等式基础必备
基等式公式
1均值定理： （仅时取等号）
注解：
方均值：
算术均值：
均值：
调均值：：
中
例：求较
解：
见：
序：方算术调
2指数等式： （仅时取等号）
O
x
y
注解：求等式右边：
记忆方法见函数图
曲线区间处直线方仅处相切 ：仅时取等号
例：时左边右边
：
3数等式： （仅时取等号）
O
x
y
注解：0负数没数：
记忆方法见函数图
曲线区间处直线方仅处相切 ：
仅时取等号
：
两边取数：：
例：时左边右边：
4柯西等式：
（仅时取等号）
注解：设量量
量公式：：
两边：
面结果代入：
例：
：
：
5琴生等式：
注解：
⑴
O
设区间凸函数图
二次导数
： ①
图中点均值函数值点函数均值
：凸函数函数均值均值函数值
O
⑵ 设区间凸函数图
二次导数
： ②
图中点均值函数值点函数均值
：凸函数函数均值均值函数值
面①②式称琴生等式
O
B
A
A
例：函数区间凸函数
（）
：区间凸函数
时
：
O
1
2
：
例：二次函数
凸函数
区间：
：
：
实区间满足
⑶ 推广般形式
凸函数：
（）
凸函数：
（）
琴生等式
注意等号方二次导数方致
6伯努利等式： （）
注解：二项式定理：
时： （仅时取等号）
例：时左边右边
：
7量等式：
⑴ 量三角形： ⑵
⑶ 量点：
注解：
⑴ 构成三角形三角形两边第三边
⑵ 构成三角形三角形两边差第三边
⑶ 量积公式：：
⑷ ：
面种基等式简单记忆方法：
均值定理四兄弟数指数俩伴侣
柯西琴生伯努利量三角点积
述等式解法统称公式法解证等式首先考虑述等式量 直接变形量切述等式
二求等式基方法
1作差法：较两象相减差0较方法
注解：常构建函数法 例证明构建
2作商法：较两正数象相商1较方法
注解：例证明 变形1
3公式法：前面等式公式结果方法
注解：均值定理柯西等式等
4单调性法：利函数某区间单调性出方法
注解：例函数区间单调递增：
5放缩法：等式边放缩等式变等式者者变更者变更问题解决方法
注解：例原右边减变 ①
①式放缩法结果
6判式法：果二次函数零点零点存二次方程解二次方程解条件：判式 里然出现等式
注解：方法处理二次函数时包括二次函数分式
7换元法：整式分式根式整体做量进行处理方法简化
注解：特三角换元法 三角函数身界然等式 法求常三角恒等式必须熟悉
8裂项相消法：项式子分裂成两项项求程中部分项相互抵消简明结果方法
注解：例放缩法中①式进步：
样果求结果：
中裂项
求程中项相互抵消
9倒序相加法：项求式子正序列倒序列序相加方法
注解：例求 倒序：
两式子序相加：
中圆括号值项
结果：：
10极值法（值法）：求出函数某区间极值加边界值找出值函数值出现等式方法
注解：函数区间值8
11积分法：积分实际求简化求运算种方法 果函数单调函数区间会出现等号求然存等号
注解：积分法画出简明图出单调性等量
面种求等式基方法简单记忆：
作差0作商1高
套公式结果单调放缩
二次函数零点判式换元法
倒序相加求裂项相消简化
极值值单调积分号方法
[例题] 已知：求证：
证明：⑴ 均值定理：
： ①
理： ②
①②两式相加：
：
：：
：
⑵ 琴生等式
构建函数：（）
：
代入琴生等式：
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基等式公式
1均值定理： （仅时取等号）
注解：
方均值：
算术均值：
均值：
调均值：：
中
例：求较
解：
见：
序：方算术调
2指数等式： （仅时取等号）
O
x
y
注解：求等式右边：
记忆方法见函数图
曲线区间处直线方仅处相切 ：仅时取等号
例：时左边右边
：
3数等式： （仅时取等号）
O
x
y
注解：0负数没数：
记忆方法见函数图
曲线区间处直线方仅处相切 ：
仅时取等号
：
两边取数：：
例：时左边右边：
4柯西等式：
（仅时取等号）
注解：设量量
量公式：：
两边：
面结果代入：
例：
：
：
5琴生等式：
注解：
⑴
O
设区间凸函数图
二次导数
： ①
图中点均值函数值点函数均值
：凸函数函数均值均值函数值
O
⑵ 设区间凸函数图
二次导数
： ②
图中点均值函数值点函数均值
：凸函数函数均值均值函数值
面①②式称琴生等式
O
B
A
A
例：函数区间凸函数
（）
：区间凸函数
时
：
O
1
2
：
例：二次函数
凸函数
区间：
：
：
实区间满足
⑶ 推广般形式
凸函数：
（）
凸函数：
（）
琴生等式
注意等号方二次导数方致
6伯努利等式： （）
注解：二项式定理：
时： （仅时取等号）
例：时左边右边
：
7量等式：
⑴ 量三角形： ⑵
⑶ 量点：
注解：
⑴ 构成三角形三角形两边第三边
⑵ 构成三角形三角形两边差第三边
⑶ 量积公式：：
⑷ ：
面种基等式简单记忆方法：
均值定理四兄弟数指数俩伴侣
柯西琴生伯努利量三角点积
述等式解法统称公式法解证等式首先考虑述等式量 直接变形量切述等式
二求等式基方法
1作差法：较两象相减差0较方法
注解：常构建函数法 例证明构建
2作商法：较两正数象相商1较方法
注解：例证明 变形1
3公式法：前面等式公式结果方法
注解：均值定理柯西等式等
4单调性法：利函数某区间单调性出方法
注解：例函数区间单调递增：
5放缩法：等式边放缩等式变等式者者变更者变更问题解决方法
注解：例原右边减变 ①
①式放缩法结果
6判式法：果二次函数零点零点存二次方程解二次方程解条件：判式 里然出现等式
注解：方法处理二次函数时包括二次函数分式
7换元法：整式分式根式整体做量进行处理方法简化
注解：特三角换元法 三角函数身界然等式 法求常三角恒等式必须熟悉
8裂项相消法：项式子分裂成两项项求程中部分项相互抵消简明结果方法
注解：例放缩法中①式进步：
样果求结果：
中裂项
求程中项相互抵消
9倒序相加法：项求式子正序列倒序列序相加方法
注解：例求 倒序：
两式子序相加：
中圆括号值项
结果：：
10极值法（值法）：求出函数某区间极值加边界值找出值函数值出现等式方法
注解：函数区间值8
11积分法：积分实际求简化求运算种方法 果函数单调函数区间会出现等号求然存等号
注解：积分法画出简明图出单调性等量
面种求等式基方法简单记忆：
作差0作商1高
套公式结果单调放缩
二次函数零点判式换元法
倒序相加求裂项相消简化
极值值单调积分号方法
[例题] 已知：求证：
证明：⑴ 均值定理：
： ①
理： ②
①②两式相加：
：
：：
：
⑵ 琴生等式
构建函数：（）
：
代入琴生等式：
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