页 1 第


理

科

数

学

试

题
试卷 2 页 23 题（含选考题）满分 150 分考试时 120 分钟
★

祝考试利

★

注意事项：
1．答题前考生务必姓名班级准考证号填写答题卡准考证号条形码粘贴答
题卡指定位置．
2．选择题作答：题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．答试题卷草稿纸效．
3．填空题解答题作答：黑色中性笔答案直接答答题卡应答题区域．答试题卷草
稿纸效．
4．考生必须保持答题卡整洁．考试结束请答题卡交．
选择题：12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．复数 z 满足 (1 )z i i 复面应点位
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集UR 集合 2{ 2 3 0}A x x x   | 集合 2{ log 1}B x x| ()UABI ð
A．(23] B． C．[ 10) (23] U D． [ 10] (23] U
3．已知 02 08
5
12 ( ) 2log 22a b c  
A． c a b B． c b a C． abc D bac
4．关文献记载：国古代座 9 层塔挂 126 盏灯相邻两层中层灯数层灯数
n （ 常数）盏底层灯数顶层 13 倍塔底层灯（ ）盏．
A．2 B．3 C．26 D．27
5．直线  +20 >0 >0ax by a b 截圆   222 1 1xy   弦长 2 12
ab 值
A． 4 B．6 C．8 D．10
6．国著名数学家华罗庚先生说：数缺形时少直观形缺数时难入微数形结合百般隔裂分家万事
休．数学学研究中常函数图象研究函数性质常函数解析式琢磨函数图
象特征．函数   21cos21
x
xf x x 
图象致

7．函数 sin 3cosy x x 图函数 sin 3cosy x x 图少右移______单位长度
．
A．
6
 B．
3
 C．
2
 D． 2
3

8．量 a
r
b
r
夹角60o (20)a 
r
2 2 3ab
rr
b
r
＝
A 3 B．1 C．4 D．3
9．图 AB CD 圆O 两条互相垂直直径分OAOB OC OD AB
C
D
O页 2 第
直径作四圆圆O 机取点点取阴影部分概率
A． 21 π B． 11
2 π

C． 2
π
D． 1
π
10．设函数 ()fx定义域 R满足 2 ( 1) ( )f x f x (01]x 时 ( ) ( 1)f x x x   意
[)xm  8() 9fx m 取值范围
A． 7[)6  B． 5[)3  C． 5[)4  D． 4[)3 
11． SC 球O 直径 AB 该球面两点 3AB  30ASC BSC    o 棱锥 S ABC
体积 3 球O 表面积
A 4 B8 C16 D32
12关函数   2 lnf x xx 列说法正确
（1） 2x   fx极值点
（2）函数  y f x x 1 零点
（3） 1() 2f x x 恒成立
（4）设函数 2( ) ( ) 4g x xf x x    存区间 1[][)2ab   ()gx[]ab值域
[ ( 2) ( 2)]k a k b 9 2ln 2(1 ]10k 
A．(1) (2) B．(2)(4) C．(1) (2) (4) D．(1)(2)(3)(4)
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．已知曲线 2 sinxy e x 点(02) 处切线方程 ▲ ．
14．已知 nS 等数列{}na 前 n 项 3 9 6SSS 成等差数列 362aa 9a  ▲ ．
15．根中央关精准脱贫求市某农业济部门派 4 位专家周周二两天中选
天某县进行调研活动周周二专家参加调研活动概率 ▲ ．
16 ．面直角坐标系 xOy中双曲线
22
221( 0 0)yx abab    支焦点 F 抛物线
2 2 ( 0)y px p交 AB两点． 4AF BF OF 该双曲线渐线方程 ▲ ．
三．解答题： 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤第 17~21 题必考题试题考
生必须作答第 2223 题选考题考生根求作答
（）必考题： 60 分
17．（题满分 12 分）
ABC 中角 ABC 边分 a b c abc 2sin 2
aA b ．
（Ⅰ）求角
（Ⅱ） 2a  5b  求c 面积





18．（题满分 12 分） 页 3 第
图三棱锥 PABC 中面 PAC⊥面 ABC ABC PAC 正三角形 2AC
EF 分 ACBC 中点 PD⊥AB D
（Ⅰ）证明：直线 DE ⊥面 PEF
（Ⅱ）求二面角 D AP E正弦值．








19．（题满分 12 分）
响应绿色出行某市推出享单车推出新源分时租赁汽车．中款新源分时租
赁汽车次租车收费标准两部分组成：①根行驶里程数 1 元公里计费②行驶时间超40
分时012元分计费超 40 分时超出部分020 元分计费．已知张先生家离班点 15 公里
天租该款汽车班次．堵车红绿灯等素次路开车花费时间t (分)
机变量．现统计 50 次路开车花费时间时间段频数分布情况表示：
时间t （分）  2030  3040  4050  5060
频数 2 18 20 10
时间段发生频率视概率次路开车花费时间视车时间范围 2060 分．
（Ⅰ）写出张先生次租车费 y （元）车时间 （分）函数关系式
（Ⅱ）张先生次开车时间超 40 分路段畅通设 表示 3 次租新源分时租赁汽车
中路段畅通次数求 分布列期





20．（题满分 12 分）
已知椭圆C：
22
221xy
ab（ 0ab）离心率 3
2
短轴长 2
（Ⅰ）求椭圆T 标准方程
（Ⅱ）直线  0l y kx m k   椭圆C 交两点 MN线段 MN 垂直分线定点
(10) 求实数 k 取值范围．




21．（题满分 12 分）
已知函数 ( ) 2lnf x x axRa
（Ⅰ）讨 )(xf 单调性
（Ⅱ） 1a  时令 2()()g x x f x 导函数 ()gx 设 21 xx 函数 )(xg 两零点判断
2
21 xx  否 ()gx 零点？说明理


页 4 第
（二）选考题： 10 分请考生第 2223 两题中选题作答．果做做第题目计分
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy 中倾斜角 ()2
 直线l 参数方程 cos
1 sin
xt
yt



 
（t 参数）
坐 标 原 点 极 点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系曲线 C 极 坐 标 方 程
2sin 4cos 0  
（Ⅰ）写出直线l 普通方程曲线C 直角坐标方程
（Ⅱ）直线l 曲线C 焦点 F 曲线 相交 AB两点设线段 AB 中点Q求 FQ
值



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
设函数 4( ) 1 ( 0)f x x a x aa     
（Ⅰ）证明： ( ) 5fx
（Ⅱ） (1) 6f  成立求实数 a 取值范围
页 5 第
z
y
x
P
F
C
B
DA
E
2020 届高三元月联考理科数学参考答案


选择题：
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C A B D B A D C C

二填空题：
13． 20xy 14．1 15． 7
8 16 2yx


三．解答题：
17 解：（Ⅰ） 2sin 2
aA bQ 2 2 sina b A
正弦定理 2 sin 2sin sinABA …………………………………………………2 分
0 A Q sin 0A 2sin 2B………………………………………………4 分

abcQ BC 0 2B 
4B  …………………………………6 分
（Ⅱ） 2a Q 5b  余弦定理：
2 2 2 2( 5) 2 2 2 2cc     （） 2 2 3 0cc   …………………………………8 分

解 3c  1c  （舍） ……………………………………………………10 分
1 1 2 3sin 2 32 2 2 2ABCS ac B       ………………………………………12 分

18解：（Ⅰ）∵EF 分 ACBC 中点∴EFAB
正三角形 PAC 中PE⊥AC面 PAC⊥面 ABC面 PAC I 面 ABCAC
∴PE⊥面 ABC∴ PE DE PE⊥AB PD⊥ABPE PDP
∴AB⊥面 PED AB DE EF AB
∴ DE EF DE PE PE EF EI
∴直线 DE ⊥面 PEF …………………………………………………………………………6 分
（Ⅱ）∵面 PAC⊥面 ABC面 PAC∩面 ABCACBE⊥AC
∴BE⊥面 PAC…………………………………………………………………………………7 分
点 E 坐标原点EA 直线 x 轴EB
直线 y 轴建立空间直角坐标系图示
(0 0 0)E (10 0) (0 3 0)AB(0 0 3)P………………8 分
(0 3 0)EB 
uuur
(10 3) (1 30)PA AB   
uuur uuur

设 ( )m a b c
ur
面 PAB 法量
m AB m AP
ur uuur ur uuur

30
30
ac
ab
 
  
令 1c  3 1ab ( 311)m 
ur
………………………………10 分
设二面角 D AP E 35cos 5| | | | 53
m EB
m EB
   
 
ur uuur
ur uuuuur 页 6 第
 2 25sin 1 cos 5  
二面角 D AP E正弦值 25
5 …………………………………………………………12 分

19． 解法：（Ⅰ） 20 40t 时 012 15yt ………………………………………………2 分
40 60t 时 012 40 020( 40) 15 02 118y t t       ……………………………4分
： 012 15 20 40
02 118 40 60
tty tt
      
………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）张先生租次新源分时租赁汽车路段畅通概率 2 18 2
50 5P ………………7 分
 取 0 1 2 3
0 0 3 1 2
33
2 3 27 2 3 54( 0) ()() ( 1) ()()5 5 125 5 5 125PCPC     
22
3
2 3 36( 2) ( ) ( )5 5 125PC    3 3 0
3
2 3 8( 3) ( ) ( )5 5 125PC   
分布列
0 1 2 3
P 27
125 54
125 36
125 8
125
…………………………………………………………10 分
27 54 36 80 1 2 3 12125 125 125 125E          …………………………………………12 分
题意 2(3 )5B 23 125E    ……………………………………………………12 分

20．解：（Ⅰ）题意知：
2 2 2
22
3
2
b
c
a
a b c

 

 

2
1
3
a
b
c
 
 
 

椭圆C 标准方程
2
2 14
x y………………………………………………………………4 分
（Ⅱ）设  11M x y  22N x y y kx m代入椭圆方程
消 y  2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m    
    2 228 4 1 4 4 4 0km k m      2241mk…………① 页 7 第
根系数关系 12 2
8
14
kmxx k   
12 2
2
14
myy k
…………………………………… 6 分
线段 MN 中点 P 坐标 22
4()1 4 1 4
km m
kk 
．………………………………………………8 分
线段 MN 垂直分线l 方程 1 ( 1)yxk  
点 P 直线l 22
14( 1)1 4 1 4
m km
k k k   

24 3 1 0k km    21 413mkk   …………②…………………………………………10 分
①②  22
2
2
41
419
k
kk

 2 2 24 1 0 4 1 9k k k    Q
2 1
5k  5
5k  5
5k 
实数 k 取值范围 55()()55  U．…………………………………………………12 分

21．解：（Ⅰ）题意知函数  fx定义域 0   2f x ax
  ……………………1 分
（1） 0a  时   0fx   fx 单调递增
（2） 0a  时   0fx  ： 2x a
2(0 )x a 时 2()x a   时   0fx 
2(0 )a
单调递增 2()a  单调递减 ………………………………………3 分
综 时 单调递增
时 单调递增 单调递减…………………………4 分
（Ⅱ） 12
2
xx 导函数  gx 零点 证明：
1a  时 2 2()() 2lng x f xxx xx 
∵ 1x 2x 函数  gx两零点妨设 120 xx

22
1 1 1 1 1 1
22
2 2 2 2 2 2
2ln 0 2ln
2ln 0 2ln
x x x x x x
x x x x x x
        
两式相减：    1 2 1 2 1 21 2 ln lnx x x x x x    
：  12
12
12
2 ln ln1 xxxx xx
   
  221g x x x
    …………………………………………6 分
 121 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 ln ln 2( )4 4 2( ) 1 [(ln ln ) ]2
xxx x x xg x x x xx x x x x x x x x x
             
设 1
2
xt x ∵ 120 xx∴01t
令    21ln 1
tttt 
   
 
 
2
22
114
11
tt t t t t
    

…………………………………………8 分 页 8 第
01t∴   0t  ∴  t  01 増 函数
   10t01t时  21ln 01
tt t

   12
12
12
2ln ln 0xxxx xx
  

12120 0xx xx     12
12
1 2 1 2
22 ln ln 0xxxxx x x x
  

12( ) 02
xxg   12
2
xx 导函数  gx 零点 ……………………………………12 分

22．解：（Ⅰ）∵直线l 参数方程 cos
1 sin
xt
yt



 
（t 参数）
∴直线l 普通方程 tan 1yxg ……………………………………………………………2 分
2sin 4cos 0   22sin 4 cos 0    2 40yx
∴曲线C 直角坐标方程 2 4yx ………………………………………………………………4 分
（Ⅱ）∵直线l 曲线C 焦点 (10)F
∴ tan 1  直线l 倾斜角 3
4
  ．………………………………………………………5 分
∴直线l 参数方程
21 2
2
2
xt
yt
 
 
（t 参数）…………………………………………………7 分
代入 2 4 2 8 0tt   …………………………………………………………………8 分
设 AB两点应参数 12tt．
∵Q 线段 AB 中点∴点Q 应参数值 12 222
tt  ．
点 (10)F 12 222
ttFQ ………………………………………………………………10 分

23． 证明：(Ⅰ) aaaxaxaxaxxf 41)4()1(41)( 
514241)(0  aaaaxfa …………………………………………5 分
（Ⅱ） 6)1( f ： 6412  aa
 0a aa  441 aa
a  44
…………………………………………………7 分
① 4a 时等式 解
② 4a 时等式 11 a
1a 41  a ……………9 分
综实数 a 取值范围 )41(……………………………………………………………… 10 分





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