椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆焦点（02）求值．
分析：椭圆方程化标准方程根关系求出值．
解：方程变形．焦点轴解．
适合．．
例2 已知椭圆中心原点点求椭圆标准方程．
分析：椭圆中心原点标准方程两种情况．根题设条件运定系数法
求出参数（）值求椭圆标准方程．
解：焦点轴时设方程．
椭圆点知．代入椭圆方程．
焦点轴时设方程．
椭圆点知．联立解椭圆方程．
例3 底边两边中线长30求三角形重心轨迹顶点轨迹．
分析：（1）已知利椭圆定义求解．
（2）轨迹方程坐标关系利代入法求轨迹方程．
解： （1）直线轴中点原点建立直角坐标系．设点坐标知点轨迹焦点椭圆轴两点．
方程．
（2）设． ①
题意代入①轨迹方程轨迹椭圆（轴两点）．
例4 已知点坐标轴称轴椭圆点两焦点距离分点作焦点轴垂线恰椭圆焦点求椭圆方程．
解：设两焦点．椭圆定义知．．
知垂直焦点称轴中
求出．
∴求椭圆方程．
例5 已知椭圆方程长轴端点焦点椭圆点．求：面积（表示）．
分析：求面积结合余弦定理定义求角两邻边利求面积．
解：图设椭圆称性妨设椭圆称性妨设第象限．余弦定理知： ·．①
椭圆定义知： ② ．
．
例6 已知动圆定点定圆部相切求动圆圆心轨迹方程．
分析：关键根题意列出点P满足关系式．
解：图示设动圆定圆切点．动点两定点
定点定圆圆心距离恰等定圆半径
．∴点轨迹两焦点
半长轴4半短轴长椭圆方程：．
说明：题先根椭圆定义判定轨迹椭圆然根椭圆标准方程求轨迹方程．求轨迹方程种重思想方法．
例7 已知椭圆（1）求点分弦直线方程
（2）求斜率2行弦中点轨迹方程
（3）引椭圆割线求截弦中点轨迹方程
（4）椭圆两点原点直线斜率满足
求线段中点轨迹方程．
分析：题中四问弦中点关考虑设弦端坐标方法．
解：设弦两端点分线段中点
①－②．
题意知式两端
③④代入．⑤
（1）代入⑤求直线方程： ． ⑥
⑥代入椭圆方程符合题意求．
（2）代入⑤求轨迹方程： ．（椭圆部分）
（3）代入⑤求轨迹方程： ．（椭圆部分）
（4）①＋② ： ⑦ ③④方整理
⑧ ⑨
⑧⑨代入⑦： ⑩
代入⑩式： ．
求轨迹方程．然题设弦端坐标方法方法解决．
例8 已知椭圆直线．
（1）值时直线椭圆公点？
（2）直线椭圆截弦长求直线方程．
解：（1）直线方程代入椭圆方程
．解．
（2）设直线椭圆两交点横坐标（1）．
根弦长公式 ：．解．方程．
说明：处理关直线椭圆位置关系问题关弦长问题采方法处理直线圆区．
里解决直线椭圆交点问题般考虑判式解决弦长问题般应弦长公式．
弦长公式合理运韦达定理（根系数关系）简化运算程．
例9 椭圆焦点焦点直线点作椭圆作椭圆长轴短点应处？求出时椭圆方程．
分析：椭圆焦点容易求出椭圆定义题实际已知直线找点该点直线侧两已知点（两焦点）距离须利称解决．
解：图示椭圆焦点．
点关直线称点坐标（－96）直线方程．
解方程组交点坐标（－54）．时．
求椭圆长轴：∴
∴．求椭圆方程．
例10 已知方程表示椭圆求取值范围．
解：．
∴满足条件取值范围．
说明：题易出现错解：取值范围．
出错原没注意椭圆标准方程中条件时表示椭圆．
例11 已知表示焦点轴椭圆求取值范围．
分析：已知条件确定三角函数关系．根三角函数单调性求出取值范围．
解：方程化．焦点轴．
．
说明：(1)椭圆标准方程知容易忽视方．
(2)焦点轴知． (3)求取值范围时应注意题目中条件．
例12 求中心原点称轴坐标轴两点椭圆方程．
分析：题设条件焦点轴明确椭圆标准方程两种情形计算简便起见
设方程()必考虑焦点坐标轴直接求出方程．
解：设求椭圆方程()．两点椭圆
．求椭圆方程．
例13 知圆圆意点轴作垂线段求线段中点轨迹．
分析：题已知轨迹求动点轨迹问题．种题目般利中间变量(相关点)求轨迹方程轨迹．
解：设点坐标点坐标．
圆．
代入方程．点轨迹椭圆．
说明：题利相关点法求轨迹方程方法种方法具体做法：首先设动点坐标
设已知轨迹点坐标然根题目求建立等式关系
等式关系求出代入已知轨迹方程求出关方程
化简求方程．种方法求轨迹方程基方法必须掌握．
例14 已知长轴12短轴长6焦点轴椭圆左焦点作倾斜解直线交椭圆两点求弦长．
分析：利弦长公式求
利椭圆定义余弦定理利焦点半径求．
解：(法1)利直线椭圆相交弦长公式求解．
．．焦点轴
椭圆方程左焦点直线方程．
直线方程椭圆方程联立：．设方程两根 ．
(法2)利椭圆定义余弦定理求解．
题意知椭圆方程设．
中
．理中余弦定理．
(法3)利焦半径求解．
先根直线椭圆联立方程求出方程两根分横坐标．
根焦半径求出．
例15 椭圆点焦点距离2中点（坐标原点）值A．4 B．2 C．8 D．
解：图示设椭圆焦点椭圆第定义
中位线答案A．
说明：(1)椭圆定义：面两定点距离等常数（）点轨迹做椭圆．
(2)椭圆点必定适合椭圆定义利等式解决椭圆点焦点关距离．
例16 已知椭圆试确定取值范围直线椭圆两点关该直线称．
分析：设椭圆两点关直线称已知条件等价：(1)直线(2)弦中点．
利述条件建立等式求取值范围．
解：(法1)设椭圆两点关直线称直线交点．
∵斜率∴设直线方程．方程组消
①∴．
点坐标．∵点直线∴．解． ②
式②代入式① ③
∵椭圆两点∴．解．
(法2)解法1出∴
点坐标．
∵椭圆两点∴点椭圆部∴．解．
(法3)设椭圆关称两点直线交点坐标．
∵椭圆∴．两式相减
．∴．
∵直线∴∴ ①
点直线∴ ②①②点坐标．解法2
说明：涉椭圆两点关直线恒称求关参数取值范围问题采列参数满足等式：
(1)利直线椭圆恒两交点通直线方程椭圆方程组成方程组消元元二次方程判式建立参数方程．
(2)利弦中点椭圆部满足利参数表示建立参数等式．
例17 面积1中建立适坐标系求出焦点点椭圆方程．
解：中点原点直线轴建立直角坐标系设．
∴∴
∴求椭圆方程
例18 已知直线椭圆截线段中点求直线方程．
分析：题考查直线椭圆位置关系问题．通常直线方程椭圆方程联立消()关()元二次方程根系数关系直接求出()值代入计算．
需求出直线椭圆交点坐标种设求方法解析中常采．
解：方法：设求直线方程．代入椭圆方程整理
①
设直线椭圆交点①两根∴
∵中点∴．∴求直线方程．
方法二：设直线椭圆交点．∵中点∴．
∵椭圆∴两式相减
．∴．∴直线方程．
方法三：设求直线椭圆交点交点．
∵椭圆∴ ① ②
方程①－②图形直线条∴直线方程．
说明：直线圆锥曲线位置关系重点考查解析问题设求方法处理类问题效方法．
已知焦点椭圆截直线弦中点横坐标4求椭圆方程？
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例1 已知椭圆焦点（02）求值．
分析：椭圆方程化标准方程根关系求出值．
解：方程变形．焦点轴解．
适合．．
例2 已知椭圆中心原点点求椭圆标准方程．
分析：椭圆中心原点标准方程两种情况．根题设条件运定系数法
求出参数（）值求椭圆标准方程．
解：焦点轴时设方程．
椭圆点知．代入椭圆方程．
焦点轴时设方程．
椭圆点知．联立解椭圆方程．
例3 底边两边中线长30求三角形重心轨迹顶点轨迹．
分析：（1）已知利椭圆定义求解．
（2）轨迹方程坐标关系利代入法求轨迹方程．
解： （1）直线轴中点原点建立直角坐标系．设点坐标知点轨迹焦点椭圆轴两点．
方程．
（2）设． ①
题意代入①轨迹方程轨迹椭圆（轴两点）．
例4 已知点坐标轴称轴椭圆点两焦点距离分点作焦点轴垂线恰椭圆焦点求椭圆方程．
解：设两焦点．椭圆定义知．．
知垂直焦点称轴中
求出．
∴求椭圆方程．
例5 已知椭圆方程长轴端点焦点椭圆点．求：面积（表示）．
分析：求面积结合余弦定理定义求角两邻边利求面积．
解：图设椭圆称性妨设椭圆称性妨设第象限．余弦定理知： ·．①
椭圆定义知： ② ．
．
例6 已知动圆定点定圆部相切求动圆圆心轨迹方程．
分析：关键根题意列出点P满足关系式．
解：图示设动圆定圆切点．动点两定点
定点定圆圆心距离恰等定圆半径
．∴点轨迹两焦点
半长轴4半短轴长椭圆方程：．
说明：题先根椭圆定义判定轨迹椭圆然根椭圆标准方程求轨迹方程．求轨迹方程种重思想方法．
例7 已知椭圆（1）求点分弦直线方程
（2）求斜率2行弦中点轨迹方程
（3）引椭圆割线求截弦中点轨迹方程
（4）椭圆两点原点直线斜率满足
求线段中点轨迹方程．
分析：题中四问弦中点关考虑设弦端坐标方法．
解：设弦两端点分线段中点
①－②．
题意知式两端
③④代入．⑤
（1）代入⑤求直线方程： ． ⑥
⑥代入椭圆方程符合题意求．
（2）代入⑤求轨迹方程： ．（椭圆部分）
（3）代入⑤求轨迹方程： ．（椭圆部分）
（4）①＋② ： ⑦ ③④方整理
⑧ ⑨
⑧⑨代入⑦： ⑩
代入⑩式： ．
求轨迹方程．然题设弦端坐标方法方法解决．
例8 已知椭圆直线．
（1）值时直线椭圆公点？
（2）直线椭圆截弦长求直线方程．
解：（1）直线方程代入椭圆方程
．解．
（2）设直线椭圆两交点横坐标（1）．
根弦长公式 ：．解．方程．
说明：处理关直线椭圆位置关系问题关弦长问题采方法处理直线圆区．
里解决直线椭圆交点问题般考虑判式解决弦长问题般应弦长公式．
弦长公式合理运韦达定理（根系数关系）简化运算程．
例9 椭圆焦点焦点直线点作椭圆作椭圆长轴短点应处？求出时椭圆方程．
分析：椭圆焦点容易求出椭圆定义题实际已知直线找点该点直线侧两已知点（两焦点）距离须利称解决．
解：图示椭圆焦点．
点关直线称点坐标（－96）直线方程．
解方程组交点坐标（－54）．时．
求椭圆长轴：∴
∴．求椭圆方程．
例10 已知方程表示椭圆求取值范围．
解：．
∴满足条件取值范围．
说明：题易出现错解：取值范围．
出错原没注意椭圆标准方程中条件时表示椭圆．
例11 已知表示焦点轴椭圆求取值范围．
分析：已知条件确定三角函数关系．根三角函数单调性求出取值范围．
解：方程化．焦点轴．
．
说明：(1)椭圆标准方程知容易忽视方．
(2)焦点轴知． (3)求取值范围时应注意题目中条件．
例12 求中心原点称轴坐标轴两点椭圆方程．
分析：题设条件焦点轴明确椭圆标准方程两种情形计算简便起见
设方程()必考虑焦点坐标轴直接求出方程．
解：设求椭圆方程()．两点椭圆
．求椭圆方程．
例13 知圆圆意点轴作垂线段求线段中点轨迹．
分析：题已知轨迹求动点轨迹问题．种题目般利中间变量(相关点)求轨迹方程轨迹．
解：设点坐标点坐标．
圆．
代入方程．点轨迹椭圆．
说明：题利相关点法求轨迹方程方法种方法具体做法：首先设动点坐标
设已知轨迹点坐标然根题目求建立等式关系
等式关系求出代入已知轨迹方程求出关方程
化简求方程．种方法求轨迹方程基方法必须掌握．
例14 已知长轴12短轴长6焦点轴椭圆左焦点作倾斜解直线交椭圆两点求弦长．
分析：利弦长公式求
利椭圆定义余弦定理利焦点半径求．
解：(法1)利直线椭圆相交弦长公式求解．
．．焦点轴
椭圆方程左焦点直线方程．
直线方程椭圆方程联立：．设方程两根 ．
(法2)利椭圆定义余弦定理求解．
题意知椭圆方程设．
中
．理中余弦定理．
(法3)利焦半径求解．
先根直线椭圆联立方程求出方程两根分横坐标．
根焦半径求出．
例15 椭圆点焦点距离2中点（坐标原点）值A．4 B．2 C．8 D．
解：图示设椭圆焦点椭圆第定义
中位线答案A．
说明：(1)椭圆定义：面两定点距离等常数（）点轨迹做椭圆．
(2)椭圆点必定适合椭圆定义利等式解决椭圆点焦点关距离．
例16 已知椭圆试确定取值范围直线椭圆两点关该直线称．
分析：设椭圆两点关直线称已知条件等价：(1)直线(2)弦中点．
利述条件建立等式求取值范围．
解：(法1)设椭圆两点关直线称直线交点．
∵斜率∴设直线方程．方程组消
①∴．
点坐标．∵点直线∴．解． ②
式②代入式① ③
∵椭圆两点∴．解．
(法2)解法1出∴
点坐标．
∵椭圆两点∴点椭圆部∴．解．
(法3)设椭圆关称两点直线交点坐标．
∵椭圆∴．两式相减
．∴．
∵直线∴∴ ①
点直线∴ ②①②点坐标．解法2
说明：涉椭圆两点关直线恒称求关参数取值范围问题采列参数满足等式：
(1)利直线椭圆恒两交点通直线方程椭圆方程组成方程组消元元二次方程判式建立参数方程．
(2)利弦中点椭圆部满足利参数表示建立参数等式．
例17 面积1中建立适坐标系求出焦点点椭圆方程．
解：中点原点直线轴建立直角坐标系设．
∴∴
∴求椭圆方程
例18 已知直线椭圆截线段中点求直线方程．
分析：题考查直线椭圆位置关系问题．通常直线方程椭圆方程联立消()关()元二次方程根系数关系直接求出()值代入计算．
需求出直线椭圆交点坐标种设求方法解析中常采．
解：方法：设求直线方程．代入椭圆方程整理
①
设直线椭圆交点①两根∴
∵中点∴．∴求直线方程．
方法二：设直线椭圆交点．∵中点∴．
∵椭圆∴两式相减
．∴．∴直线方程．
方法三：设求直线椭圆交点交点．
∵椭圆∴ ① ②
方程①－②图形直线条∴直线方程．
说明：直线圆锥曲线位置关系重点考查解析问题设求方法处理类问题效方法．
已知焦点椭圆截直线弦中点横坐标4求椭圆方程？
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