数学破题36计
第11计 耗子开门 洞
●计名释义
说唐中样事唐太宗征北困木阳城绝粮军师献计着鼠洞挖找粮食结果真深处发现粮仓太宗嘉奖耗子牙啃立功题诗曰：鼠郎高日夜磨牙宝刀唯恐孤王难遇见宫门凿出九条槽
庞数学宝库众数学耗子啃穿知道前1万质数耗子啃出七位数字数表样啃出
数学解题计施者口难吞时决定啃吧
●典例示范
例1 已知f (x)判定单调区间
分析 求导法研究单调性然行未必简便直接单调定义出发循序渐进单调区间啃出
解答 设x1插语 x1x2根号底想法啃出办法分子理化
续解 [KF（S]3[]12x1[KF)][KF(S]3[]12x2[KF)]
易知△>0
原式<0
f (x) 增区间（∞+∞)
点评 耗子开门克弱克强策略函数单调法等式较法方法基础啃精神透形式繁杂思维清晰简捷
例2 （04·天津卷）4名男生2名女生中选3参加演讲赛设机变量ξ表示选3中女生数
（Ⅰ）求ξ分布列 （Ⅱ）求ξ数学期
（Ⅲ）求选3中女生数ξ≤1概率
思考 题设问简单方明确须反推倒算耗子开门牙啃立功解答 （Ⅰ）6中选3中女生012P（ξ0）P(ξ1)P (ξ2)ξ分布列：
ξ
0
1
2
P
（Ⅱ）ξ数学期：
Eξ0×+1×+2×1
(Ⅲ)（Ⅰ）选3中女生数ξ≤1概率：P（ξ≤1）P (ξ0)+P(1)
例3 （04·海20文）图
直线yx抛物线yx2 4交
AB两点线段AB垂直分线
直线y 5交点Q
(1)求点Q坐标
（2）P抛物线位AB方
（含点AB）动点时
求△OPQ面积值
思考 例1样题设问明确 例3题图
思路复杂须设条件逐完成严防计算失误
解答 （1）
设AB中点M（x0y0）x0 y0x01
M（21）AB⊥MQ∴MQ方程：y12(x2)令y5x5点Q坐标(55)
(2)（1）知|OQ|5定值
设P(xx22)抛物线点（1）知x24x32≤0x∈［48］直线OQ方程：
x+y0点P直线OQ距离：
d显然d≠0(否△POQ存)x≠44△POQ面积须dx8时dmax 6
∴(S△POQ)max ·|OQ|·dmax·5·630
例4 O锐角△ABC外心S△BOCS△COAS△AOB成等差数列求tanA·tanC
值
解答 图：S△BOC+S△AOB2S△COA
妨设△ABC外接圆半径1令∠BOCα2A
∠AOCβ2B∠AOBr2C
：sinα+sinγsinβ
sin2A+sin2C2sin2B
2sin(A+C)cos (AC) 4sinBcosB 例4题解图
∵sin(A+C)sinB≠0cosB cos(A+C)
∴cos (AC)+2cos (A+C)0cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )0
3cosAcosCsinAsinCtanAtanC3
点评 例中门少中圆半径相等门面积关系转换成关角关系通圆心角圆周角转换差化积倍角公式诱导公式角公式角三角函数关系等次转换便连串门逐啃终达解题目
●应训练
1棱长4正方体ABCD—A1B1C1D1中
O正方形A1B1C1D1中心点P
棱CC1CC1 4CP
(Ⅰ)求直线AP面BCC1B1
成角（结果反三角函数值表示）
（Ⅱ）设O点面D1AP
射影H求证：D1H⊥AP
（Ⅲ）求点P面ABD1距离 第1题图
2证明等式： (n∈N+)
3设x∈f (x)求f (x)值值
4xyz∈R+x+y+z1求函数u值
●参考答案
1建立图空间直角坐标系：
A(400)P(041)B(440)B1(444)D1(004)(Ⅰ)连BP∵AB⊥面BCC1B1
∴AB⊥BP∠APB直线AP面BB1C1C夹角∵
∴tan∠APB
∴AP面BB1C1C成角arctan
(Ⅱ)连D1B1O∈DB1
∵（440)（441）
∴·16+16+00
⊥⊥ 第1题解图
已知OH⊥面AD1P∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）DD1取||1Q(001)作QR⊥AD1R∵RQ∥AB∴PQ∥面ABD1∵AB⊥面AA1D1D∴AB⊥QRQR⊥面ABD1QR长Q面ABD1距离
∵S△ADQ ||·||]||·||
：4·|| 4×3∴||
已证PQ∥ABD1∴点P面ABP1距离
点评：综合法证题非巷子里赶猪直直特（Ⅱ）(Ⅲ)两问解干转换手法
2须证
右式
∴成立1+
3先f (x)化角单三角函数f (x) sin+
x∈时2xf (x)减函数x时
［f(x)］min x时［f (x)］max
4注意理：
∴u≥8
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第11计 耗子开门 洞
●计名释义
说唐中样事唐太宗征北困木阳城绝粮军师献计着鼠洞挖找粮食结果真深处发现粮仓太宗嘉奖耗子牙啃立功题诗曰：鼠郎高日夜磨牙宝刀唯恐孤王难遇见宫门凿出九条槽
庞数学宝库众数学耗子啃穿知道前1万质数耗子啃出七位数字数表样啃出
数学解题计施者口难吞时决定啃吧
●典例示范
例1 已知f (x)判定单调区间
分析 求导法研究单调性然行未必简便直接单调定义出发循序渐进单调区间啃出
解答 设x1
续解 [KF（S]3[]12x1[KF)][KF(S]3[]12x2[KF)]
易知△>0
原式<0
f (x) 增区间（∞+∞)
点评 耗子开门克弱克强策略函数单调法等式较法方法基础啃精神透形式繁杂思维清晰简捷
例2 （04·天津卷）4名男生2名女生中选3参加演讲赛设机变量ξ表示选3中女生数
（Ⅰ）求ξ分布列 （Ⅱ）求ξ数学期
（Ⅲ）求选3中女生数ξ≤1概率
思考 题设问简单方明确须反推倒算耗子开门牙啃立功解答 （Ⅰ）6中选3中女生012P（ξ0）P(ξ1)P (ξ2)ξ分布列：
ξ
0
1
2
P
（Ⅱ）ξ数学期：
Eξ0×+1×+2×1
(Ⅲ)（Ⅰ）选3中女生数ξ≤1概率：P（ξ≤1）P (ξ0)+P(1)
例3 （04·海20文）图
直线yx抛物线yx2 4交
AB两点线段AB垂直分线
直线y 5交点Q
(1)求点Q坐标
（2）P抛物线位AB方
（含点AB）动点时
求△OPQ面积值
思考 例1样题设问明确 例3题图
思路复杂须设条件逐完成严防计算失误
解答 （1）
设AB中点M（x0y0）x0 y0x01
M（21）AB⊥MQ∴MQ方程：y12(x2)令y5x5点Q坐标(55)
(2)（1）知|OQ|5定值
设P(xx22)抛物线点（1）知x24x32≤0x∈［48］直线OQ方程：
x+y0点P直线OQ距离：
d显然d≠0(否△POQ存)x≠44△POQ面积须dx8时dmax 6
∴(S△POQ)max ·|OQ|·dmax·5·630
例4 O锐角△ABC外心S△BOCS△COAS△AOB成等差数列求tanA·tanC
值
解答 图：S△BOC+S△AOB2S△COA
妨设△ABC外接圆半径1令∠BOCα2A
∠AOCβ2B∠AOBr2C
：sinα+sinγsinβ
sin2A+sin2C2sin2B
2sin(A+C)cos (AC) 4sinBcosB 例4题解图
∵sin(A+C)sinB≠0cosB cos(A+C)
∴cos (AC)+2cos (A+C)0cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )0
3cosAcosCsinAsinCtanAtanC3
点评 例中门少中圆半径相等门面积关系转换成关角关系通圆心角圆周角转换差化积倍角公式诱导公式角公式角三角函数关系等次转换便连串门逐啃终达解题目
●应训练
1棱长4正方体ABCD—A1B1C1D1中
O正方形A1B1C1D1中心点P
棱CC1CC1 4CP
(Ⅰ)求直线AP面BCC1B1
成角（结果反三角函数值表示）
（Ⅱ）设O点面D1AP
射影H求证：D1H⊥AP
（Ⅲ）求点P面ABD1距离 第1题图
2证明等式： (n∈N+)
3设x∈f (x)求f (x)值值
4xyz∈R+x+y+z1求函数u值
●参考答案
1建立图空间直角坐标系：
A(400)P(041)B(440)B1(444)D1(004)(Ⅰ)连BP∵AB⊥面BCC1B1
∴AB⊥BP∠APB直线AP面BB1C1C夹角∵
∴tan∠APB
∴AP面BB1C1C成角arctan
(Ⅱ)连D1B1O∈DB1
∵（440)（441）
∴·16+16+00
⊥⊥ 第1题解图
已知OH⊥面AD1P∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）DD1取||1Q(001)作QR⊥AD1R∵RQ∥AB∴PQ∥面ABD1∵AB⊥面AA1D1D∴AB⊥QRQR⊥面ABD1QR长Q面ABD1距离
∵S△ADQ ||·||]||·||
：4·|| 4×3∴||
已证PQ∥ABD1∴点P面ABP1距离
点评：综合法证题非巷子里赶猪直直特（Ⅱ）(Ⅲ)两问解干转换手法
2须证
右式
∴成立1+
3先f (x)化角单三角函数f (x) sin+
x∈时2xf (x)减函数x时
［f(x)］min x时［f (x)］max
4注意理：
∴u≥8
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