装
订
线
科生毕业文（设计）
题目： 五种插值法较
系 部 数学系
学科门类 理学
专 业 数学应数学
学 号
姓 名
指导教师
2012 年 X 月 X 日
五种插值法较
摘
插值法数值计算中种重方法实际生活中函数求出通该函数限点处取值某函数逼然估计出该函数点函数值古代已二次等距插值天文计算现代工程计算算法理等方面插值方法种篇文章介绍般常五种插值法讨五种插值法理中区实际中应文先五种插值法定义通定义形式差异做简单较结合相应例题纳总结五种插值法特点清楚知道种类型插值法更适合解决种类型问题通实际应分析较Lagrange 插值Newton插值三次样条插值分段插值解决相应问题间差异
关键词：项式 插值函数插值法
ABSTRACT
装
订
线
Interpolation method is an important method of numerical calculation In real life there are many functions that we cannot work out but we can pass through the function in the finite point value with a function to approach it and then estimate the function in other points on the function value In ancient times have used two equidistant interpolation in astronomical calculations and applied it in engineering computation algorithm theory etc in morden time Interpolation method has many kinds this article mainly introduces the commonly used five kinds of interpolation and discuss the difference of five kinds of interpolation method in the theory and application in practiceThis paper starts from the definition of five kinds of interpolation by their definitions in the form of difference to do simple comparisoncombined with the corresponding examples summarizes five kinds of interpolation features so that we know which type of interpolation method is more suitable to solve certian kind of problemand finally by practical application we can analysis and comparison the differences between Newton Lagrange interpolation interpolation three times spline interpolation and piecewise interpolation respectively in the solution of the corresponding problem
Key words polynomial interpolation functioninterpolation
目 录
摘 I
ABSTRACT II
1 引言 1
2 五种插值法 2
21 Lagrange插值 2
22 Newton插值 3
23 Hermite插值 3
24分段插值 4
25三次样条插值 5
3 五种插值法解题分析较 7
4 五种差值实际应 14
5结 17
参考文献 18
1 引言
插值方法数值计算中基方法种古老数学方法中国古代开始二次插值法推算天文历法中周髀九章中已次插值法现代插值法应十分广泛解决信息技术中图象重建 图放程中避免图象失真建筑工程外观设计天文观测数物理学中应等方面问题
函数插值法简称插值法许实际问题中函数然解析式计算起复杂起方便通函数出某点函数值构造反映函数特征便计算简单函数逼原函数说函数逼 逼函数类型种选择方法基代数项式应广泛
建立代数项式种方法文介绍Lagrange 插值项式便理推导形式描述算法理十分重Newton插值方法具递推性组成规律方便实际计算Hermite插值项式插值节点导函数限制情况分段插值三次样条插逼效果插值法难达
文介绍五种插值法间区通理实际较读者更清楚认识解五种插值法
2 五种插值法
插值问题说果已知条件互异插值节点点处函数值构造插值函数般超次项式称般基点项式插值问题Lagrange插值Newton插值Hermite插值三次样条插值分段插值五种插值法定际运中特点面首先定义做简单较
21 Lagrange插值
时惯插值节点相应函数值采表1形式列出简称表1出插值问题
表1
…
…
Lagrange 插值次项式插值成功构造插值基函数方法解决求n 次项式插值函数问题表(1)n次Lagrange 插值项式数学式：
中（i012…n）插值基函数
Lagrange 插值项式余项
中 难发现Lagrange 插值项式便理推导形式描述算法理十分重便计算函数值Lagrange插值项式计算函数似值果精度满足
增加节点原计算数均克服缺点面介绍外种插值法Newton
插值法
22 Newton插值
Newton 插值次项式插值 基思路求次差值项式改写成逐次生成形式然插值条件求定系数表（1）构造Newton 插值项式
插值时首先计算阶差商阶差商计算结阶差商逐次计算般
面出插值项式节点意分布情况实际应时常遇等距节点情况里称步长设点函数值称处步长阶差分般称
处阶差分Newton前插公式
Lagrange 插值相Newton 插值具承袭性易变动节点特点Newton 插值计算插值项式求解函数似值较方便计算量相较公式增加节点插值项式增加项便计算具灵活增加节点特点Newton插值仅节点处函数做约束果插值条件增加节点处导数条件话需面插值法—Hermite插值
23 Hermite插值
插值项式求插值节点函数值相等实际问题求节点导数值相等甚高阶导数值相等满足种求插值项式称Hermite插值项式
表2
…
…
…
表设 满足条件次Hermite插值项式
中
称Hermite插值基函数Lagrange 插值基函数适提高插值项式次数会提高计算结果准确度绝认插值项式次数越高越利插值函数节点信息越误差越
插值项式截断误差公式见：插值误差
截断误差关绝值定增加减高次插值稳定性般实际计算时少高次插值
24分段插值
Lagrange插值方法根区间出节点构造插值项式般次数逼原函数实非分段插值通区间逼原函数构造分段插值项式方法然基函数法常见分段线性插值分段三次埃米特插值
1分段线性插值通区间折线段连接插值点逼设已知插值节点相应函数值记求折线函数满足：
（1）
（2）
（3）区间线性函数
称称分段线性插值函数
误差估计利插值余项
中
见分段线性插值余项赖二次导数界说明区间长度足够便保证充分分段线性插值函数收敛
2三次Hermite插值节点已知函数值外出导数值样满足条件：
（1）
（2）
（3）区间三次项式
式成立
误差估计：中
分段三次Hermite值分段线性插值效果明显改善种插值求出节点导数值提供信息太光滑度高（阶导数连续）改进种插值克服缺点面提出三次样条插值
25三次样条插值
三次样条插值法种分段插值法基思想插值区间等分区间求插值函数设区间取节点定点函数值果存分段函数：
函数满足条件：（1）区间高3次项式（2）区间连续（3）称三次样条插值函数插值节点处具二阶导数连续三次样条插值法具更光滑性
面介绍中出： Lagrange 插值着形式称理十分重点计算复杂增加节点前面插值基函数值作废Newton插值增加节点插值项式增加项便递推运算具灵活增加节点优点Newton插值仅节点处函数作约束果插值条件增加节点处导函数限制话Hermite插值项式般少种高次插值法稳定性缘更分段插值实现然插值曲线分段衔接节点处保证整曲线光滑性三次样条插值函数接导数值接样逼效果插值法难达Lagrange 插值三次样条插值法层层递进解决问题插值函数插值函数越越逼
面面五种插值法出适合解决类型题目例子通例子更清楚理解认识五种插值法特征
3 五种插值法解题分析较
面例子较五种插值法间运算
例1 已知插值条件表示：
求二次插值项式
解 单项式基底解设插值条件
解
Lagrange 插值基函数
Newton插值法
整理知三种方法项式
通面例子解题难出求解二次插值项式说Newton插值法简单Lagrange插值法计算复杂单项式基底说果次数高话未知数数越求解越复杂解类题话Newton插值法更方便简洁果插值节点仅应函数值导函数值Hermite插值例面题目
例2 求次数等3项式满足：
解 题标准应Hermite插值问题公式直接计算
记题意知利两点Hermite值公式
中Hermite插值基函数
Newton插值仅节点处函数作约束果插值条件增加节点处导函数限制话Hermite插值项式面例子应关三次样条插值例子解决问题时特点
例3 定数表：
025
030
039
045
053
05000
05477
06245
06708
07280
试求三次样条插值满足条件：
（1）
（2）
解 定数知
均差
（1）边界条件
矩阵形式三弯矩方程
解
利三次样条表达式
代入整
（2）边界条件三弯矩方程
解
代入三次样条表达式整理
解存唯性求解插值函数线性方程组系数矩阵三角方程组算法具较计算复杂性稳定性插值函数具定光滑性等优点三次样条插值应较广泛
例4 已知函数区间等距节点时函数值求分段线性插值函数计算似值节点处函数值：
0
解 面节中分段插值公式知：
分段插值函数
原函数值较发现分段插值函数逼原函数时较准确分段线性插值法逼原函数误差
例5 出处函数值
（1）次Lagrange插值项式求似值准确值进行较
(2) 次Newton插值项式求似值准确值作较
（3）次线性插值项式求似值
解 （1）面节Lagrange插值公式知：
四次Lagrange插值项式
实际值
（2） Newton前插公式先构造表查分表Newton前插公式（前面22介绍）
取
实际值误差较
(3) 面节中分段插值公式知：
实际值误差
面例子出Lagrange插值法求解公式称性容易观察出缺点计算太复杂麻烦误差值Newton插值法言形式简单计算方便误差Lagrange线性插值项式求解误差值精确般果想求解简单计算方便Newton插值法求解果求计算精确线性插值Lagrange插值般研究性质应部
面插值法实际生活中应插值问题解决方法误差较区
4 五种插值实际应
例1 闸阀局部阻力系数闸阀关闭度 关( 径 开度)
函数表
0
18
28
38
48
58
68
78
0 00
0 07
0 20
0 81
2 06
5 52
17 60
97 80
果闸阀控制时 求局部阻力系数值
解 该函数表等距节点排序 应牛顿插值公式 挑选出 0 15 附三节点进行二次插值 列表 阶二阶差分算出列该表右侧列
0
0 00
18
0 07
0 07
28
0 20
013
006
38
0 81
061
048
042
三次插值 应挑选4节点 添 节点 时表添行列(虚线框行列)
样 三次插值值：
出 需取较高次插值时需添项应节点计算 前面计算保持效Newton插值法优点
例2 某区冬天天午九点午三点气温变化数：求段时间温度时间关系
解 方法拉格朗日插值法解
x[9115]
y1(1+x^2)
x0[90115]
y0lagrange(xyx0)
y11(1+x0^2)
plot(x0y0＇r＇)
hold on
plot(x0y1＇b＇)
legend(＇拉格朗日插值曲线＇＇原曲线＇)
Runge现象产生
原曲线 lagrange插值曲线
方法二分段插值曲线解
x[9115]
y1(1+x^2)
x0[90115]
y0lagrange(xyx0)
y11(1+x0^2)
y2interpl(xyx0＇spline＇)
plot(x0y1＇b＇x0y0＇r＇x0y2＇xk＇)
legend(原曲线’’拉格朗日插值曲线’’分段插值曲线’)
原曲线 lagrange插值曲线
分段插值曲线
方法三三次样条插值法解
x[9115]
y1(1+x^2)
x0[90115]
y0lagrange(xyx0)
y11(1+x0^2)
y2interpl(xyx0＇spline＇)
y3interpl(xyx0)
plot(x0y1＇b＇x0y0＇r＇x0y2＇xk＇x0y3＇y＇)
legend(’原曲线’’拉格朗日插值曲线’’三次样条插值曲 线’’分段线性插值曲线’)
原曲线 lagrange插值曲线
三次样条插值曲线分段线性插值曲线
面三种方法出拉格朗日插值法做图明显原函数偏差较分段插值克服高次拉格朗日插值缺点通增加插值基点提高插值精度插值节点处光滑精确三次插值光滑插值点连续精确度高原函数逼
5结
文分析讨五种插值基础出相应例题作较解题中通应插值方法出相应较间区面介绍清楚出例题中体现出插值法生活实践中应实际应中次进行较出解决实际问题中五种插值法间区知插值方法似计算逼函数效方法插值法着应领域着广泛应计算机程序渔业冶金工程技术等应领域解决方法样应面介绍五种插值法中某解决问题函数项式逼原函数计算需出信息数文家五种插值法较研究
参考文献
[1] 赵景军吴勃英关数值分析教学点探讨[J]学数学200521（3）：2830
[2] 宋瑞霞样条函数节点技术[J]北方工业学学报200315658
[3] 吴斌插值方法[J]湖北学成教育学院学报1999（5）
[4] 赵前进关数值分析中插值法研究[J]安徽科技学院学报200721（3）：3436
[5] 李庆扬王超易义数值分析[M]武汉：华中科技学出版社1982
[6] 钟尔杰黄延祝数值分析[M]北京高等教育出版社2004103133
[7] 王仁宏数值逼[M]北京：高等出版社1999
[8] 齐东旭李华山数逼结点样条技术[J]中国科学（E辑）199944648
[9] 徐翠微孙绳武计算方法引[M]高等教育出版社2002
[10] 刘长河汪元伦插值法求拟三角方程组数值解[J]北京建筑工程学院学报
200425759
[11] Moore R EInterval analysis[M] New Jersey PrenticeHall1966
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装
订
线
科生毕业文（设计）
题目： 五种插值法较
系 部 数学系
学科门类 理学
专 业 数学应数学
学 号
姓 名
指导教师
2012 年 X 月 X 日
五种插值法较
摘
插值法数值计算中种重方法实际生活中函数求出通该函数限点处取值某函数逼然估计出该函数点函数值古代已二次等距插值天文计算现代工程计算算法理等方面插值方法种篇文章介绍般常五种插值法讨五种插值法理中区实际中应文先五种插值法定义通定义形式差异做简单较结合相应例题纳总结五种插值法特点清楚知道种类型插值法更适合解决种类型问题通实际应分析较Lagrange 插值Newton插值三次样条插值分段插值解决相应问题间差异
关键词：项式 插值函数插值法
ABSTRACT
装
订
线
Interpolation method is an important method of numerical calculation In real life there are many functions that we cannot work out but we can pass through the function in the finite point value with a function to approach it and then estimate the function in other points on the function value In ancient times have used two equidistant interpolation in astronomical calculations and applied it in engineering computation algorithm theory etc in morden time Interpolation method has many kinds this article mainly introduces the commonly used five kinds of interpolation and discuss the difference of five kinds of interpolation method in the theory and application in practiceThis paper starts from the definition of five kinds of interpolation by their definitions in the form of difference to do simple comparisoncombined with the corresponding examples summarizes five kinds of interpolation features so that we know which type of interpolation method is more suitable to solve certian kind of problemand finally by practical application we can analysis and comparison the differences between Newton Lagrange interpolation interpolation three times spline interpolation and piecewise interpolation respectively in the solution of the corresponding problem
Key words polynomial interpolation functioninterpolation
目 录
摘 I
ABSTRACT II
1 引言 1
2 五种插值法 2
21 Lagrange插值 2
22 Newton插值 3
23 Hermite插值 3
24分段插值 4
25三次样条插值 5
3 五种插值法解题分析较 7
4 五种差值实际应 14
5结 17
参考文献 18
1 引言
插值方法数值计算中基方法种古老数学方法中国古代开始二次插值法推算天文历法中周髀九章中已次插值法现代插值法应十分广泛解决信息技术中图象重建 图放程中避免图象失真建筑工程外观设计天文观测数物理学中应等方面问题
函数插值法简称插值法许实际问题中函数然解析式计算起复杂起方便通函数出某点函数值构造反映函数特征便计算简单函数逼原函数说函数逼 逼函数类型种选择方法基代数项式应广泛
建立代数项式种方法文介绍Lagrange 插值项式便理推导形式描述算法理十分重Newton插值方法具递推性组成规律方便实际计算Hermite插值项式插值节点导函数限制情况分段插值三次样条插逼效果插值法难达
文介绍五种插值法间区通理实际较读者更清楚认识解五种插值法
2 五种插值法
插值问题说果已知条件互异插值节点点处函数值构造插值函数般超次项式称般基点项式插值问题Lagrange插值Newton插值Hermite插值三次样条插值分段插值五种插值法定际运中特点面首先定义做简单较
21 Lagrange插值
时惯插值节点相应函数值采表1形式列出简称表1出插值问题
表1
…
…
Lagrange 插值次项式插值成功构造插值基函数方法解决求n 次项式插值函数问题表(1)n次Lagrange 插值项式数学式：
中（i012…n）插值基函数
Lagrange 插值项式余项
中 难发现Lagrange 插值项式便理推导形式描述算法理十分重便计算函数值Lagrange插值项式计算函数似值果精度满足
增加节点原计算数均克服缺点面介绍外种插值法Newton
插值法
22 Newton插值
Newton 插值次项式插值 基思路求次差值项式改写成逐次生成形式然插值条件求定系数表（1）构造Newton 插值项式
插值时首先计算阶差商阶差商计算结阶差商逐次计算般
面出插值项式节点意分布情况实际应时常遇等距节点情况里称步长设点函数值称处步长阶差分般称
处阶差分Newton前插公式
Lagrange 插值相Newton 插值具承袭性易变动节点特点Newton 插值计算插值项式求解函数似值较方便计算量相较公式增加节点插值项式增加项便计算具灵活增加节点特点Newton插值仅节点处函数做约束果插值条件增加节点处导数条件话需面插值法—Hermite插值
23 Hermite插值
插值项式求插值节点函数值相等实际问题求节点导数值相等甚高阶导数值相等满足种求插值项式称Hermite插值项式
表2
…
…
…
表设 满足条件次Hermite插值项式
中
称Hermite插值基函数Lagrange 插值基函数适提高插值项式次数会提高计算结果准确度绝认插值项式次数越高越利插值函数节点信息越误差越
插值项式截断误差公式见：插值误差
截断误差关绝值定增加减高次插值稳定性般实际计算时少高次插值
24分段插值
Lagrange插值方法根区间出节点构造插值项式般次数逼原函数实非分段插值通区间逼原函数构造分段插值项式方法然基函数法常见分段线性插值分段三次埃米特插值
1分段线性插值通区间折线段连接插值点逼设已知插值节点相应函数值记求折线函数满足：
（1）
（2）
（3）区间线性函数
称称分段线性插值函数
误差估计利插值余项
中
见分段线性插值余项赖二次导数界说明区间长度足够便保证充分分段线性插值函数收敛
2三次Hermite插值节点已知函数值外出导数值样满足条件：
（1）
（2）
（3）区间三次项式
式成立
误差估计：中
分段三次Hermite值分段线性插值效果明显改善种插值求出节点导数值提供信息太光滑度高（阶导数连续）改进种插值克服缺点面提出三次样条插值
25三次样条插值
三次样条插值法种分段插值法基思想插值区间等分区间求插值函数设区间取节点定点函数值果存分段函数：
函数满足条件：（1）区间高3次项式（2）区间连续（3）称三次样条插值函数插值节点处具二阶导数连续三次样条插值法具更光滑性
面介绍中出： Lagrange 插值着形式称理十分重点计算复杂增加节点前面插值基函数值作废Newton插值增加节点插值项式增加项便递推运算具灵活增加节点优点Newton插值仅节点处函数作约束果插值条件增加节点处导函数限制话Hermite插值项式般少种高次插值法稳定性缘更分段插值实现然插值曲线分段衔接节点处保证整曲线光滑性三次样条插值函数接导数值接样逼效果插值法难达Lagrange 插值三次样条插值法层层递进解决问题插值函数插值函数越越逼
面面五种插值法出适合解决类型题目例子通例子更清楚理解认识五种插值法特征
3 五种插值法解题分析较
面例子较五种插值法间运算
例1 已知插值条件表示：
求二次插值项式
解 单项式基底解设插值条件
解
Lagrange 插值基函数
Newton插值法
整理知三种方法项式
通面例子解题难出求解二次插值项式说Newton插值法简单Lagrange插值法计算复杂单项式基底说果次数高话未知数数越求解越复杂解类题话Newton插值法更方便简洁果插值节点仅应函数值导函数值Hermite插值例面题目
例2 求次数等3项式满足：
解 题标准应Hermite插值问题公式直接计算
记题意知利两点Hermite值公式
中Hermite插值基函数
Newton插值仅节点处函数作约束果插值条件增加节点处导函数限制话Hermite插值项式面例子应关三次样条插值例子解决问题时特点
例3 定数表：
025
030
039
045
053
05000
05477
06245
06708
07280
试求三次样条插值满足条件：
（1）
（2）
解 定数知
均差
（1）边界条件
矩阵形式三弯矩方程
解
利三次样条表达式
代入整
（2）边界条件三弯矩方程
解
代入三次样条表达式整理
解存唯性求解插值函数线性方程组系数矩阵三角方程组算法具较计算复杂性稳定性插值函数具定光滑性等优点三次样条插值应较广泛
例4 已知函数区间等距节点时函数值求分段线性插值函数计算似值节点处函数值：
0
解 面节中分段插值公式知：
分段插值函数
原函数值较发现分段插值函数逼原函数时较准确分段线性插值法逼原函数误差
例5 出处函数值
（1）次Lagrange插值项式求似值准确值进行较
(2) 次Newton插值项式求似值准确值作较
（3）次线性插值项式求似值
解 （1）面节Lagrange插值公式知：
四次Lagrange插值项式
实际值
（2） Newton前插公式先构造表查分表Newton前插公式（前面22介绍）
取
实际值误差较
(3) 面节中分段插值公式知：
实际值误差
面例子出Lagrange插值法求解公式称性容易观察出缺点计算太复杂麻烦误差值Newton插值法言形式简单计算方便误差Lagrange线性插值项式求解误差值精确般果想求解简单计算方便Newton插值法求解果求计算精确线性插值Lagrange插值般研究性质应部
面插值法实际生活中应插值问题解决方法误差较区
4 五种插值实际应
例1 闸阀局部阻力系数闸阀关闭度 关( 径 开度)
函数表
0
18
28
38
48
58
68
78
0 00
0 07
0 20
0 81
2 06
5 52
17 60
97 80
果闸阀控制时 求局部阻力系数值
解 该函数表等距节点排序 应牛顿插值公式 挑选出 0 15 附三节点进行二次插值 列表 阶二阶差分算出列该表右侧列
0
0 00
18
0 07
0 07
28
0 20
013
006
38
0 81
061
048
042
三次插值 应挑选4节点 添 节点 时表添行列(虚线框行列)
样 三次插值值：
出 需取较高次插值时需添项应节点计算 前面计算保持效Newton插值法优点
例2 某区冬天天午九点午三点气温变化数：求段时间温度时间关系
解 方法拉格朗日插值法解
x[9115]
y1(1+x^2)
x0[90115]
y0lagrange(xyx0)
y11(1+x0^2)
plot(x0y0＇r＇)
hold on
plot(x0y1＇b＇)
legend(＇拉格朗日插值曲线＇＇原曲线＇)
Runge现象产生
原曲线 lagrange插值曲线
方法二分段插值曲线解
x[9115]
y1(1+x^2)
x0[90115]
y0lagrange(xyx0)
y11(1+x0^2)
y2interpl(xyx0＇spline＇)
plot(x0y1＇b＇x0y0＇r＇x0y2＇xk＇)
legend(原曲线’’拉格朗日插值曲线’’分段插值曲线’)
原曲线 lagrange插值曲线
分段插值曲线
方法三三次样条插值法解
x[9115]
y1(1+x^2)
x0[90115]
y0lagrange(xyx0)
y11(1+x0^2)
y2interpl(xyx0＇spline＇)
y3interpl(xyx0)
plot(x0y1＇b＇x0y0＇r＇x0y2＇xk＇x0y3＇y＇)
legend(’原曲线’’拉格朗日插值曲线’’三次样条插值曲 线’’分段线性插值曲线’)
原曲线 lagrange插值曲线
三次样条插值曲线分段线性插值曲线
面三种方法出拉格朗日插值法做图明显原函数偏差较分段插值克服高次拉格朗日插值缺点通增加插值基点提高插值精度插值节点处光滑精确三次插值光滑插值点连续精确度高原函数逼
5结
文分析讨五种插值基础出相应例题作较解题中通应插值方法出相应较间区面介绍清楚出例题中体现出插值法生活实践中应实际应中次进行较出解决实际问题中五种插值法间区知插值方法似计算逼函数效方法插值法着应领域着广泛应计算机程序渔业冶金工程技术等应领域解决方法样应面介绍五种插值法中某解决问题函数项式逼原函数计算需出信息数文家五种插值法较研究
参考文献
[1] 赵景军吴勃英关数值分析教学点探讨[J]学数学200521（3）：2830
[2] 宋瑞霞样条函数节点技术[J]北方工业学学报200315658
[3] 吴斌插值方法[J]湖北学成教育学院学报1999（5）
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