难点40 探索性问题
高考中探索性问题考查学生探索解题途径解决非传统完备问题力命题者根学科特点数学知识机结合赋予新情境创设成求考生观察分析创造性运学知识方法解决问题
●难点磁场
1（★★★★）已知三量abc中两间夹角120°｜a｜3
｜b｜2｜c｜1abc表示
2（★★★★★）假设架飞机引擎飞行中障率1–p引擎否障独立少50引擎正常运行飞机成功飞行p言4引擎飞机2引擎飞机更安全？
●案例探究
［例1］已知函数(ac∈Ra＞0b然数）奇函数f(x)值f(1)＞
（1）求函数f(x)解析式
（2）否存直线lyf(x)图象交PQ两点PQ两点关点（10）称存求出直线l方程存说明理
命题意图：题考查定系数法求函数解析式值问题直线方程综合分析问题力属★★★★★级题目
知识托：函数奇偶性重等式求值方程等式解法称问题
错解分析：ab间等量关系等关系联立求b忽视b然数导致求出b具体值PQ两点坐标关系列出解
技巧方法：充分利题设条件解题关键题存型探索题目注意假设存条件推理创新导出矛盾否定假设否出肯定结加证
解：（1）∵f(x)奇函数
∴f(–x)–f(x)
∴–bx+c–bx–c
∴c0
∴f(x)
a＞0b然数x≤0时f(x)≤0
x＞0时f(x)＞0
∴f(x)值x＞0时取
∴x＞0时
仅
时f(x)值
∴1∴ab2 ①
f(1)＞∴＞∴5b＞2a+2 ②
①代入②2b2–5b+2＜0解＜b＜2
b∈N∴b1a1∴f(x)
（2）设存直线lyf(x)图象交PQ两点PQ关点（10）称
P(x0y0)Q（2–x0–y0)∴消y0x02–2x0–10
解x01±
∴P点坐标()()进相应Q点坐标Q（）
Q()
PQ直线l方程：x–4y–10求
［例2］图三条直线abc两两行直线ab间距离p直线bc间距离AB直线a两定点｜AB｜2pMN直线b滑动长度2p线段
（1）建立适面直角坐标系求△AMN外心C轨迹E
（2）接问△AMN外心CE什位置时d+｜BC｜值少？（中d外心C直线c距离）
命题意图：题考查轨迹方程求法抛物线性质数形结合思想分析探索问题综合解题力属★★★★★级题目
知识托：求曲线方程抛物线性质直线方程
错解分析：①建立恰直角坐标系解决题关键建系难点②第二问中确定C点位置需番分析
技巧方法：题运抛物线性质寻求点C位置然加证计算出正确结条件探索型题目
解：（1）直线bx轴A点b直线垂直直线y轴建立直角坐标系
设△AMN外心C(xy)A(0p)M（x–p0)N(x+p0)
题意｜CA｜｜CM｜
∴化简
x22py
原点顶点y轴称轴开口抛物线
（2）（1）直线C恰轨迹E准线
抛物线定义知d｜CF｜中F（0）抛物线焦点
∴d+｜BC｜｜CF｜+｜BC｜
两点间直线段短知线段BF轨迹E交点求点
直线BF方程联立方程组
C点坐标()
时d+｜BC｜值｜BF｜
●锦囊妙计
果数学问题作条件方法结四素组成系统四素中两未知数学问题称探索性问题条件完备结确定探索性问题基特征
解决探索性问题观察联想类猜测抽象概括诸方面较高求高考题中般类问题方法：（1）直接求解（2）观察——猜测——证明（3）赋值推断（4）数形结合（5）联想类（6）特殊——般——特殊
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）已知直线l⊥面α直线m面β面四命题中正确命题( )
①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β
A①② B①③ C②④ D③④
2（★★★★）某邮局060元080元110元三种邮票现邮资750元邮件件粘贴邮票张数少资费恰750元少购买邮票( )
A7张 B8张 C9张 D10张
二填空题
3(★★★★)观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°sin215°+cos245°+sin15°
·cos45°写出两式规律相等式
三解答题
4（★★★★）四棱锥P—ABCD中侧棱PA⊥底面ABCD底面ABCD矩形问底面边BC否存点E（1）
∠PED90°（2）∠PED锐角证明结
5（★★★★★）已知非零复数z1z2满足｜z1｜a｜z2｜b｜z1+z2｜c（abc均零）问否根述条件求出？请说明理
6（★★★★★）否存2实数ab(a＞b)ab a–ba+b某次序排成等数列存求出ab值存说明理
7（★★★★★）直线l抛物线y22px(p＞0）焦点抛物线两交点抛物线外两点AB直线l否分线段AB？试证明结
8（★★★★★）三元件T1T2T3正常工作概率分070809某两联第三串联接入电路图甲乙丙示问种接法电路发生障概率？
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：图–abc夹角60°|a||–a|3
行四边形关系–a3c+b∴a–3c–b
答案：a–3c–b
2解析：飞机成功飞行概率分：4引擎飞机：
2引擎飞机
4引擎飞机2引擎飞机安全：
6P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2解P≥
引擎出障概率时4引擎飞机2引擎飞机安全
●歼灭难点训练
1解析：①l⊥αα∥βl⊥βmβl⊥m
②α⊥βl⊥αl∥β推出l∥m
③l∥ml⊥αm⊥αmβα⊥β
④l⊥m推出α∥β
答案：B
2解析：选11元5张06元2张08元1张8张
答案：B
二3解析：50°–20°(45°–15°)30°
sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
三4解：(1)AB≤AD时边BC存点E∠PED90°AB>AD时∠PED90°点E存（须AD直径作圆该圆否BC边交点）（证略）
（2）边BC总存点∠PED锐角点B中点
连接BD作AF⊥BD垂足F连PF∵PA⊥面ABCD∴PF⊥BD△ABD直角三角形∴F点BD∴∠PBF锐角
理点C中点
5解：∵|z1+z2|2(z1+z2)(+)|z1|2+|z2|2+(z1+z2)
∴c2a2+b2+(z1+z2)
：z1+z2c2–a2–b2
∵z1≠0z2≠0∴z1+·z2 |z2|2()+|z1|2()
：b2()+a2()z1z2+z1z2
∴b2()+a2()c2–a2–b2
∴a2()2+(a2+b2–c2)()+b20
关元二次方程解方程值
6解：∵a>ba>2b>2∴aba–ba+b均正数ab>a+b>ab>a+b>a–b
假设存实数ababa+ba–b某次序排成等数列数列必单调数列妨设该数列单调减数列存等数列两种情形①aba+b
a–b②aba+ba–b（a+b）2≠ab·②等数列①等数列：
检验知aba+ba–b成等数列惟组值a7+b时aba+ba–b成等数列
7解：果直线l垂直分线段AB连AFBF∵F（0）∈l∴|FA||FB|设
A（x1y1）B(x2y2)显然x1>0x2>0y1≠y2（x1–）2+y12(x2–)2+y22整理：（x1+x2–p)(x1–x2)y22–y12–2p(x1–x2)显然x1≠x2(否AB⊥x轴lx轴重合题设矛盾）：x1+x2–p–2px1+x2–p<0x1+x2>0矛盾直线l垂直分线段AB
8解：设元件T1T2T3正常工作事件A1A2A3电路发生障事件AP（A1）07P（A2）08P（A3）09
（1）图甲接法求P（A）：A（A1+A2）·A3A1+A2A3相互独立P（A）P（A1+A2）·P（A3）
P（A1+A2）1–P（）1–P（·）A1A2相互独立知相互独立：P（·）P（）·P（）［1–P（A1）］·［1–P（A2）］（1–07）×(1–08)006∴P(A1+A2)01–P(·)1–006094
∴P(A)094×090846
(2)图乙接法求P（A）：A（A1+A3）·A2A1+A3A2相互独立P（A）P（A1+A3）·
P（A2）种算法求P（A1+A3）∵A1A3彼互斥根容斥原理P（A1+A3）
P（A1）+P（A3）–P（A1A3）∵A1A3相互独立P（A1·A3）P（A1）·P（A3）07×09063P(A1+A3)07+09–063097∴P(A)P(A1+A3)·P(A2)097×080776
(3)图丙接法求P（A）第三种算法
A（A2+A3）A1A2A1+A3A1∵A2A1A3A1彼互斥容斥原理P（A）P（A1A2）+P（A1A3）–P（A1A2A3）A1A2A3相互独立P（A1·A2）P（A1）P（A2）08×07056
P(A3A1)P(A3)·P(A1)09×07063
P(A1A2A3)P(A1)·P(A2)·P(A3)07×08×090504
∴P(A)056+063–05040686
综合（1）（2）（3）图甲乙丙三种接法电路发生障概率值分084607760686
图甲接法电路发生障概率
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高考中探索性问题考查学生探索解题途径解决非传统完备问题力命题者根学科特点数学知识机结合赋予新情境创设成求考生观察分析创造性运学知识方法解决问题
●难点磁场
1（★★★★）已知三量abc中两间夹角120°｜a｜3
｜b｜2｜c｜1abc表示
2（★★★★★）假设架飞机引擎飞行中障率1–p引擎否障独立少50引擎正常运行飞机成功飞行p言4引擎飞机2引擎飞机更安全？
●案例探究
［例1］已知函数(ac∈Ra＞0b然数）奇函数f(x)值f(1)＞
（1）求函数f(x)解析式
（2）否存直线lyf(x)图象交PQ两点PQ两点关点（10）称存求出直线l方程存说明理
命题意图：题考查定系数法求函数解析式值问题直线方程综合分析问题力属★★★★★级题目
知识托：函数奇偶性重等式求值方程等式解法称问题
错解分析：ab间等量关系等关系联立求b忽视b然数导致求出b具体值PQ两点坐标关系列出解
技巧方法：充分利题设条件解题关键题存型探索题目注意假设存条件推理创新导出矛盾否定假设否出肯定结加证
解：（1）∵f(x)奇函数
∴f(–x)–f(x)
∴–bx+c–bx–c
∴c0
∴f(x)
a＞0b然数x≤0时f(x)≤0
x＞0时f(x)＞0
∴f(x)值x＞0时取
∴x＞0时
仅
时f(x)值
∴1∴ab2 ①
f(1)＞∴＞∴5b＞2a+2 ②
①代入②2b2–5b+2＜0解＜b＜2
b∈N∴b1a1∴f(x)
（2）设存直线lyf(x)图象交PQ两点PQ关点（10）称
P(x0y0)Q（2–x0–y0)∴消y0x02–2x0–10
解x01±
∴P点坐标()()进相应Q点坐标Q（）
Q()
PQ直线l方程：x–4y–10求
［例2］图三条直线abc两两行直线ab间距离p直线bc间距离AB直线a两定点｜AB｜2pMN直线b滑动长度2p线段
（1）建立适面直角坐标系求△AMN外心C轨迹E
（2）接问△AMN外心CE什位置时d+｜BC｜值少？（中d外心C直线c距离）
命题意图：题考查轨迹方程求法抛物线性质数形结合思想分析探索问题综合解题力属★★★★★级题目
知识托：求曲线方程抛物线性质直线方程
错解分析：①建立恰直角坐标系解决题关键建系难点②第二问中确定C点位置需番分析
技巧方法：题运抛物线性质寻求点C位置然加证计算出正确结条件探索型题目
解：（1）直线bx轴A点b直线垂直直线y轴建立直角坐标系
设△AMN外心C(xy)A(0p)M（x–p0)N(x+p0)
题意｜CA｜｜CM｜
∴化简
x22py
原点顶点y轴称轴开口抛物线
（2）（1）直线C恰轨迹E准线
抛物线定义知d｜CF｜中F（0）抛物线焦点
∴d+｜BC｜｜CF｜+｜BC｜
两点间直线段短知线段BF轨迹E交点求点
直线BF方程联立方程组
C点坐标()
时d+｜BC｜值｜BF｜
●锦囊妙计
果数学问题作条件方法结四素组成系统四素中两未知数学问题称探索性问题条件完备结确定探索性问题基特征
解决探索性问题观察联想类猜测抽象概括诸方面较高求高考题中般类问题方法：（1）直接求解（2）观察——猜测——证明（3）赋值推断（4）数形结合（5）联想类（6）特殊——般——特殊
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）已知直线l⊥面α直线m面β面四命题中正确命题( )
①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β
A①② B①③ C②④ D③④
2（★★★★）某邮局060元080元110元三种邮票现邮资750元邮件件粘贴邮票张数少资费恰750元少购买邮票( )
A7张 B8张 C9张 D10张
二填空题
3(★★★★)观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°sin215°+cos245°+sin15°
·cos45°写出两式规律相等式
三解答题
4（★★★★）四棱锥P—ABCD中侧棱PA⊥底面ABCD底面ABCD矩形问底面边BC否存点E（1）
∠PED90°（2）∠PED锐角证明结
5（★★★★★）已知非零复数z1z2满足｜z1｜a｜z2｜b｜z1+z2｜c（abc均零）问否根述条件求出？请说明理
6（★★★★★）否存2实数ab(a＞b)ab a–ba+b某次序排成等数列存求出ab值存说明理
7（★★★★★）直线l抛物线y22px(p＞0）焦点抛物线两交点抛物线外两点AB直线l否分线段AB？试证明结
8（★★★★★）三元件T1T2T3正常工作概率分070809某两联第三串联接入电路图甲乙丙示问种接法电路发生障概率？
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：图–abc夹角60°|a||–a|3
行四边形关系–a3c+b∴a–3c–b
答案：a–3c–b
2解析：飞机成功飞行概率分：4引擎飞机：
2引擎飞机
4引擎飞机2引擎飞机安全：
6P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2解P≥
引擎出障概率时4引擎飞机2引擎飞机安全
●歼灭难点训练
1解析：①l⊥αα∥βl⊥βmβl⊥m
②α⊥βl⊥αl∥β推出l∥m
③l∥ml⊥αm⊥αmβα⊥β
④l⊥m推出α∥β
答案：B
2解析：选11元5张06元2张08元1张8张
答案：B
二3解析：50°–20°(45°–15°)30°
sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
三4解：(1)AB≤AD时边BC存点E∠PED90°AB>AD时∠PED90°点E存（须AD直径作圆该圆否BC边交点）（证略）
（2）边BC总存点∠PED锐角点B中点
连接BD作AF⊥BD垂足F连PF∵PA⊥面ABCD∴PF⊥BD△ABD直角三角形∴F点BD∴∠PBF锐角
理点C中点
5解：∵|z1+z2|2(z1+z2)(+)|z1|2+|z2|2+(z1+z2)
∴c2a2+b2+(z1+z2)
：z1+z2c2–a2–b2
∵z1≠0z2≠0∴z1+·z2 |z2|2()+|z1|2()
：b2()+a2()z1z2+z1z2
∴b2()+a2()c2–a2–b2
∴a2()2+(a2+b2–c2)()+b20
关元二次方程解方程值
6解：∵a>ba>2b>2∴aba–ba+b均正数ab>a+b>ab>a+b>a–b
假设存实数ababa+ba–b某次序排成等数列数列必单调数列妨设该数列单调减数列存等数列两种情形①aba+b
a–b②aba+ba–b（a+b）2≠ab·②等数列①等数列：
检验知aba+ba–b成等数列惟组值a7+b时aba+ba–b成等数列
7解：果直线l垂直分线段AB连AFBF∵F（0）∈l∴|FA||FB|设
A（x1y1）B(x2y2)显然x1>0x2>0y1≠y2（x1–）2+y12(x2–)2+y22整理：（x1+x2–p)(x1–x2)y22–y12–2p(x1–x2)显然x1≠x2(否AB⊥x轴lx轴重合题设矛盾）：x1+x2–p–2px1+x2–p<0x1+x2>0矛盾直线l垂直分线段AB
8解：设元件T1T2T3正常工作事件A1A2A3电路发生障事件AP（A1）07P（A2）08P（A3）09
（1）图甲接法求P（A）：A（A1+A2）·A3A1+A2A3相互独立P（A）P（A1+A2）·P（A3）
P（A1+A2）1–P（）1–P（·）A1A2相互独立知相互独立：P（·）P（）·P（）［1–P（A1）］·［1–P（A2）］（1–07）×(1–08)006∴P(A1+A2)01–P(·)1–006094
∴P(A)094×090846
(2)图乙接法求P（A）：A（A1+A3）·A2A1+A3A2相互独立P（A）P（A1+A3）·
P（A2）种算法求P（A1+A3）∵A1A3彼互斥根容斥原理P（A1+A3）
P（A1）+P（A3）–P（A1A3）∵A1A3相互独立P（A1·A3）P（A1）·P（A3）07×09063P(A1+A3)07+09–063097∴P(A)P(A1+A3)·P(A2)097×080776
(3)图丙接法求P（A）第三种算法
A（A2+A3）A1A2A1+A3A1∵A2A1A3A1彼互斥容斥原理P（A）P（A1A2）+P（A1A3）–P（A1A2A3）A1A2A3相互独立P（A1·A2）P（A1）P（A2）08×07056
P(A3A1)P(A3)·P(A1)09×07063
P(A1A2A3)P(A1)·P(A2)·P(A3)07×08×090504
∴P(A)056+063–05040686
综合（1）（2）（3）图甲乙丙三种接法电路发生障概率值分084607760686
图甲接法电路发生障概率
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