2019届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分考试时间120分钟)
2019．5
参考公式：
锥体体积公式：V＝13Sh中S锥体底面积h锥体高．
圆柱侧面积公式：S＝2πrl中r圆柱底面半径l圆柱母线长．
样数x1x2…xn方差s2＝1n∑ni＝1(xi－x)2中x＝1n∑ni＝1xi
填空题：题14题题5分70分．
1 已知集合A＝{－10}B＝{－13}A∪B＝________．
2 已知复数z＝1＋ii(中i虚数单位)|z|＝________．
3 双曲线x22－y2＝1焦距____________．
4 图示某学校名篮球运动员五场赛中分数茎叶图该运动员五场赛中分方差________
5 根图示伪代码运行输出结果________．
6 现数学物理化学三兴趣组甲乙两位学机参加两位学参加兴趣组概率________．
7 函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1＋ax)偶函数实数a值________．
8 设AF分椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右顶点右焦点B1B2椭圆C短轴两端点．点F恰△AB1B2重心椭圆C离心率值________．
(第9题)
9 图三棱柱ABC A1B1C1体积6O四边形BCC1B1中心四面体A1B1OB体积________．
10 已知正项数列{an}满足an＋1＝1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a4＋…＋1an＋an＋1中n∈N*a4＝2a2 019＝________．
11 已知圆O半径2点ABC该圆三点AB＝2BA→BC→>0OC→(BO→＋BA→)取值范围________
12 △ABC中角ABC三边分abcc2＝a2＋b2＋aba2－b2c2取值范围________．
13 已知函数f(x)＝x＋4sin x．等式kx＋b1≤f(x)≤kx＋b2切实数x恒成立b2－b1值________
14 已知max{ab}＝ab≤abb>af(x)＝max{ln x－tx－12x2－tx－e}(e然数底数)．f(x)≥－2x∈[1e]恒成立实数t取值范围________．
二 解答题：题6题90分 解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
15 (题满分14分)
图三棱锥A BCD中AE⊥BCEMN分AEAD中点．
(1) 求证：MN∥面BCD
(2) 面ABC⊥面ADM求证：AD⊥BC
16 (题满分14分)
设量a＝(2cos x2sin x)b＝(3cos xcos x)函数f(x)＝ab－3
(1) 求f(x)正周期
(2) f(α2)＝－65α∈(π2π)求cos α值
17 (题满分14分)
图某承包块矩形土ABCD种植草莓中AB＝ 99 m AD＝ 495 m．现规划建造图示半圆柱型塑料薄膜棚n(n∈N*)半圆柱型棚两半圆形底面侧面需蒙塑料薄膜(接头处忽略计)塑料薄膜价格方米10元外需两棚间留1 m宽空建造排水沟行走路(图中EF＝1 m)部分建设造价方米314元．
(1) n＝20时求蒙棚需塑料薄膜面积(结果保留π)
(2) 试确定棚数述两项费低？ (计算中π取314)
18 (题满分16分)
面直角坐标系xOy中椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)点P(21)点P椭圆左右顶点连线斜率积－12
(1) 求椭圆C方程
(2) 椭圆C存两点QR△PQR垂心(三角形三条高交点)恰坐标原点O试求直线QR方程
19 (题满分16分)
设函数f(x)＝x－aex(e然数底数a∈R)．
(1) a＝1时求函数f(x)图象x＝1处切线方程
(2) 函数f(x)区间(01)具单调性求a取值范围
(3) 函数g(x)＝(ex－e)f(x)仅3零点x1x2x3x1
20 (题满分16分)
穷数列{an}中an>0(n∈N*)记{an}前n项中项kn项rn令bn＝knrn
(1) {an}前n顶Sn满足Sn＝n2＋na12
①求bn
②否存正整数mn满足b2mb2n＝2m－12n？存请求出样mn存请说明理
(2) 数列{bn}等数列求证：数列{an}等数列
2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分40分考试时间30分钟)
21 选做题 ABC三题中选做两题题10分20分．做作答前两题计分．解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
A (选修42：矩阵变换)
已知直线l：2x－y－3＝0矩阵M＝－10 41应变换TM直线l′求直线l′方程．
B (选修44：坐标系参数方程)
已知点P曲线C：x＝2cos θy＝3sin θ(θ参数π≤θ≤2π)点O坐标原点直线OP倾斜角π3求点P坐标．
C(选修45：等式选讲)
求等式4－2|x＋2|≤|x－1|解集．
必做题 第2223题题10分20分．解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
22 图四棱锥P ABCD中PA⊥底面ABCDAD∥BCAB＝AC＝AD＝3PA＝BC＝4
(1) 求异面直线PBCD成角余弦值
(2) 求面PAD面PBC成锐二面角余弦值
23某种质均匀正四面体玩具4面分标数字0123玩具抛掷n次记第n次抛掷玩具桌面接触面标数字an数列{an}前nSn记Sn3倍数概率P(n)．
(1) 求P(1)P(2)
(2) 求P(n)．
2019届高三模拟考试试卷(盐城)
数学参考答案评分标准
1 {－103} 2 2 3 23 4 68 5 37 6 13 7 －1 8 13 9 1 10 2 019
11 (－643] 12 (－11) 13 8 14 (－∞2e－12]
15 证明：(1) 连结DEMN分AEAD中点
MN∥DE(2分)
MN 面BCDDE 面BCD
MN∥面BCD(6分)
(2) 面ABC⊥面ADM面ABC∩面ADM＝AE
BC 面BCDBC⊥AE
BC⊥面ADM(12分)
AD 面ADMAD⊥BC(14分)
16 解：(1) f(x)＝ab－3＝(2cos x2sin x)(3cos xcos x)－3
＝23cos2x＋2sin xcos x－3＝3cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋π3)．(4分)
f(x)正周期T＝2π2＝π(6分)
(2) f(α2)＝－652sin(α＋π3)＝－65sin(α＋π3)＝－35(8分)
α∈(π2π)α＋π3∈(5π64π3)
cos(α＋π3)＝－1－sin2（α＋π3）＝－1－（－35）2＝－45(10分)
cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝12cos(α＋π3)＋32sin(α＋π3)
＝12×(－45)＋32×(－35)＝－4＋3310(14分)
17 解：(1) 设半圆柱型棚底面半径r
n＝20时19空r＝99－19×12×20＝2 m(2分)
棚表面积(含面接触面)
S＝πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×495＝103π(m2)．
蒙棚需塑料薄膜面积103π m2(6分)
(2) 设两项费f(n)．
r＝99－（n－1）×12n＝100－n2n棚表面积(含面接触面)
S＝πr2＋πr×AD＝π×(100－n2n)2＋π×495×100－n2n(8分)
f(n)＝10nS＋314×1×495(n－1)
＝10nπ×（100－n2n）2＋π×495×100－n2n＋314×1×495(n－1)
＝314×[（100－n）24n＋495×100－n2＋495(n－1)]
＝3144×[（100－n）2n＋99(100－n)＋198(n－1)]
＝3144×(1002n＋100n＋9 502)＝3144×[100×(100n＋n)＋9 502]．(12分)
仅100n＝nn＝10时f(n)取值．
答：棚数10时述两项费低．(14分)
18 解：(1) 题意2a2＋1b2＝11－02－a×1－02＋a＝－12(2分)
解a2＝4b2＝2椭圆C方程x24＋y22＝1(4分)
(2) 设Q(x1y1)R(x2y2)．QR⊥POkPO＝12kQR＝－2
设直线QR方程y＝－2x＋m(6分)
联立y＝－2x＋mx2＋2y2＝4消y5x2－42mx＋2m2－4＝0
Δ>032m2－20(2m2－4)>0解m2<10 (*)
x1＋x2＝42m5x1x2＝2m2－45(8分)
QO⊥PRkQOkPR＝－1y1x1y2－1x2－2＝－1
－2x1＋mx1－2x2＋m－1x2－2＝－1整理3x1x2－2m(x1＋x2)＋m2－m＝0(12分)
3×2m2－45－2m×42m5＋m2－m＝0
3m2－5m－12＝0解m＝3m＝－43均适合(*)式．(14分)
m＝3时直线QR恰点P构成三角形合题意舍．
直线QR方程y＝－2x－43(16分)
(注：增解未舍扣1分)
19 (1) 解：a＝1时f(x)＝x－exf′(x)＝1－exf′(1)＝1－ef(1)＝1－e
f(x)图象x＝1处切线方程y－(1－e)＝(1－e)(x－1)y＝(1－e)x(2分)
(2) 解：f′(x)＝1－aex
①函数f(x)区间(01)单调递增f′(x)＝1－aex≥0恒成立a≤e－x恒成立．
∵ x∈(01)∴ e－x∈(1e1)∴ a≤1e(5分)
②函数f(x)区间(01)单调递减f′(x)＝1－aex≤0恒成立a≥e－x恒成立．
∵ x∈(01)∴ e－x∈(1e1)∴ a≥1
综a取值范围(－∞1e]∪[1＋∞)．(8分)
(3) 证明：函数g(x)＝(ex－e)f(x)零点方程(ex－e)f(x)＝0实数根
ex－e＝0f(x)＝0
ex－e＝0x＝1(9分)
∴ f(x)＝0仅2等1零点．
f(x)＝0xex－a＝0设h(x)＝xex－ah′(x)＝1－xex
h′(x)＝1－xex>0x<1h′(x)＝1－xex<0x>1
h(x)(－∞1)单调递增(1＋∞)单调递减
h(x)＝0仅2等实数根1根11根1
∵ g(x)＝(ex－e)f(x)仅3零点x1x2x3x1∴ x1∴ x1＝aex1x3＝aex3两式相减x3－x1＝a(ex3－ex1)∴ a＝x3－x1ex3－ex1
两式相加x1＋x3＝a(ex1＋ex3)＝x3－x1ex3－ex1(ex1＋ex3)＝(x3－x1)ex3－x1＋1ex3－x1－1
设x3－x1＝tx1设φ(t)＝t（et＋1）et－1t∈(01](14分)
φ′(t)＝e2t－2tet－1（et－1）2设p(t)＝e2t－2tet－1t∈(01]p′(t)＝2et(et－t－1)．
设q(t)＝et－t－1t∈(01]q′(t)＝et－1>0t∈(01]恒成立
∴ q(t)＝et－t－1(01]单调递增∴ q(t)>q(0)＝0(01]恒成立
p′(t)>0(01]恒成立∴ p(t)(01]单调递增
∴ p(t)>p(0)＝0(01]恒成立φ′(t)>0(01]恒成立
∴ φ(t)(01]单调递增
∴ φ(t)≤φ(1)＝e＋1e－1x1＋x3≤e＋1e－1(16分)
20 (1) 解：① Sn＝n2＋na12中令n＝1a1＝S1＝1＋a12解a1＝1Sn＝n2＋n2
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－（n－1）2＋（n－1）2＝n
综an＝n(n∈N*)．(2分)
显然{an}单调递增数列kn＝an＝nrn＝a1＝1bn＝n(4分)
②假设存满足条件正整数mnmn＝2m－12nm2m＝n2n×12
设cn＝n2ncn＋1－cn＝n＋12n＋1－n2n＝1－n2n＋1c1＝c2>c3>c4>c5>…
m2m＝n2n×12cm＝12cnnm≥n＋1(6分)
m＝n＋1时mn＝2m－12n显然成立
m>n＋1时mn＝2m－12n＝2m－n－1
设m－n－1＝tt∈N*n＋1＋tn＝2tn＝t＋12t－1(8分)
设dn＝n＋12n－1dn＋1－dn＝（n＋1）＋12n＋1－1－n＋12n－1＝－n×2n－1（2n＋1－1）（2n－1）<0恒成立
数列{dn}单调递减d1＝2d2＝1d3＝47<1n≥3时dn<1恒成立
方程n＝t＋12t－1解仅t＝1n＝2t＝2n＝1
满足条件mn存m＝4n＝1n＝2(10分)
(2) 证明：an>0(n∈N*)knrn分{an}前n项中项项
kn＋1≥knrn＋1≤rn设数列{bn}公q显然q>0
①q＝1时kn＋1rn＋1knrn＝1kn＋1kn＝rnrn＋1
kn＋1>knrn＋1knrn＋1kn＋1＝knrn＋1＝rnkn＝k1＝a1rn＝r1＝a1an＝a1an＋1an＝1
数列{an}等数列．(12分)
②q>1时kn＋1rn＋1knrn＝q>1kn＋1rn＋1knrn＝q2>1
kn＋1kn>rnrn＋1≥1kn＋1>kn恒成立．
kn≥ankn＋1＝an＋1 an＋1>an恒成立
kn＝anrn＝a1代入kn＋1rn＋1knrn＝q2an＋1a1ana1＝q2an＋1an＝q2
数列{an}等数列．(14分)
③0rn＋1rnkn＝a1rn＝an代入kn＋1rn＋1knrn＝q2a1an＋1a1an＝q2an＋1an＝q2
数列{an}等数列．
综①②③数列{an}等数列．(16分)
2019届高三模拟考试试卷(盐城)
数学附加题参考答案评分标准
21 A 解：直线l取点A(1－1)
－10 41 1－1＝－1 3A(1－1)矩阵M变换A′(－13)．(4分)
直线l取点B(21)
－10 4121＝－2 9矩阵M变换B′(－29)．(8分)
连结A′B′直线l′：6x＋y＋3＝0(10分)
B 解：题意曲线C直角坐标方程x24＋y23＝1(y≤0)(3分)
直线OP方程3x(6分)
联立方程组x24＋y23＝1（y≤0）y＝3x解x＝255y＝2155(舍)x＝－255y＝－2155
点P直角坐标(－255－2155)．(10分)
C 解：① x≤－2时原等式化4＋2(x＋2)≤1－x解x≤－73时x≤－73(3分)
②－2③ x≥1时原等式化4－2(x＋2)≤x－1解x≥13时x≥1(9分)
综原等式解集(－∞－73]∪[－1＋∞)．(10分)
22 解： (1) 设BC中点EAB＝AC知AE⊥BC
AEADAP直线分xyz轴建立空间直角坐标系(图示)(2分)
A(000)P(004)D(030)B(5－20)C(520)．
(1) 设θ两直线成角
PB→＝(5－2－4)CD→＝(－510)
cos θ＝PB→CD→|PB→||CD→|＝7630
异面直线PBCD成角余弦值7630(6分)
(2) 设n1＝(xyz)面PBC法量
PB→＝(5－2－4)PC→＝(52－4)
PB→n＝0PC→n＝0
5x－2y－4z＝05x＋2y－4z＝0取n1＝(405)．
面PAD法量n2＝(100)．
设α两面成锐二面角面角cos α＝|n1n2|n1||n2||＝42121
面PAD面PBC成锐二面角余弦值42121(10分)
23 解：(1) 抛掷次出现03时符合求P(1)＝12(1分)
抛掷两次出现1＋22＋10＋03＋30＋33＋0时符合求6种情况
P(2)＝616＝38(3分)
(2) (解法1)设Sn3余1概率P1(n)Sn3余2概率P2(n)．
P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14P2(n) ①
P1(n＋1)＝14P(n)＋12P1(n)＋14P2(n) ②
P2(n＋1)＝14P(n)＋14P1(n)＋12P2(n) ③(6分)
①－(②＋③)P(n＋1)－[P1(n＋1)＋P2(n＋1)]＝－12[P1(n)＋P2(n)]
化简4P(n＋1)＝P(n)＋1(8分)
P(n＋1)－13＝14[P(n)－13]．
P(1)＝12P(n)＝13＋2314n(10分)
(解法2)设Sn3余1概率P1(n)Sn3余2概率P2(n)
P2(n)＝1－P(n)－P1(n)．
P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14P2(n)
P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14[1－P(n)－P1(n)]4P(n＋1)＝P(n)＋1解法1
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数 学
(满分160分考试时间120分钟)
2019．5
参考公式：
锥体体积公式：V＝13Sh中S锥体底面积h锥体高．
圆柱侧面积公式：S＝2πrl中r圆柱底面半径l圆柱母线长．
样数x1x2…xn方差s2＝1n∑ni＝1(xi－x)2中x＝1n∑ni＝1xi
填空题：题14题题5分70分．
1 已知集合A＝{－10}B＝{－13}A∪B＝________．
2 已知复数z＝1＋ii(中i虚数单位)|z|＝________．
3 双曲线x22－y2＝1焦距____________．
4 图示某学校名篮球运动员五场赛中分数茎叶图该运动员五场赛中分方差________
5 根图示伪代码运行输出结果________．
6 现数学物理化学三兴趣组甲乙两位学机参加两位学参加兴趣组概率________．
7 函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1＋ax)偶函数实数a值________．
8 设AF分椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右顶点右焦点B1B2椭圆C短轴两端点．点F恰△AB1B2重心椭圆C离心率值________．
(第9题)
9 图三棱柱ABC A1B1C1体积6O四边形BCC1B1中心四面体A1B1OB体积________．
10 已知正项数列{an}满足an＋1＝1a1＋a2＋1a2＋a3＋1a3＋a4＋…＋1an＋an＋1中n∈N*a4＝2a2 019＝________．
11 已知圆O半径2点ABC该圆三点AB＝2BA→BC→>0OC→(BO→＋BA→)取值范围________
12 △ABC中角ABC三边分abcc2＝a2＋b2＋aba2－b2c2取值范围________．
13 已知函数f(x)＝x＋4sin x．等式kx＋b1≤f(x)≤kx＋b2切实数x恒成立b2－b1值________
14 已知max{ab}＝ab≤abb>af(x)＝max{ln x－tx－12x2－tx－e}(e然数底数)．f(x)≥－2x∈[1e]恒成立实数t取值范围________．
二 解答题：题6题90分 解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
15 (题满分14分)
图三棱锥A BCD中AE⊥BCEMN分AEAD中点．
(1) 求证：MN∥面BCD
(2) 面ABC⊥面ADM求证：AD⊥BC
16 (题满分14分)
设量a＝(2cos x2sin x)b＝(3cos xcos x)函数f(x)＝ab－3
(1) 求f(x)正周期
(2) f(α2)＝－65α∈(π2π)求cos α值
17 (题满分14分)
图某承包块矩形土ABCD种植草莓中AB＝ 99 m AD＝ 495 m．现规划建造图示半圆柱型塑料薄膜棚n(n∈N*)半圆柱型棚两半圆形底面侧面需蒙塑料薄膜(接头处忽略计)塑料薄膜价格方米10元外需两棚间留1 m宽空建造排水沟行走路(图中EF＝1 m)部分建设造价方米314元．
(1) n＝20时求蒙棚需塑料薄膜面积(结果保留π)
(2) 试确定棚数述两项费低？ (计算中π取314)
18 (题满分16分)
面直角坐标系xOy中椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)点P(21)点P椭圆左右顶点连线斜率积－12
(1) 求椭圆C方程
(2) 椭圆C存两点QR△PQR垂心(三角形三条高交点)恰坐标原点O试求直线QR方程
19 (题满分16分)
设函数f(x)＝x－aex(e然数底数a∈R)．
(1) a＝1时求函数f(x)图象x＝1处切线方程
(2) 函数f(x)区间(01)具单调性求a取值范围
(3) 函数g(x)＝(ex－e)f(x)仅3零点x1x2x3x1
20 (题满分16分)
穷数列{an}中an>0(n∈N*)记{an}前n项中项kn项rn令bn＝knrn
(1) {an}前n顶Sn满足Sn＝n2＋na12
①求bn
②否存正整数mn满足b2mb2n＝2m－12n？存请求出样mn存请说明理
(2) 数列{bn}等数列求证：数列{an}等数列
2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分40分考试时间30分钟)
21 选做题 ABC三题中选做两题题10分20分．做作答前两题计分．解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
A (选修42：矩阵变换)
已知直线l：2x－y－3＝0矩阵M＝－10 41应变换TM直线l′求直线l′方程．
B (选修44：坐标系参数方程)
已知点P曲线C：x＝2cos θy＝3sin θ(θ参数π≤θ≤2π)点O坐标原点直线OP倾斜角π3求点P坐标．
C(选修45：等式选讲)
求等式4－2|x＋2|≤|x－1|解集．
必做题 第2223题题10分20分．解答时应写出必文字说明证明程演算步骤．
22 图四棱锥P ABCD中PA⊥底面ABCDAD∥BCAB＝AC＝AD＝3PA＝BC＝4
(1) 求异面直线PBCD成角余弦值
(2) 求面PAD面PBC成锐二面角余弦值
23某种质均匀正四面体玩具4面分标数字0123玩具抛掷n次记第n次抛掷玩具桌面接触面标数字an数列{an}前nSn记Sn3倍数概率P(n)．
(1) 求P(1)P(2)
(2) 求P(n)．
2019届高三模拟考试试卷(盐城)
数学参考答案评分标准
1 {－103} 2 2 3 23 4 68 5 37 6 13 7 －1 8 13 9 1 10 2 019
11 (－643] 12 (－11) 13 8 14 (－∞2e－12]
15 证明：(1) 连结DEMN分AEAD中点
MN∥DE(2分)
MN 面BCDDE 面BCD
MN∥面BCD(6分)
(2) 面ABC⊥面ADM面ABC∩面ADM＝AE
BC 面BCDBC⊥AE
BC⊥面ADM(12分)
AD 面ADMAD⊥BC(14分)
16 解：(1) f(x)＝ab－3＝(2cos x2sin x)(3cos xcos x)－3
＝23cos2x＋2sin xcos x－3＝3cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋π3)．(4分)
f(x)正周期T＝2π2＝π(6分)
(2) f(α2)＝－652sin(α＋π3)＝－65sin(α＋π3)＝－35(8分)
α∈(π2π)α＋π3∈(5π64π3)
cos(α＋π3)＝－1－sin2（α＋π3）＝－1－（－35）2＝－45(10分)
cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝12cos(α＋π3)＋32sin(α＋π3)
＝12×(－45)＋32×(－35)＝－4＋3310(14分)
17 解：(1) 设半圆柱型棚底面半径r
n＝20时19空r＝99－19×12×20＝2 m(2分)
棚表面积(含面接触面)
S＝πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×495＝103π(m2)．
蒙棚需塑料薄膜面积103π m2(6分)
(2) 设两项费f(n)．
r＝99－（n－1）×12n＝100－n2n棚表面积(含面接触面)
S＝πr2＋πr×AD＝π×(100－n2n)2＋π×495×100－n2n(8分)
f(n)＝10nS＋314×1×495(n－1)
＝10nπ×（100－n2n）2＋π×495×100－n2n＋314×1×495(n－1)
＝314×[（100－n）24n＋495×100－n2＋495(n－1)]
＝3144×[（100－n）2n＋99(100－n)＋198(n－1)]
＝3144×(1002n＋100n＋9 502)＝3144×[100×(100n＋n)＋9 502]．(12分)
仅100n＝nn＝10时f(n)取值．
答：棚数10时述两项费低．(14分)
18 解：(1) 题意2a2＋1b2＝11－02－a×1－02＋a＝－12(2分)
解a2＝4b2＝2椭圆C方程x24＋y22＝1(4分)
(2) 设Q(x1y1)R(x2y2)．QR⊥POkPO＝12kQR＝－2
设直线QR方程y＝－2x＋m(6分)
联立y＝－2x＋mx2＋2y2＝4消y5x2－42mx＋2m2－4＝0
Δ>032m2－20(2m2－4)>0解m2<10 (*)
x1＋x2＝42m5x1x2＝2m2－45(8分)
QO⊥PRkQOkPR＝－1y1x1y2－1x2－2＝－1
－2x1＋mx1－2x2＋m－1x2－2＝－1整理3x1x2－2m(x1＋x2)＋m2－m＝0(12分)
3×2m2－45－2m×42m5＋m2－m＝0
3m2－5m－12＝0解m＝3m＝－43均适合(*)式．(14分)
m＝3时直线QR恰点P构成三角形合题意舍．
直线QR方程y＝－2x－43(16分)
(注：增解未舍扣1分)
19 (1) 解：a＝1时f(x)＝x－exf′(x)＝1－exf′(1)＝1－ef(1)＝1－e
f(x)图象x＝1处切线方程y－(1－e)＝(1－e)(x－1)y＝(1－e)x(2分)
(2) 解：f′(x)＝1－aex
①函数f(x)区间(01)单调递增f′(x)＝1－aex≥0恒成立a≤e－x恒成立．
∵ x∈(01)∴ e－x∈(1e1)∴ a≤1e(5分)
②函数f(x)区间(01)单调递减f′(x)＝1－aex≤0恒成立a≥e－x恒成立．
∵ x∈(01)∴ e－x∈(1e1)∴ a≥1
综a取值范围(－∞1e]∪[1＋∞)．(8分)
(3) 证明：函数g(x)＝(ex－e)f(x)零点方程(ex－e)f(x)＝0实数根
ex－e＝0f(x)＝0
ex－e＝0x＝1(9分)
∴ f(x)＝0仅2等1零点．
f(x)＝0xex－a＝0设h(x)＝xex－ah′(x)＝1－xex
h′(x)＝1－xex>0x<1h′(x)＝1－xex<0x>1
h(x)(－∞1)单调递增(1＋∞)单调递减
h(x)＝0仅2等实数根1根11根1
∵ g(x)＝(ex－e)f(x)仅3零点x1x2x3x1
两式相加x1＋x3＝a(ex1＋ex3)＝x3－x1ex3－ex1(ex1＋ex3)＝(x3－x1)ex3－x1＋1ex3－x1－1
设x3－x1＝tx1
φ′(t)＝e2t－2tet－1（et－1）2设p(t)＝e2t－2tet－1t∈(01]p′(t)＝2et(et－t－1)．
设q(t)＝et－t－1t∈(01]q′(t)＝et－1>0t∈(01]恒成立
∴ q(t)＝et－t－1(01]单调递增∴ q(t)>q(0)＝0(01]恒成立
p′(t)>0(01]恒成立∴ p(t)(01]单调递增
∴ p(t)>p(0)＝0(01]恒成立φ′(t)>0(01]恒成立
∴ φ(t)(01]单调递增
∴ φ(t)≤φ(1)＝e＋1e－1x1＋x3≤e＋1e－1(16分)
20 (1) 解：① Sn＝n2＋na12中令n＝1a1＝S1＝1＋a12解a1＝1Sn＝n2＋n2
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－（n－1）2＋（n－1）2＝n
综an＝n(n∈N*)．(2分)
显然{an}单调递增数列kn＝an＝nrn＝a1＝1bn＝n(4分)
②假设存满足条件正整数mnmn＝2m－12nm2m＝n2n×12
设cn＝n2ncn＋1－cn＝n＋12n＋1－n2n＝1－n2n＋1c1＝c2>c3>c4>c5>…
m2m＝n2n×12cm＝12cn
m＝n＋1时mn＝2m－12n显然成立
m>n＋1时mn＝2m－12n＝2m－n－1
设m－n－1＝tt∈N*n＋1＋tn＝2tn＝t＋12t－1(8分)
设dn＝n＋12n－1dn＋1－dn＝（n＋1）＋12n＋1－1－n＋12n－1＝－n×2n－1（2n＋1－1）（2n－1）<0恒成立
数列{dn}单调递减d1＝2d2＝1d3＝47<1n≥3时dn<1恒成立
方程n＝t＋12t－1解仅t＝1n＝2t＝2n＝1
满足条件mn存m＝4n＝1n＝2(10分)
(2) 证明：an>0(n∈N*)knrn分{an}前n项中项项
kn＋1≥knrn＋1≤rn设数列{bn}公q显然q>0
①q＝1时kn＋1rn＋1knrn＝1kn＋1kn＝rnrn＋1
kn＋1>knrn＋1
数列{an}等数列．(12分)
②q>1时kn＋1rn＋1knrn＝q>1kn＋1rn＋1knrn＝q2>1
kn＋1kn>rnrn＋1≥1kn＋1>kn恒成立．
kn≥ankn＋1＝an＋1 an＋1>an恒成立
kn＝anrn＝a1代入kn＋1rn＋1knrn＝q2an＋1a1ana1＝q2an＋1an＝q2
数列{an}等数列．(14分)
③0
数列{an}等数列．
综①②③数列{an}等数列．(16分)
2019届高三模拟考试试卷(盐城)
数学附加题参考答案评分标准
21 A 解：直线l取点A(1－1)
－10 41 1－1＝－1 3A(1－1)矩阵M变换A′(－13)．(4分)
直线l取点B(21)
－10 4121＝－2 9矩阵M变换B′(－29)．(8分)
连结A′B′直线l′：6x＋y＋3＝0(10分)
B 解：题意曲线C直角坐标方程x24＋y23＝1(y≤0)(3分)
直线OP方程3x(6分)
联立方程组x24＋y23＝1（y≤0）y＝3x解x＝255y＝2155(舍)x＝－255y＝－2155
点P直角坐标(－255－2155)．(10分)
C 解：① x≤－2时原等式化4＋2(x＋2)≤1－x解x≤－73时x≤－73(3分)
②－2
综原等式解集(－∞－73]∪[－1＋∞)．(10分)
22 解： (1) 设BC中点EAB＝AC知AE⊥BC
AEADAP直线分xyz轴建立空间直角坐标系(图示)(2分)
A(000)P(004)D(030)B(5－20)C(520)．
(1) 设θ两直线成角
PB→＝(5－2－4)CD→＝(－510)
cos θ＝PB→CD→|PB→||CD→|＝7630
异面直线PBCD成角余弦值7630(6分)
(2) 设n1＝(xyz)面PBC法量
PB→＝(5－2－4)PC→＝(52－4)
PB→n＝0PC→n＝0
5x－2y－4z＝05x＋2y－4z＝0取n1＝(405)．
面PAD法量n2＝(100)．
设α两面成锐二面角面角cos α＝|n1n2|n1||n2||＝42121
面PAD面PBC成锐二面角余弦值42121(10分)
23 解：(1) 抛掷次出现03时符合求P(1)＝12(1分)
抛掷两次出现1＋22＋10＋03＋30＋33＋0时符合求6种情况
P(2)＝616＝38(3分)
(2) (解法1)设Sn3余1概率P1(n)Sn3余2概率P2(n)．
P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14P2(n) ①
P1(n＋1)＝14P(n)＋12P1(n)＋14P2(n) ②
P2(n＋1)＝14P(n)＋14P1(n)＋12P2(n) ③(6分)
①－(②＋③)P(n＋1)－[P1(n＋1)＋P2(n＋1)]＝－12[P1(n)＋P2(n)]
化简4P(n＋1)＝P(n)＋1(8分)
P(n＋1)－13＝14[P(n)－13]．
P(1)＝12P(n)＝13＋2314n(10分)
(解法2)设Sn3余1概率P1(n)Sn3余2概率P2(n)
P2(n)＝1－P(n)－P1(n)．
P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14P2(n)
P(n＋1)＝12P(n)＋14P1(n)＋14[1－P(n)－P1(n)]4P(n＋1)＝P(n)＋1解法1
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