高考数学_大纲_公式

 考点1 集合简易逻辑
典型易错题会诊
命题角度1 集合概念性质
命题角度2 集合等式
命题角度3 集合应
命题角度4 简易逻辑
命题角度5 充条件
探究开放题预测
预测角度1 集合运算
预测角度2 逻辑集合中运
预测角度3 集合工具性
预测角度4 真假命题判断
预测角度5 充条件应
考点2 函数() 典型易错题会诊
命题角度1 函数定义域值域
命题角度2 函数单调性应
命题角度3 函数奇偶性周期性应
命题角度4 反函数概念性质应
探究开放题预测
预测角度1 助函数单调性求函数值证明等式
预测角度2 综合运函数奇偶性周期性单调进行命题
预测角度3 反函数函数性质综合
考点3 函数(二)
典型易错题会诊
命题角度1 二次函数图象性质应
命题角度2 指数函数数函数图象性质应
命题角度3 函数应
探究开放题预测
预测角度1 二次函数闭区间值问题
预测角度2 三二次综合问题
预测角度3 含参数数函数等式综合问题
考点4 数 列
典型易错题会诊
命题角度1 数列概念
命题角度2 等差数列
命题角度3 等数列
命题角度4 等差等数列综合
命题角度5 数列解析函数等式综合
命题角度6 数列应
探究开放题预测
预测角度1 数列概念
预测角度2 等差数列等数列
预测角度3 数列通项前n项
预测角度4 递推数列等式证明
预测角度5 关数列综合性问题
预测角度6 数列实际应
预测角度7 数列图形
考点5 三角函数
典型易错题会诊
命题角度1 三角函数图象性质
命题角度2 三角函数恒等变形
命题角度3 三角函数综合应探究开放题预测
预测角度1 三角函数图象性质
预测角度2 运三角恒等变形求值
预测角度3 量三角函数综合
考点6 面量
典型易错题会诊
命题角度1 量运算
命题角度2 面量三角数列
命题角度3 面量面解析
命题角度4 解斜三角形
探究开放题预测
预测角度1 量轨迹直线圆锥曲线等知识点结合
预测角度2 面量背景综合题
考点7 等式
典型易错题会诊
命题角度1 等式概念性质
命题角度2 均值等式应
命题角度3 等式证明
命题角度4 等式解法
命题角度5 等式综合应
探究开放题预测
预测角度1 等式概念性质
预测角度2 等式解法
预测角度3 等式证明
预测角度4 等式工具性
预测角度5 等式实际应
考点8 直线圆
典型易错题会诊
命题角度1 直线方程
命题角度2 两直线位置关系
命题角度3 简单线性规划
命题角度4 圆方程
命题角度5 直线圆
探究开放题预测
预测角度1 直线方程
预测角度2 两直线位置关系
预测角度3 线性规划
预测角度4 直线圆
预测角度5 关圆综合问题
考点9 圆锥曲线
典型易错题会诊
命题角度1 椭圆相关知识考查
命题角度2 双曲线相关知识考查
命题角度3 抛物线相关知识考查
命题角度4 直线圆锥曲线相关知识考查
命题角度5 轨迹问题考查
命题角度6 考察圆锥曲线中定值值问题
探究开放题预测
预测角度1 椭圆
预测角度2 双曲线
预测角度3 抛物线
预测角度4 直线圆锥曲线
预测角度5 轨迹问题
预测角度6 圆锥曲线中定值值问题
考点10 空间直线面
典型易错题会诊
命题角度1 空间直线面位置关系
命题角度2 空间角
命题角度3 空间距离
命题角度4 简单体
探究开放题预测
预测角度1 利三垂线定理作二面角面角
预测角度2 求点面距离
预测角度3 折叠问题
考点11 空间量
典型易错题会诊
命题角度1 求异面直线成角
命题角度2 求直线面成角
命题角度3 求二面角
命题角度4 求距离
探究开放题预测
预测角度1 利空间量解立体中探索问题
预测角度2 利空间量求角距离
考点12 排列组合二项式定理典型易错题会诊
命题角度1 正确运两基原理
命题角度2 排列组合
命题角度3 二项式定理
探究开放题预测
预测角度1 等性事件概率中考查排列组合
预测角度2 利二项式定理解决三项展开式问题
预测角度3 利二项式定理证明等式
考点13 概率统计
典型易错题会诊
命题角度1 求某事件概率
命题角度2 离散型机变量分布列期方差
命题角度3 统计探究开放题预测
预测角度1 赛关概率问题
预测角度2 概率统计背景数列题
预测角度3 利期方差解决实际问题
考点14 极 限
典型易错题会诊
命题角度1 数学纳法
命题角度2 数列极限
命题角度3 函数极限
命题角度4 函数连续性
探究开放题预测
预测角度1 数学纳法数列中应
预测角度2 数列极限
预测角度3 函数极限
预测角度4 函数连续性
考点15 导数应
典型易错题会诊
命题角度1 导数概念运算
命题角度2 导数意义运
命题角度3 导数应
探究开放题预测
预测角度1 利导数意义
预测角度2 利导数探讨函数单调性
预测角度3 利导数求函数极值
考点16 复 数
典型易错题会诊
命题角度1 复数概念
命题角度2 复数代数形式运算
探究开放题预测
预测角度1 复数概念应
预测角度2 复数代数形式运算





考点7
等式等式概念性质均值
等式应等式证明
等式解法等式综合应
等式概念性质
等式解法
等式证明
等式工具性
等式实际应
典型易错题会诊
命题角度1
等式概念性质
1．(典型例题)果abc满足c A．ab>ac B．c(ba)>0
C．cb2 [考场错解] A∵b>cabao定成立原知a符号．
[专家脉] d>b>cac<0．c必异号a>ca>0c<0条件分析透．
[症药] C．a>b>cac>0a>0c<0．
(1)b>c∵a>0∴ab>ac．(2)∵ba<0c< 0(ba)·c>0D．ac>0ac2．(典型例题)列等式①a+b>ab②|a|>|b|③a A．1 B．2
C．3 D．4
[考场错解] A ①正确②③显然正确④中应≥2④错．
[专家脉] ∵④中忽视 相等∵a≠ b≠．
[症药] B 方法1：运特值法ab3．
方法2：运性质b3．(典型例题)0 ①loga(1+o) ②1oga(1+o)>loga(1+)
③a1+a ④a1+a>a
中成立 ( )
A①③ B．①④
C②③ D．②④
[考场错解] B ∵1+a<1+1oga(1+a)< loga(1+)．
[专家脉] 数函数较考虑底数a范围指数函数样．
[症药] D ∵0 1oga(1+)a1+a>a．
4．(典型例题)已知实数ab满足等式列五关系式①0 ③0 中成立关系式 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[考场错解] C ∵ab显然成立ab定①②③④两成立3成立algbiga1g2blg3．
∵1g2<1g3∴a>b∴a [专家脉] 题目中成立⑤中ab0时成立．
[症药] B 错解中知ab②③正确． ab0时成立成立①④．
专家会诊
(1)较两实数采作差作商法然适变形(配方式分解等)判断符号．
(2)等式性质适时注意条件ab>0时a>b ．弱化条件变成强化条件变a>b>0
考场思维训练
1 |a|>|b|>0ab>0列等式中成立 ( )
A． B．
C． D．
答案： C 解析：利特值法出某选择成立事实∵|a||b|>0
0<<1∴10g|a|2已知ab等正数s答案： M>N 解析：>0
s命题角度2
均值等式应
1．(典型例题)设a>0b>0等式中恒成立 ( )
A． B．
C． D．
[考场错解] Di定等
[专家脉] D中直接放缩显然易较．
[症药] B A：a+b≥2ab
∴成立
C：a2+b2+2a2+1+b2+1≥2a+2b (仅ab1时取)
∴成立
D：两边方|ab|≥a+b2
∴ab≥a+b2ab≤ab+2时显然成立．
解a≥ba≤b ∴成立．
2．(典型例题)设x∈(0π)函数f(x)sinx+值 ( )
A．4 B．5
C．3 D．6
[考场错解] x∈(0π)sinx>0>0 f(x)sinx+4f(x)值
4．选A
[专家脉] 忽略均值等式a+b≥2(a0 b>0)中等号成立条件：仅ab时等号成立．事实sinx成立成立条件sinx±2．
[症药] (1)f(x)sinx+sinx++sinx+≥2仅sinx1x 时等号成立．≥3仅sinx1x时等号成立．f(x)sinx+≥2+35f(x)值5．应选B．
(2)令sinxtx∈(0π)03．(典型例题)设a≥0b≥0a2+1求a 值．
[考场错解] 0i
i(a0时取等号) [专家脉]非定值．
[症药] 利均值等式时出现定值先进行适凑配．



时取
专家会诊
(1) 利均值等式求值时必须满足正二定三等尤等号成立条件必须验证确定获定值条件时配凑定灵活性变形技巧
(2) 利均值等式解决实际问题证明等式时会利函数思想放缩法
考场思维训练
1 已知

答案： B 解析：联立
解：
ab+bc+ca取值令bab+c+ca
___________
答案：解析：a≤b ∴10gm≤logmx+logmy∴a≤b
∵
∴1．∵03
答案：解析： ∵x2(13x)x·x·(2x)≤仅x2xx时取值
命题角度3 等式证明
1(典型例题)设函数
(Ⅰ)证明01
(Ⅱ)点P(xoyo)(0




(2)
∴f′
曲线yf(x)点

[专家脉] 运等式时应考虑等号成立时否符合条件
[症药] (Ⅰ)证法f(x)

证法二

(Ⅱ)解法0∴f′


解法二设点P(xoyo)处切线方yyok(xxo)k定系数
代入
整理kx2+(yo+1kxo)x10
P切点方程重根判式




2．(典型例题)已知
求证：
[考场错解]

[专家脉]证
[症药](1)

综(1)(2)：
3．(典型例题)设二次函数f(x)ax2+bx+c(abc∈Ra≠0)函数yf(x)图象直线yxyx均公点

[考场错解](1) ∵f(x)图象yxyx均公点

(2)
[专家脉]运二次函数性质证明等式时忽视a>0a<0两种情况讨
[症药](1)错解(1)
(2)


综述等式成立
专家会诊
(1) 证明等式掌握等式证明基方法分析法综合法放缩法函数法反证法换元法等
(2) 等式数列函数方程导数等容综合证明题难度较结合性质等式基证明方法相结合灵活解题体现等式工具性高考命题趋势
考场思维训练
1．已知函数
(1)f(x)x1x3处取极值试求bc值
答案：解析：(1)f′(x)x2+(b1)x+c
题意13方程x2+(b1)x+c0两根

(2)f(x)(∞x1)∪(x2+ ∞)单调递增(x1x2)单调递减满足x2x1>1求证：b2>2(b+2c)
答案：题意x∈(∞x1)∪(x2+∞)时f′(x)>0x∈(x1x2)时f′(x)<0
∴x1x2方程f′(x)x2+(b1)x+c两根
x1+x21bx1x2c
∴b22(b+2c)b22b4c(b1)24c1
(x1+x2)24x1x21(x2x1)21．
∵x2x1>1∴(x2x1)21>0
∴b2>2(b+2c)．
(3)(2)条件t答案：(2)条件x2+(b1)x+c(xx1)(xx2)
x2+bx+c(xx1)(xx2)+x
t2+bt+cx1(tx1)(tx2)+tx1
(tx1)(t+1x2)
∵x2>1+x1>1+t∴t+1x2<0t ∴tx1<0
∴(tx1)(t+1x2)>0t2+bt+c>x1
2．已知数列
(1) 问否存m∈Nxm2证明结
答案：假设存m∈N*xm22xm12
理xm22
类推x12x11矛盾存m∈N*xm2．
(2) 试较xn2关系
(3) 设
答案：n≥2时xn+122xn>0∴xn+12x
n2符号相反x11< 2x2>2类推：x2n1<2x2n>2
(3)
命题角度4 等式解法
1．(典型例题)R定义运算⊗x⊗yx(1y)等式(xa) ⊗(x+a)<1意实数x成立a范围 ( )

[考场错解]A

[专家脉] x⊗yx(1y)运算关系式理解清
[症药]


2．(典型例题)已知函数f(x)
(1) 求函数f(x)解析式
(2) 设k>1解关x等式：
[考场错解]

[专家脉](2)问中两边约(2x)知2x符号
[症药](1)错解中(1)

① 1② k2时等式(x2)2(x1)>0解集x∈(12) ∪(2+ ∞)
③ k>2时解集x∈(12) ∪(k+ ∞)
3(典型例题)设函数f(x)kx+2等式|f(x)|<6解集(12)试求等式log解集
[考场错解]
k>0时k≤2k<0k≥4
∴k24
k2时f(x)2x+2k4时f(x)4x+2解数等式

[专家脉]求k值时分析讨严密式中x∈(12)时恒成立k值成立
[症药] ∵|kx+2|<6 ∴(kx+2)2<36
k2x2+4kx32<0
题设
解k4 ∴f(x)4x+2

            ①
   ②
③
①解②解x<1③

4．(典型例题)设
[考场错解]A{x|ab



[专家脉] 求b范围时应考虑必成立条件
式恒成立
[症药] ∵A{x|ab

专家会诊
1． 解分式等式时应化等价整式等式避免分类讨
2． 含绝值等式应运方法零点分段法分类讨绝值等式性质求解
考场思维训练
1关x等式axb>0解集(1+ ∞)关x等式解集( )
A(∞1)∪(2+ ∞)
B(12)
C(12)
D(∞1) ∪(2+ ∞)
答案： A解析：a>01>0(x+1)(x2)>0x<1x>2．
2
答案：(1cosα)∪(cosα1) 解析：∵ ∴020<1x2 ∴13．解等式
答案：解析：①x>0时原等式>x>1∴x>1②x<0时原等式
(x+1)·(2x1)>0x<0∴x<1．
综①②{x|x<1x>1}．
命题角度5 等式综合应
1．(典型例题)已知函数f(x)ax
( Ⅰ)求a值
(Ⅱ)设0[考场错解](1)f(x)值

①②a1
(Ⅱ)
n1时0假设

［专家脉］证明等式时运放缩法应理套结放缩
［症药］(Ⅰ)解法：

①②a1
(Ⅱ)证法：


知n∈N成立
证法三：

①②知nk+1时等式

2(典型例题)六·节日期间某商场童柜台出广告：童商品标价80出售时顾客该商场消费满定金额方案获相应金额奖券：（表示）
消费金额（元）
[200400]
[400500]
[500700]
[700900]
…
获奖券金额（元）
30
60
100
130
…

述方法顾客获双重优惠
试问：
(1) 购买件标价1000元商品顾客优惠率少？
(2) 标价[500800]商品顾客购买标价少元商品优惠率？
[考场错解](1)
(3) 设商品标价x元500≤x≤800已知

[专家脉]商品标价x元消费额[500×08800×08]间500~800间
[症药](1)
(3) 设商品标价x元500≤x≤800消费额：400≤08x≤640
已知：
①
②
解等式①解②：625≤x≤750
专家会诊
1．应等式性质重等式求出数值较讨参数范围等定注意成立条件易忽视正二定三等
2．运等式解决实际问题时首先实际问题转化函数值问题运等式求值注意成立时实际条件等式成立条件应时考虑
考场思维训练

答案： D 解析：∵1<<倒数法0∵logab>logtba1∴0|logab+logba|．选D．
2 已知等式x22x+a>0时意实数x恒成立等式a2x+1A(12) B
C(22) D(32)
答案： D 解析：∵x22x+a>0 x∈R恒成立．△<0a>1．
∴等式(a2x+13某企业开发种新产品现准备投入适广告费产品进行促销年预计年销量Q(万件)广告费x(万元)间函数关系Q已知生产产品年固定投入3万元年产1万件产品需投入32万元销售额
年生产成150年广告费50年产销量相等
(1) 试年利润P万元表示年广告费x万元函数
答案：(1)P(32Q+3)·150％+x·50％(32Q+3)x+49．5(x>0)
(2) 年广告费投入少万元时企业年利润？
答案： P()+49．5≤2×4+49．541．5仅x时x8时P值41．5 万元．
探究开放题预测
预测角度1 等式概念性质
1．列命题正确 ( )

[解题思路]利均值等式成立条件判断
[解答]DAab负数时成立Babc中0余正数时成立Cabc∈(01)时成立D正确
2．已知asin15+cos15bsin16列式中正确 ( )

[解题思路]利两角差公式化简ba然较
[解答]B
预测角度2等式解法
1．关x等式x|xa|≥2a2(a∈(∞0)解集 ( )
A[a+ ∞] B[a+ ∞]
C[2aa] ∪[a+∞] D( ∞a)
[解题思路]讨ax绝值符号
[解答]Ax>ax2ax2a2≥0 ∴x≥ax2函数yf(x)圆心原点单位圆两段圆弧(图y轴交点)等式f(x)
[解题思路]f(x)奇函数原等式变形f(x)>求解
[解答]A已知f(x)奇函数原等式变形f(x)<画图知A正确选A
3．函数g(x) ≥f(x)x取值范围

[解题思路]利数形结合法
[解答]D数形结合法分作出f(x)sinxg(x)9

4解关x等式
[解题思路]题关键参数a进行讨取绝值时必须未知数进行讨两等式组两等式组解集求集出原等式解集
[解答]x≥a 时等式转化

预测角度3 等式证明
1．已知定义域[01]函数f(x)时满足：(1)意x∈[01]总f(x) ≥0
(2)f(1)1(3)x1≥0x2≥0x1+xz≤1f(x1+x2) ≥f(x1)+f(x2)
(Ⅰ)试求f(0)值(Ⅱ)试求函数f(x)值(Ⅲ)试证明：x∈
[解题思路](1)赋值法 (2)变形f(x2)f[(x2x1)+x1]求函数f(x)值
[解答](Ⅰ)令
f(0) ≥0 ∴f(0)0
(Ⅱ)取

(Ⅲ)

3． 设yf(x)定义域Rx<0时f(x)>1意实数xy∈Rf(x+y)f(x) ·f(y)成立数列{an}满足a1f(0)f(an+1)
4．
(1) 判断yf(x)否单调函数说明理
(2)
(3)等式
[解题思路](1)利函数单调性证明(2)裂项法求出Tn解等式(3)利函数单调性求k值
[解答](1)设




(3)


预测角度4 等式工具性
1．直线2axby+20(ab>0)始终分圆x2+y2+2x4y+10周长值 ( )
A4 B2
C D
[解题思路]利重等式求值
[解答]A直线2axby+20圆心(12) ∴a+b1
2已知函数f(x)ax2+8x+3(a<0)定负数a正数l(a)整区间[0l(a)]等式|f(x)| ≤5恒成立l(a)值( )

[解题思路]考虑区间[0l(a)]端点处等式|f(x)| ≤5恒成立

3设二次函数f(x)ax2+bx+c(a>b>c)已知f(1)0存实数mf(m)a
(1) 试推断f(x)区间[0+∞]否单调函数说明理
(2) 设g(x)f(x)+bxx1x2∈Rx1≠x2g(x1)g(x2)0求|x1x2|取值范围
(3) 求证：f(m+3)>0
[解题思路]二次函数称轴两边单调性质判断(2)根系数关系求出abc关系转化二次函数值
[解答](1) ∵f(m)am∈R ∴方程ax2+bx+c+a0实根⇒∆b24a(a+c) ≥0
∵f(1)0 ∴a+b+c0a+cb
∴b24a·(b)b(b+4a) ≥0
∵a>b>c ∴a>0c<0b+4a(a+c)+4a3ac>0
∴b≥0⇒x
∴f(x)[0+∞]增函数
(2)题意x1x2方程g(x)0ax2+2bx+c0两实根




(3)∵f(1)0设f(x)a(x1)(x)

4xOy面系列点P1(x1y1)P2(x2y2)…Pn(xnyn)…正整数n点PN 位函数yx2(x≥0)图点Pn圆心圆Pnx轴相切圆Pn圆PN+1彼相外切 x11xn+1(1) 求证：数列{}等差数列
(2) 设圆Pn面积SNTn
[解题思路](1)利定义判断(2)裂项相消法求TN
[ 解答](1)记圆Pn半径rn条件知ynxynrn|PnPn+1|rn+rn+1

预测角度5 等式实际应
1． 某机关精简员中部分员实行分流规定分流员第年原单位领取工资100第二年起年原单位年领取工资该机关根分流员特长计划创办新济实体该机关根分流员特长计划创办新济实体该济实体预计第年属投资阶段没利润第二年获b元收入第三年起年收入年基础递增50某分流前工资收入年a元分流第n年总收入an元
(1)求an(2)
(3)
[解题思路]建立数学模型求出an运重等式求an值解等式
[解答](1)

(2)
(3)

2某区发生流行性病毒感染居住该区居民必须服种药物预防规定天早晚八时服片现知该药片含药量220毫克肾脏12时体滤出种药60体残留量超386毫克(含386毫克)产生副作．
(1)某午八时第次服药问第二天午八时服完药时种药体残留少．
(2)长期服种药会会产生副作？
［解题思路］题意建立数列模型写出anan1关系式求出an范围．
［解答］(1)题意建立数列模型设第n次服药药体残留量an毫克

(2)an220+04an1 (n≥2)an

考点高分解题综合训练
１　设数集ＭN集合{x|0≤x≤1}子集果ba做集合{x|a≤x≤b}长度集合M∩N长度值 ( )

答案： C 解析：集合M长度集合N长度MN集合{x}0≤x≤1}子集{x}0≤x≤1}长度1集合M∩N长度值()1
2 已知

答案： A 解析：略．
3 已知奇函数f(x)(∞0)减函数f(2)0等式(x1)f(x1)>0解集 ( )
A{x|3B{x|32}
C{x|33}
D{x|1答案： D 解析：(x1)f(x1)>0题
4函数f(x)R增函数A(01)B(31)图两点|f(x+1)|<1解集( )
A(14) B(12)
C( ∞1) ∪[4+ ∞]D( ∞1) ∪[2+ ∞]
答案： B 易知AB两点直线yx1f(x)x1增函数f(x+1)(x+1)1
∴
5已知f(x)
A{x|1B{x|x>3x<2}
C{x|1D{x|x<0}
答案： C 解析：略．
6设f(x)g(x)分定义R奇函数偶函数x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0g(3)0等式f(x)g(x)<0解集 ( )
A．(30) ∪(3+ ∞)
B(30) ∪(03)
C( ∞3) ∪(3+ ∞)
D( ∞3) ∪(03)
答案： D 解析：设F(x)f(x)·g(x)
F(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)F(x)
∴F(x)奇函数
x<0时F′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0
∴x<0时F(x)增函数
∵奇函数称区间单凋性相
∴x>0时9(x)增函数
∵F(3)f(3)g(3)0
∴F(3)F(3)0
图符合题意图象观
察知9(x)f(x)g(x)<0
解集(∞3)∪(03)
7已知ylogb(2bx)[01]增函数等式：logb|x+2|>logb|x4|解集________
答案：{x|x<1x7≠2} 解析：b>02bx[01]递减已知知08已知函数yf(x)偶函数 x>0时f(x)x+
答案：题意x∈[31]时f(x)f(x)x+()∴mf(1)5nf(2)4mn1
9定义符号函数sgnx
答案：2解析：略
10已知关x等式
(1)a4时求集合M
答案：a4时原等式化
4(x)(x2)(x+2)<0∴x∈(∞2)∪(2)M(∞2)∪(2)．
(2)3∈M5M求实数a取值范围
答案：3∈M<0∴a>9a< ①
5M≥0∴1≤①②1≤a<911已知函数f(x)意实数Pq满足f(p+q)f(p)f(q)f(1)
(1)n∈N+时求f(n)表达式
答案：解：已知

答案：证明 (1)知
∴
两式相减

(3)解 (1)知


12某村计划建造室面积800m2矩形蔬菜温室温室左右两侧侧墙保留1m宽通道前侧墙保留3m宽空矩形温室边长少时？蔬菜种植面积种植面积少？
答案：解：没矩形温室左侧边长am侧边长bmab800(m)．
蔬菜种植面积S(a4)(b2)ab4b2a+88082(a+2b)．
S≤808448(m2)．
a2ba40(m)b20(m)时
S值648(m2)．
答：矩形温室左侧边长40m侧边长20m时蔬菜种植面积种植面积648m2．
13已知函数f(x)(x∈R)满足列条件：意实数x1x2

(Ⅰ) 证明
答案：取x1x2 x1≠x2λ(x1x2)2≤(x1x2)[f(x1)f(x2)]
|f(x1)f(x2)|≤|x1x2| ②
知λ(x1x2)2≤(x1x2)[f(x1)f(x2)]≤|x1x2|·|f(x1)f(x2)1≤|x1x2|2
A≤1．假设b0≠a0f(b0)0①式知
0<λ(a0b0)2≤(a0b0)[f(a0)f(b0)]0矛盾．
∴存b0≠a0f(b0)0．
(Ⅱ) 证明2
答案：boaλf(a) ③
知(6a0)2[aa0λf(a)]2(aa0)22λ(aa0)f(a)+λ2[f(a)]2 ④
f(a0)0①式(aa0)f(a)(aa0)
[f(a)f(a0)]≥λ(aa0)2 ⑤
f(a0)0②式知[f(a)]2[f(a)f(a0)]2≤(aa0)2 ⑥
⑤⑥代④式(ba0)2≤(aa0)22λ2(aa0)2+λ2(aa0)2
(1λ2)(aa0)2
(Ⅲ) 证明
答案：③式知[f(b)]2[f(b)f(a)+f(a)]2
f(b)f(a)]2+2f(a)[f(b)f(a)]+[f(a)]2
≤(ba)22·[f(b)f(a)]+[f(a)]2 (②式)
λ2[f(a)]2(ba)[f(b)f(a)]+[f(a)]2
≤λ2[f(a)2·λ·(ba)2+[f(a)]2 (①)
λ2[f(a)]22λ2[f(a)]2+[f(a)]2
(1λ2)[f(a)]2
14已知函数f(x)
(1)设0<|x|<10<|t|≤1求证：|t+x|+|tx|<|f(tx+1)|
答案：∵f(x)∴f(tx+1)tx+
∴|f(tx+1)||t|+≥22仅|tx|1时式取等号．
∵0<|x|<10<|tx|<1．∴|tx|≠1∴|f(tx+1)|>2
s(|t+x|+|tx1)22(t2+x2)+2|t2x2|(|t+x|+|tx|)22(t2+x2)+2|t2x2|
|t|≥|x|时s4t2≤4|t||x|时s4x2<4
∴|t+x|+|tx|≤2<1f(tx+1)||t+x|+|tx|<|f(tx+1)|
(3) 设x正实数求证[f(x+1)]nf(xn+1) ≥2n2
答案： n1时结显然成立
n≥2时[f(x+1)]nf(xn+1)
(x+)n(xn+)

考点8 直线圆
典型易错题会诊
命题角度1 直线方程
1．(典型例题)已知点A

[考场错解] ∵
[专家脉]没考虑
[症药]
2(典型例题)点(11)直线xy+10距离 ( )

[考场错解]直接运点直线距离公式

[专家脉]运点直线距离公式时没理解直线Ax+By+C0中B取值B应取1取1
[症药]


2．(典型例题)直线2xy+c0量a(11)移圆x2+y25相切c值( )
A82 B64
C46 D28
[考场错解]C直线2xy+c0量a(11)移直线方程：2(x+1)(y+1)+c0：2xy+1+c0直线圆相切圆心直线距离等半径6 选C
[专家脉]坐标移公式运错误应xhyk分换原xy
[症药]A直线2xy+c0量a(11)移直线2xy3+c0直线圆相切：者说c2选A
4(典型例题)设直线ax+by+c0倾斜角asina+cosa0ab满足 ( )
AA+b1 Bab1
Ca+b0 Dab0
[考场错解]C
[专家脉]直线Ax+By+c0斜率k
[症药]D
专家会诊
1． 已知直线方程求直线斜率倾斜角范围反求直线方程注意倾斜角范围斜率存时情况
2． 会直线五种形式求直线方程忽视种形式限制条件
考场思维训练
1已知A(30)B(16)延长BAP点P坐标_________
答案：(2) 解析：已知P分定分点坐标公式．
2直线
A(23) B(45)
C(2) D(34)
答案： D解析：略．

答案：16．2xy+80 解析：已知设l2方程：ytan2α·x2l1l3垂直l1斜率k12∴tan2αl2方程yx2解方程组P点坐标(32)．点斜式l1方程y2(x+3)+2．
命题角度2两直线位置关系
1．(典型例题)已知点A(2m)B(M4)直线直线2x+y10行m值 ( )
A0 B8 C2 D10
[考场错解]A两直线行斜率相等：∴m0选A
[专家脉]
[症药]B利两直线行斜率相等：
2．坐标面点A(12)距离1点B(31)距离2直线
A．1条 B2条 C3条 D4条
[考场错解]D题意知求直线必坐标轴行设直线ykx+bkxy+b0


[专家脉]时时kAB符合题意
[症药]B法：题意知求直线必坐标轴行设直线ykx+bkxy+b0

法二：A圆心1半径画圆B圆心2半径作圆∵圆心距|AB|∴⊙A′⊙B必相交⊙A⊙B分切线两条点A距离1点B距离2直线2条

3．(典型例题)图定圆半径a圆心(bc)直线ax+by+c0直线xy+10交点 ( )
A．第象限 B第二象限
C第三象限 D第四象限
[考场错解]B图知b>a>c>0取b3a2c1解方程组
[专家脉]图出长度关系较时坐标值长度值相混淆
[症药]C图形图圆心第二象限abc满足球队0题讨ax+by+c0y轴截距斜率直线xy+10进行较解决
4．(典型例题)动点P圆x2+y21引两条切线PAPB切点分AB[考场错解]设A(x1y2)B(x2y2) ∴PA直线方程x1x+y1y1PB直线方程x2x+y2y1∵[专家脉]引方法繁琐复杂运算易出错应考虑特殊性
[症药]图∵∴P轨迹O圆心2半径圆x2+y24正确答案：x2+y24
5(典型例题)曲线C：
[考场错解]曲线C普通方程化：x2+(y+1)2221直线x+y+a0公点联立消x2y2222+2(a+1)y+a2220公点

[专家脉]忽略直线圆相切时情况
[症药]

专家会诊
1． 两直线行垂直充条件解题中应
2． 夹角距离公式求距离角斜率值问题工具定注意公式运条件
3． 关直线称问题点关直线称直线关直线称命题热点
考场思维训练
1直线l1x+3y70 l2kxy20x轴y轴正半轴围成四边形外接圆k值等 ( )
A3 B3 C6 D6
答案： B解析：略．
2已知点M点P(45)关直线y3x3称点点M行直线y3x+3直线方程_____
答案： y3x+1解析：略．
3曲线x2+y2+a2x+(1a2)y40关直线yx0称图形身实数a ( )

答案： B解析：略．
4求直线l27xy+40l1x+y20角分线方程
答案：解：法：设l2l1角分线J斜率k
∵k11k27
∴解k3k图形知
k<0∴k3解l1l2交点Q点斜式y3 6x+2y30
法二：设l2l1角θtgθ 角θ锐角α1α2二倍角公式知
tgθ
∴tg2tg ∵锐角
∴tg ∴k3等解法
命题角度3 简童单线性规划
1．(典型例题)已知点P(xy)等式组

A．[21] B[21]
C[12] D[12]
[考场错解]约束条件画出行域移yx(01)时截距1(20)时截距2∴取值范围[21]选B
[专家脉] zxy化yxz时yxz截距z错选
[症药]移yx截距1截距2∴2≤z≤1∴1≤z≤2
2(典型例题)设集合A{(xy)|xy1xy三角形三边长}A表示面区域(含边界阴影部分) ( )


[考场错解]题意

选D
[专家脉]三角形两边第三边没写完全

[症药]题意列

选A
3(典型例题)坐标面等式组表示面区域面积 ( )

[考场错解]条作出x≥0时表示区域面积1x≤0时理面积1总面积2选D
[专家脉]y3|x|+1关y轴称yx1关y轴称x≤0时面积x≥0时面积相等
[症药]先作出y3|x|+1图(函数偶函数作)作出yx1图标出围成区域图示：阴影部分求选B
4(典型例题)设实数xy满足值______
[考场错解]题意作出行域图示：

[专家脉]连线斜率取决点原点远
[症药]连接OAkOA
专家会诊
1． 线性目标函数zAx+By中B符号定注意B>0时zB<0时直线行域y轴截距时z值
2． 优解通图形规定作图准确尤整点问题
考场思维训练
1直角坐标面两区域MNMy≥0y≤xy≤2x三等式确定N等式t≤x≤t+1确定t取值范围0≤t≤1设MN公面积函数f(t)f(t) ( )
2
答案： A 解析：画出MN表示区域面积等t2+t+选A
2设实数xy满足等式组
A．7+3a13a            B7+3a12a
C12a13a            D
答案： A 解析：画出等式组表示面区域线性规划知识知选A
3某运输公司10辆载重量6吨A型卡车载重量8吨B型卡车11名驾驶员建筑某段高速公路中该公司承包天少搬运480吨沥青务已知辆卡车天返次数A型卡车8次B型卡车7次辆卡车天成费A型车350元B型车400元问天派出A型车B型车少辆公司花成费低低少？
答案：解：设天派出A型车B型车xy辆设公司天成z元．题意

z350x+400y

作出行域作直线l0350x+400y0
7x+8y0．
作出组行直线：7x+8yt中(t参数)行域点原点距离直线直线6x +7y60y5交点A(5)点A坐标整数xy∈N行域点A(5)优解．
求出优解必须进行定量分析．
7×+8×5≈692行域整点(横坐标坐标整数点)原点直线7X+8y10行域满足该方程整数解x10y0(100)优解l通B点时z350×10+400×O3500元．
答：天派出A型车10辆派B型车公司化成费低3500元
命题角度4 圆方程
1(典型例题)原点圆x2+y212y+270作两条切线该圆夹两条切线间劣弧长 ( )

[考场错解]半径3圆心原点距离6知两切线间夹角60相应圆心角120求劣弧圆弧长
[专家脉]没理解清楚优弧劣弧概念劣弧应相较短段弧
[症药]求劣弧整圆弧
2(典型例题) △ABC外接圆圆心O两条边高交点H实数m______
[考场错解]选取特殊三角形取△ABC等边三角形m 取意实数
[专家脉]情况太特殊取三角形等腰三角形(非等边三角形)时时m意实数相矛盾
[症药]

3．(典型例题)圆心直线2xy70圆Cy轴交两点A(04)B(02)圆C方程_____
[考场错解]设圆方程
解x03y013r求圆方程(x+3)2+(y+13)2168
[专家脉]应令x0令y0面结果均错2


[症药] 法∵AB中垂线必圆心
解圆心坐标
求圆方程
法二设圆C 方程
圆心直线
①
圆A (0  4) B (0  2)
           ②
③
①②③解圆方程

专家会诊
1求圆方程应注意根条件恰选
择方方程形式定系数法求解
2讨点直线圆圆位置关系时般代数特征（方程组解数）特征考虑中特征数更简捷实
考场思维训练
1点A（12）B（11）圆心直线0圆方程 ( )
A
B
C
D
答案： A ∵A中圆心(31)直线x+y20
∴选A
2 方程表示曲线图形
答案： D 解析：方程解x1x2+y22x2+y2>1x1y≠0．
3．已知两点A（10）B（02）点P圆（x1）2+( )
3已知两点A（10）B（02）点P圆

y21动点△ABP面积值值分 （ ）

答案： B 解析：圆心C作CM⊥ABM设CM交圆PQ两点图出△ABP△ABQ分值求值值分(4+) (4)选B
4 图8 – 5已知点AB坐标分（30）（30）点C线段AB点PQ分ACBC直径两圆 O1O 2外公切线切点求线段PQ中点轨迹方程
答案：解：作MC⊥AB交PQ点MMC两圆公切线
∴|MC||MQ||MC||MP|MPQ中点．设M(xy)点CO1O2坐标分(x0)( 0)(0)．连O1MO2M知识：∠O1MO290°
∴|O1M|2+|O2M|2|O1O2|2：
(x)2+y2+(x)2+y2
()2化简x2+4y29
∵点C(x0)线段ABACBC圆直径
∴ 3求轨迹方程x2+4y29(3命题角度5 直线圆
1．（典型例题）已知直线L点（20直线L）
圆两交点时斜率k取值范围 （ ）

[考场错解] 设直线圆心直线距离刚等半径（相切）时
选D
[专家脉] 计算出见答案中结果 便盲目选出答案 没开方算出
[症药] 设直线方程代入圆方程中选C
2 (典型例题) ab j直线圆
( )
A 充分必条件
B． 必充分条件
C． 充分必条件
D． 充分必条件
[考场错解] 时圆心坐标圆心直线距离半径杨等直线圆相切充分条件理直线圆相切时圆心距离
直线圆相切充分必条件
[专家脉] 运点直线距离公式时应先变 计算 刊里y系数应 1未变形前1
[症药] 时圆心直线0距离定刚等充分条件 直线圆相切时直线距离应等半径 必综合直线圆相切充分必条件
1 (典型例题) 圆心( 1 2 ) 直线
70相切圆方程__________
[考场错解] 圆心直线距离等半径
圆方程

[专家脉] 算出r
中代入时忘记面r2
[症药] 圆心直线距离等半径r 2

4 (典型例题) 设P < 0 常数点`Q(2P0)直线抛物线交相导两点AB 线段AB 直径作圆H(H圆心)试证抛物线顶点圆H圆周求圆H面积时直线AB方程
[考场错解] 设AB直线方程

①

① 式中联立消



[专家脉] ∵时然成立时说
明k存直线AB
[症药] 法题意
直线AB水线设
直线方程设A
坐标
满足
消x




圆H圆周
题意圆心 AB 中心点

前已证OH应圆H半径|OH|
k0时圆H半径
圆H面积时直线AB方程
法二题意直线AB水线设直线方程
：坐标满足

AB圆方程明
显O（00）满足面方程ABO三点均面方
程表示圆知AB中点H坐标

前面圆方程表示
|OH|面圆半径RAB
直径直圆必点O（00）
J圆面积时直
线ABR方程
法三解法O必圆周直径|AB
|

式 时等号成立直径|AB|圆
面积时直线AB方程


专家会诊
1．直线圆圆圆位置关系判断时利法(圆心直线圆心圆心间距离结合直角三角形求解)
2关圆外圆点切线问题熟悉切线方程形式．
考场思维训练
1 已知直线ax+by+c0(abc≠0)圆x2+y21相切三条边分|a||b||c|三角形( )
A锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．存
答案： B 解析：．
2 a2+b22c20直线ax+by+c0x2+y21截弦长 ( )
A． B．1 C． D．
答案： D 解析：设圆心直线距离d弦长l
d2 l2
3 图已知点F(01)直线L：y2圆C：x2+(y3)21．
(1)动点M点F距离直线L距离1求动点M轨迹E方程
答案：解①x24y ②x1x24 ③P(±21)Smin
(2)点F直线g交轨迹EC(x1y1)H(x2y2)
两点求证xlx2定值
(3)轨迹E点P作圆C切线切点AB四边形PACB面积S求点P坐标S值．
4 图89已知圆C(x+4)2+y24．圆D圆心Dy轴圆C外切．圆Dy轴交AB两点点P(30)．
(1)点D坐标(03)求∠APB正切值
答案：∵|CD|5(O原点)
圆D圆C外切
∴圆D半径r523
时AB坐标分(00)(06)
∴PAx轴BP斜率k2
∴tan∠APB2．
(2)点Dy轴运动时求∠APB值
答案：设D坐标(0a)圆D半径r(r+2)216+a2 ①
设PAPB斜率k1k2AB坐标分(0ar)(0a+r)．
k1
∴tan∠APB ②
①解出a2代②tan∠APB8r6单调增函数r∈[2+∞]．
∴tan∠APB∈()
∠APB值arttan
(3)x轴否存定点Q圆Dy轴运动时∠AQB定值果存求出点Q坐标果存说明理．
答案：假设存Q点设Q(b0)QAQB斜率分 k1k2中 k1＝
tan∠AQBa2(r+2)216代式 tan∠AQB欲∠AQBr关应b212b±2
时tan∠AQB∠AQB60°
∴存Q点圆D变动时∠AQB定值60°Q点坐标(±20)
探究开放题预测
预测角度1 直线方程
1．求直线3x+4y+120行坐标轴构成三角形面积24直线乙方程．
[解题思路] 满足两条件确定条直线．般求直线方程两解法中条件列出含定系数方程条件求出参数．
[解答] 解法：先行条件设出乙方程3x+4y+m0①面积条件求m∵直线l交 x轴A(0)交轴B(0)·24m±24代入①求直线方程：3x+4y±240
解法二：先面积条件列出l方程设lx轴截距离ay轴截距b|ab|24乙倾角钝角ab号|ab|abl截距式48x+a2y48a0②该直线3x+4y+20行 ∴
∴a±18代入②求直线l方程3x+4y±24O
2．设正方形ABCD(ABCD时针排列)外接圆方程x2+y26x+a0(a<9)CD点直线l斜率．
(1)求外接圆圆心M点坐标正方形角线ACBD斜率
(2)果x轴方AB两点条原点顶点x轴称轴抛物线求抛物线方程直线l方程
(3)果ABCD外接圆半径2 x轴方AB两点条x轴称轴抛物线求抛物线方程直线l方程．
[解题思路] (1)利斜率公式求倾斜角．(2)(3)运轨迹法．
[解答] (1)(x3)2+y29a(a<9)知圆心 M坐标(30)题意：∠ABM∠BAMkAB
∴MAMB斜率A满足：1解：kACkAB2
(2)设MBMA倾斜角分θlθ2tanθ12 tanθ2推出：cosθ1 sinθ1 cosθ2 sinθ2 ．
设|MA||MB|rA(3)B(3+)
设抛物线方程y22px(p>0)AB两点抛物线
∴解出：rp
抛物线方程y2x
知A点坐标(11)A点关M(30)称点C坐标(51)∴直线l方程y(1)(x5)x3y80．
(3)圆方程(x3)2+y2(2)2分ACBD直线方程：
y(x2)y2(x3)联立解A(12) B(54)．
设抛物线方程y2a(xm)(*)A(12)B (54)坐标代入(*)

解：a2m3
∴抛物线方程y22(x+3)．
A(12)点关M(30)观点C(72)
直线l方程y(2)(x7)x3y 130．


预测角度2
两直线位置关系
1．直线mx+y+20线段AB交点中A(23)B(32)求实数m取值范围．
[解题思路] 运数形结合思想解直线mx+y+ 20斜率m应倾角正切倾角(0°90°) (90°180°)角正切函数单调递增直线∠ACB部变化时众应等kBC者k等kACAB两点坐标变化时求出m范围．
[解答] 直线m+y+20定点C(02)直线mx+y+20实际表示定点(02)直线系直线线段AB交点直线落∠ABC部设BCCA两条直线斜率分k1k2斜率定义知直线mx+y+20斜率A应满足k≥k1k≤k2∵A(23) B(32)

2．图811已知：射线OAykx(k>0x>0)射线OBykx(x>0)动点P(xy)∠AOx部PM⊥OAMPN⊥kOBN四边形ONPM面积恰k．
(1)k定值时动点P坐标y横坐标x函数求函数yf(x)解析式
(2)根A取值范围确定yf(x)定义域．
[解题思路] (1)设点坐标求直接转化．
(2)垂足N必须射线OB必须满足条件：y [解答] (1)设M(aka)N(bkb)(a>0b>0)．|OM|a|ON|b．
动点P∠AOx部0
∴S四边形ONPMS△ONP+S△OPM(|0M|·|PM|+ |ON|·|PN|)
[a(kxy)+b(kx+y)] [k(a+b)x (ab)y]k
∴k(a+b)x(ab)y2k ①
kPMkPN
分解a代入①式消ab化简x2y2k2+1．
∵y>0∴y
(2)0
k1时等式②0<2恒成立∴(*)x>．
0k>1时等式②x2>
∴(*)x>
垂足N必须射线OB否ONPM四点组成四边形必须满足条件：y 解 (k >1)x∈A(0 综：k1时定义域｛x|x>｝
0 k>1时定义域{x|预测角度3
线性规划
1．已知xy满足约束条件

求目标函数z2xy值值．
[解题思路] xy满足约束条件作出行域利移法求值．
[解答] 根xy满足约束条件作出行域图示阴影部分(包括边界)．
作直线l0：2xy0作组行l0直线l：2xy tt∈R
知ll0右方时直线l点(xy)满足2xy>0t>0直线l右移时t增．直线l移ll位置时直线行域点 B时应tll0左方时直线l点(xy)满足2xy<0t<0直线l左移时t减．直线l移l
2位置时直线行域点C时应t．
解点B坐标(53)
解点C坐标(1)．
z值2×537z值2
2．已知三种食物PQR维生素含量成表示．

食物P
食物Q
食物R
维生素A（单位kg）
400
600
400
维生素B（单位kg）
800
200
400
成（元kg）
6
5
4
现xkg食物Pykg食物Qzkg食物 R混合制成100kg混合物．果100kg混合物中少含维生素A44000单位维生素B48000单位 xyz值时混合物成
[解题思路] x+y+z100z100xy述问题作含xy两变量．设混合物成k元k6x+5y+4(100xy)2x+y+400．问题结求∵已知条件线性规划问题．
[解答] 已知条件结列等式组：

①
面直角坐标系中画出等式组①表示面区域区域直线x+y100y202xy40围成三角形区域EFG(包括边界)行域图示阴影部分．
设混合物成k元k6x+5y+4(100 xy)2x+y+400．
作直线l0：2x+y0直线l0右方移l1位置时直线行域点E原点距离时2x+y值A值．

点E坐标(3020)．
k值2×30+20+400480(元)时z 100302050．
答：取x30y20z50时混合物成值480元．
预测角度4
直线圆
1．已知点T半圆O直径AB点AB2OTt (0 (1)写出直线A＇B＇方程
(2)计算出点PQ坐标
(3)证明：点P发出光线AB反射反射光线通点Q．
[解题思路] (1)两点式求(2)联立方程求出点PQ坐标
(3)证点P发出光线点T反射反射光线通点Q证直线PT斜率直线QT斜率互相反数．
[解答] (1)显然A＇(11t)B＇(1l+t)直线A＇B方程ytx+1
(2)方程组 解出P(01)
(3)
直线PT斜率直线QT斜率互相反数知点P发出光线点T反射反射光线通点Q．
2．已知⊙Mx2+(y2)21Qx轴动点QAQB分切OMAB两点
(1)果|AB|求直线MQ方程
(2)求动弦AB中点P轨迹方程．
[解题思路] (1)射影定理知：|MB|2|MP|· |MQ||MQ|3Rt△MOQ求出OQ．求直线MQ方程利点MPQ直线斜率相等求动弦AB中点P轨迹方程．
[解答] (1)|AB||MP|射影定理|MB|2|MP|·|MQ||MQ|3
RtAMOQ中
|OQ|
aa
直线MQ方程
2x+y202xy+20
(2)连接MBMQ设P(xy)p(a0)点MPQ直线
(*)射影定理
|MB|2|MP|·|MQ|
(答案：)(*)(答案：)消a注意y<2x2+
预测角度5
关圆综台问题
1．设P圆M：(x5)2+(y5)21动点关A(90)称点QP绕原点逆时针方旋转90°点S求|SQ|值．
[解题思路] 运复数意义求出SQ轨迹方程求|SQ|值．
[解答] 设P(xy)Q(18xy)记P点应复数x+yiS点应复数：
(x+yi)·iy+xiS(yx)

中作点P定点 B(99)距离值|MB|+r2+1值|MB|r21
|SQ|值2|SQ|值2
2．已知圆(x+4)2+y225圆心M1圆(x4)2+y21圆心M2动圆两圆外切．
(1)求动圆圆心P轨迹方程
(2)点M2直线(1)中求轨迹两交点AO求|AMl|·|BM1|取值范围．
[解题思路] (1)利定义法求轨迹(2)设M2直线斜率k联立方程求|AM1|·|BM1|取值范围转化求参数k范围．
[解答] (1)∵|PM1|5|PM2|1∴|PM1| |PM2|4
∴动圆圆心户轨迹M1M2焦点双曲线右支．c4a2b212求轨迹方程
(x≥2)．
(2)M2直线倾斜角等时设斜率k直线方程yk(x4)双曲线3x2y2120联立消y化简(3k2)x2+8k2x16k2120设A (x1y1)B(x2y2)x1>0x2>0
解k2>3．
双曲线左准线方程 x1e2
|AMl|·|BM1|e|x1+1|·e|x2+1|
4[x1x2+(x1+x2)+1]4
∵k23>0∴|AM1|×|BM1|>100
直线倾斜角等 时A(4y1)B(4y2)|AM1| |BM1|e(4+1)10|AM1|·|BM1|100
|AM1|·|BM1|≥100．
考点高分解题综合训练
说明：1～4解析：略
1 方程 (λ∈Rλ≠1)表示曲线 ( )
A．点M1(x1y1)M2(x2y2)端点线段
B．点M1(x1y1)M2(x2y2)直线
C．点Ml(x1y1)M2(x2y2)两点直线掉点M1部分
D．点M1(x1y1)M2(x2y2)两点直线掉M2部分
答案： D
2 直线lA(21)B(1m2)(m∈R)两点直线l倾斜角取值范围 ( )
A．[0π] B．[0]∪(π)
C．[0] D．[0]∪[ππ]
答案： B
3 曲线y1+x∈[22]直线yk(x2)+4两交点时实数k取值范围 ( )
答案： D
4 xy满足x2+y22x+4y0x2y值 ( )

答案： C
5 行域目标函数zax+by(ab≠0)x2y2取值充条件 ( )
A． |a|≤b B． |a|≤|b|
C |a|≥b D． |a|≥|b|
答案： A 解析：画出行区域直线l：ax+by0斜率目标函数zax+byx2y2时取值必须需||≤1直线l移时截距变必须需||≤1 b>0．
6 已知量a(2cosα2sina)b(3cosβ3sinβ)ab夹角60°直线xcosαysinα+0圆(xcosβ)2+(y+sinβ)2位置关系 ( )
A相切 B．相交
C．相离 D．αβ值定
答案： C 解析：略
7 xy满足约束条件 (k常数)时zx+3y值12k值 ( )
A．9 B．9
C．12 D．12
答案： A 解析：画出线性约束条件表示面区域图知目标函数y图直线yx2x+y+k0交点时z解交点()z12选A
说明：8～11解析：略
8 已知点M(30)N(30)O(10)⊙C直线MN切点BMN⊙C相切两直线相交点P P点轨迹方程 ( )
A．x21
B．x21(x>1)
C．x2+1
D．x2+1
答案： B
9 列4命题：
①两直线垂直充条件k1k21
②点M(x0y0)直线Ax+By+C0外时点M(x0y0)直线Ax+By+C0(AB≠0)行直线方程A(xx0)+B(yy0)0
③直线l1y2x1l2：yx+5角
④两行直线Ax+By+C10Ax+By+C20间距离d中正确命题 ( )
A．①② B．③④
C．②④ D．答案均
答案： C
10 圆x2+y24x+2y+c0y轴交AB两点圆心P∠APB120°实数c等____________
答案：11
11 直线1圆x2+y2r2(r>0)相切充条件_________
答案：|ab|r
12 已知动圆户定圆C：(x+2)2+y21相外切定直线Lx1相切动圆圆心户轨迹方程________
答案： y28x 解析：设圆心坐标(xy)
已知1x整理．
13 已知△ABC顶点A(31)AB边中线直线方程6x+l0y590∠B分线直线方程：x4y+100求边BC直线方程．

答案：解：设B(ab)B直线BT∴a4b+100①
AB中点
M()直线CM∴点M坐标满足方程6x+10y590
∴6·+10·590②
解①②组成方程组a10b5
∴B(105)
角分线定义知直线BCBT角等直线BT直线BA角kABkBT
∴ ∴kBC∴BC直线方程y5(x10)2x+9y650
14 某楼房幢室面积180m2拟分隔成两类房间作旅游客房．房间间面积18m2住游客5名名游客天住宿费40元房间间面积15m2住游客3名名游客天住宿费50元．装修房间间需1000元装修房间间需600元．果筹款8000元装修游客住满客房应隔出房间房间少间获收益

答案：解：设隔出房间x间房间y间时收益z元xy满足

z200x+150y

作出行域直线l：200x+150y04x+3y 0．(图4)直线l0移l1位置时直线行域点B原点距离．时z200x+150y取值．解6x+5y605x+3y40联立方程组B()．点B坐标整数 xy∈N行域点B优解．
求出优解样必须进行定量分析．
4×+3×≈37．1该方程非负整数解(111)(47)(73)均行域应取4x+3y36．样验证行域满足述方程整点(012)(38)．时z取值 1800元．
15 设半径3km圆形村落AB两时村落中心出发B北直行A先东直行出村久改变前进方着村落周界相切直线前进恰相遇．设AB两速度定速度3：1问两处相遇

答案：解：图建立面直角坐标系题意设AB两速度分3v千米／时v千米／时设出发x0时点P改变 方y0时点Q处B相遇．
PQ两点坐标(3vx00)(0vx0+vy0)． |OP|
2+|OQ|2|PQ|2知(3vx0)2+(vx0+vy0)2(3vy0)2
(x0+y0)(5x04y0)0．
∵x0+y0>0∴5x04y0 ①
①代kPQ kPQ
已知PQ圆O相切直线PQy轴截距两相遇位置．
设直线yx+b圆O：x2+y29相切
3∴b． 答：AB相遇点离村中心正北3 千米处．
16 设数列{an}前n项Snna+n(n1)b(n12…)ab常数b≠0．
(1)证明：{an}等差数列．
答案：证明：条件alS1an≥2时
anSnSn1[na++n(n1)b][(n1)a+(n 1)(n2)b]a+2(n1)b．
n≥2时anan1[a+2(n1)b][a+2(n2)b]2b．
{an}a首项2b公差等差数列．
(2)证明：(an1)坐标点Pn(n12…)落条直线写出直线方程．
答案：证明：∵b≠0n≥2
∴点Pn(an)(n12…)落通P1 (aa1)斜率直线．直线方程y(a1) (xa)x2y+a20
(3)设a1bC(rr)圆心r半径圆(r>0)求点P1P2P3落圆C外时r取值范围．
答案：解：a1b时Pn坐标(n)
P1(10)P2(2 )P3(31)落圆c外条件

①
②
③

等式①r≠1
等式②r+
等式③r<4r>4+
注意r>01< <4+<4+
P1P2P3落圆C外时r取值范围(01)∪ (1)∪(4++∞)．
考点9
圆锥曲线
►椭圆相关知识考查 ►双曲线相关知识考查
►抛物线相关知识考查 ►直线圆锥曲线相关知识考查
►轨迹问题考查 ►考察圆锥曲线中定值值问题
►椭圆 ►双曲线
►抛物线 ►直线圆锥曲线
►轨迹问题 ►圆锥曲线中定值值问题
典型易错题会诊
命题角度1
椭圆相关知识考查
1．(典型例题Ⅰ)设椭圆两焦点分F1F2F2作椭圆长轴垂线交椭圆点P△FlPF2等腰直角三角形椭圆离心率 ( )

[考场错解] A
[专家脉] 没理解椭圆定义错误作离心率．
[症药] D 设椭圆方程l (ab >0) 题意设|PF2||F1F2|k|PF1|ke
2．(典型例题)设双曲线椭圆1长轴两端点焦点准线椭圆焦点双曲线渐线斜率 ( )
A．±2 B．± C．± D．±
[考场错解] D 题意a5b3c4双曲线椭圆1长轴两端点焦点ac 4b3 ∴k
[专家脉] 没理解abc实际意义．
[症药] C 设双曲线方程1题意知c54 a220 b25a2 b
∴双曲线渐线斜率±
3．(典型例题)集合{123…11}中选两元素作椭圆方程1中mn组成落矩形区域B{(xy)‖x|<11|y|<9}椭圆数 ( )
A．43 B．72 C．86 D．90
[考场错解] D 题意mn10种m≠n椭圆数10×101090．
[专家脉] 没注意xy取值．
[症药] B 题意m10种n集合1123456781中选取m≠n椭圆数：10×8872．
4．(典型例题)设直线l椭圆1相交AB两点l双曲线x2y21相交CD两点CD三等分线段AB求直线l方程 ( )
[考场错解] 设直线l方程ykx+b
图示l椭圆双曲线交点A(x1y1)B (x2y2)C(x3y3)D(x4y4)题意3

x1+x2
(1k2)x22bkx(b2+1)0
(2)
k±1l双曲线交点合题意k≠±1
x3+x4x3x1x2x4 x1+x2x3+x4bk0b 0
①k0时(1)x12± (2)x34±3(x4x1) l方程y±
②b0时(1)x12±(2)x343(x4x3)
综述：直线l方程：y
[专家脉] 斜截式设直线方程时没注意斜率否存致造成思维片面漏解．
[症药] 解法：首先讨lx轴垂直时情况．
设直线l方程ykx+b图示l椭圆双曲线交点：A(x1y1)B(x2 y2)C(x3y3)D(x4y4)题意．
(16+25k2)x2+50bkx+(25b2400)0．(1)
x1+x2
(1k2+x22bkx(b2+1)0．
k±1l双曲线交点合题意k≠±1．
x3+x4x1+x2x2+x4 b0．①k0时(1)
(2)x34±(x4x3)．
l方程 y±
②b0时(1)x12
(2)x34(x4x3)．
l方程y．讨lx轴垂直时情况．
设直线l方程xc分代入椭圆双曲线方程解yl2
y34


综述直线l方程：yxy±x
解法二：设l椭圆双曲线交点：
A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)D(x4y4)
i两式子相减j两式子相减：

CDAB三等分点CD中点(x0y0)AB中点重合
x0y0x2x13 (x4x3)．

x0y0≠0x2x1x4x3y4y3y2y1．
ABCD互异xi≠xjyi≠yj里ij1234 i≠j(1)÷(2)1625矛盾x0y00．
①x00y0≠0时(2)y4y3≠0时l行 x轴．
设l方程yb分代入椭圆双曲线方程：xl2x34
∵x2x13(x4x3)．
l方程y±
②y00x0≠0(2)x4x3≠0时l行y轴．
设l方程xc分代入椭圆双曲线方程：yl2y34
∵y2y13(y4y3)
l方程：
③x00y00时时l通坐标原点x轴垂直．
设l方程ykx分代入椭圆双曲线方程：x12
l方程y
综述直线l方程：yyx
5．(典型例题)设AB椭圆3x2+y2λ两点点N(13)线段AB中点线段AB垂直分线椭圆相交CD两点．
(1)确定A取值范围求直线AB方程
(Ⅱ)试判断否存样AABCD四点圆说明理．(题求答题卡画图)
[考场错解] (1)设A(x1y1)B(x2y2)
(x1x2)(x1+x2)+(yly2)(yl+y2)0
题意x1≠x2 ∴kAB
∵N(13)AB中点
∴x1+x22yl+y26kAB9
N(13)椭圆∴λ<3×12+3212
∴λ取值范围(∞12)
直线AB方程y39(x1)9x+y120
[专家脉]
①差法求斜率时kAB方容易出错．②N(13)椭圆λ>3×12+3212应结时易混淆．
[症药] (1)解法1：题意设直线AB方程yA(x1)+3代入3x2+y2λ整理(k2+3)x22k(k3)x+(k3)2λ0．①
设A(x1y1)B(x2y2)x1x2方程①两根
∴△4[λ(k2+3)3(k3)2]>0②
x1+x2N(13)线段AB中点∴A(k3)k2+3．
解k1代入②λ>12λ取值范围(12+∞)．
直线AB方程y3(x1)x+y40．
解法2：设A(x1y1)B(x2y2)
(x1x2)(x1+x2)+(y1y2)(y1+y2)0
题意x1≠x2∴kAB
∵N(13)AB中点∴x1+x22yl+y26kAB1．
N(13)椭圆∴λ>3×12+3212
∴λ取值范围(12∞)．
直线AB方程y3(x1)x+y40．
(Ⅱ)解法1：∵CD垂直分AB∴直线CD方程y3 x1xy+20代入椭圆方程整理4x2+4x+4
设C(x3y3)D(x4y4)CD中点M(x0y0)x3 x4方程③两根∴x3+x41x0(x3+x4)y0x0+2M()．弦长公式|CD| ④
直线AB方程x+y40代入椭圆方程4x28x+ 16λ0 ⑤
理|AB| ⑥
∵λ>12时>∴|AB|<|CD|
假设存λ>12ABCD四点圆CD必圆直径点M圆心．点M直线AB距离d⑦
④⑥⑦式勾股定理 |MA|2|MB|2d2+
λ>12时ABCD四点均M圆心半径圆．
(注：述解法中步解法获：)
ABCD圆△ACD直角三角形A直角|AN|2 |CN|·|DN|
⑧
⑥式知⑧式左边④⑦知⑧式右边

∴⑧式成立ABCD四点圆解法2：(Ⅰ)解法1λ>12
∵CD垂直分AB∴直线CD方程y3x1代入椭圆方程整理4x2+4x+4λ0．③
直线AB方程x+y40代入椭圆方程整理
4x28x+16λ0．⑤
解③⑤式 xl2
妨设A(1+

计算∴ACD直径圆．BA关CD称点∴ABCD四点圆．
(注：勾股定理证明AC⊥AD)
专家会诊
1．重点掌握椭圆定义性质加强直线椭圆位置关系问题研究．
2注重思维全面性例求椭圆方程时考虑焦点轴情形研究直线椭圆位置关系时忽略斜率存情形……
3．注重思想方法训练分析直线椭圆位置关系时利数形结合设求法弦长公式韦达定理联系解决关参数范围问题常思路：判式法身范围法等．求椭圆方程常方法：定义法直接法定系数法相关点法参数法等．
考场思维调练
1 已知椭圆中心O坐标原点A左顶点F左焦点l1l2分左右准线l1x轴交OPQ两点椭圆PM⊥l1MPN⊥l2NQF⊥AO列值中等椭圆离心率( )

A1 B．2 C4 D．5
答案： C 解析：(1)(4)正确性容易判断(3)e(3)正确(5)求|QF|
|BF|(5)正确(2)显然选C．
2 椭圆样光学性质：圆焦点出发光线椭圆壁反射反射光线圆焦点．水放置椭圆形台球盘点AB焦点长轴长20焦距
2c静放点A球 (球半径计)点A直线出发椭圆壁反弹第次回点A时球路程 ( )
A．4a B．2(ac)
C2(a+c) D．答案均
答案： D 解析：(1)静放点A球(球半径计)点A直线出发椭圆壁右顶点反弹第次回点A时球路程2(dc)选B
(2)静放点A球(球半径计)点A直线出发椭圆壁左顶点反弹第次回点A时
球路程2(a+c)选C
(3)静放点A球(球半径计)点A直线出发椭圆壁非左右顶点反弹第次回点A时球路程4a选A
三种情况均选D
3 已知椭圆+y21(a>1)直线l点A(a0)点B(ata)(tt>0)交椭圆M．直线MO交椭圆N
(1)at表示△AMN面积S

(2)t∈[12]a定值求S值．
答案：易l方程y(x+a)…1分
(a2t2+4)y24aty0
解y0y点M坐标yMSS△AMN2S△AOM|OA|·yM (2)(1) S (t>0)
令V+a2tV′+a2V′O
时t>时V′>001≤a≤2∈[12]t时Smaxaa>20<<1∵V+ a2t[12]递增进S(t)减函数．∴t1时Smax
综Smax
命题角度2
双曲线相关知识考查
1．(典型例题1)已知双曲线x21焦点F1F2点M双曲线点Mx轴距离 ( )

[考场错解] B
[专家脉] 没理解Mx轴距离意义．
[症药] C 题意a1bc设M (x0y0)|MF1||ex0+a||x0+1||MF2| |ex0a||x01|
|MF1|2+|MF2|2|F1F2|2 x02点Mx轴距离
2．(典型例题)已知双曲线1(a>0b>0)右焦点F右准线条渐线交点A△OAF面积(O原点)两条渐线夹角 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
[考场错解] B
[专家脉] 两条渐线夹角成渐线倾斜角．
[症药] D 题意A()s△OAF·c·两条渐线yxyx求两条渐线夹角90°．
3．(典型例题Ⅲ)双曲线1(a>1b>0)焦距2c直线l点(a0)(0b)点(10)直线l距离点(10)直线l距离s≥c求双曲线离心率e取值范围．
[考场错解] 直线l方程1bx+ayab0点(10)直线l距离：点(10)直线l距离 ∴+5a5
4e425e2+25≤0解等式≤e2≤5e取值范围
[专家脉] 没理解双曲线离心率意义身存范围e>1．
[症药] 解法：直线J方程1 bx+ayab0．
点直线距离公式a>1点(10)直线l距离d1
理点（10）直线l距离d2
sd1+d2

解等式
专家会诊
1．注意双曲线两定义理解应第二定义中强调e>1必须明确焦点准线应性
2．定条件求出双曲线方程常定系数法焦点位置确定时方程两种形式应防止遗漏．
3．掌握参数abce关系渐线意义注意灵活运．
考场思维训练
1 已知F1F2双曲线1(a>0b>0)两焦点F2作垂直x轴直线双曲线交点P∠pF1F230°双 曲线渐线方程 ( )

答案： D 解析：已知tan30°2a2b2渐线方程y±选取D
2 FlF2双曲线1左右焦点O坐标原点P双曲线左支M右准线满足
(1)求双曲线离心率
答案：知四边形PF1OM行四边形
知OP分∠F1OM ∴PF1OM菱形设半焦距cc
知c+
e2e20 ∴e2(e1舍)
(2)双曲线点N(2)求双曲线方程：
答案：∵e2∴c2a ∴双曲线方程代入
 求双曲线方程1
(3)设(2)中双曲线虚轴端点B1B2(B1y轴正半轴)求B2作直线AB双曲线交AB两点求时直线AB方程．
答案：题意B1（03）B2（03）设直线AB方程ykx3A(x1y1)B(x2y2)

∵双曲线渐线y±∴k±时AB双曲线交点
k≠±∵x1+x2
y1+y2k(x1+x2)6y1y2k2x1x2k(x1+x2)+99
（x1y1 3）(x2y2 3) ⊥
k25 ∴k±
求直线AB方程yx3yx3
3 设双曲线y21右顶点AP双曲线异顶点动点A引双曲线两条渐线行线直线OP(O坐标原点)分交QR两点．
(1)证明：P点什位置总
答案：设OP：ykxAR：y
解
理|·|
设||2（mn）双曲线方程OP方程联立解m2
||2m2+n2(点双曲线14k2>0)
(2)设动点C满足条件：求点C轨迹方程．
答案：∵点CQR中心设C（xy）
消k求轨迹方程x2x24y20(x≠0)
命题角度3
抛物线相关知识考查
1．(典型例题)抛物线y24x焦点作条直线抛物线相交AB两点横坐标等5样直线 ( )
A仅条 B．仅两条
C穷条 D．存
[考场错解] D 题意|AB|5 p4通径长 2×48 5<8存样直线．
[专家脉] 没理解抛物线焦点弦长p意义．
[症药] B 解法：题意P2通径长4|AB|x1+x2+p77>4样直线仅两条解法二：定系数法设直线方程yk(x1)采设求方法求出k两值直线仅两条．
2．(典型例题1)设A(x1y1)B(x2y2)两点抛物线y2x2lAB垂直分线．
(1)仅x1+x2取值时直线l抛物线焦点F证明结
(Ⅱ)直线l斜率2时求ly轴截距取值范围．
[考场错解] (Ⅱ)设ly轴截距b题意l方程y2x+b点AB直线方程写yy2x2联立
2x2+xm0．x1+ x2设AB中点N坐标(x0y0)x0(x1+x2)y0x0+m+m．
N∈l+m+bb
ly轴截距取值范围[]
[专家脉] 没助△>0求出m>法进步求出b范围胡乱m作等0．
[症药] (1)F∈l|FA||FB|AB两点抛物线准线距离相等．
∵抛物线准线x轴行线y1≥0y2≥0题意 y1y2时0
∴述条件等价yly2x12 x22 (x1+x2)(x1x2)0
∵x1≠x2∴述条件等价 x1+x20．
仅x1+x20时l抛物线焦点F
(Ⅱ)设ly轴截距b题意l方程y2x+b点AB直线方程写yx+mx1x2满足方程2x2+xm0
x1+x2
AB抛物线两点等价述方程判式
+8m>0m>
设AB中点N坐标(x0y0)
x0(x1+x2)y0x0+m+m
N∈l+m+bb+m>
ly轴截距取值范围(+∞)．
3．(典型例题)图抛物线y22px(p>0)定点p(x0y0)(y0>0)作两条直线分交抛物线A (x1y1)B(x2y2)．
(1)求该抛物线坐标点焦点F距离
(Ⅱ)PAPB斜率存倾斜角互补时求值证明直线AB斜率非零常数．
[考场错解] (1)y时x抛物线准线方程xP抛物线定义求距离

(Ⅱ)设直线PA斜率kPA直线PB斜率kPB
y212px1y202px0
相减(yly0)(y1+y0)2P(x1x0) kPA (x1≠x0)．
理kpB(x2≠x0)kPAkPBy02 (yl+y2)
设直线AB斜率kAB
y222px2y212px1 相减
(y2y1)(y2+y1)2P(x2x1)kAB
y1+y2y0(y0>0)代入kABkAB非零常数．
[专家脉] ①没掌握抛物线准线方程②计算够准确．
[症药] (1)y时x抛物线y2 2px准线方程x
抛物线定义求距离()
(Ⅱ)设直线PA斜率kPA直线PB斜率kPB
y122px1y202px0
相减(y1y0)(yl+y0)2P(x1x0)
kPA(x1≠x0)．
理kPB(x2≠x0)．
PAPB倾斜角互补知kPAkPB
yl+y22y0
2 设直线AB斜率kAB
y222px2y212pxl
相减(y2y1)(y2+y1)2p(x2x1)

yl+y22y0(y0>0)代入
kAB非零常数．
4．(典型例题)面直角坐标系xOy中抛物线yx2异坐标原点O两动点AB满足AO⊥BO(图示)．
(1)求△AOB重心C(三角形三条中线交点)轨迹方程
(Ⅱ)△AOB面积否存值存请求出值存请说明理．
∵OA⊥OB．
[考场错解]（Ⅰ）设△AOB重心G(xy)A(x1y1)B(x2y2)

∵OA x1x2+yly20(2)
点AB抛物线y1x12y2x22代入(2)化简xlx201∴y[（x1+x2）22x1x2]3x2+
3x2
重心G轨迹方程y3x2y3x2+
[专家脉]没考虑x1x20时△AOB存
[症药] （Ⅰ）设△AOB重心G(xy)A(x1y1)B(x2y2)


点AB抛物线y1x12y2x22代入(2)化简xlx21
∴y[（x1+x2）22x1x2]3x2+
重心G轨迹方程y3x2+
(Ⅱ)S△AOB
(1)S△AOB
仅x16x26x1x21时等号成立
△AOB面积存值值1
专家会诊
1 定系数法求抛物线标准方程注意分类讨思想
2 涉抛物线弦长弦中点弦斜率问题时注意利韦达定理避免求交点坐标复杂运算
3 解决焦点弦问题时抛物线定义广泛应应注意焦点弦性质
考场思维调练
1 已知抛物线y24x准线x轴交M点M作直线抛物线交AB两点线段AB垂直分线x轴交D(x00)
(1)求x0取值范围．
1． 答案：题意易M（10）
设点M直线方程yk(x+1)(k≠0)代入y24xk2x2+(2k24)x+k20 (1)
设A(x1y1)B(x2y2)


∴AB中点坐标
线段AB垂直分线方程

方程（1）中Δ（2k24）24k4＞0∴0＜k2 ＜1
∴
(2)△ABD否正三角形求出x0值说明理
答案：ΔABD正三角形点DAB距离等
｜AB|2(1+k2)(x1x2)2(1+k2)[(x1+x2)24x1x2]
点AB距离d
d2
∴4k4+k230(k2+1)(4k23)0 ∴k2满足0∴△ABD正△时x0
2 抛物线y24x焦点F直线l该抛物线交AB两点．
(1)线段AB中点M(xy)直线斜率A试求点M坐标求点M轨迹方程
答案：设A(x1y1)B（x2y2）直线AB方程：yk(x1)k≠0)
yk(x1)代入y24x

消k点轨迹方程：y22x2(x>0)
(2)直线l斜率k>2点M直线3x+4y+m0距离试确定m取值范围．
答案：
∴
∴
∵
∴0<13m<
∴0<13m<0<13m<
∴∴3 O坐标原点直角坐标系中已知点T(80)点My轴点Nx轴正半轴满足
(1)My轴移动时求点P轨迹C
答案：设点P（xy）知PMN中点My轴Nx轴正半轴M坐标（02y）N坐标（2x0）(x>0)
8x2y20y24x(x>0)
点P轨迹（00）顶点（20）焦距抛物线(原点)
(2)动直线l点D(40)交曲线CAB两点求否存垂直x轴直线l＇AD直径圆截弦长恒定值存求出l＇方程存请说明理．
答案：设AD中点H垂直x轴直线l′方程xa
AD直径圆交l′EF两点EF中点G
|EH||AD|（中（x1y1）坐标）|HG|
|EG|2|EH|2[（x14）2+yx2][(x12a)2+4]
[(x14)2+4x1][(x12a)2+8(x12a)+16][4ax112x14a2+16a]
（a+3）x1a2+4a
a3时AD直径圆截弦长恒定值l′方程x3

命题角度4
直线圆锥曲线关系考查
1．(典型例题Ⅰ)设双曲线C：(a>0)直线l：x+y1相交两点AB
(1)求双曲线C离心率e取值范围
(Ⅱ)设直线ly轴交点P求a值．
[考场错解] (1)C点l相交两点
知方程组 两实数解消y整理(1a2)x2+2a2x2a20①4a4+8a2(1a2) >0
解：0∵0(Ⅱ)设A(x1y1)B(x2y2)P(01)∵
∴(x1yl1)(x2y21)x1x2x1 x2方程①根1a2≠0消x2
[专家脉] (1)没考虑1a2≠0(Ⅱ)没注意题目身条件a>0．
[症药] (1)Cl相交两点知方程组
两实数解消y整理(1a2)x2+2a2x +2a2x2a20
解0双曲线率心率e a≠1∴e>e≠
离心率e取值范围()∪()．
(Ⅱ)设A(x1y1)B(x2y2)P(01)．∵
∴(x1y11)(x2y21)x1x2x1x2方程①根1a2≠0x2消x2a>0a
2．(典型例题Ⅱ)定抛物线C：y24xFC焦点点F直线lC相交AB两点
(1)设l斜率1求夹角
(Ⅱ)设λ∈[49]求ly轴截距变化范围．
[考场错解] (1)设夹角α题意l方程yx1yx1代入y24xx26x+10设A(x1y1)B(x2y2)x1+x26x1x21．易·x1x2+y1y23cosα∴αarccos
(Ⅱ)题意知AB分作准线垂线垂足分A＇B＇．
∴|FB||BB＇||AF||AA＇| ∴|BB’|λ|AA＇|λ∈[4 9]
设l方程yk(x1)k2x2(2k2 +4)x+k20
∴x ∴|AA＇|+l

|BB＇|

[专家脉] (Ⅰ)没理解反余弦意义．(Ⅱ)思路清晰．
[症药] (1)C焦点F(10)直线l斜率1l方程yx1．
yx1代入方程y24x整理x26x+10．
设A(x1y1)B(x2y2)xl+x26x1x21．
(x1y1)·(x2y2)x1x2+yly22x1x2(x1 +x2)+13．

夹角πarc cos (Ⅱ)题设 (x21y2)λ(1x1y1)
①
②
②y22λ2y21．∵y214x1y224x2∴x2λ2x1 ③
联立①③解x2λ题意λ>0∴B(λ2 )B (λ2 )9(10)直线l方程(λ1)y (x1)(λ1)y2(x1)．λ∈[49]时l y轴截距
知：[49]递减
∴≤≤≤≤
直线ly轴截距变化范围[ ]∪[]．
3．(典型例题)已知椭圆C：(a>b>0)左右焦点FlF2离心率e直线lyex+ax轴y轴分交点ABM直线l椭圆C公点P点Fl关直线l称点P设
(1)证明：λ1e2
(Ⅱ)确定λ值△PF1F2等腰三角形．
[考场错解] (Ⅱ)△PF1F2等腰三角形必三种情况： (1)|PF1||F1F2|时
设点p坐标(x0y0)
解
|PF1||F1F2| []2+
两边时4a2化简 e2
(2)|PF1||F1F2|时理
解e23λ132．
(3)|PF2||F1F2|时理4c2
解e21 λ110
综述λ20时△PF1F2F2等腰三角形．
[专家脉] (1)没注意PF1⊥l∠PF1F290°+∠BAF1钝角△PF1F2等腰三角形必|PF1||F1F2|
(2)没注意椭圆离心率范围．
[症药] (1)证法：AB分直线l：y ex+ax轴y轴交点AB坐标分
()(0a)

点M坐标(c)(c+)λ(a)．

证法二：AB分直线lyex+ax轴y轴交点AB坐标分(0)(0a)设M坐标(x0y0) ()
点M椭圆1

e42(1λ)e2+(1λ)20解e21λ λ1e2．
(Ⅱ)解法：PF1⊥l ∠PF1F290°+∠BAF1钝角△PF1F2等腰三角形必|PF1||F1F2||PF1|c
设点F1l距离d|PF1|d

e．e2λ1e2
λ时△PF1F2等腰三角形．
解法二：PF1⊥l∠PF1F290°+∠BAF1钝角△PF1F2等腰三角形必|PF1||F1F2|设点P坐标(x0y0)
解
|PF1||FlF2|4c2
两边时4a2化简e2．e2
λle2．λ时△PF1F2等腰三角形．
4．(典型例题)抛物线C方程yax2(a<0)抛物线C点P(x0y0)(x0≠0)作斜率k1k2两条直线分交抛物线CA(x1y1)B(x2y2)两点(PAB三点互相)满足k2+λk10(λ≠0λ≠1)．
(Ⅰ)求抛物线C焦点坐标准线方程
(Ⅱ)设直线AB点M满足λ证明线段PM中点y轴
(Ⅲ)A1时点P坐标(11)求∠PAB钝角时点A坐标y1取值范围．
[考场错解] (1)抛物线C方程yax2(a<0)焦点坐标(0)准线方程x
(Ⅲ)∵P(11)yax2a1∴yx2
(Ⅱ)易y1(k1+1)2y2(k2+1)2直线PAPB分抛物线C交点AB坐标A(k1 1k212k11)B(k11k21+2k11)
(k1+2k21+2k1)(2k14k1)2k1(k1+2)(2k1+1)∠PAB钝角PAB三点互相必·<0
易k1取值范围 k1<2k1<2时y<1 y1∈ ．
[专家脉] 没掌握抛物线标准形式交集概念．
[症药] (1)抛物线C方程yax2(a<0)焦点坐标(0)准线方程y．
(Ⅱ)证明：设直线PA方程yy0k1(xx0)直线 PB方程yy0k2(xx0)．
点P(x0y0)·点A(x1y1)坐标方程组
解．②式代入①式ax2k1x+klx0y00 x1+x0x1x0③
点P(x0y0)点B(x2y2)坐标方程组
解．⑤式代入④式ax2k2x+k2x0y00．x2+x0x2x0
已知k2λklx2 ⑥
设点M坐标(xMyM)λxM③式⑥式代入式x0
xM+x00．线段PM中点y轴．
(Ⅲ)点P(11)抛物线yax2a1抛物线方程yx2．
③式知x1k11代入yx2y1(k1+1)2．
λ1代入⑥式x2k11代入yx2y2 (k2+1)2．
直线PAPB分抛物线C交点AB坐标 A(k11k212k11)B(k11k12+2k11)．
(k1+2k12+2k1)(2K14K1) 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)2k1(k1+2)(2k1+1)．
∠PAB钝角PAB三点互相必<0．
求k1取值范围k1<2)．
专家会诊
1．判定直线圆锥曲线交点数基方法联立方程组判断方程组解组数直线双曲线交点数问题助直线渐线斜率关系判断直线抛物线位置关系助直线抛物线称轴位置关系判定混淆．
2．涉弦长问题中应熟练利韦达定理设求计算弦长蛮算免出现差错．
3．涉弦长中点问题常差分法设求弦直线斜率弦中点坐标联系起相互转化
考场思维调练
1 设椭圆双曲线抛物线y22(m+n)x(中m>n>0)离心率分e1e2e3 ( )
A．e1e2>e3 B．e1e2 C e1e2e3 D．e1e2e3确定
答案： B 解析：e1选B
2 已知行四边形ABCDA(20)B(20)|AD|2
(1)求行四边形ABCD角线交点E轨迹方程．
答案：设E（xy）D(x0y0)
∵ABCD行四边形∴
∴（40）+（x0+2y0）2(x+2y) ∴(x0+6y0)（2x+42y）
∴
|AD|2∴（x0+2）2+y024
∴(2x2+2)24
：x2+y21
∴ ABCD 角线交点E轨迹方程x2+y21
(2)A作直线交AB焦点椭圆MN两点|MN|MN中点轴距离求椭圆方程．
答案：设A直线方程yk(x+2)
AB焦点椭圆焦距2C4C2
设椭圆方程
yk(x+2)代入(*)
(a2+a2k24)x2+4a2k2a4+4a20
设M(x1y1)N(x2y2)

∵中点轴距离MN点A点Ay轴左侧∴MN中点y轴左侧

12a2+12a2k232k2160
∴12a2+12(2a28)32k2160 ∴k2
∴a2·
(a28)(9a28)0∵a>c2 ∴a28
∴b2a2c2844
∴求椭圆方程
(3)E点轨迹相切直线l交椭圆PQ两点求 |PQ|值时l方程．
答案：（1）知点E轨迹圆
设圆点(x0y0)点切线方程x0x+y0y1
y0≠0时代入椭圆方程：

令

∵15≤t<31
∴t15时|PQ|2取值15|PQ|值时直线l方程
y±1
②时容易求求值时l方程y±1
命题角度5
轨迹问题考查
1．(典型例题)已知双曲线中心原点离心率条准线抛物线y24x准线重合该双曲线抛物线y24x交点原点距离 ( )
A2 B．
C．18+12 D．21
[考场错解] C
[专家脉] 双曲线定义理解够深刻．
[症药] B 设双曲线方程1题意ab双曲线方程1A（32）
交点原点距离
2．(典型例题)已知点A（20）B(30)动点P(xy)满足x2点P轨迹 ( )
A 圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[考场错解] C ·x2(2xy)· (3xy)x2
(2x)(3x)+(2x)(y)+(y)(3x)+ (y)·(y)x2
化简y2+2xyx3y60点 P轨迹C
[专家脉] 没理解数量积坐标运算．
[症药] D 考查圆锥曲线中轨迹方程．
题(2xy)(3xy)·x2．
∴(2x)·(3x)+y2x2y2x+6．
3．(典型例题)图直线l1ykx(k>0)直线l2ykx间阴影区域 (含边界)记W左半部分记W1右半部分记W2．
(1)分等式组表示 W1W2
(Ⅱ)区域Ⅳ中动点p(xy)l1l2距离积等d2求P点轨迹C方程
(Ⅲ)设原点O直线l(Ⅱ)中曲线C相交MlM2两点l1l2分交M3M4两点求证△OM1M2重心△OM3M3重心重合．
[考场错解] (1)W1{(xy)|y≠±kx x<0|W2｛(xy)｝y±kxx>0|
(Ⅱ)直线l1kxy0 直线l2kx+y0题意
·d2d2
∴k2x2y2±(k2+1)d20动点P轨迹C方程k2x2y2±(k2+1)d20
(Ⅲ)略
[专家脉] 没理解题意第二问出现两解致第三问复杂难完成．
[症药] 解：(I)W1{(xy)|kx0}
(Ⅱ)直线l1kxy0 直线l2kx+y0题意
·d2d2
P(xy)∈W知k2x2y2>0
d2k2x2y2(k2+1)d20
动点P轨迹C方程k2x2y2(k2+1)d20
(Ⅲ)直线J轴垂直时设直线J方程xa (a≠0)．直线l曲线C关x轴称l1l2关x轴称M1M2M3M4中点坐标(a0)△OM1M2△OM3M4重心坐标(a0)重心重合
直线l1x轴垂直时设直线J方程ymx+n(n ≠0)．
(k2m2)x22mnxn2k2d2d20
直线l曲线C两交点知k2m2≠0△(2mn)2+4(k2m2)×x(n2+k2d2+d2)>0
设M1M2坐标分(x1y1)(x2y2)x1+x2y1+y2m(x1+x2)+2n
设M3M4坐标分(x3y3)(x4y4)
x3x4
x3+x4x1+x2
y3+y4m(x3+x4)+2nm(x1+x2)+2ny1+y2
△OM1M2重心△OM3M4重心重合．
4．(典型例题)已知椭圆1(a>b>0)左右焦点分F1(c0)F2(c0)Q椭圆外动点满足2a点P线段F1Q该椭圆交点点T线段F2Q满足·0||≠0．
(1)设x点P横坐标证明||a+
(Ⅱ)求点T轨迹C方程
(Ⅲ)试问：点T轨迹C否存点M△F1MF2面积Sb2存求∠F1MF2正切值存请说明理．
[考场错解] (1)证明：焦半径公式a+ exa+
(Ⅱ)设点T坐标(xy)
0
△QF1F2中x2+b2 a2(x±a)
(Ⅲ)C存M(x0y0)sb2充条件：

(Cx0y0)(cx0y0)
·x02c2+y20a2c2b2
cos∠F1MF2b2ssin∠FlMF2
tan ∠FlMF22
[专家脉] (1)没注意证明题书写格式(2)思考问题够全面．
[症药] (1)证法：设点P坐标(xy)．P(xy)椭圆
2
|x|≤a知a+≥c+a>0a+x．
证法二：设点P坐标(xy)．记
r1 r2


r1+r22ar21r224cxr1a+．
证法三：设点P坐标(xy)．椭圆左准线方程a+0．
椭圆第二定义
x≥a知a+≥c+a>0 a+
(Ⅱ)解法：设点T坐标(xy)．
0时点(a0)点(a0)轨迹．
时0
T线段F2Q中点．
△QF1F2中ax2+y2a2
综述点T轨迹C方程x2+y2a2
解法二：设点T坐标(xy)．||0时点(a0)点(a0)轨迹．
时
||||T线段F2Q中点．
设点Q坐标(x＇y＇)
①
2a(x＇+c)2+y＇24a2．②
①代入②x2+y2a2．
综述点T轨迹C方程x2+y2a2
(Ⅲ)解法：C存点M(x0y0)Sb2充条件

③|y0|≤a④|y0|≤a≥时存点MSb2
a<时存满足条件点M．
a≥时(cc0y0)(cc0y0)
·x02c2+y20a2c2b2

解法二：C存点M(x0y0)Sb2充条件

④|y0|式代入③x20a2 (a) (a+)≥0．
a≥时存点Msb2
a<时存满足条件点M．
a≥时记k1kF1M
|F1F2|<2a知∠F1MF2<90°tan∠F1MF22．
专家会诊
(1)求轨迹方程质代数形式动点运动规律表示出实质翻译程选取定解题策略找动点运动规律表现形式关键研究曲线性质讨直线曲线位置关系等联系起．
(2)求轨迹注意取值范围杂点．
考场思维训练
1 已知椭圆：1(a>b>0)点户点F1F2椭圆焦点∠F1PF2外角分线l点F2关l称点QF2Q交l点R
(1)P点椭圆运动时求R形成轨迹方程
1． 答案：∵点F2关l称点Q连接PQ
∴∠F2PQ∠QPR|F2R||PQ||PF2|l∠F1PF2外角分线点F1PQ直线设存R（x0y0）Q(x1y1)F1(c0)F2(c0)
|F1Q||F2P|+|PQ||F1P|+|PF2|2a（x1+c）2+y12(2a)2

x12x0cy12y0
∴(2x0)2+(2y0)2(2a)2 ∴x02+y02a2
R轨迹方程：x2+y2a2(y≠0)
(2)设点R形成曲线C直线l：yk(x+a)曲线C相交AB两点△AOB面积取值时求k值．
答案：图：∵S△AOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB
∠AOB90°时S△AOB值a2
时弦心距|OC|
RT△AOC中∠AOC45°∴°
2 已知两点M(20)N(20)动点Py轴射影H||2等中项．
(1)求动点P轨迹方程指出方程表示曲线
2． 答案：设动点坐标P(xy)H（0y）
(2xy)·(2xy)x24+y2
|x|题意|PH|22·x22(x24+y2)
1点P轨迹椭圆
(2)点MN焦点双曲线C直线x+y1点Q求实轴长双曲线C方程．
答案：已知求N（20）关直线x+y1称点E（11）|QE||QN|
双曲线C实轴长2a|QM||QN|||QM||QE||≤|ME|(仅QEM线时取)双曲线C实半轴长a
3 已知△OFQ面积2m．
(1)设答案：
∴tanθ
∴
(2)设O中心F焦点双曲线点Q(图)||cm取值时求双曲线方程．
答案：设求双曲线方程

仅c4时|

求方程
(3)设F1(2)中求双曲线左焦点AB分双曲线渐线l1l2动点2|AB|5|F1F|求线段AB中点M轨迹方程说明轨迹什曲线．
答案：设A（x1y1）B(x2y2)l1方程y方程yy11①
y22②∵2|AB|5|FF1|
∴
y1y22代入③
∴
命题角度6
考查圆锥曲线中定值值问题
1．(典型例题)图点AB分椭圆1长轴左右端点点F椭圆右焦点．点P椭圆位x轴方PA⊥PF．
(1)求点P坐标
(2)设M椭圆长轴AB点M直线AP距离等|MB|求椭圆点点M距离d值．
[考场错解] (1)设P(xy)(x+6y) (x4y)已知
2x2+9x+180．∴x x6
∴点P坐标()(60)．
(2)直线AP：xy+60设点M(A0)M直线AP距离 解k2 18 i)k2时椭圆点(xy)点M距离dd2(x2)2+y2 (x)2+15．∴x时d取值 ⅱ)k18时理d2(x)2385x时d2385矛盾舍
综述：x时d取值
[专家脉] 没考虑椭圆分面界性致思路清晰计算繁琐．
[症药] [解](1)已知点A(60)F(04)
设点P(xy)(x+6y)(x4y)已知
2x2+9x180xx6．y>0xy
点P坐标()
(2)直线AP方程x+60．设点M(m0)M直线AP距离 ． |m6|6≤m≤6解m2．
椭圆点(xy)点M距离dd2(x2)2+y2 x24x+4+20x2 (x)2+15
6≤m≤6∴x时d取值
2．(典型例题)图直线y x严抛物线yx24交AB两点线段AB垂直分线直线y5交点Q．
(1)求点Q坐标
(2)P抛物线位线段AB方(含点AB)动点时求△OPQ面积值．
[考场错解] (1)略(Ⅱ)(1)Q(55) 直线OQ方程x+y0
设P(x 4)∵点P直线OQ距离
d
∵4≤x≤8． ∴S△OPQ值|(4+4)248|15
[专家脉] 注意二次函数值求法．
[症药] (1)解方程组A(42)B(84)AB中点M(21)线段AB垂
直分线方程y12(x2)．令y5x5∴Q(55)．
(2)直线OQ方程x+y0设P(x4)∵点P直线OQ距离d

∵P抛物线位线段AB方点P直线OQ．
∴ 4≤x<44443．(典型例题)设椭圆方程x2+1点M(01)直线l交椭圆点ABO坐标原点点P满足点N坐标()l绕点M旋转时求：
(Ⅰ)动点户轨迹方程
(Ⅱ)值值．
[考场错解] (1)①l斜率存设kl：y kx+1代入4x2+y24中(k2+4)x2+2kx30
∴x1+x2

i)A0时x0 y1∴P(01)
ii）k≠0时k
∴P点轨迹：x2+y2y0(y≠O)
②l存斜率∴AB顶点．∴P(00)
(2)解：∵N()i)∵k存时P(00) ii） k0时P(01)． iii）k≠0时x2+(y)2
∵N()max2r1 ∴min0．
[专家脉] 思路清晰．
[症药] (1)解法：直线l点M(01)设斜率AJ方程ykx+1．
记A(x1y1)B(x2y2)题设AB坐标(x1y1)(x2y2)方程组解．
①代入②化简．(4+k2)x2+2kx30．

设点P坐标(xy)
消参数k
4x2+y2y0． ③
k存时AB中点坐标原点(00)满足方程③点P轨迹方程
4x2+y2y0
解法二：设点P坐标(xy)A(x1y1)B(x2y2)椭圆
④
⑤
④⑤
（x1x2）(x1+x2)+(y1y2)(y1+y2)0
x1≠x2时
⑥
⑦
⑦代入⑥整理4x2+y2y0．⑧
x1x2时点AB坐标(02)(02)时点p坐标(00)满足⑧点P轨迹方程

(Ⅱ)解法：点P轨迹方程知x2≤ ≤x≤

x时取值值x时取值值
4．(典型例题)图P抛物线C：yx2—点直线l点P抛物线C交点Q．
(1)直线l点P切线垂直求线段PQ中点 M轨迹方程
(Ⅱ)直线l原点x轴交点Sy轴交点T试求取值范围．
[考场错解] (1)设P(x1y1)Q(x2y2)M(x0y0)
yx2①y＇1x ∴直线l方程yx12 (xx1)②联立①②消y
x2+x1220 ∵MPQ中点
∴
消x1y0x02+ ∴PQ中点M轨迹方程yx2++1．
(Ⅱ)设直线ykx+b分PQ作PP＇⊥x轴 QQ＇⊥y轴垂足分P＇Q＇

消xy22(k2+b)y+b20③


取值范围[2+∞]．
[专家脉] (1)没注意杂点(Ⅱ)没注意利重等式时等号成立条件．
[症药] 解法：(1)设P(x1y1)Q(x2y2)M (x0y0)题意x1≠0yl>0y2>0．
yx2①
y＇x
∴点P切线斜率k切x1
∵x10合题意 ∴x1≠0．
∴直线l斜率k1直线l方程yx21(xx1)．②
方法：联立①②消yx2+x2120．
∵MPQ中点

消x1y0x02++1(x0≠0)∴PQ中点M轨迹方程yx2++1(x≠0)
方法二：y1x21y2x22x0y1y2x21x22(x1+x2)(x1x2)x0(x1x2)x0k1
∴x1
式代入②整理y0x20++1(x0≠0)
∴PQ中点M轨迹方程yx2++1(x≠0)．
(Ⅱ)设直线l：ykx+b题意k≠0b≠0T(0b)．分PQ作PP＇⊥x轴QQ＇⊥y轴垂足分p＇ Q＇

消xy22(k2+b)y+b20．③

方法：

∵y1y2取切相等正数
∴ 取值范围(2+∞)．
方法二：∴
b>0时|b|+2>2
b<0时 b
方程③两相异实根△4(k2+b)24b2 4k2(k2+2b)>0．
k2+2b>0k2>2b．

∵b>0时取切正数
取值范围(2+∞)．
方法三：
PQT三点线kTQkTP

x1y2bx1x2y1bx2b(x2x1)(x2y1x1y2)．
b

取切等l正数取值范围(2+∞)．
专家会诊
①直线定点问题常直线系思想处理．
②定值问题常常函数思想处理求定值通基变量表示终化成常数．
③值问题方法函数等式等方法处理．
考场思维调练
1 已知椭圆C：(m>0)右焦点F(11)方量直线l交椭圆CAB两点M线段AB中点设O椭圆中心射线 OM交椭圆CN点．
(Ⅰ)证明：
(Ⅱ)求值．
答案： a2
∵直线l焦点F（m0）量a(11)行
∴直线l方程：yxm
　代椭圆C方程整理：８x210mx…①
设A(xAyA)B(xByB)M(xMyM)N(xNyN)
∵M线段AB中点方程①中韦达定理：

设N’OM延长线点MON’中心N’行四边形N’坐标代入椭圆C方程左端化简
N’点椭圆CN’N点重合
∴四边形OANB行四边形
2 已知椭圆C：(a>b>0)左右焦点分F1F2离心率e P1椭圆点满足
斜率k直线l左焦点F1椭圆两交点PQy轴交点C点Q分线段成λ．
(Ⅰ)求椭圆C方程．
答案：设
△P2F1F2直角三角形∠P1F2F190°
r1cos∠F1P1F2

(Ⅱ)设线段PQ中点R左准线射影H 1≤λ≤2时求|RH|取值范围．
答案：求|RH|3
yk(x+1)中令x0ykG（ok）定分点坐标公式
[12]递增∴

3 椭圆C：1(a>b>0)外定点A(m0)作直线l交椭圆C：PQ两点Q关x轴称点Ql连结PQ1交x轴B点．
(1)λ求证λ
3． 答案：连结AQ1QQ1关x轴称Ax轴△APQ1中AB分∠PAQ1
角分线定理知：|Aλ>0|APBQ1直线
：
(2)求证：点B定点(0)．
答案：设A（m0）直线l椭圆C：交P（x1x2）Q(x2y2)Q1Q关x轴称Q1（x2y2）


PQA（m0）：

PQ1B（Xb0）理求：

面利分析法证明：mxBa2
①
需证： [a2b2+b2x1x2ab2(x1+x2)][a2b2+b2x1x2+ab2(x1+x2)](a2y1y2)2
需证： b2[a2a(x1+x2)+x1x2]·b2[a2+a(x1+x2)+x1+x2](a2y1y2)2
证： b4(ax1)(ax2)(a+x1)(a+x2)(a2y1y2)2
②
（x1y1）椭圆b2(a2 ③
理b2 ④
③×④知②成立①式证mxBa2成立
∴xB
法：证（1）设l直线A（m0）椭圆交P（x1y1）Q(x2y2)Q1Q关x轴称Q1(x1y2)
 y10λ(y20)
∴0y1λ(y20) ∴
①
②
①×② ③
④
④⑤·


③⑥知mxBa2 ∵
∴点B定点
探究开放题预测
预测角度l
椭圆
1．椭圆两焦点直径端点圆交椭圆四点次连结四点两焦点恰围成正六边形椭圆离心率等( )
A．
[解题思路] 利正六边形性质求出交点坐标代入椭圆方程中求e．
[解答]C 设椭圆方程
椭圆∴
2．设F1F2椭圆两焦点椭圆点P两焦点张成90度角∠PF1F2>PF2F1椭圆离心率∠PF1F2：∠PF2F1
( )
A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：l
[解题思路] 求角联想运正弦定理转化焦半径利合性质解三角形．
[解答]A 提示：设∠PF1F2α∠PF2F190°α0<α<45°△PF1F2中正弦定理：

3．已知椭圆抛物线x22p(y+)准线准线焦点焦点椭圆抛物线分直线x第象限交点ABAOB中点(O原点)．
(1)求椭圆离心率
(2)椭圆点(05)求抛物线椭圆方程．
[解题思路] (1)运椭圆第二定义(2)椭圆点 (05)求出F运定义求出两方程．
[解答] (1)已知抛物线准线yp焦点坐标原点椭圆准线yp焦点原点O点B坐标方程组
解方程组3y22py+p23y22pyp20
解ylpy2 (舍) ∴B(pp)A()．
点A椭圆根椭圆第二定义e (dAA椭圆准线距离)

(2)椭圆点(05)p∴抛物线方程x25(y+)
设M(xy)椭圆点椭圆焦点(0 0)准线y离心率．
4．椭圆中心原点O短轴长2相应焦点F(c0)(c>0)准线lx轴相交点A|OF|2|FA|点A直线椭圆相交PQ两点．
(1)求椭圆方程离心率
(2)0求直线PQ方程
(3)设λ(λ>1)点P行准线l直线椭圆相交点M证明λ．
[解题思路] (1)设出椭圆方程abc关系|OF|2|FA|求．(2)运设求方法求直线PQ斜率
(3)运量坐标ME点表示出求证．
[解答] (1)解：题意设椭圆方程 1(a>)．
已知 解ac2．
椭圆方程离心率e
(2)解：(1)A(30)．
设直线PQ方程yk(x3)． 方程组
(3k2+1)x218k2x+27k260题意△ 12(23k2)>0设P(x1y1)Q(x2y2)x1+x2①
x1x2 ②
直线PQ方程y1k(x13)y2k(x23)． yly2k2(x13)(x23)k2[x1x23(x1+x2)+9]．③
∵0 ∴xlx2+y1y20． ④
①②③④5k21k．
直线PQ方程xy30x+30
(3)证明：(x13y1)(x23y2)．已知
方程组注意λ>1解x2
F(20)M(x1y1)(x12y1)(λ(x2 3)+1y1)(y1)λ(y2)．
(x22y2)( y2)λ．
预测角度2
双曲线
1．双曲线1左右焦点分F1F2p双曲线右支点I△PF1F2心PI交x轴Q点|F1Q||PF2|I分线段PQ ( )
A．2 B
[解题思路] 利双曲线第定义三角形心性质求．
[解答]A 设λ角分线性质定理知λ
|F1P||F2P|4 ∴|F2P|
∴|F2Q| |F2P|∴|F1F2| |F1Q|+|QF2||PF2|+|QF2|6
解方程λ1(舍)λ22I分PQ2．选A 2．
2设A双曲线(a>0b>0)右顶点P双曲线顶点外点A作两渐线行线分交直线OPQR两点．
(1)求证：|OP|2|OQ|·|OR|
(2)试确定双曲线否存样点P△AQR面积等果存求出点P坐标果存请说明理．
[解题思路] (1)联立OP渐线方程求出QR点坐标证(2)反证法假设存样点户利S△ARQS△OARQS△OAR求出点P坐标检验否符合条件．
[解答] (1)证明：设P(x0y0)(y0≠0)直线OP方程yb2x02a2y02a2b2．
Q点坐标
R点坐标
∴|OQ|·|OR|x02+y02|OP|2．
|OP|2|OQ|·|OR|．
(2)假设存样点P双曲线称性先讨P第象限情形．
设P(x0y0)(x0>0y0>0)yQ>yR
S△ARQS△OARQS△OARa(yQyR)

S△ARQ ∴y02y0∴x0a
第象限点P(a)符合条件．
根双曲线称性外三样点P(a)P（a）P（a）
3．已知焦点x轴双曲线C两条渐线坐标原点两条渐线点A（0）圆心1半径圆相切知C焦点A关直线yx称
（Ⅰ）求双曲线C方程
（Ⅱ）设直线ymx+1双曲线C左支交AB两点直线lM（20）AB中点求直线ly轴截距b取值范围
（Ⅲ）Q双曲线C点F1F2双曲线C左右两焦点F1引∠F1QF2分线垂线垂足N试求点N轨迹方程
[解题思路]（1）直接设方程求（2）联立方程求出直线L方程k范围求出b范围（3）运相关点法求点N轨迹方程
[解答]（Ⅰ）设双曲线C渐线方程ykxkxy0
∵该直线圆x2+(y)21相切∴双曲线C两条渐线方程y±x
设双曲线C方程双曲线C焦点（0）
∴2a22a21 ∴双曲线C方程x2y21
(Ⅱ)（1m2）x22mx20
令f(x)(1m2)x22xm2
直线双曲线左支交两点等价方程f(x)0（∞0）两等实根
解1AB中点（）∴直线l方程y(x+2)
令x0b
∵m∈（1）
∴2（m）2+∈(2+1)
∴b∈(∞2)
∪（2+∞）
（Ⅲ）Q双曲线右支延长QF2T|QT||QF1|
Q双曲线左支延长QF2T|QT||QF1|
根双曲线定义|TF2|2点TF2（0）圆心2半径圆点T轨迹方程（x）2+y24(x≠0)①
点N线段F1T中点设N(xy)T(xTyT)．

代入①整理点N轨迹方程x2+y21．(x≠)．
预测角度3
抛物线
1．点0抛物线y24x点点P(a0)恒满足|PQ|≥aa取值范围 ( )
A．[∞0) B．(∞2] C．[02] D．(02)
[解题思路] 利数形结合法排法．
[解答]A 显然a≤0时|PQ|≥a恒成立排B CD．
2．抛物线x24y两点AB分作抛物线切线相交P点PA·PB0
(1)求点P轨迹方程
(2)已知点F(01)否存实数入+λ()20
存求出A值存请说明理．
[解题思路] (1)运转移法(2)运量坐标表示充条件求出λ．
[解答]
解法()：(1)设A(x1)B(x2 ) (x1≠x2)x24yy＇ ∴kPAkPB
∵PA·PB0∴PA⊥PB∴x1x24
直线PA方程：y(xx1)y ①理直线PB方程：y ②
①②： (x1x2∈R)
∴点P轨迹方程yl(x∈R)．
(2)(1)： (x1 )(x21)P (1)
2)x1x24 ·x1x2+ 1)( 1)2+4+2
·0存λ1·+λ（）20．
解法（二）：直线PAPB抛物线相切·0


∴直线PAPB斜率均存0PA⊥PB设PA直线方程ykx+m(km∈Rk≠0)

mk2
直线PA方程：ykxk2
理直线PB方程：
：
点P轨迹方程y1(x∈k)
(2)（1）：

3点A(01)抛物线Cyx2作切线AB切点B点B第象限线段AB中点M作直线l抛物线C交两点EF直线AFAE分交抛物线CPQ两点
（Ⅰ）求切线AB方程切点B坐标
（Ⅱ）证明
[解题思路]（1）利导数求B坐标（2）坐标法证明
[解答]（Ⅰ）题意设切线AB方程：ykx1
代入yx2x2kx+10
∵点B第象限∴k2 ∴切线AB方程：y2x1
∵yx2 ∴y’2x ∵y’2 ∴x1 ∴yx21
∴切点B坐标（11）
（Ⅱ）（Ⅰ）线段AB中点M（0）设直线l方程ym(x)
点E(x1x12)F(x2x22)P(x3x32)Q(x4x42)
x2mx+m0
∵直线l抛物线C交两点EF∴△m22m>0解m>2m<0
∴x1+x2mx1x2m

APF线∴KAPKAF

∴（x3x2）(x2x31)0
x2≠x3x2x31
理AEQ线x1x41

预测角度 4
直线圆锥曲线
1．直线yx+3曲线公点数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[解题思路]讨x≥0x<0运数形结合方法
[解答]yx+3代入4x29x|x|+24x0x≥0时x0x<0时应选取C数形结合法求
2．椭圆右焦点F作直线l交椭圆MN两点设
（Ⅰ）求直线l斜率k
（Ⅱ）设MN椭圆右准线射影分M1N1求值
[解题思路]（1）运弦长公式求直线l斜率k
(2)利量数量积公式
[解答]（Ⅰ）F（）lyk(x)
(1+4k2)x28k2x+12k240
设M（x1y1）N(x2y2)x1+x2①
x1·x2②
③
①②代入③整理解
（Ⅱ）设夹角θ0<θ<
（Ⅰ）知

3．已知圆Mx2+y26x+a0(a<9)四点ABCD（ABCD时针排列）满足直线CD方量坐标（31）
(1) 求直线ACBD斜率
(2) 果x轴方AB两点条原点顶点x轴称轴抛物线求抛物线方程直线CD方程
[解题思路]（1）运公式tan求直线ACBD斜率
（2）设求方法求抛物线方程
[解答]（1）四边形ABCD行四边形
∵四边形ABCD接圆∴四形ABCD矩形
∴四边形ABCD正方形
∠D方量坐标（31）kCD
∠DCA∠BDC45°tan45°
解kACkBD2
(2)设抛物线方程y22px代入⊙M方程x2+y26x+a0x2+(2p6)x+a0(*)
设A（）
B
3
+310p0 ①∵AM⊥BM圆心M（30）
∴kAM·kBM
∴ ②①②
∴抛物线方程y2x方程（*）x11x24
∴A(11)
∴lABy1(x1)x3y+20
∵CDAB ∴设lCDx3y+t0 M(30)ABCD距离相等求t8 ∴CD方程x3y80
4．已知椭圆C：右焦点分F1F2离心率eP1椭圆点满足
斜率k直线l左焦点F1椭圆两交点PQy轴交点G点Q分线段成λ
（Ⅰ）求椭圆C方程
（Ⅱ）设线段PQ中点R左准线射影H1≤λ≤2时求|RH|取值范围
[解题思路]（1）利椭圆第定义余弦定理求椭圆C方程（2）定分点求K范围求|RH|取值范围
[解答]（1）设直角三角形∠P1F2F190°r1cos∠F1P1F2r2

解a24b23∴椭圆C方程
（2）求yk(x+1)中令x0ykG(0k)
分点坐标公式
显然f(λ)3λ2+8λ+4[12]递增∴
预测角度 5
轨迹问题
1．设F（20）动点Py轴距离d满足点P轨迹方程y28xy0(x≤0)条件 （ ）
A|PF|d2 B|PF|d2
C|PF|d3 D|PF|d3
[解题思路]抛物线定义性质判断
[解答]点P原点时选择支ACD均错正面验证B正确性
2．已知两点M（20）N（20）动点Py轴射影H果数列第三四项
（1） 求动点P轨迹C
（2） 已知点N直线l交曲线Cx轴方两点AB设RAB中点R定点Q（02）直线交x轴点D（x00）求x0取值范围
[解题思路]（1）量坐标运算求动点P轨迹方程C（1）设直线l斜率k运直线双曲线位置关系求出k范围求x0取值范围
[解答]（1）设P（xy）H(0y)
∴
∴2x2x24+y2 ∴P轨迹方程：y2x24(x≠0)
（2）yk(x2)代入y2x24(k21)y24ky8k20
题意
AB中点R（）RQ方程y+2
令y0x0单调性23．设x1x2∈R常数a>0定义运算x1x2(x1+x2)2定义运算x1x2(x1x2)2
(1)x≥0求动点P（x轨迹C方程）
(2)已知直线lyx+1（1）中轨迹C交A（x1y1）B(x2y2)两点试求a值
(3)设P（xy）面点定义：d1(p)轨迹C否存两点A1A2满足d1(Ai)d2(Ai)(i12)存请求出d1(A1)+d1(A2)值存请说明理
[解题思路]（1）条件易求轨迹C方程（2）利弦长公式求a值（3）根系数关系解a范围求出d1(A1)+d1(A2)值
[解答]（1）y y24ax(y≥0)
(2)yx+1代入y24axx2+4(14a)x+40

(3)设C两点A1（x1y1）A2(x2y2)满足d1(Ai)d2(Ai)(i12)x2方程（a1）x22(a2+2a)x+a30两根x1≥0x2≥0x1≠x2

解a<1a>1时存满足条件两点01时（x1a）(x2a)x1x2a(x1+x2)+a2
d1(A1)+d2(A2)[d2(A1)+d2(A2)]|x1x2|
4．(题满分12分)设GM分等边△ABC重心外心A（10）B（10）
（1） 求点C轨迹E程
（2） 直线L点（01）曲线E交PQ两点满足求直线L方程
[解题思路]（1）三角形重心外心性质求点C轨迹E方程（2）设求方法求直线L方程
[解答]（1）设C(xy)G()中x·y≠0设外心M（0m）GMAB
m

整理轨迹E方程：3x2+y23(xy≠0)
设L方程ykx+1代入3x2+y23化简
（k2+3）x2+2kx20
△4k2+8(k2+3)>0
设P(xkx1+1)Q(x2kx2+1)∴x1+x2①
0(kx1+1)(kx2+1)+x1x20(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+10
结合①3k21k直线L方程：
yx+1
预测角度 6
圆锥曲线中定值值问题
1．F1F2中二次曲线C：（参数）焦点P曲线C点△PF1F2面积时值 （ ）
A．0 B．1 C．1 D．2
[解题思路]参数方程化普通方程运性质求
[解答]B 曲线方程1设P（xy）S△F1PF2代入求
|x|妨取P（）
2．已知（20）动点M定直线y1距离等d满足中O坐标原点k参数
（1） 求动点M轨迹方程
（2） k求值值
（3）果动点M轨迹条圆锥曲线离心率e满足求k取值范围
[解题思路]（1）坐标轨迹法求（2）运坐标运算转化二次函数值问题（3）椭圆性质abc关系求k取值范围
[解答]（1）设M（xy）（20）（01）O坐标原点A（20）B（21）C（01）（xy）(x2y)(xy1) ((x2)y1)d|y1|根
（1k）x2+2(k1)x+y20求轨迹方程k1时y0时动点M轨迹直线k0时动点M轨迹圆k>1时动点M轨迹条双曲线0（2）k时动点M轨迹方程（x1）2+2y21（x1）2+2y210≤x≤2x时
（3）求轨迹椭圆方程化0时a21b21kc2ke2ke2kk<0时a21kb21c2ke2综合知k取值范围

3．已知△OPQ面积SO中心P焦点椭圆点Q
（1） m∈（12）时求值求出时椭圆C方程
（2） （1）条件点P直线l椭圆C相交MN两点椭圆C应焦点P准线相交D点
请找出λ1λ2间关系证明结
[解题思路]（1）运坐标运算转化函数f(x)x+值问题（2）椭圆第二定义易求
[解答]（1）O原点线x轴建立直角坐标系
P（m0）设Q(x0y0)已知S
∴
1
∴Q（m+）∴
令f(n)m+f’(m)1
m∈（12）时f’(m)>0 ∴f(m)（12）增函数
∴m2jf 值
时P（20）椭圆焦点P’（20）椭圆长轴长2a|PQ|+|P’Q|2
∴ab21046椭圆方程
（2）方法二：直线lx轴重合时M（0）N（）D（50）
时
猜想：λ1+λ20
设P（20）直线方程yk(x2)

设l椭圆两交点M（x1y1）N(x2y2)
x1+x2
题意PD分
∴λ1
∴
λ1+λ20
方法二：题意PD分
MN分作准线垂线垂足分M1N1
定分点意义椭圆定义：
∴λ1+λ20
4．已知图AB两定点|AB|2动点MA点距离4线段MB垂直分线l交MA点P直线k⊥AB点B直线k距离3
（1） 求证：点P点B距离直线K距离定值
（2） 点PAB两点距离积mm取值时求P点坐标
（3） |PA||PB|1求
[解题思路]（1）椭圆定义证（2）运定义等式求值（3）余弦定理定义求值
[解答]建立直角坐标系A（10）B（10）直线kx4
(1) ∵lMB中垂线∴|PA|+|PB||PA|+|PM|44>|AB|2 ∴点P轨迹AB焦点长轴长4椭圆右准线kxx4离心率ePB距离直线k距离定值
(2) ∵|PA|+|PB|4∴m|PA|·|PB|≤仅|PA||PB|时取等号时m值4P椭圆短轴两端点坐标P（0）P（0）
(3) 解|PA|52|PB|32|AB|2△PAB中
cos∠APB
考点高分解题综合训练
1．已知椭圆焦点x轴椭圆离心率e取值范围 （ ）

答案： A 解析：已知条件5a>4a2+1 ∴离心率定义：

2．设F1F2双曲线两焦点P双曲线△F1PF2面积1时值 （ ）
A．0 B．1
C． D．2
答案： A 解析：利公式
3．已知AB抛物线y22px(p>0)两点O坐标原点|OA||OB|△AOB垂心抛物线焦点直线AB方程 （ ）
A．xp B．xp
C．x D．x3p
答案： C 解析：设AB方程xx1A（x1）B(x1 )OA斜BF斜率
4．双曲线右焦点F作渐线垂线双曲线左右两支相交双曲线离心率e取值范围 （ ）
A．1C．e> D．e>2
答案： C 解析：略
5．已知两定点F1（83）F2（23）动点P满足|PF1||PF2|2aa35时点P轨迹 （ ）
A．双曲线直线
B．双曲线射线
C．双曲线支直线
D．双曲线支射线
答案： D 解析：双曲线第定义中设F1F2双曲线左右焦点（1）||PF2||PF1||2a<|F1F2|时P点轨迹双曲线（2）|PF2||PF1|±2a时P点轨迹双曲线支取正号时左支取负号时右支（3）
||PF2||PF1||2a|F1F2|时P点轨迹F1F2端点射线
6．椭圆左右焦点分F1F2线段F1F2抛物线y22bx焦点分成5：3两段椭圆离心率 （ ）

答案： D 解析：略
7．已知|2x3y12|值______________
答案：解析：知动点P轨迹A（）焦点长轴长6椭圆方程

8已知圆锥曲线C点p（32）焦点F（10）应焦点准线x1焦点F意作曲线C弦AB弦AB长度超8直线AB椭圆3x2+y22相交两点AB倾斜角θ取值范围_____________
答案：解：计算：点PC准线距离4|PF|4
∴曲线C抛物线方程y24x设直线AB方程yk(x1)ky24y4k0设A(x1y1)B(x2y2)
方面yk(x1)代入椭圆方程（2k2+3）x24k2x+2(k21)0 ∴△16k48(2k2+3)(k21)>0 ∴k2<3 (2)
（1）（2）3＞k2≥1 ∴1≤|k|<
∴AB倾斜角取值范围：

9．已知O坐标原点（21）（17）（51）
（Ⅰ）求点P（xy）轨迹方程
答案：
∴y5(x2)28求点P（xy）轨迹方程
（Ⅱ）点P（xy）轨迹量a(28)移曲线CMN曲线C两点果求证直线MN恒定点求出定点坐标
答案：yf(x)图象量移曲线C曲线C方程：y5x2
设M（x1y1）N(x2y2)OM⊥ON
△(2kyo5)4k2yo22520kyo>0

直线MN方程：

直线MN恒定点（50）
10．F1F2双曲线左右焦点O坐标原点P双曲线左支M右准线满足

（1）求双曲线离心率
（2）双曲线点N（2）求双曲线方程
答案：
知OP分∠F1OM∴PF1OM菱形设半焦距c

（3）设（2）中双曲线虚轴端点B1B2（B1y轴正半轴）求B2作直线AB双曲线交AB两点求时直线AB方程
答案：题意B1(03)B2(03)设直线AB方程ykx3A(x1y1)B(x2y2)

∵双曲线渐线y±
AB双曲线交点




求直线AB方程y
11．已知常数a>0量（0a）(10)定点A（0a）方量直线定点B（0a）方量直线相交点P中λ∈R
（Ⅰ）求点P轨迹C方程
答案：设P点坐标（xy）
n(10)m(0a)m+λn(λa)
n+2λm(12λa)
题知量量m+λn行λ（y+a）ax
量量n+2λm行ya2λax
两方程联立消参数λ点P(xy)轨迹方程（y+a）(ya)2a2x2y2a22a2x2
（Ⅱ）aE（01）直线l交曲线CMN两点求取值范围
答案：点P轨迹方程2y22x21
时点E(01)双曲线焦点
①直线l斜率存方程x0l双曲线交

②直线l斜率存设方程ykx+1代入
2y22x21 化简
2(k21)x2+4kx+10
∴直线l双曲线交两点
∴△(4k)28(k21)>0k21≠0
解k≠±1
设两交点M(x1y1)N(x2y2)



12．图ABCD边长2正方形纸片某动直线l折痕正方形方部分翻折次翻折点B落边AD记B折痕lAB交点E点M满足关系
（Ⅰ）建立适直角坐标系求点M轨迹方程
答案：建立适坐标系设E（0t）B’(xo2)M(xy)△ABE中求|AB’|



（Ⅱ）曲线C点M轨迹关边AB称曲线组成F边AB点点F直线交曲线CPQ两点求实数λ取值范围
答案：显然PQx轴垂直时符合题意设直线PQ方程：ykx+P(x1y1)Q(x2y2)

整理：x2+4kx20(*)
∴x1+x24kx1x22(1)△16k2+8>0


x1λx2(2)代入(1)：

根图知仅时直线曲线c两交点

考点10
空间直线面
►空间直线面位置关系
►空间角
►空间距离
►简单体
►利三垂线定理作二面角面角
►求点面距离
►折叠问题
典型易错题会诊
命题角度1
空间直线面位置关系
1．（典型例题）图四棱锥PABCD中底面ABCD正方形侧棱PD⊥底面ABCDPDDCEPC中点作EF
⊥PB点F
（1）证明：PA面EDB
（2）证明：BP⊥面EFD
（3）求二面角C—PD—D
[考场错解]第（2）问证明：∵PDDCEPC中点∴DE⊥PC∴DF面PBC射影EF已知EF⊥PB根三垂线定理：DF⊥PBEF⊥PB∴PB⊥面EFD
[专家脉]直线面射影概念理解错误DE⊥PC出EFDF面PBC射影应先证明DE⊥面PBC出EFDF面PBC射影利三垂线定理
[症药]（1）图连接ACAC交BDO连接EO∵底面ABCD正方形∴OAC中点△PAC中EO中位线∴PAEOEO面EDBPA面EDBPA面EDB
（2）∵PD⊥面ABCD∴面PDC⊥面ABCD底面ABCD正方形∴BC⊥CD∴BC⊥面PCD∴BC⊥DEDE⊥PC∴DE⊥面PBC∴DF面PBC射影EFEF⊥PB∴DF⊥PBPB⊥EF∴PB⊥面DEF
（3）（2）知PB⊥DF∠EFD二面角C—PB—D面角（2）知DE⊥EFPD⊥DB设正方形ABCD边长aPDDCaBDaPBaPCaDEPCRt△PDBk OFRt△EFD中sin∠EFD∴∠EFD二面角C—PB—D
2．（典型例题）列五正方体图形中l正方体条角线点MNP分棱中点出l⊥面MNP图形序号_________(写出符合求图形序号)
[考场错解]lMNNPMP面射影分面正方形角线正方形性质l⊥MNl⊥MPl⊥NP∴（1）中l⊥面MNP（2）中l底面射影MP垂直∴l⊥MP∴l⊥面MNP（3）中取AB中点E连接MENE∵l底面射影垂直EN∴l⊥EN∴l⊥面MEN∴l⊥MN理l⊥MP∴l⊥面MNP（4）中l面ADD1A1射影MP垂直∴l⊥MP∴l⊥面MNP（5）中取AA1中点E连接MEEPl面ADD1A1面ABB1A1射影分MEEP垂直∴l⊥ME∴l⊥面MPl⊥面MPN综合知题答案（1）（2）（3）（4）（5）
[专家脉]直线面垂直判定误证条直线面垂直应该证明条直线该面两条相交直线垂直错解中证条垂直出错
[症药]（1）中l面ADD1AA1B1C1D1射影分AD1B1D1AD1⊥MNB1D1⊥MP∴l⊥MNl⊥MP ∴l⊥面MNP（2）中l⊥MN取AA1中点E连接MENEl面ADD1A1射影AD1AD1⊥ME∴l⊥ME结合l⊥MNl⊥面MEN∴l⊥NE显然∴lMN垂直∴l面MNP垂直（3）类似（2）证明l面MNP垂直（4）中l⊥MP易证MN∥ACl⊥AC∴l⊥MN∴l⊥面MNP（5）中取AA1中点E连接MEPE证l⊥面MEP∴l⊥MP理证l⊥NP∴l⊥面MNP综知题正答案（1）（4）（5）
3．（典型例题）图104示正三棱锥A—BCD中∠BAC30°ABa行ADBC截面EFGH分交ABBDDCCAEFGH
（1）判定四边形EFGH形状说明理
（2）设P棱AD点AP值时面PBC⊥面EFGH请出证明
[考场错解]（1）∵AD∥面EFGH面ACD面EFGHHG∴AD∥HG理AD∥EF∴EF∥HG理EH∥FG∴四边形EFGH行四边形
（2）取AD中点P连接BPCP∵ABCD正棱锥BP⊥ADCP⊥AD∴AD⊥面BCP（1）知HG∥AD∴HG⊥面BCP∴P求时AP
[专家脉]正三棱锥性质熟悉出错正三棱锥相棱互相垂直正三棱锥三侧面等腰三角形等边三角形
[症药]（1）∵AD∥面EFGH面ACD面EFGHHG∴AD∥HG理EF∥ADHG∥EF理EH∥FG∴EFGH行四边形A—BCD正三棱锥∴A底面BCD射影O△BCD中心∴DO⊥BC根三垂线定理AD⊥BC∴HG⊥EH四边形EFGH矩形
（2）作CP⊥ADP点连接BP∵AD⊥BC∴AD⊥面BCP∴HG∥AD∴HG⊥面BCPHG面EFGH∴面BCP⊥面EFGHRt△APC中∠CAP30°ACa ∴AP
专家会诊
解线面位置关系题目首先熟悉种位置关系判定方法性质次解题时应判定性质结合起分析法证a∥αa作面ββαb证a∥b第三善转化两条羿面直线否垂直三垂线定理转化两相交直线否垂直线面位置关系立体基础学时应予重视
考场思维训练
1 图105 示四正方体图形中AB正方体四项点MNP分棱中点出AB∥面MNP图形序号____________ (写出符合求图形序号)
答案：①③ 解析：①中面MNP面AB ∴AB面
MNP②中取底面中心OMP中点C连接NO
NC已知ABNOAB■NC．∴AB■面MNP③
中ABMP∴AB面MNP④中AB■面MNP．
∴填①③．
2 图正三棱柱ABCA1B1C1中ABAA1E棱BB1中点
（1）求证：面A1EC⊥面AA1C1C
答案：连接A1CAC1交点F条件EC1EA1EF⊥AC1理EC1EAEF⊥A1CEF面AA1C1CEF面A1EC面A1EC⊥面AA1C1C
（2）面A1EC面A1B1C1成锐二面角60°时正三棱柱称黄金棱柱请判断三棱柱否黄金棱柱说明理
答案：延长CE交C1B1延长线点HC1B1B1HA1R1∠HA1C190°∠CA1H90°∠CA1C面A1EC面A1B1C1成锐二面角面角棱柱黄金棱柱 ∠CA160° 应CC1条件ABAA1矛盾．∴三棱柱黄金棱柱．

（3）设ABa求三棱锥AA1EC体积
答案： VA1A1ECVEAA1C·EF··AA1·AC
3 已知正三棱锥PABC三条侧棱两两互相垂直G侧面△PAB重心EBC点BEBCFPB点
PFPB图
（1）求证：GF⊥面PBC
答案：连接BG延长交APMCAPAB重心MGBMPF∴GFMP
∵AP⊥BPAP⊥CP．∴AP⊥面PBC
∴GF⊥面PBC
（2）求证：EF⊥BC
答案：侧面PBC作FDPC交BCD．∵PFPB∴DCBCBEBC∴DEBCBEDEEBD中点△PBC等腰三角形△FBD等腰三角形．∴FBFD． ∴EF⊥BC．

（3）求证：GE异面直线PGBC公垂线
答案：∵GF⊥面PBCEF⊥BC∴GE⊥BC连PG交ABHGHPHC作GNAB交PBNBN PB．∵PH⊥AB∴PG⊥AB∴PG⊥GN．
∵BNPBBEBC∴NEPCPC面PAB∴NE⊥面PABPG面PAB∴NE⊥PGPG⊥GN∴PG⊥面GENGEC面GEN．∴PG⊥GEGE⊥BC∴GE异面直线PGBC公垂线．
命题角度 2
空间角
1．（典型例题）图108三棱锥S—ABC中△ABC边长4正三角形面SAC⊥面ABCSASC2MN分ABSB中点
（1）证明：AC⊥SB
（2）求二面角N—CM—B
（3）求点B面CMN距离
[考场错解] 第（2）问：N作NF⊥CMF作FE⊥CM交BCE点∠NFE二面角N—CM—B面角（题做处知EF位置∠NFE等少计算出）
[专家脉] 求二面角时顾定义作出二面角面角计算千百万麻烦根算出般三垂线定理作二面角面角便计算
[症药] （1）图109取AC中点D连接SDDB∵SASCABBC∴AC⊥SDAC⊥BD∴AC⊥面SDBSB 面SDB∴AC⊥SB
2．（典型例题）长方体ABCD—A1B1C1D1中已知AB4AD3AA12EF分线段ABBC点EBFB1
（1）求二面角C—DE—C1正切值
（2）求直线EC1FD1成角余弦值
[考场错解] 第（2）问：∵D1F∥DE∴∠C1EDEC1FD1成角DE3C1D2C1E∴cos∠C1EE∴EC1FD1成角余弦值
[专家脉] 缺少空间想象力题中D1FDE行实际D1FDE异面直线
[症药] 正解：（1）图C作CG⊥DE垂足G连接C1G∵CC1⊥面ABCD∴CGC1G面ABCD射影三垂线定理DE⊥C1G
∴∠CGC1二面角C—DE—C1面角
△ADE中AEAD3∠DAE90°∴∠ADE45°∠CDG45°∴CGCD·sin∠CDG2
∴tan∠CGC1
∴二面角C—DE—C1正切值
（2）延长BA点E1AE11连接DE1D1C1∥E1ED1C1E1E∵四边形D1E1EC1行四边形∴E1D1∥EC1∠E1D1FEC1FD1成角
Rt△BE1F中E1FRt△D1DE1中D1E1Rt△D1DF中FD1△E1FD1中余弦定理：cos∠E1D1F
正解二：（1）A原点分x轴y轴z轴正建立空间直角坐标系D(030)D1（032）E（300）F（410）C1（432）（330）(132)(422)设量(xyz)面C1DEA法量xy令x1(112)量(002)面CDE垂直 成角θ二面角C—DE—C1面角

（2）设EC1FD1成角βcosβ
3．(典型例题)图1011四棱锥P—ABCD底面正方形PA⊥底面ABCDAE⊥PDEF∥CDAMEF
（1）证明MF异面直线ABPC公垂线
（2）PA3AB求直线AC面EAM成角正弦值
[考场错解] 第（2）问：（1）知PC⊥MF∴AFAC面EAM射影∴∠CAFAC面EAM成角通解三角形FAC解sin∠CAF∴
AC面EAM成角正弦值
[专家脉] 直线AC面EAM成角出AFAC面EAM射影直线面成角必须斜线斜线面射影夹角找射影关键
[症药]（1）∵PA⊥面ABCD∴PA⊥CD∵底面ABCD正方形∴CD⊥AD∴CD⊥面PAD面PCD⊥面PADAE面PADAE⊥PD∴AE⊥面PCD∴AE⊥CDEF∥CD∥ABAMEF∴四边形AMFE形四边形∴MF∥AEMF⊥CDMF⊥ABMF⊥PC∴MF异面直线ABPC公垂线
（2）解法：连接BD交ACO连接BEO作OH⊥BEH垂足∵AE⊥PDCD⊥PDEF∥CD∴EF⊥PDPD⊥面MAEOH⊥BE∴OH∥DE∴OH⊥面MAE连接AH∠HAO直线AC面MAE成角设ABaPA3aAOACRt△ADE~Rt△PDAEDRt△AHO中sin∠HAO
解法二：分xyz轴正方建立空间直角坐标系A（000）E（0）
∴面EAM法量（xyz）面EAM法量（013）（aa0）
∴sinα
专家会诊
空间种角点直线面组成穿间图形位置关系进行定性分析宣量计算重组成部分空间角度量转化
面角实现熟练掌握种类角转化面角常方法实现种转化验知识积累二利禄识图画图训
练三推理求角般步骤：（1）找出作出求角（2）证明符合定义（3）某三角形中进行计算
结果然解选择填空题时间接方法常
考场思维训练
1 图矩形ABCD中AB1BCa现AC折成二面角D—AC—BBD异面直线ADBC公垂线
（1）求证：面ABD⊥面ABC
答案：解：(1)∵AD⊥CDAD⊥BD∴AD⊥面BCD∴BC⊥ADBCBD∴BC⊥面ABDBC面ABC面ABD⊥面ABC．
（2）a值时二面角D—AC—B45°
答案：∵面ABD面ABC作DE⊥ABEDE⊥面ABC作EF⊥ACF三垂线定理AC⊥DF∴∠DFE二面角DACB面角．Rt△ADC中AD2AF．AC
∴AFRt△AFE∽Rt△ABC ∴EF
（3）a值时异面直线ACBD成角60°
答案：作BM⊥ACM点O作BN∥ACFE延长线交点BMFN矩形BN⊥DN．∴∠DBN异面直线ACBD成角．∵MFAC2AF
∴Rt△BND中cos∠DBN

2 图长方体ABCD—A1B1C1D1中EF分BB1DD1点AE⊥A1BAF⊥A1D
（1）求证：A1C⊥面AEF
答案：长方体ABCDA1B1C1D1中A1BA1C面A1B1BA射影∵AEA1B∴AE⊥A1C理AF⊥A1C∴A1C⊥面AEF
（2）AB3AD4AA15MB1C1中点求AM面AEF成角
答案：D坐标原点分xyz轴正方建立空间坐标系．A(400)M(235)A1(405)C(030)∴面AEF—法量

∴直线AM面AEF成角 arcsin
3 已知四棱锥P—ABCD底面边长2正方形侧棱PA⊥底面ABCDMN分ADBC中点MQ⊥PDQ直线PC面PBA成角正弦值
图示
（1）求证：面PMN⊥面PAD
答案：∵MN分ADBC中点∴MN⊥AD面PMN
∴面PMN⊥面PAD
（2）求PA长
答案：已知BC⊥面PBA∴∠BPCPC面PBA成角 ∴PCPA2
（3）求二面角P—MN—Q余弦值
答案：（1）知MN⊥PMMN⊥QM ∴∠PMQ二面角P—MN—Q面角（2）知△PMQ等腰直角三形AMDM1

∴二面角P—MN—Q余弦值

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