数学破题36计
第19计 模式开门 请君入瓮
●计名释义
数码时代非数学问题数学化非数字问题数字化非函数问题函数化非方程问题方程化等等
化法呢？数学建模数学建模种力实际问题加工数学问题力
数学建模种思维形式中学生讲三种形式
第现成模式直接应第二实际问题理想化复杂问题中抓住矛盾符合某种现模式第三原始问题进行重新建构重新意思包含：①原模型重新组合②新问题创建新模式
● 典例示范
例1 实数xy满足x2+(y1)21等式x+y+c≥0恒成立实数c取值范围 （ ）
A［11］ B［1+∞)
C( +11) D(∞1)
分析 容易出：x2+(y1)21表示（01）圆心1半径圆x+y+c≥0表示直线yxc半面构造解析模型原题转化：点（xy）直线yxc方圆x2+(y1)21运动时实数c应满足什条件？
解答 图斜率1直线
yxc切圆x2+(y1)21AB
交y轴MN连AB
AB圆心C（10）
等腰直角三角形MCB中∣CB∣1
∴∣CM∣设M（0c）
必c1M（01）
仅c≤1时圆x2+(y1)21 例1题解图
点直线yxc方c≥1选B
例2 正数xyz满足方程组xy+2yz+3xz值
分析 题目条件方程组左边具余弦定理勾股定理形式右边正直角三角形三边长方值考虑构造直角三角形
解答 原方程组改写：
构造图直角三角形ABCAB5
AC4BC3△ABC取点P
∠APB150°∠APC120°
∠BPC90°显然符合题设条件
∵S△APB+S△BPC+S△CPAS△ABC
S△APBx·y·sin150xy
S△APCxz·sin120°xz 例2题解图
S△BPC z·yyzS△ABC6∴xy+xz+yz6
∴xy+2yz+3xz24
例3 某城市改善交通状况需进行路网改造已知原道路a标段（注：1标段指定长度机动车道）拟增建x标段新路n道路交叉口nx满足关系nax+b中b常数设新建标段道路均造价k万元新建道路交叉口均造价新建1标段道路均造价β倍（β≥1）n越路网越通畅记路网堵塞率μβ关系μ
(Ⅰ)写出新建道路交叉口总造价y(万元)x函数关系式
（Ⅱ）求路网堵塞率介5％～10间新增道路标段原道路标段
25％求新建x标段总造价新建道路交叉口总造价p取值范围
(Ⅲ)b4时（Ⅱ）假设路网通畅造价p高时问原道路标段少？
解答 （Ⅰ）新建x标段应建nax+b道口建x标段需kx万元建（ax+b）道口需
ykβ(ax+b)(万元)
(Ⅱ)∵μ∈［510］
∴005≤≤015≤1+β≤10β∈［49］
p
∵p>0β>0∴>0β∈［49］时∈［］求p范围：
(Ⅲ)路网畅通μβ
β9b4
∴p仅a a>0a4时造价p高
∴满足（Ⅲ）条件原道路标段4
点评 例属城市规划型应题牵涉数学知识然变题目牵涉新概念标段堵塞率新定义字母nβμ等会成解题拦路虎解类应题基办法反复阅读务求读懂题读懂部做步做中加深理解创造做条件反复必导致问题完全解决
例4 正受聘家公司生产理提供合理方案生产工序部分块半圆扇形钢板切割出块矩形钢板问该安排切割方案损耗
思考 题条件太抽象完全建立模型建立模型时考虑全面半圆扇形分锐角直角钝角三种情况恰引入参数角θ求量表示出
解答 设扇形OAB半径R中心角2α
(1)中心角直角时图(1)示设∠BODθ
S□CDEF ＝DE·EFRsinθ··［cos2(αθ)cos2α］
2(αθ)0θα时S□CDEF值tanα
（2)中心角等直角时图(2)示EF＝OE＝Rcosθ
S□CDEODE· EFRsinθ·Rcosθsin2θ2θθαS□CDEO值
(3)中心角直角时图(3)示CDEF扇形接矩形取中点M连结
OM∠BOMα∠DEOπα令∠DOMθ矩形面积SCD·DE2R·sinθ［cos (2θα)cosα］cos(2θα)1
θ时Smax
时需扇形弧四等分第第三分点线段边作接矩形CDEF周界切开
例4题解图
●应训练
1已知a2已知abcd实数求证：
3设n1然数求证：
4ab≠0a2+b21求证：
5αβγ均锐角cos2α+cos2β+cos2γ2求证：tanαtanβtanγ≤
6某企业生产种机器固定成（固定投入）5000元生产1台时需变成（增加投入）25元市场商品年需求量500台销售收入函数R（x）5x(万元)(0≤x≤5)中x产品售出数量（百台）
(1)利润l表示产量x函数L (x)
(2)年产量少时企业利润？
（3）年产量少时企业会亏？
7边长5cm6cm7cm三角形铁皮中否剪面积8cm2圆形铁片请做出准确回答证明结
●参考答案
1．原题证：a2b+b2c+c2aab2bc2ca2<0a2(bc)+a(c2b2)+bc(bc)<0
设f (a)a2(bc)+a (c2b2)+bc (bc) (a里bc<0Δ(b+c)2(bc)24bc(bc)2(bc)4>0
∴f (a)图开口抛物线称轴x>b>a函数递增∴f (a)2图示直角坐标系中
设A(ab)B(cd)两点
连接AOOB显然
|OA|+|OB|≥|AB|(AOB
线时等式成立)
∴
点B坐标改 (cd)：
第2题解图
3设
两式相：A2>2n+1∴A2
4坐标面设两点A(ab)B
|AB|
设A直线l：ax+by10
∵a·a+b·b1a2+b210
∴点A(ab)符合条件a2+b21
作BC⊥lC|AB|≥|BC|
（直线l⊥AB时等式成立）
∵|BC| 第4题解图
∴≥3 ≥9
5图示设长方体长宽高
分abc连接BD1设∠BD1B1α
∠BD1Aβ∠BD1Cγ
∵BD1B1D1
AD1
CD1∴满足
cos2α+cos2β+cos2γ2αβγ均锐角 第5题解图
tanα·tanβ·tanγ
≤
tanα·tanβ·tanγ≤
6（1）年产量500台（0≤x≤5）全部售出年产量超500台（x>5）售出500台x(百台)生产成C(x)025x+05(万元)
利润函数L(x)R(x)C(x)
0≤x≤5时L(x)(5xx2)(025x+05) x2+475x05
x>5时售出500台∴L(x)(5×5×52)(05+025x)12025x
(2)利润须求L(x)值显然x>5时取（会造成积压）
0≤x≤5时∵L′(x)x+475命L′(x)0x475L(x)图开口抛物线∴x475时［L(x)］max1078125(万元)年产量475台时企业利润
(3)企业亏必须L(x)≥0显然0≤x≤5时应x2+475x05≥0
2x219x+2≤0解011≤x≤14综合：011≤x≤5
x>5时应12025x≥05企业亏产量应11台4800台间
7办图示证明：
设△ABC切圆半径r
S△ABC(5+6+7)r9r ①
∵cosB
∴sinB
∴S△ABC·5·6·6（cm2） ② 第7题解图
较①②：9r6r（cm）S⊙O8（cm）2
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第19计 模式开门 请君入瓮
●计名释义
数码时代非数学问题数学化非数字问题数字化非函数问题函数化非方程问题方程化等等
化法呢？数学建模数学建模种力实际问题加工数学问题力
数学建模种思维形式中学生讲三种形式
第现成模式直接应第二实际问题理想化复杂问题中抓住矛盾符合某种现模式第三原始问题进行重新建构重新意思包含：①原模型重新组合②新问题创建新模式
● 典例示范
例1 实数xy满足x2+(y1)21等式x+y+c≥0恒成立实数c取值范围 （ ）
A［11］ B［1+∞)
C( +11) D(∞1)
分析 容易出：x2+(y1)21表示（01）圆心1半径圆x+y+c≥0表示直线yxc半面构造解析模型原题转化：点（xy）直线yxc方圆x2+(y1)21运动时实数c应满足什条件？
解答 图斜率1直线
yxc切圆x2+(y1)21AB
交y轴MN连AB
AB圆心C（10）
等腰直角三角形MCB中∣CB∣1
∴∣CM∣设M（0c）
必c1M（01）
仅c≤1时圆x2+(y1)21 例1题解图
点直线yxc方c≥1选B
例2 正数xyz满足方程组xy+2yz+3xz值
分析 题目条件方程组左边具余弦定理勾股定理形式右边正直角三角形三边长方值考虑构造直角三角形
解答 原方程组改写：
构造图直角三角形ABCAB5
AC4BC3△ABC取点P
∠APB150°∠APC120°
∠BPC90°显然符合题设条件
∵S△APB+S△BPC+S△CPAS△ABC
S△APBx·y·sin150xy
S△APCxz·sin120°xz 例2题解图
S△BPC z·yyzS△ABC6∴xy+xz+yz6
∴xy+2yz+3xz24
例3 某城市改善交通状况需进行路网改造已知原道路a标段（注：1标段指定长度机动车道）拟增建x标段新路n道路交叉口nx满足关系nax+b中b常数设新建标段道路均造价k万元新建道路交叉口均造价新建1标段道路均造价β倍（β≥1）n越路网越通畅记路网堵塞率μβ关系μ
(Ⅰ)写出新建道路交叉口总造价y(万元)x函数关系式
（Ⅱ）求路网堵塞率介5％～10间新增道路标段原道路标段
25％求新建x标段总造价新建道路交叉口总造价p取值范围
(Ⅲ)b4时（Ⅱ）假设路网通畅造价p高时问原道路标段少？
解答 （Ⅰ）新建x标段应建nax+b道口建x标段需kx万元建（ax+b）道口需
ykβ(ax+b)(万元)
(Ⅱ)∵μ∈［510］
∴005≤≤015≤1+β≤10β∈［49］
p
∵p>0β>0∴>0β∈［49］时∈［］求p范围：
(Ⅲ)路网畅通μβ
β9b4
∴p仅a a>0a4时造价p高
∴满足（Ⅲ）条件原道路标段4
点评 例属城市规划型应题牵涉数学知识然变题目牵涉新概念标段堵塞率新定义字母nβμ等会成解题拦路虎解类应题基办法反复阅读务求读懂题读懂部做步做中加深理解创造做条件反复必导致问题完全解决
例4 正受聘家公司生产理提供合理方案生产工序部分块半圆扇形钢板切割出块矩形钢板问该安排切割方案损耗
思考 题条件太抽象完全建立模型建立模型时考虑全面半圆扇形分锐角直角钝角三种情况恰引入参数角θ求量表示出
解答 设扇形OAB半径R中心角2α
(1)中心角直角时图(1)示设∠BODθ
S□CDEF ＝DE·EFRsinθ··［cos2(αθ)cos2α］
2(αθ)0θα时S□CDEF值tanα
（2)中心角等直角时图(2)示EF＝OE＝Rcosθ
S□CDEODE· EFRsinθ·Rcosθsin2θ2θθαS□CDEO值
(3)中心角直角时图(3)示CDEF扇形接矩形取中点M连结
OM∠BOMα∠DEOπα令∠DOMθ矩形面积SCD·DE2R·sinθ［cos (2θα)cosα］cos(2θα)1
θ时Smax
时需扇形弧四等分第第三分点线段边作接矩形CDEF周界切开
例4题解图
●应训练
1已知a
3设n1然数求证：
4ab≠0a2+b21求证：
5αβγ均锐角cos2α+cos2β+cos2γ2求证：tanαtanβtanγ≤
6某企业生产种机器固定成（固定投入）5000元生产1台时需变成（增加投入）25元市场商品年需求量500台销售收入函数R（x）5x(万元)(0≤x≤5)中x产品售出数量（百台）
(1)利润l表示产量x函数L (x)
(2)年产量少时企业利润？
（3）年产量少时企业会亏？
7边长5cm6cm7cm三角形铁皮中否剪面积8cm2圆形铁片请做出准确回答证明结
●参考答案
1．原题证：a2b+b2c+c2aab2bc2ca2<0a2(bc)+a(c2b2)+bc(bc)<0
设f (a)a2(bc)+a (c2b2)+bc (bc) (a
∴f (a)图开口抛物线称轴x>b>a函数递增∴f (a)
设A(ab)B(cd)两点
连接AOOB显然
|OA|+|OB|≥|AB|(AOB
线时等式成立)
∴
点B坐标改 (cd)：
第2题解图
3设
两式相：A2>2n+1∴A2
4坐标面设两点A(ab)B
|AB|
设A直线l：ax+by10
∵a·a+b·b1a2+b210
∴点A(ab)符合条件a2+b21
作BC⊥lC|AB|≥|BC|
（直线l⊥AB时等式成立）
∵|BC| 第4题解图
∴≥3 ≥9
5图示设长方体长宽高
分abc连接BD1设∠BD1B1α
∠BD1Aβ∠BD1Cγ
∵BD1B1D1
AD1
CD1∴满足
cos2α+cos2β+cos2γ2αβγ均锐角 第5题解图
tanα·tanβ·tanγ
≤
tanα·tanβ·tanγ≤
6（1）年产量500台（0≤x≤5）全部售出年产量超500台（x>5）售出500台x(百台)生产成C(x)025x+05(万元)
利润函数L(x)R(x)C(x)
0≤x≤5时L(x)(5xx2)(025x+05) x2+475x05
x>5时售出500台∴L(x)(5×5×52)(05+025x)12025x
(2)利润须求L(x)值显然x>5时取（会造成积压）
0≤x≤5时∵L′(x)x+475命L′(x)0x475L(x)图开口抛物线∴x475时［L(x)］max1078125(万元)年产量475台时企业利润
(3)企业亏必须L(x)≥0显然0≤x≤5时应x2+475x05≥0
2x219x+2≤0解011≤x≤14综合：011≤x≤5
x>5时应12025x≥05
7办图示证明：
设△ABC切圆半径r
S△ABC(5+6+7)r9r ①
∵cosB
∴sinB
∴S△ABC·5·6·6（cm2） ② 第7题解图
较①②：9r6r（cm）S⊙O8（cm）2
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