难点31 数学纳法解题
数学纳法高考考查重点容类猜想应数学纳法体现较突出思想抽象概括特殊般应种思想方法
●难点磁场
(★★★★)否存abc等式1·22+2·32+…+n(n+1)2(an2+bn+c)
●案例探究
［例1］试证明：正数abc等差数列等数列n＞1n∈N*abc互相等时均：an+cn＞2bn
命题意图：题考查数学纳法证明等式属★★★★级题目
知识托：等差数列等数列性质数学纳法证明等式般步骤
错解分析：应分证明等式等数列等差数列均成立应证明种情况
技巧方法：题中结：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(abc正数)ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a
证明：(1)设abc等数列acbq(q＞0q≠1)
∴an+cn+bnqnbn(+qn)＞2bn
(2)设abc等差数列2ba+c猜想＞()n(n≥2n∈N*)
面数学纳法证明：
①n2时2(a2+c2)＞(a+c)2∴
②设nk时成立
nk+1时 (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)(ak+ck)(a+c)
＞()k·()()k+1
［例2］数列{an}中a11n≥2时anSnSn－成等数列
(1)求a2a3a4推出an表达式
(2)数学纳法证明结
(3)求数列{an}项
命题意图：题考查数列数学纳法数列极限等基础知识
知识托：等数列性质数学纳法般步骤采方法纳猜想证明
错解分析：(2)中Sk－应舍点容易忽视
技巧方法：求通项证明{}{}首项公差等差数列进求通项公式
解：∵anSnSn－成等数列∴Sn2an·(Sn－)(n≥2) (*)
(1)a11S2a1+a21+a2代入(*)式a2－
a11a2－S3+a3代入(*)式：a3－
理：a4－推出：an
(2)①n1234时(*)知猜想成立
②假设nk(k≥2)时ak－成立
Sk2－·(Sk－)
∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－10
∴Sk (舍)
Sk+12ak+1·(Sk+1－)(Sk+ak+1)2ak+1(ak+1+Sk－)
①②知an切n∈N成立
(3)(2)数列前n项Sn∴SSn0
●锦囊妙记
(1)数学纳法基形式
设P(n)关然数n命题
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0)推出P(k+1)成立(纳)P(n)切等n0然数n成立
(2)数学纳法应
具体常数学纳法证明：恒等式等式数整性中计算问题数列通项等
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)已知f(n)(2n+7)·3n+9存然数m意n∈Nm整
f(n)m值( )
A30 B26 C36 D6
2(★★★★)数学纳法证明3k≥n3(n≥3n∈N)第步应验证( )
An1 Bn2 Cn3 Dn4
二填空题
3(★★★★★)观察列式子：…纳出_________
4(★★★★)已知a1an+1a2a3a4a5值分_________猜想an_________
三解答题
5(★★★★)数学纳法证明4+3n+213整中n∈N*
6(★★★★)n1然数求证：
7(★★★★★)已知数列{bn}等差数列b11b1+b2+…+b10145
(1)求数列{bn}通项公式bn
(2)设数列{an}通项anloga(1+)(中a＞0a≠1)记Sn数列{an}前n项试较Snlogabn+1证明结
8(★★★★★)设实数q满足|q|＜1数列{an}满足：a12a2≠0an·an+1－qn求an表达式果S2n＜3求q取值范围
参考答案
难点磁场
解：假设存abc题设等式成立时令n123
n123面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2
记Sn1·22+2·32+…+n(n+1)2
设nk时式成立Sk (3k2+11k+10)
Sk+1Sk+(k+1)(k+2)2(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
(3k2+5k+12k+24)
［3(k+1)2+11(k+1)+10］
说等式nk+1成立
综述a3b11c10时题设切然数n均成立
歼灭难点训练
1解析：∵f(1)36f(2)1083×36f(3)36010×36
∴f(1)f(2)f(3)36整猜想f(n)36整
证明：n12时证设nk(k≥2)时
f(k)(2k+7)·3k+936整nk+1时
f(k+1)－f(k)(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k
(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
(4k+20)·3k36(k+5)·3k－2(k≥2)
f(k+1)36整
∵f(1)36数整∴求m值等36
答案：C
2解析：题意知n≥3∴应验证n3
答案：C
二3解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
三5证明：(1)n1时42×1+1+31+29113整
(2)假设nk时42k+1+3k+213整nk+1时
42(k+1)+1+3k+342k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·1313整42k+1+3k+213整
∴nk+1时成立
①②知n∈N*时42n+1+3n+213整
6证明：(1)n2时
(2)假设nk时成立
7(1)解：设数列{bn}公差d题意∴bn3n－2
(2)证明：bn3n－2知
Snloga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
loga［(1+1)(1+)…(1+ )］
logabn+1loga较Snlogabn+1较(1+1)(1+)…(1+)
取n1(1+1)
取n2(1+1)(1+
推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*)
①n1时已验证(*)式成立
②假设nk(k≥1)时(*)式成立(1+1)(1+)…(1+)＞
nk+1时
nk+1时(*)式成立
①②知(*)式意正整数n成立
a＞1时Sn＞logabn+1 0＜a＜1时Sn＜logabn+1
8解：∵a1·a2－qa12a2≠0
∴q≠0a2－
∵an·an+1－qnan+1·an+2－qn+1
两式相an+2q·an
a12a32·qa52·qn…猜想：a2n+1－qn(n123…)
综合①②猜想通项公式an
证：(1)n12时猜想成立
(2)设n2k－1时a2k－12·qk－1n2k+1时a2k+1q·a2k－1
∴a2k+12·qkn2k－1成立
推知n2k+1成立
设n2k时a2k－qkn2k+2时a2k+2q·a2k
a2k+2－qk+1说明n2k成立推知n2k+2成立
综述切然数n猜想成立
样求通项公式an
S2n(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)
2(1+q+q2+…+qn1)－ (q+q2+…+qn)
|q|＜1∴
题意知＜3注意1－q＞0|q|＜1解－1＜q＜00＜q＜
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数学纳法高考考查重点容类猜想应数学纳法体现较突出思想抽象概括特殊般应种思想方法
●难点磁场
(★★★★)否存abc等式1·22+2·32+…+n(n+1)2(an2+bn+c)
●案例探究
［例1］试证明：正数abc等差数列等数列n＞1n∈N*abc互相等时均：an+cn＞2bn
命题意图：题考查数学纳法证明等式属★★★★级题目
知识托：等差数列等数列性质数学纳法证明等式般步骤
错解分析：应分证明等式等数列等差数列均成立应证明种情况
技巧方法：题中结：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(abc正数)ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a
证明：(1)设abc等数列acbq(q＞0q≠1)
∴an+cn+bnqnbn(+qn)＞2bn
(2)设abc等差数列2ba+c猜想＞()n(n≥2n∈N*)
面数学纳法证明：
①n2时2(a2+c2)＞(a+c)2∴
②设nk时成立
nk+1时 (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)(ak+ck)(a+c)
＞()k·()()k+1
［例2］数列{an}中a11n≥2时anSnSn－成等数列
(1)求a2a3a4推出an表达式
(2)数学纳法证明结
(3)求数列{an}项
命题意图：题考查数列数学纳法数列极限等基础知识
知识托：等数列性质数学纳法般步骤采方法纳猜想证明
错解分析：(2)中Sk－应舍点容易忽视
技巧方法：求通项证明{}{}首项公差等差数列进求通项公式
解：∵anSnSn－成等数列∴Sn2an·(Sn－)(n≥2) (*)
(1)a11S2a1+a21+a2代入(*)式a2－
a11a2－S3+a3代入(*)式：a3－
理：a4－推出：an
(2)①n1234时(*)知猜想成立
②假设nk(k≥2)时ak－成立
Sk2－·(Sk－)
∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－10
∴Sk (舍)
Sk+12ak+1·(Sk+1－)(Sk+ak+1)2ak+1(ak+1+Sk－)
①②知an切n∈N成立
(3)(2)数列前n项Sn∴SSn0
●锦囊妙记
(1)数学纳法基形式
设P(n)关然数n命题
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0)推出P(k+1)成立(纳)P(n)切等n0然数n成立
(2)数学纳法应
具体常数学纳法证明：恒等式等式数整性中计算问题数列通项等
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)已知f(n)(2n+7)·3n+9存然数m意n∈Nm整
f(n)m值( )
A30 B26 C36 D6
2(★★★★)数学纳法证明3k≥n3(n≥3n∈N)第步应验证( )
An1 Bn2 Cn3 Dn4
二填空题
3(★★★★★)观察列式子：…纳出_________
4(★★★★)已知a1an+1a2a3a4a5值分_________猜想an_________
三解答题
5(★★★★)数学纳法证明4+3n+213整中n∈N*
6(★★★★)n1然数求证：
7(★★★★★)已知数列{bn}等差数列b11b1+b2+…+b10145
(1)求数列{bn}通项公式bn
(2)设数列{an}通项anloga(1+)(中a＞0a≠1)记Sn数列{an}前n项试较Snlogabn+1证明结
8(★★★★★)设实数q满足|q|＜1数列{an}满足：a12a2≠0an·an+1－qn求an表达式果S2n＜3求q取值范围
参考答案
难点磁场
解：假设存abc题设等式成立时令n123
n123面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2
记Sn1·22+2·32+…+n(n+1)2
设nk时式成立Sk (3k2+11k+10)
Sk+1Sk+(k+1)(k+2)2(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
(3k2+5k+12k+24)
［3(k+1)2+11(k+1)+10］
说等式nk+1成立
综述a3b11c10时题设切然数n均成立
歼灭难点训练
1解析：∵f(1)36f(2)1083×36f(3)36010×36
∴f(1)f(2)f(3)36整猜想f(n)36整
证明：n12时证设nk(k≥2)时
f(k)(2k+7)·3k+936整nk+1时
f(k+1)－f(k)(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k
(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
(4k+20)·3k36(k+5)·3k－2(k≥2)
f(k+1)36整
∵f(1)36数整∴求m值等36
答案：C
2解析：题意知n≥3∴应验证n3
答案：C
二3解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
三5证明：(1)n1时42×1+1+31+29113整
(2)假设nk时42k+1+3k+213整nk+1时
42(k+1)+1+3k+342k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·1313整42k+1+3k+213整
∴nk+1时成立
①②知n∈N*时42n+1+3n+213整
6证明：(1)n2时
(2)假设nk时成立
7(1)解：设数列{bn}公差d题意∴bn3n－2
(2)证明：bn3n－2知
Snloga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
loga［(1+1)(1+)…(1+ )］
logabn+1loga较Snlogabn+1较(1+1)(1+)…(1+)
取n1(1+1)
取n2(1+1)(1+
推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*)
①n1时已验证(*)式成立
②假设nk(k≥1)时(*)式成立(1+1)(1+)…(1+)＞
nk+1时
nk+1时(*)式成立
①②知(*)式意正整数n成立
a＞1时Sn＞logabn+1 0＜a＜1时Sn＜logabn+1
8解：∵a1·a2－qa12a2≠0
∴q≠0a2－
∵an·an+1－qnan+1·an+2－qn+1
两式相an+2q·an
a12a32·qa52·qn…猜想：a2n+1－qn(n123…)
综合①②猜想通项公式an
证：(1)n12时猜想成立
(2)设n2k－1时a2k－12·qk－1n2k+1时a2k+1q·a2k－1
∴a2k+12·qkn2k－1成立
推知n2k+1成立
设n2k时a2k－qkn2k+2时a2k+2q·a2k
a2k+2－qk+1说明n2k成立推知n2k+2成立
综述切然数n猜想成立
样求通项公式an
S2n(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)
2(1+q+q2+…+qn1)－ (q+q2+…+qn)
|q|＜1∴
题意知＜3注意1－q＞0|q|＜1解－1＜q＜00＜q＜
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