数学破题36计
第33计 导数开门 腾龙起凤
●计名释义
导数蕴涵着丰富数学思想数学文化仅数学解题工具种先进思维取
年高考导数加力度仅体现解题工具更着力思维取考查导数条腾跃龙开屏凤潜移默化改变着思考问题惯数学思想引领辨证思想渗透帮助着确立科学思维取
●典例示范
例1 （2005年北京卷）原点作曲线yex切线切点坐标 切线斜率
分析 题中没出切线方程求切点坐标切线斜率似太难考生果想导数意义妨试
解答 未定切点先求导数y′（ex）′
设切点(x0e)y′exyx xe 切线方程yee(xx0)
∵切线（00）点0－ee(0x0)∴x01∴ee∴切点坐标（1e)切线斜率e
点评 求导种解题方法种思维取求方法思维存表里合协调匹配
例2 函数f (x)loga（x3ax) （a>0a≠1)区间(0)单调递增a取值范围 ( )
A B C D
解答 B 设ux3axu′3x2a
a>1时f (x)单调递增必须u′3x2a>0a<3x2恒成立0<3x2<∴a≤0a>1矛盾
03x2恒成立
∴a≥（）3 a ()>0a>≤a<1正确答案B
点评 题数型复合函数真数含立方宜导数解决
例3 已知a∈R讨函数f (x)ex(x2+ax+a+1)极值点数
解答 f′(x)ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］
令f′（x)＝0x2+(a+2)x+(2a+1)0
(1)Δ(a+2)24(2a+1)a24aa(a4)>0
a<0a>4时方程x2+(a+2)x+(2a+1)0 两实根x1x2妨设x1f′(x)ex(xx1)(xx2)
表：
x
（∞x1）
x1
（x1x2）
x2
（x2+∞）
fˊ(x)
+
0
0
+
f (x)
↗
f (x1)极值
↘
f (x2)极值
↗
时f (x)两极值点
(2)Δ0a0a 4时方程x2+(a+2)x+(2a+1)0两相实根x1x2
f′(x)ex(xx1)2
x0x>x2时f′(x)>0f (x)极值
(3)Δ<000f′(x)ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］>0f (x)增函数时f (x)极值 a>4a<0时f (x)2极值点0≤a≤4时f (x)极值点
点评 题求极值确定极值点数实际考查极值解答时列表分析便确定极值点数
●应训练
1已知函数f (x)图象点M（1f (1))处切线方程x+2y+50
(1)求函数yf (x)解析式 （2）求函数yf (x)单调区间
2已知函数f (x)x∈［01］
(Ⅰ)求f (x)单调区间值域
（Ⅱ）设a≥1函数g (x)x33a2x2ax∈［01］意x1∈［01］总存x0∈［01］g (x)f (x1)成立求a取值范围
3已知a≥0函数f (x)(x22ax)ex
(Ⅰ)x值时f x)取值？证明结
（Ⅱ）设f (x)［－11］单调函数求a取值范围
●参考答案
1分析：已知导出f (1)2结合f′(1) 易求出ab值
解析(1)函数f (x)图象点M(1f (1))处切线方程x+2y+50知1+2f (1)+50f (1)2f′(1)
∵f′(x)∴
解a2b3(∵b+1≠0b 1舍）求函数解析式f (x)
(2)f′(x)令2x2+12x+60解x132x23+2x<32x>3+2时f′(x)<0
320 f (x) (∞32减函数
（323+2)增函数 （3＋2+∞)减函数
点评：题考查函数单调性导数应等知识考查运数学知识分析解决问题力
2解析：(Ⅰ)函数f (x)求导f′(x)
令f′(x)0解xx
x变化时f′(x)f (x)变化情况表：
x
0
（0）
（1）
1
fˊ(x)
+
0
+
f(x)
↘
4
↗
3
x∈(0)时f (x)减函数
x∈(1)时f (x)增函数
x∈［01］时f (x)值域［－4－3］
(Ⅱ)函数g (x)求导g′(x)3(x2a2)
a≥1x∈(01)时g′(x)<3(1a2)≤0
x∈(01)时g (x)减函数x∈［01］时g(x)∈［g(1)g(0)］
g (1)12a3a2g(0) 2ax∈［01］时g (x)∈［12a3a22a］
x1∈［01］f (x1)∈［43］存x0∈［01］g(x0) f (x1)
［12a3a22a］［43］
解①式a≥1a≤ 解②式a≤
a≥1a取值范围1≤a≤
点评：题考查函数单调性值域集合包含关系解等式基础知识逻辑思维力运算力综合应数学知识解决问题力
3分析：（Ⅰ)利导数性质解决问题
(Ⅱ)利函数f (x)［－11］单调函数充条件x2≥1(xx2时f (x)取极值）
解：(Ⅰ)函数f (x)求导数：f′(x)(x22ax)ex+(2x2a)ex［x2+2x(1a)x2a］ex令
f′(x)0［x2+2(1a)x2a］ex0x2+2(1a)x2a0
解x1a1x2a1+中x1x变化时f′(x)f (x)变化表
x
（∞x1）
x1
（x1x2）
x2
（x2+∞）
fˊ(x)
+
0
0
+
f(x)
↗
极值
↘
极值
↗
f (x)xx1处取极值xx2处取极值 a≥0时x1<1x2≥0f (x)（x1x2)减函数(x2+∞)增函数x<0时f (x)x(x2a)ex>0x0时f (x)0
xa1+时f (x)取值
(Ⅱ)a≥0时f (x)［－11］单调函数充条件x2≥1a1+≥1解：a≥综f(x)［－11］单调函数充分必条件a≥a取值范围［+∞)
点评：题考查导数概念计算应导数研究函数性质方法推理运算力复合函数求导解决极值问题单调问题常方法
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第33计 导数开门 腾龙起凤
●计名释义
导数蕴涵着丰富数学思想数学文化仅数学解题工具种先进思维取
年高考导数加力度仅体现解题工具更着力思维取考查导数条腾跃龙开屏凤潜移默化改变着思考问题惯数学思想引领辨证思想渗透帮助着确立科学思维取
●典例示范
例1 （2005年北京卷）原点作曲线yex切线切点坐标 切线斜率
分析 题中没出切线方程求切点坐标切线斜率似太难考生果想导数意义妨试
解答 未定切点先求导数y′（ex）′
设切点(x0e)y′exyx xe 切线方程yee(xx0)
∵切线（00）点0－ee(0x0)∴x01∴ee∴切点坐标（1e)切线斜率e
点评 求导种解题方法种思维取求方法思维存表里合协调匹配
例2 函数f (x)loga（x3ax) （a>0a≠1)区间(0)单调递增a取值范围 ( )
A B C D
解答 B 设ux3axu′3x2a
a>1时f (x)单调递增必须u′3x2a>0a<3x2恒成立0<3x2<∴a≤0a>1矛盾
0
∴a≥（）3 a ()>0a>≤a<1正确答案B
点评 题数型复合函数真数含立方宜导数解决
例3 已知a∈R讨函数f (x)ex(x2+ax+a+1)极值点数
解答 f′(x)ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］
令f′（x)＝0x2+(a+2)x+(2a+1)0
(1)Δ(a+2)24(2a+1)a24aa(a4)>0
a<0a>4时方程x2+(a+2)x+(2a+1)0 两实根x1x2妨设x1
表：
x
（∞x1）
x1
（x1x2）
x2
（x2+∞）
fˊ(x)
+
0
0
+
f (x)
↗
f (x1)极值
↘
f (x2)极值
↗
时f (x)两极值点
(2)Δ0a0a 4时方程x2+(a+2)x+(2a+1)0两相实根x1x2
f′(x)ex(xx1)2
x
(3)Δ<00
点评 题求极值确定极值点数实际考查极值解答时列表分析便确定极值点数
●应训练
1已知函数f (x)图象点M（1f (1))处切线方程x+2y+50
(1)求函数yf (x)解析式 （2）求函数yf (x)单调区间
2已知函数f (x)x∈［01］
(Ⅰ)求f (x)单调区间值域
（Ⅱ）设a≥1函数g (x)x33a2x2ax∈［01］意x1∈［01］总存x0∈［01］g (x)f (x1)成立求a取值范围
3已知a≥0函数f (x)(x22ax)ex
(Ⅰ)x值时f x)取值？证明结
（Ⅱ）设f (x)［－11］单调函数求a取值范围
●参考答案
1分析：已知导出f (1)2结合f′(1) 易求出ab值
解析(1)函数f (x)图象点M(1f (1))处切线方程x+2y+50知1+2f (1)+50f (1)2f′(1)
∵f′(x)∴
解a2b3(∵b+1≠0b 1舍）求函数解析式f (x)
(2)f′(x)令2x2+12x+60解x132x23+2x<32x>3+2时f′(x)<0
32
（323+2)增函数 （3＋2+∞)减函数
点评：题考查函数单调性导数应等知识考查运数学知识分析解决问题力
2解析：(Ⅰ)函数f (x)求导f′(x)
令f′(x)0解xx
x变化时f′(x)f (x)变化情况表：
x
0
（0）
（1）
1
fˊ(x)
+
0
+
f(x)
↘
4
↗
3
x∈(0)时f (x)减函数
x∈(1)时f (x)增函数
x∈［01］时f (x)值域［－4－3］
(Ⅱ)函数g (x)求导g′(x)3(x2a2)
a≥1x∈(01)时g′(x)<3(1a2)≤0
x∈(01)时g (x)减函数x∈［01］时g(x)∈［g(1)g(0)］
g (1)12a3a2g(0) 2ax∈［01］时g (x)∈［12a3a22a］
x1∈［01］f (x1)∈［43］存x0∈［01］g(x0) f (x1)
［12a3a22a］［43］
解①式a≥1a≤ 解②式a≤
a≥1a取值范围1≤a≤
点评：题考查函数单调性值域集合包含关系解等式基础知识逻辑思维力运算力综合应数学知识解决问题力
3分析：（Ⅰ)利导数性质解决问题
(Ⅱ)利函数f (x)［－11］单调函数充条件x2≥1(xx2时f (x)取极值）
解：(Ⅰ)函数f (x)求导数：f′(x)(x22ax)ex+(2x2a)ex［x2+2x(1a)x2a］ex令
f′(x)0［x2+2(1a)x2a］ex0x2+2(1a)x2a0
解x1a1x2a1+中x1
x
（∞x1）
x1
（x1x2）
x2
（x2+∞）
fˊ(x)
+
0
0
+
f(x)
↗
极值
↘
极值
↗
f (x)xx1处取极值xx2处取极值 a≥0时x1<1x2≥0f (x)（x1x2)减函数(x2+∞)增函数x<0时f (x)x(x2a)ex>0x0时f (x)0
xa1+时f (x)取值
(Ⅱ)a≥0时f (x)［－11］单调函数充条件x2≥1a1+≥1解：a≥综f(x)［－11］单调函数充分必条件a≥a取值范围［+∞)
点评：题考查导数概念计算应导数研究函数性质方法推理运算力复合函数求导解决极值问题单调问题常方法
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