中学高考——2014·北京（理科数学）

2014·北京卷(理科数学)
1．[2014·北京卷] 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}B＝{012}A∩B＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．{0} B．{01}
C．{02} D．{012}
1．C　[解析] ∵A＝{02}∴A∩B＝{02}∩{012}＝{02}．
2．[2014·北京卷] 列函数中区间(0＋∞)增函数(　　)
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log05(x＋1)
2．A　[解析] 基初等函数性质选项B中函数(01)递减选项CD中函数(0＋∞)减函数排BCD选A
3．[2014·北京卷] 曲线(θ参数)称中心(　　)
A．直线y＝2x B．直线y＝－2x
C．直线y＝x－1 D．直线y＝x＋1
3．B　[解析] 曲线方程消参化(x＋1)2＋(y－2)2＝1称中心点(－12)验证知直线y＝－2x．
4．[2014·北京卷] m＝7n＝3时执行图1­1示程序框图输出S值(　　)

图1­1
A．7 B．42
C．210 D．840
4．C　[解析] S＝1×7×6×5＝210
5．[2014·北京卷] 设{an}公q等数列q>1{an}递增数列(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充分必条件
D．充分必条件
5．D　[解析] a1<0q>1时数列{an}递减a1<0数列{an}递增时06．[2014·北京卷] xy满足
z＝y－x值－4k值(　　)
A．2 B．－2 C D．－
6．D　[解析] 行域图示k>0时知z＝y－x值k<0时目标函数线行域A点时z值．联立解Azmin＝0＋＝－4k＝－

7．[2014·北京卷] 空间直角坐标系Oxyz中已知A(200)B(220)C(020)D(11)．S1S2S3分三棱锥D ­ ABCxOyyOzzOx坐标面正投影图形面积(　　)
A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1S2≠S3
C．S3＝S1S3≠S2 D．S3＝S2S3≠S1
7．D　[解析] 设顶点D三坐标面xOyyOzzOx正投影分D1D2D3
AD1＝BD1＝AB＝2∴S1＝×2×2＝2S2＝SOCD2＝×2×＝S3＝SOAD3＝×2×＝∴选D
8．[2014·北京卷] 学生语文数学成绩均评定三等级次优秀合格合格．学生甲语文数学成绩低学生乙中少门成绩高乙称学生甲学生乙成绩．果组学生中没位学生位学生成绩存语文成绩相数学成绩相两位学生组学生(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
8．B　[解析] 假设AB两位学生数学成绩样题意知语文成绩样样语文成绩总高语文成绩较高学生学生成绩已知条件中没成绩相矛盾．没意两位学生数学成绩相．数学成绩3种学生数量3 3位学生成绩分(优秀合格)(合格合格)(合格优秀)时满足条件．
9．[2014·北京卷] 复数＝________．
9．－1　[解析] ＝＝＝－1
10．[2014·北京卷] 已知量ab满足|a|＝1b＝(21)λa＋b＝0(λ∈R)|λ|＝________．
10　[解析] ∵λa＋b＝0∴λa＝－b
∴|λ|＝＝＝
11．[2014·北京卷] 设双曲线C点(22)－x2＝1具相渐线C方程________渐线方程________．
11－＝1　y＝±2x　[解析] 设双曲线C方程－x2＝λ(22)代入－22＝－3＝λ∴双曲线C方程－＝1令－x2＝0渐线方程y＝±2x
12．[2014·北京卷] 等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0a7＋a10<0n＝________时{an}前n项．
12．8　[解析] ∵a7＋a8＋a9＝3a8>0a7＋a10＝a8＋a9<0∴a8>0a9<0∴n＝8时数列{an}前n项．
13．[2014·北京卷] 5件产品摆成排．产品A产品B相邻产品A产品C相邻摆法________种．
13．36　[解析] AAA＝6×2×3＝36
14．[2014·北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aωφ常数A>0ω>0)．f(x)区间具单调性f＝f＝－ff(x)正周期________．
14．π　[解析] 结合图＝－T＝π


图1­2
15．[2014·北京卷] 图1­2△ABC中∠B＝AB＝8点DBC边CD＝2cos∠ADC＝
(1)求sin∠BAD
(2)求BDAC长．
15．解：(1) △ADC中cos ∠ADC＝sin ∠ADC＝
sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝
(2)△ABD中正弦定理
BD＝＝＝3
△ABC中余弦定理
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B
＝82＋52－2×8×5×＝49
AC＝7
16．[2014·北京卷] 李明10场篮球赛中投篮情况统计(假设场赛相互独立)：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
场1
22
12
客场1
18
8
场2
15
12
客场2
13
12
场3
12
8
客场3
21
7
场4
23
8
客场4
18
15
场5
24
20
客场5
25
12
(1)述赛中机选择场求李明该场赛中投篮命中率超06概率
(2)述赛中机选择场客场求李明投篮命中率场超06场超06概率
(3)记x表中10命中次数均数述赛中机选择场记X李明场赛中命中次数较EXx．(需写出结)
16．解：(1)根投篮统计数10场赛中李明投篮命中率超065场分场2场3场5客场2客场4
机选择场赛中李明投篮命中率超06概率05
(2)设事件A机选择场场赛中李明投篮命中率超06事件B机选择场客场赛中李明投篮命中率超06事件C机选择场客场中李明投篮命中率场超06场超06．
C＝AB∪ABAB相互独立．
根投篮统计数P(A)＝P(B)＝
P(C)＝P(AB)＋P(AB)
＝×＋×
＝
机选择场客场中李明投篮命中率场超06场超
06概率
(3)EX＝
17．[2014·北京卷] 图1­3正方形AMDE边长2BC分AMMD中点．五棱锥P ­ ABCDE中F棱PE中点面ABF棱PDPC分交点GH
(1)求证：AB∥FG
(2)PA⊥底面ABCDEPA＝AE求直线BC面ABF成角求线段PH长．

图1­3
17．解：(1)证明：正方形AMDE中BAM中点AB∥DE
AB⊄面PDE
AB∥面PDE
AB⊂面ABF面ABF∩面PDE＝FG
AB∥FG
(2)PA⊥底面ABCDE
PA⊥ABPA⊥AE
建立空间直角坐标系Axyz图示A(000)B(100)C(210)P(002)F(011)＝(110)．

设面ABF法量n＝(xyz)

令z＝1y＝－1n＝(0－11)．
设直线BC面ABF成角α
sin α＝|cos〈n〉|＝＝
直线BC面ABF成角
设点H坐标(uvw)．
点H棱PC设＝λ(0<λ<1)．
(uvw－2)＝λ(21－2)u＝2λv＝λw＝2－2λ
n面ABF法量
n·＝0
(0－11)·(2λλ2－2λ)＝0
解λ＝点H坐标
PH＝＝2
18．[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin xx∈
(1)求证：f(x)≤0
(2)a<18．解：(1)证明：f(x)＝xcos x－sin x
f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x
区间f′(x)＝－xsin x<0f(x)区间单调递减．
f(x)≤f(0)＝0
(2)x>0时>a等价sin x－ax>0令g(x)＝sin x－cxg′(x)＝cos x－c
c≤0时g(x)>0意x∈恒成立．
c≥1时意x∈g′(x)＝cos x－c<0g(x)区间单调递减
g(x)0g(x)g′(x)区间情况：

x
(0x0)
x0

g′(x)
＋
0
－
g(x)



g(x)区间(0x0)增函数g(x0)>g(0)＝0进步g(x)>0意x∈恒成立仅g＝1－c≥00综述仅c≤时g(x)>0意x∈恒成立仅c≥1时g(x)<0意x∈恒成立．
a<19．[2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4
(1)求椭圆C离心率
(2)设O原点点A椭圆C点B直线y＝2OA⊥OB试判断直线AB圆x2＋y2＝2位置关系证明结．
19．解：(1)题意椭圆C标准方程＋＝1
a2＝4b2＝2c2＝a2－b2＝2
a＝2c＝
椭圆C离心率e＝＝
(2)直线AB圆x2＋y2＝2相切．证明：
设点AB坐标分(x0y0)(t2)
中x0≠0
OA⊥OB·＝0
tx0＋2y0＝0解t＝－
x0＝t时y0＝－代入椭圆C方程
t＝±
直线AB方程x＝±圆心O直线AB距离d＝
时直线AB圆x2＋y2＝2相切．
x0≠t时直线AB方程y－2＝(x－t)
(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0
圆心O直线AB距离
d＝
x＋2y＝4t＝－
d＝＝＝
时直线AB圆x2＋y2＝2相切．
20． [2014·北京卷] 数序列P：(a1b1)(a2b2)…(anbn)记
T1(P)＝a1＋b1Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)a1＋a2＋…＋ak}(2≤k≤n)
中max{Tk－1(P)a1＋a2＋…＋ak}表示Tk－1(P)a1＋a2＋…＋ak两数中数．
(1)数序列P：(25)(41)求T1(P)T2(P)值
(2)记mabcd四数中数两数(ab)(cd)组成数序列P：(ab)(cd)P′：(cd)(ab)试分m＝am＝d两种情况较T2(P)T2(P′)
(3)五数(118)(52)(1611)(1111)(46)组成数序列中写出数序列PT5(P)写出T5(P)值．(需写出结)
20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7
T2(P)＝1＋max{T1(P)2＋4}＝1＋max{76}＝8
(2)T2(P)＝max{a＋b＋da＋c＋d}
T2(P′)＝max{c＋d＋bc＋a＋b}．
m＝a时T2(P′)＝max{c＋d＋bc＋a＋b}＝c＋d＋b
a＋b＋d≤c＋b＋da＋c＋d≤c＋b＋dT2(P)≤T2(P′)．
m＝d时T2(P′)＝max{c＋d＋bc＋a＋b}＝c＋a＋b
a＋b＋d≤c＋a＋ba＋c＋d≤c＋a＋bT2(P)≤T2(P′)．
m＝am＝dT2(P)≤T2(P′)成立．
(3)数序列P：(46)(1111)(1611)(118)(52)T5(P)值
T1(P)＝10T2(P)＝26T3(P)＝42T4(P)＝50T5(P)＝52


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