 1 1 2 2
î
ïa ³ 0
Þ (2 x )ex1 £ (2 x )ex2 （左右两边时取数）
1 2
Þ ln(2 x1 ) + x1 £ ln(2 x2 ) + x2 Þ ln(2 x1 ) ln(2 x2 ) £ x2 x1
Þ ( x2 x1
³ 1 Þ
(2 x1 ) (2 x2 ) ³ 1
（*）
ln 2 x1 ) ln(2 x2 ) ln(2 x1 ) ln(2 x2 )
数均等式（ALG）
(2 x1 ) (2 x2 )
< (2 x1 ) + (2 x2 ) 2 x1 + x2 £ 1
ln(2 x1 ) ln(2 x2 ) 2 2
显然（*）相矛盾假设成立原命题成立
解题流程：实际问题→（数学抽象）数学模型→数学解→（解释检验）实际问题引导学生体会数学思维奇异美结构称美形式简洁美数学严谨美．
提问 4：类问题早出现年高考题中时高中生解决类问题否年高考题中取满分？激发学生动力积极性检查学生掌握情况出节例二
例二（2010 天津卷）已知函数 f (x) xex (x Î R)
（I）求函数 f (x) 单调区间极值
（II）已知函数 y g (x) 图函数 y
时 f (x) > g(x)
f (x) 图关直线 x 1 称证明： x > 1
（III）果 x1 ¹ x2 f (x1 ) f (x2 ) 证明 x1 + x2 > 2
解法：称构造函数法（1）（2）略
①（1）知 x1 < 1 < x2
②构造函数 F (x) f (x) f (2 x) (x < 1)
Þ F ＇ (x) f ＇ (x) f ＇ (2 x)
ex (1 x) + e(2x) [1 (2 x)]
ex (1 x) + e(2x) (x 1)
(x 1)(e2+x ex )
中
x 1 < 0
ü Þ F ＇ (x) > 0
þ
x 2 < 1 Þ ex2 < e1 < e x ý
Þ F (x)（ ¥1）
③代入 x1 F (x1 )< F (1) 0
Þ f (x2 )
f (x1 ) <
f (2 x1 )
Q y
f (x)(1+ ¥) ¯ x2 Î (1 + ¥)2 x1 Î (1 + ¥)
＼ x2 > 2 x1 x1 + x2 > 2
解法二：数均等式（ALG）
f (x ) f (x ) Þ x ex1 x ex2 （左右两边时取数）
1 2 1 2
Þ ln x1 x1 ln x2 x2 Þ x1 x2 ln x1 ln x2
Þ x1 x2
ln x1 ln x2
1 （*）
数均等式（ALG）
Þ x1 + x2 > 2
x1 x2
ln x1 ln x2
1 < x1 + x2
2
提问 5：显然问题现什难题作新时代简洁方法出两题般性解法通法探讨显然思考问题学生新挑战然会萌生极兴趣时回顾开始观察三张直观图时提出问题解法三出现必需节课知识点——极值点偏移判定定理
III图索骥回质
极值点偏移判定定理：定区间 D 函数 y
f (x) 导 f (x1 ) f (x2 ) (x1 < x2 )
x0
(x x ) 唯极值点 f ＇＇＇ (x) > 0 极值点右偏Û x1 + x2 < x
1 2 2 0
f ＇＇＇ (x) < 0 极值点左偏Û x1 + x2 > x
2 0
该定理作高中生需解需完整严格证明（附泰勒展开完整证明程开拓部分学高等数学学生视野）
理解该判定定理呢？运解决高中相关数学问题呢？分两部分讨
第部分：结合导数意义 n 阶导数运算解该定理首先
通学生次观察开始已展示图二三学生难发现 y
f (x) 图
偏移原 y
f (x) 图u(x0 ¶) 增减速度发生接着进步
引导学生思考发生数学语言描述刻画提醒学生导数
意义思考图 2 例学生起做探讨： y
f (x) 图斜率直增加
增加速度变慢（数学直观想象）数学语言表述变化？（数学抽象）
→ f ＇ (x) > 0
f ＇ (x) 增加Þ f ＇＇ (x) > 0（速度变慢）Þ
f ＇＇ (x)绝值变 Þ y f ＇＇＇ (x) < 0
完成图二探讨学生模仿独立完成图 3 探索：
f ＇ (x) > 0
f ＇ (x) 增加Þ f ＇＇ (x) > 0 （速度变快） Þ
f ＇＇ (x)绝值变 Þ y f ＇＇＇ (x) > 0
结简单记忆口诀（）时 x0 极值点话结相反口诀（）
IV出定理尝试新解
第二部分：运新判定定理重新接例例二例新解 极值点偏移判定定理
解法三： f (x) (x 2)ex + a(x 1)2 Þ f ＇ (x) (x 1)(ex + 2a) Þ
f ＇＇ (x) (x 1)ex + ex + 2a
Þ f ＇＇＇ (x) ex (x +1) 分两段区间讨
① x Î (¥1] f (2) a > 0 结合图知 x1 £ 1 < x2 < a x1 + x2 < 2
1
② x Î (1 + ¥) f ＇＇＇ (x) > 0 x 1 极值符合 Þ x
+ x2 < 2
综 x1 + x2 < 2
例二新解
解法三： f (x) xex Þ
f ＇ (x) ex xex Þ
f ＇＇ (x) ex (x 2)
Þ f ＇＇＇ (x) ex (3 x) 分两段区间讨
① x Î[3 + ¥)知 x1 + x2 > max{x1 x2} ³ 3 > 2 x1 + x2 > 2
1
② x Î ( ¥ 3) f ＇＇＇ (x) > 0 x 1 极值符合 Þ x
+ x2 > 2
综知 x1 + x2 > 2
回头例例二三解法知觉中开始极值点偏移问题 更新认知
VI课堂练 巩固双基
练 1（2011 辽宁卷）已知函数 f (x) ln x ax2 + (2 a)x
（I）讨函数 f (x) 单调性
（II）设a > 0 证明：0 < x < 1 时 f ( 1 + x) > f ( 1 x)
a a a
（III）函数 y
f (x0 ) < 0
f (x) 图 x 轴交 AB 两点线段 AB 中点横坐标 x0 证明
练 2（2014 天津卷）设 f (x) x aex (a Î R) x Î R 已知函数 y
x1 < x2
（1）求 a 取值范围
（2）证明 x2 着 a 减增
x1
（3）证明 x1 + x2 着 a 减增
f (x) 两零点 x1 x2
练 3 已知函数 f (x) a 1 ln x a Î R 函数 f (x) 两零点 x x
x 1 2
求证： x1 + x2 > 2
1
2
练 4 已知函数 f (x) ex ax 两零点 x x 极值点 x
0
（I）求 a 取值范围
（II）求证： x1 + x2 < 2x0
（III）求证： x1 + x2 > 2
（IV）求证： x1 x2 < 1
目：①通学生体参学生深切体会节课容思想方法实现知识次深化
②练分层利层次学生培养
VII课堂结
学生点评老师引导
①图直观方法求解繁琐简洁结题解题回数学质追问尝试思考利学生知识迁移力提高
②三种方法解题运：函数构造法数均等式极值点偏移判定定理三种解法认识．特方法选择适合题目适合
③理解方法基础时进行正反两方面短快填空判断非练 通总结辨析反思强化解法灵活性促进学生动建构助学生形成知识模块优化知识体系体现知识目标
五教学评价
结果程精彩现象方法生动情境创设探究设计必须学生体教师导训练线设法庞杂知识中引导学生寻找关系挖掘书背数学思想建构基学生发展知识体系教学生学会思考教学真正成发展学生力课堂活动课例具体问题数学模型建立数学工具选择舍花量时间便培养学生学会探究创新缕温暖阳光定唤醒万物催开世间绚丽花朵
通三种解题方法研究学生思维角度掌握极值点偏移解决方法图直观理总结方法尝试数学解题方法拉知识间联系特殊般问题推导学生解题解题展现数学思维魅力．学生中深刻领会解题程中蕴含数学思想培养学生思维深刻性敏锐性广阔性批判性．时通精讲题发散串变式教学学生巩固知识形成技．基础通民谐课堂氛围培养学生学合作交流学惯培养学生勇探索断创新思维品质．
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教材分析
1．教材容
选修 11 第三章节属专题复课
2教材处位作
微积分创立数学发展史中里程碑发展应开创代数学渡新时期研究变量函数提供重方法手段导数概念微积分核心概念丰富实际背景广泛应选修模块中学生通量实例 历均变化率瞬时变化率刻画现实问题程理解导数含义体会导数思想涵应导数探索函数单调极值等性质实际中应感受导数解决数学问题实际问题中作体会微积分产生类文化发展价值
3学情分析
①通数学必修中函数代数数学建模等容学数学选修 11中第二三章容学学生已具备函数基知识运算力节讨极值点偏移问题提供前提基础
②学生具体研究学数学必修中函数单调性寻找证明应等式相关结具备定探究力基学生会产生思考运函数等式解决高考试题中极值点偏移问题否出般性解决方法步骤果够类问题较简单解题通法常常出现高考数学压轴题 21 题位置难点会造成太难阻碍甚会成部分学新分点
③教学象高三年级理科生学生年龄力题目身思维求高程繁计算难度等原学生思维活跃敏捷缺乏冷静深刻数学思维解难题力做探索片面结够严谨
4教学重点难点
重点：函数构造法数均等式极值点偏移判定定理
难点：函数构造法结题步骤构造函数选取数均等式放缩极值点偏移判定定理
二教学目标分析
1．知识技
1运函数等式解决导数应中极值点偏移问题
2掌握函数等式解决类题般步骤
3极值点偏移判定定理
2程方法
1通利画板展现极值点偏移程学生直观认识感受极值点偏移
质原激发学生探究解决问题激情培养学生认真观察事物变化程总结变化规律惯时处先出极值点偏移判定定理先函数构造法数均等式两种前已介绍方法求解例重感受极值偏移现象复纳已学知识方法
2结合例解题程重点回顾讨解题方法步骤展示两种方法易错点难点突破口树立学生解难题信心规范学生解题程然时间前推移六年例 2（2010 天津）学生模仿例解法尝试解例二通例复学生较容易中种两种方法题目答案学生体会学致成感时通两题解高考题目变迁历史体会该知识点高考中位清楚复学方
3展示学生例二解题程加点评提出更高求——没更方法 结合开始三张图片学生次重新审视极值点偏移原回数学质精准需说出直观感受通程学生锻炼数学直观想象数学运算分析等核心素养时面介绍极值点偏移判定定理做铺垫较分析函数构造法数均等式特点优缺点认识具体问题具体分析方法选择灵活针性盲目模仿生搬硬套通题解法异题求解加深解题方法理解应力提高具体问题角度思维出方法求解程培养学生探索精神数学纳力数学抽象力
3情感态度价值观
通历例例二高考真题探索解决激发学生数学奇心求知欲鼓励学生胆尝试勇探索敢创新磨练思维品质中获成功体验 感受数学思维奇异美结构称美形式简洁美数学严谨美．引导学生树立科学世界观提高学生数学素养综合素质
三教学方法手段分析
1教学方法
结合节课教学容学生认知水教法采探究发现模式教学方法整教学程学生体学生学中心思想时运媒体课件教学等技术手段题目方法相方法题目求解学生浅入深循序渐进参堂课程然然完成节课教学目标
2学法
观察分析→探究→ 合作交流 →初步运 →纳结
3教学手段
利计算机实物投影等辅助教学充分调动学生参课堂教学动性积极性
四教学程分析
教学教师导学生学教学程中悟构成谐整体
教师导教师启发诱导激励评价等学生学搭建支架学务转移学生学生接受务探究问题完成务果教学程中教学完美结合问题核心通知识发生发展运程演绎解释探究组织推动教学
Ⅰ创设情境提出问题
图 1 x
m x1 + x2 极值点偏移 图 2 x < m x1 + x2 极值点左偏
0
图 3 x0
2 0 2
> m x1 + x2
2
目：①例通出三张典型凹函数图学生图特征直观感受函数图极值点发生偏移原助调动学生学积极性时通图学生直观感受非繁琐计算思考解决问题助开拓学生视野回数学问题质降低学生该问题难情绪
②通学生观察教师然然出极值点偏移定义带出极值点偏移数学解释逐步学生感性认知升理认知然老师学生提出进步求出般性判定定理？里先提出问题做伏笔马求解避免问题难挫伤学生积极性时节课问题做铺垫
Ⅱ探究问题
例（2016 全国卷）已知函数 f (x) (x 2)ex + a(x 1)2 两零点
（I）求 a 取值范围（略）
（II）设 x1 x2 f (x)两零点证明： x1 + x2 < 2
目：①发挥学生观动性先探求结果检查学生前阶段复成果问题思考联系
②学生零点偏移求解程更加熟练思路更加清晰步数均等式极值点偏移判定定理做铺垫
解法：称构造函数法（1）知a ³ 0
① x1 < 1 < x2
②构造函数 F (x) f (x) f (2 x) (x < 1)
Þ F ＇ (x) f ＇ (x) f ＇ (2 x)
(x 1)(ex + 2a) + (1 x)(e2x + 2a)
(x 1)(ex e2x )
x < 1时 x 1 < 0
Þ 2 x > 1 > x Þ e2 x ex > 0
＼ F ＇ (x) > 0 Þ F (x)( ¥1)
③代入 x1 F (x1 )< F (1) 0
Þ f (x2 )
f (x1 ) <
f (2 x1 )
Q y
f (x)(1+ ¥) x2 Î (1 + ¥)2 x1 Î (1 + ¥)
＼ x2 < 2 x1 x1 + x2 < 2
提问 1：学生解法步骤步骤觉难方解决困难？
结合学生回答称化构造函数处理极值点偏移问题基步骤纳：
＇
①求导获 f (x) 单调性数形结合判断零点 x1 x2 极值点 x0 范围
②构造辅助函数 F (x)
性
f (x) f (2x0 x) 判断函数 F (x) 符号确定函数 F (x) 单调
③结合 F (x0 ) 0 限定 x 范围判定 F (x) 符号等式
④ x1 (x2 ) 代入述等式利 f (x1 ) f (x2 ) 换 f (x1 )
⑤结合①求 f (x) 单调性转化 x1 x2 等式证明结束提问 2流程继续简化？
中三步流程简化求导→构造→代入构造难点求导关键常构 造记清
提问 3：解法？提醒学生等式构造思考
学生困难先回顾基等式容学生熟悉简单问题入手
调均数£ 均数£ 算术均数£ £ 方均数
A(a b) a + b L(a b)
2
a b
ln a ln b
G(a b)
ab (a b > 0) Þ A £ L £ G
解法二：数均等式（ALG）
f (x ) f (x ) 0 Û (x 2)ex1 + a(x 1)2 (x 2)ex2 + a(x
1)2 0
1 2 1 1 2 2
ìïa(x 1)2 (2 x )ex1
2
2
1
Þ í 1 1
2
1
2
1
2
ïîa(x
1)2 (2 x )ex2 两式相减a(x + x
2)(x
x ) (2 x )ex1 (2 x )ex2
ìx1 + x2 2 ³ 0
（反证）假设 x + x ³ 2 Þ ïx x < 0 Þ (2 x )ex (2 x )ex £ 0
1 2 í 1 2 1 1 2 2
î
ïa ³ 0
Þ (2 x )ex1 £ (2 x )ex2 （左右两边时取数）
1 2
Þ ln(2 x1 ) + x1 £ ln(2 x2 ) + x2 Þ ln(2 x1 ) ln(2 x2 ) £ x2 x1
Þ ( x2 x1
³ 1 Þ
(2 x1 ) (2 x2 ) ³ 1
（*）
ln 2 x1 ) ln(2 x2 ) ln(2 x1 ) ln(2 x2 )
数均等式（ALG）
(2 x1 ) (2 x2 )
< (2 x1 ) + (2 x2 ) 2 x1 + x2 £ 1
ln(2 x1 ) ln(2 x2 ) 2 2
显然（*）相矛盾假设成立原命题成立
解题流程：实际问题→（数学抽象）数学模型→数学解→（解释检验）实际问题引导学生体会数学思维奇异美结构称美形式简洁美数学严谨美．
提问 4：类问题早出现年高考题中时高中生解决类问题否年高考题中取满分？激发学生动力积极性检查学生掌握情况出节例二
例二（2010 天津卷）已知函数 f (x) xex (x Î R)
（I）求函数 f (x) 单调区间极值
（II）已知函数 y g (x) 图函数 y
时 f (x) > g(x)
f (x) 图关直线 x 1 称证明： x > 1
（III）果 x1 ¹ x2 f (x1 ) f (x2 ) 证明 x1 + x2 > 2
解法：称构造函数法（1）（2）略
①（1）知 x1 < 1 < x2
②构造函数 F (x) f (x) f (2 x) (x < 1)
Þ F ＇ (x) f ＇ (x) f ＇ (2 x)
ex (1 x) + e(2x) [1 (2 x)]
ex (1 x) + e(2x) (x 1)
(x 1)(e2+x ex )
中
x 1 < 0
ü Þ F ＇ (x) > 0
þ
x 2 < 1 Þ ex2 < e1 < e x ý
Þ F (x)（ ¥1）
③代入 x1 F (x1 )< F (1) 0
Þ f (x2 )
f (x1 ) <
f (2 x1 )
Q y
f (x)(1+ ¥) ¯ x2 Î (1 + ¥)2 x1 Î (1 + ¥)
＼ x2 > 2 x1 x1 + x2 > 2
解法二：数均等式（ALG）
f (x ) f (x ) Þ x ex1 x ex2 （左右两边时取数）
1 2 1 2
Þ ln x1 x1 ln x2 x2 Þ x1 x2 ln x1 ln x2
Þ x1 x2
ln x1 ln x2
1 （*）
数均等式（ALG）
Þ x1 + x2 > 2
x1 x2
ln x1 ln x2
1 < x1 + x2
2
提问 5：显然问题现什难题作新时代简洁方法出两题般性解法通法探讨显然思考问题学生新挑战然会萌生极兴趣时回顾开始观察三张直观图时提出问题解法三出现必需节课知识点——极值点偏移判定定理
III图索骥回质
极值点偏移判定定理：定区间 D 函数 y
f (x) 导 f (x1 ) f (x2 ) (x1 < x2 )
x0
(x x ) 唯极值点 f ＇＇＇ (x) > 0 极值点右偏Û x1 + x2 < x
1 2 2 0
f ＇＇＇ (x) < 0 极值点左偏Û x1 + x2 > x
2 0
该定理作高中生需解需完整严格证明（附泰勒展开完整证明程开拓部分学高等数学学生视野）
理解该判定定理呢？运解决高中相关数学问题呢？分两部分讨
第部分：结合导数意义 n 阶导数运算解该定理首先
通学生次观察开始已展示图二三学生难发现 y
f (x) 图
偏移原 y
f (x) 图u(x0 ¶) 增减速度发生接着进步
引导学生思考发生数学语言描述刻画提醒学生导数
意义思考图 2 例学生起做探讨： y
f (x) 图斜率直增加
增加速度变慢（数学直观想象）数学语言表述变化？（数学抽象）
→ f ＇ (x) > 0
f ＇ (x) 增加Þ f ＇＇ (x) > 0（速度变慢）Þ
f ＇＇ (x)绝值变 Þ y f ＇＇＇ (x) < 0
完成图二探讨学生模仿独立完成图 3 探索：
f ＇ (x) > 0
f ＇ (x) 增加Þ f ＇＇ (x) > 0 （速度变快） Þ
f ＇＇ (x)绝值变 Þ y f ＇＇＇ (x) > 0
结简单记忆口诀（）时 x0 极值点话结相反口诀（）
IV出定理尝试新解
第二部分：运新判定定理重新接例例二例新解 极值点偏移判定定理
解法三： f (x) (x 2)ex + a(x 1)2 Þ f ＇ (x) (x 1)(ex + 2a) Þ
f ＇＇ (x) (x 1)ex + ex + 2a
Þ f ＇＇＇ (x) ex (x +1) 分两段区间讨
① x Î (¥1] f (2) a > 0 结合图知 x1 £ 1 < x2 < a x1 + x2 < 2
1
② x Î (1 + ¥) f ＇＇＇ (x) > 0 x 1 极值符合 Þ x
+ x2 < 2
综 x1 + x2 < 2
例二新解
解法三： f (x) xex Þ
f ＇ (x) ex xex Þ
f ＇＇ (x) ex (x 2)
Þ f ＇＇＇ (x) ex (3 x) 分两段区间讨
① x Î[3 + ¥)知 x1 + x2 > max{x1 x2} ³ 3 > 2 x1 + x2 > 2
1
② x Î ( ¥ 3) f ＇＇＇ (x) > 0 x 1 极值符合 Þ x
+ x2 > 2
综知 x1 + x2 > 2
回头例例二三解法知觉中开始极值点偏移问题 更新认知
VI课堂练 巩固双基
练 1（2011 辽宁卷）已知函数 f (x) ln x ax2 + (2 a)x
（I）讨函数 f (x) 单调性
（II）设a > 0 证明：0 < x < 1 时 f ( 1 + x) > f ( 1 x)
a a a
（III）函数 y
f (x0 ) < 0
f (x) 图 x 轴交 AB 两点线段 AB 中点横坐标 x0 证明
练 2（2014 天津卷）设 f (x) x aex (a Î R) x Î R 已知函数 y
x1 < x2
（1）求 a 取值范围
（2）证明 x2 着 a 减增
x1
（3）证明 x1 + x2 着 a 减增
f (x) 两零点 x1 x2
练 3 已知函数 f (x) a 1 ln x a Î R 函数 f (x) 两零点 x x
x 1 2
求证： x1 + x2 > 2
1
2
练 4 已知函数 f (x) ex ax 两零点 x x 极值点 x
0
（I）求 a 取值范围
（II）求证： x1 + x2 < 2x0
（III）求证： x1 + x2 > 2
（IV）求证： x1 x2 < 1
目：①通学生体参学生深切体会节课容思想方法实现知识次深化
②练分层利层次学生培养
VII课堂结
学生点评老师引导
①图直观方法求解繁琐简洁结题解题回数学质追问尝试思考利学生知识迁移力提高
②三种方法解题运：函数构造法数均等式极值点偏移判定定理三种解法认识．特方法选择适合题目适合
③理解方法基础时进行正反两方面短快填空判断非练 通总结辨析反思强化解法灵活性促进学生动建构助学生形成知识模块优化知识体系体现知识目标
五教学评价
结果程精彩现象方法生动情境创设探究设计必须学生体教师导训练线设法庞杂知识中引导学生寻找关系挖掘书背数学思想建构基学生发展知识体系教学生学会思考教学真正成发展学生力课堂活动课例具体问题数学模型建立数学工具选择舍花量时间便培养学生学会探究创新缕温暖阳光定唤醒万物催开世间绚丽花朵
通三种解题方法研究学生思维角度掌握极值点偏移解决方法图直观理总结方法尝试数学解题方法拉知识间联系特殊般问题推导学生解题解题展现数学思维魅力．学生中深刻领会解题程中蕴含数学思想培养学生思维深刻性敏锐性广阔性批判性．时通精讲题发散串变式教学学生巩固知识形成技．基础通民谐课堂氛围培养学生学合作交流学惯培养学生勇探索断创新思维品质．
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