难点29 排列组合应问题
排列组合年高考必定考查容观全国高考数学题年1～2道排列组合题考查排列组合基础知识思维力
●难点磁场
(★★★★★)五张卡片正反面分写0123456789中意三张排放起组成三位数组成少三位数？
●案例探究
［例1］∠AOBOA边取m点OB边取n点(均O点外)连O点m+n+1点现取中三点顶点作三角形作三角形( )
命题意图：考查组合概念加法原理属★★★★★级题目
知识托：法分成三类方法法二间接法掉三点线组合
错解分析：A中含构成三角形组合：CC中包括OBiBjCC中包含OApAq中ApAqBiBj分表示OAOB边O点B漏掉△AiOBjD重复三角形CC中△AiOBjCC中△AiOBj
技巧方法：分类讨思想间接法
解法：第类办法：OA边(包括O)中取点OB边(包括O)中取两点构造三角形CC第二类办法：OA边(包括O)中取两点OB边(包括O)中取点O点构造三角形CC第三类办法：OA边(包括O)取点OB边(包括O)中取点O点构造三角形CC加法原理NCC+CC+CC三角形
解法二：m+n+1中取三点C中三点均射线OA(包括O点)C三点均射线OB(包括O点)C数NC－C－C
答案：C
［例2］四名优等生保送三学校学校少名保送方案总数_________
命题意图：题考查排列组合法原理概念灵活应述概念处理数学问题力属★★★★级题目
知识托：排列组合法原理概念
错解分析：根题目求学校少接纳位优等生常采先安排学校剩送学校3A种忽略种办法：学校两名学生进入学校前序分两种方案实际题目中进入学校两名学生序求
技巧方法：解法采处理分堆问题方法解法二分两次安排优等生进入学校两名优等生考虑序
解法：分两步：先四名优等生分成211三组C种三组学生安排三学校进行全排列A33种法原理NC 36(种)
解法二：分两步：学校少名学生进学校A种剩余名学生送三学校中学校3种值注意：学校两名学生考虑进入前序NA·336(种)
答案：36
●锦囊妙记
排列组合应题高考常见题型中考查附加条件应问题解决类问题通常三种途径：(1)元素应先满足特殊元素求考虑元素(2)位置考虑先满足特殊位置求考虑位置(3)先考虑附加条件计算出排列组合数减符合求排列数组合数前两种方式直接解法种方式间接解法
求解排列组合应问题时应注意：
(1)具体问题转化结排列组合问题
(2)通分析确定运分类计数原理分步计数原理
(3)分析题目条件避免选取时重复遗漏
(4)列出式子计算作答
解排列组合应题常方法：直接计算法间接计算法分类法分步法元素分析法位置分析法插空法捆绑法等八种
常运数学思想：
①分类讨思想②转化思想③称思想
●歼灭难点训练
填空题
1(★★★★)集合{01235711}中取3元素分作直线方程Ax+By+C0中ABC坐标原点直线_________条(数值表示)
2(★★★★★)圆周2n等分点(n＞1)中三点顶点直角三角形数_________
二解答题
3(★★★★★)某手中5张扑克牌中2张花色23张花色A5次出牌机会次出种点数牌张数限少种出牌方法？
4(★★★★)二次函数yax2+bx+c系数abc集合{－3－2－101234}中选取3值确定坐标原点抛物线部抛物线少条？
5(★★★★★)3名男生4名女生列求求排列方法总数
(1)全体排成行中甲中间者两边位置
(2)全体排成行中甲左边乙右边
(3)全体排成行中男生必须排起
(4)全体排成行男女相邻
(5)全体排成行男生排起
(6)全体排成行中甲乙丙三左右序变
(7)排成前二排前排3排4
(8)全体排成行甲乙两中间必须3
6(★★★★★)20加区球放入编号123三盒子中求盒球数编号数求放法种数
7(★★★★)五种颜色图中(1)(2)(3)(4)部分涂色部分涂色相邻部分涂色涂色方法种？
8(★★★★)甲乙丙三值周周六班值两天班甲值周乙值周六排出值班表数少？
参考答案
难点磁场
解：(间接法)：取三张卡片组成三位数C·23·A()中0百位C·22·A ()合题意三位数：C·23·A－C·22·A432(）
歼灭难点训练
1解析：直线原点C012357116数中取2作AB两数序表示直线直线条数A30
答案：30
2解析：2n等分点作出n条直径中选条直径C种方法(2n－2)等分点中选点C种方法根法原理：直角三角形数：C·C2n(n－1)
答案：2n(n－1)
二3解：出牌方法分类：
(1)5张牌全部分开出A种方法
(2)2张2起出3张A起出A种方法
(3)2张2起出3张A起出A种方法
(4)2张2起出3张A分两次出CA种方法
(5)2张2分开出3张A起出A种方法
(6)2张2分开出3张A分两次出CA种方法
出牌方法A+A+A+AA+A+CA860种
4解：图形特征分析a＞0开口坐标原点部f(0)c＜0a＜0开口原点部f(0)c＞0抛物线yax2+bx+c讲原点部af(0)ac＜0确定抛物线时先定正负ac确定b满足题设抛物线CCAA144条
5解：(1)利元素分析法甲特殊元素先安排甲左右中三位置供甲选择A种余6全排列A种法原理AA2160种
(2)位置分析法先排右边甲外A种余6位置全排A种应剔乙右边排法数AA种符合条件排法AA－AA3720种
(3)捆绑法男生成整体进行全排列元素进行全排列AA720种
(4)插空法先排男生然女生插入中四空位AA144种
(5)插空法先排女生然空位中插入男生AA1440种
(6)定序排列第步设固定甲乙丙左右序排列总数N第二步甲乙丙进行全排列七全排列AN×A∴N 840种
(7)限制排列相A5040种
(8)甲乙外5中选3排甲乙中间排法A种甲乙余2排成排甲乙相邻排法AA选出3排列插入甲乙间A×A×A720种
6解：首先盒子编号放入123球然剩余14球排成排图|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|15空档中O表示球|表示空档求球装入盒中方案数转化三盒插入15空档排列数应关系：插入两空档盒间O数表示右侧空档盒装球数左侧空档时插入两盒余空档插入盒右侧空档必插入盒两盒插入左侧空档C种恰盒插入左侧空档种没盒插入左侧空档C种加法原理N120种排列方案120种放法
7解：排列中相邻问题处理(1)(4)(2)(4)涂相颜色分类：(1)(4)色A种(2)(4)色A种(1)(2)(3)(4)均色A种加法原理N2A+A240种
8解：意值两天CCC甲必值周CCC乙必值周六CCC甲必值周乙必值周六CCC值两天甲必值周乙必值周六值班表数NCCC－2CCC+ CCC90－2×5×6+1242
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排列组合年高考必定考查容观全国高考数学题年1～2道排列组合题考查排列组合基础知识思维力
●难点磁场
(★★★★★)五张卡片正反面分写0123456789中意三张排放起组成三位数组成少三位数？
●案例探究
［例1］∠AOBOA边取m点OB边取n点(均O点外)连O点m+n+1点现取中三点顶点作三角形作三角形( )
命题意图：考查组合概念加法原理属★★★★★级题目
知识托：法分成三类方法法二间接法掉三点线组合
错解分析：A中含构成三角形组合：CC中包括OBiBjCC中包含OApAq中ApAqBiBj分表示OAOB边O点B漏掉△AiOBjD重复三角形CC中△AiOBjCC中△AiOBj
技巧方法：分类讨思想间接法
解法：第类办法：OA边(包括O)中取点OB边(包括O)中取两点构造三角形CC第二类办法：OA边(包括O)中取两点OB边(包括O)中取点O点构造三角形CC第三类办法：OA边(包括O)取点OB边(包括O)中取点O点构造三角形CC加法原理NCC+CC+CC三角形
解法二：m+n+1中取三点C中三点均射线OA(包括O点)C三点均射线OB(包括O点)C数NC－C－C
答案：C
［例2］四名优等生保送三学校学校少名保送方案总数_________
命题意图：题考查排列组合法原理概念灵活应述概念处理数学问题力属★★★★级题目
知识托：排列组合法原理概念
错解分析：根题目求学校少接纳位优等生常采先安排学校剩送学校3A种忽略种办法：学校两名学生进入学校前序分两种方案实际题目中进入学校两名学生序求
技巧方法：解法采处理分堆问题方法解法二分两次安排优等生进入学校两名优等生考虑序
解法：分两步：先四名优等生分成211三组C种三组学生安排三学校进行全排列A33种法原理NC 36(种)
解法二：分两步：学校少名学生进学校A种剩余名学生送三学校中学校3种值注意：学校两名学生考虑进入前序NA·336(种)
答案：36
●锦囊妙记
排列组合应题高考常见题型中考查附加条件应问题解决类问题通常三种途径：(1)元素应先满足特殊元素求考虑元素(2)位置考虑先满足特殊位置求考虑位置(3)先考虑附加条件计算出排列组合数减符合求排列数组合数前两种方式直接解法种方式间接解法
求解排列组合应问题时应注意：
(1)具体问题转化结排列组合问题
(2)通分析确定运分类计数原理分步计数原理
(3)分析题目条件避免选取时重复遗漏
(4)列出式子计算作答
解排列组合应题常方法：直接计算法间接计算法分类法分步法元素分析法位置分析法插空法捆绑法等八种
常运数学思想：
①分类讨思想②转化思想③称思想
●歼灭难点训练
填空题
1(★★★★)集合{01235711}中取3元素分作直线方程Ax+By+C0中ABC坐标原点直线_________条(数值表示)
2(★★★★★)圆周2n等分点(n＞1)中三点顶点直角三角形数_________
二解答题
3(★★★★★)某手中5张扑克牌中2张花色23张花色A5次出牌机会次出种点数牌张数限少种出牌方法？
4(★★★★)二次函数yax2+bx+c系数abc集合{－3－2－101234}中选取3值确定坐标原点抛物线部抛物线少条？
5(★★★★★)3名男生4名女生列求求排列方法总数
(1)全体排成行中甲中间者两边位置
(2)全体排成行中甲左边乙右边
(3)全体排成行中男生必须排起
(4)全体排成行男女相邻
(5)全体排成行男生排起
(6)全体排成行中甲乙丙三左右序变
(7)排成前二排前排3排4
(8)全体排成行甲乙两中间必须3
6(★★★★★)20加区球放入编号123三盒子中求盒球数编号数求放法种数
7(★★★★)五种颜色图中(1)(2)(3)(4)部分涂色部分涂色相邻部分涂色涂色方法种？
8(★★★★)甲乙丙三值周周六班值两天班甲值周乙值周六排出值班表数少？
参考答案
难点磁场
解：(间接法)：取三张卡片组成三位数C·23·A()中0百位C·22·A ()合题意三位数：C·23·A－C·22·A432(）
歼灭难点训练
1解析：直线原点C012357116数中取2作AB两数序表示直线直线条数A30
答案：30
2解析：2n等分点作出n条直径中选条直径C种方法(2n－2)等分点中选点C种方法根法原理：直角三角形数：C·C2n(n－1)
答案：2n(n－1)
二3解：出牌方法分类：
(1)5张牌全部分开出A种方法
(2)2张2起出3张A起出A种方法
(3)2张2起出3张A起出A种方法
(4)2张2起出3张A分两次出CA种方法
(5)2张2分开出3张A起出A种方法
(6)2张2分开出3张A分两次出CA种方法
出牌方法A+A+A+AA+A+CA860种
4解：图形特征分析a＞0开口坐标原点部f(0)c＜0a＜0开口原点部f(0)c＞0抛物线yax2+bx+c讲原点部af(0)ac＜0确定抛物线时先定正负ac确定b满足题设抛物线CCAA144条
5解：(1)利元素分析法甲特殊元素先安排甲左右中三位置供甲选择A种余6全排列A种法原理AA2160种
(2)位置分析法先排右边甲外A种余6位置全排A种应剔乙右边排法数AA种符合条件排法AA－AA3720种
(3)捆绑法男生成整体进行全排列元素进行全排列AA720种
(4)插空法先排男生然女生插入中四空位AA144种
(5)插空法先排女生然空位中插入男生AA1440种
(6)定序排列第步设固定甲乙丙左右序排列总数N第二步甲乙丙进行全排列七全排列AN×A∴N 840种
(7)限制排列相A5040种
(8)甲乙外5中选3排甲乙中间排法A种甲乙余2排成排甲乙相邻排法AA选出3排列插入甲乙间A×A×A720种
6解：首先盒子编号放入123球然剩余14球排成排图|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|15空档中O表示球|表示空档求球装入盒中方案数转化三盒插入15空档排列数应关系：插入两空档盒间O数表示右侧空档盒装球数左侧空档时插入两盒余空档插入盒右侧空档必插入盒两盒插入左侧空档C种恰盒插入左侧空档种没盒插入左侧空档C种加法原理N120种排列方案120种放法
7解：排列中相邻问题处理(1)(4)(2)(4)涂相颜色分类：(1)(4)色A种(2)(4)色A种(1)(2)(3)(4)均色A种加法原理N2A+A240种
8解：意值两天CCC甲必值周CCC乙必值周六CCC甲必值周乙必值周六CCC值两天甲必值周乙必值周六值班表数NCCC－2CCC+ CCC90－2×5×6+1242
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