2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试 数学(理)(PDF版含答案)



    高三数学试题第 1 页( 4 页)

    数 学 理 试 题
    (总分 160 分考试时间 120 分钟)
    注意事项:
    1.试卷考试时间 120 分钟试卷满分 160 分考试形式闭卷.
    2.试卷中试题必须作答答题卡规定位置否分.
    3.答题前务必姓名准考证号 05 毫米黑色墨水签字笔填写试卷答题
    卡.
    参考公式:
    柱体体积公式:V Sh 锥体体积公式: 1
    3V Sh 中 S 底面积 h高
    样数 12 nx x x 方差 22
    1
    1 ()
    n
    i
    i
    s x xn 
     中
    1
    1 n
    i
    i
    xxn 
     

    填空题(题 14 题题 5 分计 70 分 需写出解答程请答案写答
    题纸指定位置)
    1.已知集合 (0 )A   全集UR UA ▲ .
    2.设复数 2zi中i 虚数单位 zz ▲ .
    3.学校准备甲乙丙三位学生中机选两位学生参加问卷调查甲
    选中概率 ▲ .
    4.命题 R cos sin 1否定 ▲ 命题(填真
    假)
    5.运行图示伪代码输出 I 值 ▲ .
    6.已知样 yx987 均数9 110xy 样方差
    ▲ .
    7.面直角坐标系 xOy 中抛物线 2 4yx 点 P 焦点距离3 点
    点O 距离 ▲ .
    0
    0
    10
    1

    S
    I
    While S
    SSI
    II
    End For
    Print I



    
    
    (第 5 题图)
    高三数学试题第 2 页( 4 页)
    8.数列{}na 公差 0 等差数列 1ln a 2ln a 5ln a 成等差数列 2
    1
    a
    a
    值 ▲ .
    9.三棱柱 1 1 1ABC A B C 中点 P 棱 1CC 点记三棱柱 四棱锥
    11P ABB A 体积分 1V 2V 2
    1
    V
    V  ▲ .
    10.设函数 ( ) sin( )f x x( 00 2
       )图象 y 轴交点坐标 3
    2

    轴右侧第低点横坐标
    6
      值 ▲ .
    11.已知 H △ ABC 垂心(三角形三条高直线交点) 11
    42AH AB AC
    uuur uuur uuur

    cos BAC 值 ▲
    12.穷数列 cos( )n ()R  等差数列前 10 项 ▲ .
    13.已知集合 {( ) 16}P x y x x y y   集合 12{( ) }Q x y kx b y kx b    
    PQ 12
    2 1
    bb
    k


    值 ▲ .
    14.意实数 ]1(x 1122  axx
    ex
    成立实数 a 值 ▲
    二解答题(题 6 题计 90 分解答应写出必文字说明证明程演算步骤
    请答案写答题纸指定区域)
    15.(题满分 14 分)
    已知 ABC 满足sin( ) 2cos6BB .
    (1) 6cos 3C  3AC  求 AB
    (2) 0 3A 
      4cos 5BA求sin A.
    高三数学试题第 3 页( 4 页)
    16.(题满分 14 分)
    图长方体 1111 DCBAABCD 中已知底面 ABCD 正方形点 P 侧棱 1CC
    点.
    (1) 1AC 面 PBD求
    PC
    PC1 值
    (2)求证: PABD 1 .

    (第 16 题图)
    17.(题满分 14 分)
    图块半径 4 米圆形铁皮现算利块铁皮做圆柱形油桶.具体做
    法 Oe 中裁剪出两块全等圆形铁皮 Pe Qe 做圆柱底面裁剪出矩形
    ABCD 做圆柱侧面(接缝忽略计) AB 圆柱条母线点 AB
    点 PQ 条直径 分直线 BC AD 相切 切.
    (1)求圆形铁皮 半径取值范围
    (2)请确定圆形铁皮 半径值油桶体积.(取似值)

    (第 17 题图)
    高三数学试题第 4 页( 4 页)
    18.(题满分 16 分)
    设椭圆
    22
    22 1( 0)xyC a bab    左右焦点分 12FF离心率e 动点 00()P x y
    椭圆C 运动 2PF x 轴时 0 1x  0ye .
    (1)求椭圆 方程
    (2)延长 12PF PF 分交椭圆 点 AB( 重合)设 11AF F P
    uuur uuur

    22BF F P
    uuuur uuuur
    求 值.

    (第 18 题图)


    19.(题满分 16 分)
    定义穷数列 na 满足 1nnaa  公 q 等数列称数列  Mq
    数列.设数列 nb 中 1 1b  3 7b  .
    (1) 2 4b  数列 nb  Mq数列求数列 nb 通项公式
    (2)设数列 nb 前 n 项 nS 1
    12 2nnb S n     请判断数列 nb 否
     Mq数列说明理
    (3)数列 nb  2M 数列否存正整数 mn 4039 4040
    2019 2019
    m
    n
    b
    b 存
    请求出满足条件正整数 存请说明理.



    20.(题满分 16 分)
    函数 () xxf x e ae mx   ()mR 奇函数 0xx 时 ()fx极值 0()fx .
    (1)求实数 a 值
    (2)求实数 m 取值范围
    (3) 0
    2()fx e 恒成立求实数 取值范围.




    y
    高三数学试题第 5 页( 4 页)

    数学附加题部分
    (部分满分 40 分考试时间 30 分钟)
    21.[选做题]( ABC 三题中选做 2 题题 10 分计 20 分.请答案写
    答题纸指定区域)
    A(选修 42:矩阵变换)
    已知圆C 矩阵 3
    32
    aM  
    变换圆 22 13C x y 求实数 a 值




    B.(选修 44:坐标系参数方程)
    极坐标系中直线 cos 2 sin m   曲线 4sin 截弦 AB
    长弦时求实数 m 值





    C.(选修 45:等式选讲)
    已知正实数 abc满足 1 2 3 1abc   求 23a b c值


    高三数学试题第 6 页( 4 页)
    [必做题](第 2223 题题 10 分计 20 分.请答案写答题纸指定区域)
    22.(题满分 10 分)
    图 1AA 1BB 圆柱两条母线 11AB AB 分底面圆圆心 1OO
    CD 底面 垂直直径 2CD 
    (1) 1 3AA  求异面直线 1AC 1BD成角余弦值
    (2)二面角 11A CD B
    3
     求母线 长




    23.(题满分 10 分)

    2
    22
    0 1 2 2
    1
    (1 2 )
    n
    in
    n
    i
    x a a x a x a x

          L( nN )记 0 2 4 2nnS a a a a    L
    (1)求 nS
    (2)记 1 2 3
    1 2 3 ( 1)nn
    n n n n n nTSCSCSCSC      L求证: 3| | 6nTn 恒成立












    高三数学试题第 7 页( 4 页)

    数学参考答案
    填空题:题 14 题题 5 分计 70 分
    1. ( 0] 2. 5 3. 2
    3 4.真 5. 6 6. 2
    7. 23
    8.3 9. 10.7 11. 3
    3 12.10 13.4 14. 1
    2
    二解答题:题 6 题计 90 分解答应写出必文字说明证明程演算步骤
    请答案写答题纸指定区域
    15.解:(1)sin( ) 2cos6BB 知 BBB cos2cos2
    1sin2
    3 
    移项 3tan B )0( B 3
    B ……………………………………………2

    6cos 3C  )0( C 知 3
    3cos1sin 2  CC ……………………………
    4 分
    ABC 中 正 弦 定 理 C
    c
    B
    b
    sinsin 
    C
    ABAC
    sin
    3sin
    
    2AB ………………7 分
    (2)(1)知 3
    B 0 3A 
    时 )30(3
      A
      4cos 5BA 5
    4)3cos(  A 5
    3)3(cos1)3sin( 2  AA  ……………
    10 分

    10
    334
    5
    3
    2
    1
    5
    4
    2
    3)3sin(3cos)3cos(3sin))3(3sin(sin  AAAA 
    …14 分


    16.(1)证明:连结 AC 交 BD 点O连结OP
    1 AC 面 PBD 1AC 面 1ACC
    高三数学试题第 8 页( 4 页)
    面 1ACC  面 OPBDP  1 AC OP ……………3 分
    四边形 ABCD正方形角线 AC 交 BD 点O
    点 中点 AO OC
    1ACC 中 1 1PC AO
    PC OC ……………6 分
    (2)证明:连结 11AC
    1 1 1 1ABCD A B C D 直四棱柱侧棱 1CC垂直底面 ABCD
    BD  面 1CC BD .…………………………………………………………………8 分
    底面 正方形 AC BD . ……………………………………………………10

    1AC CC CI AC  面 11ACC A 1CC  面
    BD 面 ……………………………………… …………………………………………12 分
    1 1 1 1P CC CC ACC A面 11P ACC A面 1 1 1A ACC A面
    A1P 面 ACC1A1 1BD A P . ………………………………………………
    14 分


    17.解:(1)设 Pe 半径 r )2(4 rAB 
    周长 2)2(41622 rBCr  ………………………………………………
    4 分

    4
    16
    2  r 半 径 取 值 范 围
    ]4
    160( 2  ……………………………………………6 分
    (2)(1)条件油桶体积 )2(4 22 rrABrV   ……………………………………
    8 分
    设函数 )2()( 2 xxxf  ]4
    160( 2  x
    234)( xxxf 
    3
    4
    4
    16
    2 
    ( ) 0fx  定义域恒成立
    ()fx定义域单调递增
    4
    16
    2  r 时体积取值 ………………………………………………
    13 分
    高三数学试题第 9 页( 4 页)
    答: Pe 半 径 取 值 范 围 ]4
    160( 2  4
    16
    2  r 时 体 积 取
    值 ………………………14 分

    18解:(1) 2PF x 轴时 0 1x  知 1c  …………………………………………………2

    0ye 代入椭圆方程
    2
    22
    1 1e
    ab(※)
    1ce aa 2 2 2 2 1b a c a    代入(※)式 2 2 2
    111( 1)a a a
    解 2 2a  2 1b  ∴椭圆C 方程
    2
    2 12
    x y…………………………………………………4

    (2)方法:设 11()A x y 11AF F P
    uuur uuur
    10
    10
    1 ( 1)xx
    yy


       
    
    10
    10
    1xx
    yy
    

       
     

    代入椭圆方程
    2
    20
    0
    ( 1) ( ) 12
    x y       (#) ………………………………………………8


    2
    20
    0 12
    x y
    2
    2 0
    0 1 2
    xy  代入(#)式 2 2 2
    00
    1( 1) 2 (1 ) 22xx      
    化简 2
    03 2 1 2 ( 1) 0x        0( 1)(3 1 2 ) 0x      显然 10 
    ∴ 03 1 2 0x  
    0
    1
    32x   ……………………………………………………………………12 分

    0
    1
    32u x  2
    0 0 0
    1 1 6 2
    3 2 3 2 9 4 3x x x      
    仅 0 0x  时取等号  值 2
    3 ………………………………………………16

    方法二:点 AB 重合知直线 PA x 轴重合设直线 方程 1x my
    联立
    2
    2 12
    1
    x y
    x my
     
     
    消 x 22( 2) 2 1 0m y my    (☆)
    设 1y 0y 方程(☆)两实根
    求根公式
    2
    01 2
    22
    2
    mmy m
      01 2
    1
    2yy m
     
    高三数学试题第 10 页( 4 页)
    1 2
    0
    1
    ( 2)y my
      ……………………8 分

    点 00()P x y 代入椭圆方程
    2
    20
    0 12
    x y
    代入直线 PA 方程 001x my∴ 0
    0
    1xm y
    
    11AF F P
    uuur uuur
    10yy 1
    0
    y
    y  22
    2200
    0
    0
    11
    1( 2) [( ) 2]xmy yy
     

    22
    220 0 0
    00
    1 1 1
    1( 1) 2 3 2( 1) 2(1 )2
    x y xxx
          
    …………………………………………………12



    0
    1
    32u x  2
    0 0 0
    1 1 6 2
    3 2 3 2 9 4 3x x x      
    仅 0 0x  时取等号  值 2
    3 ………………………………………………16

    注:(1)设 ( 2 cos sin )P  1
    3 2 2 cos




    余理
    (2) 116运基等式求解 值
    19.解:(1)∵ 2 4b  数列 nb  Mq数列
    ∴ 32
    21
    74141
    bbq bb
       ∴ 1
    1
    1nn
    nn
    bb
    bb


      ∴ 11n n n nb b b b ………………………………2

    数列 nb 等差数列公差 213bb
    通项公式 1 ( 1) 3nbn    32nbn ………………………………………………4

    (2) 1
    12 2nnb S n     2
    3
    2b  3 4 3 7b    1 
    方法: 1
    1212nnb S n    21
    12 ( 1) 12nnb S n   
    两式作差 2 1 1
    12 2n n nb b b     21
    13 2nnbb
    高三数学试题第 11 页( 4 页)
    2
    5
    2b  ∴ 21
    13 2bb∴ 1
    13 2nnbb  nN 恒成立……………………6 分
    1
    113( )44nnbb    1
    13044b    ∴ 1 04nb ∴
    1
    1
    4 31
    4
    n
    n
    b
    b
     



    ∴ 1{}4nb  等数列 ………………………………………………………………………………8 分
    ∴ 11 1 1(1 ) 3 34 4 4
    nn
    nb       ∴ 11344
    n
    nb    ∴
    21
    21
    11
    1 1 1 1( 3 ) ( 3 )4 4 4 4 31 1 1 1( 3 ) ( 3 )4 4 4 4
    nn
    nn
    nnnn
    bb
    bb
    
    
    
              

    ∴ 1nnbb  公3 等数列数列 nb  Mq数列………………………………10


    方法二:方法 恒成立
    21
    13 2nnbb两式作差 2 1 13( )n n n nb b b b     21
    3 02bb  
    ∴ 1 0nnbb ∴ 21
    1
    3nn
    nn
    bb
    bb
    

      方法 ……………………………………10

    (3)数列 nb  2M 数列 1
    1 2 1( ) 2n
    nnb b b b 
        
    32
    21
    2bb
    bb
      ∴ 2
    2
    7 21
    b
    b
      ∴ 2 3b  ∴ 212bb∴ 1 2n
    nnbb 
    ∴ 2n  时 1 1 2 2 1 1()()()n n n n nb b b b b b b b         L
    122 2 2 1 2 1n n n      L
    1n  时式成立 21n
    nb  ……………………………………12

    假设存正整数 mn 4039 4040
    2019 2019
    m
    n
    b
    b 4039 2 1 4040
    2019 2 1 2019
    m
    n
    
    2 1 4039 12 1 2019
    m
    n
      知 2 1 2 1mn   ∴ mn 正整数∴ 1mn

    高三数学试题第 12 页( 4 页)
    2 12(21)2 1 2 1404022 1 2 1 2 1 2019
    m m n n m n m n
    mn
    n n n
      
             
    ∴ 4040232019
    mn ∴ 1mn∴ 2 1 122 1 2 1
    m
    nn
     ∴ 4039 1 404022019 2 1 2019n  
    ∴ 202022
    2021  n ∴ 10n  ∴ 11m 
    存满足条件正整数 mn ……………………………………
    16 分

    20.解:(1)函数 )(xf 奇函数 0)()(  xfxf 定义域恒成立
    0  mxaeemxaee xxxx
    化简 0)()1(  xx eea 1a ………………………………………………3

    (2)法:(1) mxeexf xx  )(
    x
    xx
    xx
    e
    meemeexf 1)(
    2  
    中 2m 时 012  xx mee 恒成立
    0)(  xf 恒成立存极值 ………………………………………………5

    2m 时方程 012  mtt 两等正根 )( 2121 tttt 
    知函数 mxeexf xx  )( )(ln)ln( 21  tt 单调递增
    )ln(ln 21 tt 单调递减 2ln t 处取极值
    m 取值范围 )2(  ………………………………………………9

    法二:(1)
    令 meexfxg xx  )()(
    x
    x
    xx
    e
    eeexg 1)(
    2  
    0x 时 0)(  xg 0x 时 0)(  xg …………………………………………5

    )(xg )0( 递减 )0(  递增
    ∴ mgxg  2)0()(min
    02  m 0)( xg 恒成立 )(xf 单调递增极值点

    02)0(  mg 解 2m
    高三数学试题第 13 页( 4 页)
    取 mt ln 01)(  mtg
    函数 )(xg 图象区间 ]0[ t 连续间断函数零点存性定理知区间 )0( t
    存 0x 函数 零点 )( 0xf )(xf 极值
    m 取值范围 )2(  ………………………………………………
    9 分
    (3) 0x 满足 mee xx   00
    代入 mxeexf xx  )(
    消 m 00 )1()1()( 000
    xx exexxf  ……………………………………
    11 分
    构造函数 xx exexxh  )1()1()(
    )()( xx eexxh   0x 时 01 2
    
    x
    x
    xx
    e
    eee
    时 0)(  xh 恒成立 h(x)[0+ )单调减函数中 eh 2)1(  ……
    13 分
    0
    2()fx e 转化 0( ) (1)h x h
    10 x 设 xx eey 
    时 0 xx eey ]10( 递增 eem 1
    综m 取值范围 ]12( ee  ………………………………………………16

    附加题答案
    21(A)解:设圆C 点()xy矩阵 M 变换圆C 点()xy

    3
    32
    a x x
    yy
                   

    3
    32
    ax y x
    x y y
    
     
    ………………………………………………………5 分
    圆 22 13C x y 圆 方程 22( 3 ) (3 2 ) 13ax y x y   
    化简 2 2 2( 9) (6 12) 13 13a x a xy y    

    2 9 13
    6 12 0
    a
    a
     
     
    解 2a  ………………………………………………………10 分
    高三数学试题第 14 页( 4 页)

    21(B)解:极点原点极轴 x 轴正半轴(单位长度相)建立面直角坐标系
    直线 cos 2 sin m   直角坐标方程 20x y m  
    曲线 4sin 2 4 sin   直角坐标方程 22( 2) 4xy   ………………
    5 分
    曲线 (02) 圆心 2 半径圆
    直线曲线(圆)截弦 AB 长直线圆心
    0 2 2 0m    解 4m  ……………………………………………………10 分

    21(C)解: 1 2 3 1abc   1 4 9 123a b c  
    柯西等式 21 4 923 ( 23)( )(123)23a b c a b c a b c         
    2 3 36a b c   …………………………………………………………………………………5 分

    1 4 9
    23
    23
    a b c
    a b c abc时取等号解 6abc  
    仅 时 23a b c取值 36 ……………………………………10 分


    22.解:(1)CD AB 1OO 直线建立图示空间直角坐标系O xyz
    2CD  1 3AA  (0 10)A  (010)B( 100)C  (100)D 1(0 13)A  1(013)B
    1 ( 11 3)AC  
    uuuur
    1 (1 1 3)BD  
    uuuur

    11 2 2 2 2 2 2
    111(1)(3)(3) 7cos 11(1) 1 (3) 1 (1) (3)
    ACBD           
            
    uuuuruuuur

    异 面 直 线 1AC 1BD 成 角 余 弦 值
    高三数学试题第 15 页( 4 页)
    7
    11 …………………………………………4 分
    (2)设 1 0AA m 1(0 1 )Am 1(01 )Bm
    1 ( 11 )AC m  
    uuuur
    1 (1 1 )B D m  
    uuuur
    (200)CD 
    uuur

    设面 1ACD 法量 1 1 1 1()n x y z
    uur

    11
    1 1 1 1 1
    20
    0
    n CD x
    n AC x y mz
             
    uur uuur
    uur uuuur
    1 0x  令 1 1z  1ym
    面 法量 1 (0 1)nm
    uur

    理面 1B CD 法量 2 (0 1)nm
    uur

    二面角 11A CD B 3
     12 2 2 2 2
    ( ) 1 1 1cos 21 ( ) 1
    mmnn
    mm
          
       
    uur uur

    解 3m  3
    3m 
    图 形 知 二 面 角 时
    …………………………………10 分
    注:传统方法请参评分
    23.解:(1)令 1x 0 1 2 2 0na a a a    L
    令 1x 1 2 2
    0 1 2 3 2 1 2
    33 3 3 (9 1)2
    nn
    nna a a a a a  LL
    两式相加 0 2 4 2
    32( ) (9 1)2
    n
    na a a a     L∴ 3 (9 1)4
    n
    nS …………………………………
    3 分
    (2) 1 2 3
    1 2 3 ( 1)nn
    n n n n n nTSCSCSCSC      L
    高三数学试题第 16 页( 4 页)
     1 1 2 2 3 3 1 2 33 [9 9 9 (1)9][ (1)]4
    n n n n n
    n n n n n n n nCCCCCCCC    LL
     00112233 01233 [9 99 9 (1)9][ (1)]4
    n n n n n
    n n n n n n n n n nCCCCCCCCCC    LL
    0 0 1 1 2 2 3 33[9 9 9 9 ( 1) 9 ]4
    n n n
    n n n n nCCCCC      L
    0 0 1 1 2 23[(9) (9) (9) (9)]4
    nn
    n n n nCCCC        L
    33[1 ( 9)] ( 8)44
    nn      …………………………………………………………………………………7 分
    证 3| | 6nTn 证 3 84
    n 36n 需证明 138n n  证 12n n 
    12n  时 12n n  显然成立
    3n  时 1 0 1 1 0 1
    1 1 1 1 12 1 ( 1)nn
    n n n n nC C C C C n n
                 L
    ∴ *nN 恒成立
    综 恒成立……………………………………………………………………………………10 分
    注:数学纳法数列单调性证明 恒成立请参评分



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