中学高考——2014·湖北（理科数学） （2）

2014·湖北卷(理科数学)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．[2014·湖北卷] i虚数单位＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．－1 B．1 C．－i D．i
1．A　[解析] ＝＝－1选A
2．[2014·湖北卷] 二项式展开式中系数84实数a＝(　　)
A．2 B C．1 D
2．C　[解析] 展开式中含项T6＝C(2x)2＝C22a5x－3含项系数C22a5＝84解a＝1选C
3． [2014·湖北卷] U全集AB集合存集合CA⊆CB⊆∁UCA∩B＝∅(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
3．C　[解析] 存集合CA⊆CB⊆∁UC推出A∩B＝∅A∩B＝∅维思图知定存C＝A满足A⊆CB⊆∁UC存集合CA⊆CB⊆∁UCA∩B＝∅充条件．选C
4．[2014·湖北卷] 根样数：
x
3
4
5
6
7
8
y
40
25
－05
05
－20
－30
回方程＝bx＋a(　　)
A．a>0b>0 B．a>0b<0
C．a<0b>0 D．a<0b<0
4．B　[解析] 作出散点图：

观察图象知回直线＝bx＋a斜率b<0截距a>0a>0b<0选B
5．[2014·湖北卷] 图1­1示空间直角坐标系O ­ xyz中四面体顶点坐标分(002)(220)(121)(222)．出编号①②③④四图该四面体正视图俯视图分(　　)

图1­1
　
A．①② B．①③ C．③② D．④②
5．D　[解析] 三视图空间直角坐标系知该体正视图显然直角三角形条虚线(锐角顶点直角边中点连线)正视图④俯视图钝角三角形俯视图② 选D
6．[2014·湖北卷] 函数f(x)g(x)满足f(x)g(x)dx＝0称f(x)g(x)区间[－11]组正交函数出三组函数：
①f(x)＝sinxg(x)＝cosx②f(x)＝x＋1g(x)＝x－1③f(x)＝xg(x)＝x2
中区间[－11]正交函数组数(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
6．C　[解析] 题意满足f(x)g(x)区间[－11]正交函数需满足f(x)g(x)dx＝0
①f(x)g(x)dx＝sinxcosxdx＝
sinxdx＝＝0第①组区间[－11]正交函数
②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝＝－≠0第②组区间[－11]正交函数
③f(x)g(x)dx＝x·x2dx＝＝0第③组区间[－11]正交函数．
综区间[－11]正交函数组数2 选C
7．[2014·湖北卷] 等式组确定面区域记Ω1等式组确定面区域记Ω2Ω1中机取点该点恰Ω2概率(　　)
A B C D
7．D　[解析] 作出Ω1Ω2表示面区域图示

SΩ1＝S△AOB＝×2×2＝2S△BCE＝×1×＝S四边形AOEC＝SΩ1－S△BCE＝2－＝概型求概率P＝＝＝选D
8．[2014·湖北卷] 算数书竹简世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土国现存早系统数学典籍中记载求囷盖术：置周令相．高三十六成．该术相出圆锥底面周长L高h计算体积V似公式V≈L2h实际圆锥体积公式中圆周率π似取3似公式V≈L2h相圆锥体积公式中π似取(　　)
A B C D
8．B　[解析] 设圆锥底面圆半径r底面积SL＝2πr题意L2h≈Sh代入S＝πr2化简π≈3类推理V＝L2hπ≈选B
9．[2014·湖北卷] 已知F1F2椭圆双曲线公焦点P公点∠F1PF2＝椭圆双曲线离心率倒数值(　　)
A B C．3 D．2
9．A　[解析] 设|PF1|＝r1|PF2|＝r2r1>r2椭圆长半轴长a1双曲线实半轴长a2椭圆双曲线离心率分e1e2椭圆双曲线定义r1＋r2＝2a1r1－r2＝2a2方4a＝r＋r＋2r1r24a＝r－2r1r2＋r余弦定理4c2＝r＋r－r1r2消r1r2a＋3a＝4c2
＋＝4柯西等式＝≤＝
＋≤选A
10．[2014·湖北卷] 已知函数f(x)定义R奇函数x≥0时f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．∀x∈Rf(x－1)≤f(x)实数a取值范围(　　)
A B
C D
10．B　[解析] x≥0时f(x)＝0≤x≤a2时f(x)＝＝－x
a2f(x)＝＝－a2
x≥2a2时
f(x)＝＝x－3a2
综f(x)＝
根奇函数图象关原点称作出函数f(x)R致图象

观察图象知∀x∈Rf(x－1)≤f(x)需满足2a2－(－4a2)≤1解－≤a≤选B
11．[2014·湖北卷] 设量a＝(33)b＝(1－1)．(a＋λb)⊥(a－λb)实数λ＝________．
11．±3　[解析] a＋λb＝(3＋λ3－λ)a－λb＝(3－λ3＋λ)(a＋λb)⊥(a－λb)(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0解λ＝±3
12．[2014·湖北卷] 直线l1：y＝x＋al2：y＝x＋b单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等四段弧a2＋b2＝________
12．2　[解析] 题意圆心O两直线l1：y＝x＋al2：y＝x＋b距离相等段弧长等圆周＝＝1×sin 45° |a|＝|b|＝1a2＋b2＝2


图1­2
13．[2014·湖北卷] 设a位数字0没重复数字三位数．组成a3数字排成三位数记I(a)排成三位数记D(a)(例a＝815I(a)＝158D(a)＝851)．阅读图1­2示程序框图运行相应程序意输入a输出结果b＝________．
13．495　[解析] 取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693
a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594
a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495
a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495
14．[2014·湖北卷] 设f(x)定义(0＋∞)函数f(x)>0意a>0b>0点
(af(a))(b－f(b))直线x轴交点(c0)称cab关函数f(x)均数记Mf(ab)例f(x)＝1(x>0)时Mf(ab)＝c＝Mf(ab)ab算术均数．
(1)f(x)＝________(x>0)时Mf(ab)ab均数
(2)f(x)＝________(x>0)时Mf(ab)ab调均数
(两空需写出符合求函数)
14．(1)　(2)x(填(1)k1(2)k2x中k1k2正常数)
[解析] 设A(af(a))B(b－f(b))C(c0)三点线：
(1)题意c＝＝
＝
a>0b>0化简＝选择f(x)＝(x>0)
(2)题意c＝＝a>0b>0化简＝选择f(x)＝x(x>0)．
15．[2014·湖北卷] (选修4­1：证明选讲)
图1­3P⊙O外点P点作⊙O两条切线切点分ABPA中点Q作割线交⊙OCD两点QC＝1CD＝3PB＝________．

图1­3
15．4　[解析] 切线长定理QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4解QA＝2PB＝PA＝2QA＝4
16．[2014·湖北卷] (选修4­4：坐标系参数方程)
已知曲线C1参数方程(t参数)．坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ＝2C1C2交点直角坐标________．
16　[解析] 消ty＝x(x≥0)曲线C1普通方程y＝x(x≥0)ρ＝2ρ2＝4x2＋y2＝4曲线C2直角坐标方程x2＋y2＝4联立解
曲线C1C2交点坐标
17．[2014·湖北卷] 某实验室天温度(单位：℃)时间t(单位：h)变化似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sintt∈[024)．
(1)求实验室天温差．
(2)求实验室温度高11℃段时间实验室需降温？
17．解：(1)f(t)＝10－2＝10－2sin
0≤t<24≤t＋<－1≤sin≤1
t＝2时sin＝1
t＝14时sin＝－1
f(t)[024)取值12值8
实验室天高温度12 ℃低温度8 ℃温差4 ℃
(2)题意f(t)>11时实验室需降温．
(1)f(t)＝10－2sin
10－2sin>11
sin<－
0≤t<241010时18时实验室需降温．
18．[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2a1a2a5成等数列．
(1)求数列{an}通项公式．
(2)记Sn数列{an}前n项否存正整数nSn>60n＋800？存求n值存说明理．
18．解：(1)设数列{an}公差d
题意22＋d2＋4d成等数列
(2＋d)2＝2(2＋4d)
化简d2－4d＝0解d＝0d＝4
d＝0时an＝2
d＝4时an＝2＋(n－1)·4＝4n－2
数列{an}通项公式an＝2an＝4n－2
(2)an＝2时Sn＝2n显然2n<60n＋800
时存正整数nSn>60n＋800成立．
an＝4n－2时Sn＝＝2n2
令2n2>60n＋800n2－30n－400>0
解n>40n<－10(舍)
时存正整数nSn>60n＋800成立n值41
综an＝2时存满足题意正整数n
an＝4n－2时存满足题意正整数n值41
19．[2014·湖北卷] 图1­4棱长2正方体ABCD­A1B1C1D1中EFMN分棱ABADA1B1A1D1中点点PQ分棱DD1BB1移动DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
(1)λ＝1时证明：直线BC1∥面EFPQ
(2)否存λ面EFPQ面PQMN成二面角直二面角？存求出λ值存说明理．

图1­4
19．解：方法(方法)：
(1)证明：图①连接AD1ABCD­A1B1C1D1正方体知BC1∥AD1
λ＝1时PDD1中点FAD中点FP∥AD1BC1∥FP
FP⊂面EFPQBC1⊄面EFPQ直线BC1∥面EFPQ

图①　　　　　　　　　图②　　　
(2)图②连接BDEF分ABAD中点EF∥BDEF＝BD
DP＝BQDP∥BQ
四边形PQBD行四边形PQ∥BDPQ＝BDEF∥PQEF＝PQ
Rt△EBQRt△FDP中BQ＝DP＝λBE＝DF＝1
EQ＝FP＝四边形EFPQ等腰梯形．
理证四边形PQMN等腰梯形．
分取EFPQMN中点HOG连接OHOG
GO⊥PQHO⊥PQGO∩HO＝O
∠GOH面EFPQ面PQMN成二面角面角．
存λ面EFPQ面PQMN成二面角直二面角∠GOH＝90°
连接EMFNEF∥MNEF＝MN知四边形EFNM行四边形．
连接GHHGEFMN中点
GH＝ME＝2
△GOH中GH2＝4OH2＝1＋λ2－＝λ2＋
OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋
OG2＋OH2＝GH2(2－λ)2＋＋λ2＋＝4解λ＝1±
存λ＝1±面EFPQ面PQMN成二面角直二面角．
方法二(量方法)：
D原点射线DADCDD1分xyz轴正半轴建立图③示空间直角坐标系．已知B(220)C1(022)E(210)F(100)P(00λ)．


图③　　　　
＝(－202)FP＝(－10λ)FE＝(110)．
(1)证明：λ＝1时FP＝(－101)
＝(－202)
＝2BC1∥FP
FP⊂面EFPQBC1⊄面EFPQ直线BC1∥面EFPQ
(2)设面EFPQ法量n＝(xyz)
取n＝(λ－λ1)．
理面MNPQ法量m＝(λ－22－λ1)．
存λ面EFPQ面PQMN成二面角直二面角
m·n＝(λ－22－λ1)·(λ－λ1)＝0
λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0解λ＝1±
存λ＝1±面EFPQ面PQMN成二面角直二面角．
20．[2014·湖北卷] 计划某水库建座安装3台发电机水电站50年水文资料显示水年入流量X(年入流量：年游水库区降水单位：亿立方米)40中足80年份10年低80超120年份35年超120年份5年年入流量三段频率作相应段概率假设年年入流量相互独立．
(1)求未4年中1年年入流量超120概率．
(2)水电站希安装发电机运行年发电机运行台数受年入流量X限制关系：
年入流量X
4080≤X≤120
X>120
发电机
运行台数
1
2
3
某台发电机运行该台年利润5000万元某台发电机未运行该台年亏损800万元欲水电站年总利润均值达应安装发电机少台？
20．解：(1)题意p1＝P(40p2＝P(80≤X≤120)＝＝07
p3＝P(X>120)＝＝01
二项分布未4年中1年年入流量超120概率
p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝094＋4×093×01＝0947 7
(2)记水电站年总利润Y(单位：万元)．
①安装1台发电机情形．
水库年入流量总40台发电机运行概率1应年利润Y＝5000E(Y)＝5000×1＝5000
②安装2台发电机情形．
题意40Y
4200
10 000
P
02
08
E(Y)＝4200×02＋10 000×08＝8840
③安装3台发电机情形．
题意40120时三台发电机运行时Y＝5000×3＝15 000P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝01Y分布列：
Y
3400
9200
15 000
P
02
07
01
E(Y)＝3400×02＋9200×07＋15 000×01＝8620
综欲水电站年总利润均值达应安装发电机2台．
21．[2014·湖北卷] 面直角坐标系xOy中点M点F(10)距离y轴距离1记点M轨迹C
(1)求轨迹C方程
(2)设斜率k直线l定点P(－21)求直线l轨迹C恰公点两公点三公点时k相应取值范围．
21．解：(1)设点M(xy)题意|MF|＝|x|＋1＝|x|＋1
化简整理y2＝2(|x|＋x)．
点M轨迹C方程y2＝
(2)点M轨迹C中记C1：y2＝4xC2：y＝0(x<0)．
题意设直线l方程y－1＝k(x＋2)．
方程组ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①
k＝0时y＝1y＝1代入轨迹C方程x＝
时直线l：y＝1轨迹C恰公点
k≠0时方程①判式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②
设直线lx轴交点(x00)y－1＝k(x＋2)令y＝0x0＝－③
(i)②③解k<－1k>
k∈(－∞－1)∪时直线lC1没公点C2公点．时直线l轨迹C恰公点．
(ii)
②③解k∈－≤k<0
k∈时直线lC1公点．
k∈时直线lC1两公点C2没公点．
k∈∪时直线l轨迹C恰两公点．
(iii)②③解－1k∈∪时直线lC1两公点C2公点
时直线l轨迹C恰三公点．
综知k∈∪∪{0}时直线l轨迹C恰公点k∈∪时直线l轨迹C恰两公点k∈∪时直线l轨迹C恰三公点．
22．[2014·湖北卷] π圆周率e＝2718 28…然数底数．
(1)求函数f(x)＝单调区间
(2)求e33eeππe3ππ36数中数数
(3)e33eeππe3ππ36数序排列证明结．
22．解：(1)函数f(x)定义域(0＋∞)．f(x)＝f′(x)＝
f′(x)>00f′(x)<0x>e时函数f(x)单调递减．
函数f(x)单调递增区间(0e)单调递减区间(e＋∞)．
(2)e<3<πeln 3根函数y＝ln xy＝exy＝πx定义域单调递增
3e<πe<π3e36数数π33π中数3ee3中．
e<3<π(1)结f(π)π3
综6数中数3π数3e
(3)(2)知3e<πe<π3<3π3e(2)知<πe需较e3πeeππ3．
(1)知0<
式中令x＝2－①
①eln π>e>27×>27×(2－088)＝3024>3
eln π>3ln πe>ln e3e3<πe
①3ln π>6－>6－e>π3ln π>π
eπ<π3
综3e6数序3ee3πeeππ33π


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