绝密★启前
2021年普通高等学校招生全国统考试
数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：1答卷前考生务必姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（A）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑：需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1设集合（ ）
A B C D
2已知（ ）
A B C D
3已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A2 B C4 D
4列区间中函数单调递增区间（ ）
A B C D
5已知椭圆：两焦点点值（ ）
A13 B12 C9 D6
6（ ）
A B C D
7点作曲线两条切线（ ）
A B C D
86相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ）
A甲丙相互独立 B甲丁相互独立
C乙丙相互独立 D丙丁相互独立
二选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合题目求全部选5分部分选2分选错0分
9组样数…组数新样数…中（）c非零常数（ ）
A两组样数样均数相
B两组样数样中位数相
C两组样数样标准差相
D两组样数样极差相
10已知坐标原点点（ ）
A B
C D
11已知点圆点（ ）
A点直线距离10
B点直线距离2
C时
D时
12正三棱柱中点满足中（ ）
A时周长定值
B时三棱锥体积定值
C时仅点
D时仅点面
三填空题：题4题题5分20分
13已知函数偶函数______
14已知坐标原点抛物线：（）焦点点轴垂直轴点准线方程______
15函数值______
16某校学生研究民间剪纸艺术时发现剪纸时常会纸某条称轴纸折规格长方形纸折1次两种规格图形面积折2次三种规格图形面积类推折4次规格图形种数______果折次______
四解答题：题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（10分）
已知数列满足
（1）记写出求数列通项公式
（2）求前20项
18（12分）
某学校组织带路知识竞赛AB两类问题位参加赛学先两类问题中选择类中机抽取问题回答回答错误该学赛结束回答正确类问题中机抽取问题回答回答正确否该学赛结束A类问题中问题回答正确20分否0分B类问题中问题回答正确80分否0分
知明正确回答A类问题概率08正确回答B类问题概率06正确回答问题概率回答次序关
（1）明先回答A类问题记明累计分求分布列
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
19（12分）
记角边分已知点边
（1）证明：
（2）求
20（12分）
图三棱锥中面面中点
（1）证明：
（2）边长1等边三角形点棱二面角求三棱锥体积
21（12分）
面直角坐标系中已知点点满足记轨迹
（1）求方程
（2）设点直线两条直线分交两点两点求直线斜率直线斜率
22（12分）
已知函数
（1）讨单调性
（2）设两相等正数证明：
2021年普通高等学校招生全国统考试
数学参考答案
､选择题：
1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B
二､选择题：
9 CD 10 AC 11 ACD 12 BD
三､填空题：
131 14 15 1 16 ① 5 ②
四､解答题：
17 （1）（2）
18 （1）题知取值．
．
分布列
（2）（1）知．
明先回答问题记明累计分取值．
．
．
明应选择先回答类问题．
19
（1）题设正弦定理知：
∴
∴证
（2）题意知：
∴理
∵
∴整理
∴整理解
余弦定理知：
时合题意时
综
20 （1）ABADOBD中点AO⊥BD
面ABD面BCD面ABD⊥面BCD面ABD
AO⊥面BCD
面BCDAO⊥CD
(2)作EF⊥BDF 作FM⊥BCM连EM
AO⊥面BCDAO⊥BD AO⊥CD
EF⊥BD EF⊥CD EF⊥面BCDEF⊥BC
FM⊥BCBC⊥面EFMBC⊥ME
二面角EBCD面角
正三角形直角三角形
EFFM
面BCD
21 （1）（2）
22 （1）函数定义域
时时
递增区间递减区间
（2）
设（1）知妨设
时时
先证：
必成立
证：证
证证：中
设
增函数
成立成立
综成立
设
结合：
：
证：证证
证：证：
令
先证明等式：
设
时时
增函数减函数
成立
述等式时恒成立
减函数
成立成立
综述
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2021年普通高等学校招生全国统考试
数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：1答卷前考生务必姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（A）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑：需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答效
4考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1设集合（ ）
A B C D
2已知（ ）
A B C D
3已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A2 B C4 D
4列区间中函数单调递增区间（ ）
A B C D
5已知椭圆：两焦点点值（ ）
A13 B12 C9 D6
6（ ）
A B C D
7点作曲线两条切线（ ）
A B C D
86相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ）
A甲丙相互独立 B甲丁相互独立
C乙丙相互独立 D丙丁相互独立
二选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合题目求全部选5分部分选2分选错0分
9组样数…组数新样数…中（）c非零常数（ ）
A两组样数样均数相
B两组样数样中位数相
C两组样数样标准差相
D两组样数样极差相
10已知坐标原点点（ ）
A B
C D
11已知点圆点（ ）
A点直线距离10
B点直线距离2
C时
D时
12正三棱柱中点满足中（ ）
A时周长定值
B时三棱锥体积定值
C时仅点
D时仅点面
三填空题：题4题题5分20分
13已知函数偶函数______
14已知坐标原点抛物线：（）焦点点轴垂直轴点准线方程______
15函数值______
16某校学生研究民间剪纸艺术时发现剪纸时常会纸某条称轴纸折规格长方形纸折1次两种规格图形面积折2次三种规格图形面积类推折4次规格图形种数______果折次______
四解答题：题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（10分）
已知数列满足
（1）记写出求数列通项公式
（2）求前20项
18（12分）
某学校组织带路知识竞赛AB两类问题位参加赛学先两类问题中选择类中机抽取问题回答回答错误该学赛结束回答正确类问题中机抽取问题回答回答正确否该学赛结束A类问题中问题回答正确20分否0分B类问题中问题回答正确80分否0分
知明正确回答A类问题概率08正确回答B类问题概率06正确回答问题概率回答次序关
（1）明先回答A类问题记明累计分求分布列
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
19（12分）
记角边分已知点边
（1）证明：
（2）求
20（12分）
图三棱锥中面面中点
（1）证明：
（2）边长1等边三角形点棱二面角求三棱锥体积
21（12分）
面直角坐标系中已知点点满足记轨迹
（1）求方程
（2）设点直线两条直线分交两点两点求直线斜率直线斜率
22（12分）
已知函数
（1）讨单调性
（2）设两相等正数证明：
2021年普通高等学校招生全国统考试
数学参考答案
､选择题：
1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B
二､选择题：
9 CD 10 AC 11 ACD 12 BD
三､填空题：
131 14 15 1 16 ① 5 ②
四､解答题：
17 （1）（2）
18 （1）题知取值．
．
分布列
（2）（1）知．
明先回答问题记明累计分取值．
．
．
明应选择先回答类问题．
19
（1）题设正弦定理知：
∴
∴证
（2）题意知：
∴理
∵
∴整理
∴整理解
余弦定理知：
时合题意时
综
20 （1）ABADOBD中点AO⊥BD
面ABD面BCD面ABD⊥面BCD面ABD
AO⊥面BCD
面BCDAO⊥CD
(2)作EF⊥BDF 作FM⊥BCM连EM
AO⊥面BCDAO⊥BD AO⊥CD
EF⊥BD EF⊥CD EF⊥面BCDEF⊥BC
FM⊥BCBC⊥面EFMBC⊥ME
二面角EBCD面角
正三角形直角三角形
EFFM
面BCD
21 （1）（2）
22 （1）函数定义域
时时
递增区间递减区间
（2）
设（1）知妨设
时时
先证：
必成立
证：证
证证：中
设
增函数
成立成立
综成立
设
结合：
：
证：证证
证：证：
令
先证明等式：
设
时时
增函数减函数
成立
述等式时恒成立
减函数
成立成立
综述
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