2008年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）
理科数学
第Ⅰ卷（60分）
参考公式：
球表面积公式：S＝4πr2中R球半径
果事件A次试验中发生概率pn次独立重复试验中事件A恰发生k次概率：
Pn（k）＝Cpk(1p)nk（k＝012…n）
果事件AB互斥P（A+B）＝P（A）+P（B）
果事件AB相互独立P（AB）＝P（A）·P（B）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
（1）满足M｛a1 a2 a3 a4｝M∩｛a1 a2 a3｝{ a1·a2}集合M数
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
（2）设z轭复数z+4z·＝8等
（A）1 （B）i (C)±1 (D) ±i
（3）函数y＝lncosx(＜x＜图象
（4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜xa｜图象关直线x＝1称a值
(A) 3 (B)2 (C)1 (D)1
（5）已知cos（α）+sinα
（A） （B） (C) (D)
（6）右图体三视图根图中数该体表面积
(A)9π （B）10π
(C)11π (D)12π
（7）某奥运火炬传递活动中编号123…1818名火炬手中选3选出火炬手编号组成3公差等差数列概率
（A） （B）
（C） （D）
(8)右图根山东统计年整2007中资料作成1997年2006年省城镇居民百户家庭口数茎叶图图中左边数字左右分表示城镇居民百户家庭口数百位数字十位数字右边数字表示城镇居民百户家庭口数位数字图中1997年2006年省城镇居民百户家庭口数均数
（A）3046 （B）3036 (C)3026 (D)3016
（9）（x）12展开式中常数项
（A）1320 （B）1320 （C）220 (D)220
(10)设椭圆C1离心率焦点x轴长轴长26曲线C2点椭圆C1两焦点距离差绝值等8曲线C2标准方程
（A） (B)
(C) (D)
（11）已知圆方程x2+y26x8y＝0设该圆点（35）长弦短弦分ACBD四边形ABCD面积
（A）10 （B）20 （C）30 （D）40
（12）设二元次等式组表示面区域M函数y＝ax(a＞0a≠1)图象区域Ma取值范围
（A）[13] (B)[2] (C)[29] (D)[9]
第Ⅱ卷（90分）
二填空题：题4题题4分16分
（13）执行右边程序框图p＝08输出n＝ 4
（14）设函数f(x)ax2+c(a≠0)0≤x0≤1x0值
（15）已知abc△ABC三角ABC边量m＝（）n＝（cosAsinA）m⊥nacosB+bcosAcsinC角B＝
（16）等式｜3xb｜＜4解集中整数仅123b取值范围（57）
三解答题：题6题74分
（17）（题满分12分）
已知函数f(x)＝偶函数函数y＝f(x)图象两相邻称轴间距离
（Ⅰ）求f（）值
（Ⅱ）函数y＝f(x)图象右移单位图象点横坐标舒畅长原4倍坐标变函数y＝g(x)图象求g(x)单调递减区间
解：（Ⅰ）f(x)＝
＝
＝2sin()
f(x)偶函数
x∈Rf(x)f(x)恒成立
sin（）＝sin()
sincos()+cossin()sincos()+cossin()
整理 sincos()0 ＞0x∈R cos（）＝0
0＜＜π ＝ f(x)＝2sin(+)2cos
题意
f(x)2cos2x
（Ⅱ）f(x)图象右移单位图象图象横坐标伸长原4倍坐标变图象
2kπ≤≤2 kπ+ π (k∈Z)
4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时g(x)单调递减
g(x)单调递减区间 (k∈Z)
（18）（题满分12分）
甲乙两队参加奥运知识竞赛队3回答问题答者队赢分
答错零分假设甲队中答概率均乙队中3答概率分正确否相互间没影响ε表示甲队总分
（Ⅰ）求机变量ε分布列数学期
(Ⅱ)A表示甲乙两队总分等3事件B表示甲队总分乙队总分事件求P(AB)
(Ⅰ)解法：题意知ε取值0123
ε分布列
ε
0
1
2
3
P
ε数学期 Eε
解法二：根题设知
ε分布列
（Ⅱ）解法：C表示甲2分乙1分事件D表示甲3分乙0分事件ABC∪DCD互斥
互斥事件概率公式
解法二：Ak表示甲队k分事件Bk表示已队k分事件k0123事件A3B0A2B1互斥事件事
P(AB)P(A3B0∪A2B1)P(A3B0)+P(A2B1)
(19)(题满分12分)
数列｛an｝中项行行项规排成数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中第列数a1a2a4a7…构成数列｛bn｝b1a11 Sn数列｛bn｝前n项满足＝1（n≥2）
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列求数列｛bn｝通项公式
（Ⅱ）表中第三行起行中数左右序均构成等数列公正数时求表中第k(k≥3)行项
(Ⅰ)证明：已知
1 n1
n≥2
（Ⅱ）解：设表中第三行起行公qq＞0
表中第1行第12行含数列｛an｝前78项
a82表中第13行第三列
q2
记表中第k(k≥3)行项S
（k≥3）
(20)(题满分12分)
图已知四棱锥PABCD底面ABCD菱形PA⊥面ABCDEF分BC PC中点
（Ⅰ）证明：AE⊥PD
（Ⅱ）HPD动点EH面PAD成角正切值求二面角E—AF—C余弦值
（Ⅰ）证明：四边形ABCD菱形∠ABC60°△ABC正三角形
EBC中点AE⊥BC
BC∥ADAE⊥AD
PA⊥面ABCDAE面ABCDPA⊥AE
PA面PADAD面PAD PA∩ADA
AE⊥面PADPD面PAD
AE⊥PD
（Ⅱ）解：设AB2HPD意点连接AHEH
（Ⅰ）知 AE⊥面PAD
∠EHAEH面PAD成角
Rt△EAH中AE
AH短时∠EHA
AH⊥PD时∠EHA
时 tan∠EHA
AHAD2∠ADH45°
PA2
解法： PA⊥面ABCDPA面PAC
面PAC⊥面ABCD
E作EO⊥ACOEO⊥面PAC
O作OS⊥AFS连接ES∠ESO二面角EAFC面角
Rt△AOE中EOAE·sin30°AOAE·cos30°
FPC中点Rt△ASO中SOAO·sin45°
Rt△ESO中cos∠ESO
求二面角余弦值
解法二：（Ⅰ）知AEADAP两两垂直A坐标原点建立图示空间直角坐标系EF分BCPC中点
EF分BCPC中点
A（000）B（10）C（C10）
D（020）P（002）E（00）F（）
设面AEF法量
取
BD⊥ACBD⊥PAPA∩ACA
BD⊥面AFC
面AFC法量
（）
cos＜m ＞
二面角EAFC锐角
求二面角余弦值
（21）（题满分12分）
已知函数中n∈N*a常数
（Ⅰ）n2时求函数f(x)极值
（Ⅱ）a1时证明：意正整数nx≥2时f(x)≤x1
（Ⅰ）解：已知函数f(x)定义域{x|x＞1}
n2时
（1）a＞0时f(x)0
＞1＜1
时 f′（x）
x∈（1x1）时f′（x）＜0f(x)单调递减
x∈（x1+∞）时f′（x）＞0 f(x)单调递增
（2）a≤0时f′（x）＜0恒成立f(x)极值
综述n2时
a＞0时f(x)处取极值极值
a≤0时f(x)极值
（Ⅱ）证法：a1
n偶数时
令
g′（x）1+＞0（x≥2）
x∈[2+∞]时g(x)单调递增
g(2)0
≥g(2)0恒成立
f(x)≤x1成立
n奇数时
证≤x1＜0需证ln(x1) ≤x1
令 h(x)x1ln(x1)
h′（x）1≥0（x≥2）
x∈[2+∞]时单调递增h(2)1＞0
x≥2时恒h(x) ＞0ln（x1）＜x1命题成立
综述结成立
证法二：a1时
x≤2时意正整数n恒≤1
需证明1+ln(x1) ≤x1
令
x≥2时≥0h(x)单调递增
x≥2时h(x)≥h(2)01+ln(x1) ≤x1成立
x≥2时≤x1
f（x）≤x1
(22)(题满分14分)
图设抛物线方程x22py(p＞0)M 直线y2p意点M引抛物线切线切点分AB
（Ⅰ）求证：AMB三点横坐标成等差数列
（Ⅱ）已知M点坐标（22p）时求时抛物线方程
（Ⅲ）否存点M点C关直线AB称点D抛物线中点C满足（O坐标原点）存求出适合题意点M坐标存请说明理
（Ⅰ）证明：题意设
直线MA方程
直线MB方程
①
②
①②
AMB三点横坐标成等差数列
（Ⅱ）解：（Ⅰ）知x02时
代入①②整理：
x1x2方程两根
弦长公式
p1p2
求抛物线方程
（Ⅲ）解：设D(x3y3)题意C(x1+ x2 y1+ y2)
CD中点坐标
设直线AB方程
点Q直线AB注意点直线AB
代入
D（x3y3）抛物线
x30x32x0
D(00)
（1）x00时时点M(02p)适合题意
（2）D(00)时
AB⊥CD
矛盾
时直线CD行y轴
直线AB直线CD垂直题设矛盾
时存符合题意M点
综述仅存点M(02p)适合题意
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理科数学
第Ⅰ卷（60分）
参考公式：
球表面积公式：S＝4πr2中R球半径
果事件A次试验中发生概率pn次独立重复试验中事件A恰发生k次概率：
Pn（k）＝Cpk(1p)nk（k＝012…n）
果事件AB互斥P（A+B）＝P（A）+P（B）
果事件AB相互独立P（AB）＝P（A）·P（B）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
（1）满足M｛a1 a2 a3 a4｝M∩｛a1 a2 a3｝{ a1·a2}集合M数
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
（2）设z轭复数z+4z·＝8等
（A）1 （B）i (C)±1 (D) ±i
（3）函数y＝lncosx(＜x＜图象
（4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜xa｜图象关直线x＝1称a值
(A) 3 (B)2 (C)1 (D)1
（5）已知cos（α）+sinα
（A） （B） (C) (D)
（6）右图体三视图根图中数该体表面积
(A)9π （B）10π
(C)11π (D)12π
（7）某奥运火炬传递活动中编号123…1818名火炬手中选3选出火炬手编号组成3公差等差数列概率
（A） （B）
（C） （D）
(8)右图根山东统计年整2007中资料作成1997年2006年省城镇居民百户家庭口数茎叶图图中左边数字左右分表示城镇居民百户家庭口数百位数字十位数字右边数字表示城镇居民百户家庭口数位数字图中1997年2006年省城镇居民百户家庭口数均数
（A）3046 （B）3036 (C)3026 (D)3016
（9）（x）12展开式中常数项
（A）1320 （B）1320 （C）220 (D)220
(10)设椭圆C1离心率焦点x轴长轴长26曲线C2点椭圆C1两焦点距离差绝值等8曲线C2标准方程
（A） (B)
(C) (D)
（11）已知圆方程x2+y26x8y＝0设该圆点（35）长弦短弦分ACBD四边形ABCD面积
（A）10 （B）20 （C）30 （D）40
（12）设二元次等式组表示面区域M函数y＝ax(a＞0a≠1)图象区域Ma取值范围
（A）[13] (B)[2] (C)[29] (D)[9]
第Ⅱ卷（90分）
二填空题：题4题题4分16分
（13）执行右边程序框图p＝08输出n＝ 4
（14）设函数f(x)ax2+c(a≠0)0≤x0≤1x0值
（15）已知abc△ABC三角ABC边量m＝（）n＝（cosAsinA）m⊥nacosB+bcosAcsinC角B＝
（16）等式｜3xb｜＜4解集中整数仅123b取值范围（57）
三解答题：题6题74分
（17）（题满分12分）
已知函数f(x)＝偶函数函数y＝f(x)图象两相邻称轴间距离
（Ⅰ）求f（）值
（Ⅱ）函数y＝f(x)图象右移单位图象点横坐标舒畅长原4倍坐标变函数y＝g(x)图象求g(x)单调递减区间
解：（Ⅰ）f(x)＝
＝
＝2sin()
f(x)偶函数
x∈Rf(x)f(x)恒成立
sin（）＝sin()
sincos()+cossin()sincos()+cossin()
整理 sincos()0 ＞0x∈R cos（）＝0
0＜＜π ＝ f(x)＝2sin(+)2cos
题意
f(x)2cos2x
（Ⅱ）f(x)图象右移单位图象图象横坐标伸长原4倍坐标变图象
2kπ≤≤2 kπ+ π (k∈Z)
4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时g(x)单调递减
g(x)单调递减区间 (k∈Z)
（18）（题满分12分）
甲乙两队参加奥运知识竞赛队3回答问题答者队赢分
答错零分假设甲队中答概率均乙队中3答概率分正确否相互间没影响ε表示甲队总分
（Ⅰ）求机变量ε分布列数学期
(Ⅱ)A表示甲乙两队总分等3事件B表示甲队总分乙队总分事件求P(AB)
(Ⅰ)解法：题意知ε取值0123
ε分布列
ε
0
1
2
3
P
ε数学期 Eε
解法二：根题设知
ε分布列
（Ⅱ）解法：C表示甲2分乙1分事件D表示甲3分乙0分事件ABC∪DCD互斥
互斥事件概率公式
解法二：Ak表示甲队k分事件Bk表示已队k分事件k0123事件A3B0A2B1互斥事件事
P(AB)P(A3B0∪A2B1)P(A3B0)+P(A2B1)
(19)(题满分12分)
数列｛an｝中项行行项规排成数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中第列数a1a2a4a7…构成数列｛bn｝b1a11 Sn数列｛bn｝前n项满足＝1（n≥2）
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列求数列｛bn｝通项公式
（Ⅱ）表中第三行起行中数左右序均构成等数列公正数时求表中第k(k≥3)行项
(Ⅰ)证明：已知
1 n1
n≥2
（Ⅱ）解：设表中第三行起行公qq＞0
表中第1行第12行含数列｛an｝前78项
a82表中第13行第三列
q2
记表中第k(k≥3)行项S
（k≥3）
(20)(题满分12分)
图已知四棱锥PABCD底面ABCD菱形PA⊥面ABCDEF分BC PC中点
（Ⅰ）证明：AE⊥PD
（Ⅱ）HPD动点EH面PAD成角正切值求二面角E—AF—C余弦值
（Ⅰ）证明：四边形ABCD菱形∠ABC60°△ABC正三角形
EBC中点AE⊥BC
BC∥ADAE⊥AD
PA⊥面ABCDAE面ABCDPA⊥AE
PA面PADAD面PAD PA∩ADA
AE⊥面PADPD面PAD
AE⊥PD
（Ⅱ）解：设AB2HPD意点连接AHEH
（Ⅰ）知 AE⊥面PAD
∠EHAEH面PAD成角
Rt△EAH中AE
AH短时∠EHA
AH⊥PD时∠EHA
时 tan∠EHA
AHAD2∠ADH45°
PA2
解法： PA⊥面ABCDPA面PAC
面PAC⊥面ABCD
E作EO⊥ACOEO⊥面PAC
O作OS⊥AFS连接ES∠ESO二面角EAFC面角
Rt△AOE中EOAE·sin30°AOAE·cos30°
FPC中点Rt△ASO中SOAO·sin45°
Rt△ESO中cos∠ESO
求二面角余弦值
解法二：（Ⅰ）知AEADAP两两垂直A坐标原点建立图示空间直角坐标系EF分BCPC中点
EF分BCPC中点
A（000）B（10）C（C10）
D（020）P（002）E（00）F（）
设面AEF法量
取
BD⊥ACBD⊥PAPA∩ACA
BD⊥面AFC
面AFC法量
（）
cos＜m ＞
二面角EAFC锐角
求二面角余弦值
（21）（题满分12分）
已知函数中n∈N*a常数
（Ⅰ）n2时求函数f(x)极值
（Ⅱ）a1时证明：意正整数nx≥2时f(x)≤x1
（Ⅰ）解：已知函数f(x)定义域{x|x＞1}
n2时
（1）a＞0时f(x)0
＞1＜1
时 f′（x）
x∈（1x1）时f′（x）＜0f(x)单调递减
x∈（x1+∞）时f′（x）＞0 f(x)单调递增
（2）a≤0时f′（x）＜0恒成立f(x)极值
综述n2时
a＞0时f(x)处取极值极值
a≤0时f(x)极值
（Ⅱ）证法：a1
n偶数时
令
g′（x）1+＞0（x≥2）
x∈[2+∞]时g(x)单调递增
g(2)0
≥g(2)0恒成立
f(x)≤x1成立
n奇数时
证≤x1＜0需证ln(x1) ≤x1
令 h(x)x1ln(x1)
h′（x）1≥0（x≥2）
x∈[2+∞]时单调递增h(2)1＞0
x≥2时恒h(x) ＞0ln（x1）＜x1命题成立
综述结成立
证法二：a1时
x≤2时意正整数n恒≤1
需证明1+ln(x1) ≤x1
令
x≥2时≥0h(x)单调递增
x≥2时h(x)≥h(2)01+ln(x1) ≤x1成立
x≥2时≤x1
f（x）≤x1
(22)(题满分14分)
图设抛物线方程x22py(p＞0)M 直线y2p意点M引抛物线切线切点分AB
（Ⅰ）求证：AMB三点横坐标成等差数列
（Ⅱ）已知M点坐标（22p）时求时抛物线方程
（Ⅲ）否存点M点C关直线AB称点D抛物线中点C满足（O坐标原点）存求出适合题意点M坐标存请说明理
（Ⅰ）证明：题意设
直线MA方程
直线MB方程
①
②
①②
AMB三点横坐标成等差数列
（Ⅱ）解：（Ⅰ）知x02时
代入①②整理：
x1x2方程两根
弦长公式
p1p2
求抛物线方程
（Ⅲ）解：设D(x3y3)题意C(x1+ x2 y1+ y2)
CD中点坐标
设直线AB方程
点Q直线AB注意点直线AB
代入
D（x3y3）抛物线
x30x32x0
D(00)
（1）x00时时点M(02p)适合题意
（2）D(00)时
AB⊥CD
矛盾
时直线CD行y轴
直线AB直线CD垂直题设矛盾
时存符合题意M点
综述仅存点M(02p)适合题意
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