数学破题36计
第22计 数形开门 体美神丰
●计名释义
数形少直观形数入微难——华罗庚先生讲数形结合意义
直观图想深入解析出——专家谈形数特征
遇式愁请先画图图莫着急静心分析——讲数形互动
图形形象记数易忘解析功图静变动——讲数形互补
观图见形美初品数学味想数涵丰数学色调浓美学家数形赞赏
函数图形——图象轨迹图象——图形三角更必说集合韦恩图逻辑方框图组合二项式杨辉三角等等
然数形结合中形仅相数言中简单直线面等现实生活中存
里形数象征精神直观现函数图象写成函数图数形误想象写成想呢？
●典例示范
例1 直线y2a函数y|ax1|（a>0a≠1）图象两公点a取值范围
解答 函数y|ax1|图象y|ax|（a>0a≠1）图象移单位图a>1时直线y2ay|ax1|(a>0a≠1)图象仅交点 00a≠1)图象两公点解a∈(0)
例1题解图
评注 题数形解法图形开门体美神丰
例2 曲线y1+yk(x2)+4两相异交点时
实数k取值范围 （ ）
A B C D
解答 方程y1+x2+(y1)2 4 (y≥1)表示（01）圆心2半径半圆方程
yk(x2)+4表示（24）斜率k直线原题含义：直线半圆两相异交点时该直线斜率应什范围？
图直线MBMC半圆切BC
半圆两端次A（21）（21）
显然线段AB意点M连线
半圆公点
∴kmaxkMA设直线
MC交直线y1N令
∠DMC∠DMBα∠DNMβ
例2题解图
显然tanα∴tanβtan(90°2α) cot2α
斜率k∈选B
反思 准确理解数意义恰图形开门体美神丰
例3 设实数(xy)满足方程x2+y22x2y+10值
解答 圆(x1)2+(y1)21
圆心C (11)半径r1 图示
圆第象限两轴相切
求值 先求值
表示圆点（xy）定点P（10）连线斜率 例3题解图
∴kPA≤≤kPB（中PAPBP引圆切线） 设∠APC∠CPBθtanθ
∴tan∠BPAtan2θ ∴
例4 已知f(x)定义（33）奇函数x∈(03)时f (x)图图示等式f (x)·cosx<0解集
思考 f (x)（33）图补充完整图示
知：x∈(10)∪(13)时f(x)>0f (x)·cosx<0须cosx<0x∈
x∈(31)∪(01)时f (x)<0f (x)·cosx<0须cosx>0x∈∪(01)
∴f (x)·cosx<0解集∪(01)∪
例4题图 例4题解图
点评 仅图法断定f (x)解析式题言必纠缠花费必精力断定f (x)正负区间足够解题需图形功
●应训练
1等式x2log ax<0(005)恒成立a取值范围 （ ）
A≤a<1 B01
2P抛物线yx2意点P直线x+y+20点距离时P该抛物线准线距离 （ ）
A B C1 D2
3方程实根 （ ）
A1 B2 C3 D4
4方程2实数解a取值范围 （ ）
A(20)∪(0) B［20)∪(0］
C(2) D［2］
5关x方程2log2(x+a)1+log2x仅实数解试求实数a取值范围
●参考答案
1A 坐标面作y1x2y2log ax图图
题意知必0y1（005）恒成立必须需P点A右边P点A点重合时a根数曲线底数改变变化规律
≤a<1
第1题解图 第2题解图
2B 作出yx2x+y+20图图示设x+y+20行抛物线切线L图知切点P0x+y+20距离设P0（x0y0）L方程yx+b抛物线y＝x2联立：x0y0x P0抛物线准线y距离
3A 设y1
变形(x2)2+y8∴y1图（20）圆心2半径半圆 设y2变形：(x1)·(y2+1)1y2图直线x1y1渐线双曲线图示两曲线仅交点原方程1实根
第3题解图 第4题解图
4A 原方程变形lglg(xa)设y表示原点圆心半径半圆图设yxa(y>0)表示斜率1射线（含端点）中a意义射线x轴端点图示2≤a<时两曲线交点xa≠1令x1+a代入方程2x2(xa)20解a0a2a≠0a≠2a∈(20)∪(0)
5解析 ∵原方程
∴原方程仅实数解等价方程x+ax>0时仅实数解
问题转化直线yx+a曲线y(x>0)面直角坐标系中仅交点图易aa≤0
点评 题代数方法求解较繁琐数形转化问题解决显形象直观简洁明
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第22计 数形开门 体美神丰
●计名释义
数形少直观形数入微难——华罗庚先生讲数形结合意义
直观图想深入解析出——专家谈形数特征
遇式愁请先画图图莫着急静心分析——讲数形互动
图形形象记数易忘解析功图静变动——讲数形互补
观图见形美初品数学味想数涵丰数学色调浓美学家数形赞赏
函数图形——图象轨迹图象——图形三角更必说集合韦恩图逻辑方框图组合二项式杨辉三角等等
然数形结合中形仅相数言中简单直线面等现实生活中存
里形数象征精神直观现函数图象写成函数图数形误想象写成想呢？
●典例示范
例1 直线y2a函数y|ax1|（a>0a≠1）图象两公点a取值范围
解答 函数y|ax1|图象y|ax|（a>0a≠1）图象移单位图a>1时直线y2ay|ax1|(a>0a≠1)图象仅交点 0
例1题解图
评注 题数形解法图形开门体美神丰
例2 曲线y1+yk(x2)+4两相异交点时
实数k取值范围 （ ）
A B C D
解答 方程y1+x2+(y1)2 4 (y≥1)表示（01）圆心2半径半圆方程
yk(x2)+4表示（24）斜率k直线原题含义：直线半圆两相异交点时该直线斜率应什范围？
图直线MBMC半圆切BC
半圆两端次A（21）（21）
显然线段AB意点M连线
半圆公点
∴kmaxkMA设直线
MC交直线y1N令
∠DMC∠DMBα∠DNMβ
例2题解图
显然tanα∴tanβtan(90°2α) cot2α
斜率k∈选B
反思 准确理解数意义恰图形开门体美神丰
例3 设实数(xy)满足方程x2+y22x2y+10值
解答 圆(x1)2+(y1)21
圆心C (11)半径r1 图示
圆第象限两轴相切
求值 先求值
表示圆点（xy）定点P（10）连线斜率 例3题解图
∴kPA≤≤kPB（中PAPBP引圆切线） 设∠APC∠CPBθtanθ
∴tan∠BPAtan2θ ∴
例4 已知f(x)定义（33）奇函数x∈(03)时f (x)图图示等式f (x)·cosx<0解集
思考 f (x)（33）图补充完整图示
知：x∈(10)∪(13)时f(x)>0f (x)·cosx<0须cosx<0x∈
x∈(31)∪(01)时f (x)<0f (x)·cosx<0须cosx>0x∈∪(01)
∴f (x)·cosx<0解集∪(01)∪
例4题图 例4题解图
点评 仅图法断定f (x)解析式题言必纠缠花费必精力断定f (x)正负区间足够解题需图形功
●应训练
1等式x2log ax<0(005)恒成立a取值范围 （ ）
A≤a<1 B0
2P抛物线yx2意点P直线x+y+20点距离时P该抛物线准线距离 （ ）
A B C1 D2
3方程实根 （ ）
A1 B2 C3 D4
4方程2实数解a取值范围 （ ）
A(20)∪(0) B［20)∪(0］
C(2) D［2］
5关x方程2log2(x+a)1+log2x仅实数解试求实数a取值范围
●参考答案
1A 坐标面作y1x2y2log ax图图
题意知必0
≤a<1
第1题解图 第2题解图
2B 作出yx2x+y+20图图示设x+y+20行抛物线切线L图知切点P0x+y+20距离设P0（x0y0）L方程yx+b抛物线y＝x2联立：x0y0x P0抛物线准线y距离
3A 设y1
变形(x2)2+y8∴y1图（20）圆心2半径半圆 设y2变形：(x1)·(y2+1)1y2图直线x1y1渐线双曲线图示两曲线仅交点原方程1实根
第3题解图 第4题解图
4A 原方程变形lglg(xa)设y表示原点圆心半径半圆图设yxa(y>0)表示斜率1射线（含端点）中a意义射线x轴端点图示2≤a<时两曲线交点xa≠1令x1+a代入方程2x2(xa)20解a0a2a≠0a≠2a∈(20)∪(0)
5解析 ∵原方程
∴原方程仅实数解等价方程x+ax>0时仅实数解
问题转化直线yx+a曲线y(x>0)面直角坐标系中仅交点图易aa≤0
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