全国高中数学竞赛专题三角函数
三角恒等式三角等式
基础知识
定义1 角：条射线绕着端点旋转图形做角角意
旋转方逆时针方角正角旋转方时针方角负角旋转零角
定义2 角度制：周角360等分等分度
弧度制：等半径长圆弧圆心角做弧度360度2π弧度
圆心角弧长L 弧度数绝值|α|
r
L
中r 圆半径 定义3 三角函数：直角坐标面角α顶点放原点始边x 轴正半轴重合角终边意取
原点点P 设坐标（x y ）原点距离r正弦函数s in αr
y
余弦函数co s αr x
正切函数tan α
x
y
余切函数cot αy x 正割函数se c αx r 余割函数c s c αy r
定理1 角三角函数基关系式倒数关系：tan ααcot 1s in ααcsc 1co s ααsec 1
商数关系：tan αα
α
αααsin cos cot cos sin
积关系：tan α×co s αs in αcot α×s in αco s α
方关系：s in 2α+co s 2α1 tan 2α+1se c 2α cot 2α+1c s c 2α
定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)s in α co s(π+α)co s α tan (π+α)tan α cot (π+α)cot α
（Ⅱ）s in (α)s in α co s(α)co s α tan (α)tan α cot (α)cot α
（Ⅲ）s in (πα)s in α co s(πα)co s α tan (πα)tan α cot (πα)cot α
（Ⅳ）s in
απ2co s α co s απ2s in α tan
απ2cot α（奇变偶变符号象限） 定理3 正弦函数性质根图象y s inx （x ∈R ）性质
单调区间：区间
+
222
2πππ
πk k 增函数区间
++
πππ
π23222k k 减函数 正周期：2π 奇偶性：奇函数 界性：仅x 2kx +2π时y 取值1仅x 3k π2
π
时 y 取值1值域[11] 称性：直线x k π+
2
π
均称轴点（k π 0）均称中心里k ∈Z 定理4 余弦函数性质根图象y co s x (x ∈R )性质
单调区间：区间[2k π 2k π+π]单调递减区间[2k ππ 2k π]单调递增 正周期：2π 奇偶性：偶函数
界性：仅x 2k π时y 取值1仅x 2k ππ时y 取值1值域[11]
称性：直线x k π均称轴点
+
02π
πk 均称中心里k ∈Z 定理5 正切函数性质：图象知奇函数y tanx (x ≠k π+
2π)开区间(k π2π k π+2
π
)增函数 正周期π值域（∞+∞）点（k π0）（k π+2
π
0）均称中心
定理6 两角差基关系式：co s(α±β)co s αco s β s in αs in β
s in (α±β)s in αco s β±co s αs in β
tan (α±β)
)
tan tan 1()
tan (tan βαβα ± 两角差变式：2222
sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ+
2222
cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ+
三角正切公式：tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγ
αβγαββγγα
++++
定理7 差化积积化差公式
s in α+s in β2s in
+2βαco s 2βα s in αs in β2s in +2βαco s
2βα co s α+co s β2co s +2βαco s 2βα co s αco s β2s in +2βαs in
2βα
s in αco s β21[s in (α+β)+s in (αβ)] co s αs in β21
[s in (α+β)s in (αβ)]
co s αco s β21[co s(α+β)+co s(αβ)] s in αs in β2
1
[co s(α+β)co s(αβ)]
定理8 二倍角公式：s in 2α2s in αco s α co s2αco s 2αs in 2α2co s 2α112s in 2α tan 2α
)
tan 1(tan 22αα
三倍角公式变式：3
sin 33sin 4sin ααα3
cos34cos 3cos ααα
1s i n (60)s i n
s i n (60)s i n 34α
ααα+1
cos(60)cos cos(60)cos34
αααα+
定理9 半角公式 s in 2α2)cos 1(α± co s 2
α
2)cos 1(α+±
tan 2α)cos 1()
cos 1(αα+±
sin )cos 1()
cos 1(sin αααα+ 定理10 万公式
+
2tan 12tan 2sin 2ααα + 2tan 12tan 1cos 22ααα2tan 12tan 2tan 2
ααα 定理11 辅助角公式：果a b 实数a 2+b 2≠0取始边x 轴正半轴终边点(a b )角β
s in β22b a b +co s β2
2b a a
+意角αa s in α+bco s α)(22b a +s in (α+β)
定理12 正弦定理：意△ABC 中R C
c
B b A a 2sin sin sin
中a b c 分角A B C 边R △ABC 外接圆半径
定理13 余弦定理：意△ABC 中a 2b 2+c 22bco s A 中a b c 分角A B C 边
定理14 射影定理：意△ABC 中cos cos a b C c B +cos cos b a C c A +cos cos c a B b A + 定理15 欧拉定理：意△ABC 中2
2
2OI R Rr 中OI 分△ABC 外心心 定理16 面积公式：意△ABC 中外接圆半径R切圆半径r 半周长2
a b c
p ++
211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R
++
222
1)(c o t c o t c o t )4
c a A b B c C ++
定理17 △ABC 三角关公式： （1）sin sin sin 4cos
cos cos 222
A B C A B C ++
（2）cos cos cos 14sin
sin sin 222
A B C A B C +++ （3）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++
（4）tan tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A
++
（5）cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++ （6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++
定理18 图象间关系：y s inx 图象移y s inx +k 图象左右移y s in (x +)图象（相位
变换）坐标变横坐标变原
ω
1
y s in x ω(0>ω)图象（周期变换）横坐标变坐标变原A 倍y A s inx 图象（振幅变换）y A s in (ωx +)(ω>0)图象（周期变换）横坐标变坐标变原A 倍y A s inx 图象（振幅变换）y A s in (ωx +)(ω >0)(|A |
作振幅)图象右移ω
单位y A s in ωx 图象
定义4 函数y s inx
∈22ππx 反函数反正弦函数记作y a r c s inx (x ∈[1 1]) 函数y co s x (x ∈[0 π]) 反函数反余弦函数记作y a r cco s x (x ∈[1 1]) 函数y tanx
∈22ππx 反函数反正切函数记作y a r ctanx (x ∈[∞ +∞]) 函数y co t x (x ∈[0 π])反函数称反余切函数记作y a r ccotx (x ∈[∞ +∞])
定理19 三角方程解集果a ∈(11)方程s inx a 解集{x |x n π+(1)n a r c s ina n ∈Z }
方程co s x a 解集{x |x 2kx ±a r cco s a k ∈Z }
果a ∈R 方程tanx a 解集{x |x k π+a r ctana k ∈Z }
恒等式：a r c s ina +a r cco s a
2πa r ctana +a r ccota 2
π 定理20 干等式：
（1）
∈2
0πx s inx （2）函数sin x y x (0)π减函数函数tan x y x (0)2
π
增函数
（3）嵌入等式：设A+B+Cπ意xyz ∈R
2
2
2
2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++≥++ 等号成立仅yzsinAzxsinBxysinC
二方法例题 1．结合图象解题
例1 求方程s inx lg |x |解数
解坐标系画出函数y s inx y lg |x |图象图象知两者6交点方程6解 2．三角函数性质应
例2 设x ∈(0 π) 试较co s(s inx )s in (co s x ) 解
∈ππ2x 1s in (co s x ) ≤002x π
∈
s inx +co s x 2s in (x +
4π)≤2π
co s(s inx )>co s(
2
π
co s x )s in (co s x ) 综x ∈(0π)时总co s(s inx )3．正周期确定
例3 求函数y s in (2co s|x |)正周期
解 co s(x )co s x cos |x |co s x T 2π函数周期 4．三角值问题
例4 已知函数y s inx +x 2cos 1+求函数值值 解法 令s inx ≤≤
+ππ
θθ4304
sin 2cos 1cos 22
x
y )4
sin(2sin 2cos 2π
θθθ+
+
ππ
4304≤≤ππθπ≤+≤42)4
sin(0π
θ+≤≤1 πθ43x 2k π2π(k ∈Z )时y m in 04πθx 2k π+2
π
(k ∈Z )时y m ax 2
解法二 y s inx +)cos 1(sin 2cos 1222
x x x ++≤
+2（(a +b )2≤2(a 2+b 2)）
|s inx|≤1≤x 2cos 1+0≤s inx +x 2cos 1+≤2 x 2cos 1+s inx x 2k π+2
π
(k ∈Z )时 y m ax 2 x 2cos 1+s inx x 2k π2
π
(k ∈Z )时 y m in 0 5．换元法
例5 求x
x x
x y cos sin 1cos sin ++
值域
解 设t s inx +co s x )4sin(2cos 22sin 222π+
+x x x 1)4
sin(1≤+
≤π
x 22≤≤t
t 2
1+2s inxco s x s inxco s x 212t 2
1121
2+t t x y
212212≤≤y t ≠1121≠t y ≠1函数值域21211212
+∈ y 6．图象变换：y s inx (x ∈R )y A s in (ωx +)(A ω >0)
例6 已知f (x )s in (ωx +)(ω>0 0≤≤π)R 偶函数图象关点
043πM 称区间
20π单调函数求ω值
解 f (x )偶函数f (x )f (x )s in (ωx+)s in (ωx +)
co s s inx 0意x ∈R 成立0≤≤π解2
π
f (x )图象关
043πM 称)43()43(x f x f ++ππ0
取x 0)4
3(πf 0sin 024
3
+πωπ
243ππωπ+k (k ∈Z )ω32(2k +1) (k ∈Z )
ω>0取k 0时时f (x )sin (2x +
2π)[02
π
]减函数 取k 1时ω2时f (x )sin (2x +2π)[02
π
]减函数
取k 2时ω≥310时f (x )sin (ωx +2π)[02
π
]单调函数
综ω3
2
2
7．三角公式应
例7 已知sin (αβ)
135sin (α+β) 135αβ∈ ππ2α+β∈
ππ223求sin 2αcos 2β值 解 αβ∈
ππ2cos (αβ)1312)(sin 12
βα
α+β∈
ππ223cos (α+β)1312)(sin 12+βα sin 2αsin [(α+β)+(αβ)]sin (α+β)cos (αβ)+cos (α+β)sin (αβ)169
120
cos 2βcos [(α+β)(αβ)]cos (α+β)cos (αβ)+sin (α+β)sin (αβ)1
例8 已知△ABC 三角A B C 成等差数列B C A cos 2cos 1cos 1+试求2
cos C
A 值 解 A 1200C cos
2
C
A cos (600C ) )
120cos(cos cos )120cos(cos 1)120cos(1cos 1cos 10
00C C C
C C C C A +++
222
1)2120cos()
60cos(2)]2120cos(120[cos 21)60cos(60cos 2000000+C C C C
232
cos 22cos 242+C A C A 0解222cos
C A 8232cos C A 2
cos C
A >0222cos C A 例9 求证：tan 20+4cos 70
解 tan 20+4cos 7020cos 20sin +4sin 20
++20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin
+++20
cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin 40sin 20sin 320cos 20cos 60sin 220cos 40sin 80sin +
例10 证明：7
cos77cos521cos335cos 64cos x x x x x +++
分析：等号左边涉角7x 5x 3x x 右边仅涉角x 左边项逐步转化x sin
x cos 表达式相较繁 观察右边次数较高尝试降次 证明：cos 33cos cos 4cos 3cos 43cos 3
3
x x x x x x +
x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++
)2cos 1(2
9
)2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++
x
x x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64
2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 327
6++++++++
cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x x
x x x x x x +++++++++
评述：题似化简繁实质抓住降次关键简捷 题利复数求解 令
77)1
(cos 1281cos 2sin cos z
z z z i z +++αααα展开
例11 已知
20012tan 2sec 2001tan 1tan 1++αααα求证
证明：)4tan()22
sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπ
αααα+++++
2001tan 1tan 1+αα2001tan 1tan 1+
αα
例12 证明：然数n 意实数m n k m
x k 210(2
≠
π整数）
2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x x x x n
n
+++
思路分析：题左边n 项右边2项差尝试左边项裂成两项差希冀消中许
中间项
证明：2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x
x
x x x x x x x
理
x x x
4cot 2cot 4sin 1 …… x x x n
n n
2cot 2cot 2sin 11 评述：①题裂项技巧通数学纳法获
②裂项相消解题中具定普遍性类似证列题：
n n n n
+++α
α
ααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan
1cot 1cos 89
cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1
2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122+++++++++ααααααn n n n 例13 设ABC 角A B C 边a b c 成等数列
sin cot cos sin cot cos A C A
B C B
++ 取值范围（ ）
A (0)+∞
B
C
D )+∞ [解] 设a b c 公q 2b aq c aq sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C
B C B B C B C
++
++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b
q B C A A a
ππ+
+．
需求q 取值范围．
a b c 成等数列边a c a b c 构成三角形三边必需需a b c +>
b c a +>．等式组
22a aq aq aq aq a +>+>22
1010q q q q 解q q q q 求取值范围．选C 例14 △ABC 接单位圆三角A B C 分线延长分交圆A 1B 1C 1
C
B A C
CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos
111++++值（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解：图连BA 1AA 12sin(B+
)2
2cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A +++ )2
cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA +++∴π
sin sin )2cos(B C B ++π
理sin sin 2cos 1C A B BB +sin sin 2
cos 1B A C CC +
)sin sin (sin 22cos 2cos 2cos 111C B A C CC B BB A AA ++++∴原式2sin sin sin )
sin sin (sin 2++++C
B A
C B A 选A
例15 实数x 均sin sin cos cos cos 2k
k
k
x kx x kx x +k （ ）
A 6
B 5
C 4
D 3．
解：记()s i n
s i n c o s c o s c o s 2
k k k
f
x x k x x k x
x +
条件()f x 恒0取2
x π
()s i n 12k k πk 奇数设21k n 式成sin 12n ππ
n 偶数令2n m
41k m 选择支中3k 满足题意．选D
例16 已知()()
2222212f x x a b x a ab b ++++偶函数函数图象y 轴交点坐标值
A
B 2
C 解：已知条件知2
2
10a b +函数图象y 轴交点坐标2
2
2a ab b +令s cos in b a θθ
2222
2sin cos sin cos 2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+++≤ 选 A
例17 已知R αβ∈直线
1sin sin sin cos x y αβαβ+++1cos sin cos cos x y
αβαβ
+++
交点直线y x cos sin c in s s o ααββ+++ 解：已知知设两直线交点00()x x in s s co αα方程
00
1sin cos x x t t ββ
+++
两根方程2
0sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ+++两根
cos (sin sin cos )ααββ++cos sin c in s s o ααββ+++0
1
＝
2已知函数)45
41(2)cos()sin()(≤≤+
x x
πx πx x f f (x )值_____ 3已知
3sin )2sin(+αβα)(2
21Z k n n k ∈+≠+≠π
πβαπβ
ββαtan )tan(+值_ __ 4设函数f (x )3sin x +2cos x +1实数a b c af (x )+bf (x c )1意实数x 恒成立a
c
b cos 5设0)cos 1(2
θθ
+值
6求证：112tan 312tan 18tan 18tan 3++
7已知a 01 a n
1
n (n ∈N +)求证：a n >
2
2+n π
8已知
cos sin )tan(1||)sin(sin A A A +>+ββ
βαβαα求证
9A B C △ABC 三角试求s inA +s inB +s inC 值 10证明：2
sin
21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin β
ββαβαβαβαα++
+++++++n n n
11已知αβ锐角x ·（α+β2π
）>0求证：2sin cos sin cos + x
x
αββα 12求证：①16
1
78cos 66cos 42cos 6cos
②sin1°sin2°sin3°…sin89°10641(45
全国高中数学竞赛专题三角恒等式三角等式 实战演练答案
1解：根题意求2
605x x +≥+2
0571x x +≤+≤2
715x x ++
cos01答案 1
2解：实际)4541(2
)4sin(2)(≤≤+x x
π
πx x f 设)4541)(4sin(2)(≤≤x ππx x g g (x )≥0g (x )]4341[增函数]4
5
43[减函数y g (x )图关直线43x 称意]4341[1∈x 存
]4543[2∈x g (x 2)g (x 1))(2)(2)(2)()(22
212111x f x x g x x g x x g x f +≥++f (x )]4543[减
函数554)4
5
()(
≥f x f f (x )]4
5
41[值554 3解：
213131sin )2sin(1sin )2sin(]sin )2[sin(21]
sin )2[sin(21
sin )cos(cos )sin(tan )tan(++++++++++α
βααβααβααβαβββαββαb a 4解：令cπ意x ∈R f (x )+f (x c )2取2
1
b a cπ意x ∈R af (x )+bf (x c )1
1cos a
c b
般题设1)sin(13)(++x x f 1)sin(13)(++c x c x f 中20π2
tan
af (x )+bf (x c )1化1)sin(13)sin(13+++++b a c x b x a
0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13++++++b a x c b c x b x a
0)1()cos(sin 13)sin()cos (13+++++b a x c b x c b a
已知条件式意x ∈R 恒成立必
++)3(01)2(0
sin )1(0cos b a c b c b a b 0(1)知a 0显然满足(3)式b ≠0(2)知sin c 0c2k π+πc2k π(k ∈Z )
c2k π时cos c 1(1)(3)两式矛盾c2k π+π(k ∈Z )cos c 1(1)(3)知21
b a 1cos a
c b 5解020π
θ
s in
2θ>0 co s 2
θ>0 s in 2θ（1+co s θ）2s in 2θ·co s 22
θ
2cos 2cos 2sin 22222θθ
θ ≤3
22232cos 2cos 2sin
22
θθθ9342716
仅2s in 2
2θco s 22θ tan 2θ22 θ2a r ctan 22时s in 2
θ
(1+co s θ)取值934
6思路分析：等式左边时出现
12tan 18tan
12tan 18tan +联想公式β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(++
证明： 12tan 312tan 18tan 18tan 3++
112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3++++
112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3++++
1
18tan(3
t
18(tan 3++ 评述：题方法具定普遍性 仿证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1(
+++22
2)44tan 1(+
等
7证明 题设知a n >0令a n tana n a n ∈
2
0π a n
tan 2tan sin cos 1tan 1sec tan 1tan 111
1111
12n n n n n n n n a a a a a a a a
+
21n a a n ∈ 20πa n 121n a a n 210a n
a 0tana 11a 04πn
n a
21·4π
0时tanx >x 2
2tan 22++>n n n a ππ
注：换元法关键保持换元前变量取值范围致性外x ∈
2
0π时tanx >x >s inx 熟知结暂时证明学完导数证明容易
8分析：条件涉角αβα+结涉角βα+β利αβαβββαα++)()(消条件结间角差异然式中A 入手
证法1： )sin(sin βαα+A )sin()sin(βαββα++∴A
)
cos(sin ))(cos sin()sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+++++A A
cos sin )tan(0)cos(0cos 1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ cos sin )tan(0)cos(0cos 1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ cos sin )tan(
0)cos(
0cos
1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ
cos sin )tan(0)cos(0cos
1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ 证法2：αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin +++A )
tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα++++++)tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ
βαββαβαβββα++++++)tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα++++++ 9解 s inA +s inB 2s in 2B A +co s 2sin 22B A B A +≤ ①
s inC +s in
2
3sin
22
3cos
2
3sin
23
π
π
π
π
+≤+C C C ② 3
sin 24
3cos
43sin
22
3sin 2
sin
ππ
π
π
≤
++
+++++C B A C B A C B
A ③
①②③s inA +s inB +s inC +s in 3π≤4s in 3
π
s inA +s inB +s inC ≤3s in 3π233A B C 3
π
时（s inA +s inB +s inC ）m ax 233
注：三角函数界性|s inx |≤1|co s x |≤1差化积积化差公式均值等式柯西等式函数单调
性等解三角值常手段 10证明：)]2
cos()2[cos(212sin
sin βαβαβ
α+
)]sin()2sin()sin([sin 2
sin
)]2
1
2cos()212[cos(212sin )sin(
)]2
3
cos()25[cos(212sin )2sin()]2cos()23[cos(212sin
)sin(βαβαβααβ
βαβαββαβαβαββαβ
αβαβ
βαn n n n +++++++++++++++++
项相加类似
2
1
sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++++n n n
2
1sin )2sin()]
2cos()212[cos(21ββαβαβα+++
+n n n
2
sin
21
sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα+++++++n n n
评述：①类似2
sin
)2cos(21sin
)cos()cos(cos β
βαββαβααn
n n ++
+++++
②利述公式快速证明列式：2sin
21
cos 2sin cos 3cos 2cos cos θ
θθθθθθ+++++n n n
21
97cos 95cos 93cos 9cos 2
1
75cos 73cos 9cos 等+++++ππ
πππππ
2197cos 95cos 93cos 9cos
2
175cos 73cos 9
cos 等+++++πππππππ
11证明 α+β>2πx >0α>2πβ>0co s απβ)s in β0s in α>s in (2πβ)co s β 0β
sin cos 0βαsin cos >1
0β
sin cos >1
2sin cos sin cos sin cos sin cos 0
+ x
证 注：两例三角函数单调性界性辅助角公式值注意角讨 12证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°cos6°cos54°cos66°
54cos 78cos 42cos
16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos 16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos
16
154cos 4)
183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos
②sin1°sin2°sin3°…sin89° (sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° 4
387sin 6sin 3sin )41(29
60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)4
1
(30 45)54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040 45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81
sin 18sin 9sin 3)41(4040 )72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 + 165)72cos 36cos 1(4
1
)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41++ 165)72cos 36cos 1(4
1
)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41++ 165)72cos 36cos 1(4136cos 72cos 36cos 1(41++ 45
36sin 18cos 106)4
1
(89sin 2sin 1sin 45
36sin 18cos 22
3)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242
36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242
36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)4(434342424242 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 22
3)41(434342424242
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三角恒等式三角等式
基础知识
定义1 角：条射线绕着端点旋转图形做角角意
旋转方逆时针方角正角旋转方时针方角负角旋转零角
定义2 角度制：周角360等分等分度
弧度制：等半径长圆弧圆心角做弧度360度2π弧度
圆心角弧长L 弧度数绝值|α|
r
L
中r 圆半径 定义3 三角函数：直角坐标面角α顶点放原点始边x 轴正半轴重合角终边意取
原点点P 设坐标（x y ）原点距离r正弦函数s in αr
y
余弦函数co s αr x
正切函数tan α
x
y
余切函数cot αy x 正割函数se c αx r 余割函数c s c αy r
定理1 角三角函数基关系式倒数关系：tan ααcot 1s in ααcsc 1co s ααsec 1
商数关系：tan αα
α
αααsin cos cot cos sin
积关系：tan α×co s αs in αcot α×s in αco s α
方关系：s in 2α+co s 2α1 tan 2α+1se c 2α cot 2α+1c s c 2α
定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)s in α co s(π+α)co s α tan (π+α)tan α cot (π+α)cot α
（Ⅱ）s in (α)s in α co s(α)co s α tan (α)tan α cot (α)cot α
（Ⅲ）s in (πα)s in α co s(πα)co s α tan (πα)tan α cot (πα)cot α
（Ⅳ）s in
απ2co s α co s απ2s in α tan
απ2cot α（奇变偶变符号象限） 定理3 正弦函数性质根图象y s inx （x ∈R ）性质
单调区间：区间
+
222
2πππ
πk k 增函数区间
++
πππ
π23222k k 减函数 正周期：2π 奇偶性：奇函数 界性：仅x 2kx +2π时y 取值1仅x 3k π2
π
时 y 取值1值域[11] 称性：直线x k π+
2
π
均称轴点（k π 0）均称中心里k ∈Z 定理4 余弦函数性质根图象y co s x (x ∈R )性质
单调区间：区间[2k π 2k π+π]单调递减区间[2k ππ 2k π]单调递增 正周期：2π 奇偶性：偶函数
界性：仅x 2k π时y 取值1仅x 2k ππ时y 取值1值域[11]
称性：直线x k π均称轴点
+
02π
πk 均称中心里k ∈Z 定理5 正切函数性质：图象知奇函数y tanx (x ≠k π+
2π)开区间(k π2π k π+2
π
)增函数 正周期π值域（∞+∞）点（k π0）（k π+2
π
0）均称中心
定理6 两角差基关系式：co s(α±β)co s αco s β s in αs in β
s in (α±β)s in αco s β±co s αs in β
tan (α±β)
)
tan tan 1()
tan (tan βαβα ± 两角差变式：2222
sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ+
2222
cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ+
三角正切公式：tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγ
αβγαββγγα
++++
定理7 差化积积化差公式
s in α+s in β2s in
+2βαco s 2βα s in αs in β2s in +2βαco s
2βα co s α+co s β2co s +2βαco s 2βα co s αco s β2s in +2βαs in
2βα
s in αco s β21[s in (α+β)+s in (αβ)] co s αs in β21
[s in (α+β)s in (αβ)]
co s αco s β21[co s(α+β)+co s(αβ)] s in αs in β2
1
[co s(α+β)co s(αβ)]
定理8 二倍角公式：s in 2α2s in αco s α co s2αco s 2αs in 2α2co s 2α112s in 2α tan 2α
)
tan 1(tan 22αα
三倍角公式变式：3
sin 33sin 4sin ααα3
cos34cos 3cos ααα
1s i n (60)s i n
s i n (60)s i n 34α
ααα+1
cos(60)cos cos(60)cos34
αααα+
定理9 半角公式 s in 2α2)cos 1(α± co s 2
α
2)cos 1(α+±
tan 2α)cos 1()
cos 1(αα+±
sin )cos 1()
cos 1(sin αααα+ 定理10 万公式
+
2tan 12tan 2sin 2ααα + 2tan 12tan 1cos 22ααα2tan 12tan 2tan 2
ααα 定理11 辅助角公式：果a b 实数a 2+b 2≠0取始边x 轴正半轴终边点(a b )角β
s in β22b a b +co s β2
2b a a
+意角αa s in α+bco s α)(22b a +s in (α+β)
定理12 正弦定理：意△ABC 中R C
c
B b A a 2sin sin sin
中a b c 分角A B C 边R △ABC 外接圆半径
定理13 余弦定理：意△ABC 中a 2b 2+c 22bco s A 中a b c 分角A B C 边
定理14 射影定理：意△ABC 中cos cos a b C c B +cos cos b a C c A +cos cos c a B b A + 定理15 欧拉定理：意△ABC 中2
2
2OI R Rr 中OI 分△ABC 外心心 定理16 面积公式：意△ABC 中外接圆半径R切圆半径r 半周长2
a b c
p ++
211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R
++
222
1)(c o t c o t c o t )4
c a A b B c C ++
定理17 △ABC 三角关公式： （1）sin sin sin 4cos
cos cos 222
A B C A B C ++
（2）cos cos cos 14sin
sin sin 222
A B C A B C +++ （3）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++
（4）tan tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A
++
（5）cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++ （6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++
定理18 图象间关系：y s inx 图象移y s inx +k 图象左右移y s in (x +)图象（相位
变换）坐标变横坐标变原
ω
1
y s in x ω(0>ω)图象（周期变换）横坐标变坐标变原A 倍y A s inx 图象（振幅变换）y A s in (ωx +)(ω>0)图象（周期变换）横坐标变坐标变原A 倍y A s inx 图象（振幅变换）y A s in (ωx +)(ω >0)(|A |
作振幅)图象右移ω
单位y A s in ωx 图象
定义4 函数y s inx
∈22ππx 反函数反正弦函数记作y a r c s inx (x ∈[1 1]) 函数y co s x (x ∈[0 π]) 反函数反余弦函数记作y a r cco s x (x ∈[1 1]) 函数y tanx
∈22ππx 反函数反正切函数记作y a r ctanx (x ∈[∞ +∞]) 函数y co t x (x ∈[0 π])反函数称反余切函数记作y a r ccotx (x ∈[∞ +∞])
定理19 三角方程解集果a ∈(11)方程s inx a 解集{x |x n π+(1)n a r c s ina n ∈Z }
方程co s x a 解集{x |x 2kx ±a r cco s a k ∈Z }
果a ∈R 方程tanx a 解集{x |x k π+a r ctana k ∈Z }
恒等式：a r c s ina +a r cco s a
2πa r ctana +a r ccota 2
π 定理20 干等式：
（1）
∈2
0πx s inx （2）函数sin x y x (0)π减函数函数tan x y x (0)2
π
增函数
（3）嵌入等式：设A+B+Cπ意xyz ∈R
2
2
2
2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++≥++ 等号成立仅yzsinAzxsinBxysinC
二方法例题 1．结合图象解题
例1 求方程s inx lg |x |解数
解坐标系画出函数y s inx y lg |x |图象图象知两者6交点方程6解 2．三角函数性质应
例2 设x ∈(0 π) 试较co s(s inx )s in (co s x ) 解
∈ππ2x 1s in (co s x ) ≤002x π
∈
s inx +co s x 2s in (x +
4π)≤2π
co s(s inx )>co s(
2
π
co s x )s in (co s x ) 综x ∈(0π)时总co s(s inx )3．正周期确定
例3 求函数y s in (2co s|x |)正周期
解 co s(x )co s x cos |x |co s x T 2π函数周期 4．三角值问题
例4 已知函数y s inx +x 2cos 1+求函数值值 解法 令s inx ≤≤
+ππ
θθ4304
sin 2cos 1cos 22
x
y )4
sin(2sin 2cos 2π
θθθ+
+
ππ
4304≤≤ππθπ≤+≤42)4
sin(0π
θ+≤≤1 πθ43x 2k π2π(k ∈Z )时y m in 04πθx 2k π+2
π
(k ∈Z )时y m ax 2
解法二 y s inx +)cos 1(sin 2cos 1222
x x x ++≤
+2（(a +b )2≤2(a 2+b 2)）
|s inx|≤1≤x 2cos 1+0≤s inx +x 2cos 1+≤2 x 2cos 1+s inx x 2k π+2
π
(k ∈Z )时 y m ax 2 x 2cos 1+s inx x 2k π2
π
(k ∈Z )时 y m in 0 5．换元法
例5 求x
x x
x y cos sin 1cos sin ++
值域
解 设t s inx +co s x )4sin(2cos 22sin 222π+
+x x x 1)4
sin(1≤+
≤π
x 22≤≤t
t 2
1+2s inxco s x s inxco s x 212t 2
1121
2+t t x y
212212≤≤y t ≠1121≠t y ≠1函数值域21211212
+∈ y 6．图象变换：y s inx (x ∈R )y A s in (ωx +)(A ω >0)
例6 已知f (x )s in (ωx +)(ω>0 0≤≤π)R 偶函数图象关点
043πM 称区间
20π单调函数求ω值
解 f (x )偶函数f (x )f (x )s in (ωx+)s in (ωx +)
co s s inx 0意x ∈R 成立0≤≤π解2
π
f (x )图象关
043πM 称)43()43(x f x f ++ππ0
取x 0)4
3(πf 0sin 024
3
+πωπ
243ππωπ+k (k ∈Z )ω32(2k +1) (k ∈Z )
ω>0取k 0时时f (x )sin (2x +
2π)[02
π
]减函数 取k 1时ω2时f (x )sin (2x +2π)[02
π
]减函数
取k 2时ω≥310时f (x )sin (ωx +2π)[02
π
]单调函数
综ω3
2
2
7．三角公式应
例7 已知sin (αβ)
135sin (α+β) 135αβ∈ ππ2α+β∈
ππ223求sin 2αcos 2β值 解 αβ∈
ππ2cos (αβ)1312)(sin 12
βα
α+β∈
ππ223cos (α+β)1312)(sin 12+βα sin 2αsin [(α+β)+(αβ)]sin (α+β)cos (αβ)+cos (α+β)sin (αβ)169
120
cos 2βcos [(α+β)(αβ)]cos (α+β)cos (αβ)+sin (α+β)sin (αβ)1
例8 已知△ABC 三角A B C 成等差数列B C A cos 2cos 1cos 1+试求2
cos C
A 值 解 A 1200C cos
2
C
A cos (600C ) )
120cos(cos cos )120cos(cos 1)120cos(1cos 1cos 10
00C C C
C C C C A +++
222
1)2120cos()
60cos(2)]2120cos(120[cos 21)60cos(60cos 2000000+C C C C
232
cos 22cos 242+C A C A 0解222cos
C A 8232cos C A 2
cos C
A >0222cos C A 例9 求证：tan 20+4cos 70
解 tan 20+4cos 7020cos 20sin +4sin 20
++20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin
+++20
cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin 40sin 20sin 320cos 20cos 60sin 220cos 40sin 80sin +
例10 证明：7
cos77cos521cos335cos 64cos x x x x x +++
分析：等号左边涉角7x 5x 3x x 右边仅涉角x 左边项逐步转化x sin
x cos 表达式相较繁 观察右边次数较高尝试降次 证明：cos 33cos cos 4cos 3cos 43cos 3
3
x x x x x x +
x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++
)2cos 1(2
9
)2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++
x
x x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64
2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 327
6++++++++
cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x x
x x x x x x +++++++++
评述：题似化简繁实质抓住降次关键简捷 题利复数求解 令
77)1
(cos 1281cos 2sin cos z
z z z i z +++αααα展开
例11 已知
20012tan 2sec 2001tan 1tan 1++αααα求证
证明：)4tan()22
sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπ
αααα+++++
2001tan 1tan 1+αα2001tan 1tan 1+
αα
例12 证明：然数n 意实数m n k m
x k 210(2
≠
π整数）
2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x x x x n
n
+++
思路分析：题左边n 项右边2项差尝试左边项裂成两项差希冀消中许
中间项
证明：2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x
x
x x x x x x x
理
x x x
4cot 2cot 4sin 1 …… x x x n
n n
2cot 2cot 2sin 11 评述：①题裂项技巧通数学纳法获
②裂项相消解题中具定普遍性类似证列题：
n n n n
+++α
α
ααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan
1cot 1cos 89
cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1
2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122+++++++++ααααααn n n n 例13 设ABC 角A B C 边a b c 成等数列
sin cot cos sin cot cos A C A
B C B
++ 取值范围（ ）
A (0)+∞
B
C
D )+∞ [解] 设a b c 公q 2b aq c aq sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C
B C B B C B C
++
++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b
q B C A A a
ππ+
+．
需求q 取值范围．
a b c 成等数列边a c a b c 构成三角形三边必需需a b c +>
b c a +>．等式组
22a aq aq aq aq a +>+>22
1010q q q q 解q q q q 求取值范围．选C 例14 △ABC 接单位圆三角A B C 分线延长分交圆A 1B 1C 1
C
B A C
CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos
111++++值（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解：图连BA 1AA 12sin(B+
)2
2cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A +++ )2
cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA +++∴π
sin sin )2cos(B C B ++π
理sin sin 2cos 1C A B BB +sin sin 2
cos 1B A C CC +
)sin sin (sin 22cos 2cos 2cos 111C B A C CC B BB A AA ++++∴原式2sin sin sin )
sin sin (sin 2++++C
B A
C B A 选A
例15 实数x 均sin sin cos cos cos 2k
k
k
x kx x kx x +k （ ）
A 6
B 5
C 4
D 3．
解：记()s i n
s i n c o s c o s c o s 2
k k k
f
x x k x x k x
x +
条件()f x 恒0取2
x π
()s i n 12k k πk 奇数设21k n 式成sin 12n ππ
n 偶数令2n m
41k m 选择支中3k 满足题意．选D
例16 已知()()
2222212f x x a b x a ab b ++++偶函数函数图象y 轴交点坐标值
A
B 2
C 解：已知条件知2
2
10a b +函数图象y 轴交点坐标2
2
2a ab b +令s cos in b a θθ
2222
2sin cos sin cos 2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+++≤ 选 A
例17 已知R αβ∈直线
1sin sin sin cos x y αβαβ+++1cos sin cos cos x y
αβαβ
+++
交点直线y x cos sin c in s s o ααββ+++ 解：已知知设两直线交点00()x x in s s co αα方程
00
1sin cos x x t t ββ
+++
两根方程2
0sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ+++两根
cos (sin sin cos )ααββ++cos sin c in s s o ααββ+++0
1
＝
2已知函数)45
41(2)cos()sin()(≤≤+
x x
πx πx x f f (x )值_____ 3已知
3sin )2sin(+αβα)(2
21Z k n n k ∈+≠+≠π
πβαπβ
ββαtan )tan(+值_ __ 4设函数f (x )3sin x +2cos x +1实数a b c af (x )+bf (x c )1意实数x 恒成立a
c
b cos 5设0)cos 1(2
θθ
+值
6求证：112tan 312tan 18tan 18tan 3++
7已知a 01 a n
1
n (n ∈N +)求证：a n >
2
2+n π
8已知
cos sin )tan(1||)sin(sin A A A +>+ββ
βαβαα求证
9A B C △ABC 三角试求s inA +s inB +s inC 值 10证明：2
sin
21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin β
ββαβαβαβαα++
+++++++n n n
11已知αβ锐角x ·（α+β2π
）>0求证：2sin cos sin cos + x
x
αββα 12求证：①16
1
78cos 66cos 42cos 6cos
②sin1°sin2°sin3°…sin89°10641(45
全国高中数学竞赛专题三角恒等式三角等式 实战演练答案
1解：根题意求2
605x x +≥+2
0571x x +≤+≤2
715x x ++
cos01答案 1
2解：实际)4541(2
)4sin(2)(≤≤+x x
π
πx x f 设)4541)(4sin(2)(≤≤x ππx x g g (x )≥0g (x )]4341[增函数]4
5
43[减函数y g (x )图关直线43x 称意]4341[1∈x 存
]4543[2∈x g (x 2)g (x 1))(2)(2)(2)()(22
212111x f x x g x x g x x g x f +≥++f (x )]4543[减
函数554)4
5
()(
≥f x f f (x )]4
5
41[值554 3解：
213131sin )2sin(1sin )2sin(]sin )2[sin(21]
sin )2[sin(21
sin )cos(cos )sin(tan )tan(++++++++++α
βααβααβααβαβββαββαb a 4解：令cπ意x ∈R f (x )+f (x c )2取2
1
b a cπ意x ∈R af (x )+bf (x c )1
1cos a
c b
般题设1)sin(13)(++x x f 1)sin(13)(++c x c x f 中20π2
tan
af (x )+bf (x c )1化1)sin(13)sin(13+++++b a c x b x a
0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13++++++b a x c b c x b x a
0)1()cos(sin 13)sin()cos (13+++++b a x c b x c b a
已知条件式意x ∈R 恒成立必
++)3(01)2(0
sin )1(0cos b a c b c b a b 0(1)知a 0显然满足(3)式b ≠0(2)知sin c 0c2k π+πc2k π(k ∈Z )
c2k π时cos c 1(1)(3)两式矛盾c2k π+π(k ∈Z )cos c 1(1)(3)知21
b a 1cos a
c b 5解020π
θ
s in
2θ>0 co s 2
θ>0 s in 2θ（1+co s θ）2s in 2θ·co s 22
θ
2cos 2cos 2sin 22222θθ
θ ≤3
22232cos 2cos 2sin
22
θθθ9342716
仅2s in 2
2θco s 22θ tan 2θ22 θ2a r ctan 22时s in 2
θ
(1+co s θ)取值934
6思路分析：等式左边时出现
12tan 18tan
12tan 18tan +联想公式β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(++
证明： 12tan 312tan 18tan 18tan 3++
112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3++++
112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3++++
1
18tan(3
t
18(tan 3++ 评述：题方法具定普遍性 仿证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1(
+++22
2)44tan 1(+
等
7证明 题设知a n >0令a n tana n a n ∈
2
0π a n
tan 2tan sin cos 1tan 1sec tan 1tan 111
1111
12n n n n n n n n a a a a a a a a
+
21n a a n ∈ 20πa n 121n a a n 210a n
a 0tana 11a 04πn
n a
21·4π
0时tanx >x 2
2tan 22++>n n n a ππ
注：换元法关键保持换元前变量取值范围致性外x ∈
2
0π时tanx >x >s inx 熟知结暂时证明学完导数证明容易
8分析：条件涉角αβα+结涉角βα+β利αβαβββαα++)()(消条件结间角差异然式中A 入手
证法1： )sin(sin βαα+A )sin()sin(βαββα++∴A
)
cos(sin ))(cos sin()sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+++++A A
cos sin )tan(0)cos(0cos 1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ cos sin )tan(0)cos(0cos 1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ cos sin )tan(
0)cos(
0cos
1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ
cos sin )tan(0)cos(0cos
1||A A A +≠+≠∴>βββαβαβ 证法2：αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin +++A )
tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα++++++)tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ
βαββαβαβββα++++++)tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα++++++ 9解 s inA +s inB 2s in 2B A +co s 2sin 22B A B A +≤ ①
s inC +s in
2
3sin
22
3cos
2
3sin
23
π
π
π
π
+≤+C C C ② 3
sin 24
3cos
43sin
22
3sin 2
sin
ππ
π
π
≤
++
+++++C B A C B A C B
A ③
①②③s inA +s inB +s inC +s in 3π≤4s in 3
π
s inA +s inB +s inC ≤3s in 3π233A B C 3
π
时（s inA +s inB +s inC ）m ax 233
注：三角函数界性|s inx |≤1|co s x |≤1差化积积化差公式均值等式柯西等式函数单调
性等解三角值常手段 10证明：)]2
cos()2[cos(212sin
sin βαβαβ
α+
)]sin()2sin()sin([sin 2
sin
)]2
1
2cos()212[cos(212sin )sin(
)]2
3
cos()25[cos(212sin )2sin()]2cos()23[cos(212sin
)sin(βαβαβααβ
βαβαββαβαβαββαβ
αβαβ
βαn n n n +++++++++++++++++
项相加类似
2
1
sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++++n n n
2
1sin )2sin()]
2cos()212[cos(21ββαβαβα+++
+n n n
2
sin
21
sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα+++++++n n n
评述：①类似2
sin
)2cos(21sin
)cos()cos(cos β
βαββαβααn
n n ++
+++++
②利述公式快速证明列式：2sin
21
cos 2sin cos 3cos 2cos cos θ
θθθθθθ+++++n n n
21
97cos 95cos 93cos 9cos 2
1
75cos 73cos 9cos 等+++++ππ
πππππ
2197cos 95cos 93cos 9cos
2
175cos 73cos 9
cos 等+++++πππππππ
11证明 α+β>2πx >0α>2πβ>0co s απβ)s in β0s in α>s in (2πβ)co s β 0β
sin cos 0βαsin cos >1
0β
sin cos >1
2sin cos sin cos sin cos sin cos 0
+ x
证 注：两例三角函数单调性界性辅助角公式值注意角讨 12证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°cos6°cos54°cos66°
54cos 78cos 42cos
16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos 16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos
16
154cos 4)
183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos
②sin1°sin2°sin3°…sin89° (sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° 4
387sin 6sin 3sin )41(29
60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)4
1
(30 45)54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040 45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81
sin 18sin 9sin 3)41(4040 )72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 + 165)72cos 36cos 1(4
1
)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41++ 165)72cos 36cos 1(4
1
)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41++ 165)72cos 36cos 1(4136cos 72cos 36cos 1(41++ 45
36sin 18cos 106)4
1
(89sin 2sin 1sin 45
36sin 18cos 22
3)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242
36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242
36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)4(434342424242 36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 22
3)41(434342424242
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