南通市2015届高三第三次调研测试
数学学科参考答案评分建议
填空题：题14题题5分计70分．请答案填写答题卡相应位置．
1． 设集合A{3m}B{3m3}AB实数m值 ▲ ．
答案0
2． 已知复数z(i虚数单位)z实部 ▲ ．
答案3
3． 已知实数xy满足条件z2x+y值 ▲ ．
答案3
（第5题）
开始
输入x
y←5
x<4
y←x22x+2
输出y
结束
Y
N
（第4题）
时间（时）
频率
组距
0004
0008
0012
0016
0
50
75
100
125
150
4． 解学生课外阅读情况机统计n名学生课外阅读时间数[50150]中频率分布直方图图示．已知中频数100n值 ▲ ．
答案1000
5． 图示算法流程图中输出y值26输入x值 ▲ ．
答案4
6． 集合{123456789}中取数记xlog2x整数概率 ▲ ．
答案
7． 面直角坐标系xOy中点F抛物线x28y焦点F双曲线渐线距离 ▲ ．
答案
8． 等差数列{an}中an+an+24n+6（n∈N*）该数列通项公式an ▲ ．
答案2n+1
9． 出列三命题：
①a＞b3a＞3b充分必条件
②α＞βcosα＜cosβ必充分条件
③a0函数f(x) x3+ax2（x∈R）奇函数充条件．
中正确命题序号 ▲ ．
答案③
10．已知空间体棱长均1 cm表面展开图图示该空间体体积
（第10题）
A
B
C
D
E
F
（第11题）
P
V ▲ cm3．
答案
11． 图已知正方形ABCD边长2点EAB中点．A圆心AE半径作弧交AD点F．P劣弧动点值 ▲ ．
答案
12． 已知函数函数f(x)图象x轴两交点实数m取值范围 ▲ ．
答案（50）
13．面直角坐标系xOy中点P（5a）作圆x2+y22ax+2y10两条切线切点分M(x1y1)N(x2y2)实数a值 ▲ ．
答案32
14．已知正实数xy满足xy取值范围 ▲ ．
答案[1]
二解答题：题6题计90分．请答题卡指定区域作答．解答时应写出文字说明
证明程演算步骤．
A
B
C
D
A1
B1
C1
（第15题）
E
15．（题满分14分）
图三棱柱ABCA1B1C1中B1C⊥AB侧面BCC1B1菱形．
（1）求证：面ABC1⊥面BCC1B1
（2）果点DE分A1C1BB1中点
求证：DE∥面ABC1．
解：（1）三棱柱ABCA1B1C1侧面BCC1B1菱形
B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分
A
B
C
D
A1
B1
C1
（第15题答图）
E
F
B1C⊥ABABBC1面ABC1两条相交直线
B1C⊥面ABC1． 5分
B1C面BCC1B1
面ABC1⊥面BCC1B1． 7分
（2）图取AA1中点F连DFFE．
DA1C1中点DF∥AC1EF∥AB．
DF面ABC1AC1面ABC1
DF∥面ABC1． ………………… 10分
理EF∥面ABC1．
DFEF面DEF两条相交直线
面DEF∥面ABC1．……………………………………………………………… 12分
DE面DEF
DE∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分
x
y
O
2
2
（第16题）
16．（题满分14分）
已知函数（中A常数
A＞0＞0）部分图象图示．
（1）求函数f(x)解析式
（2）求值．
解：（1）图知A2…………………………………………………………… 2分
Tf(x) ．…………………………………… 4分
．
f(x) ．………………………………………………………… 7分
（2）．………………………………………… 9分
………………………… 12分
．…………………………………… 14分
17．（题满分14分）
图面直角坐标系xOy中椭圆(a＞b＞0)两焦点分F1(0)F2(0)点()．
（1）求椭圆方程离心率
（2）设点BCD椭圆椭圆顶点三点点B点D关原点O称．设直线CDCBOBOC斜率分k1k2k3k4k1k2k3k4．
y
x
O
F1
F2
B
C
（第17题）
D
①求k1k2值
②求OB2+OC2值．
解：（1）方法
题意ca2b2+3……………………………………………………… 2分
解b21(b2合舍)a24．
求椭圆方程：．
离心率e．…………………………………………………………………… 5分
方法二
椭圆定义知2a4
a2．…………………………………………………………………………… 2分
cb21．略．
（2）①设B(x1y1)C(x2y2)D(x1y1)
k1k2．………………… 8分
②方法
①知k3k4k1k2x1x2．
(x1x2)2(4y1y2)2(x1x2)2
4．…………………………………………………………………… 11分
2．
OB2+OC2 5．………………………………………… 14分
方法二
①知k3k4k1k2．
直线yk3x方程代入椭圆中．…………………… 9分
理．
4．…………………… 11分
方法．
18．（题满分16分）
丰富市民文化生活市政府计划块半径200 m圆心角120°扇形建造市民广场．规划设计图：接梯形ABCD区域运动休闲区中AB分半径OPOQCD圆弧CD∥AB△OAB区域文化展示区AB长m余空绿化区域CD长超200 m．
A
B
C
D
P
Q
（第18题）
O
（1）试确定AB位置△OAB周长？
（2）△OAB周长时设∠DOC试运动休闲
区ABCD面积S表示函数求出S值．
解：（1）设
△中
…………………………………………………… 2分
………… 4分
仅mn50时取值时△周长取值．
A
B
C
D
P
Q
（第18题答图）
O
E
F
答：50 m时△周长． 6分
（2）△AOB周长时梯形ACBD等腰梯形．
作OF⊥CD交CDF交ABE
分ABCD中点
． 8分
△中．
△中． 10分
．………… 12分
（直没交代范围扣2分）
令
yy均单调递减函数
单调递减函数．
＞0＞0恒成立
单调递增函数． ……… 14分
时值时S值．
答：时梯形面积值值 m2．… 16分
19．（题满分16分）
已知数列{an}{bn}中a11n∈N*数列{bn}前n项Sn．
（1）求Sn
（2）否存等数列{an}意n∈N*恒成立？存求出满足条件数列{an}通项公式存说明理
（3）a1≤a2≤…≤an≤…求证：0≤Sn＜2．
解：（1）an时bn．……………………………………… 2分
Sn．……………………………………… 4分
（2）满足条件数列{an}存两通项公式an1an．
证明：中令n1b3b1．
设anbn．………………………………………………… 6分
b3b1．
qbn0满足题设条件．时an1an．………………… 8分
qq2 1矛盾．
综满足条件数列{an}存两an1an． 10分
（3）1a1≤a2≤…≤an≤…0＜≤10＜≤1．
≥0n123…．
Snb1+b2+…+bn≥0．………………………………………………………… 13分
≤．
Snb1+b2+…+bn≤
＜2．
0≤Sn＜2．………………………………………………………………… 16分
20．（题满分16分）
已知函数（a∈R）．
（1）a2求函数(1e2)零点数（e然数底数）
（2）恰零点求a取值集合
（3）两零点x1x2(x1＜x2)求证：2＜x1+x2＜1．
解：（1）题设(1e2)单调递减．…………………… 2分
(1e2)零点．
＜0函数(1e2)零点．…………… 4分
（2）令0x1．
x＞1时＜0单调递减
0＜x＜1时＞0(01)单调递增
f(1)a1．……………………………………………………… 6分
①0a1时值点唯符合题设…………… 8分
②＜0a＜1时f(x)＜0恒成立合题设
③＞0a＞1时方面＞1＜0
方面＜1≤2aea＜0(易证：ex≥ex)
f(x)两零点合题设．
综a取值集合{1}．………………………………………………………… 10分
（3）证：先证x1+x2＞2．
题设a．
记tt＞1．
x1+x2x1(t+1)x1+x22．
记函数g(x)x＞1．
＞0g(x)单调递增．
t＞1时g(t)＞g(1)0．
lnt＞0x1+x2＞2．…………………………………………………………… 13分
证x1+x2＜1．
f(x)0h(x)ax1xlnx0x1x2h(x)两零点．
a1lnx0x(记p)．
仿（1）知ph(x)唯值点
作函数h(x)≥0h(x)单调递增．
x＞p时h(x)＞h(p)00＜x＜p时h(x)＜0．
ax11x1lnx1＜．
整理＞0
＞0．
理＜0．
＜
．
综2＜x1+x2＜1．……………………………………………………… 16分
21．选做题题包括ABCD四题请选定中两题相应答题区域作答．
做作答前两题评分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
A．[选修41：证明选讲]（题满分10分）
C
A
B
O
P
（第21（A）题）
H
图BC圆O直径A圆O点点A作圆O切线交BC延长线点PAH
⊥PBH．
求证：PA·AHPC·HB．
证：连ACAB．
BC圆O直径AC⊥AB．
AH⊥PBAH2CH·HB．……………………………… 5分
C
A
B
O
P
（第21（A）题答图）
H
PA圆O切线∠PAC∠B．
Rt△ABC中∠B+∠ACB90°．
Rt△ACH中∠CAH+∠ACB90°．
∠HAC∠B．
∠PAC∠CAH
．
PA·AHPC·HB．………………………………………… 10分
B．[选修42：矩阵变换]（题满分10分）
面直角坐标系xOy中已知点A（00）B（20）C（12）矩阵点ABC矩阵M应变换作点分求△面积．
解：
．…………………………………………………… 6分
．……………………………………………………………… 10分
C．[选修44：坐标系参数方程]（题满分10分）
面直角坐标系xOy中曲线C参数方程（参数r常数r＞0）．原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系直线l极坐标方程
．直线l曲线C交AB两点求r值．
解：
直线l方程．…………………………………………………… 3分
曲线普通方程圆心坐标……… 6分
圆心直线距离．……………… 10分
D．[选修45：等式选讲]（题满分10分）
已知实数abcd满足a＞b＞c＞d求证：．
证：a＞b＞c＞dab＞0bc＞0cd＞0．
…………… 6分
．………………………………………………… 10分
必做题第2223题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写出
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第22题）
文字说明证明程演算步骤．
22．（题满分10分）
图正四棱柱ABCDA1B1C1D1中．
（1）求面成角正弦值
（2）点侧棱二面角EBDC1余弦值
求值．
解：（1）原点DADCDD1分轴轴轴
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第22题答图）
x
y
z
建立图示空间直角坐标系Dxyz．
设D（000）A（100）
B（110）C（010）D1（002）
A1（102）B1（112）C1（012）． 2分
（1）设面成角
设面法量n（xyz）
．
令
面成角正弦值．………………………… 6分
（2）设E(10)0≤≤2．
设面法量n1（x1y1z1）面法量n2（x2y2z2）
令
令z21x22y22
．．…………………………… 10分
23．（题满分10分）
袋中8球中3白球5黑球球颜色外完全相．袋中机取出球果取出白球放回袋中果取出黑球该黑球放回补白球放入袋中．重复述程n次袋中白球数记Xn．
（1）求机变量X2概率分布数学期E(X2)
（2）求机变量Xn数学期E(Xn)关n表达式．
解：（1）题意知X2345．
X23时二次摸球均摸白球概率P(X23)
X24时二次摸球恰摸白黑球概率P(X24)
X25时二次摸球均摸黑球概率P(X25)．…… 3分
机变量X2概率分布表：
X2
3
4
5
P
（概率分 列表扣分）
数学期E(X2)．……………………………… 5分
（2）设P(Xn3+k)pkk012345．
p0+p1+p2+p3+p4+p51E(Xn)3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．
P(Xn+13)P(Xn+14)p0+p1P(Xn+15)p1+p2P(Xn+16)p2+p3
P(Xn+17)p3+p4P(Xn+18)p4+p5……………………… 7分
E(Xn+1)
3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)
p0+p1+p2+p3+p4+p5
(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5
E(Xn)+1． …………………9分
知E(Xn+1)8(E(Xn)8)．
E(X1)8E(Xn)．…………………………… 10分
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数学学科参考答案评分建议
填空题：题14题题5分计70分．请答案填写答题卡相应位置．
1． 设集合A{3m}B{3m3}AB实数m值 ▲ ．
答案0
2． 已知复数z(i虚数单位)z实部 ▲ ．
答案3
3． 已知实数xy满足条件z2x+y值 ▲ ．
答案3
（第5题）
开始
输入x
y←5
x<4
y←x22x+2
输出y
结束
Y
N
（第4题）
时间（时）
频率
组距
0004
0008
0012
0016
0
50
75
100
125
150
4． 解学生课外阅读情况机统计n名学生课外阅读时间数[50150]中频率分布直方图图示．已知中频数100n值 ▲ ．
答案1000
5． 图示算法流程图中输出y值26输入x值 ▲ ．
答案4
6． 集合{123456789}中取数记xlog2x整数概率 ▲ ．
答案
7． 面直角坐标系xOy中点F抛物线x28y焦点F双曲线渐线距离 ▲ ．
答案
8． 等差数列{an}中an+an+24n+6（n∈N*）该数列通项公式an ▲ ．
答案2n+1
9． 出列三命题：
①a＞b3a＞3b充分必条件
②α＞βcosα＜cosβ必充分条件
③a0函数f(x) x3+ax2（x∈R）奇函数充条件．
中正确命题序号 ▲ ．
答案③
10．已知空间体棱长均1 cm表面展开图图示该空间体体积
（第10题）
A
B
C
D
E
F
（第11题）
P
V ▲ cm3．
答案
11． 图已知正方形ABCD边长2点EAB中点．A圆心AE半径作弧交AD点F．P劣弧动点值 ▲ ．
答案
12． 已知函数函数f(x)图象x轴两交点实数m取值范围 ▲ ．
答案（50）
13．面直角坐标系xOy中点P（5a）作圆x2+y22ax+2y10两条切线切点分M(x1y1)N(x2y2)实数a值 ▲ ．
答案32
14．已知正实数xy满足xy取值范围 ▲ ．
答案[1]
二解答题：题6题计90分．请答题卡指定区域作答．解答时应写出文字说明
证明程演算步骤．
A
B
C
D
A1
B1
C1
（第15题）
E
15．（题满分14分）
图三棱柱ABCA1B1C1中B1C⊥AB侧面BCC1B1菱形．
（1）求证：面ABC1⊥面BCC1B1
（2）果点DE分A1C1BB1中点
求证：DE∥面ABC1．
解：（1）三棱柱ABCA1B1C1侧面BCC1B1菱形
B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分
A
B
C
D
A1
B1
C1
（第15题答图）
E
F
B1C⊥ABABBC1面ABC1两条相交直线
B1C⊥面ABC1． 5分
B1C面BCC1B1
面ABC1⊥面BCC1B1． 7分
（2）图取AA1中点F连DFFE．
DA1C1中点DF∥AC1EF∥AB．
DF面ABC1AC1面ABC1
DF∥面ABC1． ………………… 10分
理EF∥面ABC1．
DFEF面DEF两条相交直线
面DEF∥面ABC1．……………………………………………………………… 12分
DE面DEF
DE∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分
x
y
O
2
2
（第16题）
16．（题满分14分）
已知函数（中A常数
A＞0＞0）部分图象图示．
（1）求函数f(x)解析式
（2）求值．
解：（1）图知A2…………………………………………………………… 2分
Tf(x) ．…………………………………… 4分
．
f(x) ．………………………………………………………… 7分
（2）．………………………………………… 9分
………………………… 12分
．…………………………………… 14分
17．（题满分14分）
图面直角坐标系xOy中椭圆(a＞b＞0)两焦点分F1(0)F2(0)点()．
（1）求椭圆方程离心率
（2）设点BCD椭圆椭圆顶点三点点B点D关原点O称．设直线CDCBOBOC斜率分k1k2k3k4k1k2k3k4．
y
x
O
F1
F2
B
C
（第17题）
D
①求k1k2值
②求OB2+OC2值．
解：（1）方法
题意ca2b2+3……………………………………………………… 2分
解b21(b2合舍)a24．
求椭圆方程：．
离心率e．…………………………………………………………………… 5分
方法二
椭圆定义知2a4
a2．…………………………………………………………………………… 2分
cb21．略．
（2）①设B(x1y1)C(x2y2)D(x1y1)
k1k2．………………… 8分
②方法
①知k3k4k1k2x1x2．
(x1x2)2(4y1y2)2(x1x2)2
4．…………………………………………………………………… 11分
2．
OB2+OC2 5．………………………………………… 14分
方法二
①知k3k4k1k2．
直线yk3x方程代入椭圆中．…………………… 9分
理．
4．…………………… 11分
方法．
18．（题满分16分）
丰富市民文化生活市政府计划块半径200 m圆心角120°扇形建造市民广场．规划设计图：接梯形ABCD区域运动休闲区中AB分半径OPOQCD圆弧CD∥AB△OAB区域文化展示区AB长m余空绿化区域CD长超200 m．
A
B
C
D
P
Q
（第18题）
O
（1）试确定AB位置△OAB周长？
（2）△OAB周长时设∠DOC试运动休闲
区ABCD面积S表示函数求出S值．
解：（1）设
△中
…………………………………………………… 2分
………… 4分
仅mn50时取值时△周长取值．
A
B
C
D
P
Q
（第18题答图）
O
E
F
答：50 m时△周长． 6分
（2）△AOB周长时梯形ACBD等腰梯形．
作OF⊥CD交CDF交ABE
分ABCD中点
． 8分
△中．
△中． 10分
．………… 12分
（直没交代范围扣2分）
令
yy均单调递减函数
单调递减函数．
＞0＞0恒成立
单调递增函数． ……… 14分
时值时S值．
答：时梯形面积值值 m2．… 16分
19．（题满分16分）
已知数列{an}{bn}中a11n∈N*数列{bn}前n项Sn．
（1）求Sn
（2）否存等数列{an}意n∈N*恒成立？存求出满足条件数列{an}通项公式存说明理
（3）a1≤a2≤…≤an≤…求证：0≤Sn＜2．
解：（1）an时bn．……………………………………… 2分
Sn．……………………………………… 4分
（2）满足条件数列{an}存两通项公式an1an．
证明：中令n1b3b1．
设anbn．………………………………………………… 6分
b3b1．
qbn0满足题设条件．时an1an．………………… 8分
qq2 1矛盾．
综满足条件数列{an}存两an1an． 10分
（3）1a1≤a2≤…≤an≤…0＜≤10＜≤1．
≥0n123…．
Snb1+b2+…+bn≥0．………………………………………………………… 13分
≤．
Snb1+b2+…+bn≤
＜2．
0≤Sn＜2．………………………………………………………………… 16分
20．（题满分16分）
已知函数（a∈R）．
（1）a2求函数(1e2)零点数（e然数底数）
（2）恰零点求a取值集合
（3）两零点x1x2(x1＜x2)求证：2＜x1+x2＜1．
解：（1）题设(1e2)单调递减．…………………… 2分
(1e2)零点．
＜0函数(1e2)零点．…………… 4分
（2）令0x1．
x＞1时＜0单调递减
0＜x＜1时＞0(01)单调递增
f(1)a1．……………………………………………………… 6分
①0a1时值点唯符合题设…………… 8分
②＜0a＜1时f(x)＜0恒成立合题设
③＞0a＞1时方面＞1＜0
方面＜1≤2aea＜0(易证：ex≥ex)
f(x)两零点合题设．
综a取值集合{1}．………………………………………………………… 10分
（3）证：先证x1+x2＞2．
题设a．
记tt＞1．
x1+x2x1(t+1)x1+x22．
记函数g(x)x＞1．
＞0g(x)单调递增．
t＞1时g(t)＞g(1)0．
lnt＞0x1+x2＞2．…………………………………………………………… 13分
证x1+x2＜1．
f(x)0h(x)ax1xlnx0x1x2h(x)两零点．
a1lnx0x(记p)．
仿（1）知ph(x)唯值点
作函数h(x)≥0h(x)单调递增．
x＞p时h(x)＞h(p)00＜x＜p时h(x)＜0．
ax11x1lnx1＜．
整理＞0
＞0．
理＜0．
＜
．
综2＜x1+x2＜1．……………………………………………………… 16分
21．选做题题包括ABCD四题请选定中两题相应答题区域作答．
做作答前两题评分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
A．[选修41：证明选讲]（题满分10分）
C
A
B
O
P
（第21（A）题）
H
图BC圆O直径A圆O点点A作圆O切线交BC延长线点PAH
⊥PBH．
求证：PA·AHPC·HB．
证：连ACAB．
BC圆O直径AC⊥AB．
AH⊥PBAH2CH·HB．……………………………… 5分
C
A
B
O
P
（第21（A）题答图）
H
PA圆O切线∠PAC∠B．
Rt△ABC中∠B+∠ACB90°．
Rt△ACH中∠CAH+∠ACB90°．
∠HAC∠B．
∠PAC∠CAH
．
PA·AHPC·HB．………………………………………… 10分
B．[选修42：矩阵变换]（题满分10分）
面直角坐标系xOy中已知点A（00）B（20）C（12）矩阵点ABC矩阵M应变换作点分求△面积．
解：
．…………………………………………………… 6分
．……………………………………………………………… 10分
C．[选修44：坐标系参数方程]（题满分10分）
面直角坐标系xOy中曲线C参数方程（参数r常数r＞0）．原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系直线l极坐标方程
．直线l曲线C交AB两点求r值．
解：
直线l方程．…………………………………………………… 3分
曲线普通方程圆心坐标……… 6分
圆心直线距离．……………… 10分
D．[选修45：等式选讲]（题满分10分）
已知实数abcd满足a＞b＞c＞d求证：．
证：a＞b＞c＞dab＞0bc＞0cd＞0．
…………… 6分
．………………………………………………… 10分
必做题第2223题题10分计20分．请答题卡指定区域作答解答时应写出
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第22题）
文字说明证明程演算步骤．
22．（题满分10分）
图正四棱柱ABCDA1B1C1D1中．
（1）求面成角正弦值
（2）点侧棱二面角EBDC1余弦值
求值．
解：（1）原点DADCDD1分轴轴轴
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第22题答图）
x
y
z
建立图示空间直角坐标系Dxyz．
设D（000）A（100）
B（110）C（010）D1（002）
A1（102）B1（112）C1（012）． 2分
（1）设面成角
设面法量n（xyz）
．
令
面成角正弦值．………………………… 6分
（2）设E(10)0≤≤2．
设面法量n1（x1y1z1）面法量n2（x2y2z2）
令
令z21x22y22
．．…………………………… 10分
23．（题满分10分）
袋中8球中3白球5黑球球颜色外完全相．袋中机取出球果取出白球放回袋中果取出黑球该黑球放回补白球放入袋中．重复述程n次袋中白球数记Xn．
（1）求机变量X2概率分布数学期E(X2)
（2）求机变量Xn数学期E(Xn)关n表达式．
解：（1）题意知X2345．
X23时二次摸球均摸白球概率P(X23)
X24时二次摸球恰摸白黑球概率P(X24)
X25时二次摸球均摸黑球概率P(X25)．…… 3分
机变量X2概率分布表：
X2
3
4
5
P
（概率分 列表扣分）
数学期E(X2)．……………………………… 5分
（2）设P(Xn3+k)pkk012345．
p0+p1+p2+p3+p4+p51E(Xn)3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．
P(Xn+13)P(Xn+14)p0+p1P(Xn+15)p1+p2P(Xn+16)p2+p3
P(Xn+17)p3+p4P(Xn+18)p4+p5……………………… 7分
E(Xn+1)
3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)
p0+p1+p2+p3+p4+p5
(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5
E(Xn)+1． …………………9分
知E(Xn+1)8(E(Xn)8)．
E(X1)8E(Xn)．…………………………… 10分
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