1 定义法研究圆锥曲线问题
（） 椭圆问题
1 已知椭圆方程左右焦点椭圆异意点已知 面积__________
双曲线中类似结：
O
B
C
F1
F2
D
x
y
2 图面直角坐标系xOy中F1F2分椭圆
()左右焦点BC分椭圆
顶点直线BF2椭圆交点
直线斜率
椭圆第三定义
3 圆锥曲线中类面积问题探究
1 （2013年苏锡常镇四市高三二模）图设分椭圆右顶点顶点原点作直线交线段点（异点）交椭圆两点（点第象限）面积分．
（1）线段中点直线方程求椭圆离心率
（2）点线段运动时求值．
解：（1）
（2）设（）
O
M
D
A
C
B
令
1：三角换元：)
仅时（时时等号成立）取值
2：基等式应：理结果
命题深度背景探源：
椭圆外切矩形角线椭圆交点处切线必条角线行
该交点处时
练1：
练2：
（2011年湖南高考理科试题）图椭圆离心率x轴曲线 截线段长等C1长半轴长
（Ⅰ）求C1C2方程
（Ⅱ）设C2y轴焦点M坐标原点O直线C2相交点AB直线MAMB
分C1相交DE．
（i）证明：MD⊥ME
（ii）记△MAB△MDE面积分．问：否存直线l？请说明理
（Ⅰ）题意知
C1C2方程分
（Ⅱ）（i）题意知直线l斜率存设k直线l方程
设述方程两实根
点M坐标（0—1）
MA⊥MBMD⊥ME
（ii）设直线MA斜率k1直线MA方程解
点A坐标直线MB斜率
理点B坐标
解点D坐标
直线ME斜率理点E坐标
题意知
点AB坐标知
满足条件直线l存两条方程分
练3：图已知椭圆左焦点点直线交椭圆两点线段中点中垂线轴轴分交两点．
（Ⅰ）点横坐标求直线斜率
（Ⅱ）记△面积△（原点）面
积．试问：否存直线？说明理．
（1）
（2）存计算
练4：（2013年徐州宿迁高三三模数学）图面直角坐标系中已知椭圆：
离心率分椭圆左右两顶点圆
半径点作圆切线切点轴方交椭圆点．
（1）求直线方程（2）求值
（1）连结
直线方程
⑵⑴知直线方程方程解
椭圆方程
解．
⑶妨设方程
联立方程组解
代面．理．
．
仅时等号成立值
已知点P椭圆动点F1椭圆左焦点定点M（64）PM+PF1值 ． 15 类型化值
面直角坐标系中已知椭圆C：点A离心率
．
（1）求椭圆C方程
（2）设点B点A关原点O称点P椭圆C动点（AB）直线APBP分直线交点MN问：否存点P面积相等？存求出点P坐标存说明理．
解：（Ⅰ）题意 ………………… 2分
解． ………………… 4分
∴椭圆C方程． ………………… 5分
（Ⅱ）图B点坐标假设存样点P
直线AP方程
（北京卷高考题）
10 图已知椭圆右顶点A（20）点P（2e）椭圆（e椭圆离心率）．
（1）求椭圆方程
（2）点BC（C第象限）椭圆满足求实数λ值．
（第18题）
11 面直角坐标系中椭圆E右准线直线l动直线交椭圆AB两点线段AB中点M射线OM分交椭圆直线lPQ两点图．AB两点分椭圆E右顶点顶点时点坐标（中椭圆离心率）．
（1）求椭圆E标准方程
（2）果OPOMOQ等中项
否常数？求出该常数请说明理．
解：AB两点分椭圆E右顶点顶点时
．
∵∴OMQ三点线化简．………2分
∵∴化简．
解 …………………………………………4分
（1）椭圆E标准方程． …………………………………………6分
（2）代入
． ……………………………………………8分
△时
点． ……………………………………………10分
直线OM方程．
． ……………………………………………12分
∵OPOMOQ等中项∴
． ……………………………………………14分
满足△． ……………15分
∴常数． ………………………………………………………………16分
（直接利结：斜率积定值设直线斜率）
12设椭圆＋ 1(a＞b＞0)恒定点A(12)椭圆中心准线距离值
．
13 点M椭圆点M圆心圆x轴相切椭圆焦点F圆My轴相交PQ△PQM钝角三角形椭圆离心率取值范围________．
14 181．已知点M圆C：动点定点D（10）点P直线DM点N直线CM满足0动点N轨迹曲线E
（1）求曲线E方程
（2）AB曲线E长2动弦O坐标原点求△AOB面积S值
182 图分椭圆左右焦点点椭圆异顶点意点点作直线垂线交直线点．
（1）时求点坐标
（2）判断直线直线斜率积否定值请求出定值说明理
（3）证明：直线椭圆公点．
183 面直角坐标系xOy中定点T（t0）（t已知常数）作条直线椭圆相交AB两点求△AOB面积S值．
184 已知椭圆G：点A（05）
B（83）CD椭圆G直线CD坐标原点O线段AB右侧．求：
（1）椭圆G方程
（2）四边形ABCD面积值．
A
B
C
x
y
O
（第18题）
185 图已知椭圆顶点A直线y 4交椭圆E点BC（点B点C左侧）点P椭圆E．
（1）点P坐标（64）求四边形ABCP面积
（2）四边形ABCP梯形求点P坐标
（3）（mn实数）求m + n值．
186 已知椭圆E：离心率顶点A左右焦点分直线AF1AF2分交椭圆点BC．
（1）求证直线BO分线段AC
（2）设点P（mn）（mn常数）直线BO椭圆外P动直线l椭圆交两点MN线段MN取点Q满足试证明点Q恒定直线．
187．已知C：点P（1）两焦点短轴端点连线构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C 方程
（2）动直线l：mx + ny +n 0（mn∈）交椭圆CAB两点试问：坐标面否存定点T 0存求出T坐标存试说明理．
188 椭圆顶点A作两条直线分交椭圆点BC（点A）斜率分k1k2k1k2 4求证：直线BC恒定点．
189 椭圆C：左右顶点AB点P直线x t（t常数）线段AP椭圆C交点Q（异点A）设PQ直径圆交直线BQ点M（异点Q）问直线PM否恒定点？
1810 已知椭圆C中心点焦点x轴F1F2分椭圆C左右焦点M椭圆短轴端点F1直线椭圆交AB两点面积4周长
（1）求椭圆C方程
（2）设点Q坐标（10）否存椭圆点PQ圆心圆该圆直线PF1PF2相切存求出P点坐标圆方程存请说明理．
1812 已知长度6线段CD中点M现CD边侧作两周长均16△ACD△BCD满足∠AMB 90°．
（1）求证定值（2）求△AMB面积值．
13 18．（题满分16分）
（第18题）
图面直角坐标系中已知椭圆三点第三象限线段中点直线．
（1）求椭圆标准方程
（2）求点C坐标
（3）设动点椭圆（异点）直线PBPC分交直线OA
两点证明定值求出该定值．
解：（1）已知 解 椭圆标准方程．
（2）设点中点．
已知求直线方程．①
∵点椭圆∴．②
①②解（舍）． 点坐标．
（3）设．
∵三点线∴整理．
∵三点线∴整理．
∵点椭圆∴．
．
． ∴定值定值．
面直角坐标系xOy中已知椭圆(a>b>0)点(11)．
(1) 椭圆离心率求椭圆方程
(2) 椭圆两动点PQ满足OP⊥OQ．
①已知命题：直线PQ恒定圆C相切真命题试直接写出圆C方程
(需解答程)
②设①中圆C交y轴负半轴M点二次函数yx2m图象点M．点AB该图象AOB三点线时求△MAB面积S值．
解：(1)．························································2分
设椭圆方程(11)代入
椭圆方程．·············································5分
(2) ①．······························································9分
② 题意二次函数yx21．······················································10分
设直线AB方程ykx．
消．
设．······································12分
． ·····························14分
时△MAB面积S值1． ·············································16分
题考查圆锥曲线基础知识基运算．
引导学生解题化时间分试题难度进行降低处理椭
圆方程设焦点x轴情形(事实设)增加第
(问(2)①改告诉(2)②删求∠AMB．试题原样：点(11)椭圆C1：两动点PQ满足OP⊥OQ．
(1)求证直线PQ恒定圆C相切求出圆C方程
(2)设(1)中圆C交y轴负半轴M点曲线C2：yx2mM点．M作直线l1交C1D交C2AM作直线l2交C1E交C2B．AOB线时
①求∠AMB
②记△MAB△MDE面积分S1S2求值．
求解时利等面积法进证明直线PQ恒单位圆相切．通特例椭圆四顶点连线围成菱形猜测出圆C方程进需探求圆心O直线PQ距离否1．
（2014年高考江苏卷 第17题）
F1
F2
O
x
y
B
C
A
图面直角坐标系中分椭圆左右焦点顶点坐标连结延长交椭圆点A点A作轴垂线交椭圆点C连结
（1）点C坐标求椭圆方程
（2）求椭圆离心率e值
解法探究（1）题意知
椭圆方程 点C椭圆解
求椭圆方程
（2）解法1：（垂直关系先行表征）设
联立
解：椭圆代入椭圆方程整理
椭圆离心率
解法2：（垂直关系表征）题意知直线方程：椭圆联立方程组 解
知：代入化简代入化简
（三）抛物线问题
O
A
PB
DB
EB
CB
R
P
x
y
BB
Q
M
1 已知实数直线抛物线圆左右交点次值
变式：（2013年南通高三期末）图已知定点R(0－3)动点PQ分x轴y轴移动延长PQ点M
．
（1）求动点M轨迹C1
（2）圆C2： 点(01)直线l次交C1AD两点（左右）交C2BC两点（左右）求证：定值．
解：（1）法：设M(xy)P(x10)Q(0y2)R(0－3)化简动点M轨迹C1顶点原点开口抛物线．
法二：设M(xy)． ．．
．化简 ．
动点M轨迹C1顶点原点开口抛物线．
（2）证明：题意 ⊙C2圆心抛物线C1焦点F．
设．理 ．
设直线方程 ．
．
．
2已知抛物线抛物线交点处两条切线互相垂直求实数值．
3 图设抛物线方程M直线意点M引抛物线切线切点分AB求证：AMB三点横坐标成等差数列
证明：题意设
…………………2分
∴ 斜率分
方程方程． …4分
①② …………………7分
∵∴
AMB三点横坐标成等差数列 ………………10分
4 面直角坐标系xOy中已知抛物线C：F焦点点E坐标(20)设M抛物线C异顶点动点直线MF交抛物线C点N链接MENE延长分交抛物线C点PQ．
（1）MN Ox时求直线PQx轴交点坐标
（2）直线MNPQ斜率存分记k1k2时求证：．
解（1）抛物线C：焦点F(10) ．
MN Ox时直线MN方程 ．
代入抛物线方程．
妨设
直线ME方程
解．
理直线方程．
直线PQx轴交点坐标(40)．………………………4分
（2）设直线MN方程
设．
①②．
设直线MP方程
③④．
理⑤⑥．
①②③④⑤⑥．
．………………………………………10分
变式1：图面直角坐标系中已知分椭圆E左右焦点AB分椭圆E左右顶点
（1）求椭圆E离心率
（2）已知点线段中点M 椭圆动点（异点）连接
延长交椭圆点连接分延长交椭圆点连接设直线斜率存分试问否存常数恒成立？存求出值存说明理
例3 解：（1）化简
椭圆E离心率
（2）存满足条件常数点线段中点左焦点椭圆E方程
设直线方程
代入椭圆方程整理点理点
三点线
存满足条件常数
变式2：（12镇江模拟）已知椭圆G：(a>b>0)离心率右焦点F(10)．点F作斜率k（k¹0）直线l交椭圆GAB两点M（20）定点．图示连AMBM分交椭圆GCD[两点（AB）记直线CD斜率．
(Ⅰ) 求椭圆G方程
(Ⅱ) 直线l斜率k变化程中否存
常数恒成立？存求出
常数存请说明理．
6．面直角坐标系xOy中抛物线y2 4x焦点准线距离 ．
7 两点曲线移动选择位置总关直线称求实数取值范围
8（2008浙招生）椭圆抛物线公点求实数取值范围
2 双曲线
（）双曲线图性质
1 面直角坐标系xOy中已知双曲线条渐线方程双曲线离心率 ． 2
2 面直角坐标系中双曲线左顶点双曲线右焦点作实轴垂直直线交双曲线两点直角三角形双曲线离心率 ．2
3 双曲线焦点条渐线距离等双曲线方程
．
4 已知双曲线两焦点线段边作正△边中点
双曲线双曲线离心率 ．
5．面直角坐标系xOy中已知双曲线条渐线方程双曲线离心率 ．
6 点曲线动点曲线点处切线轴
分交两点点坐标原点列三命题：
① ② 面积定值
③ 曲线存两点等腰直角三角形
中正确命题数 2（12）
7 已知双曲线中心原点焦点轴焦距16条渐线方程双曲线方程 ．
8 面直角坐标系xOy中双曲线C中心原点焦点y轴条渐线方程A
O
双曲线C离心率 ______ 2
9 图双曲线左右焦点直线双曲线两支分交点等边三角形双曲线离心率 ．
10 方程表示曲线____________ 双曲线
3
（1）基等式研究解析中应
1 面直角坐标系中已知点椭圆动点点P线段延长线点P横坐标值 15
提示：设
研究点P横坐标值仅考虑（仅时取）．（题三角换元方法）
（2）直线方程形式选取计算简化
1 设椭圆中心原点O长轴x轴顶点A左右焦点分F1F2线段
OF1OF2中点分B1B2△AB1B2面积直角三角形．Ｂ1作直线l交椭圆PQ两点．
(1) 求该椭圆标准方程
(2) 求直线l方程
（1）设求椭圆标准方程右焦点
△AB1B2直角三角形|AB1||AB2|∠B1AB290ºc2b
Rt△AB1B2中
求椭圆标准方程：
(2)(1)知题意知直线倾斜角0设直线方程：代入椭圆方程
设P(x1 y1)Q(x2 y2)y1y2面方程两根[源学_科_网Z_X_X_K]
0解
满足条件直线两条方程分：x+2y+20x–2y+20
4 面结巧解例高考解析题（高等数学背景）
1 彭色列闭形定理：切圆三角形必外接椭圆
（2009江西文科）图已知圆椭圆接△切圆 中椭圆左顶点
（1）求圆半径
（2）点作圆两条切线交椭圆
两点．
证明：直线圆相切．
解 （1）设圆心作交长轴
(1)
点椭圆 (2)
(1) (2)式解（舍）
(2) 设点圆相切直线方程 (3)
(4)
解
(3)代入异零解
设
直线斜率：
直线方程
圆心直线距离
结成立
5 定点定值问题
类型1：定直线问题（高等数学背景：极点极线问题）
已知分椭圆焦点中抛物线焦点点第二象限交点
(Ⅰ) 求椭圆方程
(Ⅱ) 已知点圆点动直线圆相交两点线段
取点满足()求证点总某定直线
[分析] 第1问考查圆锥曲线基量计算熟悉椭圆中基量等量关系利抛物线定义求点坐标第2问定直线问题考查点坐标通量关系进行量化研究
[简解]（1）题知
椭圆方程椭圆方程
（2）设P直线l圆交两点坐标点
．
点总定直线
[反思] （1）圆锥曲线问题中基量计算定关研究圆锥曲线问题基础
（2）题中量等式常见处理手段坐标化量问题坐标化研究量问题根方法
（3）四坐标代数式观察四代数式结构特征相结构式子进行两两相说明高考复中逐步培养观察数学结构力
变式：（2013年苏信息卷）已知椭圆E：离心率顶点A左右焦点分直线AF1AF2分交椭圆
点BC．
（1）求证直线BO分线段AC
（2）设点P（mn）（mn常数）直线BO椭圆外P动直线l椭圆交两点MN线段MN取点Q满足试证明点Q恒定直线．
解析（1）题意
椭圆方程中
∴直线斜率时直线方程
联立解（舍）称性知．
直线BO方程线段AC中点坐标
AC中点坐标满足直线BO方程直线BO分线段AC．
（2）设P直线l椭圆交两点坐标点
．
∵∴设
求
∴
∴
mnC常数点Q恒直线．
说明（1）特殊化处理令时椭圆方程设条件变点Q恒直线．
（2）般化处理椭圆椭圆外点P（mn）（mn常数）P动直线l椭圆交两点MN线段MN取点Q满足点Q恒定直线．（极点极线问题）
抛物线：
1 面直角坐标系xOy中抛物线y2 4x焦点准线距离 ． 2
6 量圆锥曲线问题
O
M
N
A
C
B
1 图面直角坐标系中已知点椭圆左焦点分椭圆右顶点满足椭圆离心率．
（1）求椭圆方程
（2）线段（包括端点）意点取值时求点坐标
（3）设点线段（包括端点）动点射线交椭圆点求实数取值范围．
已知直线l方程直线lx轴交点圆 x轴交两点．
（1）求l准线中心原点圆O恰两公点椭圆方程
（2）M点作直线圆相切点设（2）中椭圆两焦点分求三角形面积．
解：（1）设椭圆方程半焦距c
椭圆圆O恰两公点根椭圆圆称性
………………………………………2分
时求椭圆方程 …………4分
时
A
B
O
M
y
x
l
l2
N
求椭圆方程 ……………………………………6分
（2）设切点N题意中
N点坐标……………… 8分
椭圆焦点F1F2分点AB
椭圆焦点时．
7 三角函数定义圆锥曲线中应
O
x
y
A
B
l
1 面直角坐标系xOy中设椭圆C中心原点焦点x轴短半轴长2椭圆C点右焦点距离值．
（1）求椭圆C方程
（2）设直线l椭圆C相交AB两点．
① 求证：原点O直线AB距离定值
② 求AB值．
解（1）题意设椭圆C方程焦距2c离心率e．
．
设椭圆右焦点F椭圆点P右准线距离
dP右顶点时PF取值
．…………………………………………………3分
椭圆方程．………………………………………5分
（2）①设原点直线距离h题设面积公式知．
直线斜率存斜率时
．………………………………………7分
直线斜率存时
解 理…………………………9分
Rt△OAB中
．
综原点直线距离定值．……………………11分
解：
．
②h定值求值求值．
令
……14分
仅取值值．…………………………16分
三角函数定义法：
专题：三角函数定义解析中应
O
P1
P0
P2
基础热身
1 点P单位圆点初始位置开始单位圆逆时针方运动角
（）点然继续单位圆逆时针方运动点点横坐标值等 ___
2 角（）终边点）
二问题思考
选修44教材例1：极角离心角参数角什关系？等价？
三典型例题
例1：（理科）已知曲线参数方程 (φ参数)坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程正方形顶点逆时针次序排列点极坐标
（1）求点 直角坐标
（2）设曲线意点求取值范围
例2：原点作两条相互垂直直线分椭圆交四边形面积值
例3：（浙江嘉定区2013届高三理科模）已知椭圆：（）O
A
B
M
x
y
两点原点直线椭圆交两点椭圆点满足．
（1）求椭圆方程
（2）求证：定值．
分析（1）定系数法求椭圆方程（2）求等价求值求时忘记讨点ABM特殊位置
解答（1）代入椭圆方程
解．椭圆方程．
（2）知线段垂直分线椭圆称性知关原点称．
①点椭圆短轴顶点点椭圆长轴顶点时
．
理点椭圆长轴顶点点椭圆短轴顶点时
．
②点椭圆顶点设直线方程（）
直线方程．设
解
理
．
综定值．
反思第（2）题设点法处理设点AB分代入椭圆方程结果法运三角函数中点表示者说极点原点极坐标表示法时免讨
练：已知椭圆离心率条准线方程
（1） 求椭圆方程
（2）设椭圆两动点坐标原点．
① 直线倾斜角时求面积
② 否存原点圆心定圆该定圆始终直线相切？存请求出该定圆方程存请说明理．
（ 1）解椭圆方程．
（2）①解
．
②假设存满足条件定圆设圆半径
斜率均存时妨设直线方程：
理（中换成）斜率存时
满足条件定圆方程：．
例2面直角坐标系中已知双曲线：．
（1）左顶点引条渐进线行线求该直线条渐进线轴围成三角形面积
（2）设椭圆：分动点求证：直线距离定值
A
B
P
O
x
y
高考试题背景探源图面直角坐标系xOy中椭圆
左右焦点分．已知
椭圆中e椭圆离心率．
（1）求椭圆离心率
（2）设AB椭圆位x轴方两点直线
直线行交点P．
（i）求直线斜率
（ii）求证：定值．
例3（2012届苏锡常镇模）图两圆形飞轮通皮带传动飞轮半径（常数）飞轮半径飞轮边缘两点满足飞轮边缘点．设飞轮逆时针旋转圈传动开始时点水直线．m]
（1） 求点达高点时间距离
（2）求点传动程中高度差值．[源
分析A作动点C动点相时间两飞轮传动皮带长度相等两圆圆心角关系．求点
传动程中高度差建立坐标系较方便．
解答（1）坐标系原点直线轴图示建立直角坐标系．
点A达高点时点A绕O 1转点C绕O 2转．
A
OZ
OZ
CZ
BZ
1
2
．
．
．
．
．
x
y
时A（02r）C．
∴．
（2）题意设飞轮转角度θ
飞轮转角度2θ中．
时B（2r2r）C（4r + rr）．
记点高度差．
．
设
．
令1．
02π．
列表：
∴θ 时f(θ)取极值θ 时f(θ)取极值．
答：点BC传动中高度差值．
反思题考查弧度制定义三角函数定义结合导数考虑函数值问题．
利三角函数常见求解方法三角函数问题般利导数求值．
练：（2013年南通学科基密卷2）面直角坐标系中已知三点时针方排列构成等边三角形直线轴交点
（1）求值（2）求点坐标
题2问利矩阵变换方法完成
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（） 椭圆问题
1 已知椭圆方程左右焦点椭圆异意点已知 面积__________
双曲线中类似结：
O
B
C
F1
F2
D
x
y
2 图面直角坐标系xOy中F1F2分椭圆
()左右焦点BC分椭圆
顶点直线BF2椭圆交点
直线斜率
椭圆第三定义
3 圆锥曲线中类面积问题探究
1 （2013年苏锡常镇四市高三二模）图设分椭圆右顶点顶点原点作直线交线段点（异点）交椭圆两点（点第象限）面积分．
（1）线段中点直线方程求椭圆离心率
（2）点线段运动时求值．
解：（1）
（2）设（）
O
M
D
A
C
B
令
1：三角换元：)
仅时（时时等号成立）取值
2：基等式应：理结果
命题深度背景探源：
椭圆外切矩形角线椭圆交点处切线必条角线行
该交点处时
练1：
练2：
（2011年湖南高考理科试题）图椭圆离心率x轴曲线 截线段长等C1长半轴长
（Ⅰ）求C1C2方程
（Ⅱ）设C2y轴焦点M坐标原点O直线C2相交点AB直线MAMB
分C1相交DE．
（i）证明：MD⊥ME
（ii）记△MAB△MDE面积分．问：否存直线l？请说明理
（Ⅰ）题意知
C1C2方程分
（Ⅱ）（i）题意知直线l斜率存设k直线l方程
设述方程两实根
点M坐标（0—1）
MA⊥MBMD⊥ME
（ii）设直线MA斜率k1直线MA方程解
点A坐标直线MB斜率
理点B坐标
解点D坐标
直线ME斜率理点E坐标
题意知
点AB坐标知
满足条件直线l存两条方程分
练3：图已知椭圆左焦点点直线交椭圆两点线段中点中垂线轴轴分交两点．
（Ⅰ）点横坐标求直线斜率
（Ⅱ）记△面积△（原点）面
积．试问：否存直线？说明理．
（1）
（2）存计算
练4：（2013年徐州宿迁高三三模数学）图面直角坐标系中已知椭圆：
离心率分椭圆左右两顶点圆
半径点作圆切线切点轴方交椭圆点．
（1）求直线方程（2）求值
（1）连结
直线方程
⑵⑴知直线方程方程解
椭圆方程
解．
⑶妨设方程
联立方程组解
代面．理．
．
仅时等号成立值
已知点P椭圆动点F1椭圆左焦点定点M（64）PM+PF1值 ． 15 类型化值
面直角坐标系中已知椭圆C：点A离心率
．
（1）求椭圆C方程
（2）设点B点A关原点O称点P椭圆C动点（AB）直线APBP分直线交点MN问：否存点P面积相等？存求出点P坐标存说明理．
解：（Ⅰ）题意 ………………… 2分
解． ………………… 4分
∴椭圆C方程． ………………… 5分
（Ⅱ）图B点坐标假设存样点P
直线AP方程
（北京卷高考题）
10 图已知椭圆右顶点A（20）点P（2e）椭圆（e椭圆离心率）．
（1）求椭圆方程
（2）点BC（C第象限）椭圆满足求实数λ值．
（第18题）
11 面直角坐标系中椭圆E右准线直线l动直线交椭圆AB两点线段AB中点M射线OM分交椭圆直线lPQ两点图．AB两点分椭圆E右顶点顶点时点坐标（中椭圆离心率）．
（1）求椭圆E标准方程
（2）果OPOMOQ等中项
否常数？求出该常数请说明理．
解：AB两点分椭圆E右顶点顶点时
．
∵∴OMQ三点线化简．………2分
∵∴化简．
解 …………………………………………4分
（1）椭圆E标准方程． …………………………………………6分
（2）代入
． ……………………………………………8分
△时
点． ……………………………………………10分
直线OM方程．
． ……………………………………………12分
∵OPOMOQ等中项∴
． ……………………………………………14分
满足△． ……………15分
∴常数． ………………………………………………………………16分
（直接利结：斜率积定值设直线斜率）
12设椭圆＋ 1(a＞b＞0)恒定点A(12)椭圆中心准线距离值
．
13 点M椭圆点M圆心圆x轴相切椭圆焦点F圆My轴相交PQ△PQM钝角三角形椭圆离心率取值范围________．
14 181．已知点M圆C：动点定点D（10）点P直线DM点N直线CM满足0动点N轨迹曲线E
（1）求曲线E方程
（2）AB曲线E长2动弦O坐标原点求△AOB面积S值
182 图分椭圆左右焦点点椭圆异顶点意点点作直线垂线交直线点．
（1）时求点坐标
（2）判断直线直线斜率积否定值请求出定值说明理
（3）证明：直线椭圆公点．
183 面直角坐标系xOy中定点T（t0）（t已知常数）作条直线椭圆相交AB两点求△AOB面积S值．
184 已知椭圆G：点A（05）
B（83）CD椭圆G直线CD坐标原点O线段AB右侧．求：
（1）椭圆G方程
（2）四边形ABCD面积值．
A
B
C
x
y
O
（第18题）
185 图已知椭圆顶点A直线y 4交椭圆E点BC（点B点C左侧）点P椭圆E．
（1）点P坐标（64）求四边形ABCP面积
（2）四边形ABCP梯形求点P坐标
（3）（mn实数）求m + n值．
186 已知椭圆E：离心率顶点A左右焦点分直线AF1AF2分交椭圆点BC．
（1）求证直线BO分线段AC
（2）设点P（mn）（mn常数）直线BO椭圆外P动直线l椭圆交两点MN线段MN取点Q满足试证明点Q恒定直线．
187．已知C：点P（1）两焦点短轴端点连线构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C 方程
（2）动直线l：mx + ny +n 0（mn∈）交椭圆CAB两点试问：坐标面否存定点T 0存求出T坐标存试说明理．
188 椭圆顶点A作两条直线分交椭圆点BC（点A）斜率分k1k2k1k2 4求证：直线BC恒定点．
189 椭圆C：左右顶点AB点P直线x t（t常数）线段AP椭圆C交点Q（异点A）设PQ直径圆交直线BQ点M（异点Q）问直线PM否恒定点？
1810 已知椭圆C中心点焦点x轴F1F2分椭圆C左右焦点M椭圆短轴端点F1直线椭圆交AB两点面积4周长
（1）求椭圆C方程
（2）设点Q坐标（10）否存椭圆点PQ圆心圆该圆直线PF1PF2相切存求出P点坐标圆方程存请说明理．
1812 已知长度6线段CD中点M现CD边侧作两周长均16△ACD△BCD满足∠AMB 90°．
（1）求证定值（2）求△AMB面积值．
13 18．（题满分16分）
（第18题）
图面直角坐标系中已知椭圆三点第三象限线段中点直线．
（1）求椭圆标准方程
（2）求点C坐标
（3）设动点椭圆（异点）直线PBPC分交直线OA
两点证明定值求出该定值．
解：（1）已知 解 椭圆标准方程．
（2）设点中点．
已知求直线方程．①
∵点椭圆∴．②
①②解（舍）． 点坐标．
（3）设．
∵三点线∴整理．
∵三点线∴整理．
∵点椭圆∴．
．
． ∴定值定值．
面直角坐标系xOy中已知椭圆(a>b>0)点(11)．
(1) 椭圆离心率求椭圆方程
(2) 椭圆两动点PQ满足OP⊥OQ．
①已知命题：直线PQ恒定圆C相切真命题试直接写出圆C方程
(需解答程)
②设①中圆C交y轴负半轴M点二次函数yx2m图象点M．点AB该图象AOB三点线时求△MAB面积S值．
解：(1)．························································2分
设椭圆方程(11)代入
椭圆方程．·············································5分
(2) ①．······························································9分
② 题意二次函数yx21．······················································10分
设直线AB方程ykx．
消．
设．······································12分
． ·····························14分
时△MAB面积S值1． ·············································16分
题考查圆锥曲线基础知识基运算．
引导学生解题化时间分试题难度进行降低处理椭
圆方程设焦点x轴情形(事实设)增加第
(问(2)①改告诉(2)②删求∠AMB．试题原样：点(11)椭圆C1：两动点PQ满足OP⊥OQ．
(1)求证直线PQ恒定圆C相切求出圆C方程
(2)设(1)中圆C交y轴负半轴M点曲线C2：yx2mM点．M作直线l1交C1D交C2AM作直线l2交C1E交C2B．AOB线时
①求∠AMB
②记△MAB△MDE面积分S1S2求值．
求解时利等面积法进证明直线PQ恒单位圆相切．通特例椭圆四顶点连线围成菱形猜测出圆C方程进需探求圆心O直线PQ距离否1．
（2014年高考江苏卷 第17题）
F1
F2
O
x
y
B
C
A
图面直角坐标系中分椭圆左右焦点顶点坐标连结延长交椭圆点A点A作轴垂线交椭圆点C连结
（1）点C坐标求椭圆方程
（2）求椭圆离心率e值
解法探究（1）题意知
椭圆方程 点C椭圆解
求椭圆方程
（2）解法1：（垂直关系先行表征）设
联立
解：椭圆代入椭圆方程整理
椭圆离心率
解法2：（垂直关系表征）题意知直线方程：椭圆联立方程组 解
知：代入化简代入化简
（三）抛物线问题
O
A
PB
DB
EB
CB
R
P
x
y
BB
Q
M
1 已知实数直线抛物线圆左右交点次值
变式：（2013年南通高三期末）图已知定点R(0－3)动点PQ分x轴y轴移动延长PQ点M
．
（1）求动点M轨迹C1
（2）圆C2： 点(01)直线l次交C1AD两点（左右）交C2BC两点（左右）求证：定值．
解：（1）法：设M(xy)P(x10)Q(0y2)R(0－3)化简动点M轨迹C1顶点原点开口抛物线．
法二：设M(xy)． ．．
．化简 ．
动点M轨迹C1顶点原点开口抛物线．
（2）证明：题意 ⊙C2圆心抛物线C1焦点F．
设．理 ．
设直线方程 ．
．
．
2已知抛物线抛物线交点处两条切线互相垂直求实数值．
3 图设抛物线方程M直线意点M引抛物线切线切点分AB求证：AMB三点横坐标成等差数列
证明：题意设
…………………2分
∴ 斜率分
方程方程． …4分
①② …………………7分
∵∴
AMB三点横坐标成等差数列 ………………10分
4 面直角坐标系xOy中已知抛物线C：F焦点点E坐标(20)设M抛物线C异顶点动点直线MF交抛物线C点N链接MENE延长分交抛物线C点PQ．
（1）MN Ox时求直线PQx轴交点坐标
（2）直线MNPQ斜率存分记k1k2时求证：．
解（1）抛物线C：焦点F(10) ．
MN Ox时直线MN方程 ．
代入抛物线方程．
妨设
直线ME方程
解．
理直线方程．
直线PQx轴交点坐标(40)．………………………4分
（2）设直线MN方程
设．
①②．
设直线MP方程
③④．
理⑤⑥．
①②③④⑤⑥．
．………………………………………10分
变式1：图面直角坐标系中已知分椭圆E左右焦点AB分椭圆E左右顶点
（1）求椭圆E离心率
（2）已知点线段中点M 椭圆动点（异点）连接
延长交椭圆点连接分延长交椭圆点连接设直线斜率存分试问否存常数恒成立？存求出值存说明理
例3 解：（1）化简
椭圆E离心率
（2）存满足条件常数点线段中点左焦点椭圆E方程
设直线方程
代入椭圆方程整理点理点
三点线
存满足条件常数
变式2：（12镇江模拟）已知椭圆G：(a>b>0)离心率右焦点F(10)．点F作斜率k（k¹0）直线l交椭圆GAB两点M（20）定点．图示连AMBM分交椭圆GCD[两点（AB）记直线CD斜率．
(Ⅰ) 求椭圆G方程
(Ⅱ) 直线l斜率k变化程中否存
常数恒成立？存求出
常数存请说明理．
6．面直角坐标系xOy中抛物线y2 4x焦点准线距离 ．
7 两点曲线移动选择位置总关直线称求实数取值范围
8（2008浙招生）椭圆抛物线公点求实数取值范围
2 双曲线
（）双曲线图性质
1 面直角坐标系xOy中已知双曲线条渐线方程双曲线离心率 ． 2
2 面直角坐标系中双曲线左顶点双曲线右焦点作实轴垂直直线交双曲线两点直角三角形双曲线离心率 ．2
3 双曲线焦点条渐线距离等双曲线方程
．
4 已知双曲线两焦点线段边作正△边中点
双曲线双曲线离心率 ．
5．面直角坐标系xOy中已知双曲线条渐线方程双曲线离心率 ．
6 点曲线动点曲线点处切线轴
分交两点点坐标原点列三命题：
① ② 面积定值
③ 曲线存两点等腰直角三角形
中正确命题数 2（12）
7 已知双曲线中心原点焦点轴焦距16条渐线方程双曲线方程 ．
8 面直角坐标系xOy中双曲线C中心原点焦点y轴条渐线方程A
O
双曲线C离心率 ______ 2
9 图双曲线左右焦点直线双曲线两支分交点等边三角形双曲线离心率 ．
10 方程表示曲线____________ 双曲线
3
（1）基等式研究解析中应
1 面直角坐标系中已知点椭圆动点点P线段延长线点P横坐标值 15
提示：设
研究点P横坐标值仅考虑（仅时取）．（题三角换元方法）
（2）直线方程形式选取计算简化
1 设椭圆中心原点O长轴x轴顶点A左右焦点分F1F2线段
OF1OF2中点分B1B2△AB1B2面积直角三角形．Ｂ1作直线l交椭圆PQ两点．
(1) 求该椭圆标准方程
(2) 求直线l方程
（1）设求椭圆标准方程右焦点
△AB1B2直角三角形|AB1||AB2|∠B1AB290ºc2b
Rt△AB1B2中
求椭圆标准方程：
(2)(1)知题意知直线倾斜角0设直线方程：代入椭圆方程
设P(x1 y1)Q(x2 y2)y1y2面方程两根[源学_科_网Z_X_X_K]
0解
满足条件直线两条方程分：x+2y+20x–2y+20
4 面结巧解例高考解析题（高等数学背景）
1 彭色列闭形定理：切圆三角形必外接椭圆
（2009江西文科）图已知圆椭圆接△切圆 中椭圆左顶点
（1）求圆半径
（2）点作圆两条切线交椭圆
两点．
证明：直线圆相切．
解 （1）设圆心作交长轴
(1)
点椭圆 (2)
(1) (2)式解（舍）
(2) 设点圆相切直线方程 (3)
(4)
解
(3)代入异零解
设
直线斜率：
直线方程
圆心直线距离
结成立
5 定点定值问题
类型1：定直线问题（高等数学背景：极点极线问题）
已知分椭圆焦点中抛物线焦点点第二象限交点
(Ⅰ) 求椭圆方程
(Ⅱ) 已知点圆点动直线圆相交两点线段
取点满足()求证点总某定直线
[分析] 第1问考查圆锥曲线基量计算熟悉椭圆中基量等量关系利抛物线定义求点坐标第2问定直线问题考查点坐标通量关系进行量化研究
[简解]（1）题知
椭圆方程椭圆方程
（2）设P直线l圆交两点坐标点
．
点总定直线
[反思] （1）圆锥曲线问题中基量计算定关研究圆锥曲线问题基础
（2）题中量等式常见处理手段坐标化量问题坐标化研究量问题根方法
（3）四坐标代数式观察四代数式结构特征相结构式子进行两两相说明高考复中逐步培养观察数学结构力
变式：（2013年苏信息卷）已知椭圆E：离心率顶点A左右焦点分直线AF1AF2分交椭圆
点BC．
（1）求证直线BO分线段AC
（2）设点P（mn）（mn常数）直线BO椭圆外P动直线l椭圆交两点MN线段MN取点Q满足试证明点Q恒定直线．
解析（1）题意
椭圆方程中
∴直线斜率时直线方程
联立解（舍）称性知．
直线BO方程线段AC中点坐标
AC中点坐标满足直线BO方程直线BO分线段AC．
（2）设P直线l椭圆交两点坐标点
．
∵∴设
求
∴
∴
mnC常数点Q恒直线．
说明（1）特殊化处理令时椭圆方程设条件变点Q恒直线．
（2）般化处理椭圆椭圆外点P（mn）（mn常数）P动直线l椭圆交两点MN线段MN取点Q满足点Q恒定直线．（极点极线问题）
抛物线：
1 面直角坐标系xOy中抛物线y2 4x焦点准线距离 ． 2
6 量圆锥曲线问题
O
M
N
A
C
B
1 图面直角坐标系中已知点椭圆左焦点分椭圆右顶点满足椭圆离心率．
（1）求椭圆方程
（2）线段（包括端点）意点取值时求点坐标
（3）设点线段（包括端点）动点射线交椭圆点求实数取值范围．
已知直线l方程直线lx轴交点圆 x轴交两点．
（1）求l准线中心原点圆O恰两公点椭圆方程
（2）M点作直线圆相切点设（2）中椭圆两焦点分求三角形面积．
解：（1）设椭圆方程半焦距c
椭圆圆O恰两公点根椭圆圆称性
………………………………………2分
时求椭圆方程 …………4分
时
A
B
O
M
y
x
l
l2
N
求椭圆方程 ……………………………………6分
（2）设切点N题意中
N点坐标……………… 8分
椭圆焦点F1F2分点AB
椭圆焦点时．
7 三角函数定义圆锥曲线中应
O
x
y
A
B
l
1 面直角坐标系xOy中设椭圆C中心原点焦点x轴短半轴长2椭圆C点右焦点距离值．
（1）求椭圆C方程
（2）设直线l椭圆C相交AB两点．
① 求证：原点O直线AB距离定值
② 求AB值．
解（1）题意设椭圆C方程焦距2c离心率e．
．
设椭圆右焦点F椭圆点P右准线距离
dP右顶点时PF取值
．…………………………………………………3分
椭圆方程．………………………………………5分
（2）①设原点直线距离h题设面积公式知．
直线斜率存斜率时
．………………………………………7分
直线斜率存时
解 理…………………………9分
Rt△OAB中
．
综原点直线距离定值．……………………11分
解：
．
②h定值求值求值．
令
……14分
仅取值值．…………………………16分
三角函数定义法：
专题：三角函数定义解析中应
O
P1
P0
P2
基础热身
1 点P单位圆点初始位置开始单位圆逆时针方运动角
（）点然继续单位圆逆时针方运动点点横坐标值等 ___
2 角（）终边点）
二问题思考
选修44教材例1：极角离心角参数角什关系？等价？
三典型例题
例1：（理科）已知曲线参数方程 (φ参数)坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程正方形顶点逆时针次序排列点极坐标
（1）求点 直角坐标
（2）设曲线意点求取值范围
例2：原点作两条相互垂直直线分椭圆交四边形面积值
例3：（浙江嘉定区2013届高三理科模）已知椭圆：（）O
A
B
M
x
y
两点原点直线椭圆交两点椭圆点满足．
（1）求椭圆方程
（2）求证：定值．
分析（1）定系数法求椭圆方程（2）求等价求值求时忘记讨点ABM特殊位置
解答（1）代入椭圆方程
解．椭圆方程．
（2）知线段垂直分线椭圆称性知关原点称．
①点椭圆短轴顶点点椭圆长轴顶点时
．
理点椭圆长轴顶点点椭圆短轴顶点时
．
②点椭圆顶点设直线方程（）
直线方程．设
解
理
．
综定值．
反思第（2）题设点法处理设点AB分代入椭圆方程结果法运三角函数中点表示者说极点原点极坐标表示法时免讨
练：已知椭圆离心率条准线方程
（1） 求椭圆方程
（2）设椭圆两动点坐标原点．
① 直线倾斜角时求面积
② 否存原点圆心定圆该定圆始终直线相切？存请求出该定圆方程存请说明理．
（ 1）解椭圆方程．
（2）①解
．
②假设存满足条件定圆设圆半径
斜率均存时妨设直线方程：
理（中换成）斜率存时
满足条件定圆方程：．
例2面直角坐标系中已知双曲线：．
（1）左顶点引条渐进线行线求该直线条渐进线轴围成三角形面积
（2）设椭圆：分动点求证：直线距离定值
A
B
P
O
x
y
高考试题背景探源图面直角坐标系xOy中椭圆
左右焦点分．已知
椭圆中e椭圆离心率．
（1）求椭圆离心率
（2）设AB椭圆位x轴方两点直线
直线行交点P．
（i）求直线斜率
（ii）求证：定值．
例3（2012届苏锡常镇模）图两圆形飞轮通皮带传动飞轮半径（常数）飞轮半径飞轮边缘两点满足飞轮边缘点．设飞轮逆时针旋转圈传动开始时点水直线．m]
（1） 求点达高点时间距离
（2）求点传动程中高度差值．[源
分析A作动点C动点相时间两飞轮传动皮带长度相等两圆圆心角关系．求点
传动程中高度差建立坐标系较方便．
解答（1）坐标系原点直线轴图示建立直角坐标系．
点A达高点时点A绕O 1转点C绕O 2转．
A
OZ
OZ
CZ
BZ
1
2
．
．
．
．
．
x
y
时A（02r）C．
∴．
（2）题意设飞轮转角度θ
飞轮转角度2θ中．
时B（2r2r）C（4r + rr）．
记点高度差．
．
设
．
令1．
02π．
列表：
∴θ 时f(θ)取极值θ 时f(θ)取极值．
答：点BC传动中高度差值．
反思题考查弧度制定义三角函数定义结合导数考虑函数值问题．
利三角函数常见求解方法三角函数问题般利导数求值．
练：（2013年南通学科基密卷2）面直角坐标系中已知三点时针方排列构成等边三角形直线轴交点
（1）求值（2）求点坐标
题2问利矩阵变换方法完成
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