避免分类讨参变分离变换元专题复
知识结构
知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（ⅰ）令．
令函数单调递增．
令函数单调递减．
．
成立．
（ⅱ）（ⅰ）知 ．
设．
令．
令函数单调递增
令函数单调递减
．
．
方程没实数解．
练11（20152016东城模理18）设函数．
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）时恒成立求取值范围
（Ⅲ）求证：时．
答案（Ⅰ）时
令
－
+
↘
↗
时单调递减
时单调递增
时．
（Ⅱ）
恒成立等价恒成立．
设
时
单调递减
时．
恒成立
．
（Ⅲ）时等价．
设．
求导．
（Ⅰ）知时 恒成立．
时．
．
单调递增时．
时．
练12（20132014阳二模理18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线直线垂直求值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设时成立求实数取值范围．
答案（Ⅰ）已知．
曲线点处切线直线垂直
．．
． ……………3分
（Ⅱ）函数定义域．
（1）时成立单调增区间．
（2）时
令单调增区间
令单调减区间．
综述时单调增区间
时单调增区间
单调减区间． ……………8分
（Ⅲ）时成立．
时恒成立
等价时恒成立．
设时成立．
．
令函数减函数
令函数增函数．
函数处取值．
．
实数取值范围． ……………13分
（Ⅲ）解：
（1）时（Ⅱ）知 单调递增．
时成立．
（2）时 ．
（Ⅱ）知时单调增区间
单调递增总成立．
（3）时．
（Ⅱ）知函数减函数增函数
函数处取值
．
时成立需
解．．
综述实数取值范围
练13（20132014海淀模理18）已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
答案 2分
曲线C点（01）处切线L：
4分
解 5分
（Ⅱ）法1：
意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令 7分
①a0
实数b取值范围 8分
②
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围
综实数b取值范围． 13分
法2：意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令等价∀恒成立
令 7分
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围． 13分
练14等式恒成立求实数取值范围．
答案分析：设知应分三种情况讨．分离参数轻易解决．
解：原等式等价．时显然成立
时恒成立需．
时取．
评注：二次函数闭区间值问题容易引起讨．题求解程中求值注意验证取等号条件．
练15（20122013西城第学期期末18）已知函数中．
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）设．求取值范围．
答案分析：第二问存性问题转化成函数定区间值问题类似样问题验分离变量会较简单实际教学中学生接受种想法什？分离变量种思想方法种解题技巧？
样审视类问题：变量范围求变量范围事实两变量赖关系求变量表示成已知变量函数函数出发类问题分离变量然该题简洁解法：
（Ⅱ）解：
等价 中． …………9分
设区间值．…………11分
等价．
取值范围． ………………13分
结：存性问题恒成立问题采分离变量方法常常较容易种方法教学成种技巧进行教学应该揭示种解法质质变量赖关系函数关系分离变量实际两变量间隐函数关系变成显函数关系进转化成含参变量函数问题解决避免分类讨变简单
练16（20122013阳期末18）已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数．少存成立求实数取值范围．
答案（里第三问存性问题做练巩固）
练17（2006天津理11）已知函数图象函数（)图象关直线称记区间增函数实数取值范围( )
A B C D
答案
考点二参换位（辅元转换）避免分类讨
例21设等式满足切实数成立求取值范围．
答案分析：受思维定势影响易成关等式．实变换角度变量避免分类讨关函数区间恒负值．
解：题意设恒成立关次函数．
评注：关等式转化关次等式然需解关元二次等式组已成功避开复杂分类讨问题中参数消灭．种转变问题视角方法简化运算十分益．
例22（20122013通州期末19）已知函数
（Ⅰ）函数处极值10求b值
（Ⅱ）意单调递增求b值．
答案分析：该题（Ⅱ）初步转化 意成立
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数出进成关x二次函数问题获解
例23设时恒成立求取值范围
答案分析：该题初步转化意恒成立求取值范围
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数进成关x二次函数问题获解
例24（2010崇文模理）设奇函数增函数函数
成立时t取值范围（ ）
A． B．
C． D．
答案C
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知识点
分类讨整合思想解题数学解题中占重位分类思想解题仅加深数学基础知识基技理解助理性思维力提高时分类讨时会造成解题程繁琐求解分类讨题目时注意解法优化题目采解法分类讨避免简化
考点分类
考点分离参数（参变分离）避免分类讨
例11（20152016石景山期末文20）已知函数
（Ⅰ）处取极值求值
（Ⅱ）区间增函数求取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件函数三零点求取值范围．
答案（Ⅰ）
处取极值
(检验适合题意)
（Ⅱ）区间增函数区间恒成立
恒成立恒成立
取值范围
（Ⅲ）
时 增函数显然合题意
时 变化情况表
+
0
+
↗
极值
↘
极值
↗
三零点需
解
取值范围
例12（20152016丰台模文19）已知函数
（1）求曲线：处切线方程
（2）函数定义域单调函数求取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点求取值范围
答案（1）已知切点坐标
切线方程
（2）已知函数定义域
函数定义域中单调函数恒成立者恒成立
1恒成立时恒成立
恒成立值
令
定义域中单调递减值存满足条件
2恒成立时恒成立
恒成立值
种情况知单调递减恒取值范围
（3）时（1）中直线曲线：公点
根
令零点
1时单调递减单调递增取值20
恒0舍
2时解
1
0
+
0
减
极值
增
极值
减
易知 时存零点
3时解
1
0
+
减
极值
增
时零点必须
综述取值范围
例13（20152016阳期末理18）已知函数中．
（Ⅰ）区间增函数求取值范
围
（Ⅱ）时（ⅰ）证明：
（ⅱ）试判断方程否实数解说明理．
答案函数定义域．
（Ⅰ）区间增函数恒成立
恒成立
（Ⅱ）时．
（ⅰ）令．
令函数单调递增．
令函数单调递减．
．
成立．
（ⅱ）（ⅰ）知 ．
设．
令．
令函数单调递增
令函数单调递减
．
．
方程没实数解．
练11（20152016东城模理18）设函数．
（Ⅰ）时求单调区间
（Ⅱ）时恒成立求取值范围
（Ⅲ）求证：时．
答案（Ⅰ）时
令
－
+
↘
↗
时单调递减
时单调递增
时．
（Ⅱ）
恒成立等价恒成立．
设
时
单调递减
时．
恒成立
．
（Ⅲ）时等价．
设．
求导．
（Ⅰ）知时 恒成立．
时．
．
单调递增时．
时．
练12（20132014阳二模理18）已知函数
（Ⅰ）曲线点处切线直线垂直求值
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设时成立求实数取值范围．
答案（Ⅰ）已知．
曲线点处切线直线垂直
．．
． ……………3分
（Ⅱ）函数定义域．
（1）时成立单调增区间．
（2）时
令单调增区间
令单调减区间．
综述时单调增区间
时单调增区间
单调减区间． ……………8分
（Ⅲ）时成立．
时恒成立
等价时恒成立．
设时成立．
．
令函数减函数
令函数增函数．
函数处取值．
．
实数取值范围． ……………13分
（Ⅲ）解：
（1）时（Ⅱ）知 单调递增．
时成立．
（2）时 ．
（Ⅱ）知时单调增区间
单调递增总成立．
（3）时．
（Ⅱ）知函数减函数增函数
函数处取值
．
时成立需
解．．
综述实数取值范围
练13（20132014海淀模理18）已知曲线
(Ⅰ)曲线C点处切线求实数值
(Ⅱ)意实数曲线总直线方求实数取值范围
答案 2分
曲线C点（01）处切线L：
4分
解 5分
（Ⅱ）法1：
意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令 7分
①a0
实数b取值范围 8分
②
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围
综实数b取值范围． 13分
法2：意实数a曲线C总直线方等价
∀x
∀xR恒成立 6分
令等价∀恒成立
令 7分
9分
情况：
0
0
+
极值
11分
值 12分
实数b取值范围． 13分
练14等式恒成立求实数取值范围．
答案分析：设知应分三种情况讨．分离参数轻易解决．
解：原等式等价．时显然成立
时恒成立需．
时取．
评注：二次函数闭区间值问题容易引起讨．题求解程中求值注意验证取等号条件．
练15（20122013西城第学期期末18）已知函数中．
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）设．求取值范围．
答案分析：第二问存性问题转化成函数定区间值问题类似样问题验分离变量会较简单实际教学中学生接受种想法什？分离变量种思想方法种解题技巧？
样审视类问题：变量范围求变量范围事实两变量赖关系求变量表示成已知变量函数函数出发类问题分离变量然该题简洁解法：
（Ⅱ）解：
等价 中． …………9分
设区间值．…………11分
等价．
取值范围． ………………13分
结：存性问题恒成立问题采分离变量方法常常较容易种方法教学成种技巧进行教学应该揭示种解法质质变量赖关系函数关系分离变量实际两变量间隐函数关系变成显函数关系进转化成含参变量函数问题解决避免分类讨变简单
练16（20122013阳期末18）已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数．少存成立求实数取值范围．
答案（里第三问存性问题做练巩固）
练17（2006天津理11）已知函数图象函数（)图象关直线称记区间增函数实数取值范围( )
A B C D
答案
考点二参换位（辅元转换）避免分类讨
例21设等式满足切实数成立求取值范围．
答案分析：受思维定势影响易成关等式．实变换角度变量避免分类讨关函数区间恒负值．
解：题意设恒成立关次函数．
评注：关等式转化关次等式然需解关元二次等式组已成功避开复杂分类讨问题中参数消灭．种转变问题视角方法简化运算十分益．
例22（20122013通州期末19）已知函数
（Ⅰ）函数处极值10求b值
（Ⅱ）意单调递增求b值．
答案分析：该题（Ⅱ）初步转化 意成立
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数出进成关x二次函数问题获解
例23设时恒成立求取值范围
答案分析：该题初步转化意恒成立求取值范围
变量学生感手a成变量等式左边关a次函数进成关x二次函数问题获解
例24（2010崇文模理）设奇函数增函数函数
成立时t取值范围（ ）
A． B．
C． D．
答案C
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