高考卷 97届 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

1997年普通高等学校招生全国统考试
数学（理工农医类）

试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分．150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题65分）

．选择题题15题第(1)—(10)题题4分第(11)—(15)题题5分65分．题出四选项中项符合题目求
1．设集合M｛x│0≤x<2｝集合N｛x│x22x3<0｝集合M∩N ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2．果直线ax+2y+20直线3xy20行系数a ( )
(A) －3
(B) －6
(C)
(D)
3．函数ytg()周期图 ( )

4．已知三棱锥DABC三侧面底面全等ABACBC2BC棱面BCD面BCA面二面角 ( )
(A) arccos
(B) arccos
(C)
(D)
5．函数ysin()+cos2正周期 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6．满足arccos(1－x)arccosxx取值范围 ( )
(A) [－1－]
(B) [－0]
(C) [0 ]
(D) [ 1]
7．y2x图 ( )
(A) 先左行移动1单位
(B) 先右行移动1单位
(C) 先行移动1单位
(D) 先行移动1单位
作关直线yx称图函数ylog2(x+1)图．
8．长方体顶点三条棱长分345八顶点球面球表面积 ( )
(A) 20
(B) 25
(C) 50
(D) 200
9．曲线参数方程 (t参数t0)普通方程 ( )
(A) (x－1)2(y－1)1
(B) y
(C)
(D)
10．函数ycos2x3cosx+2值 ( )
(A) 2
(B) 0
(C)
(D) 6
11．椭圆C椭圆关直线x+y0称椭圆C方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
12．圆台底面积分侧面积圆台体积 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
13．定义区间奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间[）图f(x)图重合设a>b>0出列等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
②f(b)－f(－a)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)
④f(a)－f(－b)中成立 ( )
(A) ①④
(B) ②③
(C) ①③
(D) ②④
14．等式组 解集 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
15．四面体顶点棱中点10点中取4面点取法 ( )
(A) 150种
(B) 147种
(C) 144种
(D) 141种

第Ⅱ卷 (非选择题85分)

二．填空题题4题题4分16分．答案填题中横线．
16．已知展开式中系数常数a值________
17．已知直线极坐标方程sin()极点该直线距离_____
18．值_______
19．已知ml直线面出列命题：
①l垂直两条相交直线l
②l行l行直线
③
④
⑤∥∥．
中正确命题序号_______ (注认正确命题序号填)

三．解答题题6题69分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
20．(题满分10分)
已知复数．复数复数面应点分PQ．证明等腰直角三角形（中原点）．
21．(题满分11分)
已知数列正数组成等数列公分pq中p> q．设Sn数列前n项．求．
22．（题满分12分）
甲乙两相距S千米汽车甲匀速行驶乙速度超c千米时．已
知汽车时运输成（元单位）变部分固定部分组成：变部分速度v
(千米时)方成正例系数b固定部分a元．
I．全程运输成y（元）表示速度v（千米时）函数指出函数定
义域
II．全程运输成汽车应速度行驶？
23．（题满分12分）
图正方体ABCDA1B1C1D1中EF分BB1CD中点．
I．证明ADD1F
II．求AED1F成角
III．证明面AED面A1FD1
IV．设AA12求三棱锥FA1ED1体积
24．(题满分12分)
设二次函数f(x)ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x0两根x1x2满足0I．x(0 x1)时证明xII．设函数f(x)图关直线xx0称证明x0<25．
(25)（题满分12分）
设圆满足：①截y轴弦长2②x轴分成两段圆弧弧长31满足条件①②圆中求圆心直线lx2y0距离圆方程．

1997年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答评分标准

．选择题题考查基知识基运算．
1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B 10．B 11．A 12．D 13．C 14．C 15．D

二．填空题题考查基知识基运算．
16．4 17． 18． 19．①④
注第(19)题填漏填错填均0分．

三．解答题
20．题考查复数基概念复数运算复数意义等基础知识考查运算力逻辑推理力．
解法：







OPOQ夹角OP⊥OQ．

知△OPQ两边相等夹角直角△OPQ等腰直角三角形．
解法二
．


OP⊥OQ│OP││OQ│．
知△OPQ两边相等夹角直角△OPQ等腰直角三角形．
(21)题考查等数列概念数列极限运算等基础知识考查逻辑推理力运算力．满分11分．
解

．
分两种情况讨．
(Ⅰ)p>1．
∵




p．
(Ⅱ)p<1．
∵ 0


(22)题考查建立函数关系等式性质值值等基础知识考查综合应学数学知识思想方法解决实际问题力满分12分．
解：（Ⅰ）题意知汽车甲匀速行驶乙时间全程运输成
求函数定义域

(Ⅱ)题意知Sabv正数

仅．时式中等号成立
时全程运输成y
时



c－v≥0a>bc2a－bcv≥a－bc2>0
仅vc时等号成立
vc时全程运输成y．
综知全程运输成y时行驶速度应时行驶速度应vc．
(23)题考查直线直线直线面面面位置关系考查逻辑推理力空间想象力满分12分．
解(Ⅰ)∵AC1正方体
∴AD⊥面DC1．
D1F面DC1
∴AD⊥D1F．
(Ⅱ)取AB中点G连结A1GFG．FCD中点GFAD行相等A1D1AD行相等GFA1D1行相等GFD1A1行四边形A1G∥D1F．
设A1GAE相交点H∠AHA1AED1F成角EBB1中点Rt△A1AG≌Rt△ABE∠GA1A∠GAH∠AHA190°直线AED1F成角直角．
(Ⅲ)(Ⅰ)知AD⊥D1F(Ⅱ)知AE⊥D1FAD∩AEAD1F⊥面AED．D1F面A1FD1面AED⊥面A1FD1．
(Ⅳ)连结GEGD1．
∵FG∥A1D1∴FG∥面A1ED1
∴
∵AA12
∴正方形ABB1A1

(24)题考查元二次方程二次函数等式基础知识考查综合运数学知识分析问题解决问题力．满分12分．
证明(Ⅰ)令F(x)f(x)－x．x1x2方程f(x)－x0根
F(x)a(x－x1)(x－x2)．
x∈(0x1)时x10a>0
F(x)a(x－x1)(x－x2)>0
x

x1－x>01+a(x－x2)1+ax－ax2>1－ax2>0．
x1－f(x)>0．
f(x)(Ⅱ)题意知

x1x2方程f(x)－x0根x1x2方程ax2+(b－1)x+c0根．
∴

ax2<1．
(25)题考查轨迹思想求值方法考查综合运知识建立曲线方程力．满分12分．
解法设圆圆心P(ab)半径r点Px轴y轴距离分│b│ │a│．
题设知圆P截x轴劣弧圆心角90°知圆P截X轴弦长r22b2
圆P截y轴弦长2
r2a2+1．
2b2－a21．
点P(ab)直线x－2y0距离

5d2│a－2b│2
a2+4b2－4ab
≥a2+4b2－2(a2+b2)
2b2－a21
仅ab时式等号成立时5d21d取值．


解方程组

r22b2知．
求圆方程
(x－1) 2+(y－1) 22(x+1) 2+(y+1) 22．
解法二解法
∴
①
a22b2－1代入①式整理
②
作b二次方程方程实根判式非负
△8(5d2－1)≥0
5d2≥1．
∴5d2值1d值．
代入②式2b2±4b+20．解b±1．
b±1代入r22b2r22．r2a2+1a±1．
综a±1b±1r22．
1知ab号．
求圆方程
(x－1) 2+(y－1) 22(x+1) 2+(y+1) 22．


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