数学破题36计
第32计 立开门 面风
●计名释义
空间型试题感困难办？退面面立体基础空间面化基手段面化形式：（1）展开图空间展面（2）三视图角度面（3）射影图面放面（4）截面图关心面进行特写等等直观图中错觉误差分转移面作真实分析
●典例示范
例1 神舟六号飞船
种非常精密滚球轴承
图示该滚球轴承
外圆半径分1mm3mm
轴承里放
滚珠 例1题图
解答 6图设两滚球PQ相切
点T轴承中心O连接OT
设滚球半径d外圆半径
分rRR3dr1
Rt△OTP中∠POTOP2PT1
sin
α2×圆心角轨道 例1题解图
放滚珠圆心角周角（2π弧度）
时放滚珠6
点评 题考查球体知识相切问题复杂空间立体图形简化成面图形解决
例2 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面四边形ABCD边长3高4棱C1B1C1DCC分取点MNLC1M＝C1N＝1C1L＝
(1)求证：角线AC1⊥面MNL （2）求四面体D—MNL体积
（3）求AM面MNL成夹角正弦值
思考 (1)题难手法退证线面垂直退证线线垂直根称性需证AC1LMLN垂直
(2)四面体D—MNL体积求退求四面体C1—MNL体积两四面体等底等高退求四面体应高然求四面体C1—MNL体积适扩
（3）AM面MAC1夹角正弦求退求AMAC1夹角余弦
解答 （1）图示D1原点直线D1A1D1C1D1D分xyz轴建立空间坐标系
：A（304）C1（030）
∴(334)LN(020)
∴∵·0+330
∴⊥根图形称性
理⊥AC1⊥面MNL 例2题解图
(2)四面体D—MNLC1—MNL底等高设高分h1h2连C1D交NLE
∵D(004)
∴(034)·(034)·0
∴⊥知LEDC圆||·||||·||
·4||·5
∴||||5
h1∶h2
易求VC1－MNL＝·C1M·C1N·C1L×1×1×∴VDMNL(立方单位)
(3)设AM面AC1成θ角已证AC1⊥面MNL∴∠MAC190°θ
∵M(130)∴(234) ·(234)·(334)6+9+1631
｜｜
｜｜
∴cos (90°θ)sinθAM面MNL成角正弦值
评注 题第（2)问解法：∵VDMNLVMDNLS△DNL易求MC1⊥面
DNLVDMNL ·S△DNL·MC1失效解法
例3 （04·全国卷Ⅲ）图
四棱锥P—ABCD中底面ABCD矩形
AB8AD4侧面PAD等边
三角形底面成二面角60°
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD体积
（Ⅱ）求证：PA⊥BD
分析 1题目没讲正四棱锥
粗心乱加条件正棱锥解题
否瞎子点灯——白费蜡
顶点底面射影定底面中心 例3题图
2图中三角素证垂直办法利量制定三角加量解题策略
解答 （Ⅰ）设OP底面射影作OE⊥ADE连PE∠PEO二面角P—AD—O面角∠PEO60°已知△PAD正三角形边长4
∴|PE|4sin60°6PO6sin60°3
∴VP—ABCD·S□ABCD·PO·8·4·3]96(立方单位)
(Ⅱ)O原点行AD直线x轴行AB直线y轴垂线OP直线z轴建立图空间直角坐标系
P(003)A(230)B(250)D(230)
∴(233)(480)
∵·24+24+00 ∴⊥
●应训练
1图示ABCD边长
2a正方形
PB⊥面ABCD
MA∥PBPB2MA2a
EPD中点
(1)求证：ME∥面ABCD
(2)求点B面PMD距离
(3)求面PMD面
ABCD成二面角余弦值 第1题图
2正三棱锥S—ABC中底面边长a正三角形点O△ABC中心点M边BC中点AM2SO点N棱SASA25SN
(Ⅰ)求面SBC底面ABC成二面角
（Ⅱ）证明：SA⊥面NBC
3图边长2正方形ADEF
面垂直面ABCDABAD
AB⊥ADAC3AC⊥BD
垂足MNBF中点
(1)求证：MN∥面ADEF
（2）求异面直线BDCF成角
（3）求二面角ACFD 第3题图
●参考答案
1(1)延长PMBA交F连接FDFDBC延长交G连接PG
∵MAPBa
∴MPF中点EPD中点
∴ME△PFD中位线ME∥FD
FD面ABCD
∴ME∥面ABCD
(2)MAPB时AFB中点
∵四边形ABCD正方形∴AD∥BCDC∥AB
∴DC分FGBG中点 第1题解图
∵ABBC2a ∴BFBG4a ∴BD⊥FG∵PB⊥面ABCD∴PB⊥FGFG⊥面PBD 作BH⊥PDH必FG⊥BH
BH⊥面PFGBH长点B面PFG(面PMD)距离
Rt△PBD中PB2aBD2a
∴PD2aBHa求距离a
(3)(2)知FG⊥DBFG⊥DP ∴∠PDB二面角PFGB面角
cos∠PDB求二面角余弦值
点评： (1)解立体题两句格言空间问题面化规图形规化解中规化手段补形终补成底面等腰直角三角形高底面垂直规四面体分析计算方便
(2)正方体截角四面体三条侧棱两两垂直称样四面体直角四面体直角四面体许重性质中重3条：
①SS1S2S3分表示直角四面体底面积三侧面积：S2S 21+S 22+S 23
②直角四面体三条侧棱长次abc底面积：S
③直角四面体三条侧棱长次abc直角顶点底面距离h
h
根公式③题第2问轻易举解决：图中B—PFG直角四面体BP2aBFBG4a
∴BH
2(1)图正△ABC边长a时
AMaOMAMa
SOAMa
∠SMA二面角S—BC—A面角
设αtanα
∴面SBC面ABC成arctan角 第2题解图
(2)O原点直线AMOS分xz轴O行BC直线y轴建立图空间直角坐标系B(a0)M(a00)C (a0)S (00 a)
∵aA(a00)
∵(a0a)（0a0） ∴·0⊥
N(a0a) a0a)
·（ a0 a）·（a0a） a2 +0+a2 0
∴⊥SA⊥面NBC
3方法：（1）∵ABADAC⊥BD垂足M∴MBD中点∵NBF中点∴MN∥DF
∵MN面ADEFDF面ADEF∴MN∥面ADEF
(2)∵面ADEF⊥面ABCD∵FA⊥AD∴FA⊥面ABCD
∵ACFC面ABCD射影BD⊥AC∴BD⊥CF
∴异面直线BDCF成角90°
（3）面ACFM作MH⊥CFH连DH
∵BD⊥ACBD⊥CFAC∩CFC
∴BD⊥面ACF斜线DH面ACF射影MH
CF⊥MH∴CF⊥DH∴∠MHD二面角ACFD面角
等腰Rt△ABD中DMAM∵AC3∴CM2CF
∵△CMH∽△CFA∴∴MHtanMHD
∴二面角ACFDarctan
方法二：（1）法
（2）∵面ADEF⊥面ABCD∵FA⊥AD∴FA⊥面ABCD
∴面FAC⊥面ABCD面FAC作MG⊥AC交FC点G
∴MG⊥面ABCD
图建立空间直角坐标系Mxyz
C（200）B（00）D（00）F（02）
∴（020）（302）∴·0∴⊥
∴异面直线BDCF成角90°
第3题解图（1） 第3题解图（2） 第3题解图（3）
(3)设n（xyz）面CFD法量
∵（302）（2）
∴令z3xy2
∴n（23）∵MD⊥AC∴MD⊥面ACF
∴面ACF法量（00）cos
∴二面角ACFDarccos
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第32计 立开门 面风
●计名释义
空间型试题感困难办？退面面立体基础空间面化基手段面化形式：（1）展开图空间展面（2）三视图角度面（3）射影图面放面（4）截面图关心面进行特写等等直观图中错觉误差分转移面作真实分析
●典例示范
例1 神舟六号飞船
种非常精密滚球轴承
图示该滚球轴承
外圆半径分1mm3mm
轴承里放
滚珠 例1题图
解答 6图设两滚球PQ相切
点T轴承中心O连接OT
设滚球半径d外圆半径
分rRR3dr1
Rt△OTP中∠POTOP2PT1
sin
α2×圆心角轨道 例1题解图
放滚珠圆心角周角（2π弧度）
时放滚珠6
点评 题考查球体知识相切问题复杂空间立体图形简化成面图形解决
例2 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面四边形ABCD边长3高4棱C1B1C1DCC分取点MNLC1M＝C1N＝1C1L＝
(1)求证：角线AC1⊥面MNL （2）求四面体D—MNL体积
（3）求AM面MNL成夹角正弦值
思考 (1)题难手法退证线面垂直退证线线垂直根称性需证AC1LMLN垂直
(2)四面体D—MNL体积求退求四面体C1—MNL体积两四面体等底等高退求四面体应高然求四面体C1—MNL体积适扩
（3）AM面MAC1夹角正弦求退求AMAC1夹角余弦
解答 （1）图示D1原点直线D1A1D1C1D1D分xyz轴建立空间坐标系
：A（304）C1（030）
∴(334)LN(020)
∴∵·0+330
∴⊥根图形称性
理⊥AC1⊥面MNL 例2题解图
(2)四面体D—MNLC1—MNL底等高设高分h1h2连C1D交NLE
∵D(004)
∴(034)·(034)·0
∴⊥知LEDC圆||·||||·||
·4||·5
∴||||5
h1∶h2
易求VC1－MNL＝·C1M·C1N·C1L×1×1×∴VDMNL(立方单位)
(3)设AM面AC1成θ角已证AC1⊥面MNL∴∠MAC190°θ
∵M(130)∴(234) ·(234)·(334)6+9+1631
｜｜
｜｜
∴cos (90°θ)sinθAM面MNL成角正弦值
评注 题第（2)问解法：∵VDMNLVMDNLS△DNL易求MC1⊥面
DNLVDMNL ·S△DNL·MC1失效解法
例3 （04·全国卷Ⅲ）图
四棱锥P—ABCD中底面ABCD矩形
AB8AD4侧面PAD等边
三角形底面成二面角60°
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD体积
（Ⅱ）求证：PA⊥BD
分析 1题目没讲正四棱锥
粗心乱加条件正棱锥解题
否瞎子点灯——白费蜡
顶点底面射影定底面中心 例3题图
2图中三角素证垂直办法利量制定三角加量解题策略
解答 （Ⅰ）设OP底面射影作OE⊥ADE连PE∠PEO二面角P—AD—O面角∠PEO60°已知△PAD正三角形边长4
∴|PE|4sin60°6PO6sin60°3
∴VP—ABCD·S□ABCD·PO·8·4·3]96(立方单位)
(Ⅱ)O原点行AD直线x轴行AB直线y轴垂线OP直线z轴建立图空间直角坐标系
P(003)A(230)B(250)D(230)
∴(233)(480)
∵·24+24+00 ∴⊥
●应训练
1图示ABCD边长
2a正方形
PB⊥面ABCD
MA∥PBPB2MA2a
EPD中点
(1)求证：ME∥面ABCD
(2)求点B面PMD距离
(3)求面PMD面
ABCD成二面角余弦值 第1题图
2正三棱锥S—ABC中底面边长a正三角形点O△ABC中心点M边BC中点AM2SO点N棱SASA25SN
(Ⅰ)求面SBC底面ABC成二面角
（Ⅱ）证明：SA⊥面NBC
3图边长2正方形ADEF
面垂直面ABCDABAD
AB⊥ADAC3AC⊥BD
垂足MNBF中点
(1)求证：MN∥面ADEF
（2）求异面直线BDCF成角
（3）求二面角ACFD 第3题图
●参考答案
1(1)延长PMBA交F连接FDFDBC延长交G连接PG
∵MAPBa
∴MPF中点EPD中点
∴ME△PFD中位线ME∥FD
FD面ABCD
∴ME∥面ABCD
(2)MAPB时AFB中点
∵四边形ABCD正方形∴AD∥BCDC∥AB
∴DC分FGBG中点 第1题解图
∵ABBC2a ∴BFBG4a ∴BD⊥FG∵PB⊥面ABCD∴PB⊥FGFG⊥面PBD 作BH⊥PDH必FG⊥BH
BH⊥面PFGBH长点B面PFG(面PMD)距离
Rt△PBD中PB2aBD2a
∴PD2aBHa求距离a
(3)(2)知FG⊥DBFG⊥DP ∴∠PDB二面角PFGB面角
cos∠PDB求二面角余弦值
点评： (1)解立体题两句格言空间问题面化规图形规化解中规化手段补形终补成底面等腰直角三角形高底面垂直规四面体分析计算方便
(2)正方体截角四面体三条侧棱两两垂直称样四面体直角四面体直角四面体许重性质中重3条：
①SS1S2S3分表示直角四面体底面积三侧面积：S2S 21+S 22+S 23
②直角四面体三条侧棱长次abc底面积：S
③直角四面体三条侧棱长次abc直角顶点底面距离h
h
根公式③题第2问轻易举解决：图中B—PFG直角四面体BP2aBFBG4a
∴BH
2(1)图正△ABC边长a时
AMaOMAMa
SOAMa
∠SMA二面角S—BC—A面角
设αtanα
∴面SBC面ABC成arctan角 第2题解图
(2)O原点直线AMOS分xz轴O行BC直线y轴建立图空间直角坐标系B(a0)M(a00)C (a0)S (00 a)
∵aA(a00)
∵(a0a)（0a0） ∴·0⊥
N(a0a) a0a)
·（ a0 a）·（a0a） a2 +0+a2 0
∴⊥SA⊥面NBC
3方法：（1）∵ABADAC⊥BD垂足M∴MBD中点∵NBF中点∴MN∥DF
∵MN面ADEFDF面ADEF∴MN∥面ADEF
(2)∵面ADEF⊥面ABCD∵FA⊥AD∴FA⊥面ABCD
∵ACFC面ABCD射影BD⊥AC∴BD⊥CF
∴异面直线BDCF成角90°
（3）面ACFM作MH⊥CFH连DH
∵BD⊥ACBD⊥CFAC∩CFC
∴BD⊥面ACF斜线DH面ACF射影MH
CF⊥MH∴CF⊥DH∴∠MHD二面角ACFD面角
等腰Rt△ABD中DMAM∵AC3∴CM2CF
∵△CMH∽△CFA∴∴MHtanMHD
∴二面角ACFDarctan
方法二：（1）法
（2）∵面ADEF⊥面ABCD∵FA⊥AD∴FA⊥面ABCD
∴面FAC⊥面ABCD面FAC作MG⊥AC交FC点G
∴MG⊥面ABCD
图建立空间直角坐标系Mxyz
C（200）B（00）D（00）F（02）
∴（020）（302）∴·0∴⊥
∴异面直线BDCF成角90°
第3题解图（1） 第3题解图（2） 第3题解图（3）
(3)设n（xyz）面CFD法量
∵（302）（2）
∴令z3xy2
∴n（23）∵MD⊥AC∴MD⊥面ACF
∴面ACF法量（00）cos
∴二面角ACFDarccos
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