第1章 机事件概率
然界类社会活动中会发生种样现象现象致分两类分称确定性现象机现象．
谓确定性现象定条件必然会出现某结果(必然发生某事件)现象．例：
1．抛粒石子必然落
2．纯净水标准气压加热100℃时会沸腾冷0℃时会结冰
3．异性电荷必然相吸
4．两相邻然数相数定偶数
5．质量物体受外力 作必然产生加速度
6．袋中装十外形完全相白球搅匀中取球必白球．
谓机现象定条件出现样结果出现样结果预先断言出现种结果现象．机现象实际生活中量存例：
1．面抛掷枚硬币观察结果正面反面次抛掷前法确定面
2．100件产品中3件次品中意取出4件取次品件数0123
3．袋中装外形完全相三球：红球白球黑球搅匀中取球取红球白球黑球．
妨想象够整类包括国家区域家庭感振奋幸福惬意快乐悲伤恐惧失愤怒宰激烈情绪事件机现象：战争类带难预料结果然灾害
国家带损失苦难子女考学家庭带安期．种种足．
毫夸张讲整世界机现象博弈中生存．
观察定条件发生结果事件通常称试验．仅次试验言机现象结果具确定性相条件做量重复试验时机现象结果会呈现出种明显规律性．例面抛掷枚硬币次数足够时正面反面次数致相占总抛掷次数半左右．英国数学家皮尔逊(Pearson)做24000次抛掷硬币重复试验结果正面12012次反面11988次接12000次机现象统计规律性．见现象具表面偶然性蕴涵必然性偶然性机性必然性量重复实验中呈现出统计规律性．概率数理统计数量角度研究机现象规律性门学科．
作概率入门章介绍概率中两基概念：机事件机事件概率基础介绍条件概率三重公式（法公式 全概率公式 贝叶斯公式）事件独立性伯努利（Bernoulli）概型．
§11 机事件运算
机事件样空间
研究机现象需具备定条件时现象否发生进行观察种观察程称机试验简称试验．：
试验1．桌面掷颗骰子观察出现点数
试验2．袋中装四白三黑三红形状完全相球搅匀中取球观察球颜色
试验3．抽查流水生产线件产品观察正品次品．
机试验具三特点：
1．重复性试验相条件重复进行
2．结果性试验结果止预先知道结果
3．机性次试验定会出现结果中出现结果试验前明确预言会出现结果．
定义1 称机试验结果组成集合该机试验样空间表示试验结果（元素）称该试验样点表示．
定义2 称机试验样空间子集该试验机事件．特样点组成单点集称基事件．
次试验中定发生事件称必然事件通常全集表示．次试验中定发生事件称事件通常空集表示．
例桌面掷颗骰子结果 出现1点出现2点…出现6点等等．结果机事件．外出现点数超5出现点数超3出现点数偶数等机事件．出现点数超6必然事件出现7点事件．
述机事件中出现1点出现2点…出现6点等事件基事件出现点数超5出现点数超3出现点数偶数等事件称复合事件复合事件基事件组成出现点数偶数出现2点出现4点出现6点三基事件组成．说基事件分解事件复合事件分解事件．
显然机试验结果定某基事件．样空间代表事件必然事件．
概率中讨机事件试验条件发生发生事件．机事件样空间非空子集般写英文字母等表示．然偶然必然辩证统性涉必然事件事件．讨问题方便必然事件事件作机事件
集合中全集空集作子集定相致．
机试验首先弄清楚基事件进确定样空间机事件．面举例子．
例1． 口袋中放红黄绿三形状完全相球中取观察颜色．试验中样空间面三基事件组成：
{红球}{黄球}{绿球}．
例2． 试写出列机试验样空间指定机事件：
（1）批产品中意抽取5件观察5件产品中次品数．
事件5件产品中次品数超2件．
（2）设某零件直径误差±01mm．
事件误差绝值超005mm．
（3）盒中装颜色红黄白黑四形状完全相球搅匀中取两球观察球颜色．
事件白球．
（4）盒中装红黄蓝三种颜色粉笔色粉笔均超4．盒中意取出4粉笔观察种颜色．
事件红色事件白色．
（5）观察某区120急救电话台某段时间接呼唤次数．
解 （1）设表示抽5件产品中次品数该试验基事件．样空间
．
（2） 该试验基事件区间（单位：mm）中实数样空间
．
（3）该试验样空间{红黄红白红黑黄白黄黑白黑}
{红白黄白白黑}．
（4）该试验样空间{红黄蓝红黄红蓝黄蓝红黄蓝}
{红红黄红蓝红黄蓝}．
（5）该试验基事件{呼次数次}样空间．
例2说明机试验样空间离散（1）（3）（4）（5）连续（2）限集（1）（3）（4）限集 （2）（5）．
二机事件间关系运算
研究机现象时通常会涉机事件机事件关系．解事件间关系助解掌握事件质通简单事件解研究关较复杂事件．
前述机试验机事件样空间某子集．机事件间关系运算质集合间关系运算致集合观点表示方法出机事件间关系运算．
设已定某机试验样空间（全集）等均表示该试验机事件（子集）．
（）事件包含相等关系
定义3 果事件发生时事件必发生称事件包含事件（事件含事件）记作（）．果时成立称相等记作．
例3． 五件类产品中两件次品中取三件设恰取件次品少取件次品取两件正品．
（二）事件（）运算
定义4 事件事件少发生事件称事件事件（）记作 少发生．
例4． 发行甲乙两种报纸户统计订报情况设订甲种报纸订乙种报纸甲乙两种报纸中少订阅种报纸．
（三）事件积（交）运算
定义5 事件事件时发生事件称事件事件积（交）记作（） 时发生．
例4中 甲乙两种报纸中订阅．
事件交运算推广事件限列情形．发生仅中少发生称记发生仅时发生称积记．
易见．
（四）事件差运算
定义6 事件发生事件发生事件称事件事件差记作．
例4 中订甲种报纸订乙种报纸．
（五）立事件（逆事件）
定义7 事件事件仅件发生事件称事件事件互立事件（逆事件）记作（）发生．
例4 中未订甲种报纸．
事件立事件关系： ．．
（六）事件互相容性（互斥性）
定义8 事件事件时发生称事件事件互相容（互斥）．
注意互逆定互斥互斥未必互逆．掷骰子事件出现３点事件出现偶数点互斥两事件互逆．
事件组（限列）中意两事件互相容（互斥）称事件组互相容（两两互斥）．
易见基事件互相容两互斥事件包含基事件．
（七）完备事件组
定义9 事件组（限列）互相容称构成完备事件组．
易见机试验基事件构成完备事件组事件立事件构成完备事件组．
完备事件组时称样空间剖分（划分）．面会完备事件组事件间种重关系．便记忆机事件关系运算列入表111中．
表111
关系运算
符号(集合表示)
文氏图
概率语言描述
事件包含事件
（）
事件发生事件发生
事件相等
事件（）
事件中少发生
事件积（交)
事件时发生
事件差
事件发生发生
事件立事件
事件发生
事件互相容
事件时发生
完备事件组
三机事件运算性质
机事件运算性质集合运算性质完全相里仅列出性质证明略．兴趣读者查阅关集合书籍．
1．交换律
．
2．结合律
．
3．分配律
（1）（第分配律）．
推广意限事件 ．
（2）（第二分配律）．
推广意限事件．
4．德摩根（De Morgan）定理（偶律）
（1）（第偶律）．
推广形式 ．
（2）（第二偶律）．
推广形式 ．
例5． 设某机试验中三机事件试运算关系式表示列事件：
（1）中恰发生
（2）中少两事件发生
（3）中恰两事件发生
（4）中事件发生．
解 （1）表示
（2）表示
（3）表示
（4）表示．
例6． 批灯泡中取4检验设表示第灯泡寿命800h(含800h)．试语言描述列机事件：
（1）
（2）
（3）
解 （1）表示4灯泡中少灯泡寿命800h
（2）表示第14两灯泡寿命800h第23两灯泡寿命足800h
（3）表示非4灯泡寿命800h少灯泡寿命足800h．
[注] 便指出样点未必事件．进行研究已超出书范围．
[注] 专供数学专业学生教科书中会提样点未必事件点种讨已超出书研究范围
§12 机事件概率
观察机试验种事件总会发现事件出现性般相．然研究机现象时仅需知道会出现事件更重更具实践意义需研究解种事件发生性加度量．需刻画事件发生性数量指标时该指标需满足两条件：
1．必须事件身固客观量度相条件通重复试验予识检验．
2．必须符合般常理．譬事件发生性时该指标值相应反值必然事件指标值事件指标值等等．
样够建立起事件出现性数量指标应关系．通常情形二者等价（稍会间细微差）刻画事件发生性数量指标称事件概率记时出公理化结构概率定义做准备 ．
书针情况介绍三种计算概率方法三种方法分称：统计概率古典概率概率．
统计概率
机事件次试验中发生发生具偶然性．量事实告诉机事件次试验中发生性机事件身固种属性机事件发生性定相发生性发生性．前面说需量体现种性底样量够体现事件发生性？先出频率定义．
定义1 设次重复机试验中事件发生次．称事件发生频数称事件发生频率记
（121）
定义易知频率具基性质：
1．意事件
2．
3．事件事件互斥．进步两两互斥事件．
机事件频率试验次数事件发生次数关固定常数．量重复试验中频率具稳定性．说明频率稳定性先面例子．
例1． 考虑抛硬币试验皮尔逊历史名数学家做试验．设事件正面试验结果表121．
表121
试验者
抛掷次数（）
发生次数（）
频率（）
德摩根
2 048
1 061
05181
蒲 丰
4 040
2 048
05069
费 勒
10 000
4 979
04979
皮尔逊
12 000
6 019
05016
皮尔逊
24 000
12 012
05005
维 尼
30 000
14 994
04998
表121数表明着试验次数增频率呈现出稳定性逐渐增时总05附摆动摆动幅度越越．
例2． 考察英文字母出现频率．观察字母数（试验次数）较时频率较幅度机波动增时频率呈现出稳定性．表122份英文字母频率统计表Dewey．G．统计约438 023字母．
表122
字母
频率
字母
频率
字母
频率
E
01268
L
00394
P
00186
T
00978
D
00389
B
00156
A
00788
U
00280
V
00102
O
00776
C
00268
K
00060
I
00707
F
00256
X
00016
N
00706
M
00244
J
00010
S
00634
W
00214
Q
00009
R
00594
Y
00202
Z
00006
H
00573
G
00187
量试验说明事件发生频率固定常数试验次数逐渐增时事件发生频率会逐渐某常数附摆动试验次数越频率某常数间偏差越呈现出种稳定性常数称频率稳定值．频率稳定值确切反映事件发生性作度量指标．引入述定义．
定义2 观察某机事件机试验中着试验次数增事件发生频率会越越稳定某常数附摆动时常数作事件概率称统计概率．
根定义实际问题中量观察频率作概率似值情况足满足实际需．
例3． 某市卫生理部门该市60岁老患高血压情况进行调查4区分调查8090100100中患病数分23273330．试估计该市60岁老高血压患病率．
解 4组调查结果频率均值估计结果
二． 概率数学定义性质
统计概率定义然适实际问题总通量重复试验求事件发生频率进求事件概率．概率建立严格理基础需概率出相严格数学定义．
定义3 设某机试验样空间样空间事件实数应集合函数满足列三性质称概率．
1．非负性：事件
2．规范性：
3．列加性： 两两互相容．
概率定义导出概率重性质．
性质1 ．
事实列加性．
．
会概率零事件定事件．
性质2（限加性） 两两互相容．
事实列加性．
性质3 构成完备事件组．
事实概率规范性性质2．
性质4 ．
事实互相容．
性质5 ．
事实概率非负性性质2
性质6 ．（性质5推）
性质7 机事件．（性质6）
性质8 意两机事件．
事实性质2
性质2
代入第等式．
性质8称加法定理．
例4． 甲給乙电话乙单位两电话号码号码通概率07号码通概率04少通概率065求少通概率．
解 记号码通号码通少通表示少通表示．题设
性质9 意两机事件．（性质8推）
例5． 已知两机事件满足试求．
解
[注] 值注意时事件关系推出概率关系性质6反未必成立．譬令然．述概率值变情况定成立事实 ．
意味着．
§13 古典概型概型
古典概型
实际问题中机试验类型种样根种机试验类型特点出相应方法研究事件概率．
类机试验具述两特点：
（1） 试验样空间包含限基事件记
（2） 试验中基事件发生性相．
概型概率发展初期研究象称古典概型．古典概型中基事件发生具等性称等概型．古典概型概念具直观容易理解特点着广泛应．面考虑古典概型中事件概率．
定义1 古典概型样空间含基事件事件含基事件事件概率定义
（131）
适古典概型式（131）定义概率称古典概率．
例1． 箱中装10件产品中1件次品9件合格品中6件等品3件二等品现箱中取3件试求：
（1）取3件产品合格品仅1件等品概率
（2）取3件产品中少2件等品概率．
解 箱中10件产品中取3件中取法该机试验样空间含基事件总数．
（1）设该事件中基事件数求概率
（2）设该事件中基事件数求概率
例2． 设两球机放入3盒中试求两球盒中两球盒中概率．
解 两球放入3盒中种放法机试验样空间中基事件总数9．设表示两球盒中表示两球盒中中基事件数中基事件数．
例3． 某层书架意摆放10册图书中两套书4册3册试求列事件概率：
（1） 4册套书摆放起
（2） 两套书摆放起
（3） 两套书相方册序摆放起．
解 10册书书架摆放法10种样空间中基事件总数10
（1）4册套书摆放起视书余6书起摆放7种摆法套4册书间4种摆放法中基事件数74
（2）两套书成两书余3书起摆放5种摆法两套书43种摆放法中基事件数543
（3）中基事件数52
例题直接利公式计算事件概率．时直接计算概率较麻烦计算相简单先求然利公式求．
例4． 012…9十数码机重复取出5数码求5数码中少两相概率．
解 事件中包含基事件情况较复杂包含5数码完全相5数码中4相5数码中三相等等．计算数较麻烦．考虑事件5数码全相易．
例5． 盒中4白球2红球．次盒中取出球连续取两次．（a）第取出放回取第二（b）第取出放回接着取第二．试求两种情况事件概率：
（1）取两白球（2）取两颜色相球（3）少取白球．
解 （a）种情况：（1）设取两白球
（2）设取两红球取两颜色相球．
（3）设少取白球．
（b）种情况：（1）
（2）
（3）．
例6． 某5钥匙忘记开门逐试开．求事件概率：（1）恰第3次试开成功（2）3次成功（3）次试开均记钥匙恰第3次成功．
解 （1）设恰第3次试开成功
（2）设3次成功
（3）设第3次成功．
二概型
古典概率适古典概型求样空间中基事件数限等．实际问题中试验应样空间含基事件限时古典概率定义适．考虑样空间中基事件数限等情形考虑古典概率定义作进步推广引出概率定义．
考虑机试验：区间[01]中机取数时样空间
限集古典概型古典概率失效．假定数取性样样理解等性含义取数区间某部分区间性长度成正位置关．设表示取数超表示取数间然会想：
例子般化定义：
定义2 具述特征机试验称概型：
(1) 机试验结度量图形中机投点（取点）表示度量（长度面积体积等）事件指投点（取点）落（取）中度量图形中
（2）事件概率度量成正中位置关．
定义3 概型中事件
（132）
作事件概率称概率．
现实中试验某区域投点试验结果某区域中点表示试验切结果应区域中切点具等性时定义3求事件概率．
例7． 区间（01）中机取两数试求两数15概率．
y
x
1
1
05
05
图131
x+y15
解 （01）中机取两数相区域 （图131中正方形）中机取点设两数15事件取中区域（图131中阴影部分）概型
例8． （会面问题）甲乙两约定某日午两点两点半某会面先者等候15分钟离．假设某指定时间时刻达试求出二会面概率．
30
xy15
yx15
x
y
0
30
图132
解 记午两点会面起始时刻分表示甲乙二达时刻两达时间切结果应边长30正方形点（图132）．设表示二会面发生充分必条件应阴影部分切点．
结概型：面区域机投点事件点投入中区域中
§14 条件概率全概率分式
条件概率法公式
（）条件概率
实际问题中考虑求某事件概率常常需考虑已知某事件发生条件事件发生概率问题．增加新条件事件已发生事件发生概率般说称条件概率．记．相应前面讨概率称条件概率．条件概率概率中重实概念先引例：
引例 假设100产品中等品70二等品25废品5二等品均合格品．100件产品中机取设
产品等品产品合格品
产品合格等品合格产品等品
现考虑已知取出产品合格品求该产品等品概率问题问题相事件发生条件事件发生概率．首先表示求概率说明取出产品合格品条件限制区没条件限制时事件概率．次试验条件导致样空间事件发生已发生原样空间中属基事件发生出现结果95时样空间相95合格品中取样试验应样空间．显然中基事件数中基事件数相关系式
（141）
式写成
（142）
频率概型面类似结果．面定义．
定义1 设意两机事件称
（143）
已知事件发生条件事件发生条件概率．读作条件概率．
验证条件概率具概率定义中三基性质：
1．非负性：事件
2．规范性：
3．列加性： 两两互相容．
见条件概率种概率概率具性质条件概率具
等等．
例1． 已知10张考签中4张难签甲乙二参加抽签抽张甲先抽抽出放回已抽出考签（称种抽取方法放回抽样重复抽样）．试求甲抽难签情况乙抽难签概率．
解 设表示甲抽难签表示乙抽难签求条件概率．抽难签剩9张考签中3张难签式（141）
例2． 资料显示某区寿命70岁概率06680岁概率039问该区位70岁活80岁概率？
解 设表示寿命70岁表示寿命80岁求条件概率．题设知 式（143）
（二）法公式（定理）
条件概率定义式（143）
（144）
类似
二式称概率法公式．法公式容易推广意限事件情形．
设（）事件满足
（145）
证明
式式（143）便式（145）．
法公式利条件概率计算积事件概率力工具．
例3． 已知某工厂生产产品合格率096合格品中级品率075求该厂生产产品级品概率．
解 设表示产品合格品表示产品级品级品必合格品．题设式
例4． 盒中12新乒乓球场赛取3完放回赛3场假设球均未损坏．试求：
（1） 三场赛取新球概率
（2） 第二场赛取两新旧3球第三场赛取新两旧3球概率．
解 设分表示第二三场赛取新球法公式
（1）求概率
（2）求概率
例5． 已知某袋中放5黑球4白球中机取出然放回时加进2抽出球色球取出第二球．试求：
（1） 取两球白球概率
（2） 第二次取黑球概率．
解 设表示第次取白球表示第次取黑球表示取两球白球表示第二次取黑球第次取白球第二次取黑球．式
（1）求概率
（2）求概率
许会问然第二次取黑球第次取白球应该条件什求呢？
事实条件概率求事件已发生事件．里问题中逻辑意义考虑第二次取黑球第次必须取白球．第二次取黑球前第次定取白球．第次取白球仅逻辑意义条件条件概率中条件．
例6． 例5中果第二次机取出然放回时加进2抽出球色球取出第三球第三次取白球概率
二全概率公式贝叶斯公式
解决实际问题程中时希利已知某事件概率求研究事件概率时希利较简单事件概率求未知较复杂事件概率．节介绍全概率公式贝叶斯公式帮助解决概率计算问题利条件概率法公式概率加性推导出两十分公式．
（）全概率公式
先引例
引例 5乒乓球3白色球2黄色球次取放回．求（1）第次取白色球概率（2）第二次取白色球概率（3）已知第次取白色球条件第二次取白色球概率．
解 设第次取白色球第二次取白色球第次取黄色球
（1）
（2）考虑正第次取球情况构成完备事件组互相容．概率加性法公式
（146）
题设知
代入式（146）求概率
（3）．
注意（2）求解程复杂事件分解互相容较简单事件利概率加性法公式求解例子：
例7． 设三箱类型产品三家工厂生产．已知第第二家工厂产品废品率2第三家工厂废品率4．现取箱箱中取件产品试求取产品废品概率．
解 里试验先三箱中取箱取箱中取件产品考虑取废品情况．先设表示取第家工厂生产箱产品时反映先抽取情况构成完备事件组设表示取废品互相容．概率加性法公式
（146）
题设知
代入式（146）求概率
例复杂事件分解三互相容较简单事件利概率加性法公式求解．求式具普遍意义般形式谓全概率公式．
定理1（全概率公式） 设某机试验样空间中事件（限列）构成完备事件组事件
（147）
称式（147）全概率公式简称全概公式．
证明 假设知事件必某事件时发生构成完备事件组事件运算性质
两两互相容 互相容概率加性法公式
例8． 10张考签中4张难签甲乙丙三次放回抽取签．分求甲乙丙三抽难签概率．
解 设分表示甲乙丙抽难签．古典概率
乙甲已抽取条件抽取甲抽取情况构成完备事件组全概率公式
丙甲乙已抽取条件抽取甲乙抽取情况构成完备事件组全概率公式
例验证众周知抽签机会均等抽签序关事实．
例9． 某厂种产品50件成箱箱中2件次品含012件次品等．现中取箱机逐件抽取5件产品进行检查（取放回）抽取程中发现次品停止抽查认该箱产品合格抽出5件未发现次品认该箱产品合格．试求认定该箱产品合格概率．
解 设表示取含件次品箱产品构成完备事件组．设表示认定该箱产品合格全概率公式
题设知
面求．方便设表示第次抽合格品显然
类似
求概率
例题出全概率公式适问题般特征：试验分两层次（两步骤）第层次结果构成完备事件组互相容事件次试验必发生考虑事件第二层次中事件发生必中时发生．利全概率公式求事件概率时必须找出满足全概率公式完备事件组解决问题关键．
关两层次试验例子：
设甲乙两盒子．甲盒中3支红粉笔2支蓝粉笔乙盒中1支红粉笔2支蓝粉笔2支白粉笔．取盒子盒中取支粉笔设取甲盒取红粉笔
全概率公式设想两盒粉笔混放盒子里取支结果致．
否认定全概率问题均述第二种方法解决呢？般言行．前面例子稍加改动甲箱4支红粉笔2支蓝粉笔乙箱1支红粉笔2支蓝粉笔1支白粉笔试验程变．
两盒粉笔混合两结果致．说明种方法代全概率公式通常成立两盒粉笔数相等时结果变正确．读者否述结推广更般情形？
（二）贝叶斯（Bayes）公式
面引例
引例 某工厂四条流水线生产种产品该四条流水线产量分占总产量10203040四条流水线次品率次005004003002现出厂产品中取件发现取产品次品问第四条流水线生产概率？
解 令取出产品次品产品取第条流水线．显然求概率．题设知．全概率公式
利条件概率定义法公式
取出次品第四条流水线生产概率．类似方法求出取次品第第二第三条流水线生产概率．
例题实际告诉极公式贝叶斯公式．
定理2（贝叶斯公式） 设某机试验样空间中事件（限列）构成完备事件组事件
（148）
称式（148）贝叶斯（Bayes）公式．
贝叶斯公式常解决问题：果某事件完备事件组中某事件（）时发生试验前知道．做次试验中假设事件发生求事件发生事件发生引起概率．视全概率公式逆问题贝叶斯公式常称逆概公式．利逆概公式解决问题时关键找出满足全概率公式完备事件组．称先验概率求条件概率称验概率．
面引例中抽查次产品次试验试验前已知道先验概率实际已掌握情况反映试验出现结果提供定信息现试验结果出现次品（发生）时验概率反映试验
发生某种源（次品源）性估计．
例10． 某保险公司客户分三类：谨慎般失．统计资料表明三类客户年发生某类事件概率次001005010．设客户中占例次305020．现已知某客户年出事求该客户谨慎客户概率．
解 里机试验视三类客户中意抽查客户考察否出事．考虑问题：已知客户出事求该客户谨慎类客户概率．设分表示客户谨慎般失构成完备事件组．设表示客户年出事求概率．
题设知．贝叶斯公式
出事客户谨慎客户概率00625．
例11． 已知批产品合格品率96．检查产品时合格品误认次品概率002次品误认合格品概率005．试求检查合格产品确合格品检查合格品产品确次品概率．
解 里机试验视生产产品中意抽查产品考察产品合格品次品．设表示抽产品合格品表示抽产品次品构成完备事件组．设表示认抽产品合格品表示认抽产品次品．里求概率．
题设知：．贝叶斯公式
§15 机事件独立性
节分两种情况 考虑机事件独立性
151 两事件独立性
般说条件概率条件概率．果两事件中事件发生否影响事件发生性相．例子．
引例 甲乙二某目标进行射击设表示甲击中目标表示乙击中目标．试求．
解 直观易见乙击中目标性甲否击中目标改变样甲击中目标性乙否击中目标改变．
例1中两事件满足条件
（称独立） （151）
（称独立） （152）
里独立含义事件概率受附加条件事件已发生影响． 般两事件满足式（151）式（152）称相互独立．
证明时（151）（152）两式中式成立式成立（请读者证）．时法公式
出两事件相互独立数学定义．
定义1 果意两机事件满足
（153）
称机事件相互独立简称独立．
里指出采式（153）定义两事件相互独立性时必加限制条件更广泛适性．
独立性概率中重概念遍概率统计角落．关两事件独立性性质：
性质1 事件意事件独立．说事件必然事件意事件独立．（证明留读者）
性质2 （）事件相互独立充条件（）．（证明留读者）
性质3 事件独立事件独立事件独立事件独立．（证明留读者）
利事件独立性解决实际问题时总先实际意义确定事件独立性然根独立性定义性质计算独立事件概率．
例1． 甲乙二目标进行射击甲击中目标概率09乙击中目标概率08甲乙二射击次试求击中目标概率．
解 设表示甲击中目标表示乙击中目标表示击中目标求概率
乙否击中目标受甲否击中目标影响样甲否击中目标受乙否击中目标影响．相互独立
例2． 装黑球白球袋中摸出球放回摸出球记第次摸黑球第二次摸黑球．验证否独立求第次摸白球第二次摸黑球两次摸黑球概率概率．
解 显然第次摸白球．题设知第次摸球第二次摸球面情况相次摸球互影响．独立独立．
．
例3． 装黑球白球袋中放回摸球两次记第次摸黑球第二次摸黑球．验证否独立．
解 题设知互相容
相互独立．
例题知第次摸黑球概率第二次摸黑球概率相．事实袋中黑球数白球数旦确定第次摸黑（白）球概率第二次摸黑（白）球概率定相．似启示：发生袋中黑白球数关受发生影响．实际错觉观察否相互独立观察（）已发生情况（）发生概率．判（）否（）相．通常放回（重复）抽样试验中次抽取应事件相互独立放回（重复）抽样试验中次抽取应事件相互独立
152事件独立性
定义2 设机事件中意事件
等式：
（154）
成立称事件相互独立．
式（154）实际包含组 等式．
（等式）
（等式）
……
（等式）
定义出事件相互独立中意相互独立．特注意事件中意事件独立未必推出事件相互独立性．面例子．
例4． 设样空间含4等基事件设
见
例5． 设样空间含8等基事件设
见
两例子说明事件相互独立定义中等式缺．
应定义概率性质面性质：
性质4 相互独立中意换成事件相互独立．
性质5 相互独立
证明 利事件关系运算独立性
列事件
定义3 列事件中意限事件相互独立称相互独立．
事件相互独立定义性质出独立事件法公式特简便情形定义验证事件否独立较麻烦常根问题反映条件直接加判断．
例6． 假定血清中含肝炎病毒概率0004混合100血清求混合血清含肝炎病毒概率．
解 记第血清中含病毒．
验判定间相互独立求概率{}间显然两两相斥加法公式计算麻烦事件运算转化事件交运算改法公式．
例7． 敌机进行三次独立射击次命中率次050607．求敌机恰次击中概率．
解 记第次击中敌机敌机击中．
三次射击独立相互独立利加性独立性求概率
例8． 敌机进行三次独立射击次命中率次040507． 敌机击中次击落概率02击中二次击落概率06击中三次必然击落．求敌机击落概率．
解 记第次击中敌机敌机击中次敌机击落．相互独立互相容．求概率
题设知．事件独立性概率性质求
代入表达式求概率
[注] 二事件时互相容相互独立时成立．互相容时相互独立时．
§16 伯努利概型
引例 （1）枚分币抛掷5次求恰2次出现正面概率．（2）位篮球运动员练定点投篮．已知次投中概率均07问该运动员5次投篮中恰投中2次概率？
解 （1）设恰2次出现正面概率古典定义知
结果记．
第二式子解释：次抛掷结果显然相互独立表示出现2次正面概率表示出现3次反面概率表示2次正面出现5次抛掷程中两次．
（2）时果（1）题思路设恰投中2次显然正确．里投中未投中两基事件等．换句话说概率问题然古典概率古典定义求解．读者难理解事件概率：
实际里引出种概型某类事件概率统计算模式．
类问题广泛存．
定义1 具述特征次机试验称重伯努利（Bernoulli）概型（重伯努利试验）：
（1） 次试验两结果：记
（2） 次试验相互独立次试验结果相互独立
（3） 事件次试验中出现概率相（次试验结果出现概率受次试验结果影响）分记．
时称限伯努利（Bernoulli）概型．
定义知重伯努利试验中令表示第次试验成功相互独立．
节中讨重伯努利概型中四种事件概率．
1． 事件事件次试验中恰出现次概率．
设表示事件第次试验中发生．事件次试验中恰出现次说明事件次试验中次试验中发生余次试验中发生．妨设事件第次试验中发生第次试验中发生次试验独立相互独立．
事件次试验中发生次试验种种应事件互相容概率均．定理
定理1（伯努利定理） 重伯努利概型中事件事件次试验中恰出现次概率
（161）
中．
例1． 设某靶命中率075现独立重复射击5次求恰命中3次概率．
解 次靶两结果：命中没命中恰命中3次．问题结5重伯努利试验求概率
2． 事件次试验中少（）出现次概率．
令表示事件次试验中少出现次表示事件次试验中出现次．互相容必
例2． 某种药物疗效进行研究假定种药物某种疾病治愈率10患病病时服种药求中少6病治愈概率．
解 患病病服该药两种结果：治愈（发生）没治愈（发生）．病服药否治愈彼独立问题10重伯努利概型．概率限加性
例3． 某车间10台类型机床台机床电动机功率10kW．已知台机床工作时均时开动12分钟开动否相互独立．电力部门提供50kW电力10台机床求10台机床正常工作概率．
解 50kW电力供5台机床时开动10台机床中时开动台数超5台正常工作．时刻台机床开动开动两种情况台机床开动否相互独立问题10重伯努利概型．里．设正常工作求概率
10台机床正常工作概率约09936．结果说明50kW电力已基够须供电造成浪费．
3．伯努利试验独立重复进行直事件首次出现止．
记事件首次出现第k次试验
（162）
（162）示概率级数般项称分布第二章进步讨．
4．伯努利试验独立重复进行直出现次成功止．
记第次事件出现第次试验 发生仅第次试验出现事件前次恰出现次：
（163）
（163）示概率称巴斯卡分布．
例4． 驾车城中甲乙途中干交通路口果路口遇红灯概率均04试求：（1）5路口仅次遇红灯概率（2）第5次路口遇红灯概率（3）第5次路口已第3次遇红灯概率．
解 路口两结果：遇红灯遇绿灯．
（1）
（2）
（3）
概率中讨更般次独立试验次独立试验概型次独立试验概型中求次试验中成功概率相次试验考虑两结果重伯努利试验次独立试验概型种特殊情形．然次独立试验概型较复杂类问题解法重伯努利试验问题解法类似．§15中例1例7种情形．
[注] 伯努利概型称独立重复试验序列概型．独立重复仅意味着次试验条件相次试验结果间相互独立含义具体应时定体会独立重复字．面两例子：
1o 已知80产品中5件次品现中次取取20次求中恰取出2次品概率．
假设事件恰取出2次品表面问题提法伯努利概型相．实样计算错误独立重复前提正确计算应．然果试验放回成独立重复试验．
2o 批电子元件中优等品占20现中机抽取20问恰抽2优等品概率．
客观世界中真正完全重复现象见数似完全重复然够独立重复试验序列概型似处理．面问题试验象批量相较时放回作放回．恰抽2优等品事件概率
结
章介绍机事件概率概念事件关系运算概率性质概率性质诱导出概率计算公式古典概型概率计算方法等容学章基础
1读者应熟悉事件关系运算准确写出事件立事件（逆事件）应解两事件互斥互逆联系区弄清互斥独立两概念
2读者应理解概率定义实质理解条件概率事件独立性独立重复试验概念掌握概率基性质加法公式法公式全概率公式贝叶斯公式
3读者应熟练掌握计算古典概率概率方法特注意古典概率计算公式求试验切基结果等否学会应公式事件独立性进行概率计算重伯努利试验相关概率计算
题 1
填空题
1．两事件互相容 ．
2．两事件互相容 ．
3．设两机事件 ．
4．设三事件未发生两种运算 ．
5．概率事件认次试验中发生原称 ．
6．设批产品中二三等品占603010中意取出件结果三等品取等品概率 ．
7．三独立破译密码单独译出概率分15 13 14 密码译出概率 ．
8．设10件产品中4件合格．现中取2件发现件合格件合格概率 ．
二选择题
1．设意两事件列选项必然成立 ( )
（1）（2）（3）（4）．
2．次成功概率n次独立试验中少成功次概率 （ ）
（1） （2） （3） （4）．
3．设事件互相容肯定正确( )
（1）互相容 （2）相容
（3） （4）．
4．事件机事件列式子正确 ( )
（1） （2）
（3） （4）．
5．列结正确（ ）
（1）必相互独立 （2） 相互独立
（3）必相互独立 （4）必相互独立．
6．设二事件 ( )
（1）互相容 （2）事件
（3） （4）未必事件．
7．设三事件事件发生逆事件 ( )
（1）少发生 （2）少两发生
（3）发生 （4）发生．
三综合题
1．写出列机试验样空间：
（1） 某班学生40考察该班某科考试均成绩（百分制记分考试成绩取整数分）
（2） 某厂出厂产品进行检验产品分正品次品．连续查出2件次品停止检查检查4件产品停止检查记录检查结果
（3） 尺棰折成三段观察段长度．
2．试事件运算关系表示列事件：
（1） 中少事件发生
（2） 中恰事件发生
（3） 中两事件发生
（4） 中少发生发生．
3．批产品中次取出（取出放回）事件表示第次取次品（）试文字叙述列事件：
（1） （2） ．
4．盒中装10相球分标号码01…9中取3试求列事件概率：
（1） 取2号球
（2） 取3球中号码5
（3） 取3球中含2号5号球．
5．某车间分厂里招聘9名新工中3名专毕业生．现机均分配3班组中求：
（1） 班组分配1名专毕业生概率
（2） 3名专毕业生班组概率．
6．考虑元二次方程中分枚色子接连掷两次先出现点数．求该方程实根概率重根概率．
7．某班名学生试求中少2生日天概率（天365天计）．
8．（1）4封信机投入6信箱试求指定2信箱中投入1封信概率
（2）4封信机投入6信箱中试求指定2信箱中投入1封信概率．
A
B
9．图中长方形机投点试求点落长方形中线段概率．计算结果中什结？
10．区间（01）中机取2数试求列事件概率：
（1）2数积 （2）2数中者．
11．甲乙二船欲码头．设二船独立达达时间昼夜间等．果甲乙二船码头停留时间分12时求船等空出码头概率．
12．表10万名男子中活某岁数数．试估计：
（1）名男子活40岁概率
（2）已知名男子已活40岁继续活70岁概率．
岁数
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
活岁数数
100 000
93 601
92 293
90 092
86 880
80 521
67 787
46 739
19 866
2 812
65
13．设10件产品中4件合格产品中取2件已知取2件产品中1件合格产品试求件合格产品概率．
14．设二机事件．
（1）已知试求．
（2）已知试求．
15．某理部门项目进行行性分析效果进行调研．100项目进行统计中70项目成功30项目失败．成功项目中56项专家进行行性分析认行4项认行余项目未进行行性分析．失败项目中3项专家进行行性分析认行9项认行余项目未进行行性分析．试求：
（1）项目进行行性分析认行情况项目成功概率认行情况项目成功概率
（2）未进行行性分析情况项目成功概率
（3）行性分析失误（认行失败认行成功）概率．
16．加工某零件需三道工序设第二三道工序次品率分322试求加工出零件次品率．
17．100家企业前年年营状况进行调查数：
企业数 年
前年
年盈利
年亏损
前年盈利
55
20
前年亏损
10
15
中选企业求：
（1）年盈利概率
（2）已知前年亏损年盈利概率
（3）连续两年盈利概率
（4）扭亏盈概率．
18．两种报警系统种系统单独时系统效概率092系统效概率093．失灵条件效概率085．求：
（1）发生意外时两系统少效概率
（2）失灵情况效概率．
19．设甲乙两口袋甲袋中装3红球2白球乙袋中装2红球3白球．
（1）甲袋中取球（颜色）放入乙袋中乙袋中取球．问取白球概率少？
（2）甲袋中取两球（颜色）放入乙袋中乙袋中取两球．问取红白两球概率少？
20．甲袋中9白球1黑球乙袋中10白球．次甲乙两袋中机取球交换放入袋中样做三次．求黑球出现甲袋中概率．
21．甲乙丙三部机床加工种零件产量5∶3∶2．已知甲乙丙三部机床加工零件废品率分6105．
（1）试求全部产品中合格品率
（2）产品中取件恰废品部机床加工性？
22．某公司属单位划分财务营销技术理四部门中员工占例分10403020．某日公司领导抽查部门出勤情况结果述部门缺勤率次2533．试求：
（1）该日公司总缺勤率 （2）缺勤员中部门占例．
23．发报机分概率0703发出信号•―．受干扰发出•时收报机错收成―概率01发出―时收报机错收成•概率005．试求：
（1）收报机收信号•概率
（2）收报机收信号•时发报机确实发出信号•概率．
24．玻璃杯成箱出售箱20．假设箱含012残次品概率相应080101．顾客欲购箱玻璃杯．购买时售货员意取箱顾客开箱机察4残次品买该箱玻璃杯否退回．试求：
（1）顾客买该箱概率
（2）顾客买箱中确实没残次品概率．
25．设仓库中10箱种规格产品箱20件．中甲乙丙3厂生产分5箱3箱2箱三厂产品废品率次010203．10箱产品中取箱箱中先次机取出2件产品取出放回．
（1）求先取产品正品概率取正品甲厂生产概率
（2）已知取产品正品求先取产品正品概率．
26．证明题：
（1）设机事件相互独立．试证独立
（2）设意二机事件中试证事件相互独立充分必条件
（3）试证概率01事件事件独立．事件必然事件事件独立
（4）设二机事件．试证相互独立设互相容时成立．中少零时情况会样（请中体会互相容相互独立两概念处）？
27．某通讯系统中传送字符三者假定输入三者概率分（）系统受干扰正确接收输出字母概率接收两字母概率．已知接收
问输入概率少（假设系统传输字母工作相互独立）？
28．设三次独立试验中事件出现概率相等．已知少出现次概率等
试求事件次试验中出现概率．
29．某厦四部电梯验知均时运行30分钟部电梯运行相互独立．试求某时刻列事件概率：
（1）恰两部电梯运行
（2）少部电梯运行
（3）全部电梯运行．
30．某参加射击选拔赛指定目标独立射击三次假设次命中率均09．三次均未击中目标定入选目标击中次入选概率02击中二次入选概率05三次均击中定入选．试求该入选概率．
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然界类社会活动中会发生种样现象现象致分两类分称确定性现象机现象．
谓确定性现象定条件必然会出现某结果(必然发生某事件)现象．例：
1．抛粒石子必然落
2．纯净水标准气压加热100℃时会沸腾冷0℃时会结冰
3．异性电荷必然相吸
4．两相邻然数相数定偶数
5．质量物体受外力 作必然产生加速度
6．袋中装十外形完全相白球搅匀中取球必白球．
谓机现象定条件出现样结果出现样结果预先断言出现种结果现象．机现象实际生活中量存例：
1．面抛掷枚硬币观察结果正面反面次抛掷前法确定面
2．100件产品中3件次品中意取出4件取次品件数0123
3．袋中装外形完全相三球：红球白球黑球搅匀中取球取红球白球黑球．
妨想象够整类包括国家区域家庭感振奋幸福惬意快乐悲伤恐惧失愤怒宰激烈情绪事件机现象：战争类带难预料结果然灾害
国家带损失苦难子女考学家庭带安期．种种足．
毫夸张讲整世界机现象博弈中生存．
观察定条件发生结果事件通常称试验．仅次试验言机现象结果具确定性相条件做量重复试验时机现象结果会呈现出种明显规律性．例面抛掷枚硬币次数足够时正面反面次数致相占总抛掷次数半左右．英国数学家皮尔逊(Pearson)做24000次抛掷硬币重复试验结果正面12012次反面11988次接12000次机现象统计规律性．见现象具表面偶然性蕴涵必然性偶然性机性必然性量重复实验中呈现出统计规律性．概率数理统计数量角度研究机现象规律性门学科．
作概率入门章介绍概率中两基概念：机事件机事件概率基础介绍条件概率三重公式（法公式 全概率公式 贝叶斯公式）事件独立性伯努利（Bernoulli）概型．
§11 机事件运算
机事件样空间
研究机现象需具备定条件时现象否发生进行观察种观察程称机试验简称试验．：
试验1．桌面掷颗骰子观察出现点数
试验2．袋中装四白三黑三红形状完全相球搅匀中取球观察球颜色
试验3．抽查流水生产线件产品观察正品次品．
机试验具三特点：
1．重复性试验相条件重复进行
2．结果性试验结果止预先知道结果
3．机性次试验定会出现结果中出现结果试验前明确预言会出现结果．
定义1 称机试验结果组成集合该机试验样空间表示试验结果（元素）称该试验样点表示．
定义2 称机试验样空间子集该试验机事件．特样点组成单点集称基事件．
次试验中定发生事件称必然事件通常全集表示．次试验中定发生事件称事件通常空集表示．
例桌面掷颗骰子结果 出现1点出现2点…出现6点等等．结果机事件．外出现点数超5出现点数超3出现点数偶数等机事件．出现点数超6必然事件出现7点事件．
述机事件中出现1点出现2点…出现6点等事件基事件出现点数超5出现点数超3出现点数偶数等事件称复合事件复合事件基事件组成出现点数偶数出现2点出现4点出现6点三基事件组成．说基事件分解事件复合事件分解事件．
显然机试验结果定某基事件．样空间代表事件必然事件．
概率中讨机事件试验条件发生发生事件．机事件样空间非空子集般写英文字母等表示．然偶然必然辩证统性涉必然事件事件．讨问题方便必然事件事件作机事件
集合中全集空集作子集定相致．
机试验首先弄清楚基事件进确定样空间机事件．面举例子．
例1． 口袋中放红黄绿三形状完全相球中取观察颜色．试验中样空间面三基事件组成：
{红球}{黄球}{绿球}．
例2． 试写出列机试验样空间指定机事件：
（1）批产品中意抽取5件观察5件产品中次品数．
事件5件产品中次品数超2件．
（2）设某零件直径误差±01mm．
事件误差绝值超005mm．
（3）盒中装颜色红黄白黑四形状完全相球搅匀中取两球观察球颜色．
事件白球．
（4）盒中装红黄蓝三种颜色粉笔色粉笔均超4．盒中意取出4粉笔观察种颜色．
事件红色事件白色．
（5）观察某区120急救电话台某段时间接呼唤次数．
解 （1）设表示抽5件产品中次品数该试验基事件．样空间
．
（2） 该试验基事件区间（单位：mm）中实数样空间
．
（3）该试验样空间{红黄红白红黑黄白黄黑白黑}
{红白黄白白黑}．
（4）该试验样空间{红黄蓝红黄红蓝黄蓝红黄蓝}
{红红黄红蓝红黄蓝}．
（5）该试验基事件{呼次数次}样空间．
例2说明机试验样空间离散（1）（3）（4）（5）连续（2）限集（1）（3）（4）限集 （2）（5）．
二机事件间关系运算
研究机现象时通常会涉机事件机事件关系．解事件间关系助解掌握事件质通简单事件解研究关较复杂事件．
前述机试验机事件样空间某子集．机事件间关系运算质集合间关系运算致集合观点表示方法出机事件间关系运算．
设已定某机试验样空间（全集）等均表示该试验机事件（子集）．
（）事件包含相等关系
定义3 果事件发生时事件必发生称事件包含事件（事件含事件）记作（）．果时成立称相等记作．
例3． 五件类产品中两件次品中取三件设恰取件次品少取件次品取两件正品．
（二）事件（）运算
定义4 事件事件少发生事件称事件事件（）记作 少发生．
例4． 发行甲乙两种报纸户统计订报情况设订甲种报纸订乙种报纸甲乙两种报纸中少订阅种报纸．
（三）事件积（交）运算
定义5 事件事件时发生事件称事件事件积（交）记作（） 时发生．
例4中 甲乙两种报纸中订阅．
事件交运算推广事件限列情形．发生仅中少发生称记发生仅时发生称积记．
易见．
（四）事件差运算
定义6 事件发生事件发生事件称事件事件差记作．
例4 中订甲种报纸订乙种报纸．
（五）立事件（逆事件）
定义7 事件事件仅件发生事件称事件事件互立事件（逆事件）记作（）发生．
例4 中未订甲种报纸．
事件立事件关系： ．．
（六）事件互相容性（互斥性）
定义8 事件事件时发生称事件事件互相容（互斥）．
注意互逆定互斥互斥未必互逆．掷骰子事件出现３点事件出现偶数点互斥两事件互逆．
事件组（限列）中意两事件互相容（互斥）称事件组互相容（两两互斥）．
易见基事件互相容两互斥事件包含基事件．
（七）完备事件组
定义9 事件组（限列）互相容称构成完备事件组．
易见机试验基事件构成完备事件组事件立事件构成完备事件组．
完备事件组时称样空间剖分（划分）．面会完备事件组事件间种重关系．便记忆机事件关系运算列入表111中．
表111
关系运算
符号(集合表示)
文氏图
概率语言描述
事件包含事件
（）
事件发生事件发生
事件相等
事件（）
事件中少发生
事件积（交)
事件时发生
事件差
事件发生发生
事件立事件
事件发生
事件互相容
事件时发生
完备事件组
三机事件运算性质
机事件运算性质集合运算性质完全相里仅列出性质证明略．兴趣读者查阅关集合书籍．
1．交换律
．
2．结合律
．
3．分配律
（1）（第分配律）．
推广意限事件 ．
（2）（第二分配律）．
推广意限事件．
4．德摩根（De Morgan）定理（偶律）
（1）（第偶律）．
推广形式 ．
（2）（第二偶律）．
推广形式 ．
例5． 设某机试验中三机事件试运算关系式表示列事件：
（1）中恰发生
（2）中少两事件发生
（3）中恰两事件发生
（4）中事件发生．
解 （1）表示
（2）表示
（3）表示
（4）表示．
例6． 批灯泡中取4检验设表示第灯泡寿命800h(含800h)．试语言描述列机事件：
（1）
（2）
（3）
解 （1）表示4灯泡中少灯泡寿命800h
（2）表示第14两灯泡寿命800h第23两灯泡寿命足800h
（3）表示非4灯泡寿命800h少灯泡寿命足800h．
[注] 便指出样点未必事件．进行研究已超出书范围．
[注] 专供数学专业学生教科书中会提样点未必事件点种讨已超出书研究范围
§12 机事件概率
观察机试验种事件总会发现事件出现性般相．然研究机现象时仅需知道会出现事件更重更具实践意义需研究解种事件发生性加度量．需刻画事件发生性数量指标时该指标需满足两条件：
1．必须事件身固客观量度相条件通重复试验予识检验．
2．必须符合般常理．譬事件发生性时该指标值相应反值必然事件指标值事件指标值等等．
样够建立起事件出现性数量指标应关系．通常情形二者等价（稍会间细微差）刻画事件发生性数量指标称事件概率记时出公理化结构概率定义做准备 ．
书针情况介绍三种计算概率方法三种方法分称：统计概率古典概率概率．
统计概率
机事件次试验中发生发生具偶然性．量事实告诉机事件次试验中发生性机事件身固种属性机事件发生性定相发生性发生性．前面说需量体现种性底样量够体现事件发生性？先出频率定义．
定义1 设次重复机试验中事件发生次．称事件发生频数称事件发生频率记
（121）
定义易知频率具基性质：
1．意事件
2．
3．事件事件互斥．进步两两互斥事件．
机事件频率试验次数事件发生次数关固定常数．量重复试验中频率具稳定性．说明频率稳定性先面例子．
例1． 考虑抛硬币试验皮尔逊历史名数学家做试验．设事件正面试验结果表121．
表121
试验者
抛掷次数（）
发生次数（）
频率（）
德摩根
2 048
1 061
05181
蒲 丰
4 040
2 048
05069
费 勒
10 000
4 979
04979
皮尔逊
12 000
6 019
05016
皮尔逊
24 000
12 012
05005
维 尼
30 000
14 994
04998
表121数表明着试验次数增频率呈现出稳定性逐渐增时总05附摆动摆动幅度越越．
例2． 考察英文字母出现频率．观察字母数（试验次数）较时频率较幅度机波动增时频率呈现出稳定性．表122份英文字母频率统计表Dewey．G．统计约438 023字母．
表122
字母
频率
字母
频率
字母
频率
E
01268
L
00394
P
00186
T
00978
D
00389
B
00156
A
00788
U
00280
V
00102
O
00776
C
00268
K
00060
I
00707
F
00256
X
00016
N
00706
M
00244
J
00010
S
00634
W
00214
Q
00009
R
00594
Y
00202
Z
00006
H
00573
G
00187
量试验说明事件发生频率固定常数试验次数逐渐增时事件发生频率会逐渐某常数附摆动试验次数越频率某常数间偏差越呈现出种稳定性常数称频率稳定值．频率稳定值确切反映事件发生性作度量指标．引入述定义．
定义2 观察某机事件机试验中着试验次数增事件发生频率会越越稳定某常数附摆动时常数作事件概率称统计概率．
根定义实际问题中量观察频率作概率似值情况足满足实际需．
例3． 某市卫生理部门该市60岁老患高血压情况进行调查4区分调查8090100100中患病数分23273330．试估计该市60岁老高血压患病率．
解 4组调查结果频率均值估计结果
二． 概率数学定义性质
统计概率定义然适实际问题总通量重复试验求事件发生频率进求事件概率．概率建立严格理基础需概率出相严格数学定义．
定义3 设某机试验样空间样空间事件实数应集合函数满足列三性质称概率．
1．非负性：事件
2．规范性：
3．列加性： 两两互相容．
概率定义导出概率重性质．
性质1 ．
事实列加性．
．
会概率零事件定事件．
性质2（限加性） 两两互相容．
事实列加性．
性质3 构成完备事件组．
事实概率规范性性质2．
性质4 ．
事实互相容．
性质5 ．
事实概率非负性性质2
性质6 ．（性质5推）
性质7 机事件．（性质6）
性质8 意两机事件．
事实性质2
性质2
代入第等式．
性质8称加法定理．
例4． 甲給乙电话乙单位两电话号码号码通概率07号码通概率04少通概率065求少通概率．
解 记号码通号码通少通表示少通表示．题设
性质9 意两机事件．（性质8推）
例5． 已知两机事件满足试求．
解
[注] 值注意时事件关系推出概率关系性质6反未必成立．譬令然．述概率值变情况定成立事实 ．
意味着．
§13 古典概型概型
古典概型
实际问题中机试验类型种样根种机试验类型特点出相应方法研究事件概率．
类机试验具述两特点：
（1） 试验样空间包含限基事件记
（2） 试验中基事件发生性相．
概型概率发展初期研究象称古典概型．古典概型中基事件发生具等性称等概型．古典概型概念具直观容易理解特点着广泛应．面考虑古典概型中事件概率．
定义1 古典概型样空间含基事件事件含基事件事件概率定义
（131）
适古典概型式（131）定义概率称古典概率．
例1． 箱中装10件产品中1件次品9件合格品中6件等品3件二等品现箱中取3件试求：
（1）取3件产品合格品仅1件等品概率
（2）取3件产品中少2件等品概率．
解 箱中10件产品中取3件中取法该机试验样空间含基事件总数．
（1）设该事件中基事件数求概率
（2）设该事件中基事件数求概率
例2． 设两球机放入3盒中试求两球盒中两球盒中概率．
解 两球放入3盒中种放法机试验样空间中基事件总数9．设表示两球盒中表示两球盒中中基事件数中基事件数．
例3． 某层书架意摆放10册图书中两套书4册3册试求列事件概率：
（1） 4册套书摆放起
（2） 两套书摆放起
（3） 两套书相方册序摆放起．
解 10册书书架摆放法10种样空间中基事件总数10
（1）4册套书摆放起视书余6书起摆放7种摆法套4册书间4种摆放法中基事件数74
（2）两套书成两书余3书起摆放5种摆法两套书43种摆放法中基事件数543
（3）中基事件数52
例题直接利公式计算事件概率．时直接计算概率较麻烦计算相简单先求然利公式求．
例4． 012…9十数码机重复取出5数码求5数码中少两相概率．
解 事件中包含基事件情况较复杂包含5数码完全相5数码中4相5数码中三相等等．计算数较麻烦．考虑事件5数码全相易．
例5． 盒中4白球2红球．次盒中取出球连续取两次．（a）第取出放回取第二（b）第取出放回接着取第二．试求两种情况事件概率：
（1）取两白球（2）取两颜色相球（3）少取白球．
解 （a）种情况：（1）设取两白球
（2）设取两红球取两颜色相球．
（3）设少取白球．
（b）种情况：（1）
（2）
（3）．
例6． 某5钥匙忘记开门逐试开．求事件概率：（1）恰第3次试开成功（2）3次成功（3）次试开均记钥匙恰第3次成功．
解 （1）设恰第3次试开成功
（2）设3次成功
（3）设第3次成功．
二概型
古典概率适古典概型求样空间中基事件数限等．实际问题中试验应样空间含基事件限时古典概率定义适．考虑样空间中基事件数限等情形考虑古典概率定义作进步推广引出概率定义．
考虑机试验：区间[01]中机取数时样空间
限集古典概型古典概率失效．假定数取性样样理解等性含义取数区间某部分区间性长度成正位置关．设表示取数超表示取数间然会想：
例子般化定义：
定义2 具述特征机试验称概型：
(1) 机试验结度量图形中机投点（取点）表示度量（长度面积体积等）事件指投点（取点）落（取）中度量图形中
（2）事件概率度量成正中位置关．
定义3 概型中事件
（132）
作事件概率称概率．
现实中试验某区域投点试验结果某区域中点表示试验切结果应区域中切点具等性时定义3求事件概率．
例7． 区间（01）中机取两数试求两数15概率．
y
x
1
1
05
05
图131
x+y15
解 （01）中机取两数相区域 （图131中正方形）中机取点设两数15事件取中区域（图131中阴影部分）概型
例8． （会面问题）甲乙两约定某日午两点两点半某会面先者等候15分钟离．假设某指定时间时刻达试求出二会面概率．
30
xy15
yx15
x
y
0
30
图132
解 记午两点会面起始时刻分表示甲乙二达时刻两达时间切结果应边长30正方形点（图132）．设表示二会面发生充分必条件应阴影部分切点．
结概型：面区域机投点事件点投入中区域中
§14 条件概率全概率分式
条件概率法公式
（）条件概率
实际问题中考虑求某事件概率常常需考虑已知某事件发生条件事件发生概率问题．增加新条件事件已发生事件发生概率般说称条件概率．记．相应前面讨概率称条件概率．条件概率概率中重实概念先引例：
引例 假设100产品中等品70二等品25废品5二等品均合格品．100件产品中机取设
产品等品产品合格品
产品合格等品合格产品等品
现考虑已知取出产品合格品求该产品等品概率问题问题相事件发生条件事件发生概率．首先表示求概率说明取出产品合格品条件限制区没条件限制时事件概率．次试验条件导致样空间事件发生已发生原样空间中属基事件发生出现结果95时样空间相95合格品中取样试验应样空间．显然中基事件数中基事件数相关系式
（141）
式写成
（142）
频率概型面类似结果．面定义．
定义1 设意两机事件称
（143）
已知事件发生条件事件发生条件概率．读作条件概率．
验证条件概率具概率定义中三基性质：
1．非负性：事件
2．规范性：
3．列加性： 两两互相容．
见条件概率种概率概率具性质条件概率具
等等．
例1． 已知10张考签中4张难签甲乙二参加抽签抽张甲先抽抽出放回已抽出考签（称种抽取方法放回抽样重复抽样）．试求甲抽难签情况乙抽难签概率．
解 设表示甲抽难签表示乙抽难签求条件概率．抽难签剩9张考签中3张难签式（141）
例2． 资料显示某区寿命70岁概率06680岁概率039问该区位70岁活80岁概率？
解 设表示寿命70岁表示寿命80岁求条件概率．题设知 式（143）
（二）法公式（定理）
条件概率定义式（143）
（144）
类似
二式称概率法公式．法公式容易推广意限事件情形．
设（）事件满足
（145）
证明
式式（143）便式（145）．
法公式利条件概率计算积事件概率力工具．
例3． 已知某工厂生产产品合格率096合格品中级品率075求该厂生产产品级品概率．
解 设表示产品合格品表示产品级品级品必合格品．题设式
例4． 盒中12新乒乓球场赛取3完放回赛3场假设球均未损坏．试求：
（1） 三场赛取新球概率
（2） 第二场赛取两新旧3球第三场赛取新两旧3球概率．
解 设分表示第二三场赛取新球法公式
（1）求概率
（2）求概率
例5． 已知某袋中放5黑球4白球中机取出然放回时加进2抽出球色球取出第二球．试求：
（1） 取两球白球概率
（2） 第二次取黑球概率．
解 设表示第次取白球表示第次取黑球表示取两球白球表示第二次取黑球第次取白球第二次取黑球．式
（1）求概率
（2）求概率
许会问然第二次取黑球第次取白球应该条件什求呢？
事实条件概率求事件已发生事件．里问题中逻辑意义考虑第二次取黑球第次必须取白球．第二次取黑球前第次定取白球．第次取白球仅逻辑意义条件条件概率中条件．
例6． 例5中果第二次机取出然放回时加进2抽出球色球取出第三球第三次取白球概率
二全概率公式贝叶斯公式
解决实际问题程中时希利已知某事件概率求研究事件概率时希利较简单事件概率求未知较复杂事件概率．节介绍全概率公式贝叶斯公式帮助解决概率计算问题利条件概率法公式概率加性推导出两十分公式．
（）全概率公式
先引例
引例 5乒乓球3白色球2黄色球次取放回．求（1）第次取白色球概率（2）第二次取白色球概率（3）已知第次取白色球条件第二次取白色球概率．
解 设第次取白色球第二次取白色球第次取黄色球
（1）
（2）考虑正第次取球情况构成完备事件组互相容．概率加性法公式
（146）
题设知
代入式（146）求概率
（3）．
注意（2）求解程复杂事件分解互相容较简单事件利概率加性法公式求解例子：
例7． 设三箱类型产品三家工厂生产．已知第第二家工厂产品废品率2第三家工厂废品率4．现取箱箱中取件产品试求取产品废品概率．
解 里试验先三箱中取箱取箱中取件产品考虑取废品情况．先设表示取第家工厂生产箱产品时反映先抽取情况构成完备事件组设表示取废品互相容．概率加性法公式
（146）
题设知
代入式（146）求概率
例复杂事件分解三互相容较简单事件利概率加性法公式求解．求式具普遍意义般形式谓全概率公式．
定理1（全概率公式） 设某机试验样空间中事件（限列）构成完备事件组事件
（147）
称式（147）全概率公式简称全概公式．
证明 假设知事件必某事件时发生构成完备事件组事件运算性质
两两互相容 互相容概率加性法公式
例8． 10张考签中4张难签甲乙丙三次放回抽取签．分求甲乙丙三抽难签概率．
解 设分表示甲乙丙抽难签．古典概率
乙甲已抽取条件抽取甲抽取情况构成完备事件组全概率公式
丙甲乙已抽取条件抽取甲乙抽取情况构成完备事件组全概率公式
例验证众周知抽签机会均等抽签序关事实．
例9． 某厂种产品50件成箱箱中2件次品含012件次品等．现中取箱机逐件抽取5件产品进行检查（取放回）抽取程中发现次品停止抽查认该箱产品合格抽出5件未发现次品认该箱产品合格．试求认定该箱产品合格概率．
解 设表示取含件次品箱产品构成完备事件组．设表示认定该箱产品合格全概率公式
题设知
面求．方便设表示第次抽合格品显然
类似
求概率
例题出全概率公式适问题般特征：试验分两层次（两步骤）第层次结果构成完备事件组互相容事件次试验必发生考虑事件第二层次中事件发生必中时发生．利全概率公式求事件概率时必须找出满足全概率公式完备事件组解决问题关键．
关两层次试验例子：
设甲乙两盒子．甲盒中3支红粉笔2支蓝粉笔乙盒中1支红粉笔2支蓝粉笔2支白粉笔．取盒子盒中取支粉笔设取甲盒取红粉笔
全概率公式设想两盒粉笔混放盒子里取支结果致．
否认定全概率问题均述第二种方法解决呢？般言行．前面例子稍加改动甲箱4支红粉笔2支蓝粉笔乙箱1支红粉笔2支蓝粉笔1支白粉笔试验程变．
两盒粉笔混合两结果致．说明种方法代全概率公式通常成立两盒粉笔数相等时结果变正确．读者否述结推广更般情形？
（二）贝叶斯（Bayes）公式
面引例
引例 某工厂四条流水线生产种产品该四条流水线产量分占总产量10203040四条流水线次品率次005004003002现出厂产品中取件发现取产品次品问第四条流水线生产概率？
解 令取出产品次品产品取第条流水线．显然求概率．题设知．全概率公式
利条件概率定义法公式
取出次品第四条流水线生产概率．类似方法求出取次品第第二第三条流水线生产概率．
例题实际告诉极公式贝叶斯公式．
定理2（贝叶斯公式） 设某机试验样空间中事件（限列）构成完备事件组事件
（148）
称式（148）贝叶斯（Bayes）公式．
贝叶斯公式常解决问题：果某事件完备事件组中某事件（）时发生试验前知道．做次试验中假设事件发生求事件发生事件发生引起概率．视全概率公式逆问题贝叶斯公式常称逆概公式．利逆概公式解决问题时关键找出满足全概率公式完备事件组．称先验概率求条件概率称验概率．
面引例中抽查次产品次试验试验前已知道先验概率实际已掌握情况反映试验出现结果提供定信息现试验结果出现次品（发生）时验概率反映试验
发生某种源（次品源）性估计．
例10． 某保险公司客户分三类：谨慎般失．统计资料表明三类客户年发生某类事件概率次001005010．设客户中占例次305020．现已知某客户年出事求该客户谨慎客户概率．
解 里机试验视三类客户中意抽查客户考察否出事．考虑问题：已知客户出事求该客户谨慎类客户概率．设分表示客户谨慎般失构成完备事件组．设表示客户年出事求概率．
题设知．贝叶斯公式
出事客户谨慎客户概率00625．
例11． 已知批产品合格品率96．检查产品时合格品误认次品概率002次品误认合格品概率005．试求检查合格产品确合格品检查合格品产品确次品概率．
解 里机试验视生产产品中意抽查产品考察产品合格品次品．设表示抽产品合格品表示抽产品次品构成完备事件组．设表示认抽产品合格品表示认抽产品次品．里求概率．
题设知：．贝叶斯公式
§15 机事件独立性
节分两种情况 考虑机事件独立性
151 两事件独立性
般说条件概率条件概率．果两事件中事件发生否影响事件发生性相．例子．
引例 甲乙二某目标进行射击设表示甲击中目标表示乙击中目标．试求．
解 直观易见乙击中目标性甲否击中目标改变样甲击中目标性乙否击中目标改变．
例1中两事件满足条件
（称独立） （151）
（称独立） （152）
里独立含义事件概率受附加条件事件已发生影响． 般两事件满足式（151）式（152）称相互独立．
证明时（151）（152）两式中式成立式成立（请读者证）．时法公式
出两事件相互独立数学定义．
定义1 果意两机事件满足
（153）
称机事件相互独立简称独立．
里指出采式（153）定义两事件相互独立性时必加限制条件更广泛适性．
独立性概率中重概念遍概率统计角落．关两事件独立性性质：
性质1 事件意事件独立．说事件必然事件意事件独立．（证明留读者）
性质2 （）事件相互独立充条件（）．（证明留读者）
性质3 事件独立事件独立事件独立事件独立．（证明留读者）
利事件独立性解决实际问题时总先实际意义确定事件独立性然根独立性定义性质计算独立事件概率．
例1． 甲乙二目标进行射击甲击中目标概率09乙击中目标概率08甲乙二射击次试求击中目标概率．
解 设表示甲击中目标表示乙击中目标表示击中目标求概率
乙否击中目标受甲否击中目标影响样甲否击中目标受乙否击中目标影响．相互独立
例2． 装黑球白球袋中摸出球放回摸出球记第次摸黑球第二次摸黑球．验证否独立求第次摸白球第二次摸黑球两次摸黑球概率概率．
解 显然第次摸白球．题设知第次摸球第二次摸球面情况相次摸球互影响．独立独立．
．
例3． 装黑球白球袋中放回摸球两次记第次摸黑球第二次摸黑球．验证否独立．
解 题设知互相容
相互独立．
例题知第次摸黑球概率第二次摸黑球概率相．事实袋中黑球数白球数旦确定第次摸黑（白）球概率第二次摸黑（白）球概率定相．似启示：发生袋中黑白球数关受发生影响．实际错觉观察否相互独立观察（）已发生情况（）发生概率．判（）否（）相．通常放回（重复）抽样试验中次抽取应事件相互独立放回（重复）抽样试验中次抽取应事件相互独立
152事件独立性
定义2 设机事件中意事件
等式：
（154）
成立称事件相互独立．
式（154）实际包含组 等式．
（等式）
（等式）
……
（等式）
定义出事件相互独立中意相互独立．特注意事件中意事件独立未必推出事件相互独立性．面例子．
例4． 设样空间含4等基事件设
见
例5． 设样空间含8等基事件设
见
两例子说明事件相互独立定义中等式缺．
应定义概率性质面性质：
性质4 相互独立中意换成事件相互独立．
性质5 相互独立
证明 利事件关系运算独立性
列事件
定义3 列事件中意限事件相互独立称相互独立．
事件相互独立定义性质出独立事件法公式特简便情形定义验证事件否独立较麻烦常根问题反映条件直接加判断．
例6． 假定血清中含肝炎病毒概率0004混合100血清求混合血清含肝炎病毒概率．
解 记第血清中含病毒．
验判定间相互独立求概率{}间显然两两相斥加法公式计算麻烦事件运算转化事件交运算改法公式．
例7． 敌机进行三次独立射击次命中率次050607．求敌机恰次击中概率．
解 记第次击中敌机敌机击中．
三次射击独立相互独立利加性独立性求概率
例8． 敌机进行三次独立射击次命中率次040507． 敌机击中次击落概率02击中二次击落概率06击中三次必然击落．求敌机击落概率．
解 记第次击中敌机敌机击中次敌机击落．相互独立互相容．求概率
题设知．事件独立性概率性质求
代入表达式求概率
[注] 二事件时互相容相互独立时成立．互相容时相互独立时．
§16 伯努利概型
引例 （1）枚分币抛掷5次求恰2次出现正面概率．（2）位篮球运动员练定点投篮．已知次投中概率均07问该运动员5次投篮中恰投中2次概率？
解 （1）设恰2次出现正面概率古典定义知
结果记．
第二式子解释：次抛掷结果显然相互独立表示出现2次正面概率表示出现3次反面概率表示2次正面出现5次抛掷程中两次．
（2）时果（1）题思路设恰投中2次显然正确．里投中未投中两基事件等．换句话说概率问题然古典概率古典定义求解．读者难理解事件概率：
实际里引出种概型某类事件概率统计算模式．
类问题广泛存．
定义1 具述特征次机试验称重伯努利（Bernoulli）概型（重伯努利试验）：
（1） 次试验两结果：记
（2） 次试验相互独立次试验结果相互独立
（3） 事件次试验中出现概率相（次试验结果出现概率受次试验结果影响）分记．
时称限伯努利（Bernoulli）概型．
定义知重伯努利试验中令表示第次试验成功相互独立．
节中讨重伯努利概型中四种事件概率．
1． 事件事件次试验中恰出现次概率．
设表示事件第次试验中发生．事件次试验中恰出现次说明事件次试验中次试验中发生余次试验中发生．妨设事件第次试验中发生第次试验中发生次试验独立相互独立．
事件次试验中发生次试验种种应事件互相容概率均．定理
定理1（伯努利定理） 重伯努利概型中事件事件次试验中恰出现次概率
（161）
中．
例1． 设某靶命中率075现独立重复射击5次求恰命中3次概率．
解 次靶两结果：命中没命中恰命中3次．问题结5重伯努利试验求概率
2． 事件次试验中少（）出现次概率．
令表示事件次试验中少出现次表示事件次试验中出现次．互相容必
例2． 某种药物疗效进行研究假定种药物某种疾病治愈率10患病病时服种药求中少6病治愈概率．
解 患病病服该药两种结果：治愈（发生）没治愈（发生）．病服药否治愈彼独立问题10重伯努利概型．概率限加性
例3． 某车间10台类型机床台机床电动机功率10kW．已知台机床工作时均时开动12分钟开动否相互独立．电力部门提供50kW电力10台机床求10台机床正常工作概率．
解 50kW电力供5台机床时开动10台机床中时开动台数超5台正常工作．时刻台机床开动开动两种情况台机床开动否相互独立问题10重伯努利概型．里．设正常工作求概率
10台机床正常工作概率约09936．结果说明50kW电力已基够须供电造成浪费．
3．伯努利试验独立重复进行直事件首次出现止．
记事件首次出现第k次试验
（162）
（162）示概率级数般项称分布第二章进步讨．
4．伯努利试验独立重复进行直出现次成功止．
记第次事件出现第次试验 发生仅第次试验出现事件前次恰出现次：
（163）
（163）示概率称巴斯卡分布．
例4． 驾车城中甲乙途中干交通路口果路口遇红灯概率均04试求：（1）5路口仅次遇红灯概率（2）第5次路口遇红灯概率（3）第5次路口已第3次遇红灯概率．
解 路口两结果：遇红灯遇绿灯．
（1）
（2）
（3）
概率中讨更般次独立试验次独立试验概型次独立试验概型中求次试验中成功概率相次试验考虑两结果重伯努利试验次独立试验概型种特殊情形．然次独立试验概型较复杂类问题解法重伯努利试验问题解法类似．§15中例1例7种情形．
[注] 伯努利概型称独立重复试验序列概型．独立重复仅意味着次试验条件相次试验结果间相互独立含义具体应时定体会独立重复字．面两例子：
1o 已知80产品中5件次品现中次取取20次求中恰取出2次品概率．
假设事件恰取出2次品表面问题提法伯努利概型相．实样计算错误独立重复前提正确计算应．然果试验放回成独立重复试验．
2o 批电子元件中优等品占20现中机抽取20问恰抽2优等品概率．
客观世界中真正完全重复现象见数似完全重复然够独立重复试验序列概型似处理．面问题试验象批量相较时放回作放回．恰抽2优等品事件概率
结
章介绍机事件概率概念事件关系运算概率性质概率性质诱导出概率计算公式古典概型概率计算方法等容学章基础
1读者应熟悉事件关系运算准确写出事件立事件（逆事件）应解两事件互斥互逆联系区弄清互斥独立两概念
2读者应理解概率定义实质理解条件概率事件独立性独立重复试验概念掌握概率基性质加法公式法公式全概率公式贝叶斯公式
3读者应熟练掌握计算古典概率概率方法特注意古典概率计算公式求试验切基结果等否学会应公式事件独立性进行概率计算重伯努利试验相关概率计算
题 1
填空题
1．两事件互相容 ．
2．两事件互相容 ．
3．设两机事件 ．
4．设三事件未发生两种运算 ．
5．概率事件认次试验中发生原称 ．
6．设批产品中二三等品占603010中意取出件结果三等品取等品概率 ．
7．三独立破译密码单独译出概率分15 13 14 密码译出概率 ．
8．设10件产品中4件合格．现中取2件发现件合格件合格概率 ．
二选择题
1．设意两事件列选项必然成立 ( )
（1）（2）（3）（4）．
2．次成功概率n次独立试验中少成功次概率 （ ）
（1） （2） （3） （4）．
3．设事件互相容肯定正确( )
（1）互相容 （2）相容
（3） （4）．
4．事件机事件列式子正确 ( )
（1） （2）
（3） （4）．
5．列结正确（ ）
（1）必相互独立 （2） 相互独立
（3）必相互独立 （4）必相互独立．
6．设二事件 ( )
（1）互相容 （2）事件
（3） （4）未必事件．
7．设三事件事件发生逆事件 ( )
（1）少发生 （2）少两发生
（3）发生 （4）发生．
三综合题
1．写出列机试验样空间：
（1） 某班学生40考察该班某科考试均成绩（百分制记分考试成绩取整数分）
（2） 某厂出厂产品进行检验产品分正品次品．连续查出2件次品停止检查检查4件产品停止检查记录检查结果
（3） 尺棰折成三段观察段长度．
2．试事件运算关系表示列事件：
（1） 中少事件发生
（2） 中恰事件发生
（3） 中两事件发生
（4） 中少发生发生．
3．批产品中次取出（取出放回）事件表示第次取次品（）试文字叙述列事件：
（1） （2） ．
4．盒中装10相球分标号码01…9中取3试求列事件概率：
（1） 取2号球
（2） 取3球中号码5
（3） 取3球中含2号5号球．
5．某车间分厂里招聘9名新工中3名专毕业生．现机均分配3班组中求：
（1） 班组分配1名专毕业生概率
（2） 3名专毕业生班组概率．
6．考虑元二次方程中分枚色子接连掷两次先出现点数．求该方程实根概率重根概率．
7．某班名学生试求中少2生日天概率（天365天计）．
8．（1）4封信机投入6信箱试求指定2信箱中投入1封信概率
（2）4封信机投入6信箱中试求指定2信箱中投入1封信概率．
A
B
9．图中长方形机投点试求点落长方形中线段概率．计算结果中什结？
10．区间（01）中机取2数试求列事件概率：
（1）2数积 （2）2数中者．
11．甲乙二船欲码头．设二船独立达达时间昼夜间等．果甲乙二船码头停留时间分12时求船等空出码头概率．
12．表10万名男子中活某岁数数．试估计：
（1）名男子活40岁概率
（2）已知名男子已活40岁继续活70岁概率．
岁数
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
活岁数数
100 000
93 601
92 293
90 092
86 880
80 521
67 787
46 739
19 866
2 812
65
13．设10件产品中4件合格产品中取2件已知取2件产品中1件合格产品试求件合格产品概率．
14．设二机事件．
（1）已知试求．
（2）已知试求．
15．某理部门项目进行行性分析效果进行调研．100项目进行统计中70项目成功30项目失败．成功项目中56项专家进行行性分析认行4项认行余项目未进行行性分析．失败项目中3项专家进行行性分析认行9项认行余项目未进行行性分析．试求：
（1）项目进行行性分析认行情况项目成功概率认行情况项目成功概率
（2）未进行行性分析情况项目成功概率
（3）行性分析失误（认行失败认行成功）概率．
16．加工某零件需三道工序设第二三道工序次品率分322试求加工出零件次品率．
17．100家企业前年年营状况进行调查数：
企业数 年
前年
年盈利
年亏损
前年盈利
55
20
前年亏损
10
15
中选企业求：
（1）年盈利概率
（2）已知前年亏损年盈利概率
（3）连续两年盈利概率
（4）扭亏盈概率．
18．两种报警系统种系统单独时系统效概率092系统效概率093．失灵条件效概率085．求：
（1）发生意外时两系统少效概率
（2）失灵情况效概率．
19．设甲乙两口袋甲袋中装3红球2白球乙袋中装2红球3白球．
（1）甲袋中取球（颜色）放入乙袋中乙袋中取球．问取白球概率少？
（2）甲袋中取两球（颜色）放入乙袋中乙袋中取两球．问取红白两球概率少？
20．甲袋中9白球1黑球乙袋中10白球．次甲乙两袋中机取球交换放入袋中样做三次．求黑球出现甲袋中概率．
21．甲乙丙三部机床加工种零件产量5∶3∶2．已知甲乙丙三部机床加工零件废品率分6105．
（1）试求全部产品中合格品率
（2）产品中取件恰废品部机床加工性？
22．某公司属单位划分财务营销技术理四部门中员工占例分10403020．某日公司领导抽查部门出勤情况结果述部门缺勤率次2533．试求：
（1）该日公司总缺勤率 （2）缺勤员中部门占例．
23．发报机分概率0703发出信号•―．受干扰发出•时收报机错收成―概率01发出―时收报机错收成•概率005．试求：
（1）收报机收信号•概率
（2）收报机收信号•时发报机确实发出信号•概率．
24．玻璃杯成箱出售箱20．假设箱含012残次品概率相应080101．顾客欲购箱玻璃杯．购买时售货员意取箱顾客开箱机察4残次品买该箱玻璃杯否退回．试求：
（1）顾客买该箱概率
（2）顾客买箱中确实没残次品概率．
25．设仓库中10箱种规格产品箱20件．中甲乙丙3厂生产分5箱3箱2箱三厂产品废品率次010203．10箱产品中取箱箱中先次机取出2件产品取出放回．
（1）求先取产品正品概率取正品甲厂生产概率
（2）已知取产品正品求先取产品正品概率．
26．证明题：
（1）设机事件相互独立．试证独立
（2）设意二机事件中试证事件相互独立充分必条件
（3）试证概率01事件事件独立．事件必然事件事件独立
（4）设二机事件．试证相互独立设互相容时成立．中少零时情况会样（请中体会互相容相互独立两概念处）？
27．某通讯系统中传送字符三者假定输入三者概率分（）系统受干扰正确接收输出字母概率接收两字母概率．已知接收
问输入概率少（假设系统传输字母工作相互独立）？
28．设三次独立试验中事件出现概率相等．已知少出现次概率等
试求事件次试验中出现概率．
29．某厦四部电梯验知均时运行30分钟部电梯运行相互独立．试求某时刻列事件概率：
（1）恰两部电梯运行
（2）少部电梯运行
（3）全部电梯运行．
30．某参加射击选拔赛指定目标独立射击三次假设次命中率均09．三次均未击中目标定入选目标击中次入选概率02击中二次入选概率05三次均击中定入选．试求该入选概率．
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