最优化课程论文三点二次插值法


     《最优化方法》课程论文 姓 名: 专 业:统计 班 级: 学 号: 完成日期:2014 无约束最优化方法——三点二次插值法 摘 要 在生产过程、科学实验以及日常生活中,人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事,获得最大的效益,在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化,如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。最优化问题分为无约束最优化和约束最优化,本文主要拟就无约束最优化进行分析。 无约束最优化计算方法是数值计算领域中十分活跃的研究课题之一,快速的求解无约束最优化问题,除了自身的重要性以外,还体现在它也构成一些约束最优化问题的子问题。因此,对于无约束最优化问题,如何快速有效的求解一直是优化工作者十分关心的事。本文研究求解无约束最优化问题的精确线性搜索方法——三点二次插值法,并且讨论了这种方法的优缺点以及适用范围,同时论文中对这种方法给出了具体实例,并对例子进行了matlab软件实现。 关键词:三点二次插值法、插值多项式、目标函数 目 录 一、问题的提出 3 二、设计思路和步骤 3 3.1设计思路 3 3.2 设计步骤 3 三、程序设计 5 3.1问题分析 5 3.2 算法设计 5 3.3 算法框图 5 3.4 程序编制 7 四、结果分析 8 3.1理论结果 8 3.2 编程结果 9 五、收获提高 11 5.1设计的优缺点 11 5.2收获与启发 11 参考文献 11 一、问题的提出 用精确线性搜索方法求 的近似最优解(精确极小点为=1)。设已确定其初始搜索区间为[0,3],取初始插值点为=2,终止误差=0.05。 二、设计思路和步骤 2.1设计思路 在求解一元函数的极小点时,在搜索区间中用低次(通常不超过三次)插值多项式来近似目标函数,后求该多项式的极小点(比较容易计算),并以此作为目标函数的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时,反复使用此法,逐次拟合,直到满足给定的精度时为止。 2.2设计步骤 考虑二次多项式 则 令,得。这意味着我们要求a,b。 今考虑在包含的极小点的搜索区间中,给定三个点,,,满足 << >< 利用三点处的函数值,,构造二次函数,并要求插值条件满足 , , 。 令,i=1,2,3。解上述方程组得 于是,二次函数的极小点为 设。求得和以后,如果 ≤,当>时, 或者如果 ≤,当<时。 则我们认为收敛准则满足。如果<,则极小点估计为,否则为。 若终止准则不满足,则利用提供的信息,从,,和中选出相邻的三个点,将原来的搜索区间缩小,然后重复上述过程,直到终止准则满足为止。 三、程序设计 3.1问题分析 用精确线性搜索方法进行搜索,通过取试探点和进行函数值的比较,使包含极小点的搜索区间[0,3]不断缩小,当区间长度缩短到小于终止误差0.05,区间上个点的函数值均接近极小值,从而各点可以看作为极小点的近似。 3.2 算法设计 初始步 给出,,,满足上述设计步骤。 步1 由上述设计步骤计算。 步2 比较和的大小,如果>,则转步3;否则转步4。 步3 如果≤,则 ,,,, 转步5;否则,,转步5。 步4 若,则 ,,,, 转步5;否则,,转步5。 步5 如果收敛准则满足,停止迭代;否则转步1,在新的搜索区间[,上 按公式计算二次插值函数的极小点。 3.3 算法框图 其中 否 ? 是 <? 否 否 是 >0? 是 否 否 是 是 ? <? 结束 3.4 程序编制 function eccz syms x; %定义 f=x^3-3*x+2; %目标函数 a1=0; a2=2; a3=3; %插值区间 k=0; while (abs(a3-a1)>0.05) %精度 f1=subs(f,x,a1); f2=subs(f,x,a2); f3=subs(f,x,a3); C1=(f3-f1)/(a3-a1); C2=((f2-f1)/(a2-a1)-C1)/(a2-a3); ap=0.5*(a1+a3-C1/C2); fp=subs(f,x,ap); if ap>a2; if f2>=fp a1=a2; f1=f2; a2=ap; f2=fp; else a3=ap; f3=fp; end else if f2>=fp; a3=a2; f3=f2; a2=ap; f2=fp; else a1=ap; f1=fp; end end k=k+1 a=ap ff=subs(f,x,ap) end 四、 结果分析 4.1 理论结果 =0,=2,=3 第一次迭代: =2,=4,=20 代入公式求得: =0.9 由于<和 =0.029≤=4, 并且=1.1>,故继续迭代,令: :==0,:==0.9,:==2 第二次迭代: =2,=0.029,=4 带入公式求得: =0.82759 由于<和 =0.08405≥=0.029 并且=0.07241>,故继续迭代,令: :==0.82759,:==0.9,:==2 第三次迭代: =0.08405,=0.029,=4 代入公式求得: =0.96577 由于≥和 =0.00347≤=0.029 并且=0.06577>,故继续迭代,令: :==0.9,:==0.96557,:==2 第四次迭代: =0.029,=0.00347,=4 代入公式求得: =0.98308 由于≥和 =0.000854≤=0.00347 并且=0.01731<,故停止迭代,输出近似最优解:=0.98308 4.2 编程结果 将程序输入matlab,运行后得如下结果: 从运行结果可以看出:经过四次迭代,结果已经满足精度要求,故停止迭代,得出最优解为0.9831,与理论结果相符。 五、总结提高 5.1设计的优缺点 优点:插值法仅需计算函数值,不涉及导数、hesse矩阵等的计算,计算起来相对比较简单,能够适用于非光滑和导数表达式复杂或表达式写不出等种种情形。 缺点:当迭代步数较多时,计算过程比较复杂,计算量较大,计算起来比较麻烦。当迭代点离目标函数的最优解较远时,追求线性搜索的精度反而会降低整个算法的效率。 5.2 收获与启发 通过对此次课程论文的撰写,使我进一步了解了逐次插值逼近法——三点二次插值法的原理及方法,能够运用matlab对算法进行实现,并能从中分析出每一次迭代的结果、迭代的次数、最终结果等;同时在平时学习的基础上进一步巩固了手工计算的方法及步骤,能够快速准确地在题中所给精度范围内计算出最优解。 三点二次插值法是精确性线性搜索中一种较好的方法,但是会存在迭代点离目标函数最优解较远时,过分追求精度反而降低了整个算法效率的问题。因此在工作中我们可以选择一些放松对精度要求的方法,只要求目标函数在迭代的每一步有充分的下降即可。这就涉及到收敛速度不依赖于精度的一些一维搜索过程,例如牛顿法、拟牛顿法等,在这里就不一一赘述了。 参考文献 [1] 最优化方法/孙文瑜、徐成贤、朱德通编著. —2版.北京:高等教育出版社,2010.7(2013.11 重印) [2] 三点插值与搜索逼近法确定复杂泵系统运行工况/姜及昌、陈锦章编编著 中国建筑工业出版 社,1986.5 四川理工学院《数学建模课程设计》论文 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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