二机变量概率分布
部分数学数学三数学四容完全致．
Ⅰ考试纲求
㈠ 考试容 机变量 机变量分布函数概念性质 离散型机变量概率分布 连续型机变量概率密度 常见机变量分布 机变量函数分布
㈡ 考试求 概率分布概念常概率分布机变量函数分布．
(1) 理解概率分布概念掌握三种基形式：离散型概率分布连续型概率密度分布函数掌握概率分布特点性质会根概率分布计算关事件概率
(2) 掌握列概率分布：01分布二项分布超分布泊松分布等离散型概率分布均匀分布指数分布正态分布等连续型概率分布包括分布表达式特点性质数字特征典型应分布关系
(3) 理解01分布二项分布超分布泊松分布等离散型概率分布间关系
(4) 会根机变量分布求函数分布方法．
Ⅱ 考试容提
㈠ 机变量概率分布
1基概念 (1) 机变量 机变量直观指取值带机性变量数学指基事件（样点）函数．实际中遇机变量离散型连续型两类：值数限数机变量称做离散型连续型机变量值域数轴限限区间．通常面写拉丁字母（）表示机变量．
(2) 概率分布 机变量X概率分布指值域取值值域部分取值概率二者总称．实际中遇概率分布离散型连续型两类分描绘离散型连续型机变量．
2离散型机变量概率分布 设X离散型机变量切(m数)值集合．离散型机变量X概率分布常表示方法．
．
中．意实数a (21)
中Σ表示满足切求．
3连续型机变量概率密度 连续型机变量X概率分布非负函数——概率密度函数决定：意实数
． （22）
严格说概率密度机变量称做连续型．
概率密度基性质：
．
外意连续型机变量取定值概率等：．
4机变量分布函数 分布函数描绘机变量概率分布．简单函数式分布函数少分布函数便处理具体机变量般性研究．
(1) 定义 机变量分布函数定义．点处值事件概率取值概率．
(2) 性质 性质1)～3)基性质．
1) 单调减函数
2) 右连续：．
3) 0 1．
4) 根分布函数求事件概率例
(23)
5) 连续型机变量X分布函数
(24)
中概率密度．连续型机变量分布函数连续函数切
． (25)
6) 离散型机变量X分布函数
(26)
中Σ表示切求．离散型机变量分布函数阶梯函数．
㈡ 常概率分布
1常概率分布表 考试纲求掌握离散型概率分布：01分布二项分布超分布泊松分布考试纲求掌握连续型概率分布：均匀分布正态分布指数分布．
表21 常离散型概率分布（）
分布名称
P{Xk}
值k
参 数
数学期
方 差
01
10
二项
01…
n
超
01…
泊松
然数
表22 常连续型概率分布
分布名称
概率密度
值域
参 数
数学期
方 差
均匀
ab
正态
指数
1
2常概率分布典型应
(1) 01分布 成功失败 两种立结局试验称做伯努利试验伯努利试验成功次数X服01分布参数——成功概率——失败概率．例产品抽样验收：抽合格品——成功抽合格品──失败射击：命中──成功脱靶──失败……
(2) 二项分布 表示X服参数二项分布．
1) 独立重复试验成功次数分布 设Xn次伯努利试验成功次数参数次试验成功概率．例n次独立重复射击命中次数X服二项分布参数次射击命中率．
2) 限总体原抽样 设总体含N体中M具某种特征A（合格品）．设Xn次原抽样具特征A体出现次数布中（合格品率）．
(3) 超分布 设总体含N体中M具特征An次非原抽样具特征A体出现次数X服参数超分布．
(4) 泊松分布 1) 二项分布概率似计算 设服二项分布参数充分p充分p适中似公式——泊松定理：
(27)
实际中时利式应量否似效果佳．
2) 机质点流 源源断出现机时刻质点形成流称做机质点流．例达商店顾客户商品质量投诉暴雨交通事重刑事案件震余震设备障LL形成机质点流．表示长时间出现机质点数服参数泊松分布：
(28)
中单位时间出现机质点均数称做质点流强度．
(5) 均匀分布 型概率数学描述．区间均匀掷机点试验产生均匀分布．区间均匀分布分布函数简单表达式
(29)
(6) 指数分布 设服参数泊松分布机质点流中相继出现两机质点时间间隔——等时间（例设备障运转时间设备寿命维修时间设备相继出现两次障时间间隔LL）等时间服参数指数分布．参数指数分布函数简单数学表达式
(210)
(7) 正态分布 表示机变量X服参数正态分布．分表示概率密度分布函数附表1数值表．附表2边行标准正态分布水双侧分位数（见附表2）满足
． (211)
1）意常数aX～
2）X～Y～相互独立
3）许然现象社会现象正态分布律描述．许概率分布极限分布正态分布（中心极限定理）．
4）许重分布分布分布分布正态变量函数分布．
3 常概率分布间关系
(1) 二项分布关系
1) 设机变量独立服参数p01分布
~．
2) 泊松定理 设充分n充分适中时X似服参数泊松分布．
3) 棣莫弗拉普拉斯定理 设n充分时似服正态分布．
4) 限总体非原抽样产生超分布原抽样产生二项分布．总体容量抽样次数充分相N较时超分布二项分布概率相：
(212)
中p M N．实际中抽样次数充分时利似公式．
(2) 正态分布关系
1) 许重分布分布分布分布正态变量函数分布．
2) 许概率分布极限分布正态分布．例充分时似服正态分布（棣莫弗拉普拉斯定理）．
3) 相广泛条件量独立分布机变量似服正态分布（列维林德伯格定理）．
㈢ 机变量函数概率分布
设 中连续函数分段连续函数．求根概率分布求概率分布．
1般情形 设法概率分布通概率分布表示：
．
种方法许情形求出概率分布．
2离散型情形 已知函数切值两两等(i 12…)Y概率分布否相等值应概率相加概率分布．
3连续型情形 般先求分布函数求导数概率密度f (y)．
特设严格单调连续函数函数值域惟反函数连续型机变量概率密度连续型机变量概率密度通表示
(213)
Ⅲ典型例题分析
〖填空题〗
例24（连续型分布） 假设X区间（01）取值连续型机变量．已知满足常数k ．
例211（泊松分布） 设书页印刷错误数X服泊松分布律．已知两印刷错误页数相意抽查4页中印刷错误概率p ．
分析 X表示意抽取页印刷错误数表示意抽取第k页印刷错误数条件知X服泊松分布未知分布参数决定：
2．机变量显然相互独立
例212（分布函数） 设10件产品中恰2件合格品中件件抽出产品直抽合格品止抽出产品件数X分布函数 ．
分析 先求X概率分布．易见X123等3值
X分布函数
例218（分布函数求事件概率） 设机变量X分布函数
P ．
．
〖选择题〗
219（分布函数） 设机变量XY相互独立分布函数相应机变量分布函数
(A) ． (B) ．
(C) ． (D) ． [ C ]
分析 分布函数定义XY独立性知机变量分布函数
例225（正态分布） 设机变量增概率
(A) 单调增． (B) 单调减． (C) 保持变． (D) 增减定． [ C ]
分析 应选(C)．意常数：（查表）
．
例227（分布函数） 假设X两值离散型机变量Y连续型机变量XY相互独立机变量X+Y分布函数
(A) 阶梯函数． (B) 恰间断点．
(C) 连续函数． (D) 恰两间断点． [ C ]
分析 (C)．事实设X概率分布：Y分布函数．XY相互独立全概率公式
见X+Y分布函数连续函数．
〖解答题〗
例230(分布函数) 正立方体容器盛34液体 假设6侧面（含两底面）机部位出现孔液体孔流出．求剩余液体液面高度X分布函数．
解 妨假设正立方体容器边长１．引进事件：事件A表示孔出现容器底面．孔出现正立方体6侧面等易见．
．意x＜0显然０．孔出现部位机性见意
该式中4x表示容器四侧面x总面积容器6侧面总面积６．
意x≥075显然．
例231（分布函数） 假设装置启动障工作时间（时）服指数分布均障工作时间2百时次启动（障情形）需工作10时便行关机．试求该装置次启动障工作时间Y分布函数．
解 服指数分布(百时)分布参数05分布函数
易见．设Y分布函数y<00y>011
分布函数
例233（限分布） 设试验E伯努利试验成功概率p 失败概率q1－p．现E独立次接次进行直成功完成n次试验止中n≥2定然数．试求作试验次数X概率分布．
解 试验次数X机变量．求X概率分布引进事件：{第j次试验成功}（j12…n）．显然P() p．试验独立性知事件…相互独立．
设试验进行成功n次止X值12…n 2≤k≤n－1
X概率分布限分布：
．
例235（泊松定理） 假设某动生产线产品合格品率002试求意抽取30件中
(1) 合格品少两件概率
(2) 已发现件合格品条件合格品少两件概率．
解 表示抽30件产品中合格品件数服参数（30002）二项分布：
1) 合格品少两件概率
2) 已发现件合格品条件合格品少两件条件概率
例236（二项分布） 假设10台设备台性（障工作概率）092台出现障时需进行调整．问保证95情况设备出现障时时调整少需安排值班？
解 条件知台设备出现障概率008．表示10台设备中时出现障台数服参数（10008）二项分布．需安排值班数k应满足条件：．需k进行试算．首先设k１k＝２相应
少需安排2值班．
例237（二项分布） 假设部机器工作日停概率02．周5工作日创利润10万元4工作日创利润7万元3工作日创利润2万元停3天3天亏损2万元．求创利润概率分布．
解 设X——周5工作日停天数Y——周创利润．X服参数(502)二项分布．
周创利润YX函数：
．
例238(二项分布) 某生产线均三分钟生产件产品假设合格品率001．问少出现件合格品概率超95少需长时间？
解 设n——少出现件合格品生产产品件数n件产品中合格品件数服参数（n001）二项分布题意n应满足条件
少出现件合格品概率超95少需2980729×3895分14时55分．
例341（复合泊松分布） 假设日某商店顾客数服参数泊松分布顾客实际购货概率．分表示日该商店顾客中购货未购货数分求 概率分布．
解 条件知+日该商店顾客数服参数泊松分布．设X——日该商店顾客中购货数．条件知日顾客该商店条件购货数条件概率分布
全概率公式见m012…
日该商店顾客中购货数服参数泊松分布．理服参数泊松分布．
例244（机质点流） 假设商店周（7天）均售出56台电冰箱中质量问题求返修占5‰ ．试求季度（90天）售出电冰箱中返修件数X概率分布．
解 表示90天售出电冰箱台数．假设服参数泊松分布．条件知568（台）．样服参数8t泊松分布：
．
机变量X值然数m012…．记．全概率公式
中．返修件数X服参数36泊松分布：
．
例247（正态分布）假设机变量X服正态分布求满足常数a．
解 条件知
中标准正态分布函数．熟知事实见
例248（正态分布） 假设机测量误差求100次独立重复测量中少三次测量绝误差196概率似值．
解 条件知．设100次独立重复测量中事件出现次数
．
易见服参数(100 005)二项分布似服参数5泊松分布．
〖证明题〗
例252（分布函数） 设机变量分布函数ab非负常数证明具机变量分布函数基性质．
证明 需验证满足分布函数三条基性质．条件知ab非负a+b 1．分布函数见意
意实数见
单调减．右连续性见右连续．
分布函数．
例253（分布函数） 假设机变量X服参数指数分布分布函数证明机变量Y区间(01)服均匀分布．
证明 指数分布函数设Y分布函数．分布函数值域(01)见时时．设
区间(01)均匀分布函数Y区间(01)服均匀分布．
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二机变量概率分布
部分数学数学三数学四容完全致．
Ⅰ考试纲求
㈠ 考试容 机变量 机变量分布函数概念性质 离散型机变量概率分布 连续型机变量概率密度 常见机变量分布 机变量函数分布
㈡ 考试求 概率分布概念常概率分布机变量函数分布．
(1) 理解概率分布概念掌握三种基形式：离散型概率分布连续型概率密度分布函数掌握概率分布特点性质会根概率分布计算关事件概率
(2) 掌握列概率分布：01分布二项分布超分布泊松分布等离散型概率分布均匀分布指数分布正态分布等连续型概率分布包括分布表达式特点性质数字特征典型应分布关系
(3) 理解01分布二项分布超分布泊松分布等离散型概率分布间关系
(4) 会根机变量分布求函数分布方法．
Ⅱ 考试容提
㈠ 机变量概率分布
1基概念 (1) 机变量 机变量直观指取值带机性变量数学指基事件（样点）函数．实际中遇机变量离散型连续型两类：值数限数机变量称做离散型连续型机变量值域数轴限限区间．通常面写拉丁字母（）表示机变量．
(2) 概率分布 机变量X概率分布指值域取值值域部分取值概率二者总称．实际中遇概率分布离散型连续型两类分描绘离散型连续型机变量．
2离散型机变量概率分布 设X离散型机变量切(m数)值集合．离散型机变量X概率分布常表示方法．
．
中．意实数a (21)
中Σ表示满足切求．
3连续型机变量概率密度 连续型机变量X概率分布非负函数——概率密度函数决定：意实数
． （22）
严格说概率密度机变量称做连续型．
概率密度基性质：
．
外意连续型机变量取定值概率等：．
4机变量分布函数 分布函数描绘机变量概率分布．简单函数式分布函数少分布函数便处理具体机变量般性研究．
(1) 定义 机变量分布函数定义．点处值事件概率取值概率．
(2) 性质 性质1)～3)基性质．
1) 单调减函数
2) 右连续：．
3) 0 1．
4) 根分布函数求事件概率例
(23)
5) 连续型机变量X分布函数
(24)
中概率密度．连续型机变量分布函数连续函数切
． (25)
6) 离散型机变量X分布函数
(26)
中Σ表示切求．离散型机变量分布函数阶梯函数．
㈡ 常概率分布
1常概率分布表 考试纲求掌握离散型概率分布：01分布二项分布超分布泊松分布考试纲求掌握连续型概率分布：均匀分布正态分布指数分布．
表21 常离散型概率分布（）
分布名称
P{Xk}
值k
参 数
数学期
方 差
01
10
二项
01…
n
超
01…
泊松
然数
表22 常连续型概率分布
分布名称
概率密度
值域
参 数
数学期
方 差
均匀
ab
正态
指数
1
2常概率分布典型应
(1) 01分布 成功失败 两种立结局试验称做伯努利试验伯努利试验成功次数X服01分布参数——成功概率——失败概率．例产品抽样验收：抽合格品——成功抽合格品──失败射击：命中──成功脱靶──失败……
(2) 二项分布 表示X服参数二项分布．
1) 独立重复试验成功次数分布 设Xn次伯努利试验成功次数参数次试验成功概率．例n次独立重复射击命中次数X服二项分布参数次射击命中率．
2) 限总体原抽样 设总体含N体中M具某种特征A（合格品）．设Xn次原抽样具特征A体出现次数布中（合格品率）．
(3) 超分布 设总体含N体中M具特征An次非原抽样具特征A体出现次数X服参数超分布．
(4) 泊松分布 1) 二项分布概率似计算 设服二项分布参数充分p充分p适中似公式——泊松定理：
(27)
实际中时利式应量否似效果佳．
2) 机质点流 源源断出现机时刻质点形成流称做机质点流．例达商店顾客户商品质量投诉暴雨交通事重刑事案件震余震设备障LL形成机质点流．表示长时间出现机质点数服参数泊松分布：
(28)
中单位时间出现机质点均数称做质点流强度．
(5) 均匀分布 型概率数学描述．区间均匀掷机点试验产生均匀分布．区间均匀分布分布函数简单表达式
(29)
(6) 指数分布 设服参数泊松分布机质点流中相继出现两机质点时间间隔——等时间（例设备障运转时间设备寿命维修时间设备相继出现两次障时间间隔LL）等时间服参数指数分布．参数指数分布函数简单数学表达式
(210)
(7) 正态分布 表示机变量X服参数正态分布．分表示概率密度分布函数附表1数值表．附表2边行标准正态分布水双侧分位数（见附表2）满足
． (211)
1）意常数aX～
2）X～Y～相互独立
3）许然现象社会现象正态分布律描述．许概率分布极限分布正态分布（中心极限定理）．
4）许重分布分布分布分布正态变量函数分布．
3 常概率分布间关系
(1) 二项分布关系
1) 设机变量独立服参数p01分布
~．
2) 泊松定理 设充分n充分适中时X似服参数泊松分布．
3) 棣莫弗拉普拉斯定理 设n充分时似服正态分布．
4) 限总体非原抽样产生超分布原抽样产生二项分布．总体容量抽样次数充分相N较时超分布二项分布概率相：
(212)
中p M N．实际中抽样次数充分时利似公式．
(2) 正态分布关系
1) 许重分布分布分布分布正态变量函数分布．
2) 许概率分布极限分布正态分布．例充分时似服正态分布（棣莫弗拉普拉斯定理）．
3) 相广泛条件量独立分布机变量似服正态分布（列维林德伯格定理）．
㈢ 机变量函数概率分布
设 中连续函数分段连续函数．求根概率分布求概率分布．
1般情形 设法概率分布通概率分布表示：
．
种方法许情形求出概率分布．
2离散型情形 已知函数切值两两等(i 12…)Y概率分布否相等值应概率相加概率分布．
3连续型情形 般先求分布函数求导数概率密度f (y)．
特设严格单调连续函数函数值域惟反函数连续型机变量概率密度连续型机变量概率密度通表示
(213)
Ⅲ典型例题分析
〖填空题〗
例24（连续型分布） 假设X区间（01）取值连续型机变量．已知满足常数k ．
例211（泊松分布） 设书页印刷错误数X服泊松分布律．已知两印刷错误页数相意抽查4页中印刷错误概率p ．
分析 X表示意抽取页印刷错误数表示意抽取第k页印刷错误数条件知X服泊松分布未知分布参数决定：
2．机变量显然相互独立
例212（分布函数） 设10件产品中恰2件合格品中件件抽出产品直抽合格品止抽出产品件数X分布函数 ．
分析 先求X概率分布．易见X123等3值
X分布函数
例218（分布函数求事件概率） 设机变量X分布函数
P ．
．
〖选择题〗
219（分布函数） 设机变量XY相互独立分布函数相应机变量分布函数
(A) ． (B) ．
(C) ． (D) ． [ C ]
分析 分布函数定义XY独立性知机变量分布函数
例225（正态分布） 设机变量增概率
(A) 单调增． (B) 单调减． (C) 保持变． (D) 增减定． [ C ]
分析 应选(C)．意常数：（查表）
．
例227（分布函数） 假设X两值离散型机变量Y连续型机变量XY相互独立机变量X+Y分布函数
(A) 阶梯函数． (B) 恰间断点．
(C) 连续函数． (D) 恰两间断点． [ C ]
分析 (C)．事实设X概率分布：Y分布函数．XY相互独立全概率公式
见X+Y分布函数连续函数．
〖解答题〗
例230(分布函数) 正立方体容器盛34液体 假设6侧面（含两底面）机部位出现孔液体孔流出．求剩余液体液面高度X分布函数．
解 妨假设正立方体容器边长１．引进事件：事件A表示孔出现容器底面．孔出现正立方体6侧面等易见．
．意x＜0显然０．孔出现部位机性见意
该式中4x表示容器四侧面x总面积容器6侧面总面积６．
意x≥075显然．
例231（分布函数） 假设装置启动障工作时间（时）服指数分布均障工作时间2百时次启动（障情形）需工作10时便行关机．试求该装置次启动障工作时间Y分布函数．
解 服指数分布(百时)分布参数05分布函数
易见．设Y分布函数y<00y>011
分布函数
例233（限分布） 设试验E伯努利试验成功概率p 失败概率q1－p．现E独立次接次进行直成功完成n次试验止中n≥2定然数．试求作试验次数X概率分布．
解 试验次数X机变量．求X概率分布引进事件：{第j次试验成功}（j12…n）．显然P() p．试验独立性知事件…相互独立．
设试验进行成功n次止X值12…n 2≤k≤n－1
X概率分布限分布：
．
例235（泊松定理） 假设某动生产线产品合格品率002试求意抽取30件中
(1) 合格品少两件概率
(2) 已发现件合格品条件合格品少两件概率．
解 表示抽30件产品中合格品件数服参数（30002）二项分布：
1) 合格品少两件概率
2) 已发现件合格品条件合格品少两件条件概率
例236（二项分布） 假设10台设备台性（障工作概率）092台出现障时需进行调整．问保证95情况设备出现障时时调整少需安排值班？
解 条件知台设备出现障概率008．表示10台设备中时出现障台数服参数（10008）二项分布．需安排值班数k应满足条件：．需k进行试算．首先设k１k＝２相应
少需安排2值班．
例237（二项分布） 假设部机器工作日停概率02．周5工作日创利润10万元4工作日创利润7万元3工作日创利润2万元停3天3天亏损2万元．求创利润概率分布．
解 设X——周5工作日停天数Y——周创利润．X服参数(502)二项分布．
周创利润YX函数：
．
例238(二项分布) 某生产线均三分钟生产件产品假设合格品率001．问少出现件合格品概率超95少需长时间？
解 设n——少出现件合格品生产产品件数n件产品中合格品件数服参数（n001）二项分布题意n应满足条件
少出现件合格品概率超95少需2980729×3895分14时55分．
例341（复合泊松分布） 假设日某商店顾客数服参数泊松分布顾客实际购货概率．分表示日该商店顾客中购货未购货数分求 概率分布．
解 条件知+日该商店顾客数服参数泊松分布．设X——日该商店顾客中购货数．条件知日顾客该商店条件购货数条件概率分布
全概率公式见m012…
日该商店顾客中购货数服参数泊松分布．理服参数泊松分布．
例244（机质点流） 假设商店周（7天）均售出56台电冰箱中质量问题求返修占5‰ ．试求季度（90天）售出电冰箱中返修件数X概率分布．
解 表示90天售出电冰箱台数．假设服参数泊松分布．条件知568（台）．样服参数8t泊松分布：
．
机变量X值然数m012…．记．全概率公式
中．返修件数X服参数36泊松分布：
．
例247（正态分布）假设机变量X服正态分布求满足常数a．
解 条件知
中标准正态分布函数．熟知事实见
例248（正态分布） 假设机测量误差求100次独立重复测量中少三次测量绝误差196概率似值．
解 条件知．设100次独立重复测量中事件出现次数
．
易见服参数(100 005)二项分布似服参数5泊松分布．
〖证明题〗
例252（分布函数） 设机变量分布函数ab非负常数证明具机变量分布函数基性质．
证明 需验证满足分布函数三条基性质．条件知ab非负a+b 1．分布函数见意
意实数见
单调减．右连续性见右连续．
分布函数．
例253（分布函数） 假设机变量X服参数指数分布分布函数证明机变量Y区间(01)服均匀分布．
证明 指数分布函数设Y分布函数．分布函数值域(01)见时时．设
区间(01)均匀分布函数Y区间(01)服均匀分布．
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