1 证明：
2 ：求证：
3 ：求证：
4 ：求：取值范围
5 ：三边求证：
6 时求证：
7 求值域
8 求函数值值
9 求证：
10 试求：取值范围
11 求值
12 求值值
13 满足
求：值
14 求证：
15 时求证：
16 求证：
17 求证：
18 已知：求证：
19 已知：求证：
20 已知：求证：
21 已知：求证：
22 设：求证：
23 已知：求证：
解答
1 证明：
1证明：
第二项开始放缩进行裂项求
：题采积分法证明
构建函数：区间单调递减函数
：
第二项开始积分函数减函数时积分项求项时积分限积分项求项时积分限
2 ：求证：
2证明：：
：：：
立方公式均值等式配合
：题采琴生等式证明
构建函数：区间单调递增函数凸函数
类函数琴生等式表述：函数值均值均值函数值
：
题： ：
：：：
琴生等式秒题
3 ：求证：
3： ：
： ：
：
开始放缩然求
：题采等式性质证明
证等式中项第项均满足项累加时
等式两边界项倍等式然成立
：值倍值倍
外值题松
4：求：取值范围
4解：
令：式： 解：
均值等式二次等式
5 ：三边求证：
5证明：构造函数时增函数
三角形说两边第三边：
：
构造函数法利单调性放缩结果
：等式入门证法作差法作商法 作差法两项相减差0较作商法号两项相商1较
题采作差法
6 时求证：
6 证明：时
扩倍：
取倒数：
裂项：
求：
：
先放缩裂项求放缩
：题采积分证明
O
A
A
B
D
C
E
F
G
H
构建函数：区间单调递减函数
面积关系：
：
：
式实际放缩法基等式前面裂项式
面证法前
7求值域
7解：
设：
：
代入量等式：：
：
回绝值等式
题解
求函数极值等式
求导：
：函数极值出现
函数奇函数仅讨正半轴
奇函数
：
8求函数值值
8解：函数稍作变形：
设点点
点N单位圆条直线斜率点M圆点N直线
斜率倍关键直线圆N点直线单位圆交点坐标范围
： 值1值1
原计算番分析法免计算
：果计算
先变形：变形：
：
：：
：：：：
果计算需辅助角公式
9求证：
9证明：柯西等式：
：
：
柯西等式
题采排序等式证明
首先等式变形：
：：
称性妨设：：
：
排序等式：
正序乱序
正序乱序
两式相加：
： 证毕
排序等式
10试求：取值范围
10解：柯西等式：
：：
：
柯西等式
：题采求极值方法证明
构建拉格朗日函数：
极值点导数0：
：：
：：
：：
代入：
极值点：
：：
11求值
11解：设：
：
代入：
：：值4
量等式
量等式柯西等式特殊形式题然柯西等式
：
拉格朗日数法行
构建拉氏函数：
极值点导数0：
：
：
：
代入：
：
：
求极值时判断极值极值需赋值法代
12求值值
12解：柯西等式：
：：
：
柯西等式
：题采换元法求解
说：椭球面没错 等轴椭球 三半轴长分：
设：椭球方程：
①
现求值值
采三角换元法：
令：
代入方程①检验知满足方程
采辅助角公式化简：
：峰值：
时
：
：：
13满足
求：值
13解：题满足：
柯西等式中等号成立条件
：：
：：：
：
柯西等式中等号成立
14求证：
14证明：
注意变形等式方法然放缩法
：题采积分法证明
构建函数：区间单调递减函数
15时求证：
15证明：
① 二项式定理：
② 二项式定理：
题①二项式中保留前两项进行放缩：
题②二项式中分子n开始k递减数连分母kn连分数必定1 ：
：题利函数基性质证明
构建函数：时函数单调递增函数
：时
利基等式：：
：
方法需运该等式成立条件：
16求证：
16证明：：
令：
：
：
： ①
：
：
：代入①式：
：原式
题关键根式式子换成两相邻根式差
然利求消中间部分剩两头
17 求证：
17证明：：
： ①
：
：
：
：
：：
：
项求： ②
①②题证
题采级数求放缩法
18 已知：求证：
18证明：(1)构造函数：：
时函数导数：
时函数增函数 ：
：：
(2) 构造函数：：
时导数：
时函数增函数 ：
：：
(1)(2)题证毕
题采构造函数法利函数单调性证题
19 已知：求证：
19证明：先构造函数：函数图象分取三点ABC
：
图形面积关系：
O
A
A
B
D
C
E
F
G
H
：
：
：
(1)
求：
：
(2) 求：
：
(1)(2)证毕
题采构造函数法利函数面积积分证题
20 已知：时求证：
20 证明：时
二项式定理：
证毕
题利二项式定理进行放缩证
21 已知：求证：
21 证明：设：：
证毕
1项数2次方数划分成n组组样放缩证
22 设：
求证：
22 证明：：
求：
：
：
题首先构建含等式构建成功题证
23 已知：求证：
23 证明：设：
采倒序相加：
括号通分：
： ①
：
……
：项
述等式代入①式：
： ②
：
： ③
②③题证
题中项放缩分母分式解题关键
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2 ：求证：
3 ：求证：
4 ：求：取值范围
5 ：三边求证：
6 时求证：
7 求值域
8 求函数值值
9 求证：
10 试求：取值范围
11 求值
12 求值值
13 满足
求：值
14 求证：
15 时求证：
16 求证：
17 求证：
18 已知：求证：
19 已知：求证：
20 已知：求证：
21 已知：求证：
22 设：求证：
23 已知：求证：
解答
1 证明：
1证明：
第二项开始放缩进行裂项求
：题采积分法证明
构建函数：区间单调递减函数
：
第二项开始积分函数减函数时积分项求项时积分限积分项求项时积分限
2 ：求证：
2证明：：
：：：
立方公式均值等式配合
：题采琴生等式证明
构建函数：区间单调递增函数凸函数
类函数琴生等式表述：函数值均值均值函数值
：
题： ：
：：：
琴生等式秒题
3 ：求证：
3： ：
： ：
：
开始放缩然求
：题采等式性质证明
证等式中项第项均满足项累加时
等式两边界项倍等式然成立
：值倍值倍
外值题松
4：求：取值范围
4解：
令：式： 解：
均值等式二次等式
5 ：三边求证：
5证明：构造函数时增函数
三角形说两边第三边：
：
构造函数法利单调性放缩结果
：等式入门证法作差法作商法 作差法两项相减差0较作商法号两项相商1较
题采作差法
6 时求证：
6 证明：时
扩倍：
取倒数：
裂项：
求：
：
先放缩裂项求放缩
：题采积分证明
O
A
A
B
D
C
E
F
G
H
构建函数：区间单调递减函数
面积关系：
：
：
式实际放缩法基等式前面裂项式
面证法前
7求值域
7解：
设：
：
代入量等式：：
：
回绝值等式
题解
求函数极值等式
求导：
：函数极值出现
函数奇函数仅讨正半轴
奇函数
：
8求函数值值
8解：函数稍作变形：
设点点
点N单位圆条直线斜率点M圆点N直线
斜率倍关键直线圆N点直线单位圆交点坐标范围
： 值1值1
原计算番分析法免计算
：果计算
先变形：变形：
：
：：
：：：：
果计算需辅助角公式
9求证：
9证明：柯西等式：
：
：
柯西等式
题采排序等式证明
首先等式变形：
：：
称性妨设：：
：
排序等式：
正序乱序
正序乱序
两式相加：
： 证毕
排序等式
10试求：取值范围
10解：柯西等式：
：：
：
柯西等式
：题采求极值方法证明
构建拉格朗日函数：
极值点导数0：
：：
：：
：：
代入：
极值点：
：：
11求值
11解：设：
：
代入：
：：值4
量等式
量等式柯西等式特殊形式题然柯西等式
：
拉格朗日数法行
构建拉氏函数：
极值点导数0：
：
：
：
代入：
：
：
求极值时判断极值极值需赋值法代
12求值值
12解：柯西等式：
：：
：
柯西等式
：题采换元法求解
说：椭球面没错 等轴椭球 三半轴长分：
设：椭球方程：
①
现求值值
采三角换元法：
令：
代入方程①检验知满足方程
采辅助角公式化简：
：峰值：
时
：
：：
13满足
求：值
13解：题满足：
柯西等式中等号成立条件
：：
：：：
：
柯西等式中等号成立
14求证：
14证明：
注意变形等式方法然放缩法
：题采积分法证明
构建函数：区间单调递减函数
15时求证：
15证明：
① 二项式定理：
② 二项式定理：
题①二项式中保留前两项进行放缩：
题②二项式中分子n开始k递减数连分母kn连分数必定1 ：
：题利函数基性质证明
构建函数：时函数单调递增函数
：时
利基等式：：
：
方法需运该等式成立条件：
16求证：
16证明：：
令：
：
：
： ①
：
：
：代入①式：
：原式
题关键根式式子换成两相邻根式差
然利求消中间部分剩两头
17 求证：
17证明：：
： ①
：
：
：
：
：：
：
项求： ②
①②题证
题采级数求放缩法
18 已知：求证：
18证明：(1)构造函数：：
时函数导数：
时函数增函数 ：
：：
(2) 构造函数：：
时导数：
时函数增函数 ：
：：
(1)(2)题证毕
题采构造函数法利函数单调性证题
19 已知：求证：
19证明：先构造函数：函数图象分取三点ABC
：
图形面积关系：
O
A
A
B
D
C
E
F
G
H
：
：
：
(1)
求：
：
(2) 求：
：
(1)(2)证毕
题采构造函数法利函数面积积分证题
20 已知：时求证：
20 证明：时
二项式定理：
证毕
题利二项式定理进行放缩证
21 已知：求证：
21 证明：设：：
证毕
1项数2次方数划分成n组组样放缩证
22 设：
求证：
22 证明：：
求：
：
：
题首先构建含等式构建成功题证
23 已知：求证：
23 证明：设：
采倒序相加：
括号通分：
： ①
：
……
：项
述等式代入①式：
： ②
：
： ③
②③题证
题中项放缩分母分式解题关键
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