中学高考——2014·浙江（理科数学）

2014·浙江卷(理科数学)
1．[2014·浙江卷] 设全集U＝{x∈N|x≥2}集合A＝{x∈N|x2≥5}∁UA＝(　　)
　 　　　　　 　　　　 　 　　　　

A．∅ B．{2} C．{5} D．{25}
1．B　[解析] ∁UA＝{x∈N|2≤x<}＝{2}选B
2．[2014·浙江卷] 已知i虚数单位ab∈Ra＝b＝1(a＋bi)2＝2i(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
2．A　[解析] ab∈R(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i 选A
3．[2014·浙江卷] 体三视图(单位：cm)图1­1示体表面积(　　)

图1­1
A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2
3．D　[解析] 体长方体三棱柱组合成直观图图

该体表面积2(4×3＋6×3＋6×4)＋2××3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm2)选D
4．[2014·浙江卷] 函数y＝sin 3x＋cos 3x图函数y＝cos 3x图(　　)
A．右移单位 B．左移单位
C．右移单位 D．左移单位
4．C　[解析] y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos函数y＝cos 3x图右移单位函数y＝sin 3x＋cos 3x图选C
5．[2014·浙江卷] (1＋x)6(1＋y)4展开式中记xmyn项系数f(mn)f(30)＋f(21)＋f(12)＋f(03)＝(　　)
A．45 B．60 C．120 D．210
5．C　[解析] 含xmyn项系数f(mn)＝CC原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120选C
6．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c0A．c≤3 B．3C．69
6．C　[解析] f(－1)＝f(－2)＝f(－3)⇒
⇒f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c0∴67．[2014·浙江卷] 直角坐标系中函数f(x)＝xa(x>0)g(x)＝logax图(　　)

　 　　A　　　　　　　　　　　　B

　 　　C　　　　　　　　　　　　D
图1­2
图1­2
7．D　[解析] 选项D符合时08．[2014·浙江卷] 记max{xy}＝min{xy}＝设ab面量(　　)
A．min{|a＋b||a－b|}≤min{|a||b|}
B．min{|a＋b||a－b|}≥min{|a||b|}
C．max{|a＋b|2|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
8．D　[解析] Aa＝0b≠0时等式成立Ba＝b≠0时等式成立 CD设＝a＝b构造行四边形OACB根行四边形法∠AOB∠OBC少等90°根余弦定理max{|a＋b|2|a－b|2}≥|a|2＋|b|2成立选D

9．[2014·浙江卷] 已知甲盒中仅1球红球乙盒中m红球n蓝球(m≥3n≥3)乙盒中机抽取i(i＝12)球放入甲盒中．
(a)放入i球甲盒中含红球数记ξi(i＝12)
(b)放入i球甲盒中取1球红球概率记pi(i＝12)．
(　　)
A．p1>p2E(ξ1)B．p1E(ξ2)
C．p1>p2E(ξ1)>E(ξ2)
D．p19．A　[解析] 方法：妨取m＝n＝3时p1＝×＋×＝p2＝×＋×＋×＝
p1>p2E(ξ1)＝1×＋2×＝E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝2E(ξ1)方法二：p1＝×＋×＝p2＝×＋×＋×＝

p1－p2＝>0
E(ξ1)＝1×＋2×＝
E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝

E(ξ1)－E(ξ2)＝<0选A
10．[2014·浙江卷] 设函数f1(x)＝x2f2(x)＝2(x－x2)f3(x)＝|sin 2πx|ai＝i＝012…99记Ik＝|fk(a1)－fk(a0)|＋|fk(a2)－fk(a1)|＋…＋|fk(a99)－fk(a98)|k＝123(　　)
A．I1C．I110．B　[解析] I1＝(i＝12…99)I1＝(1＋3＋5＋…＋2×99－1)＝＝1I22＝|100－2i|(i＝12…99)I2＝×2×＝＝<1
I3＝sin －sin ＋sin－sin ＋…＋
sin－sin＝
≈>1I211．[2014·浙江卷] 某程序框图图1­3示输入50时该程序运行输出结果________．

图1­3
11．6　[解析] 第次运行S＝1i＝2第二次运行S＝4i＝3第三次运行S＝11i＝4第四次运行S＝26i＝5第五次运行S＝57i＝6时S>n输出i＝6
12．[2014·浙江卷] 机变量ξ取值012P(ξ＝0)＝E(ξ)＝1D(ξ)＝________．
12　[解析] 设P(ξ＝1)＝xP(ξ＝2)＝y
⇒ D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝
13．　[2014·浙江卷] 实数xy满足时1≤ax＋y≤4恒成立实数a取值范围________．
13　[解析] 实数xy满足行域图中阴影部分示图中A(10)B(21)Ca≤0时0≤y≤1≤x≤21≤ax＋y≤4恒成立a>0时助图直线z＝ax＋y点A时z取值直线z＝ax＋y点BC时z取值解1≤a≤a∈



14．[2014·浙江卷] 8张奖券中二三等奖1张余5张奖．8张奖券分配42张获奖情况________种．(数字作答)
14．60　[解析] 分两种情况：种获两张奖券获张奖券CA＝36种种三获张奖券A＝24种．60种获奖情况．
15．[2014·浙江卷] 设函数f(x)＝
f[f(a)]≤2实数a取值范围________．
15．(－∞]　[解析] 函数f(x)图图示令t＝f(a)f(t)≤2图知t≥－2f(a)≥－2a≤

16．[2014·浙江卷] 设直线x－3y＋m＝0(m≠0)双曲线－＝1(a>0b>0)两条渐线分交点AB点P(m0)满足|PA|＝|PB|该双曲线离心率________．
16　[解析] 双曲线渐线y＝±x渐线直线x－3y＋m＝0

交点AB设AB中点D|PA|＝|PB|知ABDP垂直DkDP＝－3解a2＝4b2该双曲线离心率
17．[2014·浙江卷] 图1­4某垂直水面ABC墙面前点A处进行射击训练．已知点A墙面距离AB某目标点P墙面射线CM移动准确瞄准目标点P需计算点A观察点P仰角θ．AB＝15 mAC＝25 m∠BCM＝30°tan θ值________．(仰角θ直线AP面ABC成角)

图1­4


17　[解析] 勾股定理BC＝20 m．图P点作PD⊥BCD连接AD 点A观察点P仰角θ＝∠PADtan θ＝设PD＝xDC＝xBD＝20－xRt△ABD中AD＝＝
tan θ＝＝＝≤tan θ值


18．　[2014·浙江卷] △ABC中角ABC边分abc已知a≠bc＝cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B
(1)求角C
(2)sin A＝求△ABC面积．
18．解：(1)题意－＝sin 2A－sin 2Bsin 2A－cos 2A＝
sin 2B－cos 2Bsin＝sin
a≠bA≠BA＋B∈(0π)2A－＋2B－＝π
A＋B＝C＝
(2)c＝sin A＝＝a＝
a△ABC面积S＝acsin B＝
19．[2014·浙江卷] 已知数列{an}{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．{an}等数列a1＝2b3＝6＋b2
(1)求anbn
(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}前n项Sn
(i)求Sn
(ii)求正整数k意n∈N*均Sk≥Sn
19．解：(1)题意a1a2a3…an＝()bnb3－b2＝6
知a3＝()b3－b2＝8
a1＝2公q＝2(q＝－2舍)数列{an}通项an＝2n(n∈N*)．
a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．
数列{bn}通项bn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(2)(i)(1)知cn＝－＝－(n∈N*)．
Sn＝－(n∈N*)．
(ii)c1＝0c2>0c3>0c4>0
n≥5时cn＝
－＝>0
≤<1
n≥5时cn<0
综意n∈N*恒Sk≥Snk＝4
20．[2014·浙江卷] 图1­5四棱锥A ­BCDE中面ABC⊥面BCDE∠CDE＝∠BED＝90°AB＝CD＝2DE＝BE＝1AC＝
(1)证明：DE⊥面ACD
(2)求二面角B ­ AD ­ E．


图1­5



20．解：(1)证明：直角梯形BCDE中DE＝BE＝1CD＝2BD＝BC＝
AC＝AB＝2
AB2＝AC2＋BC2AC⊥BC
面ABC⊥面BCDEAC⊥面BCDE
AC⊥DEDE⊥DCDE⊥面ACD
(2)方法：
B作BF⊥ADAD交点F点F作FG∥DEAE交点G连接BG(1)知DE⊥ADFG⊥AD∠BFG二面角B ­ AD ­ E面角．
直角梯形BCDE中CD2＝BC2＋BD2
BD⊥BC

面ABC⊥面BCDEBD⊥面ABCBD⊥ABAC⊥面BCDEAC⊥CD
Rt△ACD中DC＝2AC＝AD＝
Rt△AED中ED＝1AD＝AE＝
Rt△ABD中BD＝AB＝2AD＝BF＝AF＝ADGF＝ED＝
△ABE△ABG中利余弦定理分cos∠BAE＝BG＝
△BFG中cos∠BFG＝＝
∠BFG＝二面角B ­ AD ­ E
方法二：
D原点分射线DEDCxy轴正半轴建立空间直角坐标系D ­ xyz图示．

题意知点坐标：
D(000)E(100)C(020)
A(02)B(110)．
设面ADE法量m＝(x1y1z1)
面ABD法量n＝(x2y2z2)．
算AD＝(0－2－)AE＝(1－2－)＝(110)．

取m＝(01－)．

取n＝(1－1)．
|cos〈mn〉|＝＝＝
题意知求二面角锐角
二面角B ­ AD ­ E
21．[2014·浙江卷] 图1­6设椭圆C：＋＝1(a>b>0)动直线l椭圆C公点P点P第象限．
(1)已知直线l斜率kabk表示点P坐标
(2)原点O直线l1l垂直证明：点P直线l1距离值a－b

图1­6
21．解：(1)设直线l方程y＝kx＋m(k<0)消y(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0
lC公点Δ＝0b2－m2＋a2k2＝0解点P坐标
点P第象限点P坐标P
(2)直线l1原点Ol垂直直线l1方程x＋ky＝0点P直线l1
距离d＝
整理d＝
a2k2＋≥2ab≤＝a－b
仅k2＝时等号成立．
点P直线l1距离值a－b
22．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．
(1)f(x)[－11]值值分记M(a)m(a)求M(a)－m(a)
(2)设b∈R[f(x)＋b]2≤4x∈[－11]恒成立求3a＋b取值范围．
22．解：(1)f(x)＝
f′(x)＝
－1≤x≤1
(i)a≤－1时x≥a
f(x)＝x3＋3x－3a
时f(x)(－11)增函数
M(a)＝f(1)＝4－3am(a)＝f(－1)＝－4－3aM(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8
(ii)－1f(x)＝x3－3x＋3a(－1a)减函数．M(a)＝max{f(1)f(－1)}m(a)＝f(a)＝a3
f(1)－f(－1)＝－6a＋2－1(iii)a≥1时x≤af(x)＝x3－3x＋3a时f(x)(－11)减函数M(a)＝f(－1)＝2＋3am(a)＝f(1)＝－2＋3a
M(a)－m(a)＝(2＋3a)－(－2＋3a)＝4
综M(a)－m(a)＝
(2)令h(x)＝f(x)＋b
h(x)＝
h′(x)＝
[f(x)＋b]2≤4x∈[－11]恒成立
－2≤h(x)≤2x∈[－11]恒成立
(1)知(i)a≤－1时h(x)(－11)增函数h(x)[－11]值h(1)＝4－3a＋b值h(－1)＝－4－3a＋b－4－3a＋b≥－24－3a＋b≤2矛盾．
(ii)－1令t(a)＝－2－a3＋3at′(a)＝3－3a2>0t(a)增函数t(a)>t(0)＝－2
－2≤3a＋b≤0
(iii)(iv)a≥1时h(x)[－11]值h(－1)＝2＋3a＋b值h(1)＝－2＋3a＋b3a＋b＋2≤23a＋b－2≥－2解3a＋b＝0
综3a＋b取值范围－2≤3a＋b≤0
选模块
1．[2014·浙江卷] (1)解等式2|x－2|－|x＋1|＞3
(2)设正数abc满足abc＝a＋b＋c求证：ab＋4bc＋9ac≥36出等号成立条件．
解：(1)x≤－1时2(2－x)＋(x＋1)＞3x＜2时x≤－1
－1＜x≤2时2(2－x)－(x＋1)＞3x＜0时
－1x>2时2(x－2)－(x＋1)＞3x>8时x>8
综述原等式解集(－∞0)∪(8＋∞)．
(2)证明：abc＝a＋b＋c＋＋＝1
柯西等式
(ab＋4bc＋9ac)≥(1＋2＋3)2
ab＋4bc＋9ac≥36仅a＝2b＝3c＝1时等号成立．
2．[2014·浙江卷] (1)极坐标系Ox中设集合A＝{(ρθ)|0≤θ≤0≤ρ≤cos θ}求集合A表示区域面积
(2)直角坐标系xOy中
直线l：(t参数)
曲线C：(θ参数)中a＞0
曲线C点均直线l右方求a取值范围．
解：(1)ρ＝cos θ两边ρ
ρ2＝ρcos θ
化成直角坐标方程x2＋y2＝x
＋y2＝
集合A表示区域：射线y＝x(x≥0)y＝0(x≥0)圆＋y2＝围成区域图示阴影部分求面积＋

(2)题意知直线l普通方程x－y＋4＝0
曲线C点均直线l右方θ∈Racos θ－2sin θ＋4＞0恒成立
cos(θ＋φ)＞－4恒成立
＜4a＞00＜a＜2

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