高考卷 99届 普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案（文）

1999年普通高等学校招生全国统考试
数学(文史类)

试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷12页．第Ⅱ卷38页．150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题60分)
．选择题：题14题第(1)—(10)题题4分第(11)—(14)题题5分60分题出四选项中项符合题目求
(1) 图Ⅰ全集MPSⅠ3子集阴影部分表示集合 ( )
(A) (M∩P)∩S
(B) (M∩P)∪S
(C) (M∩P)∩
(D) (M∩P)∪
(2) 已知映射f：A→B中集合A{－3－2－11234}集合B中元素A中元素映射f象意a∈AB中应元素|a|集合B中元素数 ( )
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(3) 函数yf(x)反函数yg(x)f(a)bab≠0g(b)等 ( )
(A) a
(B) a－1
(C) b
(D) b－1
(4) 函数f(x)Msin(ωx+φ)(ω>0)区间[ab]增函数f(a)－Mf(b)M函数g(x)Mcos(ωx+φ)[ab] ( )
(A) 增函数
(B) 减函数
(C) 取值M
(D) 取值－M
(5) f(x)sinx周期π奇函数f(x) ( )
(A) sinx
(B) cosx
(C) sin2x
(D) cos2x
(6) 曲线x2+y2+x－y0关 ( )
(A) 直线x轴称
(B) 直线y－x轴称
(C) 点(－2)中心称
(D) 点(－0)中心称
(7) 干毫升水倒入底面半径2cm圆柱形器皿中量水面高度6cm水倒入轴截面正三角形倒圆锥形器皿中水面高度 ( )
(A) 6cm
(B) 6cm
(C) 2cm
(D) 3cm
(8) (2x+)3a0+a1x+a2x2+a3x3(a0+a2)2－(a1+a3)2值 ( )
(A) －1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
(9) 直线x+y－20截圆x2+y24劣弧圆心角 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 图面体ABCDEF中已知面ABCD边长3正方形EF∥ABEFEF面AC距离2该面体体积 ( )
(A)
(B) 5
(C) 6
(D)
(11) sina>tga>ctga(－(A) (－－)
(B) (－0)
(C) (0)
(D) ()
(12) 果圆台底面半径5底面半径R中截面圆台分两圆台侧面积1：2R ( )
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(13) 出列曲线：
①4x+2y－10 ②x2+y23 ③ ④
中直线r－2x－3交点曲线 ( )
(A) ①③
(B) ②④
(C) ①②③
(D) ②③④
(14) 某电脑户计划超500元资金购买单价分60元70元单片软件盒装磁盘 根需软件少买3片磁盘少买2盒选购方式 ( )
(A) 5种
(B) 6种
(C) 7种
(D) 8种

第Ⅱ卷(非选择题90分)

二．填空题：题4题题4分16分答案填题中横线
(15)设椭圆(a>b>0)右焦点F1右准线l1F1垂直x轴弦长等点F1l1距离椭圆离心率_______________
(16)块排10垄田中选择2垄分种植AB两种作物种作物种植垄利作物生长．求AB两种作物间隔6垄选垄方法______种(数字作答)
(17)正数ab满足aba+b+3ab取值范围____________
(18) αβ两面mn面αβ外两条直线出四断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
中三断作条件余断作结写出认正确命题：_________________________

三．解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
(19)(题满分10分)
解方程－31gx+40
(20)(题满分12分)
数列{an}前n项记Sn已知an5Sn－3(n∈N)求(a1+a3+…+a2n－1)值．
(21)(题满分12分)
设复数z3cosθ+isinθ．求函数ytg(θ－argz)(0<θ<)值应θ值
(22)(题满分12分)
图已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1点E棱D1D截面EAC∥D1B面EAC底面ABCD成角45ºABa．

(Ⅰ)求截面EAC面积
(Ⅱ)求异面直线A1B1AC间距离
(Ⅲ)求三棱锥B1－EAC体积．
(23)(题满分14分)
图台冷轧机示意图．冷轧机干轧辊组成带钢端输入轧辊逐步减薄输出．

(Ⅰ)输入带钢厚度a输出带钢厚度β轧辊减薄率超r0问冷轧机少需安装少轧辊？
输入该带钢厚度－该输出带钢厚度
输入该带钢厚度

(轧辊减薄率 )
(Ⅱ)已知台冷轧机4减薄率20轧辊轧辊周长均1600mm第k轧辊缺陷滚动周带钢压出疵点冷轧机输出带钢疵点间距Lk便检修请计算L1L2L3填入表(轧钢程中带钢宽度变考虑损耗)．
轧辊序号k
1
2
3
4
疵点间距Lk(单位：mm)



1600
(24)(题满分14分)
图出定点A(a0) (a>0a≠1)直线l：x－1B直线l动点∠BOA角分线交AB点C求点C轨迹方程讨方程表示曲线类型a值关系．


1999年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(文史类)参考解答评分标准

说明：
．解答指出题考查知识力出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分标准制订相应评分细．
二．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
三．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
四．整数分数．选择题填空题中间分．

．选择题：题考查基知识基运算．第(1)—(10)题题4分第(11)—(14)题题5分．满分60分．
(1) C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) B (7) B (8) A (9) C (10) D (11) B
(12) D (13) D (14) C

二．填空题：题考查基知识基运算．题4分满分16分．
(15) (16) 12 (17)
(18) m⊥αn⊥βα⊥βm⊥nm⊥nm⊥αn⊥βα⊥β

三．解答题
(19) 题考查数方程理方程解法运算力．满分10分．
解：设原方程化
y－y2+20 ——4分
解 y－1y2． ——6分
y－1舍．
2
lgx2
x100． ——9分
检验x100原方程解． ——10分
(20) 题考查等数列数列极限等基础知识．满分12分．
解： Sna1+a2+…+an知
anSn－Sn－1(n≥2)
a1S1 ——2分
已知an5Sn—3
an－15Sn－1—3． ——4分
an－an－1
5(Sn－Sn－1)
5an
an－an－1． ——6分
a15S1—3
a1．
数列{an}首项a1公q－等数列． ——8分
知数列 a1a3a5…a2n－1…
首项a1公等数列．
∴ ( a1+a3+a5+…+a2n－1)． ——12分
(21) 题考查复数基概念三角公式等式等基础知识考查综合运学数学知识解决问题力．满分12分．
解：．
z3cosθ+isinθtg(argz)． ——3分
ytg(θ－argz)
——6分

∵
∴ ． ——9分
仅tgθ()时tgθ时式取等号．
θ时函数y取值． ——12分
(22) 题考查空间线面关系二面角距离概念逻辑思维力空间想象力运算力．满分12分．
(Ⅰ) 解：图连结DB交ACO连结EO．
∵ 底面ABCD正方形
∴ DO⊥AC．
∵ ED⊥底面AC
∴ EO⊥AC．
∴ ∠EOD面EAC底面AC成二面角面角
——2分
∴ ∠EOD45º．
DOaACaEOa·sec45ºa．
S△EACa 2． ——4分
(Ⅱ) 解：题设ABCD－A1B1C1D1正四棱柱A1A⊥底面ACA1A⊥AC．
A1A⊥A1B1
∴ A1A异面直线A1B1AC间公垂线． ——6分
∵ D1B∥面EAC面D1BD面EAC交线EO
∴ D1B∥EO．
ODB中点
∴ ED1D中点D1B2EO2a．
∴ D1Da．
异面直线A1B1AC间距离a． ——8分
(Ⅲ) 解法：图连结D1B1．
∵ D1DDBa
∴ BDD1B1正方形．
连结B1D交D1BP交EOQ．
∵ B1D⊥D1BEO∥D1B
∴ B1D⊥EO．
AC⊥EOAC⊥ED．
∴ AC⊥面BDD1B1
∴ B1D⊥AC
∴ B1D⊥面EAC．
∴ B1Q三棱锥B1－EAC高． ——10分
DQPQB1QB1Da．
∴
三棱锥B1－EAC体积． ——12分
解法二：连结B1O2． ——10分
∵ AO⊥面BDD1B1
∴ AO三棱锥A－EOB1高AOa．
正方形BDD1B1中EO分D1DDB中点(右图)
．
∴ ．
三棱锥B1－EAC体积． ——12分
(23) 题考查等数列数计算等基知识考查综合运数学知识方法解决实际问题力．满分14分．
(Ⅰ) 解：厚度α带钢减薄率均r0n轧辊厚度α(1－r0)n．
输出带钢厚度超β冷轧机轧辊数(单位)应满足
α(1－r0)n≤β
(1－r0)n≤． ——4分
(1－r0)n>0>0式两端取数
nlg(1－r0)≤lg．
lg(1－r0)<0
n≥．
少需安装整数轧辊． ——7分
(Ⅱ)解法：第k轧辊出口外疵点间距离轧辊周长处出口两疵点间带钢体积
1600·α(1－r)k·宽度 (中r20)
冷轧机出口处两疵点间带钢体积
Lk·α(1－r)4·宽度．
宽度相等损耗体积相等
1600·α(1－r)kLk·α(1－r)4 (r20)
Lk1600·08k－4． ——10分
L32000(mm)
L22500(mm)
L13125(mm)．
填表
轧辊序号k
1
2
3
4
疵点间距Lk(mm)
3125
2500
2000
1600
解法二：第3轧辊出口疵点间距轧辊周长处出口两疵点间带钢体积冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等宽度变
1600L3·(1－02)
L32000(mm)． ——10分
理 L22500(mm)．
L13125(mm)．
填表
轧辊序号k
1
2
3
4
疵点间距Lk(mm)
3125
2500
2000
1600
——14分
(24) 题考查曲线方程直线圆锥曲线等基础知识求动点轨迹基技综合运数学知识解决问题力．满分14分．
解法：题意记B(－1b) (b∈R)直线OAOB方程分y0y－bx．设点C(xy)0≤x题设点C直线AB
． ——6分
x－a≠0 ． ②
②式代入①代

整理y2[(1－a)x2－2ax+(1+a)y2]0． ——9分
y≠0(1－a)x2－2ax+(1+a)y20 (0y0b0∠AOBπ点C坐标(00)满足式．
综点C轨迹方程
(1－a)x2－2ax+(1+a)y20 (0≤x∵ a≠1
∴ (0≤x知0a>1时方程③表示双曲线支弧段． ——14分
解法二：图设Dlx轴交点点C作CE⊥x轴E垂足．
(ⅰ)|BD|≠0时设点C(xy)0CE∥BD ． ——3分
∵ ∠COA∠COB∠COD－∠BODπ－∠COA－∠BOD
∴ 2∠COAπ－∠BOD．
∵ ——6分
．
∴
整理(1－a)x2－2ax+(1+a)y20 (0(ⅱ) |BD|0时∠BOAπ点C坐标 (00)满足式．
综合(ⅰ)(ⅱ)点C轨迹方程
(1－a)x2－2ax+(1+a)y20 (0≤x解法．


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