2021年四川中考复专题：特殊行四边形
解答题
1．图行四边形ABCD中EF角线BD点BE＝DF连接AECF．
（1）求证△ADE≌△CBF
（2）连接AFCEAB＝AD求证：四边形AFCE菱形．
2．图点EF分菱形ABCD边BCCD∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
3．图菱形ABCD中EFAC两点AE＝CF．求证：四边形BFDE菱形．
4．图正方形ABCD边长4BE＝CEDF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
5．图四边形ABCD菱形点EF分边DADC点DE＝DF连接BEBF求证：BE＝BF．
6．图菱形ABCD中DM⊥AB点MDN⊥BC点N．求证：AM＝CN．
7．图矩形ABCD角线ACBD相交点OAB＝5cm∠BOC＝120°求矩形角线长．
8．已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OAE⊥BD点EBF⊥AC点F．求证：AE＝BF．
9．图▱ABCD中BC＝2CDEF分ADBC中点连接EF．
（1）求证：四边形EFCD菱形
（2）连接AFAF＝23∠DEF＝60°EF长 菱形EFCD面积 ．
10．图菱形ABCD中点O角线AC中点O直线交ADBC分点EF连接CEAF．求证：AF＝CE．
11．图菱形ABCD中角线ACBD交点O点A作AE⊥BC点E延长BC点FCF＝BE连接DF．
（1）求证：四边形AEFD矩形
（2）连接OEAD＝10EC＝4求OE长度．
12．图▱ABCD中EF分ADBC中点点MN角线ACAM＝CN．
（1）求证四边形EMFN行四边形
（2）AB⊥AC求证▱EMFN菱形．
13．图▱ABCD中点EFAD边BF＝CEAE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE
（2）求证：四边形ABCD矩形．
14．图△ABC中AD边BC中线AE∥BCDE∥ABDEAC交点O连接CE．
（1）求证：AD＝EC
（2）∠BAC＝90°求证：四边形ADCE菱形．
15．图▱ABCD中角线AC分∠BAD点EFACCE＝AF．连接BEBFDEDF．求证：四边形BEDF菱形．
16．图Rt△ABC中∠ABC＝90°DAC中点连接BD点C作CE∥BDB作BE∥AC两直线相交点E．
（1）求证：四边形DBEC菱形
（2）∠A＝30°BC＝2求四边形DBEC面积．
17．图已知四边形ABCD正方形角线ACBD相交O．
（1）图1设EF分ADAB点∠EOF＝90°线段AFBFEF间存定数量关系．请等式直接写出数量关系
（2）图2设EF分AB两点∠EOF＝45°请等式表示线段AEBFEF间数量关系证明．
18．图矩形ABCD中AB＝23BC＝3点E射线BC动点△ABE关AE轴称图形△FAE．
（1）点F角线AC时求FC长
（2）△FCE直角三角形时求BE长．
19．阅读面直角坐标系中意两点P（x1y1）Q（x2y2）端点线段中点坐标（x1+x22y1+y22）．已知行四边形角线互相分图连接OEFN相交点MOEFN行四边形ONEP角线OEPN互相分点M线段OEFN中点．
运（1）图矩形ONEF角线交点MONOF分x轴y轴O坐标原点点E坐标（43）点M线段OE中点点M坐标 ．
（2）直角坐标系中A（﹣12）B（31）C（14）三点点D点ABC构成行四边形顶点求点D坐标．
20．图1点E正方形AOCD边AD点H边AOAH＝DE．
（1）求证：DH⊥CE
（2）图2EF⊥CEFH⊥AO垂足点H．求证：FH＝AH．
21．图正方形ABCD角线ACBD交点O∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．
22．图菱形ABCD中∠ACD＝30°BD＝6求AC长．
23．图①点P菱形ABCD角线AC点点EBC延长线PE＝PB．
（1）求证：PD＝PE
（2）图②∠ABC＝90°时连接DEDEBP否定值？果请求值果请说明理．
24．图▱ABCD中延长AB点EBE＝ABDE交BC点O连接EC．
（1）求证：四边形BECD行四边形
（2）∠A＝40°∠BOD等少度时四边形BECD矩形说明理．
25．图△ABC中BD⊥ACDCE⊥ABE点MN分BCDE中点．
（1）求证：MN⊥DE
（2）∠A＝60°BC＝12求MN值．
26．图▱ABCD中点D作DE⊥AB点E点F边CDCF＝AE连接AFBF．
（1）求证：四边形BFDE矩形
（2）已知∠DAB＝60°AF∠DAB分线AD＝4求▱ABCD面积．
27．图▱ABCD角线ACBD相交点O．AB＝10AC＝12BD＝16．
（1）求证：▱ABCD菱形
（2）点P角线BD动点（点BD重合）PE⊥AB点EPF⊥AD点FPE+PF否定值？求出定值请说明理．
28．图△ABC三边边分作等边△ACD△ABE△BCF．
（1）求证：△EBF≌△ABC
（2）求证：四边形AEFD行四边形
（3）△ABC满足 时四边形AEFD正方形．
29．已知边长2正方形ABCD中P角线AC动点（点AC重合）点P作PE⊥PBPE交DC点E点E作EF⊥AC垂足点F．
（1）求证：PB＝PE
（2）点P运动程中PF长度否发生变化？变求出变值变化试说明理．
30．图正方形ABCD中P角线BD点点EAD延长线PA＝PEPE交CD点F．
（1）求证：PC＝PE
（2）PD＝DE求证：BP＝BC．
2021年四川中考复专题：特殊行四边形
参考答案试题解析
解答题
1．图行四边形ABCD中EF角线BD点BE＝DF连接AECF．
（1）求证△ADE≌△CBF
（2）连接AFCEAB＝AD求证：四边形AFCE菱形．
解答证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AD＝BCAD∥BC
∴∠ADE＝∠CBF
∵BE＝DF
∴BF＝DE
△ADE△CBF中
ADCB∠ADE∠CBFDEBF
∴△ADE≌△CBF（SAS）
（2）连接AC交BD点O
∵AB＝AD四边形ABCD行四边形
∴四边形ABCD菱形
∴AC⊥BDAO＝COBO＝DO
∵BE＝DF
∴EO＝FO
∴四边形AECF行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形AECF菱形．
2．图点EF分菱形ABCD边BCCD∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
解答证明：∵四边形ABCD菱形
∴∠B＝∠DAB＝AD
△ABE△ADF中
∠BAE∠DAFABAD∠B∠D
∴△ABE≌△ADF（ASA）
∴AE＝AF．
3．图菱形ABCD中EFAC两点AE＝CF．求证：四边形BFDE菱形．
解答证明：连接BD交AC点O
∵四边形ABCD菱形
∴OB＝ODOA＝OCAC⊥BD
∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CFOE＝OF
∴四边形BEDF行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形BEDF菱形．
4．图正方形ABCD边长4BE＝CEDF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
解答证明：连接AF
∵四边形ABCD正方形
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵正方形ABCD边长4BE＝CEDF＝3CF．
∴BE＝CE＝2CF＝1DF＝3
勾股定理
AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20
EF2＝CE2+CF2＝22+12＝5
AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25
∵AE2+EF2＝AF2
∴△AEF直角三角形∠AEF＝90°．
5．图四边形ABCD菱形点EF分边DADC点DE＝DF连接BEBF求证：BE＝BF．
解答证明：图连接BD
菱形ABCD中∠ADB＝∠CDB
△EDB△FDB中
DEDF∠EDB∠FDBBDBD
∴△EDB≌△FDB（SAS）
∴BE＝BF．
6．图菱形ABCD中DM⊥AB点MDN⊥BC点N．求证：AM＝CN．
解答证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD＝CD∠A＝∠C
∵DM⊥ABDN⊥BC
∴∠DMA＝∠DNC＝90°
△DAM△DCN中
∠A∠C∠DMA∠DNC90°ADCD
∴△DAM≌△DCN（AAS）
∴AM＝CN．
7．图矩形ABCD角线ACBD相交点OAB＝5cm∠BOC＝120°求矩形角线长．
解答解：∵∠BOC＝120°
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°
∵四边形ABCD矩形
∴∠ABC＝90°AC＝BDOA＝OC12ACOB＝OD12BD
∴OA＝OB
∵∠AOB＝60°
∴△AOB等边三角形
∵AB＝5cm
∴OA＝OB＝AB＝5cm
∴AC＝2AO＝10cmBD＝AC＝10cm．
8．已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OAE⊥BD点EBF⊥AC点F．求证：AE＝BF．
解答证明：∵四边形ABCD矩形
∴OA＝OB
∵AE⊥BD点EBF⊥AC点F
∴∠AEO＝∠BFO＝90°
∵∠AOE＝∠BOF
△AEO△BFO中
∠AEO∠BFO90°∠AOE∠BOFOAOB
∴△AEO≌△BFO（AAS）
∴AE＝BF．
9．图▱ABCD中BC＝2CDEF分ADBC中点连接EF．
（1）求证：四边形EFCD菱形
（2）连接AFAF＝23∠DEF＝60°EF长 2 菱形EFCD面积 23 ．
解答证明：（1）▱ABCD中BC＝2CD
∴AD∥BCAD＝BC＝2CD
∵EF分ADBC中点
∴DE＝CF＝CD
AD∥BC
∴四边形EFCD行四边形
∵CD＝DE
∴四边形EFCD菱形
（2）图点F作FH⊥ADH
∵四边形EFCD菱形
∴DE＝EF＝AE
∵∠DEF＝60°
∴∠EFH＝30°
∴EH12EFFH3EH
∴AH＝AE+EH＝3EH
∵AF2＝AH2+HF2
∴12＝9EH2+3EH2
∴EH＝1
∴EF＝2＝DEHF3
∴菱形EFCD面积＝2×323
答案：223．
10．图菱形ABCD中点O角线AC中点O直线交ADBC分点EF连接CEAF．求证：AF＝CE．
解答证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∵点OAC中点
∴AO＝CO
△AOE△COF中
∠DAC∠BCAAOCO∠AOE∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE＝CF
∴四边形AECF行四边形
∴AF＝CE．
11．图菱形ABCD中角线ACBD交点O点A作AE⊥BC点E延长BC点FCF＝BE连接DF．
（1）求证：四边形AEFD矩形
（2）连接OEAD＝10EC＝4求OE长度．
解答（1）证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD∥BCAD＝BC
∵BE＝CF
∴BC＝EF
∴AD＝EF
∵AD∥EF
∴四边形AEFD行四边形
∵AE⊥BC
∴∠AEF＝90°
∴四边形AEFD矩形
（2）解：∵四边形ABCD菱形AD＝10
∴AD＝AB＝BC＝10
∵EC＝4
∴BE＝10﹣4＝6
Rt△ABE中AEAB2BE2102628
Rt△AEC中ACAE2+EC282+4245
∵四边形ABCD菱形
∴OA＝OC
∴OE12AC25．
12．图▱ABCD中EF分ADBC中点点MN角线ACAM＝CN．
（1）求证四边形EMFN行四边形
（2）AB⊥AC求证▱EMFN菱形．
解答证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BCAD＝BC
∴∠EAM＝∠FCN
∵EF分ADBC中点
∴AE＝DE＝BF＝CF
△AEM△CFN中
AECF∠EAM∠FCNAMCN
∴△AEM≌△CFN（SAS）
∴EM＝FN∠AME＝∠CNF
∴∠EMN＝∠FNM
∴EM∥FN
∴四边形EMFN行四边形
（2）连接EF交ACO图示：
（1）：AE∥BFAE＝BF
∴四边形AEBF行四边形
∴AB∥EF
∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°
∴∠COF＝∠BAC＝90°
∴EF⊥MN
∴▱EMFN菱形．
13．图▱ABCD中点EFAD边BF＝CEAE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE
（2）求证：四边形ABCD矩形．
解答证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AB＝CDAB∥CD
∵AE＝FD
∴AE+EF＝FD+EF
AF＝DE
△ABF△DCE中
ABCDBFCEAFDE
∴△ABF≌△DCE（SSS）
（2）（1）知：△ABF≌△DCE
∴∠A＝∠D
∵AB∥CD
∴∠A+∠D＝180°
∴2∠A＝180°
∴∠A＝90°
∴▱ABCD矩形．
14．图△ABC中AD边BC中线AE∥BCDE∥ABDEAC交点O连接CE．
（1）求证：AD＝EC
（2）∠BAC＝90°求证：四边形ADCE菱形．
解答证明：（1）∵DE∥ABAE∥BC
∴四边形ABDE行四边形
∴AE∥BDAE＝BD
∵ADBC边中线
∴BD＝CD
∴AE＝CD
∵AE∥CD
∴四边形ADCE行四边形
∴AD＝EC
（2）∵∠BAC＝90°AD斜边BC中线
∴AD＝BD＝CD
（1）：四边形ADCE行四边形
∴行四边形ADCE菱形．
15．图▱ABCD中角线AC分∠BAD点EFACCE＝AF．连接BEBFDEDF．求证：四边形BEDF菱形．
解答证明：图连接BD交AC点O
∵四边形ABCD行四边形
∴BO＝DOAO＝CO
∵CE＝AF
∴EO＝FO
∴四边形BEDF行四边形
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDAB＝CD
∴∠BAC＝∠ACD
∵AC分∠BAD
∴∠BAC＝∠DAC
∴∠ACD＝∠DAC
∴AD＝CD
∴AB＝AD
△ABF△ADF中
ABAD∠BAF∠DAFAFAF
∴△ABF≌△ADF（SAS）
∴BF＝DF
∴四边形BEDF菱形．
16．图Rt△ABC中∠ABC＝90°DAC中点连接BD点C作CE∥BDB作BE∥AC两直线相交点E．
（1）求证：四边形DBEC菱形
（2）∠A＝30°BC＝2求四边形DBEC面积．
解答证明：（1）∵CE∥BDBE∥AC
∴四边形BECD行四边形
∵∠ABC＝90°DAC中点
∴BD＝DC
∴四边形DBEC菱形
（2）∵∠A＝30°∠ABC＝90°BC＝2
∴AC＝2BC＝4AB3BC＝23
∴S△CDB12S△ABC12×12×2×233
∵四边形BECD菱形
∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝23．
17．图已知四边形ABCD正方形角线ACBD相交O．
（1）图1设EF分ADAB点∠EOF＝90°线段AFBFEF间存定数量关系．请等式直接写出数量关系
（2）图2设EF分AB两点∠EOF＝45°请等式表示线段AEBFEF间数量关系证明．
解答解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理：图1∵四边形ABCD正方形
∴OA＝OB∠OAE＝∠OBF＝45°AC⊥BD
∴∠EOF＝∠AOB＝90°
∴∠EOA＝∠FOB
△EOA△FOB中
∠EOA∠FOBOAOB∠OAE∠OBF
∴△EOA≌△FOB（ASA）
∴AE＝BF
Rt△EAF中EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2
（2）BC取点HBH＝AE．
∵四边形ABCD正方形
∴OA＝OB∠OAE＝∠OBH∠AOB＝90°
△OAE△OBH中
OAOB∠OAE∠OBHAEBH
∴△OAE≌△OBH（SAS）
∴AE＝BH∠AOE＝∠BOHOE＝OH
∵∠EOF＝45°
∴∠AOE+∠BOF＝45°
∴∠BOF+∠BOH＝45°
∴∠FOE＝∠FOH＝45°
△FOE△FOH中•
OFOF∠FOE∠FOHOEOH
∴△FOE≌△FOH（SAS）
∴EF＝FH
∵∠FBH＝90°
∴FH2＝BF2+BH2
∴EF2＝BF2+AE2
18．图矩形ABCD中AB＝23BC＝3点E射线BC动点△ABE关AE轴称图形△FAE．
（1）点F角线AC时求FC长
（2）△FCE直角三角形时求BE长．
解答解：（1）图示：
∵AB＝23BC＝3
∴ACAB2+BC221
∵△ABE关AE轴称图形△FAE
∴AF＝AB＝23
∴FC＝AC﹣AF2123．
（2）△FCE直角三角形时
①∠CFE直角时（1）图示：
题意知点F角线ACEF⊥AC
设BE＝xEF＝x
∴S△ABC12×3×2333
S△ABE12×23×x3x
S△ACE12×21×x
∴333x+212x
解：x＝274．
∴BE＝274．
②∠FCE直角时图示：
∵△ABE关AE轴称图形△FAE．
∴AB＝AFBE＝EF
Rt△ADF中AD＝3AF＝23
∴DFAF2AD21293
CF＝DC﹣CE＝2333
设BE＝xEF＝xCE＝3﹣x
∴Rt△ADF中
EF2＝CE2+CF2
x2＝（3﹣x）2+(3)2
解：x＝2
∴BE＝EF＝2
③EBC延长线时时∠CEF直角图示：
题意：BE＝AB＝EF＝23．
19．阅读面直角坐标系中意两点P（x1y1）Q（x2y2）端点线段中点坐标（x1+x22y1+y22）．已知行四边形角线互相分图连接OEFN相交点MOEFN行四边形ONEP角线OEPN互相分点M线段OEFN中点．
运（1）图矩形ONEF角线交点MONOF分x轴y轴O坐标原点点E坐标（43）点M线段OE中点点M坐标 （232） ．
（2）直角坐标系中A（﹣12）B（31）C（14）三点点D点ABC构成行四边形顶点求点D坐标．
解答解：（1）∵四边形ONEF矩形
∴MOE中点
∵O坐标原点点E坐标（43）
∴M（4232）M（232）
答案：（232）
（2）图三种情况：
①ACBC行四边形边时连接角线ABCD1交E
∴AE＝EBCE＝ED1
∵A（﹣12）B（31）
∴E（132）
∵C（14）
∴D1（1﹣1）
②BCCD2行四边形边时连接角线BD2AC交G
理D2（﹣35）
③ACAB行四边形边时连接 AD3BC交F
理D3（53）
综述点D坐标（1﹣1）（﹣35）（53）．
20．图1点E正方形AOCD边AD点H边AOAH＝DE．
（1）求证：DH⊥CE
（2）图2EF⊥CEFH⊥AO垂足点H．求证：FH＝AH．
解答证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴AD＝CD
∠DAH＝∠CDE＝90°
△HAD△EDC中
ADCD∠DAH∠CDEAHDE
∴△HAD≌△EDC（SAS）
∴∠ADH＝∠DCE
∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°
∴∠DFC＝90°
∴CE⊥DH
（2）图2F作FG⊥AD交DA延长线G
∵FH⊥AO
∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°
∴四边形AGFH矩形
∴FG＝AH＝DE∠G＝90°
△GFE△DEC中
∠GEF∠DCE∠G∠DGFDE
∴△GFE≌△DEC（AAS）
∴EG＝DC＝AD
∴EG﹣AE＝AD﹣AE
∴AG＝DE＝FH＝AH
∴FH＝AH．
21．图正方形ABCD角线ACBD交点O∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．
解答证明：∵四边形ABCD正方形
∴AC⊥BD∠AOB＝∠BOC＝90°
∴OB＝OC
△OCF△OBE中
∠OCF∠OBEOCOB∠COF∠BOE
∴△OCF≌△OBE（ASA）
∴∠OFC＝∠OEB
∴∠BFC＝∠AEB．
22．图菱形ABCD中∠ACD＝30°BD＝6求AC长．
解答解：∵四边形ABCD菱形
∴BO＝DO12BD＝3AO＝COAC⊥BD
∵∠ACD＝30°
∴CO3DO＝33
∴AC＝2CO＝63．
23．图①点P菱形ABCD角线AC点点EBC延长线PE＝PB．
（1）求证：PD＝PE
（2）图②∠ABC＝90°时连接DEDEBP否定值？果请求值果请说明理．
解答证明：（1）∵四边形ABCD菱形
∴BC＝DC∠BCP＝∠DCPAB∥DC
△BCP△DCP中
BCDC∠BCP∠DCPPCPC
∴△BCP≌△DCP（SAS）
∴PB＝PD
∵PE＝PB
∴PD＝PE
（2）DEBP2理：
∵∠ABC＝90°
∴四边形ABCD正方形
（1）知△BCP≌△DCP
∴∠CBP＝∠CDP
∵PE＝PB
∴∠CBP＝∠E
∵∠CFE＝∠DFP（顶角相等）
∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E
∠DPE＝∠DCE
∵AB∥CD
∴∠DCE＝∠ABC
∴∠DPE＝∠ABC＝90°
∵PD＝PE
∴DE2PE
∴DEBP2．
24．图▱ABCD中延长AB点EBE＝ABDE交BC点O连接EC．
（1）求证：四边形BECD行四边形
（2）∠A＝40°∠BOD等少度时四边形BECD矩形说明理．
解答（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥DCAB＝CD
∵BE＝AB
∴BE＝CDBE∥CD
∴四边形BECD行四边形
（2）解：∠A＝40°∠BOD＝80°时四边形BECD矩形理：
∵四边形ABCD行四边形
∴∠BCD＝∠A＝40°
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD
∴OC＝OD
∵BO＝COOD＝OE
∴DE＝BC
∵四边形BECD行四边形
∴四边形BECD矩形．
25．图△ABC中BD⊥ACDCE⊥ABE点MN分BCDE中点．
（1）求证：MN⊥DE
（2）∠A＝60°BC＝12求MN值．
解答（1）证明：∵BD⊥ACDCE⊥ABE点MBC中点
∴MD＝ME12BC
∴点NDE中点
∴MN⊥DE
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
∵∠A＝60°
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°
∴∠DME＝60°
∴△MED等边三角形
∴DE＝DM
（1）知DM12BC＝6
∴DE＝6
∵NDE中点
∴DN12DE＝3
∴MNDM2DN233．
26．图▱ABCD中点D作DE⊥AB点E点F边CDCF＝AE连接AFBF．
（1）求证：四边形BFDE矩形
（2）已知∠DAB＝60°AF∠DAB分线AD＝4求▱ABCD面积．
解答（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴DC∥ABDC＝AB
∵CF＝AE
∴CD﹣CF＝AB﹣AE
∴DF＝BEDC∥AB
∴四边形BFDE行四边形
∵DE⊥AB
∴∠DEB＝90°
∴行四边形BFDE矩形
（2）解：∵∠DAB＝60°AD＝4DE⊥AB
∴∠ADE＝30°
∴AE12AD＝2DE3AE＝23
（1）：四边形DFBE矩形
∴BF＝DE＝23∠ABF＝90°
∵AF分∠DAB
∴∠FAB12∠DAB＝30°
∴AB3BF3×236
∴▱ABCD面积＝AB×DE＝6×23123．
27．图▱ABCD角线ACBD相交点O．AB＝10AC＝12BD＝16．
（1）求证：▱ABCD菱形
（2）点P角线BD动点（点BD重合）PE⊥AB点EPF⊥AD点FPE+PF否定值？求出定值请说明理．
解答（1）证明：∵四边形ABCD行四边形AC＝12BD＝16AB＝10
∴AO＝CO12AC＝6BO＝DO12BD＝8
∵62+82＝102
∴AO2+BO2＝AB2
∴∠AOB＝90°
∴AC⊥BD
∴▱ABCD菱形
（2）解：定值
连接OPB作BH⊥DAH
∵四边形ABCD菱形
∴AB＝AD＝10S△ABD12S菱形ABCD12×12AC•BD14×12×16＝48
∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO12AB•PE+12AD•PF12AD（PE+PF）12AD•BH
∴PE+PF＝BH
∵S△ABD12AD•BH12×10•BH＝48
∴BH485
∴PE+PF485．
PE+PF定值485．
28．图△ABC三边边分作等边△ACD△ABE△BCF．
（1）求证：△EBF≌△ABC
（2）求证：四边形AEFD行四边形
（3）△ABC满足 AB＝AC∠BAC＝150° 时四边形AEFD正方形．
解答（1）证明：∵△ABE△BCF等边三角形
∴AB＝BE＝AEBC＝CF＝FB∠ABE＝∠CBF＝60°
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF
∠CBA＝∠FBE
△EBF△ABC中
EBABFBE∠CBABFBC
∴△EBF≌△ABC（SAS）
（2）证明：∵△EBF≌△ABC
∴EF＝AC
∵△ADC等边三角形
∴CD＝AD＝AC
∴EF＝AD＝DC
理△ABC≌△DFC
∴AB＝AE＝DF
∴四边形AEFD行四边形
（3）解：AB＝AC∠BAC＝150°时四边形ADEF正方形．
理：∵△ABE△ACD等边三角形
∴AB＝AEAC＝AD∠EAB＝∠DAC＝60°
∵AB＝AC
∴AE＝AD
∵四边形ADEF行四边形
∴四边形ADEF菱形
∵∠BAC＝150°
∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°
∴行四边形ADEF正方形
答案：AB＝AC∠BAC＝150°．
29．已知边长2正方形ABCD中P角线AC动点（点AC重合）点P作PE⊥PBPE交DC点E点E作EF⊥AC垂足点F．
（1）求证：PB＝PE
（2）点P运动程中PF长度否发生变化？变求出变值变化试说明理．
解答（1）证明：点P作PG⊥BCG点P作PH⊥DCH图1．
∵四边形ABCD正方形PG⊥BCPH⊥DC
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB∠BPE＝90°
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
△PGB△PHE中
∠PGB∠PHEPGPH∠BPG∠EPH
∴△PGB≌△PHE（ASA）
∴PB＝PE．
（2）解：PE长度变．
连接BD图2．
∵四边形ABCD正方形
∴∠BOP＝90°
∵PE⊥PB∠BPE＝90°
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF
∵EF⊥PC∠PFE＝90°
∴∠BOP＝∠PFE
△BOP△PFE中
∠PBO∠EPF∠BOP∠PFEPBPE
∴△BOP≌△PFE（AAS）
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD正方形
∴OB＝OC∠BOC＝90°
∴BC2OB．
∵BC＝2
∴OB2
∴PF＝OB2．
∴点P运动程中PF长度变值2．
30．图正方形ABCD中P角线BD点点EAD延长线PA＝PEPE交CD点F．
（1）求证：PC＝PE
（2）PD＝DE求证：BP＝BC．
解答（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴AD＝CD∠ADP＝∠CDP
△ADP△CDP中
ADCD∠ADP∠CDPDPDP
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA＝PC
∵PA＝PE
∴PC＝PE．
（2）证明：四边形ABCD正方形
∴∠ADC＝∠CDE＝90°
∴∠E+∠DFE＝90°
∵PA＝PE
∴∠PAD＝∠E
（1）知△ADP≌△CDP
∴∠PAD＝∠PCD
∴∠PCD＝∠E
∵∠PFC＝∠DFE
∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°
∴∠CPE＝90°
∴∠BPC+∠DPE＝90°
∵PD＝DE
∴∠DPE＝∠E
∴∠DPE＝∠PCD
∵∠BCP+∠PCD＝90°
∴∠BPC＝∠BCP
∴BP＝BC．
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解答题
1．图行四边形ABCD中EF角线BD点BE＝DF连接AECF．
（1）求证△ADE≌△CBF
（2）连接AFCEAB＝AD求证：四边形AFCE菱形．
2．图点EF分菱形ABCD边BCCD∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
3．图菱形ABCD中EFAC两点AE＝CF．求证：四边形BFDE菱形．
4．图正方形ABCD边长4BE＝CEDF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
5．图四边形ABCD菱形点EF分边DADC点DE＝DF连接BEBF求证：BE＝BF．
6．图菱形ABCD中DM⊥AB点MDN⊥BC点N．求证：AM＝CN．
7．图矩形ABCD角线ACBD相交点OAB＝5cm∠BOC＝120°求矩形角线长．
8．已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OAE⊥BD点EBF⊥AC点F．求证：AE＝BF．
9．图▱ABCD中BC＝2CDEF分ADBC中点连接EF．
（1）求证：四边形EFCD菱形
（2）连接AFAF＝23∠DEF＝60°EF长 菱形EFCD面积 ．
10．图菱形ABCD中点O角线AC中点O直线交ADBC分点EF连接CEAF．求证：AF＝CE．
11．图菱形ABCD中角线ACBD交点O点A作AE⊥BC点E延长BC点FCF＝BE连接DF．
（1）求证：四边形AEFD矩形
（2）连接OEAD＝10EC＝4求OE长度．
12．图▱ABCD中EF分ADBC中点点MN角线ACAM＝CN．
（1）求证四边形EMFN行四边形
（2）AB⊥AC求证▱EMFN菱形．
13．图▱ABCD中点EFAD边BF＝CEAE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE
（2）求证：四边形ABCD矩形．
14．图△ABC中AD边BC中线AE∥BCDE∥ABDEAC交点O连接CE．
（1）求证：AD＝EC
（2）∠BAC＝90°求证：四边形ADCE菱形．
15．图▱ABCD中角线AC分∠BAD点EFACCE＝AF．连接BEBFDEDF．求证：四边形BEDF菱形．
16．图Rt△ABC中∠ABC＝90°DAC中点连接BD点C作CE∥BDB作BE∥AC两直线相交点E．
（1）求证：四边形DBEC菱形
（2）∠A＝30°BC＝2求四边形DBEC面积．
17．图已知四边形ABCD正方形角线ACBD相交O．
（1）图1设EF分ADAB点∠EOF＝90°线段AFBFEF间存定数量关系．请等式直接写出数量关系
（2）图2设EF分AB两点∠EOF＝45°请等式表示线段AEBFEF间数量关系证明．
18．图矩形ABCD中AB＝23BC＝3点E射线BC动点△ABE关AE轴称图形△FAE．
（1）点F角线AC时求FC长
（2）△FCE直角三角形时求BE长．
19．阅读面直角坐标系中意两点P（x1y1）Q（x2y2）端点线段中点坐标（x1+x22y1+y22）．已知行四边形角线互相分图连接OEFN相交点MOEFN行四边形ONEP角线OEPN互相分点M线段OEFN中点．
运（1）图矩形ONEF角线交点MONOF分x轴y轴O坐标原点点E坐标（43）点M线段OE中点点M坐标 ．
（2）直角坐标系中A（﹣12）B（31）C（14）三点点D点ABC构成行四边形顶点求点D坐标．
20．图1点E正方形AOCD边AD点H边AOAH＝DE．
（1）求证：DH⊥CE
（2）图2EF⊥CEFH⊥AO垂足点H．求证：FH＝AH．
21．图正方形ABCD角线ACBD交点O∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．
22．图菱形ABCD中∠ACD＝30°BD＝6求AC长．
23．图①点P菱形ABCD角线AC点点EBC延长线PE＝PB．
（1）求证：PD＝PE
（2）图②∠ABC＝90°时连接DEDEBP否定值？果请求值果请说明理．
24．图▱ABCD中延长AB点EBE＝ABDE交BC点O连接EC．
（1）求证：四边形BECD行四边形
（2）∠A＝40°∠BOD等少度时四边形BECD矩形说明理．
25．图△ABC中BD⊥ACDCE⊥ABE点MN分BCDE中点．
（1）求证：MN⊥DE
（2）∠A＝60°BC＝12求MN值．
26．图▱ABCD中点D作DE⊥AB点E点F边CDCF＝AE连接AFBF．
（1）求证：四边形BFDE矩形
（2）已知∠DAB＝60°AF∠DAB分线AD＝4求▱ABCD面积．
27．图▱ABCD角线ACBD相交点O．AB＝10AC＝12BD＝16．
（1）求证：▱ABCD菱形
（2）点P角线BD动点（点BD重合）PE⊥AB点EPF⊥AD点FPE+PF否定值？求出定值请说明理．
28．图△ABC三边边分作等边△ACD△ABE△BCF．
（1）求证：△EBF≌△ABC
（2）求证：四边形AEFD行四边形
（3）△ABC满足 时四边形AEFD正方形．
29．已知边长2正方形ABCD中P角线AC动点（点AC重合）点P作PE⊥PBPE交DC点E点E作EF⊥AC垂足点F．
（1）求证：PB＝PE
（2）点P运动程中PF长度否发生变化？变求出变值变化试说明理．
30．图正方形ABCD中P角线BD点点EAD延长线PA＝PEPE交CD点F．
（1）求证：PC＝PE
（2）PD＝DE求证：BP＝BC．
2021年四川中考复专题：特殊行四边形
参考答案试题解析
解答题
1．图行四边形ABCD中EF角线BD点BE＝DF连接AECF．
（1）求证△ADE≌△CBF
（2）连接AFCEAB＝AD求证：四边形AFCE菱形．
解答证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AD＝BCAD∥BC
∴∠ADE＝∠CBF
∵BE＝DF
∴BF＝DE
△ADE△CBF中
ADCB∠ADE∠CBFDEBF
∴△ADE≌△CBF（SAS）
（2）连接AC交BD点O
∵AB＝AD四边形ABCD行四边形
∴四边形ABCD菱形
∴AC⊥BDAO＝COBO＝DO
∵BE＝DF
∴EO＝FO
∴四边形AECF行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形AECF菱形．
2．图点EF分菱形ABCD边BCCD∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
解答证明：∵四边形ABCD菱形
∴∠B＝∠DAB＝AD
△ABE△ADF中
∠BAE∠DAFABAD∠B∠D
∴△ABE≌△ADF（ASA）
∴AE＝AF．
3．图菱形ABCD中EFAC两点AE＝CF．求证：四边形BFDE菱形．
解答证明：连接BD交AC点O
∵四边形ABCD菱形
∴OB＝ODOA＝OCAC⊥BD
∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CFOE＝OF
∴四边形BEDF行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形BEDF菱形．
4．图正方形ABCD边长4BE＝CEDF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
解答证明：连接AF
∵四边形ABCD正方形
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵正方形ABCD边长4BE＝CEDF＝3CF．
∴BE＝CE＝2CF＝1DF＝3
勾股定理
AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20
EF2＝CE2+CF2＝22+12＝5
AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25
∵AE2+EF2＝AF2
∴△AEF直角三角形∠AEF＝90°．
5．图四边形ABCD菱形点EF分边DADC点DE＝DF连接BEBF求证：BE＝BF．
解答证明：图连接BD
菱形ABCD中∠ADB＝∠CDB
△EDB△FDB中
DEDF∠EDB∠FDBBDBD
∴△EDB≌△FDB（SAS）
∴BE＝BF．
6．图菱形ABCD中DM⊥AB点MDN⊥BC点N．求证：AM＝CN．
解答证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD＝CD∠A＝∠C
∵DM⊥ABDN⊥BC
∴∠DMA＝∠DNC＝90°
△DAM△DCN中
∠A∠C∠DMA∠DNC90°ADCD
∴△DAM≌△DCN（AAS）
∴AM＝CN．
7．图矩形ABCD角线ACBD相交点OAB＝5cm∠BOC＝120°求矩形角线长．
解答解：∵∠BOC＝120°
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°
∵四边形ABCD矩形
∴∠ABC＝90°AC＝BDOA＝OC12ACOB＝OD12BD
∴OA＝OB
∵∠AOB＝60°
∴△AOB等边三角形
∵AB＝5cm
∴OA＝OB＝AB＝5cm
∴AC＝2AO＝10cmBD＝AC＝10cm．
8．已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OAE⊥BD点EBF⊥AC点F．求证：AE＝BF．
解答证明：∵四边形ABCD矩形
∴OA＝OB
∵AE⊥BD点EBF⊥AC点F
∴∠AEO＝∠BFO＝90°
∵∠AOE＝∠BOF
△AEO△BFO中
∠AEO∠BFO90°∠AOE∠BOFOAOB
∴△AEO≌△BFO（AAS）
∴AE＝BF．
9．图▱ABCD中BC＝2CDEF分ADBC中点连接EF．
（1）求证：四边形EFCD菱形
（2）连接AFAF＝23∠DEF＝60°EF长 2 菱形EFCD面积 23 ．
解答证明：（1）▱ABCD中BC＝2CD
∴AD∥BCAD＝BC＝2CD
∵EF分ADBC中点
∴DE＝CF＝CD
AD∥BC
∴四边形EFCD行四边形
∵CD＝DE
∴四边形EFCD菱形
（2）图点F作FH⊥ADH
∵四边形EFCD菱形
∴DE＝EF＝AE
∵∠DEF＝60°
∴∠EFH＝30°
∴EH12EFFH3EH
∴AH＝AE+EH＝3EH
∵AF2＝AH2+HF2
∴12＝9EH2+3EH2
∴EH＝1
∴EF＝2＝DEHF3
∴菱形EFCD面积＝2×323
答案：223．
10．图菱形ABCD中点O角线AC中点O直线交ADBC分点EF连接CEAF．求证：AF＝CE．
解答证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∵点OAC中点
∴AO＝CO
△AOE△COF中
∠DAC∠BCAAOCO∠AOE∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE＝CF
∴四边形AECF行四边形
∴AF＝CE．
11．图菱形ABCD中角线ACBD交点O点A作AE⊥BC点E延长BC点FCF＝BE连接DF．
（1）求证：四边形AEFD矩形
（2）连接OEAD＝10EC＝4求OE长度．
解答（1）证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD∥BCAD＝BC
∵BE＝CF
∴BC＝EF
∴AD＝EF
∵AD∥EF
∴四边形AEFD行四边形
∵AE⊥BC
∴∠AEF＝90°
∴四边形AEFD矩形
（2）解：∵四边形ABCD菱形AD＝10
∴AD＝AB＝BC＝10
∵EC＝4
∴BE＝10﹣4＝6
Rt△ABE中AEAB2BE2102628
Rt△AEC中ACAE2+EC282+4245
∵四边形ABCD菱形
∴OA＝OC
∴OE12AC25．
12．图▱ABCD中EF分ADBC中点点MN角线ACAM＝CN．
（1）求证四边形EMFN行四边形
（2）AB⊥AC求证▱EMFN菱形．
解答证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BCAD＝BC
∴∠EAM＝∠FCN
∵EF分ADBC中点
∴AE＝DE＝BF＝CF
△AEM△CFN中
AECF∠EAM∠FCNAMCN
∴△AEM≌△CFN（SAS）
∴EM＝FN∠AME＝∠CNF
∴∠EMN＝∠FNM
∴EM∥FN
∴四边形EMFN行四边形
（2）连接EF交ACO图示：
（1）：AE∥BFAE＝BF
∴四边形AEBF行四边形
∴AB∥EF
∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°
∴∠COF＝∠BAC＝90°
∴EF⊥MN
∴▱EMFN菱形．
13．图▱ABCD中点EFAD边BF＝CEAE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE
（2）求证：四边形ABCD矩形．
解答证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AB＝CDAB∥CD
∵AE＝FD
∴AE+EF＝FD+EF
AF＝DE
△ABF△DCE中
ABCDBFCEAFDE
∴△ABF≌△DCE（SSS）
（2）（1）知：△ABF≌△DCE
∴∠A＝∠D
∵AB∥CD
∴∠A+∠D＝180°
∴2∠A＝180°
∴∠A＝90°
∴▱ABCD矩形．
14．图△ABC中AD边BC中线AE∥BCDE∥ABDEAC交点O连接CE．
（1）求证：AD＝EC
（2）∠BAC＝90°求证：四边形ADCE菱形．
解答证明：（1）∵DE∥ABAE∥BC
∴四边形ABDE行四边形
∴AE∥BDAE＝BD
∵ADBC边中线
∴BD＝CD
∴AE＝CD
∵AE∥CD
∴四边形ADCE行四边形
∴AD＝EC
（2）∵∠BAC＝90°AD斜边BC中线
∴AD＝BD＝CD
（1）：四边形ADCE行四边形
∴行四边形ADCE菱形．
15．图▱ABCD中角线AC分∠BAD点EFACCE＝AF．连接BEBFDEDF．求证：四边形BEDF菱形．
解答证明：图连接BD交AC点O
∵四边形ABCD行四边形
∴BO＝DOAO＝CO
∵CE＝AF
∴EO＝FO
∴四边形BEDF行四边形
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDAB＝CD
∴∠BAC＝∠ACD
∵AC分∠BAD
∴∠BAC＝∠DAC
∴∠ACD＝∠DAC
∴AD＝CD
∴AB＝AD
△ABF△ADF中
ABAD∠BAF∠DAFAFAF
∴△ABF≌△ADF（SAS）
∴BF＝DF
∴四边形BEDF菱形．
16．图Rt△ABC中∠ABC＝90°DAC中点连接BD点C作CE∥BDB作BE∥AC两直线相交点E．
（1）求证：四边形DBEC菱形
（2）∠A＝30°BC＝2求四边形DBEC面积．
解答证明：（1）∵CE∥BDBE∥AC
∴四边形BECD行四边形
∵∠ABC＝90°DAC中点
∴BD＝DC
∴四边形DBEC菱形
（2）∵∠A＝30°∠ABC＝90°BC＝2
∴AC＝2BC＝4AB3BC＝23
∴S△CDB12S△ABC12×12×2×233
∵四边形BECD菱形
∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝23．
17．图已知四边形ABCD正方形角线ACBD相交O．
（1）图1设EF分ADAB点∠EOF＝90°线段AFBFEF间存定数量关系．请等式直接写出数量关系
（2）图2设EF分AB两点∠EOF＝45°请等式表示线段AEBFEF间数量关系证明．
解答解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理：图1∵四边形ABCD正方形
∴OA＝OB∠OAE＝∠OBF＝45°AC⊥BD
∴∠EOF＝∠AOB＝90°
∴∠EOA＝∠FOB
△EOA△FOB中
∠EOA∠FOBOAOB∠OAE∠OBF
∴△EOA≌△FOB（ASA）
∴AE＝BF
Rt△EAF中EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2
（2）BC取点HBH＝AE．
∵四边形ABCD正方形
∴OA＝OB∠OAE＝∠OBH∠AOB＝90°
△OAE△OBH中
OAOB∠OAE∠OBHAEBH
∴△OAE≌△OBH（SAS）
∴AE＝BH∠AOE＝∠BOHOE＝OH
∵∠EOF＝45°
∴∠AOE+∠BOF＝45°
∴∠BOF+∠BOH＝45°
∴∠FOE＝∠FOH＝45°
△FOE△FOH中•
OFOF∠FOE∠FOHOEOH
∴△FOE≌△FOH（SAS）
∴EF＝FH
∵∠FBH＝90°
∴FH2＝BF2+BH2
∴EF2＝BF2+AE2
18．图矩形ABCD中AB＝23BC＝3点E射线BC动点△ABE关AE轴称图形△FAE．
（1）点F角线AC时求FC长
（2）△FCE直角三角形时求BE长．
解答解：（1）图示：
∵AB＝23BC＝3
∴ACAB2+BC221
∵△ABE关AE轴称图形△FAE
∴AF＝AB＝23
∴FC＝AC﹣AF2123．
（2）△FCE直角三角形时
①∠CFE直角时（1）图示：
题意知点F角线ACEF⊥AC
设BE＝xEF＝x
∴S△ABC12×3×2333
S△ABE12×23×x3x
S△ACE12×21×x
∴333x+212x
解：x＝274．
∴BE＝274．
②∠FCE直角时图示：
∵△ABE关AE轴称图形△FAE．
∴AB＝AFBE＝EF
Rt△ADF中AD＝3AF＝23
∴DFAF2AD21293
CF＝DC﹣CE＝2333
设BE＝xEF＝xCE＝3﹣x
∴Rt△ADF中
EF2＝CE2+CF2
x2＝（3﹣x）2+(3)2
解：x＝2
∴BE＝EF＝2
③EBC延长线时时∠CEF直角图示：
题意：BE＝AB＝EF＝23．
19．阅读面直角坐标系中意两点P（x1y1）Q（x2y2）端点线段中点坐标（x1+x22y1+y22）．已知行四边形角线互相分图连接OEFN相交点MOEFN行四边形ONEP角线OEPN互相分点M线段OEFN中点．
运（1）图矩形ONEF角线交点MONOF分x轴y轴O坐标原点点E坐标（43）点M线段OE中点点M坐标 （232） ．
（2）直角坐标系中A（﹣12）B（31）C（14）三点点D点ABC构成行四边形顶点求点D坐标．
解答解：（1）∵四边形ONEF矩形
∴MOE中点
∵O坐标原点点E坐标（43）
∴M（4232）M（232）
答案：（232）
（2）图三种情况：
①ACBC行四边形边时连接角线ABCD1交E
∴AE＝EBCE＝ED1
∵A（﹣12）B（31）
∴E（132）
∵C（14）
∴D1（1﹣1）
②BCCD2行四边形边时连接角线BD2AC交G
理D2（﹣35）
③ACAB行四边形边时连接 AD3BC交F
理D3（53）
综述点D坐标（1﹣1）（﹣35）（53）．
20．图1点E正方形AOCD边AD点H边AOAH＝DE．
（1）求证：DH⊥CE
（2）图2EF⊥CEFH⊥AO垂足点H．求证：FH＝AH．
解答证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴AD＝CD
∠DAH＝∠CDE＝90°
△HAD△EDC中
ADCD∠DAH∠CDEAHDE
∴△HAD≌△EDC（SAS）
∴∠ADH＝∠DCE
∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°
∴∠DFC＝90°
∴CE⊥DH
（2）图2F作FG⊥AD交DA延长线G
∵FH⊥AO
∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°
∴四边形AGFH矩形
∴FG＝AH＝DE∠G＝90°
△GFE△DEC中
∠GEF∠DCE∠G∠DGFDE
∴△GFE≌△DEC（AAS）
∴EG＝DC＝AD
∴EG﹣AE＝AD﹣AE
∴AG＝DE＝FH＝AH
∴FH＝AH．
21．图正方形ABCD角线ACBD交点O∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．
解答证明：∵四边形ABCD正方形
∴AC⊥BD∠AOB＝∠BOC＝90°
∴OB＝OC
△OCF△OBE中
∠OCF∠OBEOCOB∠COF∠BOE
∴△OCF≌△OBE（ASA）
∴∠OFC＝∠OEB
∴∠BFC＝∠AEB．
22．图菱形ABCD中∠ACD＝30°BD＝6求AC长．
解答解：∵四边形ABCD菱形
∴BO＝DO12BD＝3AO＝COAC⊥BD
∵∠ACD＝30°
∴CO3DO＝33
∴AC＝2CO＝63．
23．图①点P菱形ABCD角线AC点点EBC延长线PE＝PB．
（1）求证：PD＝PE
（2）图②∠ABC＝90°时连接DEDEBP否定值？果请求值果请说明理．
解答证明：（1）∵四边形ABCD菱形
∴BC＝DC∠BCP＝∠DCPAB∥DC
△BCP△DCP中
BCDC∠BCP∠DCPPCPC
∴△BCP≌△DCP（SAS）
∴PB＝PD
∵PE＝PB
∴PD＝PE
（2）DEBP2理：
∵∠ABC＝90°
∴四边形ABCD正方形
（1）知△BCP≌△DCP
∴∠CBP＝∠CDP
∵PE＝PB
∴∠CBP＝∠E
∵∠CFE＝∠DFP（顶角相等）
∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E
∠DPE＝∠DCE
∵AB∥CD
∴∠DCE＝∠ABC
∴∠DPE＝∠ABC＝90°
∵PD＝PE
∴DE2PE
∴DEBP2．
24．图▱ABCD中延长AB点EBE＝ABDE交BC点O连接EC．
（1）求证：四边形BECD行四边形
（2）∠A＝40°∠BOD等少度时四边形BECD矩形说明理．
解答（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥DCAB＝CD
∵BE＝AB
∴BE＝CDBE∥CD
∴四边形BECD行四边形
（2）解：∠A＝40°∠BOD＝80°时四边形BECD矩形理：
∵四边形ABCD行四边形
∴∠BCD＝∠A＝40°
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD
∴OC＝OD
∵BO＝COOD＝OE
∴DE＝BC
∵四边形BECD行四边形
∴四边形BECD矩形．
25．图△ABC中BD⊥ACDCE⊥ABE点MN分BCDE中点．
（1）求证：MN⊥DE
（2）∠A＝60°BC＝12求MN值．
解答（1）证明：∵BD⊥ACDCE⊥ABE点MBC中点
∴MD＝ME12BC
∴点NDE中点
∴MN⊥DE
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
∵∠A＝60°
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°
∴∠DME＝60°
∴△MED等边三角形
∴DE＝DM
（1）知DM12BC＝6
∴DE＝6
∵NDE中点
∴DN12DE＝3
∴MNDM2DN233．
26．图▱ABCD中点D作DE⊥AB点E点F边CDCF＝AE连接AFBF．
（1）求证：四边形BFDE矩形
（2）已知∠DAB＝60°AF∠DAB分线AD＝4求▱ABCD面积．
解答（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴DC∥ABDC＝AB
∵CF＝AE
∴CD﹣CF＝AB﹣AE
∴DF＝BEDC∥AB
∴四边形BFDE行四边形
∵DE⊥AB
∴∠DEB＝90°
∴行四边形BFDE矩形
（2）解：∵∠DAB＝60°AD＝4DE⊥AB
∴∠ADE＝30°
∴AE12AD＝2DE3AE＝23
（1）：四边形DFBE矩形
∴BF＝DE＝23∠ABF＝90°
∵AF分∠DAB
∴∠FAB12∠DAB＝30°
∴AB3BF3×236
∴▱ABCD面积＝AB×DE＝6×23123．
27．图▱ABCD角线ACBD相交点O．AB＝10AC＝12BD＝16．
（1）求证：▱ABCD菱形
（2）点P角线BD动点（点BD重合）PE⊥AB点EPF⊥AD点FPE+PF否定值？求出定值请说明理．
解答（1）证明：∵四边形ABCD行四边形AC＝12BD＝16AB＝10
∴AO＝CO12AC＝6BO＝DO12BD＝8
∵62+82＝102
∴AO2+BO2＝AB2
∴∠AOB＝90°
∴AC⊥BD
∴▱ABCD菱形
（2）解：定值
连接OPB作BH⊥DAH
∵四边形ABCD菱形
∴AB＝AD＝10S△ABD12S菱形ABCD12×12AC•BD14×12×16＝48
∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO12AB•PE+12AD•PF12AD（PE+PF）12AD•BH
∴PE+PF＝BH
∵S△ABD12AD•BH12×10•BH＝48
∴BH485
∴PE+PF485．
PE+PF定值485．
28．图△ABC三边边分作等边△ACD△ABE△BCF．
（1）求证：△EBF≌△ABC
（2）求证：四边形AEFD行四边形
（3）△ABC满足 AB＝AC∠BAC＝150° 时四边形AEFD正方形．
解答（1）证明：∵△ABE△BCF等边三角形
∴AB＝BE＝AEBC＝CF＝FB∠ABE＝∠CBF＝60°
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF
∠CBA＝∠FBE
△EBF△ABC中
EBABFBE∠CBABFBC
∴△EBF≌△ABC（SAS）
（2）证明：∵△EBF≌△ABC
∴EF＝AC
∵△ADC等边三角形
∴CD＝AD＝AC
∴EF＝AD＝DC
理△ABC≌△DFC
∴AB＝AE＝DF
∴四边形AEFD行四边形
（3）解：AB＝AC∠BAC＝150°时四边形ADEF正方形．
理：∵△ABE△ACD等边三角形
∴AB＝AEAC＝AD∠EAB＝∠DAC＝60°
∵AB＝AC
∴AE＝AD
∵四边形ADEF行四边形
∴四边形ADEF菱形
∵∠BAC＝150°
∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°
∴行四边形ADEF正方形
答案：AB＝AC∠BAC＝150°．
29．已知边长2正方形ABCD中P角线AC动点（点AC重合）点P作PE⊥PBPE交DC点E点E作EF⊥AC垂足点F．
（1）求证：PB＝PE
（2）点P运动程中PF长度否发生变化？变求出变值变化试说明理．
解答（1）证明：点P作PG⊥BCG点P作PH⊥DCH图1．
∵四边形ABCD正方形PG⊥BCPH⊥DC
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB∠BPE＝90°
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
△PGB△PHE中
∠PGB∠PHEPGPH∠BPG∠EPH
∴△PGB≌△PHE（ASA）
∴PB＝PE．
（2）解：PE长度变．
连接BD图2．
∵四边形ABCD正方形
∴∠BOP＝90°
∵PE⊥PB∠BPE＝90°
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF
∵EF⊥PC∠PFE＝90°
∴∠BOP＝∠PFE
△BOP△PFE中
∠PBO∠EPF∠BOP∠PFEPBPE
∴△BOP≌△PFE（AAS）
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD正方形
∴OB＝OC∠BOC＝90°
∴BC2OB．
∵BC＝2
∴OB2
∴PF＝OB2．
∴点P运动程中PF长度变值2．
30．图正方形ABCD中P角线BD点点EAD延长线PA＝PEPE交CD点F．
（1）求证：PC＝PE
（2）PD＝DE求证：BP＝BC．
解答（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴AD＝CD∠ADP＝∠CDP
△ADP△CDP中
ADCD∠ADP∠CDPDPDP
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴PA＝PC
∵PA＝PE
∴PC＝PE．
（2）证明：四边形ABCD正方形
∴∠ADC＝∠CDE＝90°
∴∠E+∠DFE＝90°
∵PA＝PE
∴∠PAD＝∠E
（1）知△ADP≌△CDP
∴∠PAD＝∠PCD
∴∠PCD＝∠E
∵∠PFC＝∠DFE
∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°
∴∠CPE＝90°
∴∠BPC+∠DPE＝90°
∵PD＝DE
∴∠DPE＝∠E
∴∠DPE＝∠PCD
∵∠BCP+∠PCD＝90°
∴∠BPC＝∠BCP
∴BP＝BC．
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