三角函数2

解三角形三角恒等变换题课
例3：（2009福建卷理）图某市拟长8km道路OP侧修建条运动赛道赛道前部分曲线段OSM该曲线段函数yAsinx(A>0 >0) x[04]图象图象高点S(32)赛道部分折线段MNP保证参赛运动员安全限定MNP120
（I）求A 值MP两点间距离
（II）应设计折线段赛道MNP长？
题考查三角函数图象性质解三角形等基础知识考查运算求解力应数学知识分析解决实际问题力考查化转化思想数形结合思想
解法
（Ⅰ）题意

（Ⅱ）△MNP中∠MNP120°MP5设∠PMN0°<<60°
正弦定理

0°<<60°30°时折线段赛道MNP长∠PMN设计30°时折线段道MNP长
解法二：（Ⅰ）解法
（Ⅱ）△MNP中∠MNP120°MP5余弦定理∠MNP

仅时折线段道MNP长
注：题第（Ⅱ）问答案呈现方式均唯解法解法二出两种设计方式设计：①②③点N线段MP垂直分线等
三巩固练
1 __________
2 中角边分满足面积________ 2
3 中已知值_______
4 函数值________ 8
点回顾：
1 三角函数综合问题分三类：类代数函数综合例2类三角函数部知识综合三角函数公式综合运例1类运三角函数知识解决实际应问题例3
2 处理三角函数综合问题基思想通常函数综合问题处理思想相似分解转化数形结合换元转化方程思想等 时注意身特点充分运三角函数间关系进行相互转化
3 代数函数样三角函数综合问题通常先研究函数性质运性质转化简化相应问题
测试：
1 已知函数图象直线两相邻交点间距离等单调递增区间_________
2 函数常数部分图象图示f(0)

3 已知角锐角取值范围_______
4 已知函数点函数图象值_________
5 （2011湖北）已知函数x取值范围________
6 已知函数值________
7 已知电流时间关系式
（1）图（）周期图象根图中数求解析式
（2）果意段时间电流取值值正整数值少？629


8 已知函数（中正常数）正周期
（1）求值
（2）中求
9 （2011江苏卷）△ABC中角ABC应边
（1） 求A值
（2）求值
10 设函数
（1）求函数值正周期
（2）设角边分锐角求
11 设函数值正周期
（1）求值函数单调区间
（2）10互相等正数满足（）求值
（3）指出该函数图象样移伸缩变换函数图象
12 （2011湖南）△ABC中角ABC边分abc满足c sinAacosC．
（1）求角C
（2）求sinAcos（B+）值求取值时角AB




两角差正切：
1 面直角坐标系中点角终边点角终边
（1）求值
（2） 求值
求值问题
1 形代数式化简？
例1：值_ _______
例2：中已知求值
2 问题中利两角差正切研究
例：圆两点点圆轴正半轴交点已知点劣弧正三角形求值
关键：转化两角差正切问题处理？
（角拆分：目标角已知角转化）
3 三角形中化简求值问题
法1：化切弦
法2：三角形中干恒等式：
例：已知
（1）求角
（2）时求值

已知求
1 量a＝(cos(α＋β)sin(α＋β))b＝(cos(α－β)sin(α－β))a＋b＝()．
（1）求tanα值
（2）求值．
解：（1）∵a＋b＝(cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαsinβ)
＝(2cosαcosβ2sinαcosβ)＝()∴2cosαcosβ＝2sinαcosβ＝∴tanα＝
（2）＝＝＝－
2 (2011年镇江调研) 等式cos(★)(1＋tan10°)＝1括号中填写锐角等式成立锐角________．
解析：∵1＋tan10°＝＝＝＝＝＝ ∴cos40°(1＋tan10°)＝1
答案：40°
2．已知tanx－＝tan2x＝________
解析：tanx－＝＝－
∴tan2x＝＝－
答案：－
3．满足sinsinx＋coscosx＝锐角x＝________
解析： sinsinx＋coscosx＝sinsinx－coscosx＝－cos(x＋)＝x＋＝x＝
答案：
4．(2011年盐城市调研)已知函数f(x)＝＋f()值________．
解析：f(x)＝＋＝＝
∴f()＝＝
答案：
6．已知f(α)＝α∈(0)f(α)取值时α值________．
解析：f(α)＝＝
＝＝＝sin2α
2α＝α＝时函数f(α)取值．
答案：

二倍角公式
1 求列式值：
（1）（2）
2 设第二象限角求值
3 已知求值
4 已知量
（1）求值
（2）求值
5 函数正周期__________
6 已知__________
7 已知__________
8 中已知角度数__________
9 已知实数m取值范围__________
10 求证：
11 已知函数
（1）求函数正周期
（2）求函数值应x取值
12．（1）求值
（2）求值
13 已知值________
14 已知值________
15 已知化简_________
16 已知值_________
17 已知角第______象限
18 求值：_________
19 已知求值
20 已知求证：

21 结合两角差倍角三角函数公式表示
22 图矩形纸片右角折起该角顶点落矩形左边折痕长度取决角探求间关系式导出表示函数表达式







23 2002年北京召开国际数学家会会标国古代数学家赵爽弦图基础设计．弦图四全等直角三角形正方形拼成正方形(右图)．果正方形面积1正方形面积25直角三角形中较锐角θcos 2θ值等________．答案：

正弦定理：
1 （2006江西高考）图已知△ABC边长1正三角形M N分边AB AC点线段MN△ABC中心G设ÐMGA＝a（）
（1）试△AGM △AGN面积（分记S1S2）表示a函数
（2）求y＝值值

3 中解三角形：
（1）
（2）
（3）
1 中角边分
2 中角边分
3 中角边分
探究：面例2中已知两边边角什解解两解？否利作图法作出三角形
研究三角形解数
（1）锐角三角形：时解时解时两解时解
（2）钝角三角形：时解时解
探究2：知道全等三角形判方法没呢？请问题发表法？
探究4：中
（1）出值三角形唯解？
（2）出值三角形两解？
（3）出值三角形解？
A
C
B
D
4 图ΔABC中∠A分线AD边BC相交点D求证：




思考题1：结改外角角分线结然成立？请说明理 成立
思考题2：图已知中求值
A
C
B
D




5 设外接圆半径面积利扩充正弦定理求证：
（1）
（2）
练：已知三角形面积外接圆面积三角形三边积______ 1
6 中求证：面积
练：已知三顶点求面积
7 船海西东航行处测某岛方位角北偏东角前进处测该岛方位角北偏东角已知该岛周围范围（包括边界）暗礁现该船继续东行试确定
满足条件船安全航行
8 中边角分形状_______
9 锐角中边角分取值范围______
变式：中取值范围________
10 中设 求
11 （2011安徽）中角边分
求边高

12 中角边分 面积_________
13 （2011辽宁）中角边分值_______
14 中已知
15 中已知形状_________ 等腰直角三角形
变式：中已知形状________
16 中已知取值范围_________
17 中已知形状________
18 证明三角形面积公式：
19 设角边长分值______>
20 中边长取值范围_______
21 中角角分线分成两段



余弦定理：
1 △ABC中已知∠BACαACbABc图建立直角坐标系利两点间距离公式计算BC2证明余弦定理

2 正弦定理证明余弦定理
3 已知三边分试求中角度数
变式：已知三边分求中角度数
解读：已知三角形三边利余弦定理解三角形
4 中已知求
解读：已知三角形两边夹角利余弦定理解三角形
5 中面积求
解读：已知三角形三边利余弦定理解三角形
6 余弦定理问题研究四：
探究1：余弦定理证明射影定理
探究2：中锐角时钝角时
直角时（进思考：逆命题成立？）
解读：判断角锐角钝角验证？
变式：设钝角三角形三边求实数取值范围
探究3：中已知求角度数
探究4：中已知求角度数
探究1：判断三角形形状
例1 中已知试判断该三角形形状
例2 中已知试判断该三角形形状
例3 中试判断该三角形形状
探究2：正余弦定理综合应
例1：中求
例2：中求：
（1）值（2）求值
例3：中角边长分
（1）面积求值
（2）试判断形状（注意讨）
探究3：中线长公式
例：已知种边中线求证：
分析：等式结构联想余弦定理寻找证明方法
变式：余弦定理证明：行四边形两条角线方等四边方
练1：中求边中线长
练2：（解三角形）边中线长2
探究4：圆接四边形问题
例：图已知圆接四边形ABCD中AB2BC6ADCD4求四边形ABCD面积？

探究4：应问题
例1：图炮兵阵位A处两观测分设CD已知△ACD边长等a正三角形目标出现B时测∠CDB45°∠BCD75°试求炮击目标距离AB

例2：图解某海域海底构造海面条直线ABC三点进行测量已知A处测水深B处测水深C处测水深求∠DEF余弦值
解：作交BEN交CFM．21世纪教育网


．　
中余弦定理

探究5：海伦公式秦九韶三斜求积公式
例1：已知三角形三边设求证：
（1）三角形面积
否该命题做推广？设圆接四边形四边长分设
该四边形面积
（2）三角形切圆半径
（3）边高分记


例2：求证：秦九韶求积公式：
练：
1 四边形中求长
2 已知钝角三角形三边分求实数取值范围
3 中角边分求证：（两种方法纳边角互化策略）
4 中角边分时角取值范围_______
5 中已知求长
6 四边形中已知求长
7 中已知三边长连续正整数角钝角
（1）求角余弦值
（2）求角角求角两边4行四边形面积
8 中已知证明：等边三角形
9 中已知三角形形状____________等腰直角
10 中外接圆半径
11 面积30角边分值________
__ 5







第五课时：综合应（1）
解三角形应题般步骤什？（数学建模思想）
（1）分析：理解题意分清已知条件未知条件画出示意图
（2）建模：根已知条件求解目标已知量求解量量集中关三角形中建立解斜三角形数学模型
（3）求解：利正弦定理余弦定理序解三角形求实际问题解
（4）检验：检验述求三角形否具实际意义出实际问题解
例1 （航行问题）图两条相交成60°角直路XX¢YY¢交点O甲乙分OXOY起初甲离O点3乙离O点1．甲XX¢方乙Y¢Y方时4速度步行．
乙
甲
O
Y
X
60°
X¢
Y¢

（1）起初两距离少？
（2）t 两距离少？
（3）什时候两距离短？



（1）余弦定理起初两距离．
（2）设t 两距离d(t)
时时
时时
．
（3）（）时两距离短．
例2 （航海问题）图示条海防警戒线点处水声监测点两点点距离分千米千米．某时刻收发静止目标声波信号8秒时接收该声波信号已知声波水中传播速度千米秒．
（1）设距离千米表示距离求值
（2）求海防警戒线距离．
解：（1）Z|题意 △PAB中AB20[

理△PAB中AC50

∵ ∴
解 (2)作PD△ADP中

∴千米
答：静止目标海防警戒线距离千米
例4：（航行问题）图港口A港口O正东120海里处岛B港口O北偏东方港口A北偏西方．艘科学考察船港口O出发北偏东OD方20海里时速度驶离港口O．艘养快艇港口A60海里时速度驶岛BB岛转运补物资相航速送科考船．已知两船时出发补装船时间1时．
（1）求养快艇港口A岛B航行时间
O
A
B
东
北
C
D
（2）养快艇驶离港口A少少时间科考船相遇？
解（1）题意知△OAB中
OA120．
快艇速度60海里时
快艇港口A岛B航行时间1时． ………5分
（2）（1）知养快艇港口A驶离2时岛B出发
科考船汇合．
航行时间少快艇岛B驶离必须直线方航行设t时恰科考船C处相遇．
△OAB中计算△OCB中余弦定理

解（舍）．
养快艇驶离港口A少3时科考船相遇

某海滨城市附海面台风监测前台风中心位城市O（图）东偏南方300km海面P处20kmh速度西偏北方移动台风侵袭范围圆形区域前半径60km10kmh速度断增问时该城市开始受台风侵袭？
解：图建立坐标系O原点正东方x轴正
O
北
东O
y
线
岸
O
x
O
r(t)
P

海
时刻：（1）台风中心P（）坐标
时台风侵袭区域
中t时刻城市O受台风侵袭


答：12时该城市开始受台风侵袭

类型二：三角形中计算
例1．路边安装路灯灯柱面垂直灯柱面道路垂直路灯采锥形灯罩射出光线图中阴影部分示已知路宽米设灯柱高（米）（）
（1）求灯柱高（表示）
（2）灯杆灯柱材料相记料长度求关函数表达式求出值．









例2．图某城市条公路正西方AO通市中心O转东北方OB现修筑条铁路LLOA设站AOB设站B铁路AB部分直线段现求市中心OAB距离10km设．
（1）试求AB关角函数关系式
（2）问AB分设公路离市中心O
远处AB短求短距离．

解：题意．
中正弦定理．
中
．
（2）
． 时AB值．
时．
答：AB设公路离市中心km处AB短短距离km．

例3．半圆直径2直径延长线点半圆意点边作等边三角形问点什位置时四边形面积？

变式1：面四点中定点动点满足设面积分试求：
（1）求值 （设角A）
（2）取值时形状？等腰三角形
变式2：
解：
余弦定理：
整理：令
仅时等号成立

例4：次机器足球赛中甲队1号机器点A开始做匀速直线运动达点B时发现足球点D处正2倍速度点A做匀速直线滚动图示已知 忽略机器原旋转需时间该机器快处截住足球？


练1：面某处测塔顶仰角处塔走30m测塔顶仰角塔走测塔顶仰角试求角度数
练2：中已知边点求长
练3：外轮特许外进入离国海岸线d 海里区域图设AB相距s海里两观察站外轮P点测∠BAPα∠ABPβ问：αβ满足什关系时该外轮发出警告令退出海域？

练4：根长木条锯成两段分作钝角三角形两边锯断木条第三条边短？

研究：
1 否存三角形具性质：
（1）三边连续三然数？
（2）角角2倍？

A
B
C
D
250
500
某观测站C城A南偏西25°方A城出发条公路走南偏东50°C处测距Ckm公路B处正公路A城走走12 km达D处时CD间距离12 km问需走少千米达A城






图某渔船航行中幸遇险发出呼救信号海军舰艇A处获悉测出该渔A
P
北
C
北
船方位角距离10海里C处测该渔船正方位角方30海里时速度岛P拢．海军舰艇立海里时速度前营救．求舰艇航渔船需时间．（注：方位角指北方时针转目标方线角）





解：设舰艇收信号时B处拢渔船

余弦定理

化简 ……………… 5分
解（负值舍）．
正弦定理．
． ………… 14分
方位角+．










1 中已知
2 外接圆半径1圆心O
3 中三边长分角正弦值三角形面积_______
4 已知等腰三角形腰中线长该三角形面积值_________
非常低．导数法解决高次函数复杂函数强力工具．
G

E
A

B

C

F

图4

已知等腰三角形腰中线长该三角形面积值 ．
图△ABC中EF分底BC腰AC中点BFAE交点GG△ABC重心BGCGAE3GE．

仅∠BGCBG⊥GC时△ABC面积取值2．

设函数．
（1）求正周期值域
（2）锐角△中角边分求．
解：（1）．
正周期值域．
（2）．
锐角∴∴．
∵∴．
△ABC中正弦定理．
∴．

已知量中角（1）求角（2）成等差数列求长
中角边长分
（1）设量量量求值
（2）已知求．
图圆O单位圆 圆O定点 点圆O动点．M第次点A逆时针方运动某定点形成角M第二次点A逆时针方运动某定点形成角．
(1) 点M第次点A逆时针方运动定点C 第二次点A逆时针方运动定点D时求值
（2）中否存两点角时满足
存 说明理 存 找出定点证明．






解（Ⅰ）动点M第次点A逆时针方运动定点时已知条件知形成角三角函数定义 ． 2分
动点M第二次点A逆时针方运动定点时 已知条件知形成角 三角函数定义 ． 4分
6分
（Ⅱ）动点M第次点A逆时针方运动定点 第二次点A逆时针方运动定点时 角时满足
8分
动点M第次点A逆时针方运动定点时 已知条件知形成角 三角函数定义 ．
10分
动点M第二次点A逆时针方运动定点时 已知条件知形成角 三角函数定义
． 12分
14分

图直角三角形中∠＝＝1＝．点
分边(点点重合)△翻折△变△顶点落边(点点重合)设∠＝．
(1) 表示线段长度写出取值范围
(2) 求线段长度值．






解：（1）设．
Rt△MB中
∴．源学科网ZXXK]
∵点M线段ABM点B点重合点B点重合∴．
（2）△AMN中∠ANM＝

＝．
令＝
＝．
∵ ∴．
仅时值
∴时值．
锐角中角边分满足．
（1）求角
（2）设试求取值范围．

中三角边分已知
（1）求外接圆半径
（2）边中线长求面积
解：（1）∵
∴ ………………2分
∴外接圆半径 ………4分
（2）设BC边中点O
中
理…………8分
∵∴
解 ………………10分
∴∴∴
∴ ………………14分
18 图设DE△ABC边AB两点已知：AC＝14
AD＝7AB＝28CE＝12．
（1）求
（2）试探究数量关系式
（3）（2）结求BC．
解：（1）∵∴∴
∴
（2）条件化
左边
右边 ∴
（3）（2）＝Þ△ACD∽△ABCÞ∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．
∴ CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．
∴ cosA＝＝＝＝．
∴ BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9ÞBC＝21．

（苏锡常镇四市高三二模）△ABC中设角ABC边分abc满足A B + 30°．
（1）c 1求B．
（2）求值．
（2010年江苏高考变式）△ABC中角边长分 ．









（第19题）
图相距50海里两岛观测站位
站北偏东方．某船位站正东方40海里点
处正定方匀速航行3时20分钟
站测该船位北偏西站相距30海里处
求该船航行速度．
解连△中．
余弦定理
． …………………………… 4分
正弦定理． …………………………… 6分
．

．… 10分
△中
． …………………………… 13分
设该船航行速度． …………………………… 15分
答：该船航行速度海里时． …………………………… 16分
（2014南京三模）函数f(x)＝sin(3x＋)图象右移单位长度函数y＝g(x)图象函数
y＝g(x)[]值 ． －
（2014南京三模）△ABC中角ABC边分abc＋1＝．
（1）求B（2）cos(C＋)＝求sinA值．
解：(1)＋1＝正弦定理＋1＝…………………2分
＝＝＝．
△ABC中sinA≠0sinC≠0cosB＝． ………5分
B(0π)B＝． ………………7分
（2）0＜C＜＜C＋＜．
cos(C＋)＝sin(C＋)＝． ………10分
sinA＝sin(B＋C)＝sin(C＋)＝sin[(C＋)＋] ………………12分
＝sin(C＋)cos＋cos(C＋)sin＝． ……14分

某天6时20时温度变化似满足函数中（时）表示时间表示温度设温度低时某进行室外活动6时20时中进行室外活动时间约________时 8

已知角边中边点求：
（1）
（2）
15．（题满分14分）
图△ABC中||3||5||7．
(第15题图)

B

A

C

D

(1)求C
(2)设DAB中点求CD长．


解：(1)题意BC3CA5AB7．······························································1分
余弦定理． ·········································4分
0C．··························································································8分
(2)余弦定理．·······························································11分
△ADC中ADCD2AC2+AD22AC×AD×cosA
CD．··················································································14分
第(2)解：．
第(2)问改求∠C分线CD长．时等面积法
．
角终边点关轴称角终边点关称值____________
已知 试确定等式成立角集合
已知关方程两根
(1) 求值 (2) 求值

已知定义区间函数图象关直线称时函数图象图示
x
y
o
·
·
·
π
1



(1)求函数表达式(2)求方程解






设a＝b＝(4sinxcosx－sinx)f(x)＝a·b
(1)求函数f(x)解析式
(2)已知常数ω＞0y＝f(ωx)区间增函数求ω取值范围
(3)设集合A＝B＝{x||f(x)－m|＜2}AB求实数m取值范围．

1 已知3sin2α+2sin2β2sinα0ysin2α+sin2β值________
2 △ABC中角ABC边分abc．（Ⅰ）求角A（Ⅱ）mn试求|mn|值．
解：（Ⅰ）正弦定理
∴∴．∵∴．
（Ⅱ）mn |mn|．
∵∴∴．．
∴＝1时|mn|取值．|mn|．
A
B
C
D
B
B
B
（第12题）
图矩形ABCD中AB 2AD 1矩形ABCD绕点B时针方旋转60° 矩形点D＇ 直线AB距离 ．
（课中问题）


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