数学破题36计
第29计 量开门 数形
●计名释义
非数学问题数学化说数学建模非运算问题运算化量典型代表
量代数学重基概念深刻背景解决问题力工具时具代数运算功媒婆牵起根线头连着代数头连着图形轻轻拉数形便结合成家
●典例示范
例1 αβ锐角sinαsinβcosαcosβ求tan(αβ)值
解答 图设A(cosαsinα)
B(cosβsinβ)单位圆两点
条件知：0<α<β<
：
（cosα cosβsinα sinβ）
∴||||||1 例1题解图
△OAB中余弦定理：cos(αβ) cos (βα)
∴sin(αβ)tan(αβ)
点评 果说例量求三角函数值中没太优越性利量
模型证明等式独简便处例
例2 设abcd∈R证明：ac+bd≤
解答 设m（ab）n（cd）mnac+bd|m|·|n|
∵m·n|m|·ncos（mn）≤|m|·|n| ∴ac+bd≤
点评 难置信简明正量半功伟绩量解析
中起作
例3 行六面体ABCD—A1B1C1D1中顶点A端点三条棱长1两两夹角均60
°角线AC1长
思考 求线段长度常手段结解三角形利勾股定理余弦定理显然种方法需较计算量例确定AC1面ABCD成角省油灯更方法呢？行六面体表面边长相等夹锐角60°菱形？利量岂更省事
量数量积公式保驾护航
走量法解题道路
解答 图示
∴
1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)6
∴|| 例2题解图
点评 量运算优越性例已览遗特||2运奇妙注意：成角等成角60°120°
●应训练
1图棱长a正方体
ABCD—A′B′C′D′中EF
分ABAC动点满足AEBF
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)三棱锥B′—BEF体积取值时
求二面角B′—EF—B(结果反三角函数表示) 第1题图
2已知ab∈R+a≠b求证：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4)
3双曲线xy1取三点ABC证明△ABC垂心该双曲线
●参考答案
1(1)图B原点直线BCBABB′分xyz轴建立空间直角坐标系设xA′(0aa)C′(a0a) E(0ax0)F(x00)∴(xaa)(aaxa)
∵·(xaa)(aaxa)axa2+ax+a20
∴⊥
(2)VB′—BEFS△EEF·||·(ax)·x·a
a(ax)·x≤a·
仅axax时
(VB′—BEF)max
时EF分ABBC中点必EF⊥BD
设垂足M连B′M∵BB′⊥面ABCD 第1题图
三垂线定理知B′M⊥EF∠BMB′二面角B′—EF—B面角
设θ∵|| ∴tanθ
θarctan2二面角B′—EF—Barctan2
2设m(ab)n(a2b2) ∵m·n≤|m|·|n|
∴a3+b3≤(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4)
3图设A(x1)B(x2)
C(x3)△ABC垂心H(x0y0)
第3题解图
∵∴(x0x3)(x2x1)+(y0·
∵x1≠x2∴x0x3
∴x0+ (1)
理：x0+
∴x2x1y0
∵x1≠x2∴y0x1x2x3代入 (1)：x0x30
∴x0y01H(x0y0)双曲线xy1
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第29计 量开门 数形
●计名释义
非数学问题数学化说数学建模非运算问题运算化量典型代表
量代数学重基概念深刻背景解决问题力工具时具代数运算功媒婆牵起根线头连着代数头连着图形轻轻拉数形便结合成家
●典例示范
例1 αβ锐角sinαsinβcosαcosβ求tan(αβ)值
解答 图设A(cosαsinα)
B(cosβsinβ)单位圆两点
条件知：0<α<β<
：
（cosα cosβsinα sinβ）
∴||||||1 例1题解图
△OAB中余弦定理：cos(αβ) cos (βα)
∴sin(αβ)tan(αβ)
点评 果说例量求三角函数值中没太优越性利量
模型证明等式独简便处例
例2 设abcd∈R证明：ac+bd≤
解答 设m（ab）n（cd）mnac+bd|m|·|n|
∵m·n|m|·ncos（mn）≤|m|·|n| ∴ac+bd≤
点评 难置信简明正量半功伟绩量解析
中起作
例3 行六面体ABCD—A1B1C1D1中顶点A端点三条棱长1两两夹角均60
°角线AC1长
思考 求线段长度常手段结解三角形利勾股定理余弦定理显然种方法需较计算量例确定AC1面ABCD成角省油灯更方法呢？行六面体表面边长相等夹锐角60°菱形？利量岂更省事
量数量积公式保驾护航
走量法解题道路
解答 图示
∴
1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)6
∴|| 例2题解图
点评 量运算优越性例已览遗特||2运奇妙注意：成角等成角60°120°
●应训练
1图棱长a正方体
ABCD—A′B′C′D′中EF
分ABAC动点满足AEBF
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)三棱锥B′—BEF体积取值时
求二面角B′—EF—B(结果反三角函数表示) 第1题图
2已知ab∈R+a≠b求证：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4)
3双曲线xy1取三点ABC证明△ABC垂心该双曲线
●参考答案
1(1)图B原点直线BCBABB′分xyz轴建立空间直角坐标系设xA′(0aa)C′(a0a) E(0ax0)F(x00)∴(xaa)(aaxa)
∵·(xaa)(aaxa)axa2+ax+a20
∴⊥
(2)VB′—BEFS△EEF·||·(ax)·x·a
a(ax)·x≤a·
仅axax时
(VB′—BEF)max
时EF分ABBC中点必EF⊥BD
设垂足M连B′M∵BB′⊥面ABCD 第1题图
三垂线定理知B′M⊥EF∠BMB′二面角B′—EF—B面角
设θ∵|| ∴tanθ
θarctan2二面角B′—EF—Barctan2
2设m(ab)n(a2b2) ∵m·n≤|m|·|n|
∴a3+b3≤(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4)
3图设A(x1)B(x2)
C(x3)△ABC垂心H(x0y0)
第3题解图
∵∴(x0x3)(x2x1)+(y0·
∵x1≠x2∴x0x3
∴x0+ (1)
理：x0+
∴x2x1y0
∵x1≠x2∴y0x1x2x3代入 (1)：x0x30
∴x0y01H(x0y0)双曲线xy1
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