高考卷 95届 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

1995年普通高等学校招生全国统考试
数学(理工农医类)

试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分考试时间120分．

第Ⅰ卷(选择题65分)

选择题(题15题第1—10题题4分第11—15题题5分65分．题出四选项中项符合题目求)
1．已知I全集集合MNIM∩NN ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2．函数y图 ( )

3．函数y4sin(3x+)+3cos(3x+)正周期 ( )
(A) 6π
(B) 2π
(C)
(D)
4．正方体全面积a2顶点球面球表面积 ( )
(A)
(B)
(C) 2πa2
(D) 3πa2
5．图中直线l1l2l3斜率分k1k2k3( )
(A) k1(B) k3< k1< k2
(C) k3< k2< k1
(D) k1< k3< k2
6．(1－x3)(1+x)10展开式中x5系数 ( )
(A) －297
(B) －252
(C) 297
(D) 207
7．arcsinx>arccosx成立x取值范围 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8．双曲线3x2－y23渐线方程 ( )
(A) y±3x
(B) y±x
(C) y±x
(D) y±x
9．已知θ第三象限角sin4θ+cos4θsin2θ等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
10．已知直线l⊥面α直线m面β面四命题：
①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β
中正确两命题 ( )
(A) ①②
(B) ③④
(C) ②④
(D) ①③
11．已知yloga(2－ax)[01]x减函数a取值范围 ( )
(A) (01)
(B) (12)
(C) (02)
(D)
12．等差数列{an}{bn}前n项分SnTn等 ( )
(A) 1
(B)
(C)
(D)
13．12345五数字组成没重复数字三位数中偶数( )
(A) 24
(B) 30
(C) 40
(D) 60
14．极坐标系中椭圆二焦点分极点点(2c0)离心率e极坐标方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)

15．图A1B1C1－ABC直三棱柱∠BCA90°点D1F1分A1B1A1C1中点BCCACC1BD1AF1成角余弦值 ( )

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷(非选择题85分)

二填空题(题5题题4分20分答案填题中横线)
16．等式解集__________
17．已知圆台底面圆周球面底面球心母线底面成角圆台体积球体积_____________
18．函数ysin(x－)cosx值____________
19．直线l抛物线y2a(x+1)(a>0)焦点x轴垂直l抛物线截线段长4a
20．四球放入编号1234四盒中恰空盒放法
__________种(数字作答)

三解答题(题6题65分．解答应写出文字说明证明程推演步骤)
21．(题满分7分)
复面正方形四顶点逆时针方次Z1Z2Z3O (中O原点)已知Z2应复数．求Z1Z3应复数．
22．(题满分10分)
求sin220°+cos250°+sin20°cos50°值．
23．(题满分12分)
图圆柱轴截面ABCD正方形点E底面圆周AF⊥DEF垂足．
(1)求证：AF⊥DB
(2)果圆柱三棱锥D－ABE体积等3π求直线DE面ABCD成角．
24．(题满分12分)
某促进淡水鱼养殖业发展价格控制适范围决定淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼市场价格x元千克政府补贴t元千克．根市场调查8≤x≤14时淡水鱼市场日供应量P千克市场日需求量Q千克似满足关系：
P1000(x+t－8)( x≥8t≥0)
Q500(8≤x≤14)．
PQ时市场价格称市场衡价格．
(1)市场衡价格表示政府补贴函数求出函数定义域
(2)市场衡价格高千克10元政府补贴少千克少元
25．(题满分12分)
设{an}正数组成等数列Sn前n项．
(1)证明
(2)否存常数c>0成立证明结．
26．(题满分12分)
已知椭圆直线．Pl点射线OP交椭圆点R点QOP满足|OQ|·|OP||OR|点Pl移动时求点Q轨迹方程说明轨迹什曲线．

1995年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答

选择题(题考查基知识基运算)
1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C 9 A
10．D 11．B 12．C 13．A 14．D 15．A

二填空题(题考查基知识基运算)
16．{x|－2
三解答题
21．题考查复数基概念意义运算力．
解：设Z1Z3应复数分z1z3题设

22．题考查三角恒等式运算力．
解：原式

23．题考查空间线面关系圆柱性质空间想象力逻辑推理力．
(1)证明：根圆柱性质DA⊥面ABE．
∵EB面ABE
∴DA⊥EB．
∵AB圆柱底面直径点E圆周
∴AE⊥EBAE∩ADA
EB⊥面DAE．
∵AF面DAE
∴EB⊥AF．
AF⊥DEEB∩DEE
AF⊥面DEB．
∵DB面DEB
∴AF⊥DB．
(2)解：点E作EH⊥ABH垂足连结DH．根圆柱性质面ABCD⊥面ABEAB交线．EH面ABEEH⊥面ABCD．
DH面ABCDDHED面ABCD射影∠EDHDE面ABCD成角．
设圆柱底面半径RDAAB2R
V圆柱2πR3

V圆柱：VD－ABE3πEHR知H圆柱底面圆心
AHR
DH
∴∠EDHarcctgarcctg
24．题考查运学数学知识方法解决实际问题力函数概念方程等式解法等基础知识方法．
解：(1)题设
1000(x+t－8)500
化简 5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)0．
判式△800－16t2≥0时
x8－±．
△≥0t≥08≤x≤14等式组：
①
②
解等式组①0≤t≤等式组②解．求函数关系式

函数定义域[0]．
(2)x≤10应
8≤10
化简 t2+4t－5≥0．
解t≥1t≤－5t≥0知t≥1．政府补贴少千克1元．
25．题考查等数列数等式等基础知识考查推理力分析问题解决问题力．
(1)证明：设{an}公q题设a1>0q>0．
(i)q1时Snna1
Sn·Sn+2－
na1·(n+2)a1－(n+1)2
－<0
(ⅱ)q≠1时
Sn·Sn+2－

．
(i)(ii)Sn·Sn+2－．根数函数单调性知
lg(Sn·Sn+2) ．
(2)解：存．
证明：
．成立
①

②

分两种情况讨：
(i)q1时
(Sn—c)( Sn+2—c) ( Sn+1—c)2
(na1－c)[(n+2)a1－c]－[(n+1)a1－c]2
<0．
知满足条件①存常数c>0结成立．
(ii)q≠1时条件①成立
(Sn—c)( Sn+2—c)－( Sn+1—c)2

－a1qn[a1－c(1－q)]
a1qn≠0a1－c(1－q)0
时c>0a1>0000结成立．
综合(i)(ii)时满足条件①②常数c>0存存常数c>0
．
证法二：反证法假设存常数c>0

①
②
③
④

④
SnSn+2－c (Sn + Sn+2－2 Sn+1)． ⑤
根均值等式①②③④知
Sn + Sn+2－2 Sn+1
(Sn—c)+( Sn+2—c)－2(Sn+1—c) ≥2－2( Sn+1—c)0．
c>0⑤式右端非负(1)知⑤式左端零矛盾．存常数c>0
lg( Sn+1—c)
26．题考查直线椭圆方程性质曲线方程关系轨迹概念求法利方程判定曲线性质等解析基思想综合运知识力．
解法：题设知点Q原点．设PRQ坐标分(xPyP)(xRyR)(xy)中xy时零．
点Py轴时点R椭圆点OQR线方程组

解
①

②

点P直线l点OQP线方程组

③

④
解
点Py轴时验证①－④式成立．
题设|OQ|·|OP||OR|2

①－④代入式化简整理

xxp号yyp号③④知2x+3y>0点Q轨迹方程
(中xy时零)．
点Q轨迹(11)中心长短半轴分长轴x轴行椭圆掉坐标原点．
解法二：题设知点Q原点．设PRQ坐标分(xpyp)(xRyR)(xy)中xy时零．
设OPx轴正方夹角α
xp|OP|cosαyp|OP|sinα
xR|OR|cosαyR|OR|sinα
x|OQ|cosαy|OQ|sinα
式题设|OQ|·|OP||OR|2
①

②

③

④

点P直线l点R椭圆方程组
⑤
⑥
①②③④代入⑤⑥整理点Q轨迹方程
(中xy时零)．
点Q轨迹(11)中心长短半轴分长轴x轴行椭圆掉坐标原点．

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