高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料
高中数学竞赛纲

      全国高中数学联赛
      全国高中数学联赛（试）涉知识范围超出教育部2000年全日制普通高级中学数学教学纲中规定教学求容方法求提高
      全国高中数学联赛加试
      全国高中数学联赛加试（二试）国际数学奥林匹克接轨知识方面扩展适增加教学纲外容增加容：
1面
重定理：梅涅劳斯定理塞瓦定理托勒密定理西姆松定理三角形中特殊点：旁心费马点欧拉线等式极值问题中变换：称移旋转圆幂根轴面积方法复数方法量方法解析方法
2代数
周期函数带绝值函数三角公式三角恒等式三角方程三角等式反三角函数递递数列性质阶二阶线性常系数递数列通项公式
第二数学纳法均值等式柯西等式排序等式切雪夫等式元凸函数
复数指数形式三角形式欧拉公式棣莫弗定理单位根项式法定理式分解定理项式相等整系数项式理根*项式插值公式*
n次项式根数根系数关系实系数项式虚根成定理
函数迭代简单函数方程*
3 初等数
余欧里法裴蜀定理完全剩余类二次剩余定方程方程组高斯函数[x]费马定理格点性质穷递降法欧拉定理*孙子定理*
4组合问题
圆排列重复元素排列组合组合恒等式组合计数组合抽屉原理容斥原理极端原理图问题集合划分覆盖面凸集凸包应*
注：*号容加试中暂考冬令营中考
    



二初中数学竞赛纲

1数
整数进位制表示法整性判定素数合数公约数公倍数奇数偶数奇偶性分析带余法利余数分类完全方数数分解表示法约数数计算理数概念表示法理数实数理数实数四运算封闭性
2代数式
综合法余式定理式分解拆项添项配方定系数法称式轮换称式整式分工根式恒等变形恒等式证明
3方程等式
含字母系数元次方程元二次方程解法元二次方程根分布含绝值元次方程元二次方程解法含字母系数元次等式解法元二次等式解法含绝值元次等式简单元方程组简单定方程（组）
4函数
二次函数定区间值简单分工函数值含字母系数二次函数
5
三角形中边角间等关系面积等积变换三角形中边角间等关系面积等积变换三角形心（心外心垂心重心）性质相似形概念性质圆四点圆圆幂定理四种命题关系
6逻辑推理问题
抽屉原理简单应简单组合问题简单逻辑推理问题反证法极端原理简单应枚举法简单应


















三高中数学竞赛基础知识

第章 集合简易逻辑
基础知识
定义1 般组确定互异序象全体构成集合简称集写字母表示集合中象称元素写字母表示元素集合A中称属A记否称属A记作例通常NZQBQ+分表示然数集整数集理数集实数集正理数集含元素集合称空集表示集合分限集限集两种
集合表示方法列举法：集合中元素列举出写括号逗号隔开表示集合方法{123}描述法：集合中元素属性写括号表示集合方法例{理数}分表示理数集正实数集
定义2 子集：两集合AB果集合A中元素集合B中元素A做B子集记例规定空集集合子集果AB子集BA子集称AB相等果AB子集B中存元素属
AAB真子集
定义3 交集
定义4 集
定义5 补集称AI中补集
定义6 差集
定义7 集合记作开区间集合
记作闭区间R记作
定理1 集合性质：意集合ABC：
（1） （2）
（3） （4）
证明里仅证（1）（3）余读者完成
（1）反
（3）反
定理2 加法原理：做件事类办法第类办法中种方法第二类办法中种方法…第类办法中种方法完成件事种方法
定理3 法原理：做件事分步骤第步种方法第二步种方法…第步种方法完成件事种方法
二方法例题
1．利集合中元素属性检验元素否属集合
例1 设求证：
（1）
（2）
（3）
[证明]（1）
（2）假设存相奇偶性奇数4倍数等假设成立
（3）设

（）
2．利子集定义证明集合相等先证证AB
例2 设AB两集合设集合M满足
求集合M（AB表示）
解先证
证1）2）
综
3．分类讨思想应
例3 求
解题设解
23

解
综述
4．计数原理应
例4 集合ABCI{1234567890}子集（1）求序集合（AB）数（2）求I非空真子集数
解（1）集合I划分三相交子集A＼BB＼A中元素恰属中子集10元素310种种确定满足条件集合集合310
（2）I子集分三类：空集非空真子集集合I身确定子集分十步第步1者属该子集者属两种第二步2两种…第10步0两种法原理子集非空真子集1022
5．配方法
例5 定集合子集：满足两子集交集非空添加I子集具该性质求值
解I子集作配：子集补集子集中次中必子集中出现否子集未出现设C1AA设子集中添加已知矛盾综
6．竞赛常方法例问题
定理4 容斥原理表示集合A元素数
需xy结推广集合情况

定义8 集合划分：子集全集I划分
定理5 数原理：然数集非空子集必数
定理6 抽屉原理：元素放入抽屉必抽屉放少元素必抽屉放元素穷元素放入抽屉必抽屉放穷元素
例6 求123…100中235整数数
解 记容斥原理235整数
例7 S集合{12…2004}子集S中意两数差等47问S中含少元素？
解意连续11整数排成圈右图示题目条件知相邻两数属S11数连续两组分成6组中组数S含11数中少6必两数组已知矛盾S含中5数2004182×11+2S含182×5+2912元素方面时恰S满足题目条件少含912元素
例8 求然数存实数满足：

解 时时时 证时存满足条件
令
必存某两标
（ⅰ）考虑设导致矛盾
考虑设推出矛盾设推出矛盾
时存满足条件实数
（ⅱ）考虑时推出矛盾考虑3矛盾矛盾时存满足条件实数
例9 设A{123456}B{789……n}A中取三数B中取两数组成五元素集合求值
解
设B中数中重复出现次必然数出现次（）出现中少A中数出现3次妨设1集合{1}中满足题意集合必相234565数
20中B中数40少10时20集合满足求：
{12378} {1241214} {1251516} {126910}
{1341011} {1351314} {1361215} {14579}
{1461316} {156811} {2341315} {235911}
{2361416} {245810} {246711} {2561213}
{3451216} {34689} {356710} {4561415}
例10 集合{12…3n}划分成互相交三元集合中求满足条件正整数
解 设中第三元集1+2+…+
偶数时奇数时时集合{1114}{2135}{3156}{9127}{10148}满足条件值5

第二章 二次函数命题
基础知识
1．二次函数：0时yax2+bx+cf(x)ax2+bx+c称关x二次函数称轴直线x外配方f(x)a(xx0)2+f(x0)中x0
2．二次函数性质：a>0时f(x)图象开口区间（∞x0]变量x增函数值减（简称递减）[x0 ∞）变量增函数值增（简称递增）a<0时情况相反
3．a>0时方程f(x)0ax2+bx+c0…①等式ax2+bx+c>0…②ax2+bx+c<0…③函数f(x)关系（记△b24ac）
1）△>0时方程①两等实根设x1x2(x1x2}{x|x12）△0时方程①两相等实根x1x2x0等式②等式③解集分{x|x}空集f(x)图象x轴唯公点
3）△<0时方程①解等式②等式③解集分Rf(x)图象x轴公点
a<0时请读者分析
4．二次函数值：a>0xx0时f(x)取值f(x0)a<0xx0时f(x)取值f(x0)定区间[mn]二次函数f(x)ax2+bx+c(a>0)x0∈[m n]时f(x)[m n]值f(x0) x0n时f(x)[m n]值f(n)（结二次函数图象出）
定义1 判断真假语句命题3>5命题萝卜命题含逻辑联结词非命题做简单命题简单命题逻辑联结词构成命题复合命题
注1 pq复合命题pq假命题时假否真命题pq复合命题pq时真命题时真否假命题p非pp恰真假
定义2 原命题：pq（p条件q结）逆命题：qp否命题：非pq逆否命题：非q非p
注2 原命题逆否命题真假命题逆命题否命题真假
注3 反证法理矛盾排中律未必证明原命题逆否命题
定义3 果命题pq真记pq否记作pq命题pq中果已知pqpq充分条件果qp称pq必条件果pqqp称pq充分非必条件果pqpqp称q必非充分条件pqqppq充条件
二方法例题
1．定系数法
例1 设方程x2x+10两根αβ求满足f(α)βf(β)αf(1)1二次函数f(x)
解 设f(x)ax2+bx+c(a0)
已知f(α)βf(β)α相减整理（αβ）[（α+β）a+b+1]0
方程x2x+10中△0
αβ(α+β)a+b+10
α+β1a+b+10
f(1)a+b+c1
c11c2
b(a+1)f(x)ax2(a+1)x+2
f(α)βaα2(a+1)α+2β
aα2aα+2α+β1aα2aα+10
a(α2α+1)+1a01a0
a1
f(x)x22x+2
2．方程思想
例2 已知f(x)ax2c满足4≤f(1)≤1 1≤f(2)≤5求f(3)取值范围
解 4≤f(1)ac≤1
1≤f(1)ca≤4
1≤f(2)4ac≤5 f(3)f(2)f(1)
×(1)+≤f(3)≤×5+×4
1≤f(3)≤20
3．利二次函数性质
例3 已知二次函数f(x)ax2+bx+c(abc∈R a0)方程f(x)x实根求证：方程f(f(x))x实根
证明a>0f(x)x实根二次函数g(x)f(x)x图象x轴公点开口意x∈Rf(x)x>0f(x)>xf(f(x))>f(x)
f(f(x))>x方程f(f(x))x实根
注：请读者思考例3逆命题否正确
4．利二次函数表达式解题
例4 设二次函数f(x)ax2+bx+c(a>0)方程f(x)x两根x1 x2满足0（Ⅰ）x∈(0 x1)时求证：x（Ⅱ）设函数f(x)图象关xx0称求证：x0<
证明 x1 x2方程f(x)x0两根f(x)xa(xx1)(xx2)
f(x)a(xx1)(xx2)+x
（Ⅰ）x∈(0 x1)时xx1<0 xx2<0 a>0f(x)>x
次f(x)x1(xx1)[a(xx2)+1]a(xx1)[xx2+]<0f(x)综x（Ⅱ）f(x)a(xx1)(xx2)+xax2+[1a(x1+x2)]x+ax1x2
x0


5．构造二次函数解题
例5 已知关x方程(ax+1)2a2(ax2) a>1求证：方程正根1负根1
证明 方程化2a2x2+2ax+1a20
构造f(x)2a2x2+2ax+1a2
f(1)(a+1)2>0 f(1)(a1)2>0 f(0)1a2<0 △>0
f(x)区间（10）（01）根
方程正根1负根1
6．定义区间二次函数值
例6 x取值时函数y取值？求出值
解 y1令u0y5u2u+15
x3时ymin
例7 设变量x满足x2+bx≤x(b<1)x2+bx值求b值
解 x2+bx≤x(b<1)0≤x≤(b+1)
ⅰ)≤(b+1)b≤2时x2+bx值b22（舍）
ⅱ) >(b+1)b>2时x2+bx[0(b+1)]减函数
x2+bx值b+1b+1b
综b
7元二次等式问题解法
例8 已知等式组 ①②整数解恰两求a取值范围
解 方程x2x+aa20两根x1a x21a
a≤0x112a
12a≥1aa≤0等式组解
a>0ⅰ）00ⅱ）a时a1a①解
ⅲ）a>时a>1a②x>12a
等式组解集1a等式组整数解恰2
a(1a)>1a(1a)≤3
1综a取值范围18．充分性必性
例9 设定数ABC等式
A(xy)(xz)+B(yz)(yx)+C(zx)(zy)≥0 ①
切实数xyz成立问ABC应满足样条件？（求写出充分必条件限定涉ABC等式等式表示条件）
解 充条件ABC≥0A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
先证必性①改写A(xy)2(BAC)(yz)(xy)+C(yz)2≥0 ②
A0②切xyz∈R成立BC①知BC0A0②恒成立A>0△(BAC)2(yz)24AC(yz)2≤0恒成立(BAC)24AC≤0A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
理B≥0C≥0必性成立
证充分性A≥0B≥0C≥0A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
1）A0B2+C2≤2BC(BC)2≤0BC△0②成立①成立
2）A>0③知△≤0②成立①成立
综充分性证
9．常结
定理1 a b∈R |a||b|≤|a+b|≤|a|+|b|
证明 |a|≤a≤|a||b|≤b≤|b|(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
|a+b|≤|a|+|b|（注：m>0m≤x≤m等价|x|≤m）
|a||a+bb|≤|a+b|+|b|
|a||b|≤|a+b|综定理1证
定理2 ab∈R a2+b2≥2abxy∈R+x+y≥
(证略)
注 定理2推广n正数情况等式证明章中详细证

第三章 函数
基础知识
定义1 映射意两集合AB应法fA中意元素xB
中唯元素应称f A→B映射
定义2 单射f A→B映射意x y∈A xy f(x)f(y)称单射
定义3 满射f A→B映射意y∈Bx∈Af(x)y称f A→BAB满射
定义4 映射f A→B单射满射做映射映射存逆映射BA相反应法f1构成映射记作f1 A→B
定义5 函数映射f A→B中AB非空数集映射函数A称定义域x∈A y∈Bf(x)y（x应B中y）y做x象xy原象集合{f(x)|x∈A}函数值域通常函数解析式出时函数定义域解析式意义未知数取值范围函数y31定义域{x|x≥0x∈R}
定义6 反函数函数f A→B（通常记作yf(x)）映射逆映射f1 A→B原函数反函数通常写作yf1(x) 里求反函数程：解析式yf(x)中反解xxf1(y)然x y互换yf1(x)指出反函数定义域原函数值域例：函数y反函数y1(x0)
定理1 互反函数两函数图象关直线yx称
定理2 定义域增（减）函数函数反函数必增（减）函数
定义7 函数性质
（1）单调性：设函数f(x)区间I满足意x1 x2∈Ix1< x2总f(x1)(f(x)>f(x2))称f(x)区间I增（减）函数区间I称单调增（减）区间
（2）奇偶性：设函数yf(x)定义域DD关原点称数集意x∈Df(x)f(x)称f(x)奇函数意x∈Df(x)f(x)称f(x)偶函数奇函数图象关原点称偶函数图象关y轴称
（3）周期性：函数f(x)果存零常数Tx取定义域数时f(x+T)f(x)总成立称f(x)周期函数T称函数周期果周期中存正数T0正数做函数f(x)正周期
定义8 果实数aa}记作开区间（a +∞）集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（∞a]
定义9 函数图象点集{(xy)|yf(x) x∈D}称函数yf(x)图象中Df(x)定义域通画图难出函数yf(x)图象函数图象间关系(ab>0)（1）右移a单位yf(xa)图象（2）左移a单位yf(x+a)图象（3）移b单位yf(x)b图象（4）函数yf(x)图象关y轴称（5）函数yf(x)图象关原点成中心称（6）函数yf1(x)图象关直线yx称（7）函数yf(x)图象关x轴称
定理3 复合函数yf[g(x)]单调性记住四字：增异减例y u2x（∞2）减函数y（0+∞）减函数y（∞2）增函数
注：复合函数单调性判断方法增异减里做严格证求导显然
二方法例题
x
yx
1
1x
1．数形结合法
例1 求方程|x1|正根数
解 分画出y|x1|y图象图象知两者唯交点方程正根

例2 求函数f(x)值
解 f(x)记点P(x x2)A（32）B（01）f(x)表示动点P点AB距离差
|PA||PA|≤|AB|仅PAB延长线抛物线yx2交点时等号成立
f(x)max
2函数性质应
例3 设x y∈R满足求x+y
解 设f(t)t3+1997t先证f(t)（∞+∞）递增事实a0f(t)递增
题设f(x1)1f(1y)x11yx+y2
例4 奇函数f(x)定义域（11）减函数f(1a)+f(1a2)<0求a取值范围
解 f(x) 奇函数f(1a2)f(a21)题设f(1a)f(x)定义域（11）递减1<1a例5 设f(x)定义（∞+∞）2周期函数k∈Z Ik表示区间(2k1 2k+1]已知x∈I0时f(x)x2求f(x)Ik解析式
解 设x∈Ik2k1f(x2k)(x2k)2
f(x)2周期函数
x∈Ik时f(x)f(x2k)(x2k)2
例6 解方程：(3x1)()+(2x3)(+1)0
解 令m3x1 n2x3方程化
m(+1)+n(+1)0 ①
m0①n0m n时0m0 n0
ⅰ)m>0①n<0设f(t)t(+1)f(t)（0+∞）增函数
f(m)f(n)mn3x1+2x30x
ⅱ)m<0n>0理m+n0xm<0矛盾
综方程唯实数解x
3配方法
例7 求函数yx+值域
解 yx+[2x+1+2+1]1
(+1)1≥1
x时y取值函数值域[+∞）
4．换元法
例8 求函数y(++2)(+1)x∈[01]值域
解令+ux∈[01]2≤u22+2≤4≤u≤2≤≤21≤≤2yu2∈[+28]
该函数值域[2+8]
5．判式法
例9 求函数y值域
解函数解析式(y1)x2+3(y+1)x+4y40 ①
y1时①式关x方程实根
△9(y+1)216(y1)2≥0解≤y≤1
y1时存x0解析式成立
函数值域[7]
6．关反函数
例10 函数yf(x)定义域值域均R存反函数f(x)(∞+ ∞)递增求证：yf1(x)(∞+ ∞)增函数
证明设x1yf1(x)(∞+ ∞)递增
例11 设函数f(x)解方程：f(x)f1(x)
解 首先f(x)定义域（∞）∪[+∞）次设x1 x2定义域变量x10
f(x)（∞）递增理f(x)[+∞）递增
方程f(x)f1(x)中记f(x)f1(x)yy≥0f1(x)yf(y)xx≥0xy∈[+∞）
xy设x理x>y出矛盾xy
f(x)x化简3x5+2x44x10
(x1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)0
x≥03x4+5x3+5x2+5x+1>0x1

第四章 初等函数性质
基础知识
1．指数函数性质：形yax(a>0 a1)函数做指数函数定义域R值域（0+∞）01时yax增函数图象恒定点（01）
2．分数指数幂：
3．数函数性质：形ylogax(a>0 a1)函数做数函数定义域（0+∞）值域R图象定点（10）01时ylogax增函数
4．数性质（M>0 N>0）
1）axMxlogaM(a>0 a1)
2）loga(MN) loga M+ loga N
3）loga（） loga M loga N4）loga Mnn loga M
5）loga loga M6）aloga MM 7) loga b(abc>0 a c1)
5 函数yx+（a>0）单调递增区间单调递减区间（请读者定义证明）
6．连续函数性质：a二方法例题
1．构造函数解题
例1 已知a b c∈(1 1)求证：ab+bc+ca+1>0
证明 设f(x)(b+c)x+bc+1 (x∈(1 1))f(x)关x次函数
证原等式成立需证f(1)>0f(1)>0（1f(1)(b+c)+bc+1(1b)(1c)>0
f(1)b+c+bc+a(1+b)(1+c)>0
f(a)>0ab+bc+ca+1>0
例2 （柯西等式）a1 a2…an全0实数b1 b2…bn∈R（）·（）≥()2等号仅存Rai i1 2 … n时成立
证明 令f(x) （）x22()x+
>0意x∈R f(x)≥0
△4()4（）()≤0
展开（）()≥()2
等号成立等价f(x)0实根存ai i1 2 … n
例3 设x y∈R+ x+yc c常数c∈(0 2]求u值
解uxy+≥xy++2·
xy++2
令xyt00f(t)minf()+u≥++2
xy时等号成立 u值++2
2．指数数运算技巧
例4 设p q∈R+满足log9p log12q log16(p+q)求值
解 令log9p log12q log16(p+q)tp9 t q12 t p+q16t
9 t +12 t 16 t1+
记x1+xx2解
>0
例5 正整数a b c(a≤b≤c)实数x y z waxbycz70w求证：a+bc
证明 axbycz70w取常数xlgaylgbzlgcwlg70
lgalg70 lgblg70 lgclg70
相加(lga+lgb+lgc)lg70题设
lga+lgb+lgclg70lgabclg70
abc702×5×7
a1xlgawlg70w0题设矛盾a>1
a≤b≤ca b c70正约数a2 b5 c7
a+bc
例6 已知x1 ac1 a1 c1 logax+logcx2logbx求证c2(ac)logab
证明 题设logax+logcx2logbx化a底数

ac>0 ac1logablogacc2c2(ac)logab
注：指数数式互化取数换元换底公式解题桥梁
3．指数数方程解法
解类方程思想通指数运算换元等进行化简求解值注意函数单调性应未知数范围讨
例7 解方程：3x+4 x +5 x 6 x
解 方程化1设f(x) f(x)(
∞+∞)减函数f(3)1方程解x3
例8 解方程组：（中x y∈R+）
解 两边取数原方程组化 ①②
①代入②(x+y)2lgx36lgx[(x+y)236]lgx0
lgx0x1(x+y)2360(x y∈R+)x+y6
代入①lgx2lgyxy2y2+y60
y>0y2 x4
方程组解
例9 已知a>0 a1试求方程loga(xak)loga2(x2a2)解k取值范围
解数性质知原方程解x应满足①②③
①②时成立③必成立
需解
①2kxa(1+k2) ④
k0时④解k0时④解x代入②>k
k<0k2>1k<1k>0k2<10综k∈(∞1) ∪(0 1)时原方程解

第五章 数列
基础知识
定义1 数列序出列数例123…n… 数列分穷数列穷数列两种数列{an}般形式通常记作a1 a2 a3…ana1 a2 a3…an…中a1做数列首项an关n具体表达式称数列通项
定理1 Sn表示{an}前n项S1a1 n>1时anSnSn1
定义2 等差数列果意正整数nan+1and（常数）{an}称等差数列d做公差三数a b c成等差数列2ba+c称bac等差中项公差d abd cb+d
定理2 等差数列性质：1）通项公式ana1+(n1)d2）前n项公式：Sn3）anam(nm)d中n m正整数4）n+mp+qan+amap+aq5）意正整数p q恒apaq(pq)(a2a1)6）AB少零
{an}等差数列充条件SnAn2+Bn
定义3 等数列意正整数n{an}称等数列q做公
定理3 等数列性质：1）ana1qn12）前n项Snq1时Snq1时Snna13）果a b c成等数列b2ac(b0)b做a c等中项4）m+np+qamanapaq
定义4 极限定数列{an}实数A意>0存M意n>M(n∈N)|anA|<称An→+∞时数列{an}极限记作
定义5 穷递缩等数列等数列{an}公q满足|q|<1称穷递增等数列前n项Sn极限（项）（极限定义）
定理3 第数学纳法：定命题p(n)：（1）p(n0)成立（2）p(n)时nk成立时推出p(n)nk+1成立（1）（2）命题p(n)切然数n≥n0成立

竞赛常定理
定理4 第二数学纳法：定命题p(n)：（1）p(n0)成立（2）p(n)切n≤k然数n成立时（k≥n0）推出p(k+1)成立（1）（2）命题p(n)切然数n≥n0成立
定理5 齐次二阶线性递数列xnaxn1+bxn2设特征方程x2ax+b两根αβ(1)αβxnc1an1+c2βn1中c1 c2初始条件x1 x2值确定(2)αβxn(c1n+c2) αn1中c1 c2值x1 x2值确定
二方法例题
1．完全纳法
种方法特殊情况出发总结更般规律然结未必正确类探索未知世界普遍方式通常解题方式：特殊→猜想→数学纳法证明
例1 试出数列通项（求证明）1）038152435…2）151965…3）103815…
解1）ann212）an3n2n3）ann22n
例2 已知数列{an}满足a1a1+a2+…+ann2an n≥1求通项an
解 a1a1+a222·a2
a2a3猜想(n≥1)
证明1）n1时a1猜想正确2）假设n≤k时猜想成立
nk+1时纳假设题设a1+ a1+…+a1[(k+1)21] ak+1
k(k+2)ak+1
k(k+2)ak+1
k(k+2)ak+1ak+1
数学纳法猜想成立
例3 设01
证明 证明更强结：11)n1时12)假设nk时①式成立1
数学纳法①式成立原命题证
2．迭代法
数列通项an前n项Sn中n通常意n∈N成立中n换成n+1n1等种办法通常称迭代递推
例4 数列{an}满足an+pan1+qan20 n≥3q0求证：存常数c·an+
证明·an+1+(pan+1+an+2)+an+2·(qan)+
+an(pqn+1+qan)]q()
0意n +0取c0
0{+}首项公式q等数列
+·qn
取·
综结成立
例5 已知a10 an+15an+求证：an整数n∈N+
证明 a10 a21题设知n≥1时an+1>an
an+15an+移项方
①
n≥2时①式中n换成n1
②
an1a10 a21③式知n∈N+时an整数
3．数列求法
数列求法倒写相加裂项求法错项相消法等
例6 已知an(n1 2 …)求S99a1+a2+…+a99
解 an+a100n+
S99
例7 求：+…+
解 般

Sn




例8 已知数列{an}满足a1a21an+2an+1+an Sn数列前n项求证：Sn<2
证明 递推公式知数列{an}前项11235813
①
②
①②

Sn20
Sn
Sn<2证
4．特征方程法
例9 已知数列{an}满足a13 a26 an+24n+14an求an
解 特征方程x24x4x1x22
设an(α+βn)·2n1中
α3β0
an3·2n1
例10 已知数列{an}满足a13 a26 an+22an+1+3an求通项an
解 特征方程x22x+3x13 x21
anα·3n+β·(1)n中
解αβ
·3]
5．构造等差等数列
例11 正数列a0a1…an…满足2an1(n≥2)a0a11求通项
解 1

令bn+1{bn}首项+12公2等数列
bn+12n（2n1）2
an·…··a0
注：C1·C2·…·Cn
例12 已知数列{xn}满足x12 xn+1n∈N+ 求通项
解 考虑函数f(x)动点xx
x12 xn+1知{xn}项均正数
+2≥xn+1≥(n≥1)
Xn+1 ①
Xn+1+ ②
①÷② ③
>0
③知意n∈N+>0
首项公2等数列
·
解·
注：例解法助动点具普遍意义

第六章 三角函数
基础知识
定义1 角条射线绕着端点旋转图形做角旋转方逆时针方角正角旋转方时针方角负角旋转零角角意
定义2 角度制周角360等分等价度弧度制：等半径长圆弧圆心角做弧度360度2π弧度圆心角弧长L弧度数绝值|α|中r圆半径
定义3 三角函数直角坐标面角α顶点放原点始边x轴正半轴重合角终边意取原点点P设坐标（xy）原点距离r正弦函数sinα余弦函数cosα正切函数tanα余切函数cotα正割函数secα余割函数cscα
定理1 角三角函数基关系式倒数关系：tanαsinαcosα商数关系：tanα积关系：tanα×cosαsinαcotα×sinαcosα方关系：sin2α+cos2α1 tan2α+1sec2α cot2α+1csc2α
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)sinα cos(π+α)cosα tan(π+α)tanα cot(π+α)cotα（Ⅱ）sin(α)sinα cos(α)cosα tan(α)tanα cot(α)cotα （Ⅲ）sin(πα)sinα cos(πα)cosα tan(πα)tanα cot(πα)cotα （Ⅳ）sincosα cossinα tancotα（奇变偶变符号象限）
定理3 正弦函数性质根图象ysinx（x∈R）性质单调区间：区间
增函数区间减函数正周期2 奇偶数 界性：仅x2kx+时y取值1仅x3k时 y取值1称性：直线xk+均称轴点（k 0）均称中心值域[11]里k∈Z
定理4 余弦函数性质根图象ycosx(x∈R)性质单调区间：区间[2kπ 2kπ+π]单调递减区间[2kππ 2kπ]单调递增正周期2π奇偶性：偶函数称性：直线xkπ均称轴点均称中心界性：仅x2kπ时y取值1仅x2kππ时y取值1值域[11]里k∈Z
定理5 正切函数性质：图象知奇函数ytanx(xkπ+)开区间(kπ kπ+)增函数 正周期π值域（∞+∞）点（kπ0）（kπ+0）均称中心
定理6 两角差基关系式：cos(αβ)cosαcosβsinαsinβsin(αβ)sinαcosβcosαsinβ tan(αβ)
定理7 差化积积化差公式
sinα+sinβ2sincossinαsinβ2sincos
cosα+cosβ2coscos cosαcosβ2sinsin
sinαcosβ[sin(α+β)+sin(αβ)]cosαsinβ[sin(α+β)sin(αβ)]
cosαcosβ[cos(α+β)+cos(αβ)]sinαsinβ[cos(α+β)cos(αβ)]
定理8 倍角公式sin2α2sinαcosα cos2αcos2αsin2α2cos2α112sin2α

tan2α
定理9 半角公式sincos
tan
定理10 万公式

定理11 辅助角公式：果a b实数a2+b20取始边x轴正半轴终边点(a b)角βsinβcosβ意角α
asinα+bcosαsin(α+β)
定理12 正弦定理：意△ABC中中a b c分角ABC边R△ABC外接圆半径
定理13 余弦定理：意△ABC中a2b2+c22bcosA中abc分角ABC边
定理14 图象间关系：ysinx图象移ysinx+k图象左右移ysin(x+)图象（相位变换）坐标变横坐标变原ysin()图象（周期变换）横坐标变坐标变原A倍yAsinx图象（振幅变换）yAsin(x+)(>0)图象（周期变换）横坐标变坐标变原A倍yAsinx图象（振幅变换）yAsin(x+)( >0)(|A|作振幅)图象右移单位yAsinx图象
定义4 函数ysinx反函数反正弦函数记作yarcsinx(x∈[1 1])函数ycosx(x∈[0 π]) 反函数反余弦函数记作yarccosx(x∈[1 1]) 函数ytanx反函数反正切函数记作yarctanx(x∈[∞ +∞]) ycosx(x∈[0 π])反函数称反余切函数记作yarccotx(x∈[∞ +∞])
定理15 三角方程解集果a∈(11)方程sinxa解集{x|xnπ+(1)narcsina n∈Z}方程cosxa解集{x|x2kxarccosa k∈Z} 果a∈R方程tanxa解集{x|xkπ+arctana k∈Z}恒等式：arcsina+arccosaarctana+arccota
定理16 sinx二方法例题
1．结合图象解题
例1 求方程sinxlg|x|解数
解坐标系画出函数ysinxylg|x|图象（见图）图象知两者6交点方程6解
2．三角函数性质应
例2 设x∈(0 π) 试较cos(sinx)sin(cosx)
解 cosx≤1cosx>1cos
sin(cosx) ≤000
cos(sinx)>sin(cosx)
sinx+cosx(sinxcos+sincosx)sin(x+)≤<
0cos(sinx)>cos(cosx)sin(cosx)
综x∈(0π)时总cos(sinx)例3 已知αβ锐角x·（α+β）>0求证：
证明 α+β>x>0α>β>0cosα0<<1sinα>sin(β)cosβ 0<<1

α+βcos(β)sinβ>0
>101
证
注：两例三角函数单调性界性辅助角公式值注意角讨
3．正周期确定
例4 求函数ysin(2cos|x|)正周期
解 首先T2π函数周期（事实cos(x)cosxco|x|cosx）次仅xkπ+时y0（|2cosx|≤2<π）
正周期T0T0mπ m∈N+sin(2cos0)sin2sin(2cosπ)T02π
4．三角值问题
例5 已知函数ysinx+求函数值值
解法 令sinx
y

≤1
x2kπ(k∈Z)时ymin0

x2kπ+(k∈Z)时ymax2
解法二 ysinx+
2（(a+b)2≤2(a2+b2)）
|sinx|≤1≤0≤sinx+≤2
sinxx2kπ+(k∈Z)时 ymax2
sinxx2kπ(k∈Z)时 ymin0
例6 设0<<π求sin值
解0<<πsin>0 cos>0
sin（1+cos）2sin·cos2 ≤
仅2sin2cos2 tan时sin(1+cos)取值
例7 ABC△ABC三角试求sinA+sinB+sinC值
解 sinA+sinB2sincos ①
sinC+sin ②
③
①②③sinA+sinB+sinC+sin≤4sin
sinA+sinB+sinC≤3sin
ABC时（sinA+sinB+sinC）max
注：三角函数界性|sinx|≤1|cosx|≤1差化积积化差公式均值等式柯西等式函数单调性等解三角值常手段
5．换元法
例8 求值域
解 设tsinx+cosx


t21+2sinxcosx
sinxcosx

t1y1
函数值域

例9 已知a01 an(n∈N+)求证：an>
证明 题设an>0令antanan an∈
an
an∈anan
a0tana11a0·
0x
注：换元法关键保持换元前变量取值范围致性
外x∈时tanx>x>sinx熟知结暂时证明学完导数证明容易
6．图象变换：ysinx(x∈R)yAsin(x+)(A >0)
ysinx图象左移单位然保持横坐标变坐标变原A倍然保持坐标变横坐标变原yAsin(x+)图象ysinx图象先保持横坐标变坐标变原A倍保持坐标变横坐标变原左移单位yAsin(x+)图象
例10 例10 已知f(x)sin(x+)(>0 0≤≤π)R偶函数图象关点称区间单调函数求值
解 f(x)偶函数f(x)f(x)sin(+)sin(x+)cossinx0意x∈R成立
0≤≤π解
f(x)图象关称0
取x00sin
(k∈Z)(2k+1) (k∈Z)
>0取k0时时f(x)sin(2x+)[0]减函数
取k1时2时f(x)sin(2x+)[0]减函数
取k2时≥时f(x)sin(x+)[0]单调函数
综2
7．三角公式应
例11 已知sin(αβ)sin(α+β) αβ∈α+β∈求sin2αcos2β值
解 αβ∈cos(αβ)
α+β∈cos(α+β)
sin2αsin[(α+β)+(αβ)]sin(α+β)cos(αβ)+cos(α+β)sin(αβ)
cos2βcos[(α+β)(αβ)]cos(α+β)cos(αβ)+sin(α+β)sin(αβ)1
例12 已知△ABC三角ABC成等差数列试求值
解 A1200Ccoscos(600C)


0
解
>0
例13 求证：tan20+4cos70
解 tan20+4cos70+4sin20





第七章 解三角形
基础知识
章中约定ABC分表示△ABC三角a b c分表示边长半周长
1．正弦定理：2R（R△ABC外接圆半径）
推1：△ABC面积S△ABC
推2：△ABC中bcosC+ccosBa
推3：△ABC中A+B解a满足aA
正弦定理外接圆中定义证明里出证推先证推1正弦函数定义BC边高bsinCS△ABC证推2B+CAsin(B+C)sinAsinBcosC+cosBsinCsinA两边2RbcosC+ccosBa证推3正弦定理sinasin(A)sin(a)sinA等价[cos(A+a)cos(Aa)] [cos(a+A)cos(aA)]等价cos(A+a)cos(a+A)02．余弦定理：a2b2+c22bccosA面余弦定理证明常结
（1）斯特瓦特定理：△ABC中DBC边意点BDpDCqAD2 （1）
证明 c2AB2AD2+BD22AD·BDcos
c2AD2+p22AD·pcos ①
理b2AD2+q22AD·qcos ②
ADB+ADC
cosADB+cosADC0
q×①+p×②
qc2+pb2(p+q)AD2+pq(p+q)AD2
注：（1）式中pq中线长公式
（2）




：b2c2sin2Ab2c2 (1cos2A) b2c2 [(b+c)a2][a2(bc) 2]p(pa)(pb)(pc)
里
S△ABC
二方法例题
1．面积法
例1 （线关系张角公式）图示O点发出三条射线满足外OPOQOR长分u w v里αβα+β∈(0 )PQR线充条件

证明PQR线
(α+β)uwsinα+vwsinβ
证
2．正弦定理应
例2 图示△ABC点PBPCBACCPACBAAPBACB
求证：AP·BCBP·CACP·AB
证明 点P作PDBCPEACPFAB垂足分DEFPDCEPEAFPDBF三组四点圆EDFPDE+PDFPCA+PBABPCBAC题设BPC+CPA+APB3600BAC+CBA+ACB1800
BPCBACCPACBAAPBACB600
EDF600理DEF600△DEF正三角形
DEEFDF正弦定理CDsinACBAPsinBACBPsinABC两边时△ABC外接圆直径2RCP·BAAP·BCBP·AC证：
例3 图示△ABC边分两圆⊙O1⊙O2相切直线GFDE交P求证：PABC
证明 延长PA交GDM
O1GBCO2DBC需证
正弦定理

方面

PAO1G
PABC证
3．常代换：△ABC中记点ABC切圆切线长分x y zay+z bz+x cx+y
例4 △ABC中求证：a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc) ≤3abc
证明 令ay+z bz+x cx+y
abc(x+y)(y+z)(z+x)

8xyz(b+ca)(a+cb)(a+bc)
a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)2abc
a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc) ≤3abc
4．三角换元
例5 设a b c∈R+abc+a+cb试求值
解 题设令atanα ctanγ btanβ
tanβtan(α+γ) P2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤
仅α+βsinγa时Pmax
例6 △ABC中a+b+c1求证 a2+b2+c2+4abc<
证明 设asin2αcos2β bcos2αcos2β csin2β β
a b c三边长c< c>|ab|
sin2β>|cos2α·cos2β|
1(a+b+c)2a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
a2+b2+c2+4abc12(ab+bc+ca2abc)
ab+bc+ca2abcc(a+b)+ab(12c)
sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β
[1cos22β+(1cos22α)cos4βcos2β]
+cos2β(cos4βcos22αcos4βcos2β)
>+cos2β(cos4βsin4βcos2β)
a2+b2+c2+4abc<

第八章 面量
基础知识
定义1 方量称量画图时线段表示线段长度表示量模量符号两写字母面加箭头写字母面加箭头表示书中黑体表示量a |a|表示量模模零量称零量规定零量方意零量零模1量称单位量
定义2 方相相反量称行量（线量）规定零量意非零量行结合律
定理1 量运算加法满足行四边形法规减法满足三角形法加法减法满足交换律结合律
定理2 非零量a b线充条件存实数0af
定理3 面量基定理面量a b线面意c存唯实数x ycxa+yb中a b称组基底
定义3 量坐标直角坐标系中取x轴y轴方相两单位量i j作基底取量c定理3知存唯组实数x ycxi+yi（x y）做c坐标
定义4 量数量积非零量a b夹角a b数量积记作a·b|a|·|b|cos|a|·|b|cos称积中|b|cos做ba投影（注：投影负值）
定理4 面量坐标运算：a(x1 y1) b(x2 y2)
1．a+b(x1+x2 y1+y2) ab(x1x2 y1y2)
2．λa(λx1 λy1) a·(b+c)a·b+a·c
3．a·bx1x2+y1y2 cos(a b)(a b0)
4 abx1y2x2y1 abx1x2+y1y20
定义5 点P直线P1P2异p1p2点存唯实数λλP分成O面意点P1PP2坐标分(x1 y1) (x y) (x2 y2)
定义6 设F坐标面图形F点量a(h k)方移|a|单位图形程做移设p(x y)F意点移应点称移公式
定理5 意量a(x1 y1) b(x2 y2) |a·b|≤|a|·|b||a+b|≤|a|+|b|
证明 |a|2·|b|2|a·b|2(x1x2+y1y2)2(x1y2x2y1)2≥0|a·b|≥0 |a|·|b|≥0
|a|·|b|≥|a·b|
量三角形法直线段短定理|a+b|≤|a|+|b|
注：定理两结均推广1）n维量a(x1 x2…xn)b(y1 y2 … yn)样|a·b|≤|a|·|b|化简柯西等式： (x
1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0|a·b|≥0 |a|·|b|≥0
|a|·|b|≥|a·b|
量三角形法直线段短定理|a+b|≤|a|+|b|
注：定理两结均推广1）n维量a(x1 x2…xn) b(y1 y2 … yn)样|a·b|≤|a|·|b|化简柯西等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2
2）意n量a1 a2 …an| a1 a2 …an|≤| a1|+|a2|+…+|an|
二方例题
1．量定义运算法运
例1 设O正n边形A1A2…An中心求证：
证明 记正n边形绕中心O旋转原正n边形重合变
例2 定△ABC求证：G△ABC重心充条件
证明必性图示设边中点分DEF延长ADPDPGD
BCGP互相分
BPCG行四边形BGPC

充分性延长AG交BCDGPAG连结CPGBCPAG分BC
理BG分CA
G重心
例3 凸四边形ABCD中PQ分角线BDAC中点求证：AB2+BC2+CD2+DA2AC2+BD2+4PQ2
证明 图示结结BQQD


·
①

理 ②
③
①②③
证
2．证利定理2证明线
例4 △ABC外心O垂心H重心G求证：OGH线OG：GH1：2
证明 首先


次设BO交外接圆点E连结CECE
AHBCAHCE
EAABCHABAHCE行四边形



线OGH线
OG：GH1：2
3．利数量积证明垂直
例5 定非零量a b 求证：|a+b||ab|充条件ab
证明|a+b||ab|(a+b)2(ab)2a2+2a·b+b2a22a·b+b2a·b0ab
例6 已知△ABC接⊙OABACDAB中点E△ACD重心求证：OECD
证明 设





a·(bc) （|a|2|b|2|c|2|OH|2）
ABACOBOCOABC中垂线
a·(bc)0 OECD
4．量坐标运算
例7 已知四边形ABCD正方形BEACACCEEC延长线交BA延长线点F求证：AFAE
证明 图示CD直线x轴C原点建立直角坐标系设正方形边长1AB坐标分（11）（01）设E点坐标（x y）(x y1) x(y1)0
x2+y22
①②解

设线
F
4+AFAE

第九章 等式
基础知识
等式基性质：
（1）a>bab>0 （2）a>b b>ca>c
（3）a>ba+c>b+c （4）a>b c>0ac>bc
（5）a>b c<0acb>0 c>d>0ac>bd
（7）a>b>0 n∈N+an>bn （8）a>b>0 n∈N+
（9）a>0 |x|ax>ax（10）a b∈R|a||b|≤|a+b|≤|a|+|b|
（11）a b∈R(ab)2≥0a2+b2≥2ab
（12）x y z∈R+x+y≥2 x+y+z
前五条显然第六条开始出证明
（6）a>b>0 c>d>0ac>bc bc>bdac>bd重复利性质（6）性质（7）证性质（8）反证法性质（7）a≤ba>b矛盾假设成立绝值意义知（9）成立|a|≤a≤|a| |b|≤b≤|b|(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b||a+b|≤|a|+|b|面证（10）左边|a||a+bb|≤|a+b|+|b||a||b|≤|a+b|（10）成立（11）显然成立证（12）x+y2≥0x+y≥仅xy时等号成立证等式令x3+b3+c33abc (a+b)3+c33a2b3ab23abc (a+b)3+c33ab(a+b+c)(a+b+c)[(a+b)2(a+b)c+c2]3ab(a+b+c)(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca) (a+b+c)[(ab)2+(bc)2+(ca)2] ≥0a3+b3+c3≥3abcx+y+z≥等号仅xyz时成立
二方法例题
1．等式证明基方法
（1）较法证明A>BA0）1较出结
例1 设a b c∈R+试证：意实数x y z x2+y2+z2
证明 左边右边 x2+y2+z2



左边≥右边等式成立
例2 a解 1x1loga(1x)0
|log(1x)(1+x)|log(1x)(1+x)log(1x)>log(1x)(1x)1（0<1x2<1>1x>0 0<1x<1）
|loga(1+x)|>|loga(1x)|
（2）分析法欲证等式出发层层推出成立充分条件直已知止叙述方式：证……需证……
例3 已知a b c∈R+求证：a+b+c3≥a+b
证明 证a+b+c≥a+b需证
原等式成立
例4 已知实数a b c满足0证明 0

需证明
证
需证b(ab) ≤a(ab)(ab)2≥0显然成立命题成立
（3）数学纳法
例5 意正整数n(≥3)求证：nn+1>(n+1)n
证明 1）n3时3481>6443命题成立
2）设nk时kk+1>(k+1)knk+1时需证(k+1)k+2>(k+2)k+1>1 需证证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1需证(k+1)2>k(k+2)证k2+2k+1>k2+2k 显然成立
数学纳法命题成立
（4）反证法
例6 设实数a0 a1…an满足a0an0a02a1+a2≥0 a12a2+a3≥0… an22an1+an≥0求证ak≤0(k1 2… n1)
证明 假设ak(k1 2…n1) 中少正数妨设ara1 a2… an1中第出现正数a1≤0 a2≤0… ar1≤0 ar>0 arar1>0题设ak+1ak≥akak1(k1 2 … n1)
kr起anak1≥an1an2 ≥…≥arar1>0
an≥ak1≥…≥ar+1≥ar >0an0矛盾命题获证
（5）分类讨法
例7 已知x y z∈R+求证：
证明 妨设x≥y x≥z
ⅰ）x≥y≥zx2≥y2≥z2排序原理
原等式成立
ⅱ）x≥z≥yx2≥z2≥y2排序原理
原等式成立

（6）放缩法证A>B证A>C1 C1≥C2…Cn1≥Cn Cn>B(n∈N+)
例8 求证：
证明
证
例9 已知a b c△ABC三条边长m>0求证：
证明
（a+b>c）证
（7）引入参变量法
例10 已知x y∈R+ l a b定正数求f(x y)值
解 设f(xy)
(a3+b3+3a2b+3ab2)
等号仅时成立f(x y)min
例11 设x1≥x2≥x3≥x4≥2 x2+x3+x4≥x1求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4
证明 设x1k(x2+x3+x4)题设≤k≤1 x3x4≥4原等式等价(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)
(x2+x3+x4) ≤x2x3x4f(k)k+递减
(x2+x3+x4)(x2+x3+x4)
≤·3x24x2≤x2x3x4
原等式成立
（8）局部等式
例12 已知x y z∈R+x2+y2+z21求证：
证明 先证
x(1x2)

理


例13 已知0≤a b c≤1求证：≤2
证明 先证 ①
a+b+c≤2bc+2
证(b1)(c1)+1+bc≥a
0≤a b c≤1①式成立
理
三等式相加原等式成立
（9）利函数思想
例14 已知非负实数a b c满足ab+bc+ca1求f(a b c)值
解 a b c中0两1时f(a b c)证明f(a b c) ≥ 妨设a≥b≥c0≤c≤ f(a b c)
1(a+b)c+ab≤+(a+b)c
解关a+b等式a+b≥2(c)
考虑函数g(t) g(t)[）单调递增
0≤c≤3c2≤1 c2+a≥4c2 2≥
f(a b c)
≥


≥
证0 ① c2+6c+9≥9c2+9≥0 ①式成立
f(a b c) ≥f(a b c)min
2．常等式
（1）柯西等式：ai∈R bi∈R i1 2 … n
等号仅存λ∈R意i1 2 n aiλbi
变式1：ai∈R bi∈R i1 2 … n
等号成立条件aiλbi(i1 2 … n)
变式2：设ai bi号0(i1 2 … n)
等号成立仅b1b2…bn
（2）均值等式：设a1 a2…an∈R+记Hn Gn AnHn≤Gn≤An≤Qn 调均≤均≤算术均≤方均
中等号成立条件均a1a2…an
证明 柯西等式An≤QnGn≤AnHn≤Gn仅证Gn≤An
1）n2时显然成立
2）设nk时Gk≤Aknk+1时记Gk+1
a1+a2+…+ak+ak+1+(k1)Gk+1≥
≥2kGk+1
a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1Ak+1≥Gk+1
数学纳法结成立
（3）排序等式：两组实数a1≤a2≤…≤anb1≤b2≤…≤bnb1 b2 … bn意排列a1bn+a2bn1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn
证明 引理：记A00Ak （阿贝尔求法）
证法：b1≤b2≤…≤bn≥b1+b2+…+bk
记sk( b1+b2+…+bk)sk≥0(k1 2 … n)
(a1b1+a2b2+…+anbn) +snan≤0
等式理ajaj+1≤0(j1 2 … n1 sn0)
右侧等式成立理证左侧等式
证法二：（调整法）考察存
(j≤n1)互换

≥0
调整减接继续样调整n1次调整乱序调整序次调整减说明右边等式成立理左边等式
例15 已知a1 a2…an∈R+求证a1+a2+…+an
证明证法：… ≥2an
述等式相加≥a1+a2+…+an
证法二：柯西等式(a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2
a1+a2+…+an >0≥a1+a2+…+an
证法三： 设a1 a2…an排列排序原理

a1+a2+…+an≥证
注：讲种方法定理极广泛应希读者解题中加总结

第十章 直线圆方程
基础知识
1．解析研究象曲线方程解析法实质代数方法研究首先通映射建立曲线方程关系果条曲线点构成集合方程解集间存映射方程做条曲线方程条曲线做方程曲线x2+y21原点圆心单位圆方程
2．求曲线方程般步骤：(1)建立适直角坐标系(2)写出满足条件点集合(3)坐标表示条件列出方程(4)化简方程确定未知数取值范围（5）证明适合方程解应点曲线曲线应点满足方程（实际应常省略步）
3．直线倾斜角斜率：直线方x轴正方成1800正角做倾斜角规定行x轴直线倾斜角00倾斜角正切值（果存话）做该直线斜率根直线点斜率求直线方程
4．直线方程种形式：（1）般式：Ax+By+C0（2）点斜式：yy0k(xx0)（3）斜截式：ykx+b（4）截距式：（5）两点式：（6）法线式方程：xcosθ+ysinθp（中θ法线倾斜角|p|原点直线距离）（7）参数式：（中θ该直线倾斜角）t意义定点P0（x0 y0）动点P（x y）线段数量（线段长度前添加正负号P0P方取正否取负）
5．角夹角：直线l1 l2斜率分k1 k2l1绕交点逆时针旋转l2重合转正角l1l2角l1l2成角中超900正角两者夹角记角θ夹角αtanθtanα
6．行垂直：直线l1l2斜率分k1 k2两者重合l1l2充条件
k1k2l1l2充条件k1k21
7．两点P1(x1 y1)P2(x2 y2)间距离公式：|P1P2|
8．点P(x0 y0)直线l Ax+By+C0距离公式：
9．直线系方程：已知两直线方程l1：A1x+B1y+C10l2：A2x+B2y+C20l1 l2交点直线方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C20l1l2组成二次曲线方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）0l2行直线方程A1x+B1y+C0()
10．二元次等式表示面区域直线l方程Ax+By+C0 B>0Ax+By+C>0表示区域l方部分Ax+By+C<0表示区域l方部分
11．解决简单线性规划问题般步骤：（1）确定变量xy表示（2）写出线性约束条件线性目标函数（3）画出满足约束条件行域（4）求出优解
12．圆标准方程：圆心点(a b)半径r圆标准方程(xa)2+(yb)2r2参数方程（θ参数）
13．圆般方程：x2+y2+Dx+Ey+F0(D2+E24F>0)圆心半径点P(x0 y0)圆点点P切线方程
①
14．根轴：两圆切线长相等点轨迹条直线（部分）条直线两圆根轴定三圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi0 i1 2 3 两两根轴方程分(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)0 (D2D3)x+(E2E3)y+(F2F3)0 (D3D1)x+(E3E1)y+(F3F1)0难证明三条直线交点者互相行著名蒙日定理
二方法例题
1．坐标系选取：建立坐标系应讲究简单称便方程容易化简
例1 ΔABC中ABAC∠A900A引中线BD垂线BC交点E求证：∠ADB∠CDE
[证明] 见图101A原点AC直线x轴建立直角坐标系设点BC坐标分（02a）(2a0)点D坐标（a 0）直线BD方程 ①直线BC方程x+y2a ②设直线BDAE斜率分k1 k2k12BDAEk1k21直线AE方程解点E坐标
直线DE斜率k1+k30
∠BDC+∠EDC1800∠BDA∠EDC
例2 半径等某正三角形高圆三角形条边滚动证明：三角形两条边截圆弧圆心角600
[证明] A原点行正三角形ABC边BC直线x轴建立直角坐标系见图102设⊙D半径等BC边高B滚动某位置时ABAC交点分EF设半径r直线ABAC方程分设⊙D方程(xm)2+y2r2①设点EF坐标分(x1y1)(x2y2)分代入①消y

x1 x2方程4x22mx+m2r20两根
韦达定理
|EF|2(x1x2)2+(y1y2)2(x1x2)2+3(x1x2)2
4(x1+x2)24x1x2m2(m2r2)r2
|EF|r∠EDF600
2．角公式
例3 设双曲线xy1两支C1C2正ΔPQR三顶点双曲线求证：PQR双曲线支
[证明] 假设PQR支妨设右侧支C1设PQR三点坐标分0角公式
θ钝角ΔPQR等边三角形矛盾命题成立
3．代数形式意义
例4 求函数值
[解] 表示动点P(x x2)两定点A(3 2) B(0 1)距离差见图103AB延长线抛物线yx2交点C点P重合时f(x)取值|AB|
4．值问题
例5 已知三条直线l1 mxy+m0 l2 x+mym(m+1)0 l3 (m+1)xy+m+10围成ΔABC求m值时ΔABC面积值值
[解]记l1 l2 l3方程分①②③①③中取x1 y0知等式成立A(1 0)l1l3交点②③中取x0 ym+1等式成立B(0 m+1)l2l3交点设l1 l2斜率分k1 k2 m0k1•k2 SΔABC点直线距离公式|AC||BC|
SΔABC2m≤m2+1SΔABC≤m21≤2mSΔABC≥
m1时（SΔABC）maxm1时（SΔABC）min
5．线性规划
例6 设x y满足等式组
（1）求点(x y)面区域
（2）设a>1（1）区域里求函数f(xy)yax值值
[解] （1）已知
解点(x y)面区域图104示中直线方程图示AB：y2x5CD：y2x+1AD：x+y1BC：x+y4
(2) f(x y)直线l yaxky轴截距直线l阴影相交a>1顶点C时f(x y)C点坐标（37）f(x y)值3a+7 果12l通B（31）时f(x y)取值3a+1
6．参数方程应
例7 图105示原点引直线交圆x2+(y1)21Q点该直线取P点P直线y2距离等|PQ|求P点轨迹方程
[解] 设直线OP参数方程（t参数）
代入已知圆方程t2t•2sinα0
t0t2sinα|OQ|2|sinα||OP|t
|PQ||t2sinα||PM||2tsinα|
|t2sinα||2tsinα| 化简t2t2sinα1
t±2时轨迹方程x2+y24sinα1时轨迹方程x0
7．圆关问题
例8 点ABC次直线lABABCC作l垂线M条垂线动点A圆心AB半径作圆MT1MT2圆切线确定ΔAT1T2垂心 轨迹
[解] 见图106A原点直线ABx轴建立坐标系HOM圆交点NT1T2OM交点记BC1
A圆心圆方程x2+y216连结OT1OT2OT2MT2T1HMT2OT2HT1理OT1HT2OT1OT2OT1HT2菱形2ONOH
OMT1T2OT1MT1ON•OM设点H坐标（xy）
点M坐标(5 b)点N坐标坐标代入ON•OM

AB取点KAKAB求轨迹K圆心AK半径圆
例9 已知圆x2+y21直线y2x+m相交ABOAOBx轴正方成角αβ见图107求证：sin(α+β)定值
[证明] D作ODABD直线OD倾斜角ODAB2•

例10 已知⊙O单位圆正方形ABCD边AB⊙O弦试确定|OD|值值
[解] 单位圆圆心原点AB中垂线x轴建立直角坐标系设点AB坐标分A(cosαsinα)B(cosαsinα)题设|AD||AB|2sinα里妨设Ax轴方α∈(0π)称性设点D点A右侧（否整图形关y轴作称）点D坐标(cosα+2sinαsinα)
|OD|


时|OD|max+1时|OD|min
例11 m变化m≠0时求证：圆(x2m1)2+(ym1)24m2圆心条定直线求系列圆公切线方程
[证明] 消ma2b+10圆圆心直线x2y+10设公切线方程ykx+b相切2|m|切m≠0成立(4k3)m2+2(2k1)(k+b1)m+(k+b1)20切m≠0成立k存时直线x1公切线方程yx1

第十章 圆锥曲线
基础知识
1．椭圆定义第定义：面两定点距离等定长（两定点间距离）点轨迹|PF1|+|PF2|2a (2a>|F1F2|2c)
第二定义：面定点距离条定直线距离常数e(0(0第三定义：直角坐标面定两圆c1 x2+y2a2 c2 x2+y2b2 a b∈R+a≠b原点出发射线交圆c1P交圆c2QP引y轴行线Q引x轴行线两条线交点轨迹椭圆
2．椭圆方程果椭圆中心原点焦点直线坐标轴建立坐标系定义求标准方程焦点x轴列标准方程
(a>b>0)
参数方程（参数）
焦点y轴列标准方程
(a>b>0)
3．椭圆中相关概念中心原点焦点x轴椭圆

a称半长轴长b称半短轴长c称半焦距长轴端点短轴端点两焦点坐标分(±a 0) (0 ±b) (±c 0)左焦点应准线（第二定义中定直线）右焦点应准线定义中e称离心率c2+b2a2知0椭圆两条称轴分长轴短轴
4．椭圆焦半径公式：椭圆1(a>b>0) F1(c 0) F2(c 0)两焦点P(x y)椭圆意点|PF1|a+ex |PF2|aex
5．常结：1）椭圆点P(x0 y0)切线方程

2）斜率k切线方程
3）焦点F2(c 0)倾斜角θ弦长

6．双曲线定义第定义：
满足||PF1||PF2||2a(2a<2c|F1F2| a>0)点P轨迹
第二定义：定点距离定直线距离常数e(>1)点轨迹
7．双曲线方程：中心原点焦点x轴双曲线方程

参数方程（参数）
焦点y轴双曲线标准方程

8．双曲线相关概念中心原点焦点x轴双曲线
(a b>0)
a称半实轴长b称半虚轴长c半焦距实轴两端点(a 0) (a 0) 左右焦点
F1(c0) F2(c 0)应左右准线方程分离心率a2+b2c2知e>1两条渐线方程双曲线相渐线四焦点圆ab称等轴双曲线
9．双曲线常结1）焦半径公式双曲线F1（c0） F2(c 0)两焦点设P(xy)双曲线点P右支|PF1|ex+a |PF2|exaP（xy）左支|PF1|exa|PF2|ex+a
2) 焦点倾斜角θ弦长
10．抛物线：面定点F条定直线l距离相等点轨迹做抛物线点F焦点直线l做抛物线准线取焦点F垂直准线l直线x轴x轴l相交K线段KF垂直分线y轴建立直角坐标系设|KF|p焦点F坐标准线方程标准方程y22px(p>0)离心率e1
11．抛物线常结：P(x0 y0)抛物线点
1）焦半径|PF|
2）点P切线方程y0yp(x+x0)
3）焦点倾斜角θ弦长
12．极坐标系面取定点极点记OO出发射线极轴记Ox轴样建立极坐标系面意点P记|OP|ρ∠xOPθ（ρθ）唯确定点P位置（ρθ）称极坐标
13．圆锥曲线统定义：定点距离定直线距离常数e点P01点P轨迹双曲线支e1点P轨迹抛物线三种圆锥曲线统极坐标方程
二方法例题
1．定义关问题
例1 已知定点A（21）F椭圆左焦点点P椭圆动点3|PA|+5|PF|取值时求点P坐标
[解] 见图111题设a5 b4 c3椭圆左准线方程点A椭圆部点F坐标（30）P作PQ
垂直左准线垂足Q定义知|PF||PQ|
3|PA|+5|PF|3(|PA|+|PF|)3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左准线M)
仅PAM椭圆交点时3|PA|+5|PF|取值y1代入椭圆方程x<0点P坐标
例2 已知P双曲线C：右支两点延长线交右准线KPF1延长线交双曲线Q（F1右焦点）求证：∠F1K∠KF1Q
[证明] 记右准线l作PDlDEPD定义三角形外角分线定理知F1K∠PF1P外角分线∠∠KF1Q
2．求轨迹问题
例3 已知椭圆焦点F点A椭圆动点求线段FA中点P轨迹方程
[解法] 利定义椭圆中心原点O焦点直线x轴建立直角坐标系设椭圆方程：1（a>b>0）F坐标(c 0)设焦点连结OP|FP|+|PO|(|FA|+|A|)a
点P轨迹FO两焦点椭圆（a>|FO|c）椭圆量m(0)移中心原点椭圆：移公式知求椭圆方程

[解法二] 相关点法设点P(xy) A(x1 y1)x12x+c y12y 点A椭圆代入关点P方程
表示中心焦点分FO椭圆
例4 长a b线段ABCD分x轴y轴滑动ABCD四点圆求动圆圆心P轨迹
[解] 设P(x y)轨迹意点ABCD坐标分A(x0) B(x+0) C(0 y) D(0 y+) 记O原点圆幂定理知|OA|•|OB||OC|•|OD|坐标表示
ab时轨迹两条直线yxyx
a>b时轨迹焦点x轴两条等轴双曲线
a例5 坐标面∠AOBAB边直线l x3移动求三角形AOB外心轨迹方程
[解] 设∠xOBθBA方点AB坐标分B(3 3tanθ)A(33tan(θ))设外心P(xy)中点公式知OB中点M
外心性质知
×tanθ1结合式
•tanθ ①
tanθ+ ②

tanθ两边方①②代入求
3．定值问题
例6 双曲线(a>0 b>0)右焦点F作B1B2轴交双曲线B1B2两点B2左焦点F1连线交双曲线B点连结B1B交x轴H点求证：H横坐标定值
[证明] 设点BHF坐标分(asecαbtanα) (x0 0) (c 0)F1B1B2坐标分(c 0) (c ) (c )F1H分直线B2FBB1x轴交点
①



①
代入式
（定值）
注：例助梅涅劳斯定理证明读者妨试
例7 设抛物线y22px(p>0)焦点F点F直线交抛物线AB两点点C准线BCx轴证明：直线AC定点
[证明] 设焦点•y2y100
直线AC原点
例8 椭圆两点AB满足OAOBO原点求证：定值
[证明] 设|OA|r1|OB|r2∠xOAθ∠xOB点AB坐标分A(r1cosθ r1sinθ)B(r2sinθr2cosθ)AB椭圆

①
②
①+②（定值）
4．值问题
例9 设AB椭圆x2+3y21两动点OAOB（O原点）求|AB|值值
[解] 题设a1b记|OA|r1|OB|r2参考例84设m|AB|2
a2>b2b≤r1≤a理b≤r2≤a函数f(x)x+单调递减单调递增t1|OA||OB|时|AB|取值1时|AB|取值
例10 设椭圆中心原点长轴x轴离心率圆C：1
点椭圆点距离试求椭圆方程
[解] 设AB分圆C椭圆动点题设圆心C坐标半径|CA|1|AB|≤|BC|+|CA||BC|+1仅ABC线|BC|取值时|AB|取值|BC|值
设椭圆半长轴半焦距半短轴长分2tt椭圆方程设点B坐标B(2tcosθtsinθ)|BC|2(2tcosθ)2+3t2sin2θ3tsinθ++4t23(tsinθ+)2+3+4t2
sinθ1时|BC|2取值t2+3t+题设符
t>sinθ时|BC|2取值3+4t23+4t27t1
椭圆方程
5．直线二次曲线
例11 抛物线yax21存关直线x+y0成轴称两点试求a取值范围
[解] 抛物线yax21顶点(01)称轴y轴存关直线x+y0称两点条件存点P(x1y1)(y1x1)满足y1ax1a(y1)21相减x1+y1a()P直线x+y0x1+y1≠01a(x1y1)x1y1+
方程等实根求求
例12 直线y2x+b椭圆相交（1）求b范围（2）截弦长时求b值
[解] 二方程联立17x2+16bx+4(b21)0Δ>0
第十二章 立体
基础知识
公理1 条直线果两点面．条直线面记作：aa．
公理2 两面果公点条通点公直线P∈α∩β存唯直线mα∩βmP∈m
公理3 条直线三点面线三点确定面．
推l 直线直线外点确定面．
推2 两条相交直线确定面．
推3 两条行直线确定面．
公理4 空间行直线两条直线行．
定义1 异面直线成角：面两条直线做异面直线．空间意点分作两条异面直线行线两条直线成角中超900角做两条异面直线成角．两条异面直线垂直相交直线做异面直线公垂线公垂线夹两条异面直线间线段长度做两条异面直线间距离．
定义2 直线面位置关系两种直线面直线面外．直线面相交直线面行(直线面没公点做直线面行)统称直线面外．
定义3 直线面垂直：果直线面条直线垂直直线面垂直．
定理1 果条直线面两条相交直线垂直直线面垂直．
定理2 两条直线垂直面两条直线行．
定理3 两条行线中条面垂直条面垂直．
定理4 面外点面垂线段长度做点面距离条直线面行直线点面距离相等距离做直线面距离．
定义5 条直线面相交垂直直线做面斜线．斜线点面引垂线垂足点面射影．样射影条直线条直线做斜线面射影．斜线射影成锐角做斜线面成角．
结1 斜线面成角斜线面直线成角中角．
定理4 (三垂线定理)d面条斜线b面a射影c面a条直线cbca．逆定理：cacb．
定理5 直线d面a外条直线面条直线b行面a行
定理6 直线面α行面β直线a面a交直线6ab．
结2 直线面α面β行面α面β相交bab．
定理7 (等角定理)果角两边角两边分行方相两角相等．
定义6 面面位置关系两种：行相交．没公点行否相交．
定理8 面a两条相交直线ab面β行αβ
定理9 面α面β行面γ∩αaγ∩βbab．
定义7 (二面角)条直线m两半面αβ(包括直线m称二面角棱)组成图形二面角记作α—m—β记A—mBα—AB—β等．棱意点P两半面分作棱垂线APBP∠APB(≤900)做二面角面角．
取值范围[0π]．
特∠APB＝900称直二面角时面面位置关系称垂直αβ
定理10 果面面垂线两面垂直．
定理11 果两面垂直第面点作面垂线第面．
定理12 果两面垂直第子面点作交线垂线面垂直．
定义8 两面互相行余面行四边形相邻两行四边形公边(称侧棱)互相行面围成体做棱柱．两互相行面做底面．果底面行四边形做行六面体侧棱底面垂直棱柱直棱柱底面正边形直棱柱做正棱柱．底面矩形直棱柱做长方体．棱长相等正四棱柱正方体．
定义9 面边形(面称底面)余面公顶点三角形面体棱锥．底面正边形顶点底面射影底面中心棱锥正棱锥．
定理13 (凸面体欧拉定理)设面体顶点数V棱数E面数F
V+FE2．
定义10 空间中定点距离等定长点轨迹球面．球面围成体做球．定长做球半径定点做球心．
定理14 果球心面距离d半径R面球相交截面圆面圆心球心连线截面垂直．设截面半径rd2+r2＝R2．球心截面圆周做球圆．球面两点球圆夹两点间劣弧长度两点间球面距离．
定义11 (度纬度)行赤道面面截球截面四周做纬线．纬线意点球心连线赤道面成角做点纬度．南极北极面截球截面半圆周(两极端点)做线线面初子午线半面成二面角做度根位置分东西．
定理15 (祖 原理)夹两行面间两体行两面意面截果截两截面面积总相等两体体积相等
定理16 (三面角定理)空间点出发面三条射线组成三角．中意两角三角3600．
定理17 （面积公式）球半径R表面积S球面4πR2圆锥母线长l底面半径r侧面积S侧πrl
定理18 （体积公式）半径R球体积V球棱柱（圆柱）底面积s高h体积Vsh棱锥（圆锥）底面积s高h体积V
定理19 图121示四面体ABCD中记∠BDCα∠ADCβ∠ADBγ∠BACA∠ABCB∠ACBCDH面ABCH
（1）射影定理：SΔABD•cosФSΔABH中二面角D—AB—HФ
（2）正弦定理：
（3）余弦定理：cosαcosβcosγ+sinβsinγcosA
cosAcosBcosC+sinBsinCcosα
（4）四面体体积公式DH•SΔABC

（中da1 a间距离夹角）
SΔABD•SΔACD•sinθ(中θ二面角B—AD—C面角)
二方法例题
1．公理应
例1 直线abc直线d相交abcb求证：abcd面
[证明] 设dabc分交ABCbd相交两者确定面设aab两者确定面记βA∈αA∈βB∈bB∈βdβbd面唯αβ面aα理cαabcd面
例2 长方体截面正六边形正方体什条件？
[解] 充条件先证充分性设图122中PQRSTK长方体ABCDA1B1C1D1正六边形截面延长PQSR设交点O直线SR面CC1D1DO∈直线SRO∈面CC1D1D直线PQ面A1B1C1D1O∈直线PQO∈面A1B1C1D1O∈直线C1D1正六边形性质知∠ORQ∠OQR600ΔORQ正三角形CDC1D11RCC1中点理QB1C1中点ΔORC1≌ΔOQC1C1RC1QCC1C1B1理CDCC1该长方体正方体充分性证必性留读者证明
2．异面直线相关问题
例3 正方体12条棱互异面直线少？
[解] 条棱外四条棱成异面直线重复计数异面直线12×448异面直线计算两次24
例4 见图123正方体ABCD—A1B1C1D1棱长1求面角线A1C1AB1成角
[解] 连结ACB1CA1AB1BC1CA1AC1CA1ACC1行四边形A1C1AC
ACAB1成角A1C1AB1成角正方体性质AB1B1CAC∠B1AC600A1C1AB1成角600
3．行垂直证
例5 ABCD空间四点四边形ABCD四角直角求证：四边形ABCD矩形
[证明] ABCD行四边形矩形ABCD面设ABC面αD作DD1αD1见图124连结AD1CD1ABAD1DD1面αABαDD1ABAB面ADD1ABAD1理BCCD1ABCD1矩形∠AD1C900AD1例6 四面体两底面高线相交证明：两条高线相交
[证明] 见图125设四面体ABCD高线AEBF相交OAE面BCDAECDBF面ACDBFCDCD面ABOCDAB设四面体两条高分CMDN连结CNDN面ABCDNABABCDAB面CDNABCN设CN交ABP连结PD作PDAB面CDNAB面ABD四面体高CM重合
CMDNΔPCD两条高两者相交
例7 矩形ABCD中AD2ABEAD中点BEΔABE折起ACAD见图126求证：面ABE面BCDE
[证明] 取BE中点OCD中点M连结AOOMODOCOMBCCDBCOMCDACADAMCDCD面AOMAOCDABAEAOBEED≠BCBECD行BECD两条相交直线AO面BCDE直线AO面ABE面ABE面BCDE
4．直线面成角问题
例8 见图127正方形ABCD中EF分ABCD中点GBF中点正方形EF折成1200二面角求AG面EBCF成角
[解]设边长AB2EFADADABEFABBGAEEFBEEF∠AEB1200A作AMBEM∠AEM600MEAMAEsin600余弦定理MG2BM2+BG22BM•BGcos∠MBG 2MGEFAEEFBEEF面AEBEFAMAMBEAM面BCE∠AGMAG面EBCF成角tan∠AGMAG面EBCF成角
例9 见图128OA面α条斜角ABαBCαACOC∠AOCα∠AOBβ∠BOCγ证明：cosαcosβ•cosγ
[证明] ABαACOC三垂线定理BCOCOAcosβOBOBcosγOCRtΔOAC中OAcosαOCOAcosβcosγOAcosαcosαcosβ•cosγ
5．二面角问题
例10 见图129设S面ABC外点∠ASB450∠CSB600二面角A—SB—C直角二面角求∠ASC余弦值
[解] 作CMSBMMNASN连结CN二面角A—SB—C直二面角面ASB面BSCCMSBCM面ASBMNAS三垂线定理逆定理CNASSC•cos∠CSNSNSC•cos∠CSM•cos∠ASBcos∠ASCcos450cos600
例11 见图1210已知直角ΔABC两条直角边AC2BC3P斜边AB点CP三角形折成直二面角A—CP—BAB时求二面角P—AC—B
[解] P作PDACD作PECP交BCE连结DEA—CP—B直二面角面ACP面CPBPE面ACPPDCA三垂线定理知DEAC∠PDE二面角P—AC—B面角设∠BCPθcos∠ECDcosθ•cos(900θ)sinθcosθ余弦定理
cos∠ACBsinθcosθsin2θ10<2θ<πθ设CPaPDaPEatan∠PDE
二面角P—AC—B
6．距离问题
例12 正方体ABCD—A1B1C1D1棱长a求角线ACBC1距离
[解] B原点建立直角坐标系图1211示设PQ分BC1CA点点量坐标分A(a00)B(000)C(0a0)a×a+a×a0 a×aa×a0PQACBC1公垂线段两者距离
例13 图1212示三棱维S—ABC中底面边长正三角形棱SC长2垂直底面ED分BCAB中点求CDSE间距离
[分析] 取BD中点FEFCDCD面SEF求CDSE间距离转化求点C面SEF间距离
[解] 设距离h体积公式

计算SΔSEF3
7．凸面体欧拉公式
例14 凸面体32面面三角形五边形V顶点顶点均T三角形面P五边形面相交求100P+10T+V
[解] F3232E+V2EV+30T+P面相交顶点顶点出发T+P条棱2EV(T+P) V(T+P)2(V+30)V(T+P2)60 三角形面三条棱三角形面类似五边形面者三角形者五边形323T+5P16唯正整数解TP2代入
V(T+P2)60V30100P+10T+V250
8．球关问题
例15 圆柱直径4R高22R问圆柱装半径R球少？
[解] 底层恰放两球设球O1球O2两者相切时圆柱相切球O1球O2放球O3球O4O1O2O3O4相垂直4球两相外切样球O3球O4放球O5球O6……直放止
先计算O3O4O1O2两行面圆柱底面截面间距离设装K层(22)R9．四面体中问题
例16 已知三棱锥S—ABC底面正三角形A点侧面SBC射影HΔSBC垂心二面角H—AB—C面角等300SA求三棱锥S—ABC体积
[解] 题设AH面SBC作BHSCE三垂线定理知SCAESCABSC面ABE设S面ABC射影OSO面ABC三垂线定理逆定理知COABF理BOACOΔABC垂心ΔABC等边三角形OΔABC中心SASBSCCFABCFEF面ABC射影三垂线定理知EFAB∠EFC二面角H—AB—C面角∠EFC300OCSCcos600SOtan6003OCABABOC3VS—ABC×32×3
例17 设d意四面体相棱间距离值h四面体高长求证：2d>h
[证明] 妨设A面BCD高线长AHhACBD间距离d作AFBD点FCNBD点NCNHF面BCD作矩形CNFE连AEBDCEBD面ACEBD面ACE距离BDAC间距离dΔAEF中AH边EF高AE边高FGd作EMAFMEC面ABD知EM点C面ABD距离（EM面ABD）EM≥AHhRtΔEMFRtΔAHF中EM≥AHEF≥AFΔAEH∽ΔFEG≤22d>h
注：前面例题中教材中公理定理外量法体积法射影法请读者解题中认真总结

第十三章 排列组合概率
基础知识
1．加法原理：做件事n类办法第1类办法中m1种方法第2类办法中m2种方法……第n类办法中mn种方法完成件事Nm1+m2+…+mn种方法
2．法原理：做件事完成需分n步骤第1步m1种方法第2步m2种方法……第n步mn种方法完成件事Nm1×m2×…×mn
种方法
3．排列排列数：n元素中取m(m≤n)元素定序排成列做n元素中取出m元素排列n元素中取出m(m≤n)元素排列数做n元素中取出m元素排列数表示n(n1)…(nm+1)中mn∈Nm≤n
注：般101n
4．N元素圆周排列数(n1)
5．组合组合数：般n元素中取m(m≤n)元素成组做n元素中取出m元素组合n元素中计序取出m构成原集合子集n元素中取出m(m≤n)元素组合数做n元素中取出m元素组合数表示：

6．组合数基性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
7．定理1：定方程x1+x2+…+xnr正整数解数
[证明]r相球装入n盒子装法构成集合A定方程x1+x2+…+xnr正整数解构成集合BA装法应B唯解构成映射装法应解单射反B中解(x1x2…xn)xi作第i盒子中球数i12…n便A装法满射映射r球左右排成列种装法相r1空格中选n1球分n份种定理证
推1 定方程x1+x2+…+xnr非负整数解数
推2 n元素中取m允许元素重复出现组合做n元素m重组合组合数
8．二项式定理：n∈N+(a+b)n中第r+1项Tr+1
二项式系数
9．机事件：定条件发生发生事件机事件量重复进行试验时事件A发生频率总接某常数附摆动常数做事件A发生概率记作p(A)0≤p(A)≤1
10等事件概率果次试验中n种等出现结果中事件A包含结果m种事件A概率p(A)
11互斥事件：时发生两事件做互斥事件相容事件果事件A1A2…An彼互斥A1A2…An中少发生概率
p(A1+A2+…+An) p(A1)+p(A2)+…+p(An)
12．立事件：事件AB互斥事件必发生AB立事件记A立事件定义知p(A)+p()1
13．相互独立事件：事件A（B）否发生事件B（A）发生概率没影响样两事件做相互独立事件
14．相互独立事件时发生概率：两相互独立事件时发生概率等事件发生概率积p(A•B)p(A)•p(B)事件A1A2…An相互独立n事件时发生概率p(A1•A2• … •An)p(A1)•p(A2)• … •p(An)
15独立重复试验n次重复试验中次试验结果概率赖次试验结果称n次试验独立
16独立重复试验概率果次试验中某事件发生概率pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率pn(k)•pk(1p)nk
17．离散型机量分布列：果机试验结果变量表示样变量机变量例次射击命中环数ξ机变量ξ取值012…10果机变量取值列出样机变量离散型机变量
般设离散型机变量ξ取值x1x2…xi…ξ取值xi(i12…)概率p(ξxi)pi称表
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
p
p1
p2
p3
…
pi
…
机变量ξ概率分布简称ξ分布列称Eξx1p1+x2p2+…+xnpn+…ξ数学期均值均值简称期称Dξ(x1Eξ)2•p1+(x2Eξ)2•p2+…+(xnEξ)2pn+…ξ均方差简称方差机变量ξ标准差
18．二项分布：果次试验中某事件发生概率pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率p(ξk) ξ分布列
ξ
0
1
…
xi
…
N
p


…

…


时称ξ服二项分布记作ξ～B(np)ξ～B(np)EξnpDξnpqq1p
19分布：独立重复试验中某事件第次发生时做试验次数ξ机变量次试验中该事件发生概率pp(ξk)qk1p(k12…)ξ分布服分布EξDξ(q1p)
二方法例题
1．法原理
例1 2n参加收发电报培训两结互发互收少种结方式？
[解] 整结程分n步第步考虑中意配者2n1种选结余2n2中意确定第二步考虑配者2n3种选择……样直进行n步恰结n法原理结方式
(2n1)×(2n3)×…×3×1
2．加法原理
例2 图131示中没电流通电流表原仅电阻断路性种？
[解] 断路分4类：1）电阻断路1种R42）2电阻断路15种3）3电阻断路4种4）4电阻断路1种1+5+4+111种
3．插空法
例3 10节目中6演唱4舞蹈求两舞蹈间少安排演唱少种安排节目演出序方式？
[解] 先6演唱节目意排成列种排法演唱节目间前7位置中选出4安排舞蹈种方法604800种方式
4．映射法
例4 果12…14中序取出a1a2a3时满足：a2a1≥3a3a2≥3符合求取法少种？
[解] 设S{12…14}{12…10}T{(a1a2a3)| a1a2a3∈Sa2a1≥3a3a2≥3}{()∈}令(a1a2a3)∈T样建立T映射显然单射次(a1a2a3)∈T令映射满射映射|T|120取法120种
5．贡献法
例5 已知集合A{123…10}求A非空子集元素数
[解] 设求xA元素a含aA子集29ax贡献29|A|10x10×29
[解] Ak元子集k12…10A子集元素数10×29
6．容斥原理
例6 数字123组成n位数(n≥3)n位数中123少出现1次问：样n位数少？
[解] I表示123组成n位数集合|I|3nA1A2A3分表示含1含2含3123组成n位数集合|A1||A2||A3|2n|A1A2||A2A3||A1A3|1|A1A2A3|0
容斥原理|A1A2A3|3×2n3满足条件n位数|I||A1A2A3|3n3×2n+3
7．递推方法
例7 123三数字构造n位数允许两紧挨着1出现n位数中问：构造出少样n位数？
[解] 设构造an符合求n位数a13法原理知a23×318n≥3时：1）果n位数第数字23样n位数2an12）果n位数第数字1第二位23样n位数2an2an2(an1+an2)(n≥3)里数列{an}特征方程x22x+2两根x11+x21anc1(1+)n+ c2(1+)na13a28
8．算两次
例8 mnr∈N+证明： ①
[证明] n位太太m位先生中选出r位方法种方面n+m中选出k位太太rk位先生方法种k01…rn+m中选出r位方法种综合两方面①式
9．母函数
例9 副三色牌32张红黄蓝10张编号12…10王张编号均0副牌中取干张牌规计算分值：张编号k牌计2k分分值2004称牌牌组求牌组数
[解] n∈{12…2004}an表示分值n牌组数目an等函数f(x)(1+)2•(1+)3••••…•(1+)3展开式中xn系数（约定|x|<1）f(x)
[ (1+)(1+)•…•(1+)]33 3
0≤2004<211an等展开式中xn系数•(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…]x2k展开式中系数a2k1+3+5++(2k+1)(k+1)2k12…求牌组数a2004100321006009
10．组合数性质
例10 证明：奇数(k≥1)
[证明] 令i•pi(1≤i≤k)pi奇数分子分母均奇数整数干奇数积奇数
例11 n≥2证明：
[证明] 1）n2时22<6<422）假设nk时2k<<4knk+1时
<42k+1<
结切n≥2成立
11．二项式定理应
例12 n∈N n≥2求证：
[证明] 首先次
2+证
例13 证明：
[证明] 首先确定k等式左边项两组合数积中(1+x)nk展开式中xmh系数(1+y)k展开式中yk系数•(1+x)nk•(1+y)k展开式中xmhyh系数
展开式中xmhyh系数
方面 •(xk1+xk2y+…+yk1)式中xmhyh项系数恰

12．概率问题解法
例14 果某批产品中a件次品b件正品采放回抽样方式中抽取n件产品问：恰k件次品概率少？
[解] k件产品进行编号放回抽n次重复排列作基事件总数(a+b)n（结果）设事件A表示取出n件产品中恰k件次品事件A包含基事件总数•akbnk求概率p(A)
例15 枚硬币掷5次正面恰次概率0正面恰两次概率相求恰三次正面概率
[解] 设次抛硬币正面概率p掷5次恰k次正面概率(1p)5k(k012…5)题设0例16 甲乙两乒乓球运动员进行乒乓球赛已知局甲胜概率06乙胜概率
04赛时三局二胜五局三胜制问：种赛制度甲获胜性？
[解] （1）果采三局两胜制甲列两种情况获胜：A1—2：0（甲净胜二局）A2—2：1（前二局甲胜负第三局甲胜） p(A1)06×06036p(A2)×06×04×060288
A1A2互斥甲胜概率p(A1+A2)0648
(2)果采五局三胜制甲列三种情况获胜：B1—3：0（甲净胜3局）B2—3：1（前3局甲2胜1负第四局甲胜）B3—3：2（前四局胜2局第五局甲胜）B1B2B2互斥甲胜概率p(B1+B2+B3)p(B1)+p(B2)+p(B3)063+×062×04×06+×062×042×06068256
（1）（2）知五局三胜制甲获胜性
例17 AB两口袋A袋中6张卡片中1张写02张写13张写2B袋中7张卡片中4张写01张写12张写2A袋中取出1张卡片B袋中取2张卡片3张卡片求：（1）取出3张卡片写0概率（2）取出3张卡片数字积4概率（3）取出3张卡片数字积数学期
[解]（1）（2）（3）记ξ取出3张卡片数字积ξ分布
ξ
0
2
4
8
p







第十四章 极限导数
基础知识
1．极限定义：（1）数列{un}满足意定正数ε总存正数mn>mn∈N时恒|unA|<ε成立（A常数）称A数列unn趋穷时极限记外A表示xx0趋x0时f(x)极限A称右极限类似表示xx0趋x0时f(x)左极限
2．极限四运算：果f(x)a g(x)b[f(x)±g(x)]a±b [f(x)•g(x)]ab
3连续：果函数f(x)xx0处定义f(x)存f(x)f(x0)称f(x)
xx0处连续
4．值值定理：果f(x)闭区间[ab]连续函数f(x)[ab]值值
5．导数：函数f(x)x0附定义变量xx0处取增量Δx时（Δx充分）变量y取增量Δy(Δyf(x0+Δx)f(x0))存称f(x)x0处导极限值称f(x)点x0处导数（变化率）记作(x0)定义知f(x)点x0连续f(x)x0导必条件f(x)区间I定义点导称敬意导导数意义：f(x)点x0处导数(x0)等曲线yf(x)点P(x0f(x0))处切线斜率
6．常函数导数：（1）0（c常数）（2）（a意常数）（3）(4)(5)(6)（7）（8）
7．导数运算法：u(x)v(x)x处导u(x)≠0
（1）（2）（3）（c常数）（4）（5）
8．复合函数求导法：设函数yf(u)u(x)已知(x)x处导f(u)应点u(u(x))处导复合函数yf[(x)]点x处导（f[(x)]
9导数函数性质：（1）f(x)区间I导f(x)I连续（2）切x∈(ab)f(x)(ab)单调递增（3）切x∈(ab)f(x)(ab)单调递减
10．极值必条件：函数f(x)x0处导x0处取极值
11极值第充分条件：设f(x)x0处连续x0邻域(x0δx0+δ)导（1）x∈(xδx0)时x∈(x0x0+δ)时f(x)x0处取极值（2）x∈(x0δx0)时x∈(x0x0+δ)时f(x)x0处取极值
12．极值第二充分条件：设f(x)x0某领域(x0δx0+δ)阶导xx0处二阶导（1）f(x)x0处取极值（2）f(x)x0处取极值
13．罗尔中值定理：函数f(x)[ab]连续(ab)导f(a)f(b)存ξ∈(ab)
[证明] x∈(ab)f(x)≡f(a)意x∈(ab)x∈(ab)时f(x)≠f(a)f(x)[ab]连续f(x)[ab]值值必等f(a)妨设值m>f(a)f(c)mc∈(ab)f(c)值综证
14．Lagrange中值定理：f(x)[ab]连续(ab)导存ξ∈(ab)
[证明] 令F(x)f(x)F(x)[ab]连续(ab)导F(a)F(b)13知存ξ∈(ab)0
15．曲线凸性充分条件：设函数f(x)开区间I具二阶导数（1）果意x∈I曲线yf(x)I凸（2）果意x∈Iyf(x)I凸通常称凸函数凸函数凸函数凹函数
16．琴生等式：设α1α2…αn∈R+α1+α2+…+αn1（1）f(x)[ab]凸函数x1x2…xn∈[ab]f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn)
二方法例题
1．极限求法
例1 求列极限：（1）（2）（3）（4）
[解]（1）
（2）a>1时
0a1时
（3）


（4）
例2 求列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|<1)
（2）（3）
[解] （1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)

（2）

（3）


2．连续性讨
例3 设f(x)(∞+∞)定义恒满足f(x+1)2f(x)x∈[01)时f(x)x(1x)2试讨f(x)x2处连续性
[解] x∈[01)时f(x)x(1x)2f(x+1)2f(x)中令x+1txt1x∈[12)时利f(x+1)2f(x)f(t)2f(t1)t1∈[01)f(x)x(1x)2f(t1)(t1)(2t)2t∈[12)时f(t)2(t1)•(2t)2理x∈[12)时令x+1tt∈[23)时f(t)2f(t1)4(t2)(3t)2f(x)





f(x)f(x)f(2)0f(x)x2处连续
3．利导数意义求曲线切线方程
[解] 点(20)曲线设切点坐标(x0y0)切线斜率切线方程yy0切线点（20）x01求切线方程y(x2)x+y20
4．导数计算
例5 求列函数导数：（1）ysin(3x+1)（2）（3）yecos2x（4）（5）y(12x)x(x>0)
[解] （1）3cos(3x+1)
(2)


（3）
（4）

（5）

5．导数讨函数单调性
例6 设a>0求函数f(x)ln(x+a)(x∈(0+∞))单调区间
[解] x>0a>0x2+(2a4)x+a2>0x2+(2a4)x+a+<0
（1）a>1时x>0x2+(2a4)x+a2>0(x)>0f(x)(0+∞)单调递增（2）a1时x≠1x2+(2a4)x+a2>0f(x)（01）单调递增（1+∞）递增f(x)x1处连续f(x)(0+∞)递增（3）00解x<2ax>2a+f(x)(02a)单调递增(2a++∞)单调递增2a6．利导数证明等式
例7 设求证：sinx+tanx>2x
[证明] 设f(x)sinx+tanx2xcosx+sec2x2时（0x∈时f(x)>f(0)0sinx+tanx>2x
7利导数讨极值
例8 设f(x)alnx+bx2+xx11x22处取极值试求ab值指出时f(x)x1x2处取极值极值
[解] f(x)(0+∞)连续导f(x)x11x22处取极值+2bx+1解

x∈(01)时f(x)(01]递减
x∈(12)时f(x)[12]递增
x∈(2+∞)时f(x)[2+∞）递减
综知f(x)x11处取极值x22处取极值
例9 设x∈[0π]y∈[01]试求函数f(xy)(2y1)sinx+(1y)sin(1y)x值
[解] 首先x∈[0π]y∈[01]时
f(xy)(2y1)sinx+(1y)sin(1y)x(1y)2x(1y)2x令g(x)

时cosx>0tanx>x
时cosx<0tanx<0xtanx>0
g(x)(0π)连续g(x)(0π)单调递减
0<(1y)xg(x)
x∈(0π)y∈(01)时f(xy)>0
次x0时f(xy)0xπ时f(xy)(1y)sin(1y)π≥0
y1时f(xy)sinx+sinx0y1时f(xy)sinx≥0
综仅x0y0xπy1时f(xy)取值0

第十五章 复数
基础知识
1．复数定义：设i方程x21根i称虚数单位i实数进行加减等运算便产生形a+bi（ab∈R）数称复数复数构成集合称复数集通常C表示
2．复数种形式意复数za+bi（ab∈R）a称实部记作Re(z)b称虚部记作Im(z) zai称代数形式实部虚部两部分构成(ab)作坐标面点坐标z坐标面唯点相应建立复数集坐标面点构成集合间映射复数点表示表示复数面称复面x轴称实轴y轴掉原点称虚轴点称复数形式果(ab)作量坐标复数z应唯量坐标面量复数种表示形式称量形式外设z应复面点Z见图151连接OZ设∠xOZθ|OZ|rarcosθbrsinθzr(cosθ+isinθ)种形式做三角形式zr(cosθ+isinθ)θ称z辐角0≤θ<2πθ称z辐角值记作θArg(z) r称z模记作|z|勾股定理知|z|果eiθ表示cosθ+isinθzreiθ称复数指数形式
3．轭模za+bi（ab∈R）abi称z轭复数模轭性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）||z1||z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|（8）|z1+z2|2+|z1z2|22|z1|2+2|z2|2（9）|z|1
4．复数运算法：（1）代数形式运算加减运算法实数范围致运算结果通轭复数分母分实数（2）量形式加减法满足行四边形三角形法（3）三角形式z1r1(cosθ1+isinθ1) z2r2(cosθ2+isinθ2)z1••z2r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)][cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]指数形式记z1z2r1r2ei(θ1+θ2)
5棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]nrn(cosnθ+isinnθ)
6开方：r(cosθ+isinθ)k012…n1
7．单位根：wn1称w1n次单位根简称单位根记Z1全部单位根表示1单位根基性质（里记k12…n1）：（1）意整数kknq+rq∈Z0≤r≤n1Znq+rZr（2）意整数mn≥2时特1+Z1+Z2+…+Zn10（3）xn1+xn2+…+x+1(xZ1)(xZ2)…(xZn1)(xZ1)(x)…(x)
8复数相等充条件：（1）两复数实部虚部分应相等（2）两复数模辐角值分相等
9．复数z实数充条件zz纯虚数充条件：z+0（z≠0）
10代数基定理：复数范围元n次方程少根
11．实系数方程虚根成定理：实系数元n次方程虚根成出现za+bi(b≠0)方程根abi根
12．abc∈Ra≠0关x方程ax2+bx+c0Δb24ac<0时方程根
二方法例题
1．模应
例1 求证：n∈N+时方程(z+1)2n+(z1)2n0纯虚根
[证明] z方程根(z+1)2n(z1)2n|(z+1)2n||(z1)2n||z+1|2|z1|2(z+1)(+1)(z1)(1)化简z+0z0方程根z纯虚数
例2 设f(z)z2+az+bab复数切|z|1|f(z)|1求ab值
[解] 4(1+a+b)+(1a+b)(1+ai+b)(1ai+b)
|f(1)+f(1)f(i)f(i)|

≥|f(1)|+|f(1)|+|f(i)|+|f(i)|4中等号成立
f(1)f(1)f(i)f(i)四量方相模相等
f(1)f(1)f(i)f(i)解ab0
2复数相等
例3 设λ∈R二次方程(1i)x2+(λ+i)x+1+λi0两虚根求λ满足充条件
[解] 方程实根方程组实根方程组(λ+1)x+λ+10λ1方程x2x+10中Δ<0实根λ≠1x1 λ2λ≠2时方程实根方程两虚根充条件λ≠2
3．三角形式应
例4 设n≤2000n∈N存θ满足(sinθ+icosθ)nsinnθ+icosnθ样n少？
[解] 题设
n4k+10≤n≤20001≤k≤500样n500
4．二项式定理应
例5 计算：（1）（2）
[解] (1+i)100[(1+i)2]50(2i)50250二项式定理(1+i)100 )+()i较实部虚部2500
5．复数法意义
例6 定长线段BC边作ΔABC分ABAC腰BC直角顶点外作等腰直角ΔABM等腰直角ΔACN求证：MN中点定点
[证明] 设|BC|2aBC中点O原点BCx轴建立直角坐标系确定复面BC应复数aa点AMN应复数z1z2z3复数法意义：①②①+②z2+z3i(z1+a)i(z1a)2ai设MN中点P应复数z定值MN中点P定点
例7 设ABCD面意四点求证：AB•AD+BC•AD≥AC•BD
[证明] ABCD表示应复数(AB)(CD)+(BC)(AD)(AC)(BD)|AB|•|CD|+|BC|•|AD|≥(AB)(CD)+(BC)(AD)
|AB|•|CD|+|BC|•|AD|≥|AC|•|BD| 成立仅πABCD圆时成立等式证
6．复数轨迹
例8 ΔABC顶点A表示复数3i底边BC实轴滑动|BC|2求ΔABC外心轨迹
[解]设外心M应复数zx+yi(xy∈R)BC点应复数分bb+2外心M三边垂直分线交点AB垂直分线方程|zb||z3i|BC垂直分线方程|zb||zb2|点M应复数z满足|zb||z3i||zb2|消b解
ΔABC外心轨迹轨物线
7．复数三角
例9 已知cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ0求证：cos2α+cos2β+cos2γ0
[证明] 令z1cosα+isinαz2cosβ+isinβz3cosγ+isinγ
z1+z2+z30|zi|1i123
zi•1
z1+z2+z30 ①


cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)0
cos2α+cos2β+cos2γ0
例10 求：Scos200+2cos400+…+18cos18×200
[解] 令wcos200+isin200w181令Psin200+2sin400+…+18sin18×200S+iPw+2w2+…+18w18 ①①×ww(S+iP)w2+2w3+…+17w18+18w19②①②(1w)(S+iP)w+w2+…+w1818w19S+iP
8．复数项式
例11 已知f(z)c0zn+c1zn1+…+cn1z+cnn次复系数项式(c0≠0)
求证：定存复数z0|z0|≤1|f(z0)|≥|c0|+|cn|
[证明] 记c0zn+c1zn1+…+cn1zg(z)令Arg(cn)Arg(z0)方程g(Z)c0eiθ0n次方程必n根设z1z2…zng(z)c0eiθ(zz1)(zz2)•…•(zzn)c0令z0c0eiθ(1)nz1z2…znc0取模|z1z2…zn|1z1z2…zn中必zi|zi|≤1f(zi)g(zi)+cnc0eiθcn|f(zi)||c0eiθ+cn||c0|+|cn|
9单位根应
例12 证明：⊙O意点p正边形A1A2…An顶点距离方定值
[证明] 取圆单位圆O原点射线OAn实轴正半轴建立复面顶点A1应复数设顶点A2A3…An应复数分ε2ε3…εn设点p应复数z|z|12n
2n命题证
10．复数
例13 图152示四边形ABCD存点PΔPABΔPCDP直角顶点等腰直角三角形求证：必存点
QΔQBCΔQDAQ直角顶点等腰直角三角形
[证明] P原点建立复面ABCDPQ表示应复数题设复数法意义知DiCBiA取CQi(BQ)ΔBCQ等腰直角三角形CQi(BQ)AQi(DQ)ΔADQ等腰直角三角形Q直角顶点综命题证
例14 面定ΔA1A2A3点p0定义AsAs3s≥4构造点列p0p1p2…pk+1绕中心Ak+1时针旋转1200时pk达位置k012…p1986p0证明：ΔA1A2A3等边三角形
[证明] 令u题设约定点时表示应复数取定面复面p1(1+u)A1up0
p2(1+u)A2up1
p3(1+u)A3up2
①×u2+②×(u)p3(1+u)(A3uA2+u2A1)+p0w+p0wp0关常数理p6w+p32w+p0…p1986662w+p0p0w0A3uA2+u2A10u2u1A3A1（A2A1）u说明ΔA1A2A3正三角形

第十六章 面
常定理（仅出定理证明请读者完成）
梅涅劳斯定理 设分ΔABC三边BCCAAB延长线点三点线
梅涅劳斯定理逆定理 条件三点线
塞瓦定理 设分ΔABC三边BCCAAB延长线点三线行点
塞瓦定理逆定理 设分ΔABC三边BCCAAB延长线点三线点互相行
角元形式塞瓦定理 分ΔABC三边BCCAAB直线点行点充条件
广义托勒密定理 设ABCD意凸四边形AB•CD+BC•AD≥AC•BD仅ABCD四点圆时取等号
斯特瓦特定理 设PΔABC边BC意点PBC
AP2AB2•+AC2•BP•PC
西姆松定理 三角形外接圆异三角形顶点意点作三边垂线三垂足线
西姆松定理逆定理 点三角形三边直线射影线该点三角形外接圆
九点圆定理 三角形三条高垂足三边中点垂心顶点三条连线段中点九点圆
蒙日定理 三条根轴交点互相行（两圆幂（切线长）相等点构成集合条直线条直线称根轴）
欧拉定理 ΔABC外心O垂心H重心G三点线
二方法例题
1．法直接证明作出满足条件图形点然证明已知图形点重合
例1 ΔABC中∠ABC700∠ACB300PQΔABC部两点∠QBC∠QCB100∠PBQ∠PCB200求证：APQ三点线
[证明] 设直线CP交AQP1直线BP交AQP2∠ACP∠PCQ100①ΔABPΔBPQΔABC中正弦定理
②③④
②③④P1P2线段AQP1P2重合BPCP仅交点P1P2PAPQ线
2．面积法
例2 见图161◇ABCD中EF分CDBC点BEDFBE交DFP求证：AP∠BPD分线
[证明] 设A点BEDF距离分h1h2

S◇ABCDSΔADFBEDF
h1h2PA∠BPD分线
3．变换
例3 （蝴蝶定理）见图162AB⊙O条弦MAB中点CDEFM意弦CFDE分交ABPQ求证：PMMQ
[证明] 题设OMAB妨设作D关直线OM称点
连结证PMMQ需证∠MDQ∠PFM需证FPM圆
∠18001800∠1800∠（OMAB）
FPM四点圆Δ≌ΔMDQMPMQ
例4 面点红蓝两色染色证明：存样两相似三角形相似1995三角形三顶点色
[证明] 面作两心圆半径分11995圆点染红蓝两色圆必五点色设五点ABCDE两点作半径半径延长分交圆A1B1C1D1E1抽屉原理知五点中必三点色妨设A1B1C1ΔABCΔA1B1C1顶点色三角形相似1995
4．三角法
例5 设ADBECFΔABC角分线DEFΔABC边果∠EDF900求∠BAC值
[解] 见图163记∠ADEα∠EDCβ
题设∠FDAα∠BDFβ
正弦定理：

角分线定理
化简理
sinβcosαcosβsinαsin(βα)0
π<βα<πβαAπ
5．量法
例6 设PΔABC面点GΔABC重心求证：PA+PB+PC>3PG
[证明]
GΔABC重心
（事实设AG交BCE）

全线式成立PA+PB+PC>3PG
6．解析法
例7 HΔABC垂心P意点HLPA交PAL交BCXHMPB交PB
M交CAYHNPC交PCN交ABZ求证：XYZ三点线
[解] H原点取条件中直线垂直两条直线x轴y轴建立直角坐标系(xkyk)表示点k应坐标直线PA斜率直线HL斜率直线HL方程x(xPxA)+y(yPyA)0
直线HA斜率直线BC斜率直线BC方程xxA+yyAxAxB+yAyB②点C直线BCxCxA+yCyAxAxB+yAyB
理xBxC+yByCxAxB+yAyBxAxC+yAyC
XBCHL交点点X坐标满足①式②式点X坐标满足xxP+yyPxAxB+yAyB④理点Y坐标满足xxP+yyPxBxC+yByC⑤点Z坐标满足xxP+yyPxCxA+yCyA
③知④⑤⑥表示直线方程XYZ三点线
7．四点圆
例8 见图165直线l⊙O相离Pl意点PAPB圆两条切线AB切点求证：直线AB定点
[证明] O作OClC连结OAOBBCOP设OP交ABMOPABOAPAOBPBOCPC
ABCOP直径圆OAPCB五点圆
ABOC圆两条相交弦设交点Q
OPABOCCP
PMQC四点圆OM•OPOQ•OC
射影定理OA2OM•OPOA2OQ•OCOQ（定值）
Q定点直线AB定点

第十七章 整数问题
常定义定理
1．整：设ab∈Za≠0果存q∈Zbaq称ba整记作a|b称ba倍数ab约数ba整记作a b
2带余数法：设ab两定整数a≠0定存唯整数qr满足baq+r0≤r<|a|r0时a|b
3．辗转相法：设u0u1定两整数u1≠0u1 u02面k+1等式：u0q0u1+u20u1q1u2+u30u2q2u3+u40…
uk2qk2u1+uk1+uk0uk1qk1uk+10ukqkuk+1
4．3：（1）uk+1(u0u1)（2）d|u0d|u1充条件d|uk+1（3）存整数x
0x1uk+1x0u0+x1u1
5．算术基定理：n>1n整数中pj(j12…k)质数（称素数）计次序意义表示唯
6．余：设m≠0m|(ab)abkm称ab模m余记a≡b(modm)称ba模m剩余
7．完全剩余系：组数y1y2…ys满足：意整数a仅yja模m剩余a≡yj(modm)y1y2…ys称模m完全剩余系
8．Fermat定理：p素数p>a(ap)1ap1≡1(modp)意整数aap≡a(modp)
9．(am)1≡1(modm)(m)称欧拉函数
10．（欧拉函数值计算公式）(m)
11．（孙子定理）设m1m2…mkk两两互质正整数余组：
x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)…x≡bk(modmk)唯解
x≡M1b1+M2b2+…+Mkbk(modM)
中Mm1m2mki12…k≡1(modmi)i12…k
二方法例题
1．奇偶分析法
例1 n整数0积n（n>1）求证：4|n
[证明] 设n整数a1a2…ana1a2…ann ①
a1+a2+…+an0 ②
首先n偶数否a1a2…an均奇数奇数奇数应奇数0②矛盾n偶数a1a2…an中必偶数果a1a2…an中仅偶数a1a2…an中奇数奇数a1+a2+…+an奇数②矛盾a1a2…an中必少2偶数4|n
2．等分析法
例2 试求正整数n方程x3+y3+z3nx2y2z2正整数解
解 设xyz正整数解妨设x≤y≤z题设z2|(x3+y3)z2≤x3+y3x3≤xz2y3≤yz2znx2y2≥nx2y2(x+y)x3+y3≥z2≥[nx2y2(x+y)]2n2x4y4≤2nx2y2(x+y)+x3+y3nxy3
3．穷递降法
例3 确定证明方程a2+b2+c2a2b2整数解
解 首先(abc)(000)方程整数解证该方程组整数解假设(a1b1c1)方程组整数解a1b1c1全0妨设a1≥0b1≥0c1≥0≡10(mod4)知a1b1c1偶数(否(mod4)) 方程x2+y2+z22x2y2组整数解全0理知偶数方程x2+y2+z224x2y2解程限进行方面a1b1c1限整数必存k∈N2k>a12k>b12k>c1整数矛盾该方程仅组整数解(000)
4．特殊模法
例4 证明：存穷正整数表示成少10奇数方
[证明] 考虑形n72k+66k∈N正整数中xi奇数i12…s1≤s≤9n≡2(mod8)≡1(mod8)s2≡20(mod3)3|n3|x13|x29|nn72k+66≡3(mod9)矛盾n表示成少10奇数方样n穷
5．数原理
例5 证明：方程x4+y4z2没正整数解
[证明] 假设原方程组正整数解(x0y0z0)z0正整数解z中a2b22abz0a2+b2中(ab)1ab奇偶假设a偶数b奇数(mod4)(mod4)矛盾a奇数b偶数x0p2q2b2pqap2+q2（里(pq)1p>q>0pq奇偶）推pqp2+q2两两互质必须某整数方pr2qs2p2+q2t2r4+s4t2(rst)原方程解t6．整应
例6 求出序正整数数(mn)整数
解 （1）n1整数m112(mn)(21)(31)
（2）m1n112(mn)(12)(13)
（3）m>1n>1整数整数mn称妨设m≥n
ⅰ）mn整数n2m2
ⅱ）m>nn3+1≡1(modn)mn1≡1(modn)≡1(modn)
存k∈Nkn1kn1
(k1)n<1+k1n1
n112(mn)(53)(52)
理m综(mn)(12)(21)(13)(31)(22)(25)(52)(35)(53)
7．进位制作
例7 否选择1983正整数105中没3正整数等差数列中连续项？证明结
解 前105然数表示三进制三进制数中选取含数字01（含数字2）数组成数集T证T中数符合求
（1）310<105<311前105然数三进制11数字组成T中元素数1+2+22+…+21021112047>1983（）T中k位数数相01两数k1位置重复全排列数（首位必须1）2k1k12…11
（2）T中整数1+3+32+…+31088573<105
（3）T中意三数组成等差排列三连续项否设xyz∈Tx+z2y2y必含02xz必定位位相进xyz显然矛盾

第十八章 组合
1．抽屉原理
例1 设整数n≥4a1a2…an区间(02n)n整数证明：存集合{a1a2…an}子集元素2n整
[证明] （1）n{a1a2…an}n数属n1集合{12n1}{22n2}…{n1n+1}抽屉原理知中必存两数aiaj(i≠j)属集合ai+aj2n2n整
（2）n∈{a1a2…an}妨设anna1a2…an1(n1≥3)中意取3数ai aj ak(ai0)n整考虑n数a1a2a1+a2a1+a2+a3…a1+a2+…+an1
ⅰ）n数中n整设数等knk偶数结成立k奇数加ann知结成立
ⅱ）n数中没n整n余数取12…n1n1值抽屉原理知中必两数n余数相差n整a2a1n整差必ai aj ak1中干数ⅰ）知结成立
2．极端原理
例2 n×n方格表方格写非负整数某行某列交叉点处果写0该行该列填数n证明：表中数
[证明] 计算行列2n中必妨设第m行记k该行中少nk0nk0列nknk列数总(nk)2余列数总k2表中数总(nk)2+k2≥
3变量原理
俗话说变化现象变质某事情反复进行寻找变量种策略
例3 设正整数n奇数黑板写数12…2n然取中意两数ab擦两数写|ab|证明：留奇数
[证明] 设S黑板数开始时数S1+2+…+2nn(2n+1)奇数|ab|a+b相奇偶性整变化程中S奇偶性变结果奇数
例4 数a1 a2…an中11Sa1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+ana1a2a30 证明：4|n
[证明] 果a1 a2…an中意ai换成ai4循环相邻项改变符号S模4改变开始时S0S≡0S≡0(mod4)限次变号ai变成1始终S≡0(mod4)n≡0(mod4)4|n
4．构造法
例5 否存穷正整数数列a1[证明] 存取an(n)3A0时{an}中没素数|A|≥2时n≥|A|an+A均|A|倍数|A|素数A±1时an±1(n±1)•[(n)2±n+1]≥3时均合数A整数时{(n)3+A}中限素数
例6 面体偶数条棱试证：条棱标箭头顶点指箭头数目偶数
[证明] 首先意条棱箭头果时顶点指箭头数均偶数命题成立某顶点A指箭头数奇数必存顶点B指箭头数奇数（棱总数偶数）顶点AB总条棱组成路径连结该路径条棱改变箭头方该路径AB外顶点指箭头数奇偶性变顶点
AB指箭头数变成偶数果时顶点指箭头数奇数重复述做法减少两样顶点面体顶点数限限次调整总顶点指箭头数偶数命题成立
5．染色法
例7 否5×5方格表找条线路某格中心出发方格恰次回出发点途中方格顶点？
[解] 方格表黑白相间染色妨设黑格13白格12果实现黑白格交出现黑白格数目应相等出矛盾
6．凸包
定面点集A盖住A凸图形称A凸包
例8 试证：交五边形位某条边侧
[证明] 五边形凸五包凸五边形凸四边形者三角形凸包顶点中少3点原五边形顶点五边形5顶点3顶点中必两点相邻顶点连结两点边求
7．赋值方法
例9 2×2方格纸掉方格余图形称拐形种拐形覆盖5×7方格板拐形恰覆盖3方格重叠超出方格板边界问：否方格板方格覆盖层数相？说明理
[解] 5×7方格板方格填写数21图181示拐形覆盖三数非负少拐形覆盖少次盖住数字非负方面方格板数字总12×(2)+23×11覆盖K层时盖住数字等K表明存满足题中求覆盖
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2

8．图方法
例10 生产六种颜色纱线织成双色布生产双色布中种颜色纱线少三种颜色纱线搭配证明：挑出三种双色布包含颜色
[证明] 点A1A2A3A4A5A6表示六种颜色两种颜色线搭配相应两点间连条边已知顶点少连出三条边命题等价边点构成图中三条边两两相邻（公顶点）顶点次数≥3找两条边相邻设A1A2A3A4
（1）A5A6连条边A1A2A3A4A5A6应三种双色布满足求
（2）A5A6间没边相连妨设A5A1相连A2A3相连A4A6相连A1A2A3A4A5A6应双色布满足求A4A6相连A6A1相连A2A3相连A1A5A2A6A3A4应双色布满足求
综命题证

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