2020年普通高等学校招生全国统考试 新高考全国Ⅰ
选择题(题8题题5分40分．题出四选项中项符合题目求)
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1答案 C
解析 A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＝{x|1≤x<4}．
2等( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 D
解析 ＝＝＝－i
3．6名学甲乙丙三场馆做志愿者名学1场馆甲场馆安排1名乙场馆安排2名丙场馆安排3名安排方法( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
答案 C
解析 先6名学中选1名安排甲场馆C种选法剩余5名学中选2名安排乙场馆C种选法剩3名学安排丙场馆C种选法分步法计数原理知C·C·C＝60(种)安排方法．
4日晷中国古代测定时间仪器利晷面垂直晷针投射晷面影子测定时间．球成球(球心记O)球点A纬度指OA球赤道面成角点A处水面指点AOA垂直面．点A处放置日晷晷面赤道面行点A处纬度北纬40°晷针点A处水面成角( )
A．20° B．40° C．50° D．90°
答案 B
解析 图示⊙O赤道面⊙O1A点处日晷面面
点A处纬度北纬40°知∠OAO1＝40°
点A处水面OA垂直晷针AC⊙O1面垂直
晷针AC水面成角40°
5．某中学学生积极参加体育锻炼中96学生喜欢足球游泳60学生喜欢足球82学生喜欢游泳该中学喜欢足球喜欢游泳学生数占该校学生总数例( )
A．62 B．56 C．46 D．42
答案 C
解析 Venn图表示该中学喜欢足球游泳学生占例间关系图
设喜欢足球喜欢游泳学生占该中学学生总数例x
(60－x)＋(82－x)＋x＝96解x＝46
6．基生数R0世代间隔T新冠肺炎流行病学基参数．基生数指感染者传染均数世代间隔指相邻两代间传染需均时间．新冠肺炎疫情初始阶段指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)时间t(单位：天)变化规律指数增长率rR0T似满足R0＝1＋rT学者基已数估计出R0＝328T＝6新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需时间约(ln 2≈069)( )
A．12天 B．18天 C．25天 D．35天
答案 B
解析 R0＝1＋rTR0＝328T＝6
r＝＝＝038
题意累计感染病例数增加1倍
I(t2)＝2I(t1)
e038t2＝2e038t1
e038(t2－t1)＝2
038(t2－t1)＝ln 2
t2－t1＝≈≈18
7．已知P边长2正六边形ABCDEF点· 取值范围( )
A．(－26) B．(－62) C．(－24) D．(－46)
答案 A
解析 图取A坐标原点AB直线x轴建立面直角坐标系
A(00)B(20)C(3)F(－1)．
设P(xy)＝(xy)＝(20)－1·＝(xy)·(20)＝2x∈(－26)．
8．定义R奇函数f(x)(－∞0)单调递减f(2)＝0满足xf(x－1)≥0x取值范围( )
A．[－11]∪[3＋∞) B．[－3－1]∪[01]
C．[－10]∪[1＋∞) D．[－10]∪[13]
答案 D
解析 函数f(x)定义R奇函数
f(0)＝0
f(x)(－∞0)单调递减f(2)＝0
画出函数f(x)致图象图(1)示
函数f(x－1)致图象图(2)示．
x≤0时满足xf(x－1)≥0f(x－1)≤0
－1≤x≤0
x>0时满足xf(x－1)≥0f(x－1)≥0
1≤x≤3
满足xf(x－1)≥0x取值范围[－10]∪[13]．
二选择题(题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分选错0分部分选3分)
9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1( )
A．m>n>0C椭圆焦点y轴
B．m＝n>0C圆半径
C．mn<0C双曲线渐线方程y＝±x
D．m＝0n>0C两条直线
答案 ACD
解析 Am>n>0时>>0方程化＋＝1表示焦点y轴椭圆A正确．
Bm＝n>0时方程化x2＋y2＝表示半径圆B错误．
Cm>0n<0时方程化－＝1表示焦点x轴双曲线中a＝b＝渐线方程y＝±xm<0n>0时方程化－＝1表示焦点y轴双曲线中a＝b＝渐线方程y＝±xC正确．
Dm＝0n>0时方程化y＝±表示两条行x轴直线D正确．
10．图函数y＝sin(ωx＋φ)部分图象sin(ωx＋φ)等( )
A．sin B．sin
C．cos D．cos
答案 BC
解析 图象知＝－＝T＝π
ω＝＝2
图象点
五点法结合图象φ＋＝πφ＝
sin(ωx＋φ)＝sinA错误
sin＝sin＝sin知B正确
sin＝sin＝cos知C正确
sin＝cos＝cos
＝－cos知D错误．
11．已知a>0b>0a＋b＝1( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D＋≤
答案 ABD
解析 a>0b>0a＋b＝1
a＋b≥2
仅a＝b＝时等号成立ab≤
Aa2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝A正确
B2a－b＝22a－1＝×22a
a>022a>12a－b>B正确
Clog2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2C错误
D(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2
＋≤D正确．
12．信息熵信息中重概念．设机变量X取值12…nP(X＝i)＝pi>0(i＝12…n)i＝1定义X信息熵H(X)＝－ilog2pi( )
A．n＝1H(X)＝0
B．n＝2H(X)着pi增增
C．pi＝(i＝12…n)H(X)着n增增
D．n＝2m机变量Y取值12…mP(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝12…m)H(X)≤H(Y)
答案 AC
解析 An＝1时p1＝1H(X)＝－1×log21＝0A正确
Bn＝2时p1＋p2＝1时p1＝H(X)＝－B错误
Cpi＝(i＝12…n)时
H(X)＝－log2＝－n×log2＝log2n
显然H(X)n增增C正确
D方法 n＝2m时
H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2m－1log2p2m－1＋p2mlog2p2m)
＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]
H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]
p1log2p1＋p2mlog2p2m＝log2( ·)＝log2 ＝(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)
理证p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1<(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)
…
pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1<(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)
H(X)>H(Y)．
方法二 (特值法)
令m＝1n＝2p1＝p2＝
P(Y＝1)＝1H(Y)＝－log21＝0
H(X)＝－>0
∴H(X)>H(Y)．
三填空题(题4题题5分20分)
13．斜率直线抛物线C：y2＝4x焦点C交AB两点|AB|＝________
答案
解析 图题意抛物线焦点F(10)
设直线AB方程y＝(x－1)．
3x2－10x＋3＝0
设A(x1y1)B(x2y2)
x1＋x2＝
|AB|＝x1＋x2＋2＝
14．数列{2n－1}{3n－2}公项排列数列{an}{an}前n项________．
答案 3n2－2n
解析 方法 (观察纳法)
数列{2n－1}项135791113…
数列{3n－2}项1471013…
观察纳知两数列公项1713…首项1公差6等差数列
an＝1＋6(n－1)＝6n－5
前n项Sn＝＝
＝3n2－2n
方法二 (引入参变量法)
令bn＝2n－1cm＝3m－2bn＝cm
2n－1＝3m－23m＝2n＋1m必奇数．
令m＝2t－1n＝3t－2(t＝123…)．
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5an＝6n－5
方法．
15某中学开展劳动实学生加工制作零件零件截面图示．O圆孔轮廓圆弧AB圆圆心A圆弧AB直线AG切点B圆弧AB直线BC切点四边形DEFG矩形BC⊥DG垂足Ctan∠ODC＝BH∥DGEF＝12 cmDE＝2 cmA直线DEEF距离均7 cm圆孔半径1 cm图中阴影部分面积________ cm2
答案 4＋
解析 图连接OAA作AP⊥EF
分交EFDGOH点PQR
题意知AP＝EP＝7
DE＝2EF＝12
AQ＝QG＝5
∠AHO＝∠AGQ＝
OA⊥AH∠AOH＝∠AOB＝
设AR＝xOR＝xRQ＝5－x
tan∠ODC＝
tan∠ODC＝＝
解x＝2OA＝2
S＝S扇形AOB＋S△AOH－S半圆
＝××(2)2＋×4×2－π×12
＝cm2
16．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1棱长均2∠BAD＝60°D1球心半径球面侧面BCC1B1交线长________．
答案
解析 图设B1C1中点E
球面棱BB1CC1交点分PQ
连接DBD1B1D1PD1EEPEQ
∠BAD＝60°AB＝AD知△ABD等边三角形
∴D1B1＝DB＝2
∴△D1B1C1等边三角形
D1E＝D1E⊥面BCC1B1
∴E球面截侧面BCC1B1截面圆圆心
设截面圆半径r
r＝＝＝
题意EP＝EQ＝
∴球面侧面BCC1B1交线E圆心圆弧PQ
D1P＝
∴B1P＝＝1
理C1Q＝1
∴PQ分BB1CC1中点
∴∠PEQ＝
知长×＝交线长
四解答题(题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤)
17．①ac＝②csin A＝3③c＝b三条件中选补充面问题中问题中三角形存求c值问题中三角形存说明理．
问题：否存△ABC角ABC边分abcsin A＝sin BC＝________？
注：果选择条件分解答第解答计分．
解 方案：选条件①
C＝余弦定理＝
sin A＝sin B正弦定理a＝b
＝
b＝c
①ac＝解a＝b＝c＝1
选条件①时问题中三角形存时c＝1
方案二：选条件②
C＝余弦定理＝
sin A＝sin B正弦定理a＝b
＝
b＝cB＝C＝A＝
②csin A＝3c＝b＝2a＝6
选条件②时问题中三角形存时c＝2
方案三：选条件③
C＝余弦定理＝
sin A＝sin B正弦定理a＝b
＝
b＝c
③c＝bb＝c矛盾．
选条件③时问题中三角形存．
18．已知公1等数列{an}满足a2＋a4＝20a3＝8
(1)求{an}通项公式
(2)记bm{an}区间(0m](m∈N*)中项数求数列{bm}前100项S100
解 (1)数列{an}公1等数列
设首项a1公q
题意解(舍)
{an}通项公式an＝2nn∈N*
(2)21＝222＝423＝824＝1625＝3226＝6427＝128
b1应区间(01]b1＝0
b2b3应区间分(02](03]
b2＝b3＝121
b4b5b6b7应区间分
(04](05](06](07]
b4＝b5＝b6＝b7＝2
222
b8b9…b15应区间分(08](09]…(015]b8＝b9＝…＝b15＝3
233
b16b17…b31应区间分(016](017]…(031]
b16＝b17＝…＝b31＝4244
b32b33…b63应区间分(032](033]…(063]
b32＝b33＝…＝b63＝5255
b64b65…b100应区间分(064](065]…(0100]
b64＝b65＝…＝b100＝6376
S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480
19．加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查100天空气中PM25SO2浓度(单位：μgm3)表：
SO2
PM25
[050]
(50150]
(150475]
[035]
32
18
4
(3575]
6
8
12
(75115]
3
7
10
(1)估计事件该市天空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率
(2)根数完成面2×2列联表：
SO2
PM25
[0150]
(150475]
[075]
(75115]
(3)根(2)中列联表判断否99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关？
附：K2＝
P(K2≥k)
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
解 (1)表格知该市100天中空气中PM25浓度超75SO2浓度超150天数32＋6＋18＋8＝64
该市天中空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率估计值＝064
(2)数2×2列联表：
SO2
PM25
[0150]
(150475]
[075]
64
16
(75115]
10
10
(3)根2×2列联表中数
K2＝
＝
≈7484>6635
99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关．
20图四棱锥P－ABCD底面正方形PD⊥底面ABCD设面PAD面PBC交线l
(1)证明：l⊥面PDC
(2)已知PD＝AD＝1Ql点求PB面QCD成角正弦值值．
(1)证明 正方形ABCD中AD∥BC
AD⊄面PBCBC⊂面PBC
AD∥面PBC
AD⊂面PAD面PAD∩面PBC＝l
AD∥l
四棱锥P－ABCD中底面ABCD正方形
AD⊥DCl⊥DC
PD⊥面ABCDAD⊥PDl⊥PD
DC∩PD＝D
l⊥面PDC
(2)解 D坐标原点方x轴正方图建立空间直角坐标系D－xyz
PD＝AD＝1D(000)C(010)A(100)P(001)B(110)
设Q(m01)
＝(010)＝(m01)＝(11－1)
设面QCD法量n＝(xyz)
令x＝1z＝－m
面QCD法量n＝(10－m)
cos〈n〉＝＝
根直线方量面法量成角余弦值绝值直线面成角正弦值
直线PB面QCD成角正弦值等
|cos〈n〉|＝
＝·＝·
≤·≤·＝
仅m＝1时取等号
直线PB面QCD成角正弦值值
21．已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a
(1)a＝e时求曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线两坐标轴围成三角形面积
(2)f(x)≥1求a取值范围．
解 f(x)定义域(0＋∞)f′(x)＝aex－1－
(1)a＝e时f(x)＝ex－ln x＋1f′(x)＝ex－
f(1)＝e＋1f′(1)＝e－1
曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线方程y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)
y＝(e－1)x＋2
直线y＝(e－1)x＋2x轴y轴截距分－2
求三角形面积
(2)0a＝1时f(x)＝ex－1－ln xf′(x)＝ex－1－
x∈(01)时f′(x)<0
x∈(1＋∞)时f′(x)>0
x＝1时f(x)取值值f(1)＝1
f(x)≥1
a>1时f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1
综a取值范围[1＋∞)．
22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)离心率点A(21)．
(1)求C方程
(2)点MNCAM⊥ANAD⊥MND垂足．证明：存定点Q|DQ|定值．
(1)解 题设＋＝1＝
解a2＝6b2＝3
C方程＋＝1
(2)证明 设M(x1y1)N(x2y2)．
直线MNx轴垂直
设直线MN方程y＝kx＋m代入＋＝1
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0
x1＋x2＝－x1x2＝①
AM⊥AN·＝0
(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0
整理(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0
①代入式(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0
整理(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0
A(21)直线MN
2k＋m－1≠02k＋3m＋1＝0k≠1
直线MN方程y＝k－(k≠1)．
直线MN点P
直线MNx轴垂直N(x1－y1)．
·＝0
(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0
＋＝13x－8x1＋4＝0
解x1＝2(舍)x1＝
时直线MN点P
令QAP中点Q
DP重合题设知APRt△ADP斜边
|DQ|＝|AP|＝
DP重合|DQ|＝|AP|
综存点Q|DQ|定值．
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选择题(题8题题5分40分．题出四选项中项符合题目求)
1．设集合A＝{x|1≤x≤3}B＝{x|2
解析 A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2
2等( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 D
解析 ＝＝＝－i
3．6名学甲乙丙三场馆做志愿者名学1场馆甲场馆安排1名乙场馆安排2名丙场馆安排3名安排方法( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
答案 C
解析 先6名学中选1名安排甲场馆C种选法剩余5名学中选2名安排乙场馆C种选法剩3名学安排丙场馆C种选法分步法计数原理知C·C·C＝60(种)安排方法．
4日晷中国古代测定时间仪器利晷面垂直晷针投射晷面影子测定时间．球成球(球心记O)球点A纬度指OA球赤道面成角点A处水面指点AOA垂直面．点A处放置日晷晷面赤道面行点A处纬度北纬40°晷针点A处水面成角( )
A．20° B．40° C．50° D．90°
答案 B
解析 图示⊙O赤道面⊙O1A点处日晷面面
点A处纬度北纬40°知∠OAO1＝40°
点A处水面OA垂直晷针AC⊙O1面垂直
晷针AC水面成角40°
5．某中学学生积极参加体育锻炼中96学生喜欢足球游泳60学生喜欢足球82学生喜欢游泳该中学喜欢足球喜欢游泳学生数占该校学生总数例( )
A．62 B．56 C．46 D．42
答案 C
解析 Venn图表示该中学喜欢足球游泳学生占例间关系图
设喜欢足球喜欢游泳学生占该中学学生总数例x
(60－x)＋(82－x)＋x＝96解x＝46
6．基生数R0世代间隔T新冠肺炎流行病学基参数．基生数指感染者传染均数世代间隔指相邻两代间传染需均时间．新冠肺炎疫情初始阶段指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)时间t(单位：天)变化规律指数增长率rR0T似满足R0＝1＋rT学者基已数估计出R0＝328T＝6新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需时间约(ln 2≈069)( )
A．12天 B．18天 C．25天 D．35天
答案 B
解析 R0＝1＋rTR0＝328T＝6
r＝＝＝038
题意累计感染病例数增加1倍
I(t2)＝2I(t1)
e038t2＝2e038t1
e038(t2－t1)＝2
038(t2－t1)＝ln 2
t2－t1＝≈≈18
7．已知P边长2正六边形ABCDEF点· 取值范围( )
A．(－26) B．(－62) C．(－24) D．(－46)
答案 A
解析 图取A坐标原点AB直线x轴建立面直角坐标系
A(00)B(20)C(3)F(－1)．
设P(xy)＝(xy)＝(20)－1
8．定义R奇函数f(x)(－∞0)单调递减f(2)＝0满足xf(x－1)≥0x取值范围( )
A．[－11]∪[3＋∞) B．[－3－1]∪[01]
C．[－10]∪[1＋∞) D．[－10]∪[13]
答案 D
解析 函数f(x)定义R奇函数
f(0)＝0
f(x)(－∞0)单调递减f(2)＝0
画出函数f(x)致图象图(1)示
函数f(x－1)致图象图(2)示．
x≤0时满足xf(x－1)≥0f(x－1)≤0
－1≤x≤0
x>0时满足xf(x－1)≥0f(x－1)≥0
1≤x≤3
满足xf(x－1)≥0x取值范围[－10]∪[13]．
二选择题(题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分选错0分部分选3分)
9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1( )
A．m>n>0C椭圆焦点y轴
B．m＝n>0C圆半径
C．mn<0C双曲线渐线方程y＝±x
D．m＝0n>0C两条直线
答案 ACD
解析 Am>n>0时>>0方程化＋＝1表示焦点y轴椭圆A正确．
Bm＝n>0时方程化x2＋y2＝表示半径圆B错误．
Cm>0n<0时方程化－＝1表示焦点x轴双曲线中a＝b＝渐线方程y＝±xm<0n>0时方程化－＝1表示焦点y轴双曲线中a＝b＝渐线方程y＝±xC正确．
Dm＝0n>0时方程化y＝±表示两条行x轴直线D正确．
10．图函数y＝sin(ωx＋φ)部分图象sin(ωx＋φ)等( )
A．sin B．sin
C．cos D．cos
答案 BC
解析 图象知＝－＝T＝π
ω＝＝2
图象点
五点法结合图象φ＋＝πφ＝
sin(ωx＋φ)＝sinA错误
sin＝sin＝sin知B正确
sin＝sin＝cos知C正确
sin＝cos＝cos
＝－cos知D错误．
11．已知a>0b>0a＋b＝1( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D＋≤
答案 ABD
解析 a>0b>0a＋b＝1
a＋b≥2
仅a＝b＝时等号成立ab≤
Aa2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝A正确
B2a－b＝22a－1＝×22a
a>022a>12a－b>B正确
Clog2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2C错误
D(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2
＋≤D正确．
12．信息熵信息中重概念．设机变量X取值12…nP(X＝i)＝pi>0(i＝12…n)i＝1定义X信息熵H(X)＝－ilog2pi( )
A．n＝1H(X)＝0
B．n＝2H(X)着pi增增
C．pi＝(i＝12…n)H(X)着n增增
D．n＝2m机变量Y取值12…mP(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝12…m)H(X)≤H(Y)
答案 AC
解析 An＝1时p1＝1H(X)＝－1×log21＝0A正确
Bn＝2时p1＋p2＝1时p1＝H(X)＝－B错误
Cpi＝(i＝12…n)时
H(X)＝－log2＝－n×log2＝log2n
显然H(X)n增增C正确
D方法 n＝2m时
H(X)＝－(p1log2p1＋p2log2p2＋…＋p2m－1log2p2m－1＋p2mlog2p2m)
＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]
H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]
p1log2p1＋p2mlog2p2m＝log2( ·)
理证p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1<(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)
…
pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1<(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)
H(X)>H(Y)．
方法二 (特值法)
令m＝1n＝2p1＝p2＝
P(Y＝1)＝1H(Y)＝－log21＝0
H(X)＝－>0
∴H(X)>H(Y)．
三填空题(题4题题5分20分)
13．斜率直线抛物线C：y2＝4x焦点C交AB两点|AB|＝________
答案
解析 图题意抛物线焦点F(10)
设直线AB方程y＝(x－1)．
3x2－10x＋3＝0
设A(x1y1)B(x2y2)
x1＋x2＝
|AB|＝x1＋x2＋2＝
14．数列{2n－1}{3n－2}公项排列数列{an}{an}前n项________．
答案 3n2－2n
解析 方法 (观察纳法)
数列{2n－1}项135791113…
数列{3n－2}项1471013…
观察纳知两数列公项1713…首项1公差6等差数列
an＝1＋6(n－1)＝6n－5
前n项Sn＝＝
＝3n2－2n
方法二 (引入参变量法)
令bn＝2n－1cm＝3m－2bn＝cm
2n－1＝3m－23m＝2n＋1m必奇数．
令m＝2t－1n＝3t－2(t＝123…)．
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5an＝6n－5
方法．
15某中学开展劳动实学生加工制作零件零件截面图示．O圆孔轮廓圆弧AB圆圆心A圆弧AB直线AG切点B圆弧AB直线BC切点四边形DEFG矩形BC⊥DG垂足Ctan∠ODC＝BH∥DGEF＝12 cmDE＝2 cmA直线DEEF距离均7 cm圆孔半径1 cm图中阴影部分面积________ cm2
答案 4＋
解析 图连接OAA作AP⊥EF
分交EFDGOH点PQR
题意知AP＝EP＝7
DE＝2EF＝12
AQ＝QG＝5
∠AHO＝∠AGQ＝
OA⊥AH∠AOH＝∠AOB＝
设AR＝xOR＝xRQ＝5－x
tan∠ODC＝
tan∠ODC＝＝
解x＝2OA＝2
S＝S扇形AOB＋S△AOH－S半圆
＝××(2)2＋×4×2－π×12
＝cm2
16．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1棱长均2∠BAD＝60°D1球心半径球面侧面BCC1B1交线长________．
答案
解析 图设B1C1中点E
球面棱BB1CC1交点分PQ
连接DBD1B1D1PD1EEPEQ
∠BAD＝60°AB＝AD知△ABD等边三角形
∴D1B1＝DB＝2
∴△D1B1C1等边三角形
D1E＝D1E⊥面BCC1B1
∴E球面截侧面BCC1B1截面圆圆心
设截面圆半径r
r＝＝＝
题意EP＝EQ＝
∴球面侧面BCC1B1交线E圆心圆弧PQ
D1P＝
∴B1P＝＝1
理C1Q＝1
∴PQ分BB1CC1中点
∴∠PEQ＝
知长×＝交线长
四解答题(题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤)
17．①ac＝②csin A＝3③c＝b三条件中选补充面问题中问题中三角形存求c值问题中三角形存说明理．
问题：否存△ABC角ABC边分abcsin A＝sin BC＝________？
注：果选择条件分解答第解答计分．
解 方案：选条件①
C＝余弦定理＝
sin A＝sin B正弦定理a＝b
＝
b＝c
①ac＝解a＝b＝c＝1
选条件①时问题中三角形存时c＝1
方案二：选条件②
C＝余弦定理＝
sin A＝sin B正弦定理a＝b
＝
b＝cB＝C＝A＝
②csin A＝3c＝b＝2a＝6
选条件②时问题中三角形存时c＝2
方案三：选条件③
C＝余弦定理＝
sin A＝sin B正弦定理a＝b
＝
b＝c
③c＝bb＝c矛盾．
选条件③时问题中三角形存．
18．已知公1等数列{an}满足a2＋a4＝20a3＝8
(1)求{an}通项公式
(2)记bm{an}区间(0m](m∈N*)中项数求数列{bm}前100项S100
解 (1)数列{an}公1等数列
设首项a1公q
题意解(舍)
{an}通项公式an＝2nn∈N*
(2)21＝222＝423＝824＝1625＝3226＝6427＝128
b1应区间(01]b1＝0
b2b3应区间分(02](03]
b2＝b3＝121
b4b5b6b7应区间分
(04](05](06](07]
b4＝b5＝b6＝b7＝2
222
b8b9…b15应区间分(08](09]…(015]b8＝b9＝…＝b15＝3
233
b16b17…b31应区间分(016](017]…(031]
b16＝b17＝…＝b31＝4244
b32b33…b63应区间分(032](033]…(063]
b32＝b33＝…＝b63＝5255
b64b65…b100应区间分(064](065]…(0100]
b64＝b65＝…＝b100＝6376
S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480
19．加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查100天空气中PM25SO2浓度(单位：μgm3)表：
SO2
PM25
[050]
(50150]
(150475]
[035]
32
18
4
(3575]
6
8
12
(75115]
3
7
10
(1)估计事件该市天空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率
(2)根数完成面2×2列联表：
SO2
PM25
[0150]
(150475]
[075]
(75115]
(3)根(2)中列联表判断否99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关？
附：K2＝
P(K2≥k)
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
解 (1)表格知该市100天中空气中PM25浓度超75SO2浓度超150天数32＋6＋18＋8＝64
该市天中空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率估计值＝064
(2)数2×2列联表：
SO2
PM25
[0150]
(150475]
[075]
64
16
(75115]
10
10
(3)根2×2列联表中数
K2＝
＝
≈7484>6635
99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关．
20图四棱锥P－ABCD底面正方形PD⊥底面ABCD设面PAD面PBC交线l
(1)证明：l⊥面PDC
(2)已知PD＝AD＝1Ql点求PB面QCD成角正弦值值．
(1)证明 正方形ABCD中AD∥BC
AD⊄面PBCBC⊂面PBC
AD∥面PBC
AD⊂面PAD面PAD∩面PBC＝l
AD∥l
四棱锥P－ABCD中底面ABCD正方形
AD⊥DCl⊥DC
PD⊥面ABCDAD⊥PDl⊥PD
DC∩PD＝D
l⊥面PDC
(2)解 D坐标原点方x轴正方图建立空间直角坐标系D－xyz
PD＝AD＝1D(000)C(010)A(100)P(001)B(110)
设Q(m01)
＝(010)＝(m01)＝(11－1)
设面QCD法量n＝(xyz)
令x＝1z＝－m
面QCD法量n＝(10－m)
cos〈n〉＝＝
根直线方量面法量成角余弦值绝值直线面成角正弦值
直线PB面QCD成角正弦值等
|cos〈n〉|＝
＝·＝·
≤·≤·＝
仅m＝1时取等号
直线PB面QCD成角正弦值值
21．已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a
(1)a＝e时求曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线两坐标轴围成三角形面积
(2)f(x)≥1求a取值范围．
解 f(x)定义域(0＋∞)f′(x)＝aex－1－
(1)a＝e时f(x)＝ex－ln x＋1f′(x)＝ex－
f(1)＝e＋1f′(1)＝e－1
曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线方程y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)
y＝(e－1)x＋2
直线y＝(e－1)x＋2x轴y轴截距分－2
求三角形面积
(2)0
x∈(01)时f′(x)<0
x∈(1＋∞)时f′(x)>0
x＝1时f(x)取值值f(1)＝1
f(x)≥1
a>1时f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1
综a取值范围[1＋∞)．
22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)离心率点A(21)．
(1)求C方程
(2)点MNCAM⊥ANAD⊥MND垂足．证明：存定点Q|DQ|定值．
(1)解 题设＋＝1＝
解a2＝6b2＝3
C方程＋＝1
(2)证明 设M(x1y1)N(x2y2)．
直线MNx轴垂直
设直线MN方程y＝kx＋m代入＋＝1
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0
x1＋x2＝－x1x2＝①
AM⊥AN·＝0
(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0
整理(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0
①代入式(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0
整理(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0
A(21)直线MN
2k＋m－1≠02k＋3m＋1＝0k≠1
直线MN方程y＝k－(k≠1)．
直线MN点P
直线MNx轴垂直N(x1－y1)．
·＝0
(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0
＋＝13x－8x1＋4＝0
解x1＝2(舍)x1＝
时直线MN点P
令QAP中点Q
DP重合题设知APRt△ADP斜边
|DQ|＝|AP|＝
DP重合|DQ|＝|AP|
综存点Q|DQ|定值．
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