（十八）推理证明
1．合情推理演绎推理
（1）解合情推理含义利纳类等进行简单推理解合情推理数学发现中作
（2）解演绎推理重性掌握演绎推理基模式运进行简单推理
（3）解合情推理演绎推理间联系差异
2．直接证明间接证明
（1）解直接证明两种基方法——分析法综合法解分析法综合法思考程特点
（2）解间接证明种基方法——反证法解反证法思考程特点
3．数学纳法
解数学纳法原理数学纳法证明简单数学命题
推理
1．推理
（1）定义：根已知判断确定新判断思维程推理．推理般包含两部分：前提指已知事实(假设)二结已知判断推出新判断推理形式前提结
（2）分类：推理．
2．合情推理
（1）定义：根已事实观察分析较联想进行纳类然提出猜想推理做合情推理
（2）特点：
①合情推理结猜想定正确
②合情推理发现结推理
（3）分类：合情推理．
（4）纳推理类推理定义特征步骤
名称
纳推理
类推理
定义
根某类事物部分象具某特征推出该类事物全部象具特征推理者事实概括出般结推理做纳推理
两类象具某类似特征中类象某已知特征推出类象具特征推理做类推理
特征
部分整体般推理
特殊特殊推理
步骤
①通观察部分象发现某相性质
②已知明确表达般性命题（猜想）中推出相似性致性
①找出两类事物间相性质
②类事物性质推测类事物性质出明确命题(猜想)
3．演绎推理
（1）定义：般性原理出发推出某特殊情况结种推理称演绎推理简言演绎推理般特殊推理．
（2）特点：
①演绎推理前提前提推理形式正确时结定正确前提前提推理形式三者中错误结错误
②演绎推理证明结推理．
（3）模式：三段演绎推理般模式
①前提——已知般原理
②前提——研究特殊情况
③结——根般原理特殊情况作出判断
注三段常格式：
前提：MP
前提：SM
结：SP
二证明
1．直接证明——综合法分析法
（1）综合法
①定义：利已知条件某数学定义定理公理等系列推理证推导出证明结成立种证明方法做综合法．
②框图表示：(中P表示已知条件已定义定理公理等Q表示证结)
③思维程：导果．
（2）分析法
①定义：证明结出发逐步寻求成立充分条件直证明结结判定明显成立条件(已知条件定理定义公理等)止种证明方法做分析法．
②框图表示：(中P表示证明结)
③思维程：执果索．
2．间接证明——反证法
（1）定义：般假设原命题成立(原命题条件结成立)正确推理出矛盾说明假设错误证明原命题成立样证明方法做反证法
（2）反证法中矛盾指方面：
①已知条件矛盾
②假设矛盾
③定义公理定理矛盾
④公认简单事实矛盾
⑤相矛盾．
三数学纳法
（1）概念：般证明正整数n关命题列步骤进行：
①(纳奠基)证明n取第值时命题成立
②(纳递推)假设时命题成立证明时命题成立
完成两步骤断定命题开始正整数n成立
述证明方法做数学纳法
（2）框图表示：
（3）数学纳法证明关键两步骤做递推基础少纳假设结写明莫忘掉．必须注意两点：
①验证基础
数学纳法原理表明：第步骤找数n0数n0证明命题象然数然数定1找准起点奠基稳正确运数学纳法第注意问题．
②递推关键
数学纳法实质递推kk+1程中必须纳假设nk作条件导出nk+1时命题成立推导程中纳假设次次．
考 合情推理
常见类纳推理求解策略：
（1）进行类推理时仅注意形式类注意方法类注意两点：
①找两类象应元素：三角形应三棱锥圆应球面积应体积等等
②找应元素应关系：两条边(直线)垂直应线面垂直面面垂直边相等应面积相等．
（2）纳推理部分整体特殊般推理纳推理结定正确通常纳体数目越越具代表性推广般性命题会越种发现般性规律重方法
典例1 难证明：边长面积正三角形切圆半径类空间正四面体面面积体积切球半径_____________．
答案
解析题意．
方法类正四面体设正四面体切球半径
∴切球半径．
答案
名师点睛类推理应类型相应方法
(1)类定义：求解某种熟悉定义产生类推理型试题时助原定义求解
(2)类性质：特殊式子性质特殊图形性质入手提出类推理型问题求解时认真分析两者间联系区深入思考两者转化程求解关键
(3)类方法：处理问题方法具类性种方法类应问题求解中注意知识迁移．
典例2 奇数组成数阵排列：
1 3 7 13 21 …
5 9 15 23 … …
11 17 25 … … …
19 27 … … … …
29 … … … … …
… … … … … …
第30行左右第3数________．
答案1051
解析先求第30行第1数求第30行第3数．观察行第数纳推理第30行第1数
第n行左右第2数第1数2n第3数第2数2n+2
第30行左右第2数第1数60第3数第2数62
第30行左右第3数929+60+62 1051
技巧点拨解决类数阵问题时通常利纳推理步骤：
①明确行列数排列序
②分纳行列中数规律
③纳出规律写出第n行第m数解决类问题般需转化求数列通项公式前n项等
1．设三边长分abc面积S切圆半径r类结知四面体S−ABC四面面积分S1S2S3S4切球半径R四面体S−ABC体积VR等
A． B．
C． D．
2．棱长相等正方体图示形状摆放次第1层第2层…… 第20层正方体数
A．420 B．440
C．210 D．220
考二 演绎推理
（1）演绎推理般特殊推理般形式三段应三段解决问题时应首先明确什前提前提果前提显然省略
（2）演绎推理结否正确取决该推理前提前提推理形式否全部正确分析推理中错实质判断前提前提推理形式否正确
典例3 段三段推理样：导函数果函数极值点．处导数值函数极值点．推理中
A．前提错误 B．前提错误
C．推理形式错误 D．结正确
答案A
解析导函数果定函数极值点前提错误
选A．
典例4 甲乙丙三中教师记者医生已知：丙年龄医生甲年龄记者记者年龄乙根情况列判断正确
A．甲教师乙医生丙记者 B．甲医生乙记者丙教师
C．甲医生乙教师丙记者 D．甲记者乙医生丙教师
答案C
解析甲年龄记者记者年龄乙推丙记者丙年龄医生知甲医生乙教师
选C
3．段演绎推理：数函数增函数已知数函数增函数结显然错误
A．前提错误 B．前提错误
C．推理形式错误 D．非错误
4．甲乙丙丁四位歌手参加赛中位获奖．走访四位歌手甲说：乙丙获奖乙说：甲丙未获奖丙说：获奖丁说：乙获奖四位歌手话两句获奖歌手 ．
考三 直接证明
利综合法分析法证明问题策略：
（1）综合法证明步骤：
①分析条件选择方：确定已知条件结间联系合理选择相关定义定理等
②转化条件组织程：条件合理转化书写出严密证明程特根题目特点选取合适证法简化解题程
（2）分析法证明程：确定结已知条件间联系合理选择相关定义定理结进行转化直获显易见命题
（3）实际解题时分析法思考问题寻找解题途径综合法书写解题程者联合分析法综合法欲知想已知(分析)已知推知(综合)双齐两面夹击找沟通已知条件结途径
典例5 已知求证：
答案见解析
解析证
述等式显然成立原等式成立． 网
名师点睛①逆思考分析法证明思想通反推逐步寻找结成立充分条件．正确握转化方问题利获解关键．
②证明较复杂问题时采两头凑办法通分析法找出某结等价(充分)中间结然通综合法证明中间结原命题证
5．（1）设综合法证明：
（2）分析法证明：
考四 间接证明
1．反证法证明等式握三点
（1）必须先否定结肯定结反面．
（2）必须否定结进行推理应结反面作条件必须条件进行推证
（3）推导出矛盾种样已知矛盾假设矛盾已知事实矛盾等推导出矛盾必须明显
2．反证法般步骤
反证法证明命题时否定结开始正确推理导出逻辑矛盾达新否定(肯定原命题)程程包括面三步骤：
（1）反设——假设命题结成立假设原结反面真
（2）谬——反设作条件系列正确推理出矛盾
（3）存真——矛盾结果断定反设错误肯定原结成立
反证法证明程概括：反设——谬——存真
典例6 反证法证明某命题时结然数abc中恰偶数正确反设
A．然数abc中少两偶数
B．然数abc中少两偶数奇数
C．然数abc奇数
D．然数abc偶数
答案B
解析恰偶数反面应少两偶数奇数选B
名师点睛反证法证明含少型命题时减少讨情况目标明确否定结时需弄清楚结否定什避免出现错误需注意少否定没否定少两
典例7 abc均实数求证：abc中少0
答案见解析
解析设abc等0a≤0b≤0c≤0
∴a＋b＋c≤0
a＋b＋c＝（x2－2x）＋（y2－4y）＋（z2－2z）＋＝（x－1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋－6>0
假设矛盾原命题成立
名师点睛反证法假设等0推出值0出现矛盾假设正确命题证反证法适范围：
（1）否定性命题
（2）结涉少限唯等词语命题
（3）命题成立非常明显直接证明理较少容易证明逆否命题非常容易证明
（4）讨情况复杂反面情况较少．
6．设公q等数列．
（1）推导前n项公式
（2）设q≠1证明：数列等数列．
考五 数学纳法
应数学纳法常见策略：
（1）应数学纳法证明等式关键先项弄清等式两边构成规律nknk＋1时等式两边变化项．
（2）应数学纳法证明等式关键nk成立证nk＋1时成立．纳假设应较法综合法分析法放缩法等加证明充分应等式性质放缩技巧．
（3）应数学纳法解决纳—猜想—证明完全纳数学纳法综合应关键先合情推理发现结然证明结正确性
典例8 数学纳法证明+++>时kk+1等式左边变化
A．增加项
B．增加两项
C．增加两项时减少项
D．结
答案C
解析nk时左边+++
nk+1时左边
nk变成nk+1时等式左边变化+－
7．已知数列前n项．
（1）计算
（2）猜想表达式数学纳法证明结．
1．①安梦怡高三（21）班学生②安梦怡独生子女③高三（21）班学生独生子女写三段形式推理前提前提结分
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
2．反证法证明命题全反设正确
A．少 B．少
C．全 D．中
3．段演绎推理样：直线行面行面直线已知直线面直线面直线∥面直线∥直线结显然错误
A．前提错误 B．前提错误
C．推理形式错误 D．非错误
4．数列等差数列数列（）等差数列类性质知正项数列等数列等数列表达式应
A． B．
C． D．
5．奇数列13579…现进行分组：第1组第2组第3组…试观察组数该组编号数n关系
A． B．
C． D．
6．袋子里编号五球某位教师袋中取两球．教师取两球编号告诉甲积告诉乙甲乙分推断两球编号．
甲说：法确定
乙说：法确定
甲听完乙回答甲说：确定
根信息推断出抽取两球中
A．定3号球 B．定没3号球
C．5号球 D．6号球
7．国古代数学名著九章算术割圆术中：割弥细失弥少割割割圆周合体失矣体现种限限转化程表达式中代表限次重复原式定值通方程求类似述程
A． B．3
C．6 D．
8．图第1图形正三角形扩展成12顶点第n图形正n+2边形扩展第n图形顶点数
A．(2n+1)(2n+2) B．3(2n+2)
C．2n(5n+1) D．(n+2)(n+3)
9．次连环交通事中需负责警察询问时甲说：责乙乙说：丙应负责丙说甲说丁说：反正没责四中说真话该事中需负责
A．丁 B．乙
C．丙 D．甲
10．图美丽勾股树分直角三角形边外作正方形图二第1代勾股树重复图二作法图三第2代勾股树类推已知正方形面积1第代勾股树正方形面积
A． B．
C． D．
11．数学纳法证明时应时应等式左边加
A． B．
C． D．
12．出列等式：
……
等式推出般结：
__________________．
13．已知函数
（1）分析法证明：
（2）证明：
14．设数列{an}满足a1
（1）证明：数列等数列求数列{an}通项公式
（2）设cn(3n+1)an证明：数列{cn}中意三项构成等差数列
15．已知数列{an}项均正数e然数底数．
（1）求函数f (x)1＋x−ex单调区间较e
（2）计算推测计算公式出证明
1．(2017年高考新课标II卷)甲乙丙丁四位学起老师询问成语竞赛成绩．老师说：四中2位优秀2位良现甲乙丙成绩乙丙成绩丁甲成绩．甲家说：知道成绩．根信息
A．乙知道四成绩 B．丁知道四成绩
C．乙丁知道方成绩 D．乙丁知道成绩
2．（2017年高考北京卷）袋中装偶数球中红球黑球占半甲乙丙三空盒次袋中意取出两球中球放入甲盒果球红球球放入乙盒否放入丙盒重复述程直袋中球放入盒中
A．乙盒中黑球丙盒中黑球 B．乙盒中红球丙盒中黑球样
C．乙盒中红球丙盒中红球 D．乙盒中黑球丙盒中红球样
3．(2016年高考新课标II卷)三张卡片分写121323甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字
4．(2015年高考山东卷)观察列式：
……
规律时
5．(2015年高考湖南卷)设a>0b>0证明：
（1）
（2）时成立
变式拓展
1．答案C
规律总结类推理般模式：A类事物具性质abcdB类事物具性质a′b′c′(abc分a′b′c′相似相)B类事物具性质d′(dd′相似相)
2．答案C
解析观察第1层正方体数1第2层正方体数3第1层2
第3层正方体数6第2层3…
层层数次2 3 4 5…
第20层正方体数
选C
点睛观察相邻两层正方体数间关系找出规律利等差数列求公式求解纳推理般步骤
通观察情况发现某相性质
二已知相性质中推出明确表述般性命题(猜想）
常见纳推理分数纳形纳两类：
(1)数纳包括数纳式子纳解决类问题时需细心观察寻求相邻项项序号间关系时联系相关知识等差数列等数列等
(2)形纳包括图形数目纳图形变化规律纳 学……
3．答案A
名师点睛题考查三段定义数函数单调性意考查综合应学知识解答问题力属简单题范围确定数函数增函数前提错误
4．答案丙
解析甲获奖歌手四句全假话合题意
乙获奖歌手甲乙丁真话丙说假话合题意
丁获奖歌手甲丁丙说假话乙说真话合题意
丙获奖歌手时甲丙说真话乙丁说假话符合题意
答案丙
5．答案（1）详见解析（2）详见解析
解析（1）
（2）证
需证
证
需证
显然成立
原等式证
名师点睛题考查证明方法中综合法分析法属中档题分析法证明问题时注意证明格式结出发寻求结成立条件
（1）根题目采作差法求证
（2）分析法采方方法证明
6．答案（1）（2）见解析
∵a1≠0
∴
∵q≠0
∴
∴q1已知矛盾．
∴假设成立等数列． 学
7．答案（1）（2）见解析
名师点睛题考查数学纳法数学纳法常常证明数列然数集N相关性质步骤：设P（n）关然数n命题先验证P（n）n1时成立然P（k）（k意然数）成立假设推出P（k+1）成立P（n）切然数n成立
（1）n1次代入Snan关系式求出a1a2a3a4
（2）a1a2a3a4值n关系纳推理出数列通项公式采数学纳法证明
考点关
1．答案B
解析高三（21）班学生独生子女安梦怡高三（21）班学生安梦怡独生子女
选B
名师点睛三段般模式结三段演绎推理般模式：
（1）前提——已知般原理
（2）前提——研究特殊情况
（3）结——根般原理特殊情况作出判断
2．答案A
解析反证法定义：证明命题全反设少
题选择A选项
3．答案A
名师点睛（1）纳推理演绎推理会出现错误原合情推理性质决定演绎推理出现错误三种种前提错误第二种前提错误第三种逻辑结构错误．
（2）三段推理证明中果命题错误前提错误前提错误逻辑错误仔细分析直线行面行面直线已知直线面直线面直线∥面直线∥直线推理程难结．
4．答案D
解析数列等差数列等差数列正项数列等数列设首项公 等数列
选D
5．答案B
解析题意第组数字第二组数字
第三组数字次类推规律纳第组数字
选B
名师点睛题考查纳推理合情推理包括纳推理类推理数学研究中新结前合情推理帮助猜测发现结证明数学结前合情推理常常证明提供思路方合情推理仅合情理推理结定正确演绎推理结定正确(前提推理形式正确前提)题意第组数字第二组数字第三组数字观察规律纳第组数字组编号数间关系
6．答案D
名师点睛题道通俗易懂合情推理题目考查学逻辑思维力推理力问题难度认真审题关键 学#
7．答案A
解析已知代数式求值方法：先换元列方程解方程求解（舍负根）求式子令两边方解（舍）
选A
8．答案D
解析已知中图形：
时顶点（）
时顶点（）
时顶点（）
时顶点（）
…
推断：第图形顶点
选D
名师点睛题考查知识点纳推理解答关键：先通观察情况发现某相性质然已知相性质中推出明确表达般性命题猜想．已知图形中列出顶点数边形边数然分析中变化规律然纳推理推断出般性结
9．答案D
名师点睛题考查命题真假判断实际问题背景考查逻辑推理属中档题解题时正确反证法解决问题关键利反证法推导出丁说真话甲乙丙三说均假话进答案
10．答案D
解析正方形面积1n1时勾股定理知正方形面积2次类推正方形面积
选D
11．答案A
解析nk 时左边
nk+1时左边
左边增加项
选A
12．答案
解析已知中等式：
名师点睛题考查知识点纳推理纳推理般步骤：
（1）通观察情况发现某相性质 网
（2）已知相性质中推出明确表达般性命题（猜想）．
已知中三式子分析等式左边累加项变化趋势纳出通项分析等式右边式子发现式均两项差形式减数均1减数结．
13．答案（1）见解析（2）见解析
解析（1）
证
需证
需证
需证
恒成立
成立
（2）仅时取等号
（1）
思路点拨（1）证原等式成立先函数表达式代入原等式两边显然成立结证原等式成立
（2）利（1）结（1）右边二次函数配方求出值证
14．答案（1）证明见解析（2）见解析
∴
（2）（1）cn(3n+1)an3n−1
（反证法）假设存正整数lmn1≤l2(3m−1)3l+3n−22·3m3l+3n
2·3m−l1+3n−l2·3m−l−3n−l1
3m−l·[2−3n−l−(m−l)]13m−l·(2−3n−m)1
∵
∴．
∴
∴
∴矛盾
假设成立
数列{cn}中意三项构成等差数列
名师点睛题考查等数列等差数列性质应涉反证法运注意反证法分析属难题
（1）根题意构造两式相等数列定义分析答案
（2）反证法分析：假设存正整数成等差数列等差数列定义变形分析矛盾证明．
15．答案（1）f (x)单调递增区间(−∞0)单调递减区间(0＋∞)解析（1）定义域(−∞＋∞)f ′(x)1−ex
f ′(x)>0x<0时单调递增f ′(x)<0x>0时f (x)单调递减．
单调递增区间(−∞0)单调递减区间(0＋∞)．
直通高考
1．答案D
解析甲说法知乙丙优秀良甲丁两优秀良乙丙成绩知道成绩丁甲成绩知道成绩乙丁知道成绩．
选D．
名师点睛合情推理包括纳推理类推理．数学研究中新结前合情推理帮助猜测发现结证明数学结前合情推理常常证明提供思路方．合情推理仅合情理推理结定正确．演绎推理结定正确(前提推理形式正确前提)．
2．答案B
解析乙盒中放入红球须保证抽两均红球乙盒中放入黑球须保证抽两球红黑红球放入甲盒丙盒中放入红球须保证抽两球红黑：黑球放入甲盒丙盒中放入黑球须保证抽两球黑球抽两红球次数抽两黑球次数应相等乙盒中红球丙盒中黑球样
选B
3．答案13
解析题意分析知甲卡片数字13乙卡片数字23丙卡片数字12
名师点睛逻辑推理演绎推理般性前提出发通推导演绎出具体陈述结程 学
4．答案
5．答案（1）见解析（2）见解析
解析a>0b>0ab1
（1）基等式ab1a+b≥22仅ab1时等号成立
（2）假设时成立
名师点睛题考查基等式反证法结合转化思想证明等式意考查考生基等式掌握反证法应
（1）构造基等式求出代数式值直接证明等式成立
（2）直接证明较难假设两等式时成立利（1）结出矛盾假设成立
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（十八）推理证明
1．合情推理演绎推理
（1）解合情推理含义利纳类等进行简单推理解合情推理数学发现中作
（2）解演绎推理重性掌握演绎推理基模式运进行简单推理
（3）解合情推理演绎推理间联系差异
2．直接证明间接证明
（1）解直接证明两种基方法——分析法综合法解分析法综合法思考程特点
（2）解间接证明种基方法——反证法解反证法思考程特点
3．数学纳法
解数学纳法原理数学纳法证明简单数学命题
推理
1．推理
（1）定义：根已知判断确定新判断思维程推理．推理般包含两部分：前提指已知事实(假设)二结已知判断推出新判断推理形式前提结
（2）分类：推理．
2．合情推理
（1）定义：根已事实观察分析较联想进行纳类然提出猜想推理做合情推理
（2）特点：
①合情推理结猜想定正确
②合情推理发现结推理
（3）分类：合情推理．
（4）纳推理类推理定义特征步骤
名称
纳推理
类推理
定义
根某类事物部分象具某特征推出该类事物全部象具特征推理者事实概括出般结推理做纳推理
两类象具某类似特征中类象某已知特征推出类象具特征推理做类推理
特征
部分整体般推理
特殊特殊推理
步骤
①通观察部分象发现某相性质
②已知明确表达般性命题（猜想）中推出相似性致性
①找出两类事物间相性质
②类事物性质推测类事物性质出明确命题(猜想)
3．演绎推理
（1）定义：般性原理出发推出某特殊情况结种推理称演绎推理简言演绎推理般特殊推理．
（2）特点：
①演绎推理前提前提推理形式正确时结定正确前提前提推理形式三者中错误结错误
②演绎推理证明结推理．
（3）模式：三段演绎推理般模式
①前提——已知般原理
②前提——研究特殊情况
③结——根般原理特殊情况作出判断
注三段常格式：
前提：MP
前提：SM
结：SP
二证明
1．直接证明——综合法分析法
（1）综合法
①定义：利已知条件某数学定义定理公理等系列推理证推导出证明结成立种证明方法做综合法．
②框图表示：(中P表示已知条件已定义定理公理等Q表示证结)
③思维程：导果．
（2）分析法
①定义：证明结出发逐步寻求成立充分条件直证明结结判定明显成立条件(已知条件定理定义公理等)止种证明方法做分析法．
②框图表示：(中P表示证明结)
③思维程：执果索．
2．间接证明——反证法
（1）定义：般假设原命题成立(原命题条件结成立)正确推理出矛盾说明假设错误证明原命题成立样证明方法做反证法
（2）反证法中矛盾指方面：
①已知条件矛盾
②假设矛盾
③定义公理定理矛盾
④公认简单事实矛盾
⑤相矛盾．
三数学纳法
（1）概念：般证明正整数n关命题列步骤进行：
①(纳奠基)证明n取第值时命题成立
②(纳递推)假设时命题成立证明时命题成立
完成两步骤断定命题开始正整数n成立
述证明方法做数学纳法
（2）框图表示：
（3）数学纳法证明关键两步骤做递推基础少纳假设结写明莫忘掉．必须注意两点：
①验证基础
数学纳法原理表明：第步骤找数n0数n0证明命题象然数然数定1找准起点奠基稳正确运数学纳法第注意问题．
②递推关键
数学纳法实质递推kk+1程中必须纳假设nk作条件导出nk+1时命题成立推导程中纳假设次次．
考 合情推理
常见类纳推理求解策略：
（1）进行类推理时仅注意形式类注意方法类注意两点：
①找两类象应元素：三角形应三棱锥圆应球面积应体积等等
②找应元素应关系：两条边(直线)垂直应线面垂直面面垂直边相等应面积相等．
（2）纳推理部分整体特殊般推理纳推理结定正确通常纳体数目越越具代表性推广般性命题会越种发现般性规律重方法
典例1 难证明：边长面积正三角形切圆半径类空间正四面体面面积体积切球半径_____________．
答案
解析题意．
方法类正四面体设正四面体切球半径
∴切球半径．
答案
名师点睛类推理应类型相应方法
(1)类定义：求解某种熟悉定义产生类推理型试题时助原定义求解
(2)类性质：特殊式子性质特殊图形性质入手提出类推理型问题求解时认真分析两者间联系区深入思考两者转化程求解关键
(3)类方法：处理问题方法具类性种方法类应问题求解中注意知识迁移．
典例2 奇数组成数阵排列：
1 3 7 13 21 …
5 9 15 23 … …
11 17 25 … … …
19 27 … … … …
29 … … … … …
… … … … … …
第30行左右第3数________．
答案1051
解析先求第30行第1数求第30行第3数．观察行第数纳推理第30行第1数
第n行左右第2数第1数2n第3数第2数2n+2
第30行左右第2数第1数60第3数第2数62
第30行左右第3数929+60+62 1051
技巧点拨解决类数阵问题时通常利纳推理步骤：
①明确行列数排列序
②分纳行列中数规律
③纳出规律写出第n行第m数解决类问题般需转化求数列通项公式前n项等
1．设三边长分abc面积S切圆半径r类结知四面体S−ABC四面面积分S1S2S3S4切球半径R四面体S−ABC体积VR等
A． B．
C． D．
2．棱长相等正方体图示形状摆放次第1层第2层…… 第20层正方体数
A．420 B．440
C．210 D．220
考二 演绎推理
（1）演绎推理般特殊推理般形式三段应三段解决问题时应首先明确什前提前提果前提显然省略
（2）演绎推理结否正确取决该推理前提前提推理形式否全部正确分析推理中错实质判断前提前提推理形式否正确
典例3 段三段推理样：导函数果函数极值点．处导数值函数极值点．推理中
A．前提错误 B．前提错误
C．推理形式错误 D．结正确
答案A
解析导函数果定函数极值点前提错误
选A．
典例4 甲乙丙三中教师记者医生已知：丙年龄医生甲年龄记者记者年龄乙根情况列判断正确
A．甲教师乙医生丙记者 B．甲医生乙记者丙教师
C．甲医生乙教师丙记者 D．甲记者乙医生丙教师
答案C
解析甲年龄记者记者年龄乙推丙记者丙年龄医生知甲医生乙教师
选C
3．段演绎推理：数函数增函数已知数函数增函数结显然错误
A．前提错误 B．前提错误
C．推理形式错误 D．非错误
4．甲乙丙丁四位歌手参加赛中位获奖．走访四位歌手甲说：乙丙获奖乙说：甲丙未获奖丙说：获奖丁说：乙获奖四位歌手话两句获奖歌手 ．
考三 直接证明
利综合法分析法证明问题策略：
（1）综合法证明步骤：
①分析条件选择方：确定已知条件结间联系合理选择相关定义定理等
②转化条件组织程：条件合理转化书写出严密证明程特根题目特点选取合适证法简化解题程
（2）分析法证明程：确定结已知条件间联系合理选择相关定义定理结进行转化直获显易见命题
（3）实际解题时分析法思考问题寻找解题途径综合法书写解题程者联合分析法综合法欲知想已知(分析)已知推知(综合)双齐两面夹击找沟通已知条件结途径
典例5 已知求证：
答案见解析
解析证
述等式显然成立原等式成立． 网
名师点睛①逆思考分析法证明思想通反推逐步寻找结成立充分条件．正确握转化方问题利获解关键．
②证明较复杂问题时采两头凑办法通分析法找出某结等价(充分)中间结然通综合法证明中间结原命题证
5．（1）设综合法证明：
（2）分析法证明：
考四 间接证明
1．反证法证明等式握三点
（1）必须先否定结肯定结反面．
（2）必须否定结进行推理应结反面作条件必须条件进行推证
（3）推导出矛盾种样已知矛盾假设矛盾已知事实矛盾等推导出矛盾必须明显
2．反证法般步骤
反证法证明命题时否定结开始正确推理导出逻辑矛盾达新否定(肯定原命题)程程包括面三步骤：
（1）反设——假设命题结成立假设原结反面真
（2）谬——反设作条件系列正确推理出矛盾
（3）存真——矛盾结果断定反设错误肯定原结成立
反证法证明程概括：反设——谬——存真
典例6 反证法证明某命题时结然数abc中恰偶数正确反设
A．然数abc中少两偶数
B．然数abc中少两偶数奇数
C．然数abc奇数
D．然数abc偶数
答案B
解析恰偶数反面应少两偶数奇数选B
名师点睛反证法证明含少型命题时减少讨情况目标明确否定结时需弄清楚结否定什避免出现错误需注意少否定没否定少两
典例7 abc均实数求证：abc中少0
答案见解析
解析设abc等0a≤0b≤0c≤0
∴a＋b＋c≤0
a＋b＋c＝（x2－2x）＋（y2－4y）＋（z2－2z）＋＝（x－1）2＋（y－2）2＋（z－1）2＋－6>0
假设矛盾原命题成立
名师点睛反证法假设等0推出值0出现矛盾假设正确命题证反证法适范围：
（1）否定性命题
（2）结涉少限唯等词语命题
（3）命题成立非常明显直接证明理较少容易证明逆否命题非常容易证明
（4）讨情况复杂反面情况较少．
6．设公q等数列．
（1）推导前n项公式
（2）设q≠1证明：数列等数列．
考五 数学纳法
应数学纳法常见策略：
（1）应数学纳法证明等式关键先项弄清等式两边构成规律nknk＋1时等式两边变化项．
（2）应数学纳法证明等式关键nk成立证nk＋1时成立．纳假设应较法综合法分析法放缩法等加证明充分应等式性质放缩技巧．
（3）应数学纳法解决纳—猜想—证明完全纳数学纳法综合应关键先合情推理发现结然证明结正确性
典例8 数学纳法证明+++>时kk+1等式左边变化
A．增加项
B．增加两项
C．增加两项时减少项
D．结
答案C
解析nk时左边+++
nk+1时左边
nk变成nk+1时等式左边变化+－
7．已知数列前n项．
（1）计算
（2）猜想表达式数学纳法证明结．
1．①安梦怡高三（21）班学生②安梦怡独生子女③高三（21）班学生独生子女写三段形式推理前提前提结分
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
2．反证法证明命题全反设正确
A．少 B．少
C．全 D．中
3．段演绎推理样：直线行面行面直线已知直线面直线面直线∥面直线∥直线结显然错误
A．前提错误 B．前提错误
C．推理形式错误 D．非错误
4．数列等差数列数列（）等差数列类性质知正项数列等数列等数列表达式应
A． B．
C． D．
5．奇数列13579…现进行分组：第1组第2组第3组…试观察组数该组编号数n关系
A． B．
C． D．
6．袋子里编号五球某位教师袋中取两球．教师取两球编号告诉甲积告诉乙甲乙分推断两球编号．
甲说：法确定
乙说：法确定
甲听完乙回答甲说：确定
根信息推断出抽取两球中
A．定3号球 B．定没3号球
C．5号球 D．6号球
7．国古代数学名著九章算术割圆术中：割弥细失弥少割割割圆周合体失矣体现种限限转化程表达式中代表限次重复原式定值通方程求类似述程
A． B．3
C．6 D．
8．图第1图形正三角形扩展成12顶点第n图形正n+2边形扩展第n图形顶点数
A．(2n+1)(2n+2) B．3(2n+2)
C．2n(5n+1) D．(n+2)(n+3)
9．次连环交通事中需负责警察询问时甲说：责乙乙说：丙应负责丙说甲说丁说：反正没责四中说真话该事中需负责
A．丁 B．乙
C．丙 D．甲
10．图美丽勾股树分直角三角形边外作正方形图二第1代勾股树重复图二作法图三第2代勾股树类推已知正方形面积1第代勾股树正方形面积
A． B．
C． D．
11．数学纳法证明时应时应等式左边加
A． B．
C． D．
12．出列等式：
……
等式推出般结：
__________________．
13．已知函数
（1）分析法证明：
（2）证明：
14．设数列{an}满足a1
（1）证明：数列等数列求数列{an}通项公式
（2）设cn(3n+1)an证明：数列{cn}中意三项构成等差数列
15．已知数列{an}项均正数e然数底数．
（1）求函数f (x)1＋x−ex单调区间较e
（2）计算推测计算公式出证明
1．(2017年高考新课标II卷)甲乙丙丁四位学起老师询问成语竞赛成绩．老师说：四中2位优秀2位良现甲乙丙成绩乙丙成绩丁甲成绩．甲家说：知道成绩．根信息
A．乙知道四成绩 B．丁知道四成绩
C．乙丁知道方成绩 D．乙丁知道成绩
2．（2017年高考北京卷）袋中装偶数球中红球黑球占半甲乙丙三空盒次袋中意取出两球中球放入甲盒果球红球球放入乙盒否放入丙盒重复述程直袋中球放入盒中
A．乙盒中黑球丙盒中黑球 B．乙盒中红球丙盒中黑球样
C．乙盒中红球丙盒中红球 D．乙盒中黑球丙盒中红球样
3．(2016年高考新课标II卷)三张卡片分写121323甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字
4．(2015年高考山东卷)观察列式：
……
规律时
5．(2015年高考湖南卷)设a>0b>0证明：
（1）
（2）时成立
变式拓展
1．答案C
规律总结类推理般模式：A类事物具性质abcdB类事物具性质a′b′c′(abc分a′b′c′相似相)B类事物具性质d′(dd′相似相)
2．答案C
解析观察第1层正方体数1第2层正方体数3第1层2
第3层正方体数6第2层3…
层层数次2 3 4 5…
第20层正方体数
选C
点睛观察相邻两层正方体数间关系找出规律利等差数列求公式求解纳推理般步骤
通观察情况发现某相性质
二已知相性质中推出明确表述般性命题(猜想）
常见纳推理分数纳形纳两类：
(1)数纳包括数纳式子纳解决类问题时需细心观察寻求相邻项项序号间关系时联系相关知识等差数列等数列等
(2)形纳包括图形数目纳图形变化规律纳 学……
3．答案A
名师点睛题考查三段定义数函数单调性意考查综合应学知识解答问题力属简单题范围确定数函数增函数前提错误
4．答案丙
解析甲获奖歌手四句全假话合题意
乙获奖歌手甲乙丁真话丙说假话合题意
丁获奖歌手甲丁丙说假话乙说真话合题意
丙获奖歌手时甲丙说真话乙丁说假话符合题意
答案丙
5．答案（1）详见解析（2）详见解析
解析（1）
（2）证
需证
证
需证
显然成立
原等式证
名师点睛题考查证明方法中综合法分析法属中档题分析法证明问题时注意证明格式结出发寻求结成立条件
（1）根题目采作差法求证
（2）分析法采方方法证明
6．答案（1）（2）见解析
∵a1≠0
∴
∵q≠0
∴
∴q1已知矛盾．
∴假设成立等数列． 学
7．答案（1）（2）见解析
名师点睛题考查数学纳法数学纳法常常证明数列然数集N相关性质步骤：设P（n）关然数n命题先验证P（n）n1时成立然P（k）（k意然数）成立假设推出P（k+1）成立P（n）切然数n成立
（1）n1次代入Snan关系式求出a1a2a3a4
（2）a1a2a3a4值n关系纳推理出数列通项公式采数学纳法证明
考点关
1．答案B
解析高三（21）班学生独生子女安梦怡高三（21）班学生安梦怡独生子女
选B
名师点睛三段般模式结三段演绎推理般模式：
（1）前提——已知般原理
（2）前提——研究特殊情况
（3）结——根般原理特殊情况作出判断
2．答案A
解析反证法定义：证明命题全反设少
题选择A选项
3．答案A
名师点睛（1）纳推理演绎推理会出现错误原合情推理性质决定演绎推理出现错误三种种前提错误第二种前提错误第三种逻辑结构错误．
（2）三段推理证明中果命题错误前提错误前提错误逻辑错误仔细分析直线行面行面直线已知直线面直线面直线∥面直线∥直线推理程难结．
4．答案D
解析数列等差数列等差数列正项数列等数列设首项公 等数列
选D
5．答案B
解析题意第组数字第二组数字
第三组数字次类推规律纳第组数字
选B
名师点睛题考查纳推理合情推理包括纳推理类推理数学研究中新结前合情推理帮助猜测发现结证明数学结前合情推理常常证明提供思路方合情推理仅合情理推理结定正确演绎推理结定正确(前提推理形式正确前提)题意第组数字第二组数字第三组数字观察规律纳第组数字组编号数间关系
6．答案D
名师点睛题道通俗易懂合情推理题目考查学逻辑思维力推理力问题难度认真审题关键 学#
7．答案A
解析已知代数式求值方法：先换元列方程解方程求解（舍负根）求式子令两边方解（舍）
选A
8．答案D
解析已知中图形：
时顶点（）
时顶点（）
时顶点（）
时顶点（）
…
推断：第图形顶点
选D
名师点睛题考查知识点纳推理解答关键：先通观察情况发现某相性质然已知相性质中推出明确表达般性命题猜想．已知图形中列出顶点数边形边数然分析中变化规律然纳推理推断出般性结
9．答案D
名师点睛题考查命题真假判断实际问题背景考查逻辑推理属中档题解题时正确反证法解决问题关键利反证法推导出丁说真话甲乙丙三说均假话进答案
10．答案D
解析正方形面积1n1时勾股定理知正方形面积2次类推正方形面积
选D
11．答案A
解析nk 时左边
nk+1时左边
左边增加项
选A
12．答案
解析已知中等式：
名师点睛题考查知识点纳推理纳推理般步骤：
（1）通观察情况发现某相性质 网
（2）已知相性质中推出明确表达般性命题（猜想）．
已知中三式子分析等式左边累加项变化趋势纳出通项分析等式右边式子发现式均两项差形式减数均1减数结．
13．答案（1）见解析（2）见解析
解析（1）
证
需证
需证
需证
恒成立
成立
（2）仅时取等号
（1）
思路点拨（1）证原等式成立先函数表达式代入原等式两边显然成立结证原等式成立
（2）利（1）结（1）右边二次函数配方求出值证
14．答案（1）证明见解析（2）见解析
∴
（2）（1）cn(3n+1)an3n−1
（反证法）假设存正整数lmn1≤l
2·3m−l1+3n−l2·3m−l−3n−l1
3m−l·[2−3n−l−(m−l)]13m−l·(2−3n−m)1
∵
∴．
∴
∴
∴矛盾
假设成立
数列{cn}中意三项构成等差数列
名师点睛题考查等数列等差数列性质应涉反证法运注意反证法分析属难题
（1）根题意构造两式相等数列定义分析答案
（2）反证法分析：假设存正整数成等差数列等差数列定义变形分析矛盾证明．
15．答案（1）f (x)单调递增区间(−∞0)单调递减区间(0＋∞)
f ′(x)>0x<0时单调递增f ′(x)<0x>0时f (x)单调递减．
单调递增区间(−∞0)单调递减区间(0＋∞)．
直通高考
1．答案D
解析甲说法知乙丙优秀良甲丁两优秀良乙丙成绩知道成绩丁甲成绩知道成绩乙丁知道成绩．
选D．
名师点睛合情推理包括纳推理类推理．数学研究中新结前合情推理帮助猜测发现结证明数学结前合情推理常常证明提供思路方．合情推理仅合情理推理结定正确．演绎推理结定正确(前提推理形式正确前提)．
2．答案B
解析乙盒中放入红球须保证抽两均红球乙盒中放入黑球须保证抽两球红黑红球放入甲盒丙盒中放入红球须保证抽两球红黑：黑球放入甲盒丙盒中放入黑球须保证抽两球黑球抽两红球次数抽两黑球次数应相等乙盒中红球丙盒中黑球样
选B
3．答案13
解析题意分析知甲卡片数字13乙卡片数字23丙卡片数字12
名师点睛逻辑推理演绎推理般性前提出发通推导演绎出具体陈述结程 学
4．答案
5．答案（1）见解析（2）见解析
解析a>0b>0ab1
（1）基等式ab1a+b≥22仅ab1时等号成立
（2）假设时成立
名师点睛题考查基等式反证法结合转化思想证明等式意考查考生基等式掌握反证法应
（1）构造基等式求出代数式值直接证明等式成立
（2）直接证明较难假设两等式时成立利（1）结出矛盾假设成立
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