公理化方法中学
公理化方法意义作
谓数学公理化方法少定义原始概念(基概念)组证明命题(基公理)出发利纯逻辑推理法rJ数学建立成演绎系统种方法里说基概念加定义真正基更简单更原始概念确定含义描述方法确定范围点线面等等
公理基概念间相互关系基性质做种I }}述规定意选定良公理系统设置公理应满足三条件相容性独立性完备性
般认公理化历史发展致分三阶段公理化方法产生公理化方法完善公理化方法形式化发展史考察公理化方法作少概括出三点①种方法具分析总结数学知识作②公理化方法门数学基础分析清清楚楚利较门数学实质性异促推动新理创立③数学公理化方法科学方法示范作
二中学中公理化方法
中学教材体面逻辑结构采演绎方式展开
基学生认识规律接受力等方面考虑章节教材具体展开时增添便理解教材实例总体教材体现出公理化方法基思想结构框图(见页)
甚元案甚圈形
中学课中提y线面丁古干点线面组合起成图
中学数学教材中公理系统
中学数学知识定系统原应公理化思想方法展开特面立体容应明确列出公理组般中学数学教材中体_n
面逻辑结构采演绎方法展开
原始概念描述)
定义叙述
公理叙述
命题
定理推
公式
章节教材具体展开时便学生接受般增添便理解教材容实例采块状结构
感性材料
实例背景
设置公理
定义概念
引进证明
定理公式
逻辑结构具体容总体体现公理化基思想公理系统考虑中学生接受力教材精简公理独立性求严格公理系统完备时助直观例面教材逻辑结构具体容基欧氏完善公理系统首先选定批基元素批关系(包括基关系)作基概念采扩公理体系然出发点形式逻辑方法定义关概念推导系列定理关知识贯穿起中公理间相容(矛盾)选取公理剩足独立完备20世纪末国面教材中引进公理16条等量公理5条等量公理6条16条公理中11条新增公理5条强化公理两点间线段短位角相等两直线行等新增公理直线外点条直线条直线行强化行公理教材种处理方案然公理系统说够严格悖公理体系完备性独立性样做减少初学者困难便学生接受教学角度积极作
张景中介绍欧氏公理体系指出引进公理系统课堂_「公理系统作面学开端呢必理系统手讲学骑行车先学车样骑行车先车学骑时先请扶着爬车学前进学会蹬车前进回头学车容易历史公理体系诞生积累量知识事逻辑先公理丰富彩定理公式认识程恰恰相反恰恰先掌握量定理彻底弄清定理想建立公理体系
三思辨性公理化时期—非欧
19世纪中叶非欧诞生时机终成熟类理性精神思辩力催生非欧首先数学家高斯发现第五公设否定命题公理协调矛盾匈牙利学生J·波尔约独立1832年发现非欧俄罗斯罗巴切夫斯基1826年发表虚学演讲没承认1829年创见发表喀山通报世界早非欧文献
罗巴切夫斯基定直线外点存着少两条直线定直线相交代行公理套新体系演绎出套欧氏迥然命题体系没导致矛盾时数学界接受样奇怪断遭嘲讽击罗巴切夫斯基毫动摇继续法文德文俄文陆续发表著作追求真理坚持真理宣传真理勇敢作绝类祟尚理性典范作然高斯发现非欧传统观念相悖没公开发表非欧然逻辑成立真正信服种纯理性体系应该种虚学真正构造出提供种虚现实模型19世纪70年代相继提出许实非欧模型
模型非欧学已惯欧氏空间中实现出面法国数学家庞加莱提出半面模型作例子阐述非欧面庞加莱模型中基概念作理解
点相半(开)面中点
直线相半面中x轴垂直直线半面中a轴点
圆心半圆周
点尸属(结合)直线Z相半面中代表P点属代
表直线l条x轴垂直直线a轴点圆心半圆周
点B两点AC间相ABC三点属半面中条a轴垂直直线属半面中a轴点圆心半圆周
排列次序次ABC
两线段合相利系列关a轴垂直直线称关
a轴点圆心半圆反演线段变线段
两角合相利系列关a轴垂直直线称关a
轴点圆心半圆反演角变角
验证基概念服结合公理序公理合公理连续公理
规定约束模型满足非欧行公理定直线外点
作少两条定直线相交直线罗氏面罗氏直线l外点P
确实作出两条罗氏直线1行里注意点欧氏直线a点罗氏系统元素两半圆相交直线a某点视相交穷远点穷范围永相交实现罗巴切夫斯基虚
模型验证罗氏定意义相容性现假果
罗氏系统展开中出现正反两互相矛盾命题规定
元素间应名称进行翻译立刻成互相矛盾两欧氏定理
欧氏系统相矛盾说果欧氏没矛盾
罗氏没矛盾
通模型终接受非欧
1719世纪公理化方法研究称思辨性时期
时公理化然旧保持定直观成分点线面样形
象已进入理性思辨领域罗氏中点线间关系需通思辨理解外公理直观致甚违背公理化方法带进思辨领域类理性思维力进新历史阶段现希尔伯特公理系统完整写出希尔伯特基础中先取定三基象点直线面五基关系两结合关系叙述点直线结合点面结合日常说点直线点面直线通点面通点序关系叙述点两点间两合关系叙述线段线段合角角合(线段角定义)时逐步提出五组公理二十条结合公理(8条)序公理((4条)合公理((5条)连续公理((2条)行公理((1条)面具体介绍展开点讨
第组结合公理I(称关联公理属公理)
I两点恒直线结合(通)中点
I两点条直线结合中点
I 3直线少两()点
}3少三点直线
I直线三点恒面通中点
I 4 Z面少点
I5直线三点面通中点
i果直线a两点面aa点a
}7果两面公点少公点
1A少四点面
①结合公理保证直线面存中I 3I8保证点存I*I 3 Z保证直线存1 4 iI保证面存133I4} I}2 I}等说明样条件存什称条件存公理
公理12工S I6涉存问题
②结合公理刻画点直线面间结合关系II3属点直线
结合关系称面结合公理I4} Ia称空间结合公理
③结合公理(I7 Ia)保证研究空间三维
直线面结合关系基概念定义
定义1直线点面a称直线a面a互相结合(aa)
结合公理推
定理1两直线公点面直线
公点两面者公点公直线者条公直线
公点直线
定理2线三点恰面直线点恰
面公点两直线恰面
定理3面少三条直线点
结合公理中学面立体中关点直线面间结合关系
理基础中}1工} }41 } }5 } }}反映教材中关两面结合关系传统中学教材采结合公理推—定理1中部分结公
理组中13I2I传统中学教材证中作直观默认事实
第二组序公理B(称介公理)
意两点AB直线AB少点CBAC直线意三点里点余两点间
介绍公理ll4先出定义
定义a直线序两点AB间集合线段记ABBA AB
间点线段AB点线段AB点AB间点集合做
开线段记(AB>AB线段AB(AB)端点直线AB异AB
属(AB)点线段AB(AB)外部点
定义3线点ABC三开线段(AB)(CA)点集
合称三角形记△ABCAB}C称该三角形顶点开线段(AB)
(BC>(CA)称该三角形边
II4(帕施Parch公理)设ABC直线直线面ABC
ABC中点a(AB)点必(AC)点(BC)
点
帕施公理叙述三角形面顶点直线三角形
边相交必边相交
①公理}1 }3直线点序公理称线性
序公理J 4面序公理o }z保证线段外部点L 3断言线三点
点两点间线段部否点线三点中否必存点
两点间问题公理中没直接回答答案肯定证明必须
帕施公理
序公理推
定理a意两点AC直线AC少点BAC间
(证略)
定理5直线三点中必点余两点间(读者
证)
定理6直线a△ABC面顶点a交边必交
边交第三边(证略)
定理7 AI3C线点P三开线段(AB>(BC')(CA)
四非欧公理化影响
非欧创立接受历史程促欧里基础做更全更严格审视数学家起码尖锐问题
(1)欧里没矛盾非欧矛盾性结欧里矛盾性问题变回避
（2）欧里中行公理外公理独立性问题非欧建立实际确定行公理独立性行公理欧氏体系中公理定理推然会引导数学家考察公理否独立样逻辑眼光原中公理体系潜含着逻辑缺陷会暴露出例发现第四公设(直角彼相等)余独立
外数学家进步追问欧里体系否包含足够公理
——— 行11计算机（智） 盛明 11202621
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公理化方法意义作
谓数学公理化方法少定义原始概念(基概念)组证明命题(基公理)出发利纯逻辑推理法rJ数学建立成演绎系统种方法里说基概念加定义真正基更简单更原始概念确定含义描述方法确定范围点线面等等
公理基概念间相互关系基性质做种I }}述规定意选定良公理系统设置公理应满足三条件相容性独立性完备性
般认公理化历史发展致分三阶段公理化方法产生公理化方法完善公理化方法形式化发展史考察公理化方法作少概括出三点①种方法具分析总结数学知识作②公理化方法门数学基础分析清清楚楚利较门数学实质性异促推动新理创立③数学公理化方法科学方法示范作
二中学中公理化方法
中学教材体面逻辑结构采演绎方式展开
基学生认识规律接受力等方面考虑章节教材具体展开时增添便理解教材实例总体教材体现出公理化方法基思想结构框图(见页)
甚元案甚圈形
中学课中提y线面丁古干点线面组合起成图
中学数学教材中公理系统
中学数学知识定系统原应公理化思想方法展开特面立体容应明确列出公理组般中学数学教材中体_n
面逻辑结构采演绎方法展开
原始概念描述)
定义叙述
公理叙述
命题
定理推
公式
章节教材具体展开时便学生接受般增添便理解教材容实例采块状结构
感性材料
实例背景
设置公理
定义概念
引进证明
定理公式
逻辑结构具体容总体体现公理化基思想公理系统考虑中学生接受力教材精简公理独立性求严格公理系统完备时助直观例面教材逻辑结构具体容基欧氏完善公理系统首先选定批基元素批关系(包括基关系)作基概念采扩公理体系然出发点形式逻辑方法定义关概念推导系列定理关知识贯穿起中公理间相容(矛盾)选取公理剩足独立完备20世纪末国面教材中引进公理16条等量公理5条等量公理6条16条公理中11条新增公理5条强化公理两点间线段短位角相等两直线行等新增公理直线外点条直线条直线行强化行公理教材种处理方案然公理系统说够严格悖公理体系完备性独立性样做减少初学者困难便学生接受教学角度积极作
张景中介绍欧氏公理体系指出引进公理系统课堂_「公理系统作面学开端呢必理系统手讲学骑行车先学车样骑行车先车学骑时先请扶着爬车学前进学会蹬车前进回头学车容易历史公理体系诞生积累量知识事逻辑先公理丰富彩定理公式认识程恰恰相反恰恰先掌握量定理彻底弄清定理想建立公理体系
三思辨性公理化时期—非欧
19世纪中叶非欧诞生时机终成熟类理性精神思辩力催生非欧首先数学家高斯发现第五公设否定命题公理协调矛盾匈牙利学生J·波尔约独立1832年发现非欧俄罗斯罗巴切夫斯基1826年发表虚学演讲没承认1829年创见发表喀山通报世界早非欧文献
罗巴切夫斯基定直线外点存着少两条直线定直线相交代行公理套新体系演绎出套欧氏迥然命题体系没导致矛盾时数学界接受样奇怪断遭嘲讽击罗巴切夫斯基毫动摇继续法文德文俄文陆续发表著作追求真理坚持真理宣传真理勇敢作绝类祟尚理性典范作然高斯发现非欧传统观念相悖没公开发表非欧然逻辑成立真正信服种纯理性体系应该种虚学真正构造出提供种虚现实模型19世纪70年代相继提出许实非欧模型
模型非欧学已惯欧氏空间中实现出面法国数学家庞加莱提出半面模型作例子阐述非欧面庞加莱模型中基概念作理解
点相半(开)面中点
直线相半面中x轴垂直直线半面中a轴点
圆心半圆周
点尸属(结合)直线Z相半面中代表P点属代
表直线l条x轴垂直直线a轴点圆心半圆周
点B两点AC间相ABC三点属半面中条a轴垂直直线属半面中a轴点圆心半圆周
排列次序次ABC
两线段合相利系列关a轴垂直直线称关
a轴点圆心半圆反演线段变线段
两角合相利系列关a轴垂直直线称关a
轴点圆心半圆反演角变角
验证基概念服结合公理序公理合公理连续公理
规定约束模型满足非欧行公理定直线外点
作少两条定直线相交直线罗氏面罗氏直线l外点P
确实作出两条罗氏直线1行里注意点欧氏直线a点罗氏系统元素两半圆相交直线a某点视相交穷远点穷范围永相交实现罗巴切夫斯基虚
模型验证罗氏定意义相容性现假果
罗氏系统展开中出现正反两互相矛盾命题规定
元素间应名称进行翻译立刻成互相矛盾两欧氏定理
欧氏系统相矛盾说果欧氏没矛盾
罗氏没矛盾
通模型终接受非欧
1719世纪公理化方法研究称思辨性时期
时公理化然旧保持定直观成分点线面样形
象已进入理性思辨领域罗氏中点线间关系需通思辨理解外公理直观致甚违背公理化方法带进思辨领域类理性思维力进新历史阶段现希尔伯特公理系统完整写出希尔伯特基础中先取定三基象点直线面五基关系两结合关系叙述点直线结合点面结合日常说点直线点面直线通点面通点序关系叙述点两点间两合关系叙述线段线段合角角合(线段角定义)时逐步提出五组公理二十条结合公理(8条)序公理((4条)合公理((5条)连续公理((2条)行公理((1条)面具体介绍展开点讨
第组结合公理I(称关联公理属公理)
I两点恒直线结合(通)中点
I两点条直线结合中点
I 3直线少两()点
}3少三点直线
I直线三点恒面通中点
I 4 Z面少点
I5直线三点面通中点
i果直线a两点面aa点a
}7果两面公点少公点
1A少四点面
①结合公理保证直线面存中I 3I8保证点存I*I 3 Z保证直线存1 4 iI保证面存133I4} I}2 I}等说明样条件存什称条件存公理
公理12工S I6涉存问题
②结合公理刻画点直线面间结合关系II3属点直线
结合关系称面结合公理I4} Ia称空间结合公理
③结合公理(I7 Ia)保证研究空间三维
直线面结合关系基概念定义
定义1直线点面a称直线a面a互相结合(aa)
结合公理推
定理1两直线公点面直线
公点两面者公点公直线者条公直线
公点直线
定理2线三点恰面直线点恰
面公点两直线恰面
定理3面少三条直线点
结合公理中学面立体中关点直线面间结合关系
理基础中}1工} }41 } }5 } }}反映教材中关两面结合关系传统中学教材采结合公理推—定理1中部分结公
理组中13I2I传统中学教材证中作直观默认事实
第二组序公理B(称介公理)
意两点AB直线AB少点CBAC直线意三点里点余两点间
介绍公理ll4先出定义
定义a直线序两点AB间集合线段记ABBA AB
间点线段AB点线段AB点AB间点集合做
开线段记(AB>AB线段AB(AB)端点直线AB异AB
属(AB)点线段AB(AB)外部点
定义3线点ABC三开线段(AB)
合称三角形记△ABCAB}C称该三角形顶点开线段(AB)
(BC>(CA)称该三角形边
II4(帕施Parch公理)设ABC直线直线面ABC
ABC中点a(AB)点必(AC)点(BC)
点
帕施公理叙述三角形面顶点直线三角形
边相交必边相交
①公理}1 }3直线点序公理称线性
序公理J 4面序公理o }z保证线段外部点L 3断言线三点
点两点间线段部否点线三点中否必存点
两点间问题公理中没直接回答答案肯定证明必须
帕施公理
序公理推
定理a意两点AC直线AC少点BAC间
(证略)
定理5直线三点中必点余两点间(读者
证)
定理6直线a△ABC面顶点a交边必交
边交第三边(证略)
定理7 AI3C线点P三开线段(AB>(BC')(CA)
四非欧公理化影响
非欧创立接受历史程促欧里基础做更全更严格审视数学家起码尖锐问题
(1)欧里没矛盾非欧矛盾性结欧里矛盾性问题变回避
（2）欧里中行公理外公理独立性问题非欧建立实际确定行公理独立性行公理欧氏体系中公理定理推然会引导数学家考察公理否独立样逻辑眼光原中公理体系潜含着逻辑缺陷会暴露出例发现第四公设(直角彼相等)余独立
外数学家进步追问欧里体系否包含足够公理
——— 行11计算机（智） 盛明 11202621
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