二次函数知识点
基概念：
1．二次函数概念：般形（常数）函数做二次函数 里需强调：元二次方程类似二次项系数零．二次函数定义域全体实数．
2 二次函数结构特征：
⑴ 等号左边函数右边关变量二次式高次数2．
⑵ 常数二次项系数次项系数常数项．
二基形式
1 二次函数基形式：性质：
a 绝值越抛物线开口越
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
轴
时增增时增减时值．
轴
时增减时增增时值．
2 性质：（加减）
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
轴
时增增时增减时值．
轴
时增减时增增时值．
3 性质：（左加右减）
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
Xh
时增增时增减时值．
Xh
时增减时增增时值．
4 性质：
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
Xh
时增增时增减时值．
Xh
时增减时增增时值．
三二次函数图象移
1 移步骤：
方法1：⑴ 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
⑵ 保持抛物线形状变顶点移处具体移方法：
2 移规律
原函数基础值正右移负左移值正移负移．概括成八字左加右减加减．
方法2：
⑴轴移（）移单位变成
（）
⑵轴移：左（右）移单位变成（）
四二次函数较
解析式两种表达形式者通配方前者中．
五二次函数图象画法
五点绘图法：利配方法二次函数化顶点式确定开口方称轴顶点坐标然称轴两侧左右称描点画图般选取五点：顶点轴交点关称轴称点轴交点（轴没交点取两组关称轴称点）
画草图时应抓住点：开口方称轴顶点轴交点轴交点
六二次函数性质
1 时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增减时增增时值．
2 时抛物线开口称轴顶点坐标．时增增时增减时值．
七二次函数解析式表示方法
1 般式：（常数）
2 顶点式：（常数）
3 两根式：（抛物线轴两交点横坐标）
注意：二次函数解析式化成般式顶点式非二次函数写成交点式抛物线轴交点时抛物线解析式交点式表示．二次函数解析式三种形式互化
八二次函数图象项系数间关系
1 二次项系数
二次函数中作二次项系数显然．
⑴ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越
⑵ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越．
总结起决定抛物线开口方正负决定开口方决定开口．
2 次项系数
二次项系数确定前提决定抛物线称轴．
⑴ 前提
时抛物线称轴轴左侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴右侧．
⑵ 前提结刚述相反
时抛物线称轴轴右侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴左侧．
总结起确定前提决定抛物线称轴位置．
符号判定：称轴轴左边轴右侧概括说左右异
总结：
3 常数项
⑴ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标正
⑵ 时抛物线轴交点坐标原点抛物线轴交点坐标
⑶ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标负．
总结起决定抛物线轴交点位置．
总确定条抛物线唯确定．
二次函数解析式确定：
根已知条件确定二次函数解析式通常利定系数法．定系数法求二次函数解析式必须根题目特点选择适形式解题简便．般说种情况：
1 已知抛物线三点坐标般选般式
2 已知抛物线顶点称轴（）值般选顶点式
3 已知抛物线轴两交点横坐标般选两根式
4 已知抛物线坐标相两点常选顶点式．
九二次函数图象称
二次函数图象称般五种情况般式顶点式表达
1 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
2 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
3 关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式
4 关顶点称（：抛物线绕顶点旋转180°）
关顶点称解析式
关顶点称解析式．
5 关点称
关点称解析式
根称性质显然作种称变换抛物线形状定会发生变化永远变．求抛物线称抛物线表达式时题意方便运算原选择合适形式惯先确定原抛物线（表达式已知抛物线）顶点坐标开口方确定称抛物线顶点坐标开口方然写出称抛物线表达式．
十二次函数元二次方程：
1 二次函数元二次方程关系（二次函数轴交点情况）：
元二次方程二次函数函数值时特殊情况
图象轴交点数：
① 时图象轴交两点中元二次方程两根．两点间距离
② 时图象轴交点
③ 时图象轴没交点
时图象落轴方实数
时图象落轴方实数．
2 抛物线图象轴定相交交点坐标
3 二次函数常解题方法总结：
⑴ 求二次函数图象轴交点坐标需转化元二次方程
⑵ 求二次函数（）值需利配方法二次函数般式转化顶点式
⑶ 根图象位置判断二次函数中符号二次函数中符号判断图象位置数形结合
⑷ 二次函数图象关称轴称利性质求已知点称点坐标已知轴交点坐标称性求出交点坐标
抛物线轴两交点
二次三项式值正零负
元二次方程两相等实根
抛物线轴交点
二次三项式值非负
元二次方程两相等实数根
抛物线轴交点
二次三项式值恒正
元二次方程实数根
⑸ 二次函数关二次三项式二次三项式身含字母二次函数面时例揭示二次函数二次三项式元二次方程间联系：
二次函数考查重点常见题型
1． 考查二次函数定义性质关试题常出现选择题中：
已知变量二次函数图原点 值
2． 综合考查正例反例次函数二次函数图题特点直角坐标系考查两函数图试题类型选择题：
图果函数图第二三象限函数图致（ ）
y y y y
1 1
0 x o1 x 0 x 0 1 x
A B C D
3． 考查定系数法求二次函数解析式关题出现频率高题类型中档解答题选拔性综合题：
已知条抛物线(03)(46)两点称轴求条抛物线解析式
4． 考查配方法求抛物线顶点坐标称轴二次函数极值关试题解答题：
已知抛物线（a≠0）x轴两交点横坐标－13y轴交点坐标－
（1）确定抛物线解析式（2）配方法确定抛物线开口方称轴顶点坐标
5．考查代数综合力常见作专项压轴题
例题典
抛物线位置确定系数符号
例1 （1）二次函数图图1点（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数yax2+bx+c（a≠0）图象图2示列结：①ab号②x1x3时函数值相等③4a+b0④y2时x值取0中正确数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(1) (2)
点评弄清抛物线位置系数abc间关系解决问题关键．
例2已知二次函数yax2+bx+c图象x轴交点(2O)(x10)1O③4a+cO中正确结数( )
A 1 B 2 C 3 D．4
答案：D
会定系数法求二次函数解析式
例3已知：关x元二次方程ax2+bx+c3根x2二次函数yax2+bx+c称轴直线x2抛物线顶点坐标( )
A(23) B(21) C(23) D．(32)
答案：C
例4（2006年烟台市）图（单位：m）等腰三角形ABC2米秒速度直线L正方形移动直ABCD重合．设x秒时三角形正方形重叠部分面积ym2．
（1）写出yx关系式
（2）x235时y分少？
（3）重叠部分面积正方形面积半时
三角形移动长时间？求抛物线顶点坐标
称轴
例5已知抛物线yx2+x．
（1）配方法求顶点坐标称轴．
（2）该抛物线x轴两交点AB求线段AB长．
点评题（1）二次函数基方法考查第（2）问考查二次函数元二次方程关系．
例6已知：二次函数yax2(b+1)x3a图象点P(410)交x轴两点交y轴负半轴C点满足3AOOB．
(1)求二次函数解析式(2)二次函数图象否存点M锐角∠MCO>∠ACO存请求出M点横坐标取值范围存请说明理．
(1)解：图∵抛物线交x轴点A(x10)B(x2O)
x1·x23<0∵x1 ∴x2>Ox1 ∴x1·x23x123．∴x121
x1<0∴x11．∴．x23．
∴点A(1O)P(410)代入解析式解a2 b3
∴．二次函数解析式y2x24x6．
(2)存点M∠MC0<∠ACO．
(2)解：点A关y轴称点A’(1O)
∴直线AC解析式y6x6直线A＇C抛物线交点(06)(524)．
∴符合题意x范围1点M横坐标满足1∠ACO．
例7 已知函数图象点A（c－2）
求证：二次函数图象称轴x3题目中矩形框部分段墨水污染法辨认文字
（1）根已知结中现信息否求出题中二次函数解析式？请写出求解程画出二次函数图象请说明理
（2）请根已信息原题中矩形框中填加适条件原题补充完整
点评： 第（1）题根已知结中现信息求出题中二次函数解析式原结函数图象称轴x3作已知结合条件图象点A（c－2）列出两方程解析式中两未知数够求出题中二次函数解析式第（2）题出条件够求出二次函数解析式第（1）题中解析式角度考虑添加出条件考虑图象意点坐标出顶点坐标坐标轴交点坐标等
[解答] （1）根图象点A（c－2）图象称轴x3
解
求二次函数解析式图象图示
（2）解析式中令y0解
填抛物线x轴交点坐标（3+抛物线x轴交点坐标
令x3代入解析式
抛物线顶点坐标
填抛物线顶点坐标等等
函数关注：通途径（图象解析式等）解函数具体特征助种现实背景理解函数函数视变化程中变量间关系数学模型渗透函数思想关注函数相关知识联系
二次函数解决值问题
例1已知边长4正方形截角成五边形ABCDE（图）中AF2BF1．试AB求点P矩形PNDM面积．
评析题道代数综合题相似三角形二次函数知识机结合起考查学生综合应力．时学生探索解题思路留思维空间．
例2 某产品件成10元试销阶段件产品销售价x（元）产品日销售量y（件）间关系表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
日销售量y销售价x次函数．
（1）求出日销售量y（件）销售价x（元）函数关系式
（2）日销售利润件产品销售价应定少元？时日销售利润少元？
解析（1）设次函数表达式ykx+b． 解k1b40次函数表达式yx+40．
（2）设件产品销售价应定x元获销售利润w元
w（x10）（40x）x2+50x400（x25）2+225．
产品销售价应定25元时日获销售利润225元．
点评解决值问题应题思路般应题类似区两点：（1）设未知数某某值时什（省）设问中某某设变量什设函数（2）问求解配方法值公式解方程．
例3知道时跳绳时绳甩高处形状似抛物线．图示正甩绳甲乙两名学生绳手间距4 m距面均1m学生丙丁分站距甲绳手水距离1m2．5 m处．绳子甩高处时刚通头顶．已知学生丙身高1．5 m学生丁身高(建立面直角坐标系右图示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：题考查二次函数应
答案：B
知识点面直角坐标系
1面直角坐标系
面画两条互相垂直公原点数轴组成面直角坐标系
中水数轴做x轴横轴取右正方铅直数轴做y轴轴取正方两轴交点O（公原点）做直角坐标系原点建立直角坐标系面做坐标面
便描述坐标面点位置坐标面x轴y轴分割成四部分分做第象限第二象限第三象限第四象限
注意：x轴y轴点属象限
2点坐标概念
点坐标（ab）表示序横坐标前坐标中间分开横坐标位置颠倒面点坐标序实数时（ab）（ba）两点坐标
知识点二位置点坐标特征
1象限点坐标特征
点P(xy)第象限
点P(xy)第二象限
点P(xy)第三象限
点P(xy)第四象限
2坐标轴点特征
点P(xy)x轴x意实数
点P(xy)y轴y意实数
点P(xy)x轴y轴xy时零点P坐标（00）
3两条坐标轴夹角分线点坐标特征
点P(xy)第三象限夹角分线xy相等
点P(xy)第二四象限夹角分线xy互相反数
4坐标轴行直线点坐标特征
位行x轴直线点坐标相
位行y轴直线点横坐标相
5关x轴y轴远点称点坐标特征
点P点p’关x轴称横坐标相等坐标互相反数
点P点p’关y轴称坐标相等横坐标互相反数
点P点p’关原点称横坐标均互相反数
6点坐标轴原点距离
点P(xy)坐标轴原点距离：
（1）点P(xy)x轴距离等
（2）点P(xy)y轴距离等
（3）点P(xy)原点距离等
知识点三函数相关概念
1变量常量
某变化程中取数值量做变量数值保持变量做常量
般某变化程中两变量xy果x值y唯确定值应说x变量yx函数
2函数解析式
表示函数关系数学式子做函数解析式函数关系式
函数意义变量取值全体做变量取值范围
3函数三种表示法优缺点
（1）解析法
两变量间函数关系时含两变量数字运算符号等式表示种表示法做解析法
（2）列表法
变量x系列值函数y应值列成表表示函数关系种表示法做列表法
（3）图法
图表示函数关系方法做图法
4函数解析式画图般步骤
（1）列表：列表出变量函数应值
（2）描点：表中应值坐标坐标面描出相应点
（3）连线：变量序描点滑曲线连接起
知识点四正例函数次函数
1正例函数次函数概念
般果（kb常数k0）y做x次函数
特次函数中b0时（k常数k0）时y做x正例函数
2次函数图
次函数图条直线
3次函数正例函数图特征：
次函数图点（0b）直线正例函数图原点（00）直线
k符号
b符号
函数图
图特征
k>0
b>0
y
0 x
图二三象限yx增增
b<0
y
0 x
图三四象限yx增增
K<0
b>0
y
0 x
图二四象限yx增减
b<0
y
0 x
图二三四象限yx增减
注：b0时次函数变正例函数正例函数次函数特例
4正例函数性质
般正例函数列性质：
（1）k>0时图第三象限yx增增
（2）k<0时图第二四象限yx增减
5次函数性质
般次函数列性质：
（1）k>0时yx增增
（2）k<0时yx增减
6正例函数次函数解析式确定
确定正例函数确定正例函数定义式（k0）中常数k确定次函数需确定次函数定义式（k0）中常数kb解类问题般方法定系数法
知识点五反例函数
1反例函数概念
般函数（k常数k0）做反例函数反例函数解析式写成形式变量x取值范围x0切实数函数取值范围切非零实数
2反例函数图
反例函数图双曲线两分支两分支分位第三象限第二四象限关原点称反例函数中变量x0函数y0图x轴y轴没交点双曲线两分支限接坐标轴永远达坐标轴
3 反例函数性质
反例函数
k符号
k>0
k<0
图
y
O x
y
O x
性质
①x取值范围x0
y取值范围y0
②k>0时函数图两分支分
第三象限象限y
x 增减
①x取值范围x0
y取值范围y0
②k<0时函数图两分支分
第二四象限象限y
x 增增
4反例函数解析式确定
确定诶方法定系数法反例函数中定系数需应值图点坐标求出k值确定解析式
5反例函数中反例系数意义
图反例函数图点P作x轴y轴垂线PMPN矩形PMON面积SPMPN
知识点六二次函数概念图
1二次函数概念
般果特特注意a零
y做x 二次函数
做二次函数般式
2二次函数图
二次函数图条关称曲线条曲线抛物线
抛物线特征：
①开口方②称轴③顶点
3二次函数图画法
五点法：
（1）先根函数解析式求出顶点坐标面直角坐标系中描出顶点M虚线画出称轴
（2）求抛物线坐标轴交点：
抛物线x轴两交点时描出两交点AB抛物线y轴交点C找点C称点D五点左右序连接起延伸二次函数图
抛物线x轴交点交点时描出抛物线y轴交点C称点DCMD三点粗略画出二次函数草图果需画出较精确图描出称点AB然次连接五点画出二次函数图
知识点七二次函数解析式
二次函数解析式三种形式：口诀 般 两根 三顶点
（1）般 般式：
（2）两根 抛物线x轴交点时应二次方程实根存时根二次三项式分解式二次函数转化两根式果没交点样表示
a 绝值越抛物线开口越
（3）三顶点 顶点式：
知识点八二次函数值
果变量取值范围全体实数函数顶点处取值（值）时
果变量取值范围首先否变量取值范围范围x时范围需考虑函数范围增减性果范围yx增增时时果范围yx增减时时
知识点九二次函数性质
1二次函数性质
函数
二次函数
图
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口限延伸
（2）称轴x顶点坐标（）
（3）称轴左侧x<时yx增减称轴右侧x>时yx增增简记左减右增
（4）抛物线低点x时y值
（1）抛物线开口限延伸
（2）称轴x顶点坐标（）
（3）称轴左侧x<时yx增增称轴右侧x>时yx增减简记左增右减
（4）抛物线高点x时y值
2二次函数中含义：
表示开口方：>0时抛物线开口
<0时抛物线开口
称轴关：称轴x
表示抛物线y轴交点坐标：（0）
3二次函数元二次方程关系
元二次方程解应二次函数图x轴交点坐标
元二次方程中二次函数中表示图x轴否交点
>0时图x轴两交点
0时图x轴交点
<0时图x轴没交点
知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会理解记忆）
1两点间距离公式（遇没思路题时方法拓展思路寻求解题方法）
y
图：点A坐标（x1y1）点B坐标（x2y2）
AB间距离线段AB长度 A
0 x
B
2二次函数图象移
① 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
② 保持抛物线形状变顶点移处具体移方法：
③移规律
原函数基础值正右移负左移值正移负移．
函数移图致位置规律（中考试题中占3分掌握知识点提高答题速度帮助节省做题时间）
特记忆左加 异右减 (必须理解记忆)
说明① 函数中ab值号图顶点y轴左侧左a b值异号图顶点必Y轴右侧异右
②左移动加左加右移动减右减
3 直线斜率： b直线y轴截距4直线方程：
4 ①两点 直线两点确定直线两点式方程简称两式 公式种变形 牢记
②点斜
③斜截 直线斜截式方程简称斜截式 y＝kx＋b(k≠0)
④截距 直线轴轴截距确定直线截距式方程简称截距式：
牢记 口诀 两点斜截距两点 点斜 斜截 截距
5设两条直线分： ：
6 点P（x0y0）直线ykx+b(：kxy+b0) 距离
7 抛物线中 a b c作
（1）决定开口方开口中完全样
（2）决定抛物线称轴位置抛物线称轴直线
：①时称轴轴②（号）时称轴轴左侧③（异号）时称轴轴右侧 口诀 左 异右
（3）决定抛物线轴交点位置
时∴抛物线轴交点（0）：
①抛物线原点
②轴交正半轴
③轴交负半轴
三点中结条件互换时成立抛物线称轴轴右侧
十中考点击
考点分析：
容
求
1函数概念面直角坐标系中某点坐标特点
Ⅰ
2变量函数间变化关系图识理解图变量关系
Ⅰ
3次函数概念图
Ⅰ
4次函数增减性象限分布情况会作图
Ⅱ
5反例函数概念图特征实际生活中应
Ⅱ
6二次函数概念性质实际情景中理解二次函数意义会利二次函数刻画实际问题中变量间关系解决实际生活问题
Ⅱ
命题预测：函数数形结合重体现年中考必考容函数概念选择填空形式考查变量取值范围变量变量变化图面直角坐标系等般占2左右．次函数次方程紧密联系中考必考容般填空选择解答题综合题形式考查占5左右．反例函数图性质考查常客观题形式出现关注反例函数实际问题联系突出应价值3—6分二次函数初中数学十分重容中考热点压轴题出现试卷中．求：通实际问题情景分析确定二次函数表达式体会二次函数意义会描点法画二次函数图丛图分析二次函数性质会根公式确定图顶点开口方称轴解决实际问题．会求元二次方程似值．
分析年中考尤课改实验区试题预计2009年继续考查变量取值范围变量变量间变化图次函数图性质实际问题中考查反例函数概念性质理解．时注重考查二次函数特二次函数实际生活中应．
十二初中数学助记口诀(函数部分)
特殊点坐标特征坐标面点(xy)横前(++)(+)()(+)四象限分前X轴y0x0Y轴
称点坐标称点坐标记牢相反数位置莫混淆X轴称y相反Y轴称x前面添负号原点称记横坐标变符号
变量取值范围：分式分母零偶次根负行零次幂底数零整式奇次根全行
函数图移动规律次函数解析式写成yk（x+0）+b二次函数解析式写成ya（x+h）2+k形式面口诀左右移括号移末稍 左加 异右减
次函数图性质口诀次函数直线图仨象限正例函数更简单原点直线两系数kb作莫k斜率定夹角bY轴相见k正右斜x增减y增减k负左展变化规律正相反k绝值越线离横轴越远
二次函数图性质口诀二次函数抛物线图象称关键开口顶点交点确定图象现开口a断cY轴相见b符号较特符号a相关联顶点位置先找见Y轴作参考线左右异中0牢记心中莫混乱顶点坐标重般式配方现横标称轴标函数值见求称轴位置符号反般顶点交点式表达互换
反例函数图性质口诀反例函数特点双曲线相背离远k正图三(象)限k负图二四(象)限图三函数减两分支分减图二四正相反两分支分添线越长越轴永远轴沾边
正例函数直线图象定圆点k正负关键决定直线象限负k二四限x增y减移k变引次线加b减图象三限两点决定条线选定系数关键
反例函数双曲线定需点正k落三限x增y减图象面意点矩形面积变称轴角分线xy序交换
二次函数抛物线选定需三点a正负开口判cy轴△符号简便x轴数交点ab号轴左边抛物线移a变顶点牵着图象转三种形式变换配方法作关键
1
称点坐标
称点坐标记牢相反数位置莫混淆
X轴称y相反 Y轴称x前面添负号
原点称记横坐标变符号
关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式
关顶点称
关顶点称解析式
关顶点称解析式．
关点称
关点称解析式
根称性质显然作种称变换抛物线形状定会发生变化永远变．求抛物线称抛物线表达式时题意方便运算原选择合适形式惯先确定原抛物线（表达式已知抛物线）顶点坐标开口方确定称抛物线顶点坐标开口方然写出称抛物线表达式．
口诀 Y反XX反Y反原点
2 变量取值范围：
分式分母零偶次根负行零次幂底数零
函数图移动规律
次函数解析式写成yk（x+0）+b
二次函数解析式写成ya（x+h）2+k形式
面口诀：
左右移括号移末稍
左正右负须牢记正负错
次函数图性质口诀
次函数直线图仨象限
正例函数更简单原点直线
两系数kb作莫
k斜率定夹角bY轴相见
k正右斜x增减y增减k负左展变化规律正相反
k绝值越线离横轴越远
二次函数图性质口诀
二次函数抛物线图象称关键
开口顶点交点确定图象限
开口a断cY轴相见b符号较特符号a相关联顶点位置先找见Y轴作参考线左右异中0牢记心中莫混乱顶点坐标重般式配方现横标称轴标函数值见求称轴位置 符号反般顶点交点式表达互换
反例函数图性质口诀
反例函数特点双曲线相背离远
k正图三(象)限k负图二四(象)限
图三函数减两分支分减图二四正相反两分支分添线越长越轴永远轴沾边
函数学口决：正例函数直线图象定原点k正负关键决定直线象限负k二四限x增y减移k变引次线加b减图象三限两点决定条线选定系数关键
反例函数双曲线定需点正k落三限x增y减图象面意点矩形面积变称轴角分线xy序交换
二次函数抛物线选定需三点a正负开口判cy轴△符号简便x轴数交点ab号轴左边抛物线移a变顶点牵着图象转三种形式变换配方法作关键
求定义域：
求定义域讲究四项原须留意
负数开方分母零意义
指分数底正数数零没零次幂
限制条件唯满足等式
求定义域关四项原须注意
负数开方分母零意义
分数指数底正数数零没零次幂
限制条件唯等式组求解集
解元次等式：
先分母括号移项合类项
系数化1讲究负变
先分母括号移项忘变号
类项合系数化1注意
正防碍负变号
解元二次等式：
首先化成般式构造函数第二站
判式值非负曲线横轴交点
a正开口零取两边
代数式零解集交点数间
方程实数根口零解全
零没解开口正相反
131 公式法解元二次方程
公式解方程首先化成般式
调整系数成简
确定参数abc计算方程判式
判式值零实根便知
实根套公式没实根告
常规配方法解元二次方程：
左未右已先分离二系化1次
系折半方两边加没问题
左边分解右合直接开方解题
该种解法配方解方程时练
间接配方法解元二次方程：
已知未知先分离式分解次
调整系数等互反差积套恒等式
完全方等常数间接配方显优势
注 恒等式
解元二次方程：
方程没次项直接开方理想
果缺少常数项式分解没商量
bc相等零等根零忘
bc时零式分解配方
直接套公式题异择良方
正例函数鉴：
判断正例函数检验分两步走
量表示量 没
取值全体实数需
区分正例函数衡量分两步走
量表示量 否
取值全体实数
正例函数图象性质：
正函数图直线 原点
K正三负二四变化趋势记心间
K正左低右边高爬山
K负左高右边低山峦
次函数：
次函数图直线 点
K正左低右边高越走越高爬山
K负左高右边低越越低明显
K称斜率b截距截距零变正函
反例函数：
反函数双曲线 点
K正三负二四两轴渐线
K正左高右边低三象限滑山
K负左低右边高二四象限爬山
二次函数：
二次方程零换y二次函数便出现
全体实数定义域图做抛物线
抛物线称轴两边单调正相反
A定开口线轴交点顶点
顶点非高低低高显眼
果画抛物线移描点
提取配方定顶点两条途径挑选
列表描点连线移规律记心间
左加右减括号号外加减
二次方程零换y二次函数
图做抛物线定义域全体实数
A定开口开口正数
绝值开口开口A负数
抛物线称轴增减特性图
线轴交点顶点顶点标值出
果画抛物线描点移两条路
提取配方定顶点移描点皆成图
列表描点连线三点致定全图
移难先画基础抛物线
顶点移新位置开口基础
注基础抛物线
列方程解应题：
列方程解应题审设列解双检答
审题弄清已未知设元直间两办法
列表画图造方程解方程时守章法
检验准合题意问求作答
两点间距离公式：
轴两点求距离减数
轴等距两点间距求法
面意两点横标差先求值
差方相加开方距离公式牢记
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基概念：
1．二次函数概念：般形（常数）函数做二次函数 里需强调：元二次方程类似二次项系数零．二次函数定义域全体实数．
2 二次函数结构特征：
⑴ 等号左边函数右边关变量二次式高次数2．
⑵ 常数二次项系数次项系数常数项．
二基形式
1 二次函数基形式：性质：
a 绝值越抛物线开口越
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
轴
时增增时增减时值．
轴
时增减时增增时值．
2 性质：（加减）
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
轴
时增增时增减时值．
轴
时增减时增增时值．
3 性质：（左加右减）
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
Xh
时增增时增减时值．
Xh
时增减时增增时值．
4 性质：
符号
开口方
顶点坐标
称轴
性质
Xh
时增增时增减时值．
Xh
时增减时增增时值．
三二次函数图象移
1 移步骤：
方法1：⑴ 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
⑵ 保持抛物线形状变顶点移处具体移方法：
2 移规律
原函数基础值正右移负左移值正移负移．概括成八字左加右减加减．
方法2：
⑴轴移（）移单位变成
（）
⑵轴移：左（右）移单位变成（）
四二次函数较
解析式两种表达形式者通配方前者中．
五二次函数图象画法
五点绘图法：利配方法二次函数化顶点式确定开口方称轴顶点坐标然称轴两侧左右称描点画图般选取五点：顶点轴交点关称轴称点轴交点（轴没交点取两组关称轴称点）
画草图时应抓住点：开口方称轴顶点轴交点轴交点
六二次函数性质
1 时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增减时增增时值．
2 时抛物线开口称轴顶点坐标．时增增时增减时值．
七二次函数解析式表示方法
1 般式：（常数）
2 顶点式：（常数）
3 两根式：（抛物线轴两交点横坐标）
注意：二次函数解析式化成般式顶点式非二次函数写成交点式抛物线轴交点时抛物线解析式交点式表示．二次函数解析式三种形式互化
八二次函数图象项系数间关系
1 二次项系数
二次函数中作二次项系数显然．
⑴ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越
⑵ 时抛物线开口值越开口越反值越开口越．
总结起决定抛物线开口方正负决定开口方决定开口．
2 次项系数
二次项系数确定前提决定抛物线称轴．
⑴ 前提
时抛物线称轴轴左侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴右侧．
⑵ 前提结刚述相反
时抛物线称轴轴右侧
时抛物线称轴轴
时抛物线称轴轴左侧．
总结起确定前提决定抛物线称轴位置．
符号判定：称轴轴左边轴右侧概括说左右异
总结：
3 常数项
⑴ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标正
⑵ 时抛物线轴交点坐标原点抛物线轴交点坐标
⑶ 时抛物线轴交点轴方抛物线轴交点坐标负．
总结起决定抛物线轴交点位置．
总确定条抛物线唯确定．
二次函数解析式确定：
根已知条件确定二次函数解析式通常利定系数法．定系数法求二次函数解析式必须根题目特点选择适形式解题简便．般说种情况：
1 已知抛物线三点坐标般选般式
2 已知抛物线顶点称轴（）值般选顶点式
3 已知抛物线轴两交点横坐标般选两根式
4 已知抛物线坐标相两点常选顶点式．
九二次函数图象称
二次函数图象称般五种情况般式顶点式表达
1 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
2 关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
3 关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式
4 关顶点称（：抛物线绕顶点旋转180°）
关顶点称解析式
关顶点称解析式．
5 关点称
关点称解析式
根称性质显然作种称变换抛物线形状定会发生变化永远变．求抛物线称抛物线表达式时题意方便运算原选择合适形式惯先确定原抛物线（表达式已知抛物线）顶点坐标开口方确定称抛物线顶点坐标开口方然写出称抛物线表达式．
十二次函数元二次方程：
1 二次函数元二次方程关系（二次函数轴交点情况）：
元二次方程二次函数函数值时特殊情况
图象轴交点数：
① 时图象轴交两点中元二次方程两根．两点间距离
② 时图象轴交点
③ 时图象轴没交点
时图象落轴方实数
时图象落轴方实数．
2 抛物线图象轴定相交交点坐标
3 二次函数常解题方法总结：
⑴ 求二次函数图象轴交点坐标需转化元二次方程
⑵ 求二次函数（）值需利配方法二次函数般式转化顶点式
⑶ 根图象位置判断二次函数中符号二次函数中符号判断图象位置数形结合
⑷ 二次函数图象关称轴称利性质求已知点称点坐标已知轴交点坐标称性求出交点坐标
抛物线轴两交点
二次三项式值正零负
元二次方程两相等实根
抛物线轴交点
二次三项式值非负
元二次方程两相等实数根
抛物线轴交点
二次三项式值恒正
元二次方程实数根
⑸ 二次函数关二次三项式二次三项式身含字母二次函数面时例揭示二次函数二次三项式元二次方程间联系：
二次函数考查重点常见题型
1． 考查二次函数定义性质关试题常出现选择题中：
已知变量二次函数图原点 值
2． 综合考查正例反例次函数二次函数图题特点直角坐标系考查两函数图试题类型选择题：
图果函数图第二三象限函数图致（ ）
y y y y
1 1
0 x o1 x 0 x 0 1 x
A B C D
3． 考查定系数法求二次函数解析式关题出现频率高题类型中档解答题选拔性综合题：
已知条抛物线(03)(46)两点称轴求条抛物线解析式
4． 考查配方法求抛物线顶点坐标称轴二次函数极值关试题解答题：
已知抛物线（a≠0）x轴两交点横坐标－13y轴交点坐标－
（1）确定抛物线解析式（2）配方法确定抛物线开口方称轴顶点坐标
5．考查代数综合力常见作专项压轴题
例题典
抛物线位置确定系数符号
例1 （1）二次函数图图1点（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数yax2+bx+c（a≠0）图象图2示列结：①ab号②x1x3时函数值相等③4a+b0④y2时x值取0中正确数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(1) (2)
点评弄清抛物线位置系数abc间关系解决问题关键．
例2已知二次函数yax2+bx+c图象x轴交点(2O)(x10)1
A 1 B 2 C 3 D．4
答案：D
会定系数法求二次函数解析式
例3已知：关x元二次方程ax2+bx+c3根x2二次函数yax2+bx+c称轴直线x2抛物线顶点坐标( )
A(23) B(21) C(23) D．(32)
答案：C
例4（2006年烟台市）图（单位：m）等腰三角形ABC2米秒速度直线L正方形移动直ABCD重合．设x秒时三角形正方形重叠部分面积ym2．
（1）写出yx关系式
（2）x235时y分少？
（3）重叠部分面积正方形面积半时
三角形移动长时间？求抛物线顶点坐标
称轴
例5已知抛物线yx2+x．
（1）配方法求顶点坐标称轴．
（2）该抛物线x轴两交点AB求线段AB长．
点评题（1）二次函数基方法考查第（2）问考查二次函数元二次方程关系．
例6已知：二次函数yax2(b+1)x3a图象点P(410)交x轴两点交y轴负半轴C点满足3AOOB．
(1)求二次函数解析式(2)二次函数图象否存点M锐角∠MCO>∠ACO存请求出M点横坐标取值范围存请说明理．
(1)解：图∵抛物线交x轴点A(x10)B(x2O)
x1·x23<0∵x1
x1<0∴x11．∴．x23．
∴点A(1O)P(410)代入解析式解a2 b3
∴．二次函数解析式y2x24x6．
(2)存点M∠MC0<∠ACO．
(2)解：点A关y轴称点A’(1O)
∴直线AC解析式y6x6直线A＇C抛物线交点(06)(524)．
∴符合题意x范围1
例7 已知函数图象点A（c－2）
求证：二次函数图象称轴x3题目中矩形框部分段墨水污染法辨认文字
（1）根已知结中现信息否求出题中二次函数解析式？请写出求解程画出二次函数图象请说明理
（2）请根已信息原题中矩形框中填加适条件原题补充完整
点评： 第（1）题根已知结中现信息求出题中二次函数解析式原结函数图象称轴x3作已知结合条件图象点A（c－2）列出两方程解析式中两未知数够求出题中二次函数解析式第（2）题出条件够求出二次函数解析式第（1）题中解析式角度考虑添加出条件考虑图象意点坐标出顶点坐标坐标轴交点坐标等
[解答] （1）根图象点A（c－2）图象称轴x3
解
求二次函数解析式图象图示
（2）解析式中令y0解
填抛物线x轴交点坐标（3+抛物线x轴交点坐标
令x3代入解析式
抛物线顶点坐标
填抛物线顶点坐标等等
函数关注：通途径（图象解析式等）解函数具体特征助种现实背景理解函数函数视变化程中变量间关系数学模型渗透函数思想关注函数相关知识联系
二次函数解决值问题
例1已知边长4正方形截角成五边形ABCDE（图）中AF2BF1．试AB求点P矩形PNDM面积．
评析题道代数综合题相似三角形二次函数知识机结合起考查学生综合应力．时学生探索解题思路留思维空间．
例2 某产品件成10元试销阶段件产品销售价x（元）产品日销售量y（件）间关系表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
日销售量y销售价x次函数．
（1）求出日销售量y（件）销售价x（元）函数关系式
（2）日销售利润件产品销售价应定少元？时日销售利润少元？
解析（1）设次函数表达式ykx+b． 解k1b40次函数表达式yx+40．
（2）设件产品销售价应定x元获销售利润w元
w（x10）（40x）x2+50x400（x25）2+225．
产品销售价应定25元时日获销售利润225元．
点评解决值问题应题思路般应题类似区两点：（1）设未知数某某值时什（省）设问中某某设变量什设函数（2）问求解配方法值公式解方程．
例3知道时跳绳时绳甩高处形状似抛物线．图示正甩绳甲乙两名学生绳手间距4 m距面均1m学生丙丁分站距甲绳手水距离1m2．5 m处．绳子甩高处时刚通头顶．已知学生丙身高1．5 m学生丁身高(建立面直角坐标系右图示)
( )
A．1．5 m B．1．625 m
C．1．66 m D．1．67 m
分析：题考查二次函数应
答案：B
知识点面直角坐标系
1面直角坐标系
面画两条互相垂直公原点数轴组成面直角坐标系
中水数轴做x轴横轴取右正方铅直数轴做y轴轴取正方两轴交点O（公原点）做直角坐标系原点建立直角坐标系面做坐标面
便描述坐标面点位置坐标面x轴y轴分割成四部分分做第象限第二象限第三象限第四象限
注意：x轴y轴点属象限
2点坐标概念
点坐标（ab）表示序横坐标前坐标中间分开横坐标位置颠倒面点坐标序实数时（ab）（ba）两点坐标
知识点二位置点坐标特征
1象限点坐标特征
点P(xy)第象限
点P(xy)第二象限
点P(xy)第三象限
点P(xy)第四象限
2坐标轴点特征
点P(xy)x轴x意实数
点P(xy)y轴y意实数
点P(xy)x轴y轴xy时零点P坐标（00）
3两条坐标轴夹角分线点坐标特征
点P(xy)第三象限夹角分线xy相等
点P(xy)第二四象限夹角分线xy互相反数
4坐标轴行直线点坐标特征
位行x轴直线点坐标相
位行y轴直线点横坐标相
5关x轴y轴远点称点坐标特征
点P点p’关x轴称横坐标相等坐标互相反数
点P点p’关y轴称坐标相等横坐标互相反数
点P点p’关原点称横坐标均互相反数
6点坐标轴原点距离
点P(xy)坐标轴原点距离：
（1）点P(xy)x轴距离等
（2）点P(xy)y轴距离等
（3）点P(xy)原点距离等
知识点三函数相关概念
1变量常量
某变化程中取数值量做变量数值保持变量做常量
般某变化程中两变量xy果x值y唯确定值应说x变量yx函数
2函数解析式
表示函数关系数学式子做函数解析式函数关系式
函数意义变量取值全体做变量取值范围
3函数三种表示法优缺点
（1）解析法
两变量间函数关系时含两变量数字运算符号等式表示种表示法做解析法
（2）列表法
变量x系列值函数y应值列成表表示函数关系种表示法做列表法
（3）图法
图表示函数关系方法做图法
4函数解析式画图般步骤
（1）列表：列表出变量函数应值
（2）描点：表中应值坐标坐标面描出相应点
（3）连线：变量序描点滑曲线连接起
知识点四正例函数次函数
1正例函数次函数概念
般果（kb常数k0）y做x次函数
特次函数中b0时（k常数k0）时y做x正例函数
2次函数图
次函数图条直线
3次函数正例函数图特征：
次函数图点（0b）直线正例函数图原点（00）直线
k符号
b符号
函数图
图特征
k>0
b>0
y
0 x
图二三象限yx增增
b<0
y
0 x
图三四象限yx增增
K<0
b>0
y
0 x
图二四象限yx增减
b<0
y
0 x
图二三四象限yx增减
注：b0时次函数变正例函数正例函数次函数特例
4正例函数性质
般正例函数列性质：
（1）k>0时图第三象限yx增增
（2）k<0时图第二四象限yx增减
5次函数性质
般次函数列性质：
（1）k>0时yx增增
（2）k<0时yx增减
6正例函数次函数解析式确定
确定正例函数确定正例函数定义式（k0）中常数k确定次函数需确定次函数定义式（k0）中常数kb解类问题般方法定系数法
知识点五反例函数
1反例函数概念
般函数（k常数k0）做反例函数反例函数解析式写成形式变量x取值范围x0切实数函数取值范围切非零实数
2反例函数图
反例函数图双曲线两分支两分支分位第三象限第二四象限关原点称反例函数中变量x0函数y0图x轴y轴没交点双曲线两分支限接坐标轴永远达坐标轴
3 反例函数性质
反例函数
k符号
k>0
k<0
图
y
O x
y
O x
性质
①x取值范围x0
y取值范围y0
②k>0时函数图两分支分
第三象限象限y
x 增减
①x取值范围x0
y取值范围y0
②k<0时函数图两分支分
第二四象限象限y
x 增增
4反例函数解析式确定
确定诶方法定系数法反例函数中定系数需应值图点坐标求出k值确定解析式
5反例函数中反例系数意义
图反例函数图点P作x轴y轴垂线PMPN矩形PMON面积SPMPN
知识点六二次函数概念图
1二次函数概念
般果特特注意a零
y做x 二次函数
做二次函数般式
2二次函数图
二次函数图条关称曲线条曲线抛物线
抛物线特征：
①开口方②称轴③顶点
3二次函数图画法
五点法：
（1）先根函数解析式求出顶点坐标面直角坐标系中描出顶点M虚线画出称轴
（2）求抛物线坐标轴交点：
抛物线x轴两交点时描出两交点AB抛物线y轴交点C找点C称点D五点左右序连接起延伸二次函数图
抛物线x轴交点交点时描出抛物线y轴交点C称点DCMD三点粗略画出二次函数草图果需画出较精确图描出称点AB然次连接五点画出二次函数图
知识点七二次函数解析式
二次函数解析式三种形式：口诀 般 两根 三顶点
（1）般 般式：
（2）两根 抛物线x轴交点时应二次方程实根存时根二次三项式分解式二次函数转化两根式果没交点样表示
a 绝值越抛物线开口越
（3）三顶点 顶点式：
知识点八二次函数值
果变量取值范围全体实数函数顶点处取值（值）时
果变量取值范围首先否变量取值范围范围x时范围需考虑函数范围增减性果范围yx增增时时果范围yx增减时时
知识点九二次函数性质
1二次函数性质
函数
二次函数
图
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口限延伸
（2）称轴x顶点坐标（）
（3）称轴左侧x<时yx增减称轴右侧x>时yx增增简记左减右增
（4）抛物线低点x时y值
（1）抛物线开口限延伸
（2）称轴x顶点坐标（）
（3）称轴左侧x<时yx增增称轴右侧x>时yx增减简记左增右减
（4）抛物线高点x时y值
2二次函数中含义：
表示开口方：>0时抛物线开口
<0时抛物线开口
称轴关：称轴x
表示抛物线y轴交点坐标：（0）
3二次函数元二次方程关系
元二次方程解应二次函数图x轴交点坐标
元二次方程中二次函数中表示图x轴否交点
>0时图x轴两交点
0时图x轴交点
<0时图x轴没交点
知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会理解记忆）
1两点间距离公式（遇没思路题时方法拓展思路寻求解题方法）
y
图：点A坐标（x1y1）点B坐标（x2y2）
AB间距离线段AB长度 A
0 x
B
2二次函数图象移
① 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
② 保持抛物线形状变顶点移处具体移方法：
③移规律
原函数基础值正右移负左移值正移负移．
函数移图致位置规律（中考试题中占3分掌握知识点提高答题速度帮助节省做题时间）
特记忆左加 异右减 (必须理解记忆)
说明① 函数中ab值号图顶点y轴左侧左a b值异号图顶点必Y轴右侧异右
②左移动加左加右移动减右减
3 直线斜率： b直线y轴截距4直线方程：
4 ①两点 直线两点确定直线两点式方程简称两式 公式种变形 牢记
②点斜
③斜截 直线斜截式方程简称斜截式 y＝kx＋b(k≠0)
④截距 直线轴轴截距确定直线截距式方程简称截距式：
牢记 口诀 两点斜截距两点 点斜 斜截 截距
5设两条直线分： ：
6 点P（x0y0）直线ykx+b(：kxy+b0) 距离
7 抛物线中 a b c作
（1）决定开口方开口中完全样
（2）决定抛物线称轴位置抛物线称轴直线
：①时称轴轴②（号）时称轴轴左侧③（异号）时称轴轴右侧 口诀 左 异右
（3）决定抛物线轴交点位置
时∴抛物线轴交点（0）：
①抛物线原点
②轴交正半轴
③轴交负半轴
三点中结条件互换时成立抛物线称轴轴右侧
十中考点击
考点分析：
容
求
1函数概念面直角坐标系中某点坐标特点
Ⅰ
2变量函数间变化关系图识理解图变量关系
Ⅰ
3次函数概念图
Ⅰ
4次函数增减性象限分布情况会作图
Ⅱ
5反例函数概念图特征实际生活中应
Ⅱ
6二次函数概念性质实际情景中理解二次函数意义会利二次函数刻画实际问题中变量间关系解决实际生活问题
Ⅱ
命题预测：函数数形结合重体现年中考必考容函数概念选择填空形式考查变量取值范围变量变量变化图面直角坐标系等般占2左右．次函数次方程紧密联系中考必考容般填空选择解答题综合题形式考查占5左右．反例函数图性质考查常客观题形式出现关注反例函数实际问题联系突出应价值3—6分二次函数初中数学十分重容中考热点压轴题出现试卷中．求：通实际问题情景分析确定二次函数表达式体会二次函数意义会描点法画二次函数图丛图分析二次函数性质会根公式确定图顶点开口方称轴解决实际问题．会求元二次方程似值．
分析年中考尤课改实验区试题预计2009年继续考查变量取值范围变量变量间变化图次函数图性质实际问题中考查反例函数概念性质理解．时注重考查二次函数特二次函数实际生活中应．
十二初中数学助记口诀(函数部分)
特殊点坐标特征坐标面点(xy)横前(++)(+)()(+)四象限分前X轴y0x0Y轴
称点坐标称点坐标记牢相反数位置莫混淆X轴称y相反Y轴称x前面添负号原点称记横坐标变符号
变量取值范围：分式分母零偶次根负行零次幂底数零整式奇次根全行
函数图移动规律次函数解析式写成yk（x+0）+b二次函数解析式写成ya（x+h）2+k形式面口诀左右移括号移末稍 左加 异右减
次函数图性质口诀次函数直线图仨象限正例函数更简单原点直线两系数kb作莫k斜率定夹角bY轴相见k正右斜x增减y增减k负左展变化规律正相反k绝值越线离横轴越远
二次函数图性质口诀二次函数抛物线图象称关键开口顶点交点确定图象现开口a断cY轴相见b符号较特符号a相关联顶点位置先找见Y轴作参考线左右异中0牢记心中莫混乱顶点坐标重般式配方现横标称轴标函数值见求称轴位置符号反般顶点交点式表达互换
反例函数图性质口诀反例函数特点双曲线相背离远k正图三(象)限k负图二四(象)限图三函数减两分支分减图二四正相反两分支分添线越长越轴永远轴沾边
正例函数直线图象定圆点k正负关键决定直线象限负k二四限x增y减移k变引次线加b减图象三限两点决定条线选定系数关键
反例函数双曲线定需点正k落三限x增y减图象面意点矩形面积变称轴角分线xy序交换
二次函数抛物线选定需三点a正负开口判cy轴△符号简便x轴数交点ab号轴左边抛物线移a变顶点牵着图象转三种形式变换配方法作关键
1
称点坐标
称点坐标记牢相反数位置莫混淆
X轴称y相反 Y轴称x前面添负号
原点称记横坐标变符号
关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
关轴称
关轴称解析式
关轴称解析式
关原点称
关原点称解析式
关原点称解析式
关顶点称
关顶点称解析式
关顶点称解析式．
关点称
关点称解析式
根称性质显然作种称变换抛物线形状定会发生变化永远变．求抛物线称抛物线表达式时题意方便运算原选择合适形式惯先确定原抛物线（表达式已知抛物线）顶点坐标开口方确定称抛物线顶点坐标开口方然写出称抛物线表达式．
口诀 Y反XX反Y反原点
2 变量取值范围：
分式分母零偶次根负行零次幂底数零
函数图移动规律
次函数解析式写成yk（x+0）+b
二次函数解析式写成ya（x+h）2+k形式
面口诀：
左右移括号移末稍
左正右负须牢记正负错
次函数图性质口诀
次函数直线图仨象限
正例函数更简单原点直线
两系数kb作莫
k斜率定夹角bY轴相见
k正右斜x增减y增减k负左展变化规律正相反
k绝值越线离横轴越远
二次函数图性质口诀
二次函数抛物线图象称关键
开口顶点交点确定图象限
开口a断cY轴相见b符号较特符号a相关联顶点位置先找见Y轴作参考线左右异中0牢记心中莫混乱顶点坐标重般式配方现横标称轴标函数值见求称轴位置 符号反般顶点交点式表达互换
反例函数图性质口诀
反例函数特点双曲线相背离远
k正图三(象)限k负图二四(象)限
图三函数减两分支分减图二四正相反两分支分添线越长越轴永远轴沾边
函数学口决：正例函数直线图象定原点k正负关键决定直线象限负k二四限x增y减移k变引次线加b减图象三限两点决定条线选定系数关键
反例函数双曲线定需点正k落三限x增y减图象面意点矩形面积变称轴角分线xy序交换
二次函数抛物线选定需三点a正负开口判cy轴△符号简便x轴数交点ab号轴左边抛物线移a变顶点牵着图象转三种形式变换配方法作关键
求定义域：
求定义域讲究四项原须留意
负数开方分母零意义
指分数底正数数零没零次幂
限制条件唯满足等式
求定义域关四项原须注意
负数开方分母零意义
分数指数底正数数零没零次幂
限制条件唯等式组求解集
解元次等式：
先分母括号移项合类项
系数化1讲究负变
先分母括号移项忘变号
类项合系数化1注意
正防碍负变号
解元二次等式：
首先化成般式构造函数第二站
判式值非负曲线横轴交点
a正开口零取两边
代数式零解集交点数间
方程实数根口零解全
零没解开口正相反
131 公式法解元二次方程
公式解方程首先化成般式
调整系数成简
确定参数abc计算方程判式
判式值零实根便知
实根套公式没实根告
常规配方法解元二次方程：
左未右已先分离二系化1次
系折半方两边加没问题
左边分解右合直接开方解题
该种解法配方解方程时练
间接配方法解元二次方程：
已知未知先分离式分解次
调整系数等互反差积套恒等式
完全方等常数间接配方显优势
注 恒等式
解元二次方程：
方程没次项直接开方理想
果缺少常数项式分解没商量
bc相等零等根零忘
bc时零式分解配方
直接套公式题异择良方
正例函数鉴：
判断正例函数检验分两步走
量表示量 没
取值全体实数需
区分正例函数衡量分两步走
量表示量 否
取值全体实数
正例函数图象性质：
正函数图直线 原点
K正三负二四变化趋势记心间
K正左低右边高爬山
K负左高右边低山峦
次函数：
次函数图直线 点
K正左低右边高越走越高爬山
K负左高右边低越越低明显
K称斜率b截距截距零变正函
反例函数：
反函数双曲线 点
K正三负二四两轴渐线
K正左高右边低三象限滑山
K负左低右边高二四象限爬山
二次函数：
二次方程零换y二次函数便出现
全体实数定义域图做抛物线
抛物线称轴两边单调正相反
A定开口线轴交点顶点
顶点非高低低高显眼
果画抛物线移描点
提取配方定顶点两条途径挑选
列表描点连线移规律记心间
左加右减括号号外加减
二次方程零换y二次函数
图做抛物线定义域全体实数
A定开口开口正数
绝值开口开口A负数
抛物线称轴增减特性图
线轴交点顶点顶点标值出
果画抛物线描点移两条路
提取配方定顶点移描点皆成图
列表描点连线三点致定全图
移难先画基础抛物线
顶点移新位置开口基础
注基础抛物线
列方程解应题：
列方程解应题审设列解双检答
审题弄清已未知设元直间两办法
列表画图造方程解方程时守章法
检验准合题意问求作答
两点间距离公式：
轴两点求距离减数
轴等距两点间距求法
面意两点横标差先求值
差方相加开方距离公式牢记
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