2014·陕西卷(理科数学)
1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0x∈R}N＝{x|x2<1x∈R}M∩N＝( )
A．[01] B．[01) C．(01] D．(01)
1．B [解析] M＝{x|x≥0x∈R}N＝{x|x2<1x∈R}＝{x|－12．[2014·陕西卷] 函数f(x)＝cos正周期( )
A B．π C．2π D．4π
2．B [解析] 已知函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0ω>0)周期T＝函数f(x)正周期T＝＝π
3．[2014·陕西卷] 定积分(2x＋ex)dx值( )
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
3．C [解析] (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e
图11
4．[2014·陕西卷] 根图11示框图2整数N输出数列通项公式( )
A．an＝2n
B．an＝2(n－1)
C．an＝2n
D．an＝2n－1
4．C [解析] 阅读题中程序框图知2整数N输出数列：22×2＝222×22＝232×23＝24…2×2N－1＝2N通项公式an＝2n
5．[2014·陕西卷] 已知底面边长1侧棱长正四棱柱顶点均球面该球体积( )
A B．4π C．2π D
5．D [解析] 设该球半径R根正四棱柱外接球直径长正四棱柱体角线长(2R)2＝()2＋12＋12解R＝1该球体积V＝πR3＝π
6．[2014·陕西卷] 正方形四顶点中心5点中取2点2点距离该正方形边长概率 ( )
A B C D
6．C [解析] 利古典概型特点知5点中选取2点全部情况C＝10(种)选取2点距离该正方形边长情况：选取2点连线正方形4条边长2条角线长6种．求概率P＝＝
7．[2014·陕西卷] 列函数中满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)单调递增函数( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝3x
7．B [解析] f(x＋y)＝f(x)f(y)排选项ACf(x)＝单调递减函数排选项D
8．[2014·陕西卷] 原命题z1z2互轭复数|z1|＝|z2|关逆命题否命题逆否命题真假性判断次正确( )
A．真假真 B．假假真
C．真真假 D．假假假
8．B [解析] 设z1＝a＋biz2＝a－biab∈R|z1|＝|z2|＝原命题真否命题假逆否命题真．z1＝2＋iz2＝－2＋i时满足|z1|＝|z2|时z1z2轭复数原命题逆命题假．
9．[2014·陕西卷] 设样数x1x2…x10均值方差分14yi＝xi＋a(a非零常数i＝12…10)y1y2…y10均值方差分( )
A．1＋a4 B．1＋a4＋a
C．14 D．14＋a
9．A [解析] 题意知＝1＝＝1＋a数x1x2…x10时增加定值方差变．选A
10．[2014·陕西卷] 图12某飞行器4千米高空水飞行距着陆点A水距离10千米处开始降已知降飞行轨迹某三次函数图部分该函数解析式 ( )
图12
A．y＝x3－x B．y＝x3－x
C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x
10．A [解析] 设该三次函数解析式y＝ax3＋bx2＋cx＋d函数图点(00)d＝0y＝ax3＋bx2＋cx函数点(－52)(5－2)该函数奇函数b＝0y＝ax3＋cx代入点(－52)－125a－5c＝2该函数图点(－52)处切线行x轴y′＝3ax2＋cx＝－5时y′＝75a＋c＝0联立解该三次函数解析式y＝x3－x
11．[2014·陕西卷] 已知4a＝2lg x＝ax＝________．
11 [解析] 4a＝2a＝代入lg x＝alg x＝x＝10 ＝
12．[2014·陕西卷] 圆C半径1圆心点(10)关直线y＝x称圆C标准方程________．
12．x2＋(y－1)2＝1 [解析] 圆C圆心点(10)关直线y＝x称圆C圆心(01)．圆C半径1圆C标准方程x2＋(y－1)2＝1
13．[2014·陕西卷] 设0<θ<量a＝(sin 2θcos θ)b＝(cos θ1)a∥btan θ＝________．
13 [解析] 量a∥bsin 2θ－cos θ·cos θ＝0cos θ≠02sin θ＝cos θtan θ＝
14．[2014·陕西卷] 观察分析表中数：
面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想般凸面体中FVE满足等式________．
14．F＋V－E＝2 [解析] 题中三组数5＋6－9＝26＋6－10＝26＋8－12＝2猜想出般凸面体顶点数V面数F棱数E满足等式F＋V－E＝2
15．[2014·陕西卷] A．(等式选做题)设abmn∈Ra2＋b2＝5ma＋nb＝5值________．
图13
B．(证明选做题)图13△ABC中BC＝6BC直径半圆分交ABAC
点EFAC＝2AEEF＝________．
C．(坐标系参数方程选做题)极坐标系中点直线ρsin＝1距离________．
15．A B．3 C．1 [解析] A．柯西等式知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2代入数m2＋n2≥5仅an＝bm时等号成立 值
B．题意知∠AEF＝∠ACB∠A＝∠A△AEF∽ACB＝AC＝2AEBC＝6EF＝3
C．点极坐标化x＝ρcos θ＝2cos＝y＝ρsin θ＝2sin＝1点面直角坐标系中坐标(1)．直线ρsin＝ρsin θcos－ρcos θsin＝1该直线直角坐标系中方程x－y＋2＝0点直线距离公式求距离d＝＝1
16．[2014·陕西卷] △ABC角ABC边分abc
(1)abc成等差数列证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)
(2)abc成等数列求cos B值．
16．解：(1)∵abc成等差数列∴a＋c＝2b
正弦定理sin A＋sin C＝2sin B
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵abc成等数列∴b2＝ac
余弦定理
cos B＝＝≥＝
仅a＝c时等号成立
∴cos B值
17．[2014·陕西卷] 四面体ABCD三视图图14示棱AB中点E作行ADBC面分交四面体棱BDDCCA点FGH
(1)证明：四边形EFGH矩形
(2)求直线AB面EFGH夹角θ正弦值．
图14
17．解：(1)证明：该四面体三视图知
BD⊥DCBD⊥ADAD⊥DC
BD＝DC＝2AD＝1
题设BC∥面EFGH
面EFGH∩面BDC＝FG
面EFGH∩面ABC＝EH
∴BC∥FGBC∥EH∴FG∥EH
理EF∥ADHG∥AD∴EF∥HG
∴四边形EFGH行四边形．
∵AD⊥DCAD⊥BD∴AD⊥面BDC
∴AD⊥BC∴EF⊥FG
∴四边形EFGH矩形．
(2)方法：图D坐标原点建立空间直角坐标系D(000)A(001)B(200)C(020)
DA＝(001)BC＝(－220)
BA＝(－201)．
设面EFGH法量n＝(xyz)
∵EF∥ADFG∥BC
∴n·DA＝0n·BC＝0
取n＝(110)
∴sin θ＝|cos〈n〉|＝＝＝
方法二：图D坐标原点建立空间直角坐标系
D(000)A(001)B(200)C(020)
∵EAB中点∴FG分BDDC中点EF(100)G(010)．
∴＝FG＝(－110)
BA＝(－201)．
设面EFGH法量n＝(xyz)
n·FE＝0n·FG＝0
取n＝(110)
∴sin θ＝|cos〈n〉|＝＝＝
18．[2014·陕西卷] 直角坐标系xOy中已知点A(11)B(23)C(32)点P(xy)△ABC三边围成区域(含边界)．
(1)＋＋＝0求||
(2)设＝m＋n(mn∈R)xy表示m－n求m－n值．
18．解：(1)方法：∵＋＋＝0
＋＋＝(1－x1－y)＋(2－x3－y)＋(3－x2－y)＝(6－3x6－3y)
∴解
＝(22)||＝2
方法二：∵＋＋＝0
(－)＋(－)＋(－)＝0
∴＝(＋＋)＝(22)
∴||＝2
(2)∵＝m＋n
∴(xy)＝(m＋2n2m＋n)
∴
两式相减m－n＝y－x
令y－x＝t图知直线y＝x＋t点B(23)时t取值1m－n值1
19．[2014·陕西卷] 块耕种植种作物季种植成1000元作物市场价格块产量均具机性互影响具体情况表：
作物产量(kg)
300
500
概 率
05
05
作物市场价格(元kg)
6
10
概 率
04
06
(1)设X表示块种植1季作物利润求X分布列
(2)块连续3季种植作物求3季中少2季利润少2000元概率
．
19．解：(1)设A表示事件作物产量300 kgB表示事件作物市场价格6元kg
题设知P(A)＝05P(B)＝04
∵利润＝产量×市场价格－成
∴X取值
500×10－1000＝4000500×6－1000＝2000
300×10－1000＝2000300×6－1000＝800
P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－05)×(1－04)＝03
P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－05)×04＋05×(1－04)＝05
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝05×04＝02
X分布列
X
4000
2000
800
P
03
05
02
(2)设Ci表示事件第i季利润少2000元(i＝123)
题意知C1C2C3相互独立(1)知
P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝03＋05＝08(i＝123)
3季利润均少2000元概率
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝083＝0512
3季中2季利润少2000元概率
P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×082×02＝0384
3季中少2季利润少2000元概率0512＋0384＝0896
20．[2014·陕西卷] 图15示曲线C半椭圆C1：＋＝1(a>b>0y≥0)部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接成C1C2公点AB中C1离心率
(1)求ab值
(2)点B直线lC1C2分交点PQ(均异点AB)AP⊥AQ求直线l方程．
图15
20．解：(1)C1C2方程中令y＝0b＝1A(－10)B(10)半椭圆C1左右顶点．
设C1半焦距c＝a2－c2＝b2＝1a＝2
∴a＝2b＝1
(2)方法：(1)知半椭圆C1方程＋x2＝1(y≥0)．
易知直线lx轴重合垂直设方程y＝k(x－1)(k≠0)
代入C1方程整理
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0(*)
设点P坐标(xPyP)
∵直线l点B∴x＝1方程(*)根．
求根公式xP＝yP＝
∴点P坐标
理
点Q坐标(－k－1－k2－2k)．
∴＝(k－4)＝－k(1k＋2)．
∵AP⊥AQ
∴AP·AQ＝0[k－4(k＋2)]＝0
∵k≠0
∴k－4(k＋2)＝0解k＝－
检验k＝－符合题意
直线l方程y＝－(x－1)．
方法二：设直线l方程x＝my＋1(m≠0)方法分．
21．[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)g(x)＝xf′(x)x≥0中f′(x)f(x)导函数．
(1)令g1(x)＝g(x)gn＋1(x)＝g(gn(x))n∈N＋求gn(x)表达式
(2)f(x)≥ag(x)恒成立求实数a取值范围
(3)设n∈N＋较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)n－f(n)加证明．
21．解：题设g(x)＝(x≥0)．
(1)已知g1(x)＝
g2(x)＝g(g1(x))＝＝
g3(x)＝…gn(x)＝
面数学纳法证明．
①n＝1时g1(x)＝结成立．
②假设n＝k时结成立gk(x)＝
n＝k＋1时gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝结成立．
①②知结n∈N＋成立．
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立ln(1＋x)≥恒成立．
设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)
φ′(x)＝－＝
a≤1时φ′(x)≥0(仅x＝0a＝1时等号成立)
∴φ(x)[0＋∞)单调递增φ(0)＝0
∴φ(x)≥0[0＋∞)恒成立
∴a≤1时ln(1＋x)≥恒成立(仅x＝0时等号成立)．
a>1时x∈(0a－1]φ′(x)<0
∴φ(x)(0a－1]单调递减
∴φ(a－1)<φ(0)＝0
a>1时存x>0φ(x)<0
知ln(1＋x)≥恒成立．
综知a取值范围(－∞1]．
(3)题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋
较结果g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．
证明：
方法：述等式等价＋＋…＋(2)中取a＝1ln(1＋x)>x>0
令x＝n∈N＋面数学纳法证明．
①n＝1时②假设n＝k时结成立＋＋…＋n＝k＋1时＋＋…＋＋结成立．
①②知结n∈N＋成立．
方法二：述等式等价＋＋…＋(2)中取a＝1ln(1＋x)>x>0
令x＝n∈N＋ln>
ln 2－ln 1>
ln 3－ln 2>
……
ln(n＋1)－ln n>
述式相加ln(n＋1)>＋＋…＋
结证．
方法三：图dx曲线y＝x＝nx轴围成曲边梯形面积＋＋…＋图中示矩形面积
∴＋＋…＋>dx＝
dx＝n－ln(n＋1)
结证．
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1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0x∈R}N＝{x|x2<1x∈R}M∩N＝( )
A．[01] B．[01) C．(01] D．(01)
1．B [解析] M＝{x|x≥0x∈R}N＝{x|x2<1x∈R}＝{x|－1
A B．π C．2π D．4π
2．B [解析] 已知函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0ω>0)周期T＝函数f(x)正周期T＝＝π
3．[2014·陕西卷] 定积分(2x＋ex)dx值( )
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
3．C [解析] (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e
图11
4．[2014·陕西卷] 根图11示框图2整数N输出数列通项公式( )
A．an＝2n
B．an＝2(n－1)
C．an＝2n
D．an＝2n－1
4．C [解析] 阅读题中程序框图知2整数N输出数列：22×2＝222×22＝232×23＝24…2×2N－1＝2N通项公式an＝2n
5．[2014·陕西卷] 已知底面边长1侧棱长正四棱柱顶点均球面该球体积( )
A B．4π C．2π D
5．D [解析] 设该球半径R根正四棱柱外接球直径长正四棱柱体角线长(2R)2＝()2＋12＋12解R＝1该球体积V＝πR3＝π
6．[2014·陕西卷] 正方形四顶点中心5点中取2点2点距离该正方形边长概率 ( )
A B C D
6．C [解析] 利古典概型特点知5点中选取2点全部情况C＝10(种)选取2点距离该正方形边长情况：选取2点连线正方形4条边长2条角线长6种．求概率P＝＝
7．[2014·陕西卷] 列函数中满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)单调递增函数( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝3x
7．B [解析] f(x＋y)＝f(x)f(y)排选项ACf(x)＝单调递减函数排选项D
8．[2014·陕西卷] 原命题z1z2互轭复数|z1|＝|z2|关逆命题否命题逆否命题真假性判断次正确( )
A．真假真 B．假假真
C．真真假 D．假假假
8．B [解析] 设z1＝a＋biz2＝a－biab∈R|z1|＝|z2|＝原命题真否命题假逆否命题真．z1＝2＋iz2＝－2＋i时满足|z1|＝|z2|时z1z2轭复数原命题逆命题假．
9．[2014·陕西卷] 设样数x1x2…x10均值方差分14yi＝xi＋a(a非零常数i＝12…10)y1y2…y10均值方差分( )
A．1＋a4 B．1＋a4＋a
C．14 D．14＋a
9．A [解析] 题意知＝1＝＝1＋a数x1x2…x10时增加定值方差变．选A
10．[2014·陕西卷] 图12某飞行器4千米高空水飞行距着陆点A水距离10千米处开始降已知降飞行轨迹某三次函数图部分该函数解析式 ( )
图12
A．y＝x3－x B．y＝x3－x
C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x
10．A [解析] 设该三次函数解析式y＝ax3＋bx2＋cx＋d函数图点(00)d＝0y＝ax3＋bx2＋cx函数点(－52)(5－2)该函数奇函数b＝0y＝ax3＋cx代入点(－52)－125a－5c＝2该函数图点(－52)处切线行x轴y′＝3ax2＋cx＝－5时y′＝75a＋c＝0联立解该三次函数解析式y＝x3－x
11．[2014·陕西卷] 已知4a＝2lg x＝ax＝________．
11 [解析] 4a＝2a＝代入lg x＝alg x＝x＝10 ＝
12．[2014·陕西卷] 圆C半径1圆心点(10)关直线y＝x称圆C标准方程________．
12．x2＋(y－1)2＝1 [解析] 圆C圆心点(10)关直线y＝x称圆C圆心(01)．圆C半径1圆C标准方程x2＋(y－1)2＝1
13．[2014·陕西卷] 设0<θ<量a＝(sin 2θcos θ)b＝(cos θ1)a∥btan θ＝________．
13 [解析] 量a∥bsin 2θ－cos θ·cos θ＝0cos θ≠02sin θ＝cos θtan θ＝
14．[2014·陕西卷] 观察分析表中数：
面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想般凸面体中FVE满足等式________．
14．F＋V－E＝2 [解析] 题中三组数5＋6－9＝26＋6－10＝26＋8－12＝2猜想出般凸面体顶点数V面数F棱数E满足等式F＋V－E＝2
15．[2014·陕西卷] A．(等式选做题)设abmn∈Ra2＋b2＝5ma＋nb＝5值________．
图13
B．(证明选做题)图13△ABC中BC＝6BC直径半圆分交ABAC
点EFAC＝2AEEF＝________．
C．(坐标系参数方程选做题)极坐标系中点直线ρsin＝1距离________．
15．A B．3 C．1 [解析] A．柯西等式知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2代入数m2＋n2≥5仅an＝bm时等号成立 值
B．题意知∠AEF＝∠ACB∠A＝∠A△AEF∽ACB＝AC＝2AEBC＝6EF＝3
C．点极坐标化x＝ρcos θ＝2cos＝y＝ρsin θ＝2sin＝1点面直角坐标系中坐标(1)．直线ρsin＝ρsin θcos－ρcos θsin＝1该直线直角坐标系中方程x－y＋2＝0点直线距离公式求距离d＝＝1
16．[2014·陕西卷] △ABC角ABC边分abc
(1)abc成等差数列证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)
(2)abc成等数列求cos B值．
16．解：(1)∵abc成等差数列∴a＋c＝2b
正弦定理sin A＋sin C＝2sin B
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵abc成等数列∴b2＝ac
余弦定理
cos B＝＝≥＝
仅a＝c时等号成立
∴cos B值
17．[2014·陕西卷] 四面体ABCD三视图图14示棱AB中点E作行ADBC面分交四面体棱BDDCCA点FGH
(1)证明：四边形EFGH矩形
(2)求直线AB面EFGH夹角θ正弦值．
图14
17．解：(1)证明：该四面体三视图知
BD⊥DCBD⊥ADAD⊥DC
BD＝DC＝2AD＝1
题设BC∥面EFGH
面EFGH∩面BDC＝FG
面EFGH∩面ABC＝EH
∴BC∥FGBC∥EH∴FG∥EH
理EF∥ADHG∥AD∴EF∥HG
∴四边形EFGH行四边形．
∵AD⊥DCAD⊥BD∴AD⊥面BDC
∴AD⊥BC∴EF⊥FG
∴四边形EFGH矩形．
(2)方法：图D坐标原点建立空间直角坐标系D(000)A(001)B(200)C(020)
DA＝(001)BC＝(－220)
BA＝(－201)．
设面EFGH法量n＝(xyz)
∵EF∥ADFG∥BC
∴n·DA＝0n·BC＝0
取n＝(110)
∴sin θ＝|cos〈n〉|＝＝＝
方法二：图D坐标原点建立空间直角坐标系
D(000)A(001)B(200)C(020)
∵EAB中点∴FG分BDDC中点EF(100)G(010)．
∴＝FG＝(－110)
BA＝(－201)．
设面EFGH法量n＝(xyz)
n·FE＝0n·FG＝0
取n＝(110)
∴sin θ＝|cos〈n〉|＝＝＝
18．[2014·陕西卷] 直角坐标系xOy中已知点A(11)B(23)C(32)点P(xy)△ABC三边围成区域(含边界)．
(1)＋＋＝0求||
(2)设＝m＋n(mn∈R)xy表示m－n求m－n值．
18．解：(1)方法：∵＋＋＝0
＋＋＝(1－x1－y)＋(2－x3－y)＋(3－x2－y)＝(6－3x6－3y)
∴解
＝(22)||＝2
方法二：∵＋＋＝0
(－)＋(－)＋(－)＝0
∴＝(＋＋)＝(22)
∴||＝2
(2)∵＝m＋n
∴(xy)＝(m＋2n2m＋n)
∴
两式相减m－n＝y－x
令y－x＝t图知直线y＝x＋t点B(23)时t取值1m－n值1
19．[2014·陕西卷] 块耕种植种作物季种植成1000元作物市场价格块产量均具机性互影响具体情况表：
作物产量(kg)
300
500
概 率
05
05
作物市场价格(元kg)
6
10
概 率
04
06
(1)设X表示块种植1季作物利润求X分布列
(2)块连续3季种植作物求3季中少2季利润少2000元概率
．
19．解：(1)设A表示事件作物产量300 kgB表示事件作物市场价格6元kg
题设知P(A)＝05P(B)＝04
∵利润＝产量×市场价格－成
∴X取值
500×10－1000＝4000500×6－1000＝2000
300×10－1000＝2000300×6－1000＝800
P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－05)×(1－04)＝03
P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－05)×04＋05×(1－04)＝05
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝05×04＝02
X分布列
X
4000
2000
800
P
03
05
02
(2)设Ci表示事件第i季利润少2000元(i＝123)
题意知C1C2C3相互独立(1)知
P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝03＋05＝08(i＝123)
3季利润均少2000元概率
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝083＝0512
3季中2季利润少2000元概率
P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×082×02＝0384
3季中少2季利润少2000元概率0512＋0384＝0896
20．[2014·陕西卷] 图15示曲线C半椭圆C1：＋＝1(a>b>0y≥0)部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接成C1C2公点AB中C1离心率
(1)求ab值
(2)点B直线lC1C2分交点PQ(均异点AB)AP⊥AQ求直线l方程．
图15
20．解：(1)C1C2方程中令y＝0b＝1A(－10)B(10)半椭圆C1左右顶点．
设C1半焦距c＝a2－c2＝b2＝1a＝2
∴a＝2b＝1
(2)方法：(1)知半椭圆C1方程＋x2＝1(y≥0)．
易知直线lx轴重合垂直设方程y＝k(x－1)(k≠0)
代入C1方程整理
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0(*)
设点P坐标(xPyP)
∵直线l点B∴x＝1方程(*)根．
求根公式xP＝yP＝
∴点P坐标
理
点Q坐标(－k－1－k2－2k)．
∴＝(k－4)＝－k(1k＋2)．
∵AP⊥AQ
∴AP·AQ＝0[k－4(k＋2)]＝0
∵k≠0
∴k－4(k＋2)＝0解k＝－
检验k＝－符合题意
直线l方程y＝－(x－1)．
方法二：设直线l方程x＝my＋1(m≠0)方法分．
21．[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)g(x)＝xf′(x)x≥0中f′(x)f(x)导函数．
(1)令g1(x)＝g(x)gn＋1(x)＝g(gn(x))n∈N＋求gn(x)表达式
(2)f(x)≥ag(x)恒成立求实数a取值范围
(3)设n∈N＋较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)n－f(n)加证明．
21．解：题设g(x)＝(x≥0)．
(1)已知g1(x)＝
g2(x)＝g(g1(x))＝＝
g3(x)＝…gn(x)＝
面数学纳法证明．
①n＝1时g1(x)＝结成立．
②假设n＝k时结成立gk(x)＝
n＝k＋1时gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝结成立．
①②知结n∈N＋成立．
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立ln(1＋x)≥恒成立．
设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)
φ′(x)＝－＝
a≤1时φ′(x)≥0(仅x＝0a＝1时等号成立)
∴φ(x)[0＋∞)单调递增φ(0)＝0
∴φ(x)≥0[0＋∞)恒成立
∴a≤1时ln(1＋x)≥恒成立(仅x＝0时等号成立)．
a>1时x∈(0a－1]φ′(x)<0
∴φ(x)(0a－1]单调递减
∴φ(a－1)<φ(0)＝0
a>1时存x>0φ(x)<0
知ln(1＋x)≥恒成立．
综知a取值范围(－∞1]．
(3)题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋
较结果g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．
证明：
方法：述等式等价＋＋…＋
令x＝n∈N＋
①n＝1时
①②知结n∈N＋成立．
方法二：述等式等价＋＋…＋
令x＝n∈N＋ln>
ln 2－ln 1>
ln 3－ln 2>
……
ln(n＋1)－ln n>
述式相加ln(n＋1)>＋＋…＋
结证．
方法三：图dx曲线y＝x＝nx轴围成曲边梯形面积＋＋…＋图中示矩形面积
∴＋＋…＋>dx＝
dx＝n－ln(n＋1)
结证．
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