第章 函数极限连续
§11 函数
容
㈠ 函数概念
1 函数定义 yf(x) x∈D
定义域 D(f) 值域 Z(f)
2分段函数
3隐函数 F(xy) 0
4反函数 yf(x) → xφ(y)f1(y)
yf1 (x)
定理果函数 yf(x) D(f)X Z(f)Y
严格单调增加(减少)
必定存反函数：
yf1(x) D(f1)Y Z(f1)X
严格单调增加(减少)
㈡ 函数特性
1函数单调性 yf(x)x∈Dx1x2∈D
x1＜x2时f(x1)≤f(x2)
称f(x)D单调增加( )
f(x1)≥f(x2)
称f(x)D单调减少( )
f(x1)＜f(x2)
称f(x)D严格单调增加( )
f(x1)＞f(x2)
称f(x)D严格单调减少( )
2函数奇偶性：D(f)关原点称
偶函数：f(x)f(x)
奇函数：f(x)f(x)
3函数周期性：
周期函数：f(x+T)f(x) x∈(∞+∞)
周期：T——正数
4函数界性： |f(x)|≤M x∈(ab)
㈢ 基初等函数
1常数函数： yc (c常数)
2幂函数： yxn (n实数)
3指数函数： yax (a＞0a≠1)
4数函数： yloga x (a＞0a≠1)
5三角函数： ysin x ycon x
ytan x ycot x
ysec x ycsc x
6反三角函数：yarcsin x yarccon x
yarctan x yarccot x
㈣ 复合函数初等函数
1复合函数： yf(u) uφ(x)
yf[φ(x)] x∈X
2初等函数
基初等函数限次四运算（加减）复合构成数学式子表示函数
§12 极 限
容
㈠极限概念
1 数列极限
称数列常数A极限
称数列收敛A
定理 极限存必定界
2函数极限：
⑴时极限：
⑵时极限：
左极限：
右极限：
⑶函数极限存充条件：
定理：
㈡ 穷量穷量
1穷量：
称该变化程中穷量
X某变化程指：
2穷量：
称该变化程中穷量
3穷量穷量关系：
定理：
4穷量较：
⑴称βα较高阶穷量
⑵ （c常数）称βα阶穷量
⑶称βα等价穷量记作：β～α
⑷称βα较低阶穷量
定理：：
：
㈢两面夹定理
1． 数列极限存判定准：
设： （n123…）
：
：
2． 函数极限存判定准：
设：点x0某邻域切点
（点x0外）：
：
：
㈣极限运算规
：
：①
②
③
推：①
②
③
㈤两重极限
1．
2．
§13 连续
容
㈠ 函数连续性
1 函数处连续：邻域定义
1o
2o
左连续：
右连续：
2 函数处连续必条件：
定理：处连续处极限存
3 函数处连续充条件：
定理：
4 函数连续：
点连续
端点连续指：
左端点右连续
右端点左连续
a+ 0 b x
5 函数间断点：
处连续间断点
间断点三种情况：
1o处定义
2o存
3o处定义存
两类间断点判断：
1o第类间断点：
特点：存
间断点：存
处定义
2o第二类间断点：
特点：少∞
振荡存
穷间断点：少∞
㈡函数处连续性质
1 连续函数四运算：
设
1o
2o
3o
2 复合函数连续性：
：
3 反函数连续性：
㈢函数连续性质
1值值定理：
连续定存值值
y y
+M M
f(x) f(x)
0 a b x
m
M
0 a b x
a) 界定理：
连续定界
3介值定理：
连续少存点
：
中：
y y
M
f(x)
C f(x)
0 a ξ b x
m
0 a ξ1 ξ2 b x
推：
连续异号少存点：
b) 初等函数连续性：
初等函数定域区间连续
第二章 元函数微分学
§21 导数微分
容
㈠导数概念
1．导数：某邻域定义
2．左导数：
右导数：
定理：左（右）邻域连续
导极限存
：
（：）
3函数导必条件：
定理：处导处连续
4 函数导充条件：
定理：存
存
5导函数：
处处导 y
6导数性质：
曲线点
处切线斜率 o x0 x
㈡求导法
1基求导公式：
2导数四运算：
1o
2o
3o
3复合函数导数：
☆注意区：
表示复合函数变量求导
表示复合函数中间变量求导
4高阶导数：
函数n阶导数等n1导数导数
㈢微分概念
1微分：某邻域定义
中：关较高
阶穷量：
称处微记作：
2导数微分等价关系：
定理： 处微处导
：
3微分形式变性：
u变量中间变量函数
微分具相形式
§22 中值定理导数应
容
㈠中值定理
1罗尔定理 满足条件
y
a o ξ b x a o ξ b x
2拉格朗日定理：满足条件
㈡罗必塔法：（ 型未定式）
定理：满足条件：
1o
2o点a某邻域导
3o
：
☆注意：1o法意义：函数极限化成导数极限
2o满足法条件法
型型时求导
3o应法时分分子分母
求导整分式求导
4o满足法条件
继续法：
5o函数型采代数变
形化成型型
采数指数变形化成型
㈢导数应
1． 切线方程法线方程：
设：
切线方程：
法线方程：
2． 曲线单调性：
⑴
3函数极值：
⑴极值定义：
设定义点
某邻域意点：
称极值（极值）
称极值点（极值点）
⑵极值存必条件：
定理：
称驻点
⑶极值存充分条件：
定理：
渐增通时（+）变（）
极值
渐增通时（）变（+）极值
定理二：
极值
极值
☆注意：驻点定极值点极值点定驻点
4．曲线凹拐点：
⑴凹（凹）（∪）
⑵ 凹（凸）（∩）
⑶
5曲线渐线：
⑴水渐线：
⑵铅直渐线：
第三章 元函数积分学
§31 定积分
容
㈠重概念性质：
1．原函数：设：
：
称原函数
称原函数
中C意常数
2．定积分：
函数原函数全体
称函数定积分记作：
中：称积函数
称积表达式
称积分变量
3 定积分性质：
⑴
：
⑵
：
⑶
—分项积分法
⑷ (k非零常数)
4基积分公式：
㈡换元积分法：
⒈第换元法：（称凑微元法）
常凑微元函数：
1o
2o
3o
4o
5o
6o
2第二换元法：
第二换元法针含根式积函数
作根式理化
般种代换：
1o
(积函数中时)
2o
(积函数中时)
3o
(积函数中时)
4o
(积函数中时)
㈢分部积分法：
1 分部积分公式：
2分部积分法针类型：
⑴
⑵
⑷
⑷
⑸
中： （项式）
3选u规律：
⑴三角函数项式中令
余记作dv简称三选
⑵指数函数项式中令
余记作dv简称指选
⑶项式数函数中令
余记作dv简称选
⑷项式反三角函数中选反三角函数
u余记作dv简称反选反
⑸指数函数三角函数中选函数
u余记作dv简称指三选
㈣简单理函数积分：
1 理函数：
中项式
2 简单理函数：
⑴
⑵
⑶
§32定积分 f(x)
． 容
（）重概念性质
1 定积分定义： O a x1 x2 xi1 ξi xi xn1 b x
定积分含四步：分割似求取极限
定积分意义：介x轴曲线yf(x)
直线xaxb间部分面积代数
x轴方面积取正号 y
x 轴方面积取负号 + +
a 0 b x
2 定积分存定理：
：f(x)满足列条件
积分存积分值素关：
3 牛顿——莱布尼兹公式：
牛顿——莱布尼兹公式积分学中核心定理作求曲边面积值问题转化寻找原函数计算差量问题
4 原函数存定理：
5 定积分性质：
y y y
f(x) g(x)
1
f(x)
0 a c b x 0 a b x 0 a b x
y y
M f(x) f(x)
m
0 a b x 0 a ξ b x
（二）定积分计算：
1 换元积分
2 分部积分
3 广义积分
4 定积分导数公式
(三)定积分应
1 面图形面积
x轴围成图形面积 y f(x)
① 求出曲线交点画出草图
② 确定积分变量交点确定积分限
③ 应公式写出积分式进行计算
2 旋转体体积
x轴围图形绕x轴旋转旋转体体积：
0 a b x
y轴围成图形绕y轴旋转旋转体体积：
第四章 元函数微积分初步
§41 偏导数全微分
容：
㈠ 元函数概念
c) 二元函数定义：
d) 二元函数意义：
二元函数空间曲面（元函数面曲线）
㈡ 二元函数极限连续：
1 极限定义：设zf(xy)满足条件：
2 连续定义：设zf(xy)满足条件：
㈢偏导数：
㈣全微分：
1定义：zf(xy)
点(xy)处全微分
3 全微分偏导数关系
㈤复全函数偏导数：
1
2
㈥隐含数偏导数：
1
2
㈦二阶偏导数：
㈧二元函数条件极值
1 二元函数极值定义：
极值极值统称极值
极值点极值点统称极值点
2极值必条件：
两阶偏导数存：
★
非充分条件
例：
∴驻点定极值点
e) 极值充分条件：
求二元极值方法：
极值点
二倍角公式：(含万公式)
①
②
③ ④ ⑤
第五章排列组合
（1）加法原理：完成件事情分类关类独立完成事完成
（2）法原理：完成件事情步骤关次完成步骤事完成
排列：n元素里取元素定序排列成列称n元素里取出m元素排列计算公式：
组合：n元素里取元素组成组做n元素里取出m元素组合组合总数记计算公式：
第六章概率
符号
概率
集合
样空间
全集
事件
空集
基事件
集合元素
A
事件
子集
A立事件
A余集
事件A发生导致
事件B发生
AB子集
AB
AB两事件相等
集合AB相等
事件A事件B
少发生
AB集
事件A事件B时发生
AB交集
AB
事件A发生事件B发生
AB差集
事件A事件B互相容
AB没相元素
机事件样空间中某集合表示事件间关系运算集合知识讨表示直观集合韦恩图表示事件种关系运算法般某矩形区域表示样空间该区域子区域表示某事件事件关系运算图中图示示
事件关系运算图示：
9完备事件组
n事件果满足列条件：
（1）
（2）
称完备事件组
显然事件A立事件构成完备事件组
10事件运算运算规：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
（4）偶律
率古典定义
定义：古典概型中样空间包含基事件总数n事件A包含基事件数m事件A发生概率
概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1
特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
条件概率法公式事件独立性
条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
类似果P(A)>0事件B事件A条件概率
概率法公式
法公式推广限事件情况例事件ABC
事件独立性
般说 P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生影响事件A发生概率P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生概率意义事件A发生关时称事件AB相互独立
定义：事件ABP(AB)P(A)P(B) 称事件A事件B相互独立独立试验序列概型
相条件独立重复进行n次试验次试验中事件A发生发生事件A发生概率pn次试验中事件A恰发生k次概率
维机变量概率分布
（）机变量
1机变量
定义：设Ω样空间果结果变量X确定实数值应称X定义Ω机变量简记作
2离散型机变量
定义：果机变量X取限限列数值称X离散型机变量
（二）分布函数概率分布
1分布函数
定义：设X机变量x意实数函数称机变量X分布函数
分布函数F(x)性质：
（2）F(x)x减函数意
（4）F(x)右连续
（5）意实数a＜bP{a＜X≤b}F(b)F(a)
2离散型机变量概率分布
称式离散型机变量X概率分布（概率函数分布列）
离散型机变量X概率分布列列表形式表示：
3分布函数概率分布间关系
X离散型机变量
机变量数字特征
1数学期
（1）数学期概念
定义：设X离散型机变量概率函数
级数绝收敛称X数学期简称期均值记作EX
（2）数学期性质
①C常数E(C)C
②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b
④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
2方差
（1）方差概念
定义：设X机变量果存称X方差记作DX
方差算术方根称均方差标准差
离散型机变量X果X概率函数
X方差
（2）方差性质
①C常数D(C)0
②a常数
③b常数D(X+b)D(X)
④
基公式
（1）数性质：
①负数零没数②1数零③底数数等1
（2）数运算法：
①
②
③
④
3数换底公式：
换底公式推出常结：
（1）
（2）
（3）
（4）
三角函数单调区间：
递增区间
递减区间
递增区间
递减区间
递增区间
1数列极限存准
定理13（两面夹准）数列{xn}{yn}{zn}满足条件：
（1） （2）
定理14 数列{xn}单调界必极限
2数列极限四运算定理
（1）
（2） （3）时
3x→x0时函数f（x）极限等A必充分条件
说：果x→x0时函数f（x）极限等A必定左右极限等A
反果左右极限等A必
4函数极限定理
定理17 （惟性定理）果存极限值必定惟
定理18 （两面夹定理）设函数点某邻域（外）满足条件：
（1）（2）
推 ：（1）
（2） （3）
5穷量基性质
性质1 限穷量代数穷量
性质2 界函数（变量）穷量积穷量特常量穷量积穷量
性质3 限穷量积穷量
性质4 穷量极限零变量商穷量
6等价穷量代换定理：
果时均穷量存
7重极限Ⅰ
8 重极限Ⅱ指面公式：
9 （2） （3）
（4）
10函数点处连续性质
函数连续性通极限定义极限运算法列连续函数性质
定理112 （四运算）设函数f（x）g（x）x0处均连续
（1）f（x）±g（x） x0处连续 （2）f（x）·g（x）x0处连续
（3）g（x0）≠0x0处连续
定理113 （复合函数连续性）设函数ug（x）x x0处连续yf（u）u0g（x0）处连续复合函数yf[g（x）]x x0处连续
定理114 （反函数连续性）设函数yf（x）某区间连续严格单调增加（严格单调减少）反函数xf1（y）应区间连续严格单调增加（严格单调减少）
闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
11闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
12推（零点定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（a）f（b）异号[ab]少存点ξ
f（ξ）0
13初等函数连续性
定理118 初等函数定义区间连续
利初等函数连续性结知：果f（x）初等函数x0定义区间点
f（x）x0处连续
说求初等函数定义区间某点处极限值算出函数该点函数值
14导连续关系
定理21 果函数yf（x）点x0处导x0处必定连续
15定理知：函数f（x）x0连续f（x）x0处必定导
16导数计算
1基初等函数导数公式
（1）（C）＇0 （2）（xμ）＇μxμ1 （3）（4）
（5）（ax）＇axlna（a＞0a≠1） （6）（ex）＇ex
（7）（8）
（9）（sinx）＇cosx （10）（cosx）＇ sinx
（11）（12）
（13）（secx）＇secx·tanx （14）（cscx）＇ cscx·cotx
（15）（16）
（17）（18）
2导数四运算法
设uu（x）vv（x）均x导函数
（1）（u±v）＇u＇±v＇
（2）（u·v）＇u＇·v+u·v＇
（3）（cu）＇c·u＇
（4）
（5）
（6）（u·v·w）＇u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇
3 复合函数求导法
果uφ（x）点x处导yf（u）相应点uφ（x）处导复合函数yf[φ（x）]点x处导导数
理果yf（u）uφ（v）vψ（x）复合函数yf[φ（ψ（x））]导数
4反函数求导法
果xφ（y）单调导函数反函数yf（x）导数
17微分计算
dyf′(x)dx
求微分dy求出导数f′(x)dx前面学求导基公式求导法完全适微分计算列微分公式微分法：
（1）d（c）0（c常数）
（2）（意实数）
（6）d（ex）exdx
（7）d（sin x）cos xdx
（8）d（cos x）sin xdx
（17）d（c·u）cdu
18微分形式变性
设函数yf(u)u变量中间变量函数微分dy总表示
dyf′(u)du
19常凑微分公式：
1）
② ③
④⑤ ⑥
① ②③ ④⑤
⑥ ⑦
20常换元类型：
积函数类型
代换
代换名称
正弦代换
正切代换
根式代换
21定积分基性质
（1）（k常数）
（2）
（3）
（4）果f（x）区间[a b]总f（x）≤g（x）
（5）
（6）设Mm分f（x）区间[a b]值值
（7）积分中值定理 果f（x）区间[a b]连续区间[a b]少存点
22变限定积分求导定理
1变限定积分定义 定义 积分限x变量时定积分称变限定积分变限定积分积分限x函数记作般
2变限定积分求导定理
定理 果函数f（x）区间[a b]连续
推 ① ②
③
23计算定积分
1牛顿——莱布尼茨公式
果f(x)区间[ab]连续
推： (1)f(x)奇函数
(2)f(x)偶函数
2定积分分部积分法
24定积分应
1计算面图形面积
(1)X型：曲线yf(x)yg(x)(f(x)≥g(x))直线xaxb(a≤b)围成面图形面积A
(2)Y型：曲线直线ycyd(c≤d)围成面图形面积A
2旋转体体积
(1)X型 连续曲线yf(x)(f(x)≥0)直线xaxb(a (2)Y型 连续曲线直线ycyd(c25全微分
26二元隐函数
设三元方程F(xyz)0确定隐函数zz(xy)果F(xyz)xyz存连续偏导数zxy偏导数
27概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
28 条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
29概率法公式
30（1）数学期性质
①C常数E(C)C ②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b ④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
（2）方差性质
①C常数D(C)0②a常数
③b常数D(X+b)D(X) ④
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§11 函数
容
㈠ 函数概念
1 函数定义 yf(x) x∈D
定义域 D(f) 值域 Z(f)
2分段函数
3隐函数 F(xy) 0
4反函数 yf(x) → xφ(y)f1(y)
yf1 (x)
定理果函数 yf(x) D(f)X Z(f)Y
严格单调增加(减少)
必定存反函数：
yf1(x) D(f1)Y Z(f1)X
严格单调增加(减少)
㈡ 函数特性
1函数单调性 yf(x)x∈Dx1x2∈D
x1＜x2时f(x1)≤f(x2)
称f(x)D单调增加( )
f(x1)≥f(x2)
称f(x)D单调减少( )
f(x1)＜f(x2)
称f(x)D严格单调增加( )
f(x1)＞f(x2)
称f(x)D严格单调减少( )
2函数奇偶性：D(f)关原点称
偶函数：f(x)f(x)
奇函数：f(x)f(x)
3函数周期性：
周期函数：f(x+T)f(x) x∈(∞+∞)
周期：T——正数
4函数界性： |f(x)|≤M x∈(ab)
㈢ 基初等函数
1常数函数： yc (c常数)
2幂函数： yxn (n实数)
3指数函数： yax (a＞0a≠1)
4数函数： yloga x (a＞0a≠1)
5三角函数： ysin x ycon x
ytan x ycot x
ysec x ycsc x
6反三角函数：yarcsin x yarccon x
yarctan x yarccot x
㈣ 复合函数初等函数
1复合函数： yf(u) uφ(x)
yf[φ(x)] x∈X
2初等函数
基初等函数限次四运算（加减）复合构成数学式子表示函数
§12 极 限
容
㈠极限概念
1 数列极限
称数列常数A极限
称数列收敛A
定理 极限存必定界
2函数极限：
⑴时极限：
⑵时极限：
左极限：
右极限：
⑶函数极限存充条件：
定理：
㈡ 穷量穷量
1穷量：
称该变化程中穷量
X某变化程指：
2穷量：
称该变化程中穷量
3穷量穷量关系：
定理：
4穷量较：
⑴称βα较高阶穷量
⑵ （c常数）称βα阶穷量
⑶称βα等价穷量记作：β～α
⑷称βα较低阶穷量
定理：：
：
㈢两面夹定理
1． 数列极限存判定准：
设： （n123…）
：
：
2． 函数极限存判定准：
设：点x0某邻域切点
（点x0外）：
：
：
㈣极限运算规
：
：①
②
③
推：①
②
③
㈤两重极限
1．
2．
§13 连续
容
㈠ 函数连续性
1 函数处连续：邻域定义
1o
2o
左连续：
右连续：
2 函数处连续必条件：
定理：处连续处极限存
3 函数处连续充条件：
定理：
4 函数连续：
点连续
端点连续指：
左端点右连续
右端点左连续
a+ 0 b x
5 函数间断点：
处连续间断点
间断点三种情况：
1o处定义
2o存
3o处定义存
两类间断点判断：
1o第类间断点：
特点：存
间断点：存
处定义
2o第二类间断点：
特点：少∞
振荡存
穷间断点：少∞
㈡函数处连续性质
1 连续函数四运算：
设
1o
2o
3o
2 复合函数连续性：
：
3 反函数连续性：
㈢函数连续性质
1值值定理：
连续定存值值
y y
+M M
f(x) f(x)
0 a b x
m
M
0 a b x
a) 界定理：
连续定界
3介值定理：
连续少存点
：
中：
y y
M
f(x)
C f(x)
0 a ξ b x
m
0 a ξ1 ξ2 b x
推：
连续异号少存点：
b) 初等函数连续性：
初等函数定域区间连续
第二章 元函数微分学
§21 导数微分
容
㈠导数概念
1．导数：某邻域定义
2．左导数：
右导数：
定理：左（右）邻域连续
导极限存
：
（：）
3函数导必条件：
定理：处导处连续
4 函数导充条件：
定理：存
存
5导函数：
处处导 y
6导数性质：
曲线点
处切线斜率 o x0 x
㈡求导法
1基求导公式：
2导数四运算：
1o
2o
3o
3复合函数导数：
☆注意区：
表示复合函数变量求导
表示复合函数中间变量求导
4高阶导数：
函数n阶导数等n1导数导数
㈢微分概念
1微分：某邻域定义
中：关较高
阶穷量：
称处微记作：
2导数微分等价关系：
定理： 处微处导
：
3微分形式变性：
u变量中间变量函数
微分具相形式
§22 中值定理导数应
容
㈠中值定理
1罗尔定理 满足条件
y
a o ξ b x a o ξ b x
2拉格朗日定理：满足条件
㈡罗必塔法：（ 型未定式）
定理：满足条件：
1o
2o点a某邻域导
3o
：
☆注意：1o法意义：函数极限化成导数极限
2o满足法条件法
型型时求导
3o应法时分分子分母
求导整分式求导
4o满足法条件
继续法：
5o函数型采代数变
形化成型型
采数指数变形化成型
㈢导数应
1． 切线方程法线方程：
设：
切线方程：
法线方程：
2． 曲线单调性：
⑴
3函数极值：
⑴极值定义：
设定义点
某邻域意点：
称极值（极值）
称极值点（极值点）
⑵极值存必条件：
定理：
称驻点
⑶极值存充分条件：
定理：
渐增通时（+）变（）
极值
渐增通时（）变（+）极值
定理二：
极值
极值
☆注意：驻点定极值点极值点定驻点
4．曲线凹拐点：
⑴凹（凹）（∪）
⑵ 凹（凸）（∩）
⑶
5曲线渐线：
⑴水渐线：
⑵铅直渐线：
第三章 元函数积分学
§31 定积分
容
㈠重概念性质：
1．原函数：设：
：
称原函数
称原函数
中C意常数
2．定积分：
函数原函数全体
称函数定积分记作：
中：称积函数
称积表达式
称积分变量
3 定积分性质：
⑴
：
⑵
：
⑶
—分项积分法
⑷ (k非零常数)
4基积分公式：
㈡换元积分法：
⒈第换元法：（称凑微元法）
常凑微元函数：
1o
2o
3o
4o
5o
6o
2第二换元法：
第二换元法针含根式积函数
作根式理化
般种代换：
1o
(积函数中时)
2o
(积函数中时)
3o
(积函数中时)
4o
(积函数中时)
㈢分部积分法：
1 分部积分公式：
2分部积分法针类型：
⑴
⑵
⑷
⑷
⑸
中： （项式）
3选u规律：
⑴三角函数项式中令
余记作dv简称三选
⑵指数函数项式中令
余记作dv简称指选
⑶项式数函数中令
余记作dv简称选
⑷项式反三角函数中选反三角函数
u余记作dv简称反选反
⑸指数函数三角函数中选函数
u余记作dv简称指三选
㈣简单理函数积分：
1 理函数：
中项式
2 简单理函数：
⑴
⑵
⑶
§32定积分 f(x)
． 容
（）重概念性质
1 定积分定义： O a x1 x2 xi1 ξi xi xn1 b x
定积分含四步：分割似求取极限
定积分意义：介x轴曲线yf(x)
直线xaxb间部分面积代数
x轴方面积取正号 y
x 轴方面积取负号 + +
a 0 b x
2 定积分存定理：
：f(x)满足列条件
积分存积分值素关：
3 牛顿——莱布尼兹公式：
牛顿——莱布尼兹公式积分学中核心定理作求曲边面积值问题转化寻找原函数计算差量问题
4 原函数存定理：
5 定积分性质：
y y y
f(x) g(x)
1
f(x)
0 a c b x 0 a b x 0 a b x
y y
M f(x) f(x)
m
0 a b x 0 a ξ b x
（二）定积分计算：
1 换元积分
2 分部积分
3 广义积分
4 定积分导数公式
(三)定积分应
1 面图形面积
x轴围成图形面积 y f(x)
① 求出曲线交点画出草图
② 确定积分变量交点确定积分限
③ 应公式写出积分式进行计算
2 旋转体体积
x轴围图形绕x轴旋转旋转体体积：
0 a b x
y轴围成图形绕y轴旋转旋转体体积：
第四章 元函数微积分初步
§41 偏导数全微分
容：
㈠ 元函数概念
c) 二元函数定义：
d) 二元函数意义：
二元函数空间曲面（元函数面曲线）
㈡ 二元函数极限连续：
1 极限定义：设zf(xy)满足条件：
2 连续定义：设zf(xy)满足条件：
㈢偏导数：
㈣全微分：
1定义：zf(xy)
点(xy)处全微分
3 全微分偏导数关系
㈤复全函数偏导数：
1
2
㈥隐含数偏导数：
1
2
㈦二阶偏导数：
㈧二元函数条件极值
1 二元函数极值定义：
极值极值统称极值
极值点极值点统称极值点
2极值必条件：
两阶偏导数存：
★
非充分条件
例：
∴驻点定极值点
e) 极值充分条件：
求二元极值方法：
极值点
二倍角公式：(含万公式)
①
②
③ ④ ⑤
第五章排列组合
（1）加法原理：完成件事情分类关类独立完成事完成
（2）法原理：完成件事情步骤关次完成步骤事完成
排列：n元素里取元素定序排列成列称n元素里取出m元素排列计算公式：
组合：n元素里取元素组成组做n元素里取出m元素组合组合总数记计算公式：
第六章概率
符号
概率
集合
样空间
全集
事件
空集
基事件
集合元素
A
事件
子集
A立事件
A余集
事件A发生导致
事件B发生
AB子集
AB
AB两事件相等
集合AB相等
事件A事件B
少发生
AB集
事件A事件B时发生
AB交集
AB
事件A发生事件B发生
AB差集
事件A事件B互相容
AB没相元素
机事件样空间中某集合表示事件间关系运算集合知识讨表示直观集合韦恩图表示事件种关系运算法般某矩形区域表示样空间该区域子区域表示某事件事件关系运算图中图示示
事件关系运算图示：
9完备事件组
n事件果满足列条件：
（1）
（2）
称完备事件组
显然事件A立事件构成完备事件组
10事件运算运算规：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
（4）偶律
率古典定义
定义：古典概型中样空间包含基事件总数n事件A包含基事件数m事件A发生概率
概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1
特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
条件概率法公式事件独立性
条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
类似果P(A)>0事件B事件A条件概率
概率法公式
法公式推广限事件情况例事件ABC
事件独立性
般说 P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生影响事件A发生概率P(A︱B)≠P(A)说明事件B发生概率意义事件A发生关时称事件AB相互独立
定义：事件ABP(AB)P(A)P(B) 称事件A事件B相互独立独立试验序列概型
相条件独立重复进行n次试验次试验中事件A发生发生事件A发生概率pn次试验中事件A恰发生k次概率
维机变量概率分布
（）机变量
1机变量
定义：设Ω样空间果结果变量X确定实数值应称X定义Ω机变量简记作
2离散型机变量
定义：果机变量X取限限列数值称X离散型机变量
（二）分布函数概率分布
1分布函数
定义：设X机变量x意实数函数称机变量X分布函数
分布函数F(x)性质：
（2）F(x)x减函数意
（4）F(x)右连续
（5）意实数a＜bP{a＜X≤b}F(b)F(a)
2离散型机变量概率分布
称式离散型机变量X概率分布（概率函数分布列）
离散型机变量X概率分布列列表形式表示：
3分布函数概率分布间关系
X离散型机变量
机变量数字特征
1数学期
（1）数学期概念
定义：设X离散型机变量概率函数
级数绝收敛称X数学期简称期均值记作EX
（2）数学期性质
①C常数E(C)C
②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b
④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
2方差
（1）方差概念
定义：设X机变量果存称X方差记作DX
方差算术方根称均方差标准差
离散型机变量X果X概率函数
X方差
（2）方差性质
①C常数D(C)0
②a常数
③b常数D(X+b)D(X)
④
基公式
（1）数性质：
①负数零没数②1数零③底数数等1
（2）数运算法：
①
②
③
④
3数换底公式：
换底公式推出常结：
（1）
（2）
（3）
（4）
三角函数单调区间：
递增区间
递减区间
递增区间
递减区间
递增区间
1数列极限存准
定理13（两面夹准）数列{xn}{yn}{zn}满足条件：
（1） （2）
定理14 数列{xn}单调界必极限
2数列极限四运算定理
（1）
（2） （3）时
3x→x0时函数f（x）极限等A必充分条件
说：果x→x0时函数f（x）极限等A必定左右极限等A
反果左右极限等A必
4函数极限定理
定理17 （惟性定理）果存极限值必定惟
定理18 （两面夹定理）设函数点某邻域（外）满足条件：
（1）（2）
推 ：（1）
（2） （3）
5穷量基性质
性质1 限穷量代数穷量
性质2 界函数（变量）穷量积穷量特常量穷量积穷量
性质3 限穷量积穷量
性质4 穷量极限零变量商穷量
6等价穷量代换定理：
果时均穷量存
7重极限Ⅰ
8 重极限Ⅱ指面公式：
9 （2） （3）
（4）
10函数点处连续性质
函数连续性通极限定义极限运算法列连续函数性质
定理112 （四运算）设函数f（x）g（x）x0处均连续
（1）f（x）±g（x） x0处连续 （2）f（x）·g（x）x0处连续
（3）g（x0）≠0x0处连续
定理113 （复合函数连续性）设函数ug（x）x x0处连续yf（u）u0g（x0）处连续复合函数yf[g（x）]x x0处连续
定理114 （反函数连续性）设函数yf（x）某区间连续严格单调增加（严格单调减少）反函数xf1（y）应区间连续严格单调增加（严格单调减少）
闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
11闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f（x）基性质性质
定理115 （界性定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（x）必[ab]界
定理116 （值值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续区间定存值值
定理117 （介值定理）果函数f（x）闭区间[ab]连续值值分Mm介mM间实数C[ab]少存ξ
f（ξ）C
12推（零点定理） 果函数f（x）闭区间[ab]连续f（a）f（b）异号[ab]少存点ξ
f（ξ）0
13初等函数连续性
定理118 初等函数定义区间连续
利初等函数连续性结知：果f（x）初等函数x0定义区间点
f（x）x0处连续
说求初等函数定义区间某点处极限值算出函数该点函数值
14导连续关系
定理21 果函数yf（x）点x0处导x0处必定连续
15定理知：函数f（x）x0连续f（x）x0处必定导
16导数计算
1基初等函数导数公式
（1）（C）＇0 （2）（xμ）＇μxμ1 （3）（4）
（5）（ax）＇axlna（a＞0a≠1） （6）（ex）＇ex
（7）（8）
（9）（sinx）＇cosx （10）（cosx）＇ sinx
（11）（12）
（13）（secx）＇secx·tanx （14）（cscx）＇ cscx·cotx
（15）（16）
（17）（18）
2导数四运算法
设uu（x）vv（x）均x导函数
（1）（u±v）＇u＇±v＇
（2）（u·v）＇u＇·v+u·v＇
（3）（cu）＇c·u＇
（4）
（5）
（6）（u·v·w）＇u＇·v·w+u·v＇·w+u·v·w＇
3 复合函数求导法
果uφ（x）点x处导yf（u）相应点uφ（x）处导复合函数yf[φ（x）]点x处导导数
理果yf（u）uφ（v）vψ（x）复合函数yf[φ（ψ（x））]导数
4反函数求导法
果xφ（y）单调导函数反函数yf（x）导数
17微分计算
dyf′(x)dx
求微分dy求出导数f′(x)dx前面学求导基公式求导法完全适微分计算列微分公式微分法：
（1）d（c）0（c常数）
（2）（意实数）
（6）d（ex）exdx
（7）d（sin x）cos xdx
（8）d（cos x）sin xdx
（17）d（c·u）cdu
18微分形式变性
设函数yf(u)u变量中间变量函数微分dy总表示
dyf′(u)du
19常凑微分公式：
1）
② ③
④⑤ ⑥
① ②③ ④⑤
⑥ ⑦
20常换元类型：
积函数类型
代换
代换名称
正弦代换
正切代换
根式代换
21定积分基性质
（1）（k常数）
（2）
（3）
（4）果f（x）区间[a b]总f（x）≤g（x）
（5）
（6）设Mm分f（x）区间[a b]值值
（7）积分中值定理 果f（x）区间[a b]连续区间[a b]少存点
22变限定积分求导定理
1变限定积分定义 定义 积分限x变量时定积分称变限定积分变限定积分积分限x函数记作般
2变限定积分求导定理
定理 果函数f（x）区间[a b]连续
推 ① ②
③
23计算定积分
1牛顿——莱布尼茨公式
果f(x)区间[ab]连续
推： (1)f(x)奇函数
(2)f(x)偶函数
2定积分分部积分法
24定积分应
1计算面图形面积
(1)X型：曲线yf(x)yg(x)(f(x)≥g(x))直线xaxb(a≤b)围成面图形面积A
(2)Y型：曲线直线ycyd(c≤d)围成面图形面积A
2旋转体体积
(1)X型 连续曲线yf(x)(f(x)≥0)直线xaxb(a
26二元隐函数
设三元方程F(xyz)0确定隐函数zz(xy)果F(xyz)xyz存连续偏导数zxy偏导数
27概率基性质运算法
性质10≤P(A)≤1特P(Φ)0P(Ω)1
性质2P(BA)P(B)P(A)
性质3（加法公式）．意事件ABP(A∪B)P(A)+P(B)P(AB)
推1事件AB互相容（互斥）P(A+B)P(A)+P(B)
推2事件A
推3意事件ABCP(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
28 条件概率
定义1：设事件ABP(B)>0称
29概率法公式
30（1）数学期性质
①C常数E(C)C ②a常数E(aX)aE(X)
③b常数E(X+b)E(X)+b ④XY机变量E(X+Y)E(X)+E(Y)
（2）方差性质
①C常数D(C)0②a常数
③b常数D(X+b)D(X) ④
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