高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷．理）含详解

2006年普通高等学校招生全国统考试（湖北卷）
数学（理工农医类）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷12页第Ⅱ卷34页4页全卷150分考试时120分钟
第Ⅰ卷（选择题 50分）
注意事项：
1 答卷前考生务必姓名准考证号填写试题卷答题纸准考证号条形码粘贴答题卡指定位置
2 题选出答案2B铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号答试题卷效
3 考试结束监考员试题卷答题卡收回
选择题题10题题5分50分散题出四选项中项符合题目求
1．已知量行轴单位量 ( B )
A．（） B．（） C．（） D．（）
2互相等实数成等差数列成等数列 ( D )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
3角满足 ( A )
A B． C． D．
4．设定义域 ( B )
A． B．
C． D．
5．展开式中幂指数整数项 ( C )
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
6．关直线面四命题：
①
②
③
④
中真命题序号 ( D )
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
7．设点直线分轴正半轴轴正半轴交两点点点关轴称坐标原点点轨迹方程 ( D )
A． B．
C． D．
8．限集合中元素数记做设限集合出列命题：
①充条件
②充条件
③充条件
④充条件
中真命题序号 ( B )
A．③④ B．①② C．①④ D．②③
9．已知面区域D顶点三角形部＆边界组成区域D穷点目标函数取值 (C )
A．－2 B．－1 C．1 D．4
10．关方程出列四命题： ( A )
①存实数方程恰2实根
②存实数方程恰4实根
③存实数方程恰5实根
④存实数方程恰8实根
中假命题数
A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 100分）
注意事项：
第Ⅱ卷05毫米黑色签字笔黑色墨水钢笔直接答答题卡答试题卷效
二填空题：题5题题5分25分答案填答题卡相应位置
11．设实数 4
12．接种某疫苗出现发热反应概率0．80现5接种该疫苗少3出现发热反应概率 094 （精确0．01）
13．已知直线圆相切值 －188
14．某工程队6项工程需单独完成中工程乙必须工程甲完成进行工程丙必须工程乙完成进行工程丁必须工程丙完成立进行安排6项工程排法种数 20 （数字作答）
15．杨辉三角中数换成右图示分数三角形成莱布尼茨三角形莱布尼茨三角形出中 r＋1 令
三解答题：题6题75分解答应写出文字说明证明程演算步骤
16．（题满分12分）
设函数中量
（Ⅰ）求函数值正周期
（Ⅱ）函数图量移移图关坐标原点成中心称求长度
点评：题考查面量数量积计算方法三角公式三角函数性质图基知识考查推理运算力
解：(Ⅰ)题意f(x)＝a·(b+c)(sinx－cosx)·(sinx－cosxsinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+)
f(x)值2+正周期＝
（Ⅱ）sin(2x+)＝02x+＝kx＝k∈Z
d＝（－2）k∈Z
k整数k＝1时d＝（――2）求
17．（题满分13分）
已知二次函数图坐标原点导函数数列前n项点均函数图
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）设数列前n项求成立正整数m
点评：题考查二次函数等差数列数列求等式等基础知识基运算技考查分析问题力推理力
解：（Ⅰ）设二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) f`(x)2ax+bf`(x)6x－2
a3 b－2 f(x)＝3x2－2x
点均函数图＝3n2－2n
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5
n＝1时a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5an＝6n－5 （）
（Ⅱ）（Ⅰ）知＝＝
Tn＝＝＝（1－）
（1－）<（）成立m必须仅须满足≤m≥10满足求正整数m10









18．（题满分12分）
图棱长1正方体中侧棱点
（Ⅰ）试确定直线面成角正切值
（Ⅱ）线段否存定点Q意D1Q面射影垂直证明结
点评：题考查线面关系直线面成角关知识空间想象力推理运算力考查运量知识解决数学问题力
解法1：（Ⅰ）连AC设ACBD相交点OAP面相交点连结OG
PC∥面面∩面APC＝OG
OG∥PCOG＝PC＝
AO⊥BDAO⊥BB1AO⊥面
∠AGOAP面成角
Rt△AOG中tanAGO＝m＝
m＝时直线AP面成角正切值
（Ⅱ）推测点Q应AICI中点O1
D1O1⊥A1C1 D1O1⊥A1A D1O1⊥面ACC1A1
AP面ACC1A1 D1O1⊥AP
根三垂线定理知D1O1面APD1射影AP垂直
19．（题满分10分）
某校举行数学竞赛中全体参赛学生竞赛成绩似服正态分布已知成绩90分（含90分）学生12名
（Ⅰ）试问次参赛学生总数约少？
（Ⅱ）该校计划奖励竞赛成绩排前50名学生试问设奖分数线约少分？
查阅（部分）标准正态分布表

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
13
14
19
20
21
08849
09032
09192
09713
09772
09821
08869
09049
09207
09719
09778
09826
0888
09066
09222
09726
09783
09830
08907
09082
09236
09732
09788
09834
08925
09099
09251
09738
09793
09838
08944
09115
09265
09744
09798
09842
08962
09131
09278
09750
09803
09846
08980
09147
09292
09756
09808
09850
08997
09162
09306
09762
09812
09854
09015
09177
09319
09767
09817
09857
点评：题考查正态分布独立事件概念标准正态分布查阅考查运概率统计知识解决实际问题力
解：（Ⅰ）设参赛学生分数～N(70100)条件知
P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－09772＝0228
说明成绩90分（含90分）学生数约占全体参赛数228％
参赛总数约≈526（）
（Ⅱ）假定设奖分数线x分
P(≥x)＝1－P（＝09049查表≈131解x＝831
设奖分数线约831分

20．（题满分14分）
设分椭圆左右顶点椭圆长半轴长等焦距右准线
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设右准线点（40）意点直线分椭圆相交异点证明点直径圆
（题求答题卡画图）
点评：题考查直线圆椭圆等面解析基础知识考查综合运数学知识进行推理运算力解决问题力
解：（Ⅰ）题意 a＝2c＝4解a＝2c＝1b＝
椭圆方程
（Ⅱ）解法1：（Ⅰ）A（－20）B（20）设M（x0y0）
∵M点椭圆∴y0＝（4－x02）
点M异顶点AB∴－2P（4）
＝（x0－2y0）
＝（2）
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）
代入化简·＝（2－x0）
∵2－x0>0∴·>0∠MBP锐角∠MBN钝角
点BMN直径圆
解法2：（Ⅰ）A（－20）B（20）设M（x1y1）N（x2y2）
－2题意计算点B圆心Q距离半径差
－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1
直线AP方程y＝直线BP方程y＝
点两直线APBP交点P准线x＝4
∴y2＝
点M椭圆
代入化简－＝
点BMN直径圆

21．（题满分14分）
设函数极值点
（Ⅰ）求关系式（表示）求单调区间
（Ⅱ）设存成立求取值范围
点评：题考查函数等式导数应等知识考查综合运数学知识解决问题力
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x
f `(3)0 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0b＝－3－2a
f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x
令f `(x)＝0x1＝3x2＝－a－1x＝3极值点
x+a+1≠0a≠－4
a<－4时x2>3＝x1
区间（－∞3）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（3―a―1）f `(x)>0f (x)增函数
区间（―a―1＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
a>－4时x2<3＝x1
区间（－∞―a―1）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（―a―13）f `(x)>0f (x)增函数
区间（3＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
（Ⅱ）（Ⅰ）知a>0时f (x)区间（03）单调递增区间（34）单调递减f (x)区间[04]值域[min(f (0)f (4) )f (3)]
f (0)＝－（2a＋3）e3<0f (4)＝（2a＋13）e－1>0f (3)＝a＋6
f (x)区间[04]值域[－（2a＋3）e3a＋6]
区间[04]增函数
区间[04]值域[a2＋（a2＋）e4]
（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1a>0解0a取值范围（0）

2006年普通高等学校招生全国统考试（湖北卷）
数学（理工农医类）（编辑：宁冈中学张建华）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷12页第Ⅱ卷34页4页全卷150分考试时120分钟
第Ⅰ卷（选择题 50分）
注意事项：
4 答卷前考生务必姓名准考证号填写试题卷答题纸准考证号条形码粘贴答题卡指定位置
5 题选出答案2B铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号答试题卷效
6 考试结束监考员试题卷答题卡收回
选择题题10题题5分50分散题出四选项中项符合题目求
1．已知量行轴单位量 ( B )
A．（） B．（） C．（） D．（）
解：设＝（xy）解x＝y＝选B
2互相等实数成等差数列成等数列 ( D )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
解：互相等实数成等差数列设a＝b－dc＝b＋db＝2a＝2－dc＝2＋d成等数列d＝6a＝－4选D
3角满足 ( A )
A B． C． D．
解：sin2A＝2sinAcosA>0知A锐角sinA＋cosA>0选A
4．设定义域 ( B )
A． B．
C． D．
解：f（x）定义域（－22）应－2<<2－2<<2解－4选B
5．展开式中幂指数整数项 ( C )
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
解：r＝03691215182124时x指数分24201612840－4－8中16840－8均2整数次幂选C
6．关直线面四命题：
①
②
③
④
中真命题序号 ( D )
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
解：排法选D
7．设点直线分轴正半轴轴正半轴交两点点点关轴称坐标原点点轨迹方程 ( D )
A． B．
C． D．
解：设P（xy）Q（－xy）设A（a0）B（0b）a>0b>0a＝xb＝3yx>0y>0＝（－ab）＝（－x3y）＝1
选D
8．限集合中元素数记做设限集合出列命题：
①充条件
②充条件
③充条件
④充条件
中真命题序号 ( B )
A．③④ B．①② C．①④ D．②③
解：①Û集合A集合B没公元素正确
②Û集合A中元素集合B中元素正确
③Û集合A中少元素集合B中元素A中元素数B中元素数错误
④Û集合A中元素集合B中元素完全相两集合元素数相意味着元素相错误
选B
9．已知面区域D顶点三角形部边界组成区域D穷点目标函数z＝x＋my取值 (C )
A．－2 B．－1 C．1 D．4
解：题意令z＝0直线x＋my＝0斜率－结合行域知直线x＋my＝0直线AC行时线段AC意点目标函数z＝x＋my取值直线AC斜率－1m＝1选C
10．关方程出列四命题： ( A )
①存实数方程恰2实根
②存实数方程恰4实根
③存实数方程恰5实根
④存实数方程恰8实根
中假命题数
A．0 B．1 C．2 D．3
解：关x方程化…………（1）
（－1① k＝－2时方程（1）解±方程（2）解原方程恰2实根
② k＝时方程（1）两实根±方程（2）两实根±原方程恰4实根
③ k＝0时方程（1）解－1＋1±方程（2）解x＝0原方程恰5实根
④ k＝时方程（1）解±±方程（2）解±±原方程恰8实根
选A
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
注意事项：
第Ⅱ卷05毫米黑色签字笔黑色墨水钢笔直接答答题卡答试题卷效
二填空题：题5题题5分25分答案填答题卡相应位置
11．设实数 4
解：
解x＝－1y＝5
x＋y＝4
12．接种某疫苗出现发热反应概率0．80现5接种该疫苗少3出现发热反应概率 094 （精确0．01）
解：P＝＝094
13．已知直线圆相切值 －188
解：圆方程化圆心坐标（10）半径1已知
值－188
14．某工程队6项工程需单独完成中工程乙必须工程甲完成进行工程丙必须工程乙完成进行工程丁必须工程丙完成立进行安排6项工程排法种数 20 （数字作答）
解：题意需剩余两工程插甲乙丙丁四工程形成5空中＝20种排法
15．杨辉三角中数换成图示分数三角形成莱布尼茨三角形莱布尼茨三角形出中 r＋1 令







…
解：第空通观察

＝（1＋－1）＋（）＋（＋－）＋（＋－）＋…＋（＋－）＋（＋－）
＝（1＋＋＋…＋）＋（＋＋＋＋…＋）－2（＋＋…＋）
＝〔（1＋＋＋…＋）－（＋＋…＋）〕＋〔（＋＋＋＋…＋）
－（＋＋…＋）〕＝1－＋－＝＋－

三解答题：题6题75分解答应写出文字说明证明程演算步骤
16．（题满分12分）
设函数中量
（Ⅰ）求函数值正周期
（Ⅱ）函数图量移移图关坐标原点成中心称求长度
点评：题考查面量数量积计算方法三角公式三角函数性质图基知识考查推理运算力
解：(Ⅰ)题意f(x)＝a·(b+c)(sinx－cosx)·(sinx－cosxsinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+)
f(x)值2+正周期＝
（Ⅱ）sin(2x+)＝02x+＝kx＝k∈Z
d＝（－2）k∈Z
k整数k＝1时d＝（――2）求
17．（题满分13分）
已知二次函数图坐标原点导函数数列前n项点均函数图
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）设数列前n项求成立正整数m
点评：题考查二次函数等差数列数列求等式等基础知识基运算技考查分析问题力推理力
解：（Ⅰ）设二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) f`(x)2ax+bf`(x)6x－2
a3 b－2 f(x)＝3x2－2x
点均函数图＝3n2－2n
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5
n＝1时a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5an＝6n－5 （）
（Ⅱ）（Ⅰ）知＝＝
Tn＝＝＝（1－）
（1－）<（）成立m必须仅须满足≤m≥10满足求正整数m10









18．（题满分12分）
图棱长1正方体中侧棱点
（Ⅰ）试确定直线面成角正切值
（Ⅱ）线段否存定点Q意D1Q面射影垂直证明结
点评：题考查线面关系直线面成角关知识空间想象力推理运算力考查运量知识解决数学问题力
解法1：（Ⅰ）连AC设ACBD相交点OAP面相交点连结OG
PC∥面面∩面APC＝OG
OG∥PCOG＝PC＝
AO⊥BDAO⊥BB1AO⊥面
∠AGOAP面成角
Rt△AOG中tanAGO＝m＝
m＝时直线AP面成角正切值
（Ⅱ）推测点Q应AICI中点O1
D1O1⊥A1C1 D1O1⊥A1A D1O1⊥面ACC1A1
AP面ACC1A1 D1O1⊥AP
根三垂线定理知D1O1面APD1射影AP垂直
19．（题满分10分）
某校举行数学竞赛中全体参赛学生竞赛成绩似服正态分布已知成绩90分（含90分）学生12名
（Ⅰ）试问次参赛学生总数约少？
（Ⅱ）该校计划奖励竞赛成绩排前50名学生试问设奖分数线约少分？
查阅（部分）标准正态分布表

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
13
14
19
20
21
08849
09032
09192
09713
09772
09821
08869
09049
09207
09719
09778
09826
0888
09066
09222
09726
09783
09830
08907
09082
09236
09732
09788
09834
08925
09099
09251
09738
09793
09838
08944
09115
09265
09744
09798
09842
08962
09131
09278
09750
09803
09846
08980
09147
09292
09756
09808
09850
08997
09162
09306
09762
09812
09854
09015
09177
09319
09767
09817
09857
点评：题考查正态分布独立事件概念标准正态分布查阅考查运概率统计知识解决实际问题力
解：（Ⅰ）设参赛学生分数～N(70100)条件知
P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－09772＝0228
说明成绩90分（含90分）学生数约占全体参赛数228％
参赛总数约≈526（）
（Ⅱ）假定设奖分数线x分
P(≥x)＝1－P（＝09049查表≈131解x＝831
设奖分数线约831分

20．（题满分14分）
设分椭圆左右顶点椭圆长半轴长等焦距右准线
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设右准线点（40）意点直线分椭圆相交异点证明点直径圆
（题求答题卡画图）
点评：题考查直线圆椭圆等面解析基础知识考查综合运数学知识进行推理运算力解决问题力
解：（Ⅰ）题意 a＝2c＝4解a＝2c＝1b＝
椭圆方程
（Ⅱ）解法1：（Ⅰ）A（－20）B（20）设M（x0y0）
∵M点椭圆∴y0＝（4－x02）
点M异顶点AB∴－2P（4）
＝（x0－2y0）
＝（2）
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）
代入化简·＝（2－x0）
∵2－x0>0∴·>0∠MBP锐角∠MBN钝角
点BMN直径圆
解法2：（Ⅰ）A（－20）B（20）设M（x1y1）N（x2y2）
－2题意计算点B圆心Q距离半径差
－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1
直线AP方程y＝直线BP方程y＝
点两直线APBP交点P准线x＝4
∴y2＝
点M椭圆
代入化简－＝
点BMN直径圆

21．（题满分14分）
设函数极值点
（Ⅰ）求关系式（表示）求单调区间
（Ⅱ）设存成立求取值范围
点评：题考查函数等式导数应等知识考查综合运数学知识解决问题力
解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x
f `(3)0 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0b＝－3－2a
f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x
令f `(x)＝0x1＝3x2＝－a－1x＝3极值点
x+a+1≠0a≠－4
a<－4时x2>3＝x1
区间（－∞3）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（3―a―1）f `(x)>0f (x)增函数
区间（―a―1＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
a>－4时x2<3＝x1
区间（－∞―a―1）f `(x)<0 f (x)减函数
区间（―a―13）f `(x)>0f (x)增函数
区间（3＋∞）f `(x)<0f (x)减函数
（Ⅱ）（Ⅰ）知a>0时f (x)区间（03）单调递增区间（34）单调递减f (x)区间[04]值域[min(f (0)f (4) )f (3)]
f (0)＝－（2a＋3）e3<0f (4)＝（2a＋13）e－1>0f (3)＝a＋6
f (x)区间[04]值域[－（2a＋3）e3a＋6]
区间[04]增函数
区间[04]值域[a2＋（a2＋）e4]
（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1a>0解0a取值范围（0）


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