数
学
知
识
点
总
结
引言
1课程容：
必修课程5模块组成：
必修1：集合函数概念基初等函数（指幂函数）
必修2：立体初步面解析初步
必修3：算法初步统计概率
必修4：基初等函数（三角函数）面量三角恒等变换
必修5：解三角形数列等式
高中学生必须学
述容覆盖高中阶段传统数学基础知识基技部分中包括集合函数数列等式解三角形立体初步面解析初步等保证基础时进步强调知识发生发展程实际应技巧难度做高求
外基础容增加量算法概率统计等容
选修课程4系列：
系列1：2模块组成
选修1—1：常逻辑语圆锥曲线方程导数应
选修1—2：统计案例推理证明数系扩充复数框图
系列2：3模块组成
选修2—1：常逻辑语圆锥曲线方程
空间量立体
选修2—2：导数应推理证明数系扩充复数
选修2—3：计数原理机变量分布列统计案例
系列3：6专题组成
选修3—1：数学史选讲
选修3—2：信息安全密码
选修3—3：球面
选修3—4：称群
选修3—5：欧拉公式闭曲面分类
选修3—6：三等分角数域扩充
系列4：10专题组成
选修4—1：证明选讲
选修4—2：矩阵变换
选修4—3：数列差分
选修4—4：坐标系参数方程
选修4—5：等式选讲
选修4—6：初等数初步
选修4—7：优选法试验设计初步
选修4—8：统筹法图初步
选修4—9：风险决策
选修4—10：开关电路布尔代数
2．重难点考点：
重点：函数数列三角函数面量圆锥曲线立体导数
难点：函数圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合简易逻辑集合概念运算简易逻辑充条件
⑵函数：映射函数函数解析式定义域值域值反函数三性质函数图象指数指数函数数数函数函数应
⑶数列：数列关概念等差数列等数列数列求数列应
⑷三角函数：关概念角关系诱导公式差倍半公式求值化简证明三角函数图象性质三角函数应
⑸面量：关概念初等运算坐标运算数量积应
⑹等式：概念性质均值等式等式证明等式解法绝值等式等式应
⑺直线圆方程：直线方程两直线位置关系线性规划圆直线圆位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆双曲线抛物线直线圆锥曲线位置关系轨迹问题圆锥曲线应
⑼直线面简单体：空间直线直线面面面棱柱棱锥球空间量
⑽排列组合概率：排列组合应题二项式定理应
⑾概率统计：概率分布列期方差抽样正态分布
⑿导数：导数概念求导导数应
⒀复数：复数概念运算
高中数学 必修1知识点
第章 集合函数概念
〖11〗集合
111集合含义表示
（1）集合概念
集合中元素具确定性互异性序性
（2）常数集记法
表示然数集表示正整数集表示整数集表示理数集表示实数集
（3）集合元素间关系
象集合关系者两者必居
（4）集合表示法
①然语言法：文字叙述形式描述集合
②列举法：集合中元素列举出写括号表示集合
③描述法：{|具性质}中集合代表元素
④图示法：数轴韦恩图表示集合
（5）集合分类
①含限元素集合做限集②含限元素集合做限集③含元素集合做空集()
112集合间基关系
（6）子集真子集集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（
A中元素属B
(1)AA
(2)
(3)
(4)
真子集
AB
（BA）
B中少元素属A
（1）（A非空子集）
(2)
集合
相等
A中元素属BB中元素属A
(1)AB
(2)BA
（7）已知集合元素子集真子集非空子集非空真子集
113集合基运算
（8）交集集补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
（1）
（2）
（3）
集
（1）
（2）
（3）
补集
1 2
补充知识含绝值等式元二次等式解法
（1）含绝值等式解法
等式
解集
成整体化成型等式求解
（2）元二次等式解法
判式
二次函数图象
元二次方程根
（中
实根
解集
解集
〖12〗函数表示
121函数概念
（1）函数概念
①设两非空数集果某种应法集合中数集合中唯确定数应样应（包括集合应法）做集合函数记作．
②函数三素定义域值域应法．
③定义域相应法相两函数函数．
（2）区间概念表示法
①设两实数满足实数集合做闭区间记做满足实数集合做开区间记做满足实数集合做半开半闭区间分记做满足实数集合分记做．
注意：集合区间前者等者必须
（前者成立空集者必须成立）．
（3）求函数定义域时般遵循原：
①整式时定义域全体实数．
②分式函数时定义域分母零切实数．
③偶次根式时定义域开方式非负值时实数集合．
④数函数真数零数指数函数底数中含变量时底数须零等1．
⑤中．
⑥零（负）指数幂底数零．
⑦限基初等函数四运算合成函数时定义域般基初等函数定义域交集．
⑧求复合函数定义域问题般步骤：已知定义域复合函数定义域应等式解出．
⑨含字母参数函数求定义域根问题具体情况需字母参数进行分类讨．
⑩实际问题确定函数定义域函数意义外符合问题实际意义．
（4）求函数值域值
求函数值常方法求函数值域方法基相．事实果函数值域中存（）数数函数（）值．求函数值值域实质相提问角度．求函数值域值常方法：
①观察法：较简单函数通观察直接值域值．
②配方法：函数解析式化成含变量方式常数然根变量取值范围确定函数值域值．
③判式法：函数化成系数含关二次方程时实数必须确定函数值域值．
④等式法：利基等式确定函数值域值．
⑤换元法：通变量代换达化繁简化难易目三角代换代数函数值问题转化三角函数值问题．
⑥反函数法：利函数反函数定义域值域互逆关系确定函数值域值．
⑦数形结合法：利函数图象方法确定函数值域值．
⑧函数单调性法．
122函数表示法
（5）函数表示方法
表示函数方法常解析法列表法图象法三种．
解析法：数学表达式表示两变量间应关系．列表法：列出表格表示两变量间应关系．图象法：图象表示两变量间应关系．
（6）映射概念
①设两集合果某种应法集合中元素集合中唯元素应样应（包括集合应法）做集合映射记作．
②定集合集合映射．果元素元素应元素做元素象元素做元素原象．
〖13〗函数基性质
131单调性（）值
（1）函数单调性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
单调性
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象升增）
（4）利复合函数
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)>f(x2)说f(x)区间减函数．
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象降减）
（4）利复合函数
②公定义域两增函数增函数两减函数减函数增函数减减函数增函数减函数减增函数减函数．
③复合函数令增增增减减增增减减减增减．
y
x
o
（2）√函数图象性质
分增函数分减函数．
（3）（）值定义
①般设函数定义域果存实数满足：（1）意
（2）存．称函数值记作．
②般设函数定义域果存实数满足：（1）意（2）存．称函数值记作．
132奇偶性
（4）函数奇偶性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
奇偶性
果函数f(x)定义域意xf(－x)－f(x)函数f(x)做奇函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关原点称）
果函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)函数f(x)做偶函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关y轴称）
②函数奇函数处定义．
③奇函数轴两侧相称区间增减性相偶函数轴两侧相称区间增减性相反．
④公定义域两偶函数（奇函数）（差）偶函数（奇函数）两偶函数（奇函数）积（商）偶函数偶函数奇函数积（商）奇函数．
〖补充知识〗函数图象
（1）作图
利描点法作图：
①确定函数定义域 ②化解函数解析式
③讨函数性质（奇偶性单调性） ④画出函数图象．
利基函数图象变换作图：
准确记忆次函数二次函数反例函数指数函数数函数幂函数三角函数等种基初等函数图象．
①移变换
②伸缩变换
③称变换
（2）识图
定函数图象图象左右分范围变化趋势称性等方面研究函数定义域值域单调性奇偶性注意图象函数解析式中参数关系．
（3）图
函数图象形象显示函数性质研究数量关系问题提供形直观性探求解题途径获问题结果重工具．重视数形结合解题思想方法．
第二章 基初等函数(Ⅰ)
〖21〗指数函数
211指数指数幂运算
（1）根式概念
①果做次方根．奇数时次方根符号表示偶数时正数正次方根符号表示负次方根符号表示0次方根0负数没次方根．
②式子做根式里做根指数做开方数．奇数时意实数偶数时．
③根式性质：奇数时偶数时 ．
（2）分数指数幂概念
①正数正分数指数幂意义：．0正分数指数幂等0．
②正数负分数指数幂意义：．0负分数指数幂没意义． 注意口诀：底数取倒数指数取相反数．
（3）分数指数幂运算性质
① ②
③
212指数函数性质
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数做指数函数
图象
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越高第二象限越图象越低．
〖22〗数函数
221数数运算
（1） 数定义
①做底数记作中做底数做真数．
②负数零没数．
③数式指数式互化：．
（2）重数恒等式
．
（3）常数然数
常数：然数：（中…）．
（4）数运算性质 果
①加法： ②减法：
③数： ④
⑤ ⑥换底公式：
222数函数性质
（5）数函数
函数
名称
数函数
定义
函数做数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越低第四象限越图象越高．
(6)反函数概念
设函数定义域值域式子中解出式子．果中值通式子中唯确定值应式子表示函数函数做函数反函数记作惯改写成．
（7）反函数求法
①确定反函数定义域原函数值域②原函数式中反解出
③改写成注明反函数定义域．
（8）反函数性质
①原函数反函数图象关直线称．
②函数定义域值域分反函数值域定义域．
③原函数图象反函数图象．
④般函数反函数必须单调函数．
〖23〗幂函数
（1）幂函数定义
般函数做幂函数中变量常数．
（2）幂函数图象
（3）幂函数性质
①图象分布：幂函数图象分布第二三象限第四象限图象．幂函数偶函数时图象分布第二象限(图象关轴称)奇函数时图象分布第三象限(图象关原点称)非奇非偶函数时图象分布第象限．
②定点：幂函数定义图象通点．
③单调性：果幂函数图象原点增函数．果幂函数图象减函数第象限图象限接轴轴．
④奇偶性：奇数时幂函数奇函数偶数时幂函数偶函数．（中互质）奇数奇数时奇函数奇数偶数时偶函数偶数奇数时非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数时图象直线方图象直线方时图象直线方图象直线方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式三种形式
①般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式方法
①已知三点坐标时宜般式．
②已知抛物线顶点坐标称轴关（）值关时常顶点式．
③已知抛物线轴两交点横线坐标已知时选两根式求更方便．
（3）二次函数图象性质
①二次函数图象条抛物线称轴方程顶点坐标．
②时抛物线开口函数递减递增时时抛物线开口函数递增递减时．
③二次函数时图象轴两交点．
（4）元二次方程根分布
元二次方程根分布二次函数中重容部分知识初中代数中涉尚够系统完整解决方法偏重二次方程根判式根系数关系定理（韦达定理）运面结合二次函数图象性质系统分析元二次方程实根分布．
设元二次方程两实根．令四方面分析类问题：
①开口方： ②称轴位置： ③判式： ④端点函数值符号．
①k＜x1≤x2
②x1≤x2＜k
③x1＜k＜x2 af(k)＜0
④k1＜x1≤x2＜k2
⑤仅根x1（x2）满足k1＜x1（x2）＜k2 f(k1)f(k2)0时考虑f(k1)0f(k2)0两种情况否符合
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
结直接⑤推出．
（5）二次函数闭区间值
设区间值值令．
（Ⅰ）时（开口）
① ② ③
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
(Ⅱ)时(开口)
① ② ③
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②．
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标：
方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
求函数零点：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
4二次函数零点：
二次函数．
１）△＞０方程两等实根二次函数图象轴两交点二次函数两零点．
２）△＝０方程两相等实根（二重根）二次函数图象轴交点二次函数二重零点二阶零点．
３）△＜０方程实根二次函数图象轴交点二次函数零点．
高中数学 必修2知识点
第章 空间体
11柱锥台球结构特征
（1）棱柱：定义：两面互相行余面四边形相邻两四边形公边互相行面围成体
分类：底面边形边数作分类标准分三棱柱四棱柱五棱柱等
表示：顶点字母五棱柱角线端点字母五棱柱
特征：两底面应边行全等边形侧面角面行四边形侧棱行相等行底面截面底面全等边形
（2）棱锥
定义：面边形余面公顶点三角形面围成体
分类：底面边形边数作分类标准分三棱锥四棱锥五棱锥等
表示：顶点字母五棱锥
特征：侧面角面三角形行底面截面底面相似相似等顶点截面距离高方
（3）棱台：定义：行棱锥底面面截棱锥截面底面间部分
分类：底面边形边数作分类标准分三棱态四棱台五棱台等
表示：顶点字母五棱台
特征：①底面相似行边形 ②侧面梯形 ③侧棱交原棱锥顶点
（4）圆柱：定义：矩形边直线轴旋转余三边旋转成曲面围成体
特征：①底面全等圆②母线轴行③轴底面圆半径垂直④侧面展开图矩形
（5）圆锥：定义：直角三角形条直角边旋转轴旋转周成曲面围成体
特征：①底面圆②母线交圆锥顶点③侧面展开图扇形
（6）圆台：定义：行圆锥底面面截圆锥截面底面间部分
特征：①底面两圆②侧面母线交原圆锥顶点③侧面展开图弓形
（7）球体：定义：半圆直径直线旋转轴半圆面旋转周形成体
特征：①球截面圆②球面意点球心距离等半径
12空间体三视图直观图
1 三视图：
正视图：前 侧视图：左右 俯视图：
2 画三视图原：
长齐高齐宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法步骤：
（1）行坐标轴线然行坐标轴
（2）行y轴线长度变半行xz轴线长度变
（3）画法写
5 斜二测画法画出长方体步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
13 空间体表面积体积
（ ）空间体表面积
1棱柱棱锥表面积： 面面积
2 圆柱表面积 3 圆锥表面积
4 圆台表面积 5 球表面积
（二）空间体体积
1柱体体积 2锥体体积
3台体体积 4球体体积
第二章 直线面位置关系
21空间点直线面间位置关系
211
1 面含义：面限延展
2 面画法表示
（1）面画法：水放置面通常画成行四边形锐角画成450横边画成邻边2倍长（图）
（2）面通常希腊字母αβγ等表示面α面β等表示面行四边形四顶点者相两顶点写字母表示面AC面ABCD等
3 三公理：
D
C
B
A
α
（1）公理1：果条直线两点面条直线面
符号表示
L
A
·
α
A∈L
B∈L > L α
A∈α
B∈α
公理1作：判断直线否面
C
·
B
·
A
·
α
（2）公理2：条直线三点面
符号表示：ABC三点线 > 面α
A∈αB∈αC∈α
公理2作：确定面
（3）公理3：果两重合面公点条该点公直线
P
·
α
L
β
符号表示：P∈α∩β >α∩βLP∈L
公理3作：判定两面否相交
212 空间中直线直线间位置关系
1 空间两条直线三种关系：
面直线
相交直线：面公点
行直线：面没公点
异面直线： 面没公点
2 公理4：行条直线两条直线互相行
符号表示：设abc三条直线
>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质说行具传递性面空间性质适
公理4作：判断空间两条直线行
3 等角定理：空间中果两角两边分应行两角相等互补
4 注意点：
① a＇b＇成角ab相互位置确定O选择关简便点O般取两直线中条
② 两条异面直线成角θ∈(0 )
③ 两条异面直线成角直角时说两条异面直线互相垂直记作a⊥b
④ 两条直线互相垂直面垂直异面垂直两种情形
⑤ 计算中通常两条异面直线成角转化两条相交直线成角
213 — 214 空间中直线面面面间位置关系
1直线面三种位置关系：
（1）直线面 —— 数公点
（2）直线面相交 —— 公点
（3）直线面行 —— 没公点
指出：直线面相交行情况统称直线面外a α表示
a α a∩αA a∥α
22直线面行判定性质
221 直线面行判定
1直线面行判定定理：面外条直线面条直线行该直线面行
简记：线线行线面行
符号表示：
a α
b β > a∥α
a∥b
222 面面行判定
1两面行判定定理：面两条交直线面行两面行
符号表示：
a β
b β
a∩b P β∥α
a∥α
b∥α
2判断两面行方法三种：
（1）定义
（2）判定定理
（3）垂直条直线两面行
223 — 224直线面面面行性质
1定理：条直线面行条直线面面交线该直线行
简记：线面行线线行
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β b
作：利该定理解决直线间行问题
2定理：果两面时第三面相交交线行
符号表示：
α∥β
α∩γ a a∥b
β∩γ b
作：面面行出直线直线行
23直线面垂直判定性质
231直线面垂直判定
1定义
果直线L面α意条直线垂直说直线L面α互相垂直记作L⊥α直线L做面α垂线面α做直线L垂面图直线面垂直时唯公点P做垂足
L
p
α
2判定定理：条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
注意点： a)定理中两条相交直线条件忽视
b)定理体现直线面垂直直线直线垂直互相转化数学思想
232面面垂直判定
1二面角概念：表示空间直线出发两半面组成图形
A
梭 l β
B
α
2二面角记法：二面角αlβαABβ
3两面互相垂直判定定理：面面垂线两面垂直
233 — 234直线面面面垂直性质
1定理：垂直面两条直线行
2性质定理： 两面垂直面垂直交线直线面垂直
章知识结构框图
面（公理1公理2公理3公理4）
空间直线面位置关系
直线直线位置关系
面面位置关系
直线面位置关系
第三章 直线方程
31直线倾斜角斜率
31倾斜角斜率
1直线倾斜角概念：直线lx轴相交时 取x轴作基准 x轴正直线l方间成角α做直线l倾斜角特直线lx轴行重合时 规定α 0°
2 倾斜角α取值范围： 0°≤α＜180° 直线lx轴垂直时 α 90°
3直线斜率
条直线倾斜角α(α≠90°)正切值做条直线斜率斜率常写字母k表示 k tanα
⑴直线lx轴行重合时 α0° k tan0°0
⑵直线lx轴垂直时 α 90° k 存
知 条直线l倾斜角α定存斜率k定存
4 直线斜率公式
定两点P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2两点坐标表示直线P1P2斜率：
斜率公式 ky2y1x2x1
312两条直线行垂直
1两条直线斜率重合果行斜率相等反果斜率相等行
注意 面等价两条直线重合斜率存前提成立缺少前提结成立．果k1k2 定L1∥L2
2两条直线斜率果互相垂直斜率互负倒数反果斜率互负倒数互相垂直
321 直线点斜式方程
1 直线点斜式方程：直线点斜率
2直线斜截式方程：已知直线斜率轴交点
322 直线两点式方程
1直线两点式方程：已知两点中 yy1yy2xx1xx2
2直线截距式方程：已知直线轴交点A轴交点B中
323 直线般式方程
1直线般式方程：关二元次方程（AB时0）
2种直线方程间互化
33直线交点坐标距离公式
331两直线交点坐标
1出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y20 L1：2x+y +20
解：解方程组
x2y2
L1L2交点坐标M（22）
332 两点间距离
两点间距离公式
333 点直线距离公式
1．点直线距离公式：
点直线距离：
2两行线间距离公式：
已知两条行线直线般式方程：
距离
第四章 圆方程
411 圆标准方程
1圆标准方程：
圆心A(ab)半径r圆方程
2点圆关系判断方法：
（1）>点圆外 （2）点圆
（3）<点圆
412 圆般方程
1圆般方程：
2圆般方程特点：
(1)①x2y2系数相等0． ②没xy样二次项．
(2)圆般方程中三特定系数DEF求出三系数圆方程确定．
(3)圆标准方程相较种特殊二元二次方程代数特征明显圆标准方程指出圆心坐标半径特征较明显
421 圆圆位置关系
1点直线距离判断直线圆位置关系．
设直线：圆：圆半径圆心直线距离判直线圆位置关系点：
（1）时直线圆相离（2）时直线圆相切
（3）时直线圆相交
422 圆圆位置关系
两圆位置关系．
设两圆连心线长判圆圆位置关系点：
（1）时圆圆相离（2）时圆圆外切
（3）时圆圆相交
（4）时圆圆切（5）时圆圆含
423 直线圆方程应
1利面直角坐标系解决直线圆位置关系
2程方法
坐标法解决问题步骤：
第步：建立适面直角坐标系坐标方程表示问题中元素面问题转化代数问题
第二步：通代数运算解决代数问题
第三步：代数运算结果翻译成结．
431空间直角坐标系
1点M应着唯确定序实数组分PQR轴坐标
2序实数组应着空间直角坐标系中点
3空间中意点M坐标序实数组表示该数组做点M空间直角坐标系中坐标记M做点M横坐标做点M坐标做点M竖坐标
432空间两点间距离公式
1空间中意点点间距离公式
高中数学 必修3知识点
第章 算法初步
111 算法概念
1算法概念：
数学现代意义算法通常指计算机解决某类问题程序步骤程序步骤必须明确效够限步完成
2 算法特点
(1)限性：算法步骤序列限必须限操作停止限
(2)确定性：算法中步应该确定效执行确定结果应模棱两
(3)序性正确性：算法初始步骤开始分干明确步骤步骤确定继步骤前步步前提执行完前步进行步步准确误完成问题
(4)唯性：求解某问题解法定唯问题算法
(5)普遍性：具体问题设计合理算法解决心算计算器计算限事先设计步骤加解决
112 程序框图
1程序框图基概念：
（）程序构图概念：程序框图称流程图种规定图形指线文字说明准确直观表示算法图形
程序框图包括部分：表示相应操作程序框带箭头流程线程序框外必文字说明
（二）构成程序框图形符号作
程序框
名称
功
起止框
表示算法起始结束流程图少
输入输出框
表示算法输入输出信息算法中需输入输出位置
处理框
赋值计算算法中处理数需算式公式等分写处理数处理框
判断框
判断某条件否成立成立时出口处标明Y成立时标明否N
学部分知识时候掌握图形形状作规画程序框图规：
1标准图形符号2框图般左右方画3判断框外数流程图符号进入点退出点判断框具超退出点唯符号4判断框分两类类判断框否两分支判断仅两结果类分支判断种结果5图形符号描述语言非常简练清楚
（三）算法三种基逻辑结构：序结构条件结构循环结构
1序结构：序结构简单算法结构语句语句间框框间序进行干次执行处理步骤组成算法离开种基算法结构
序结构程序框图中体现流程线程序框
连接起序执行算法步骤示意图中A框B
框次执行执行完A框指定操作接着执
A
B
行B框指定操作
2条件结构：
条件结构指算法中通条件判断
根条件否成立选择流算法结构
条件P否成立选择执行A框B框P条件否成立执行A框B框时执行A框B框A框B框执行判断结构判断框
3循环结构：算法中常会出现某处开始定条件反复执行某处理步骤情况循环结构反复执行处理步骤循环体显然循环结构中定包含条件结构循环结构称重复结构循环结构细分两类：
（1）类型循环结构左图示功定条件P成立时执行A框A框执行完毕判断条件P否成立果然成立执行A框反复执行A框直某次条件P成立止时执行A框离开循环结构
（2）类直型循环结构右图示功先执行然判断定条件P否成立果P然成立继续执行A框直某次定条件P成立止时执行A框离开循环结构
A
成立
成立
P
成立
P
成立
A
型循环结构 直型循环结构
注意：1循环结构某条件终止循环需条件结构判断循环结构中定包含条件结构允许死循环2循环结构中计数变量累加变量计数变量记录循环次数累加变量输出结果计数变量累加变量般步执行累加次计数次
121 输入输出语句赋值语句
1输入语句
图形计算器格式
INPUT提示容变量
INPUT 提示容变量
（1）输入语句般格式
（2）输入语句作实现算法输入信息功（3）提示容提示户输入什样信息变量指程序运行时值变化量（4）输入语句求输入值具体常数函数变量表达式（5）提示容变量间分号隔开输入变量变量变量间逗号隔开
2输出语句
PRINT提示容表达式
图形计算器格式
Disp 提示容变量
（1）输出语句般格式
（2）输出语句作实现算法输出结果功（3）提示容提示户输入什样信息表达式指程序输出数（4）输出语句输出常量变量表达式值字符
变量＝表达式
图形计算器格式
表达式变量
3赋值语句
（1）赋值语句般格式
（2）赋值语句作表达式代表值赋变量（3）赋值语句中＝称作赋值号数学中等号意义赋值号左右两边换赋值号右边表达式值赋赋值号左边变量（4）赋值语句左边变量名字表达式右边表达式数常量算式（5）变量次赋值
注意：①赋值号左边变量名字表达式：2X错误②赋值号左右换ABBA含义运行结果③利赋值语句进行代数式演算（化简式分解解方程等）④赋值号数学中等号意义
1．2．2条件语句
1条件语句般格式两种：（1）IF—THEN—ELSE语句（2）IF—THEN语句2IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句般格式图1应程序框图图2
否
满足条件？
语句1
语句2
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
图1
图2
分析：IF—THEN—ELSE语句中条件表示判断条件语句1表示满足条件时执行操作容语句2
表示满足条件时执行操作容END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN面语句1条件符合执行ELSE面语句2
3IF—THEN语句
满足条件？
语句
否
（图4）
IF—THEN语句般格式图3应程序框图图4
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）
注意：条件表示判断条件语句表示满足条件时执行操作容条件满足时结束程序END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN边语句条件符合直接结束该条件语句转执行语句
1．2．3循环语句
循环结构循环语句实现应程序框图中两种循环结构般程序设计语言中型（WHILE型）直型（UNTIL型）两种语句结构WHILE语句UNTIL语句
1WHILE语句
满足条件？
循环体
否
（1）WHILE语句般格式 应程序框图
WHILE 条件
循环体
WEND
（2）计算机遇WHILE语句时先判断条件真假果条件符合执行WHILEWEND间循环体然检查述条件果条件符合次执行循环体程反复进行直某次条件符合止时计算机执行循环体直接跳WEND语句接着执行WEND语句型循环时称前测试型循环
2UNTIL语句
（1）UNTIL语句般格式 应程序框图
满足条件？
循环体
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
（2）直型循环称测试型循环UNTIL型循环结构分析计算机执行该语句时先执行次循环体然进行条件判断果条件满足继续返回执行循环体然进行条件判断程反复进行直某次条件满足时执行循环体跳LOOP
UNTIL语句执行语句先执行循环体进行条件判断循环语句
分析：型循环直型循环区：（先学生讨纳）
（1） 型循环先判断执行直型循环先执行判断
WHILE语句中条件满足时执行循环体UNTIL语句中条件满足时执行循环
例题： （见课）
u v w
x y
z {
颜老师友情提醒：
1 定清题意题目干什写出算法求写出伪代码题目写出算法画出流程写出伪代码
2 具体做题时学感觉先画流程图较简单算法伪代码较写草稿纸思路先做出然根题目求作答般先写算法画流程图写伪代码
3 书写程序时定规范化统符号教材致新教材原加种版学会种参考书书写格式样时会碰没见语言希家课铺天盖资料淹没
131辗转相法更相减损术
1辗转相法欧里德算法辗转相法求公约数步骤：
（1）：较数m较数n商余数（2）：＝0nmn公约数≠0数n余数商余数（3）：＝0mn公约数
≠0数余数商余数…… 次计算直＝0时求公约数
2更相减损术
国早期求公约数问题算法更相减损术九章算术中更相减损术求公约数步骤：半者半半者副置分母•子数少减更相减损求等等数约
翻译：（1）：意出两正数判断否偶数2约简执行第二步（2）：较数减较数接着较数差较数减数继续操作直数相等止数（等数）求公约数
例2 更相减损术求9863公约数
分析：（略）
3辗转相法更相减损术区：
（1）求公约数方法计算辗转相法法更相减损术减法计算次数辗转相法计算次数相较少特两数字区较时计算次数区较明显
（2）结果体现形式辗转相法体现结果相余数0更相减损术减数差相等
132秦九韶算法排序
1秦九韶算法概念：
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0求值问题
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0( anxn1+an1xn2+…+a1)x+a0 (( anxn2+an1xn3+…+a2)x+a1)x+a0
(( anx+an1)x+an2)x++a1)x+a0
求项式值时首先计算层括号次项式值v1anx+an1
然外逐层计算次项式值
v2v1x+an2 v3v2x+an3 vnvn1x+a0
样n次项式求值问题转化成求n次项式值问题
2两种排序方法：直接插入排序泡排序
1直接插入排序
基思想：插入排序思想读排第１数放入数组第１元素中读入数已存入数组数进行较确定排列中应处位置．该位置元素推移位置读入新数填入空出位置中．（算法简单举例说明）
2泡排序
基思想：次较相邻两数放前面放面首先较第1数第2数数放前数放然较第2数第3数直较两数第趟结束定沉重复程第1数开始第2数
排序程中总数前数相气泡升泡排序
133进位制
1概念：进位制种记数方式限数字位置表示数值数字符号数称基数基数n称n进位制简称n进制现常十进制通常10阿拉伯数字09进行记数数进位制表示：十进数57二进制表示111001八进制表示71十六进制表示39代表数值样
般k整数k基数k进制表示：
表示种进位制数般数字右脚加注表示111001(2)表示二进制数34(5)表示5进制数
第二章 统计
211简单机抽样
1．总体样
统计学中 研究象全体做总体．
研究象做体．
总体中体总数做总体容量．
研究总体关性质般总体中机抽取部分：
研究称样．中体数称样容量．
2．简单机抽样纯机抽样总体中加分组划类排队等完全
机抽取调查单位特点：样单位抽中性相（概率相等）样单位完全独立彼间定关联性排斥性简单机抽样种抽样形式基础通常总体单位间差异程度较数目较少时采种方法
3．简单机抽样常方法：
（1）抽签法⑵机数表法⑶计算机模拟法⑷统计软件直接抽取
简单机抽样样容量设计中考虑：①总体变异情况②允许误差范围③概率保证程度
4．抽签法
（1）调查象群体中象编号
（2）准备抽签工具实施抽签
（3）样中体进行测量调查
例：请调查学校学生做喜欢体育活动情况
5．机数表法：
例：利机数表班级中抽取10位学参加某项活动
212系统抽样
1．系统抽样（等距抽样机械抽样）：
总体单位进行排序计算出抽样距离然固定抽样距离抽取样第样采简单机抽样办法抽取
K（抽样距离）N（总体规模）n（样规模）
前提条件：总体中体排列研究变量说应机存某种研究变量相关规分布调查允许条件样开始抽样次样特点果明显差说明样总体中分布承某种循环性规律种循环抽样距离重合
2．系统抽样等距抽样实际中常抽样方法抽样框求较低实施较简单更重果某种调查指标相关辅助变量供总体单元辅助变量序排队话系统抽样提高估计精度
213分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先总体中单位某种特征标志（性年龄等）划分成干类型层次然类型层次中采简单机抽样系抽样办法抽取子样子样合起构成总体样
两种方法：
1．先分层变量总体划分干层层总体中例层中抽取
2．先分层变量总体划分干层层中元素分层序整齐排列系统抽样方法抽取样
2．分层抽样异质性较强总体分成质性较强子总体抽取子总体中样分代表该子总体样进代表总体
分层标准：
（1）调查分析研究变量相关变量作分层标准
（2）保证层部质性强层间异质性强突出总体结构变量作分层变量
（3）明显分层区分变量作分层变量
3．分层例问题：
（1）例分层抽样：根种类型层次中单位数目占总体单位数目重抽取子样方法
（2）例分层抽样：层次总体中重太样量会非常少时采该方法便层次子总体进行专门研究进行相互较果样资料推断总体时需先层数资料进行加权处理调整样中层例数恢复总体中层实际例结构
222样数字特征估计总体数字特征
1均值：
2．样标准差：
3．样估计总体时果抽样方法较合理样反映总体信息样信息会偏差机抽样中种偏差避免
然样数分布均值标准差总体真正分布均值标准差估计种估计合理特样量时确实反映总体信息
4．（1）果组数中数加减常数标准差变
（2）果组数中数常数k标准差变原k倍
（3）组数中值值标准差影响区间应
掉高分掉低分中科学道理
232两变量线性相关
1概念
（1）回直线方程（2）回系数
2．二法
3．直线回方程应
（1）描述两变量间存关系利直线回方程定量描述两变量间存数量关系
（2）利回方程进行预测预报子（变量x）代入回方程预报量（变量Y）进行估计体Y值容许区间
（3）利回方程进行统计控制规定Y值变化通控制x范围实现统计控制目标已空气中NO2浓度汽车流量间回方程通控制汽车流量控制空气中NO2浓度
4．应直线回注意事项
（1）做回分析实际意义
（2）回分析前先作出散点图
（3）回直线外延
第三章 概 率
311 —312机事件概率概率意义
1基概念：
（1）必然事件：条件S定会发生事件相条件S必然事件
（2）事件：条件S定会发生事件相条件S事件
（3）确定事件：必然事件事件统称相条件S确定事件
（4）机事件：条件S发生发生事件相条件S机事件
（5）频数频率：相条件S重复n次试验观察某事件A否出现称n次试验中事件A出现次数nA事件A出现频数称事件A出现例fn(A)事件A出现概率：定机事件A果着试验次数增加事件A发生频率fn(A)稳定某常数常数记作P（A）称事件A概率
（6）频率概率区联系：机事件频率指事件发生次数nA试验总次数n值具定稳定性总某常数附摆动着试验次数断增种摆动幅度越越常数做机事件概率概率数量反映机事件发生性频率量重复试验前提似作事件概率
313 概率基性质
1基概念：
（1）事件包含事件交事件相等事件
（2）A∩B事件A∩Bф称事件A事件B互斥
（3）A∩B事件A∪B必然事件称事件A事件B互立事件
（4）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
2概率基性质：
1）必然事件概率1事件概率00≤P(A)≤1
2）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)
3）事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
4）互斥事件立事件区联系互斥事件指事件A事件B次试验中会时发生具体包括三种情形：（1）事件A发生事件B发生（2）事件A发生事件B发生（3）事件A事件B时发生立事件指事件A 事件B仅发生包括两种情形（1）事件A发生B发生（2）事件B发生事件A发生立事件互斥事件特殊情形
321 —322古典概型机数产生
1（1）古典概型条件：试验结果限性结果等性
（2）古典概型解题步骤
①求出总基事件数
②求出事件A包含基事件数然利公式P（A）
331—332概型均匀机数产生
1基概念：
（1）概率模型：果事件发生概率构成该事件区域长度（面积体积）成例称样概率模型概率模型
（2）概型概率公式：
P（A）
（2） 概型特点：1）试验中出现结果（基事件）限2）基事件出现性相等．
高中数学 必修4知识点
第章 三角函数
2角顶点原点重合角始边轴非负半轴重合终边落第象限称第象限角．
第象限角集合
第二象限角集合
第三象限角集合
第四象限角集合
终边轴角集合
终边轴角集合
终边坐标轴角集合
3角终边相角集合
4长度等半径长弧圆心角做弧度．
5半径圆圆心角弧长角弧度数绝值．
6弧度制角度制换算公式：．
Pv
x
y
A
O
M
T
7扇形圆心角半径弧长周长面积．
8设意角终边意点坐标原点距离．
9三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正
第三象限正切正第四象限余弦正．
10三角函数线：．
11角三角函数基关系：．（3） 倒数关系：
12函数诱导公式：
．
．
．
．
口诀：函数名称变符号象限．
．．
口诀：正弦余弦互换符号象限．
13①图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
②数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
14函数性质：
①振幅：②周期：③频率：④相位：⑤初相：．
函数时取值 时取值．
15正弦函数余弦函数正切函数图象性质：
函
数
性
质
ycotx
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称中心
称中心
称轴
称轴
称轴
第二章 面量
16量：方量． 数量：没方量．
线段三素：起点方长度． 零量：长度量．
单位量：长度等单位量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
17量加法运算：
⑴三角形法特点：首尾相连．
⑵行四边形法特点：起点．
⑶三角形等式：．
⑷运算性质：①交换律：
②结合律：③．
⑸坐标运算：设．
18量减法运算：
⑴三角形法特点：起点连终点方指减量．
⑵坐标运算：设．
设两点坐标分．
19量数运算：
⑴实数量积量运算做量数记作．
①
②时方方相时方方相反时．
⑵运算律：①②③．
⑶坐标运算：设．
20量线定理：量线仅唯实数．
设中仅时量线．
21面量基定理：果面两线量面意量实数．（线量作面量组基底）
22分点坐标公式：设点线段点坐标分时点坐标．（
23面量数量积：
⑴．零量量数量积．
⑵性质：设非零量①．②时反时．③．
⑶运算律：①②③．
⑷坐标运算：设两非零量．
． 设．
设非零量夹角．
知识链接：空间量
空间量许知识面量知识类面空间量立体中证明求值应进行总结纳
1直线方量面法量
⑴．直线方量：
AB直线意两点直线方量行意非零量直线方量
⑵．面法量：
量直线垂直面称量垂直面记作果量做面法量
⑶．面法量求法（定系数法）：
①建立适坐标系．
②设面法量．
③求出面两线量坐标．
④根法量定义建立方程组
⑤解方程组取中组解面法量
（图）
1 量方法判定空间中行关系
⑴线线行
设直线方量分证明∥需证明∥
：两直线行重合两直线方量线
⑵线面行
①（法）设直线方量面法量证明∥需证明
：直线面行直线方量该面法量垂直直线面外
②（法二）证明条直线面行面找量已知直线方量线量
⑶面面行
面法量面法量证∥需证∥证
：两面行重合两面法量线
3量方法判定空间垂直关系
⑴线线垂直
设直线方量分证明需证明
：两直线垂直两直线方量垂直
⑵线面垂直
①（法）设直线方量面法量证明需证明∥
②（法二）设直线方量面两相交量分
：直线面垂直直线方量面法量线直线方量面两条线直线方量垂直
⑶面面垂直
面法量面法量证需证证
：两面垂直两面法量垂直
4利量求空间角
⑴求异面直线成角
已知两异面直线ACBD分意两点成角
⑵求直线面成角
①定义：面条斜线面射影成锐角做条斜线面成角
②求法：设直线方量面法量直线面成角夹角 余角补角
余角：
⑶求二面角
①定义：面条直线面分两部分中部分做半面条直线出发两半面组成图形做二面角条直线做二面角棱半面做二面角面
二面角面角指二面角棱取点O分两半面作射线二面角面角
图：
O
A
B
O
A
B
l
②求法：设二面角两半面法量分设夹角二面角面角二面角夹角补角
根具体图形确定锐角钝角：
◆果锐角
◆ 果钝角
5利法量求空间距离
⑴点Q直线距离
Q直线外点直线直线方量点Q直线距离
⑵点A面距离
点P面外点点M面点
面法量P面距离等法量方投影绝值
⑶直线面间距离
条直线面行时直线点面距离相等知直线面距离转化求直线点面距离转化点面距离
⑷两行面间距离
利两行面间距离处处相等两行面间距离转化求点面距离
⑸异面直线间距离
设量两异面直线垂直两异面直线间距离量方投影绝值
6三垂线定理逆定理
⑴三垂线定理：面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直
推理模式：
概括：垂直射影垂直斜线
⑵三垂线定理逆定理：面条直线果面条斜线垂直条斜线射影垂直
推理模式：
概括：垂直斜线垂直射影
7三余弦定理
设AC面条直线AD条斜线AB射影BD⊥AD垂足D设AB (AD)成角 ADAC成角 ABAC成角．
8 面积射影定理
已知面边形面积面射影图形面积面面成二面角锐二面角
9结
长度线段三条两两互相垂直直线射影长分夹角分
（立体中长方体角线长公式特例）
第三章 三角恒等变换
24两角差正弦余弦正切公式：
⑴⑵
⑶⑷
⑸ （）
⑹ （）．
25二倍角正弦余弦正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式．
26
．
27
（两判断符号更加）
28合变形两三角函数差化三角函数角次方 形式中．
29三角变换运算化简程中运较变换提高三角变换力学会创设条件灵活运三角公式掌握运算化简方法技．常数学思想方法技巧：
（1）角变换：三角化简求值证明中表达式中出现较相异角根角角间差倍半互补互余关系运角变换沟通条件结中角差异问题获解角变形：
①二倍二倍二倍二倍
②问：
③④
⑤等等
（2）函数名称变换：三角变形中常常需变函数名称名函数三角函数中正余弦基础通常化切弦变异名名
（3）常数代换：三角函数运算求值证明中时需常数转化三角函数值例常数1代换变形：
（4）幂变换：降幂三角变换时常方法次数较高三角函数式般采降幂处理方法常降幂公式： 降幂非绝时需升幂理式常升幂化理式常升幂公式：
（5）公式变形：三角公式变换应熟练掌握三角公式逆变形应
：
（中 ）
（6）三角函数式化简运算通常：角名形幂四方面入手
基规：见切化弦异角化角复角化单角异名化名高次化低次理化理特殊值特殊角三角函数互化
：
高中数学 必修5知识点
第章 解三角形
（）解三角形：
1正弦定理：中分角边
(外接圆半径)
2正弦定理变形公式：①
②③
3三角形面积公式：．
4余弦定理：中推：
第二章 数列
1数列中间关系：
注意通项否合
2等差数列：
⑴定义：果数列第2项起项前项差等常数－d （n≥2n∈N）
数列做等差数列
⑵等差中项：三数成等差数列
⑶通项公式：
⑷前项公式：
⑸常性质：
①
②标等差数列项组成等差数列
③数列（常数）等差数列
④等差数列 (非零常数)…成等差数列
⑤单调性：公差：
ⅰ）递增数列
ⅱ）递减数列
ⅲ）常数列
⑥数列{}等差数列（pq常数）
⑦等差数列前项… 等差数列
3等数列
⑴定义：果数列第2项起项前项等常数数列做等数列
⑵等中项：三数成等数列（号）反定成立
⑶通项公式：
⑷前项公式：
⑸常性质
①
②等数列公(标成等差数列应项成等数列)
③数列（等零常数）公等数列正项等数列公差等差数列
④等数列
等数列公次
⑤单调性：
递增数列递减数列
常数列
摆动数列
⑥等差数列等数列数列常数列
⑦等数列前项… 等数列
4非等差等数列通项公式求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前干项求该数列通项时般项观察分析寻找规律根规律写出数列通项
类型Ⅱ 公式法：已知数列前项关系求数列通项公式
构造两式作差求解
公式时注意结两种种分二分段式种合二合表达（先分两种情况分进行运算然验证否统）
类型Ⅲ 累加法：
形型递推数列（中关函数）构造：
述式子两边分相加：
①关次函数累加转化等差数列求
② 关指数函数累加转化等数列求
③关二次函数累加分组求
④关分式函数累加裂项求
类型Ⅳ 累法：
形型递推数列（中关函数）构造：
述式子两边分相：
时直接变形成种形式然种方法求解
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形（中均常数）型递推式：
（1）时数列{}等差数列
（2）时数列{}等数列
（3）时数列{}线性递推数列通项通定系数法构造等数列求方法两种：
法：设展开移项整理题设较系数（定系数法）构成
首项公等数列利等数列通项公式求出通项整理
法二：两式相减整理构成首项公等数列求出通项转化类型Ⅲ（累加法）便求出
㈡形型递推式：
⑴次函数类型（等差数列）时：
法：设通定系数法确定值转化成首项公等数列利等数列通项公式求出通项整理
法二：公差时递推式：两式相减：令：转化类型Ⅴ㈠求出 类型Ⅲ（累加法）便求出
⑵指数函数类型（等数列）时：
法：设通定系数法确定值转化成首项公等数列利等数列通项公式求出通项整理
法二：公时递推式：——①两边时——②①②两式相减转化类型Ⅴ㈠便求出
法三：递推公式（中pq均常数）（中pq r均常数）时先原递推公式两边时：引入辅助数列（中）：应类型Ⅴ㈠方法解决
⑶意数列时通法：
两边时令转化
类型Ⅲ（累加法）求出
类型Ⅵ 数变换法：
形型递推式：
原递推式两边取数令：化型求出（注意：底数定取10根题意选择）
类型Ⅶ 倒数变换法：
形（常数）递推式：两边转化形式化型求出表达式求
形递推式采取倒数方法转化成形式化型求出表达式求
类型Ⅷ 形型递推式：
定系数法化特殊数列形式求解方法：设较系数解公等数列样化型
总求数列通项公式根数列特点采方法求解转化方法求解数列纳猜想证明方法求出数列通项公式
5非等差等数列前项公式求法
⑴错位相减法
①数列等差数列数列等数列数列求采法
②数列项分公然错位相减进数列前项
法推导等数列前项公式时方法
⑵裂项相消法
般数列通项 时变成两项差采裂项相消法求
定系数法进行裂项：
设通分整理原式相较根应项系数相等
常见拆项公式：
①
②
③
④
⑤
⑶分组法求
类数列等差数列等数列类数列适拆开分等差等常见数列然分求合般分两步：①找通项公式②通项公式确定分组
⑷倒序相加法
果数列首末两项等距两项等首末两项正着写倒着写两式相加常数列种求方法称倒序相加法特征：
⑸记住常见数列前项：
①
②
③
第三章 等式
§31等关系等式
1等式基性质
①（称性）
②（传递性）
③（加性）
（加性）
（异减性）
④（积性）
⑤（正数性）
（异正数性）
⑥（方法）
⑦（开方法）
⑧（倒数法）
2重等式
①（仅时取号） 变形公式：
②（基等式） （仅时取等号）
变形公式：
基等式求值时（积定定积）注意满足三条件正二定三相等
③（三正数算术—均等式）（仅时取等号）
④
（仅时取等号）
⑤
（仅时取等号）
⑥（仅ab时取等号）
（仅ab时取等号）
⑦
中
规律：1加变1加变
⑧
⑨绝值三角等式
3著名等式
①均等式：
（仅时取号）
（调均均算术均方均）
变形公式：
②幂均等式：
③二维形式三角等式：
④二维形式柯西等式： 仅时等号成立
⑤三维形式柯西等式：
⑥般形式柯西等式：
⑦量形式柯西等式：
设两量仅零量存实数时等号成立
⑧排序等式（排序原理）：设两组实数排列（反序乱序序）
仅时反序等序
⑨琴生等式（特例凸函数凹函数）
定义某区间函数定义域中意两点
称f(x)凸（凹）函数
4等式证明种常方法
常方法：较法（作差作商法）综合法分析法
方法：换元法反证法放缩法构造法函数单调性法数学纳法等
常见等式放缩方法：
①舍加项
②分子分母放（缩）
等
5元二次等式解法
求元二次等式
解集步骤：
化：化二次项前系数正数
二判：判断应方程根
三求：求应方程根
四画：画出应函数图象
五解集：根图象写出等式解集
规律：二次项系数正时取中间取两边
6高次等式解法：穿根法
分解式根标数轴右方次穿（奇穿偶切）结合原式等号方写出等式解集
7分式等式解法：先移项通分标准化
（时理）
规律：分式等式等价转化整式等式求解
8理等式解法：转化理等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
规律：理等式等价转化理等式诀窍边分析求解
9指数等式解法：
⑴时
⑵时
规律：根指数函数性质转化
10数等式解法
⑴时
⑵时
规律：根数函数性质转化
11含绝值等式解法：
⑴定义法：
⑵方法：
⑶解变形法解定理：
①
②
③
④
规律：关键掉绝值符号
12含两（两）绝值等式解法：
规律：找零点划区间分段讨绝值段中取交集取段集
13含参数等式解法
解形含参数等式时参数进行分类讨分类讨标准：
⑴讨0
⑵讨0
⑶讨两根
14恒成立问题
⑴等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑵等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15线性规划问题
⑴二元次等式表示面区域判断：
法：取点定域法：
直线侧点坐标代入实数符号相实际判断时需直线某侧取特殊点（原点）正负判断出表示直线侧面区域
：直线定边界分清虚实选点定区域常选原点
法二：根观察符号等式开口符号号表示直线方区域异号表示直线方区域：号方异号方
⑵二元次等式组表示面区域：
等式组表示面区域等式表示面区域公部分
⑶利线性规划求目标函数常数）值：
法：角点法：
果目标函数 （公区域中点横坐标坐标）值存值该公区域边界角点处取角点坐标代入目标函数组应值数目标函数值数目标函数值
法二：画——移——定——求：
第步面直角坐标系中画出行域第二步作直线 移直线（行域直线行移动）确定优解第三步求出优解第四步优解代入目标函数求出值值
第二步中优解确定方法：
利意义：直线截距
①目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
②目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
⑷常见目标函数类型：
①截距型：
②斜率型：
③距离型：
求该三型目标函数值时结合线性规划代数式意义求解问题简单化
数学选修2－1
第章：命题逻辑结构
知识点：
1命题：语言符号式子表达判断真假陈述句
真命题：判断真语句假命题：判断假语句
2形式命题中称命题条件称命题结
3两命题果命题条件结分命题结条件两命题称互逆命题中命题称原命题称原命题逆命题原命题逆命题
4两命题果命题条件结恰命题条件否定结否定两命题称互否命题中命题称原命题称原命题否命题原命题否命题
5两命题果命题条件结恰命题结否定条件否定两命题称互逆否命题中命题称原命题称原命题逆否命题原命题否命题
6四种命题真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四种命题真假性间关系：
两命题互逆否命题相真假性
两命题互逆命题互否命题真假性没关系．
7充分条件必条件．
充条件（充分必条件）．
8联结词命题命题联结起新命题记作．
真命题时真命题两命题中命题假命题时假命题．
联结词命题命题联结起新命题记作．
两命题中命题真命题时真命题两命题假命题时假命题．
命题全盘否定新命题记作．真命题必假命题假命题必真命题．
9短语意逻辑中通常称全称量词表示．
含全称量词命题称全称命题．
全称命题中意成立记作．
短语存少逻辑中通常称存量词表示．含存量词命题称特称命题．
特称命题存中成立记作．
10全称命题：否定：全称命题否定特称命题
特称命题：否定：特称命题否定全称命题
第二章：圆锥曲线
知识点：
1求曲线方程（点轨迹方程）步骤：建设限代化
①建立适直角坐标系
②设动点点
③找出满足限制条件等式
④点坐标代入等式
⑤化简方程验证（查漏杂）
2面两定点距离等常数（）点轨迹称椭圆两定点称椭圆焦点两焦点距离称椭圆焦距
3椭圆性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
第定义
两定点距离等常数2（）
第二定义
定点距离定直线距离常数
范围
顶点
轴长
长轴长 短轴长
称性
关轴轴称关原点中心称
焦点
焦距
离心率
准线方程
焦半径
左焦半径：
右焦半径：
焦半径：
焦半径：
焦点三角形面积
通径
焦点垂直长轴弦通径：
（焦点）弦长公式
4设椭圆点点应准线距离点应准线距离
5面两定点距离差绝值等常数（）点轨迹称双曲线两定点称双曲线焦点两焦点距离称双曲线焦距
6双曲线性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
第定义
两定点距离差绝值等常数（）
第二定义
定点距离定直线距离常数
范围
顶点
轴长
实轴长 虚轴长
称性
关轴轴称关原点中心称
焦点
焦距
离心率
准线方程
渐线方程
焦半径
右支
左支
支
支
焦点三角形面积
通径
焦点垂直长轴弦通径：
7实轴虚轴等长双曲线称等轴双曲线
8设双曲线点点应准线距离点应准线距离
9面定点条定直线距离相等点轨迹称抛物线．定点称抛物线焦点定直线称抛物线准线．
10抛物线焦点作垂直称轴交抛物线两点线段称抛物线通径．
11焦半径公式：
点抛物线焦点
点抛物线焦点
点抛物线焦点
点抛物线焦点．
12 抛物线性质：
图形
标准方程
定义
定点条定直线距离相等点轨迹做抛物线(定点定直线)
顶点
离心率
称轴
轴
轴
范围
焦点
准线方程
焦半径
通径
抛物线焦点垂直称轴弦称通径：
焦点弦长
公式
参数意义
参数表示焦点准线距离越开口越阔
关抛物线焦点弦结：
设抛物线焦点弦直线倾斜角
⑴ ⑵
⑶ 直径圆准线相切
⑷ 焦点准线射影张角
⑸
第三章：
空间量知识点：
1空间量概念：
（1）空间具方量称空间量．
（2）量条线段表示．线段长度表示量箭头指方表示量方．
（3）量称量模（长度）记作．
（4）模（长度）量称零量模量称单位量．
（5）量长度相等方相反量称相反量记作．
（6）方相模相等量称相等量．
2空间量加法减法：
（1）求两量运算称量加法遵循行四边形法．：空间点起点两已知量邻边作行四边形起点角线种求量方法称量加法行四边形法．
（2）求两量差运算称量减法遵循三角形法．：空间取点作．
3实数空间量积量称量数运算．时方相时方相反时零量记．长度长度倍．
4设实数空间意两量数运算满足分配律结合律．
分配律：结合律：．
5果表示空间线段直线互相行重合量称线量行量规定零量量线．
6量线充条件：空间意两量充条件存实数．
7行面量称面量．
8量面定理：空间点位面充条件存序实数空间定点四点面．
9已知两非零量空间取点作称量夹角记作．两量夹角取值范围：．
10两非零量量互相垂直记作．
11已知两非零量称数量积记作．．零量量数量积．
12等长度方投影积．
13非零量单位量
．
14量数积运算律：
．
15空间量基定理：三量面空间量存实数组．
16三量面空间量组成集合．集合作量生成称空间基底称基量．空间意三面量构成空间基底．
17设公起点三两两垂直单位量（称单位正交基底）公起点原点分方轴轴轴正方建立空间直角坐标系．空间意量定移起点原点重合量．存序实数组．称作量单位正交基底坐标记作．时量坐标点空间直角坐标系中坐标．
18设
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）非零量．
（6）．
（7）．
（8）．
（9）．
19空间中取定点作基点空间中意点位置量表示．量称点位置量．
20空间中意条直线位置定点定方确定．点直线点量表示直线方量直线意点样点量仅确定直线位置具体表示出直线意点．
21空间中面位置两条相交直线确定．设两条相交直线相交点方量分．面意点存序实数样点量确定面位置．
22直线垂直取直线方量量称面法量．
23空间重合两条直线方量分
．
24直线方量面法量
．
25空间重合两面法量分．
26设异面直线夹角方量夹角．
27设直线方量面法量成角夹角．
28设二面角两面法量量夹角（补角）二面角面角．二面角面角．
29点点间距离转化两点应量模计算．
30直线找点定点垂直直线量定点直线距离．
31点面外点面定点面法量点面距离．
数学选修22
导数应
导数概念引入
1 导数物理意义：
瞬时速率般函数处瞬时变化率
称函数处导数记作
2 导数意义：
曲线切线通图出点趋时直线曲线相切容易知道割线斜率点趋时函数处导数切线PT斜率k
3 导函数：x变化时便x函数称导函数 导函数时记作
二导数计算
基初等函数导数公式
1(c常数) 2
3 4
5 6
7 8
导数运算法
1 2
3
复合函数求导 称表示成函数复合函数
三导数研究函数中应
1函数单调性导数
般函数单调性导数正负关系： 某区间
(1)果函数区间单调递增(2)果函数区间单调递减
2函数极值导数
极值反映函数某点附情况
求函数极值方法（1）果附左侧右侧极值（2）果附左侧右侧极值
4函数()值导数
求函数值值步骤： （1）求函数极值
（2） 函数极值端点处函数值较中值值
推理证明
考点 合情推理类推理
根类事物部分象具某种性质退出类事物象具种性质推理做纳推理纳特殊般程属合情推理
根两类事物间具某类似(致)性推测中类事物具外类事物类似性质推理做类推理
类推理般步骤
(1) 找出两类事物相似性致性
(2) 类事物性质推测类事物性质出明确命题(猜想)
(3) 般事物间性质孤立存相互制约果两事物某性质相相似写性质相类似类结真
(4) 般情况果类相似性越相似性质推测性质间越相关类出命题越
考点二 演绎推理(俗称三段)
般性命题推出特殊命题程种推理称演绎推理
考点三 数学纳法
1 递推数学证方法
2 步骤A命题n1（）时成立递推基础B假设nk时命题成立 C证明nk+1时命题成立
完成两步断定然数(n>)结成立
考点三 证明
1 反证法 2分析法 3综合法
数系扩充复数概念
复数概念
(1) 复数形数做复数分实部虚部
(2) 分类复数中实数 做虚数时做纯虚数
(3) 复数相等果两复数实部相等虚部相等说两复数相等
(4) 轭复数两复数实部相等虚部互相反数时两复数互轭复数
(5) 复面建立直角坐标系表示复数面做复面x轴做实轴y轴原点部分做虚轴
(6) 两实数较两复数果全实数较
复数运算
1复数加减法进行
设
（1） （2） （3）
2重结
(1) (2) (3)虚数
3运算律
(1) (2) (3)
4关虚数单位i固定结：
（1） （2） （3） （2）
数学选修2－3
第章 计数原理
知识点：
1分类加法计数原理：做件事情完成N类办法第类办法中M1种方法第二类办法中M2种方法……第N类办法中MN种方法完成件事情M1+M2+……+MN种方法
2分步法计数原理：做件事完成需分成N步骤做第 步m1种方法做第二步M2方法……做第N步MN方法完成件事 NM1M2MN 种方法
3排列：n元素中取m(m≤n)元素定序排成列做n元素中取出m元素排列
4排列数：
5组合：n元素中取m(m≤n)元素成组做n元素中取出m元素组合
6组合数：
7二项式定理：
8二项式通项公式
第二章 机变量分布
1 机变量：果机试验出现结果变量X表示X着试验结果变化样变量做机变量． 机变量常写字母XY等希腊字母 ξη等表示
2 离散型机变量：面射击产品检验等例子中机变量X取值定次序列出样机变量做离散型机变量．
3离散型机变量分布列：般设离散型机变量X取值x1x2 xi xn
X取值 xi(i12）概率P(ξxi）＝Pi称表离散型机变量X 概率分布简称分布列
4分布列性质① pi≥0 i 12 … ② p1 + p2 +…+pn 1．
5二点分布：果机变量X分布列：
中06超分布：般 设总数N件两类物品中类M件物品中取n(n≤N)件n件中含类物品件数X离散型机变量取值k时概率
中
7 条件概率：意事件A事件B已知事件A发生条件事件B发生概率做条件概率记作P(B|A)读作A发生条件B概率
8 公式：
9 相互独立事件：事件A(B)否发生事件B(A)发生概率没影响样两事件做相互独立事件
10 n次独立重复事件：等条件进行次间相互独立种试验
11二项分布： 设n次独立重复试验中某事件A发生次数A发生次数ξ机变量．果次试验中某事件发生概率p事件A发生概率q1pn次独立重复试验中 （中 k01 ……nq1p ）
机变量ξ概率分布：
样机变量ξ服二项分布记作ξ～B(np) 中np参数
12数学期：般离散型机变量ξ概率分布
称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… ξ数学期均数均值数学期简称期．离散型机变量
13方差D(ξ)(x1Eξ)2·P1+（x2Eξ)2·P2 ++（xnEξ)2·Pn 机变量ξ均方差简称方差
14集中分布期方差览：
期
方差
两点分布
Eξp
Dξpqq1p
二项分布ξ ～ B（np）
Eξnp
DξqEξnpq（q1p）
15正态分布：
概率密度曲线似函数
图中解析式中实数参数分表示总体均数标准差．
分布正态分布f( x )图象称正态曲线
16基性质：
①曲线x轴方x轴相交．
②曲线关直线x称x时位高点
③时曲线升时曲线降．曲线左右两边限延伸时x轴渐线限．
④定时曲线形状确定．越曲线越矮胖表示总体分布越分散越曲线越瘦高表示总体分布越集中．
⑤σ相时正态分布曲线位置期值μ决定
⑥正态曲线总面积等1
17 3原：
表正态总体 外取值概率 46 外取值概率03 概率通常称情况发生概率事件说通常认情况次试验中发生
第三章 统计案例
独立性检验
假设两分类变量XY值域分{x1 x2}{y1 y2}样频数列联表：
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
推断述H1：XY关系利独立性检验考察两变量否关系较精确出种判断程度具体做法表中数算出机变量K^2值（K方） K2 n (ad bc) 2 [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]中na+b+c+d样容量K2值越说明XY关系成立性越
K2≤3841时XY关 K2>3841时XY95性关K2>6635时XY99性关
回分析
回直线方程
中
高中数学选修41知识点总结
行线等分线段定理
行线等分线段定理：果组行线条直线截线段相等直线截线段相等
推理1：三角形边中点边行直线必分第三边
推理2：梯形腰中点底边行直线分腰
分线分线段成例定理
分线分线段成例定理：三条行线截两条直线应线段成例
推：行三角形边直线截两边（两边延长线）应线段成例
相似三角形判定性质
相似三角形判定：
定义：应角相等应边成例两三角形做相似三角形相似三角形应边值做相似（相似系数）
定义出发判断两三角形否相似需考虑6元素三组应角否分相等三组应边否分成例显然较麻烦出判定两三角形相似简单方法：
（1）两角应相等两三角形相似
（2）两边应成例夹角相等两三角形相似
（3）三边应成例两三角形相似
预备定理：行三角形边直线两边（两边延长线）相交构成三角形三角形相似
判定定理1：意两三角形果三角形两角三角形两角应相等两三角形相似简述：两角应相等两三角形相似
判定定理2：意两三角形果三角形两边三角形两边应成例夹角相等两三角形相似简述：两边应成例夹角相等两三角形相似
判定定理3：意两三角形果三角形三条边三角形三条边应成例两三角形相似简述：三边应成例两三角形相似
引理：果条直线截三角形两边（两边延长线）应线段成例条直线行三角形第三边
定理：（1）果两直角三角形锐角应相等相似
（2）果两直角三角形两条直角边应成例相似
定理：果直角三角形斜边条直角边三角形斜边直角边应成例两直角三角形相似
相似三角形性质：
（1）相似三角形应高应中线应分线等相似
（2）相似三角形周长等相似
（3）相似三角形面积等相似方
相似三角形外接圆直径周长等相似外接圆面积等相似方
直角三角形射影定理
射影定理：直角三角形斜边高两直角边斜边射影例中项两直角边分斜边射影斜边例中项
圆周定理
圆周角定理：圆条弧圆周角等圆周角半
圆心角定理：圆心角度数等弧度数
推1：弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等
推2：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径
圆接四边形性质判定定理
定理1：圆接四边形角互补
定理2：圆接四边形外角等角角
圆接四边形判定定理：果四边形角互补四边形四顶点圆
推：果四边形外角等角角四边形四顶点圆
圆切线性质判定定理
切线性质定理：圆切线垂直切点半径
推1：圆心垂直切线直线必切点
推2：切点垂直切线直线必圆心
切线判定定理：半径外端垂直条半径直线圆切线
弦切角性质
弦切角定理：弦切角等夹弧圆周角
圆关例线段
相交弦定理：圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等
割线定理：园外点引圆两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等
切割线定理：圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
切线长定理：圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线分两条切线夹角
选修44数学知识点
选考容坐标系参数方程高考考试纲求：
1．坐标系：
① 理解坐标系作
② 解面直角坐标系伸缩变换作面图形变化情况
③ 极坐标系中极坐标表示点位置理解极坐标系面直角坐标系中表示点位置区进行极坐标直角坐标互化
④ 极坐标系中出简单图形（极点直线极点圆心极点圆）方程通较图形极坐标系面直角坐标系中方程理解方程表示面图形时选择适坐标系意义
2．参数方程：① 解参数方程解参数意义
② 选择适参数写出直线圆圆锥曲线参数方程
二知识纳总结：
1．伸缩变换：设点面直角坐标系中意点变换作点应点称面直角坐标系中坐标伸缩变换简称伸缩变换
2极坐标系概念：面取定点做极点极点引条射线做极轴选定长度单位角度单位(通常取弧度)正方(通常取逆时针方)样建立极坐标系
3．点极坐标：设面点极点点距离做点极径记极轴始边射线终边做点极角记序数做点极坐标记
极坐标表示点极点坐标
4规定点点关极点称表示点
果规定极点外面点唯极坐标表示时极坐标表示点唯确定
5．极坐标直角坐标互化：
6圆极坐标方程：
极坐标系中极点圆心半径圆极坐标方程
极坐标系中 圆心 半径圆极坐标方程
极坐标系中 圆心半径圆极坐标方程
7极坐标系中表示极点起点条射线表示极点条直线
极坐标系中点垂直极轴直线l极坐标方程
8．参数方程概念：面直角坐标系中果曲线意点坐标某变数函数 允许值方程确定点条曲线方程做条曲线参数方程联系变数变数做参变数简称参数
相参数方程言直接出点坐标间关系方程做普通方程
9．圆参数方程表示
椭圆参数方程表示
抛物线参数方程表示
点倾斜角直线参数方程表示（参数）
10．建立曲线参数方程时注明参数参数取值范围参数方程普通方程互化中必须取值范围保持致
高中数学选修45知识点
1等式基性质
①（称性）
②（传递性）
③（加性）
（加性）
（异减性）
④（积性）
⑤（正数性）
（异正数性）
⑥（方法）
⑦（开方法）
⑧（倒数法）
2重等式
①（仅时取号） 变形公式：
②（基等式） （仅时取等号）
变形公式：
基等式求值时（积定定积）注意满足三条件正二定三相等
③（三正数算术—均等式）（仅时取等号）
④
（仅时取等号）
⑤
（仅时取等号）
⑥（仅ab时取等号）
（仅ab时取等号）
⑦（中
规律：1加变1加变
⑧
⑨绝值三角等式
3著名等式
①均等式：仅时取号）
（调均均算术均方均）
变形公式：
②幂均等式：
③二维形式三角等式：
④二维形式柯西等式：
仅时等号成立
⑤三维形式柯西等式：
⑥般形式柯西等式：
⑦量形式柯西等式：
设两量仅零量存实数时等号成立
⑧排序等式（排序原理）：
设两组实数排列（反序乱序序）仅时反序等序
⑨琴生等式（特例凸函数凹函数）
定义某区间函数定义域中意两点
称f(x)凸（凹）函数
4等式证明种常方法
常方法：较法（作差作商法）综合法分析法
方法：换元法反证法放缩法构造法函数单调性法数学纳法等
常见等式放缩方法：
①舍加项
②分子分母放（缩）
等
5元二次等式解法
求元二次等式
解集步骤：
化：化二次项前系数正数
二判：判断应方程根
三求：求应方程根
四画：画出应函数图象
五解集：根图象写出等式解集
规律：二次项系数正时取中间取两边
6高次等式解法：穿根法
分解式根标数轴右方次穿（奇穿偶切）结合原式等号方写出等式解集
7分式等式解法：先移项通分标准化
（时理）
规律：分式等式等价转化整式等式求解
8理等式解法：转化理等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
规律：理等式等价转化理等式诀窍边分析求解
9指数等式解法：
⑴时
⑵时
规律：根指数函数性质转化
10数等式解法
⑴时
⑵时
规律：根数函数性质转化
11含绝值等式解法：
⑴定义法：
⑵方法：
⑶解变形法解定理：
①
②
③
④
规律：关键掉绝值符号
12含两（两）绝值等式解法：
规律：找零点划区间分段讨绝值段中取交集取段集
13含参数等式解法
解形含参数等式时参数进行分类讨分类讨标准：
⑴讨0
⑵讨0
⑶讨两根
14恒成立问题
⑴等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑵等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15线性规划问题
⑴二元次等式表示面区域判断：
法：取点定域法：
直线侧点坐标代入实数符号相实际判断时需直线某侧取特殊点（原点）正负判断出表示直线侧面区域
：直线定边界分清虚实选点定区域常选原点
法二：根观察符号等式开口符号号表示直线方区域异号表示直线方区域：号方异号方
⑵二元次等式组表示面区域：
等式组表示面区域等式表示面区域公部分
⑶利线性规划求目标函数常数）值：
法：角点法：
果目标函数 （公区域中点横坐标坐标）值存值该公区域边界角点处取角点坐标代入目标函数组应值数目标函数值数目标函数值
法二：画——移——定——求：
第步面直角坐标系中画出行域第二步作直线 移直线（行域直线
行移动）确定优解第三步求出优解第四步优解代入目标函数求出值值
第二步中优解确定方法：
利意义：直线截距
①目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
②目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
⑷常见目标函数类型：
①截距型：
②斜率型：
③距离型：
求该三型目标函数值时结合线性规划代数式意义求解问题简单化
附：高中数学常公式常结
1 元素集合关系
2德摩根公式
3包含关系
4容斥原理
5．集合子集数 真子集–1非空子集 –1非空真子集–2
6二次函数解析式三种形式
(1)般式
(2)顶点式
(3)零点式
7解连等式常转化形式
8方程实根等价前者者必充分条件特 方程实根等价
9闭区间二次函数值
二次函数闭区间值处区间两端点处取具体：
(1)a>0时
(2)a<0时
10元二次方程实根分布
：方程区间少实根
设
（1）方程区间根充条件
（2）方程区间根充条件
（3）方程区间根充条件
11定区间含参数二次等式恒成立条件
(1)定区间子区间（形）含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(2)定区间子区间含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(3)恒成立充条件
12真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐｑ
ｐｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13常见结否定形式
原结
反设词
原结
反设词
少
没
少两
少
（）
少（）
成立
存某
成立
成立
存某
成立
14四种命题相互关系
原命题 互逆 逆命题
ｐｑ ｑｐ
互 互
互 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
非ｐ非ｑ 互逆 非ｑ非ｐ
15充条件
（1）充分条件：充分条件
（2）必条件：必条件
（3）充条件：充条件
注：果甲乙充分条件乙甲必条件反然
16函数单调性
(1)设
增函数
减函数
(2)设函数某区间导果增函数果减函数
17果函数减函数公定义域函数减函数 果函数应定义域减函数复合函数增函数
18．奇偶函数图象特征
奇函数图象关原点称偶函数图象关y轴称反果函数图象关原点称函数奇函数果函数图象关y轴称函数偶函数．
19函数偶函数函数偶函数
20函数()恒成立函数称轴函数两函数 图象关直线称
21函数图象关点称 函数周期周期函数
22．项式函数奇偶性
项式函数奇函数偶次项(奇数项)系数全零
项式函数偶函数奇次项(偶数项)系数全零
23函数图象称性
(1)函数图象关直线称
(2)函数图象关直线称
24两函数图象称性
(1)函数函数图象关直线(轴)称
(2)函数函数图象关直线称
(3)函数图象关直线yx称
25函数图象右移移单位函数图象曲线图象右移移单位曲线图象
26．互反函数两函数关系
27函数存反函数反函数函数反函数
28常见函数方程
(1)正例函数
(2)指数函数
(3)数函数
(4)幂函数
(5)余弦函数正弦函数
29函数方程周期(约定a>0)
（1）周期Ta
（2）
周期T2a
(3)周期T3a
(4)周期T4a
(5)
周期T5a
(6)周期T6a
30分数指数幂
(1)（）
(2)（）
31．根式性质
（1）
（2）奇数时
偶数时
32．理指数幂运算性质
(1)
(2)
(3)
注： a＞0p理数ap表示确定实数．述理指数幂运算性质理数指数幂适
33指数式数式互化式
34数换底公式
( )
推 ( )
35．数四运算法
a＞0a≠1M＞0N＞0
(1)
(2)
(3)
36设函数记定义域值域情形需单独检验
37 数换底等式推广
函数
(1)时增函数
(2)时减函数
推设
（1）
（2）
38 均增长率问题
果原产值基础数N均增长率时间总产值
39数列项公式前n项关系
( 数列前n项)
40等差数列通项公式
前n项公式
41等数列通项公式
前n项公式
42等差数列通项公式
前n项公式
43分期付款(揭贷款)
次款元(贷款元次清期利率)
44．常见三角等式
（1）
(2)
(3)
45角三角函数基关系式
46正弦余弦诱导公式
(n偶数)
(n奇数)
(n偶数)
(n奇数)
47角差角公式
(方正弦公式)
(辅助角象限点象限决定 )
48二倍角公式
49 三倍角公式
50三角函数周期公式
函数x∈R函数x∈R(Aω常数A≠0ω＞0)周期函数(Aω常数A≠0ω＞0)周期
51正弦定理
52余弦定理
53面积定理
（1）（分表示abc边高）
（2）
(3)
54三角形角定理
△ABC中
55 简单三角方程通解
特
56简单三角等式解集
57实数量积运算律
设λμ实数
(1) 结合律：λ(μa)(λμ)a
(2)第分配律：(λ+μ)aλa+μa
(3)第二分配律：λ(a+b)λa+λb
58量数量积运算律：
(1) a·b b·a （交换律）
(2)（a）·b （a·b）a·b a·（b）
(3)（a+b）·c a ·c +b·c
59面量基定理
果e1e 2面两线量面量实数λ1λ2aλ1e1+λ2e2．
线量e1e2做表示面量组基底．
60．量行坐标表示
设abb0ab(b0)
53 ab数量积(积)
a·b|a||b|cosθ．
61 a·b意义
数量积a·b等a长度|a|ba方投影|b|cosθ积．
62面量坐标运算
(1)设aba+b
(2)设abab
(3)设AB
(4)设aa
(5)设aba·b
63两量夹角公式
(ab)
64面两点间距离公式
(AB)
65量行垂直
设abb0
A||bbλa
ab(a0)a·b0
66线段定分公式
设线段分点实数
（）
67三角形重心坐标公式
△ABC三顶点坐标分△ABC重心坐标
68点移公式
注图形F意点P(xy)移图形应点坐标
69量移结
（1）点量a移点
(2) 函数图象量a移图象函数解析式
(3) 图象量a移图象解析式函数解析式
(4)曲线量a移图象方程
(5) 量m量a移量然m
70 三角形五心量形式充条件
设面点角边长分
（1）外心
（2）重心
（3）垂心
（4）心
（5）旁心
71常等式：
（1）(仅a＝b时取号)．
（2）(仅a＝b时取号)．
（3）
（4）柯西等式
（5）
72极值定理
已知正数
（1）积定值时值
（2）定值时积值
推广 已知
（1）积定值时
时
（2）定值时
时
73元二次等式果号解集两根外果异号解集两根间简言：号两根外异号两根间
74含绝值等式
a> 0时
75理等式
（1）
（2）
（3）
76指数等式数等式
(1)时
(2)时
77斜率公式
（）
78直线五种方程
（1）点斜式 (直线点斜率)．
（2）斜截式 (b直线y轴截距)
（3）两点式 ()( ())
(4)截距式 (分直线横截距)
（5）般式 (中AB时0)
79两条直线行垂直
(1)
①
②
(2)A1A2B1B2零
①
②
80夹角公式
(1)
()
(2)
()
直线时直线l1l2夹角
81 角公式
(1)
()
(2)
()
直线时直线l1l2角
82．四种常直线系方程
(1)定点直线系方程：定点直线系方程(直线)中定系数 定点直线系方程中定系数．
(2)点直线系方程：两直线交点直线系方程()中λ定系数．
(3)行直线系方程：直线中斜率k定b变动时表示行直线系方程．直线行直线系方程()λ参变量．
(4)垂直直线系方程：直线 (A≠0B≠0)垂直直线系方程λ参变量．
83点直线距离
(点直线：)
84 表示面区域
设直线表示面区域：
号时表示直线方区域异号时表示直线方区域简言号异号
号时表示直线右方区域异号时表示直线左方区域 简言号右异号左
85 表示面区域
设曲线（）
表示面区域：
表示面区域两部分
表示面区域两部分
86 圆四种方程
（1）圆标准方程
（2）圆般方程 (＞0)
（3）圆参数方程
（4）圆直径式方程 (圆直径端点)
87 圆系方程
(1)点圆系方程
中直线方程λ定系数．
(2)直线圆交点圆系方程λ定系数．
(3) 圆圆交点圆系方程λ定系数．
88点圆位置关系
点圆位置关系三种
点圆外点圆点圆
89直线圆位置关系
直线圆位置关系三种
中
90两圆位置关系判定方法
设两圆圆心分O1O2半径分r1r2
91圆切线方程
(1)已知圆．
①已知切点圆切线条方程
圆外时 表示两切点切点弦方程．
②圆外点切线方程设利相切条件求k时必两条切线注意漏掉行y轴切线．
③斜率k切线方程设利相切条件求b必两条切线．
(2)已知圆．
①圆点切线方程
②斜率圆切线方程
92椭圆参数方程
93椭圆焦半径公式
94．椭圆外部
（1）点椭圆部
（2）点椭圆外部
95 椭圆切线方程
(1)椭圆点处切线方程
（2）椭圆外点引两条切线切点弦方程
（3）椭圆直线相切条件
96双曲线焦半径公式
97双曲线外部
(1)点双曲线部
(2)点双曲线外部
98双曲线方程渐线方程关系
(1）双曲线方程渐线方程：
(2)渐线方程双曲线设
(3)双曲线公渐线设（焦点x轴焦点y轴）
99 双曲线切线方程
(1)双曲线点处切线方程
（2）双曲线外点引两条切线切点弦方程
（3）双曲线直线相切条件
100 抛物线焦半径公式
抛物线焦半径
焦点弦长
101抛物线动点设P P中
102二次函数图象抛物线：（1）顶点坐标（2）焦点坐标（3）准线方程
103抛物线外部
(1)点抛物线部
点抛物线外部
(2)点抛物线部
点抛物线外部
(3)点抛物线部
点抛物线外部
(4) 点抛物线部
点抛物线外部
104 抛物线切线方程
(1)抛物线点处切线方程
（2）抛物线外点引两条切线切点弦方程
（3）抛物线直线相切条件
105两常见曲线系方程
(1)曲线交点曲线系方程
(参数)
(2)焦点心圆锥曲线系方程中时表示椭圆 时表示双曲线
106直线圆锥曲线相交弦长公式
（弦端点A方程
消y直线倾斜角直线斜率）
107圆锥曲线两类称问题
（1）曲线关点成中心称曲线
（2）曲线关直线成轴称曲线
108四线方程
般二次曲线代代代代代方程
曲线切线切点弦中点弦弦中点方程均方程
109．证明直线直线行思考途径
（1）转化判定面二直线交点
（2）转化二直线第三条直线行
（3）转化线面行
（4）转化线面垂直
（5）转化面面行
110．证明直线面行思考途径
（1）转化直线面公点
（2）转化线线行
（3）转化面面行
111．证明面面行思考途径
（1）转化判定二面公点
（2）转化线面行
（3）转化线面垂直
112．证明直线直线垂直思考途径
（1）转化相交垂直
（2）转化线面垂直
（3）转化线线射影垂直
（4）转化线形成射影斜线垂直
113．证明直线面垂直思考途径
（1）转化该直线面直线垂直
（2）转化该直线面相交二直线垂直
（3）转化该直线面条垂线行
（4）转化该直线垂直行面
（5）转化该直线两垂直面交线垂直
114．证明面面垂直思考途径
（1）转化判断二面角直二面角
（2）转化线面垂直
115空间量加法数量运算运算律
(1)加法交换律：a＋bb＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋ca＋(b＋c)．
(3)数分配律：λ(a＋b)λa＋λb．
116面量加法行四边形法空间推广
始点相面三量等三量棱行六面体公始点始点角线表示量
117线量定理
空间意两量ab(b≠0 )a∥b存实数λaλb．
三点线
线线线
118面量定理
量p两线量ab面存实数．
推 空间点P位面MAB存序实数
空间定点O序实数
119空间点线三点ABC满足（）时空间点总PABC四点面时面ABCPABC四点面面ABCPABC四点面．
四点面面
（面ABC）
120空间量基定理
果三量abc面空间量p存唯序实数组xyzp＝xa＋yb＋zc．
推 设OABC面四点空间点P存唯三序实数xyz
121射影公式
已知量a轴e方单位量作A点射影作B点射影
〈ae〉a·e
122量直角坐标运算
设a＝b＝
(1)a＋b＝
(2)a－b＝
(3)λa＝ (λ∈R)
(4)a·b＝
123设AB
124．空间线线行垂直
设
125夹角公式
设a＝b＝
cos〈ab〉
推 三维柯西等式
126 四面体棱成角
四面体中 成角
127．异面直线成角
（中（）异面直线成角分表示异面直线方量）
128直线面成角
(面法量)
129面面成角两边面成角分两角
特时
130面面成角两边面成角分两角
特时
131二面角面角
（面法量）
132三余弦定理
设ACα条直线BC⊥AC垂足C设AOAB成角ABAC成角AOAC成角．
133 三射线定理
夹面角二面角间线段二面角两半面成角二面角棱成角θ
(仅时等号成立)
134空间两点间距离公式
AB
135点直线距离
(点直线直线方量a量b)
136异面直线间距离
(两异面直线公垂量分点间距离)
137点面距离
（面法量面条斜线）
138异面直线两点距离公式
（）
(两条异面直线ab成角θ公垂线段长度h直线ab分取两点EF)
139三量方公式
140 长度线段三条两两互相垂直直线射影长分夹角分
（立体中长方体角线长公式特例）
141 面积射影定理
(面边形射影面积分面成锐二面角)
142 斜棱柱直截面
已知斜棱柱侧棱长侧面积体积分直截面周长面积分
①
②
143．作截面
三面两两相交三条交线三条交线交点互相行
144．棱锥行截面性质
果棱锥行底面面截截面底面相似截面面积底面面积等顶点截面距离棱锥高方（应角相等应边应成例边形相似边形相似边形面积等应边方）相应棱锥棱锥侧面积等顶点截面距离棱锥高方．
145欧拉定理(欧拉公式)
(简单面体顶点数V棱数E面数F)
（1）面边形边数半特面边数边形面数F棱数E关系：
（2）顶点引出棱数顶点数V棱数E关系：
146球半径R
体积
表面积．
147球组合体
(1)球长方体组合体
长方体外接球直径长方体体角线长
(2)球正方体组合体
正方体切球直径正方体棱长 正方体棱切球直径正方体面角线长 正方体外接球直径正方体体角线长
(3) 球正四面体组合体
棱长正四面体切球半径外接球半径
148．柱体锥体体积
（柱体底面积柱体高）
（锥体底面积锥体高）
149分类计数原理（加法原理）
150分步计数原理（法原理）
151排列数公式
(∈N*)．
注规定
152排列恒等式
(1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
153组合数公式
(∈N*)
154组合数两性质
(1)
(2) +
注规定
155组合恒等式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
156排列数组合数关系
157．单条件排列
条前提元素中取元素排列
（1）位位
①某（特）元必某位种②某（特）元某位（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种
（2）紧贴插空（相邻相邻）
①定位紧贴：元固定位排列种
②浮动紧贴：元素全排列k元排起排法种注：类问题常捆绑法
③插空：两组元素分kh（）合起作全排列k组互挨排列数种
（3）两组元素相插空
球球排成列球必分开问少种排法？
时解时种排法
（4）两组相元素排列：两组元素mn组元素分相排列数
158．分配问题
（1）(均分组属问题)相异物件等分件分配方法数
（2）(均分组属问题)相异·物体等分记号序堆分配方法数
（3）(非均分组属问题)相异物体分物件必须分完分…件…数彼相等分配方法数
（4）(非完全均分组属问题)相异物体分物件必须分完分…件…数中分abc…相等分配方法数
（5）(非均分组属问题)相异物体分意…件记号堆…数彼相等分配方法数
（6）(非完全均分组属问题)相异物体分意…件记号堆…数中分abc…相等分配方法数
（7）(限定分组属问题)相异（）物体分甲乙丙……等物体必须分完果指定甲件乙件丙件…时…等数否全相异全相异分配方法数恒
159．错位问题推广
贝努利装错笺问题信封信信封全部错位组合数
推广 元素位置中少元素错位组合总数
160．定方程解数
(1)方程（）正整数解
(2) 方程（）非负整数解
(3) 方程（）满足条件()非负整数解
(4) 方程（）满足条件()正整数解
161二项式定理
二项展开式通项公式
162等性事件概率
163互斥事件AB分发生概率
P(A＋B)P(A)＋P(B)．
164互斥事件分发生概率
P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165独立事件AB时发生概率
P(A·B) P(A)·P(B)
166n独立事件时发生概率
P(A1· A2·…· An)P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
167n次独立重复试验中某事件恰发生k次概率
168离散型机变量分布列两性质
（1）
（2）
169数学期
170数学期性质
（1）
（2）～
(3) 服分布
171方差
172标准差
173方差性质
(1)
(2）～
(3) 服分布
174方差期关系
175正态分布密度函数
式中实数μ（>0）参数分表示体均数标准差
176标准正态分布密度函数
177取值x概率
178回直线方程
中
179相关系数
|r|≤1|r|越接1相关程度越|r|越接0相关程度越
180特殊数列极限
（1）
（2）
（3）（穷等数列 ()）
181 函数极限定理
182函数夹逼性定理
果函数f(x)g(x)h(x)点x0附满足：
（1）
（2）（常数）
定理单侧极限情况然成立
183常极限
（1）（）
（2）
184两重极限
（1）
（2）(e2718281845…)
185函数极限四运算法
(1)
(2)
(3)
186数列极限四运算法
(1)
(2)
(3)
(4)( c常数)
187处导数（变化率微商）
188瞬时速度
189瞬时加速度
190导数
191 函数点处导数意义
函数点处导数曲线处切线斜率相应切线方程
192种常见函数导数
(1) （C常数）
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
193导数运算法
（1）
（2）
（3）
194复合函数求导法
设函数点处导数函数点处应点U处导数复合函数点处导数写作
195常似计算公式（充时）
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)（弧度）
(6)（弧度）
(7)（弧度）
196判极（）值方法
函数点处连续时
（1）果附左侧右侧极值
（2）果附左侧右侧极值
197复数相等
（）
198复数模（绝值）
199复数四运算法
(1)
(2)
(3)
(4)
200复数法运算律
交换律
结合律
分配律
201复面两点间距离公式
（）
202量垂直
非零复数应量分
实部零纯虚数
(λ非零实数)
203实系数元二次方程解
实系数元二次方程
①
②
③实数集没实数根复数集仅两轭复数根
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数
学
知
识
点
总
结
引言
1课程容：
必修课程5模块组成：
必修1：集合函数概念基初等函数（指幂函数）
必修2：立体初步面解析初步
必修3：算法初步统计概率
必修4：基初等函数（三角函数）面量三角恒等变换
必修5：解三角形数列等式
高中学生必须学
述容覆盖高中阶段传统数学基础知识基技部分中包括集合函数数列等式解三角形立体初步面解析初步等保证基础时进步强调知识发生发展程实际应技巧难度做高求
外基础容增加量算法概率统计等容
选修课程4系列：
系列1：2模块组成
选修1—1：常逻辑语圆锥曲线方程导数应
选修1—2：统计案例推理证明数系扩充复数框图
系列2：3模块组成
选修2—1：常逻辑语圆锥曲线方程
空间量立体
选修2—2：导数应推理证明数系扩充复数
选修2—3：计数原理机变量分布列统计案例
系列3：6专题组成
选修3—1：数学史选讲
选修3—2：信息安全密码
选修3—3：球面
选修3—4：称群
选修3—5：欧拉公式闭曲面分类
选修3—6：三等分角数域扩充
系列4：10专题组成
选修4—1：证明选讲
选修4—2：矩阵变换
选修4—3：数列差分
选修4—4：坐标系参数方程
选修4—5：等式选讲
选修4—6：初等数初步
选修4—7：优选法试验设计初步
选修4—8：统筹法图初步
选修4—9：风险决策
选修4—10：开关电路布尔代数
2．重难点考点：
重点：函数数列三角函数面量圆锥曲线立体导数
难点：函数圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合简易逻辑集合概念运算简易逻辑充条件
⑵函数：映射函数函数解析式定义域值域值反函数三性质函数图象指数指数函数数数函数函数应
⑶数列：数列关概念等差数列等数列数列求数列应
⑷三角函数：关概念角关系诱导公式差倍半公式求值化简证明三角函数图象性质三角函数应
⑸面量：关概念初等运算坐标运算数量积应
⑹等式：概念性质均值等式等式证明等式解法绝值等式等式应
⑺直线圆方程：直线方程两直线位置关系线性规划圆直线圆位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆双曲线抛物线直线圆锥曲线位置关系轨迹问题圆锥曲线应
⑼直线面简单体：空间直线直线面面面棱柱棱锥球空间量
⑽排列组合概率：排列组合应题二项式定理应
⑾概率统计：概率分布列期方差抽样正态分布
⑿导数：导数概念求导导数应
⒀复数：复数概念运算
高中数学 必修1知识点
第章 集合函数概念
〖11〗集合
111集合含义表示
（1）集合概念
集合中元素具确定性互异性序性
（2）常数集记法
表示然数集表示正整数集表示整数集表示理数集表示实数集
（3）集合元素间关系
象集合关系者两者必居
（4）集合表示法
①然语言法：文字叙述形式描述集合
②列举法：集合中元素列举出写括号表示集合
③描述法：{|具性质}中集合代表元素
④图示法：数轴韦恩图表示集合
（5）集合分类
①含限元素集合做限集②含限元素集合做限集③含元素集合做空集()
112集合间基关系
（6）子集真子集集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（
A中元素属B
(1)AA
(2)
(3)
(4)
真子集
AB
（BA）
B中少元素属A
（1）（A非空子集）
(2)
集合
相等
A中元素属BB中元素属A
(1)AB
(2)BA
（7）已知集合元素子集真子集非空子集非空真子集
113集合基运算
（8）交集集补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
（1）
（2）
（3）
集
（1）
（2）
（3）
补集
1 2
补充知识含绝值等式元二次等式解法
（1）含绝值等式解法
等式
解集
成整体化成型等式求解
（2）元二次等式解法
判式
二次函数图象
元二次方程根
（中
实根
解集
解集
〖12〗函数表示
121函数概念
（1）函数概念
①设两非空数集果某种应法集合中数集合中唯确定数应样应（包括集合应法）做集合函数记作．
②函数三素定义域值域应法．
③定义域相应法相两函数函数．
（2）区间概念表示法
①设两实数满足实数集合做闭区间记做满足实数集合做开区间记做满足实数集合做半开半闭区间分记做满足实数集合分记做．
注意：集合区间前者等者必须
（前者成立空集者必须成立）．
（3）求函数定义域时般遵循原：
①整式时定义域全体实数．
②分式函数时定义域分母零切实数．
③偶次根式时定义域开方式非负值时实数集合．
④数函数真数零数指数函数底数中含变量时底数须零等1．
⑤中．
⑥零（负）指数幂底数零．
⑦限基初等函数四运算合成函数时定义域般基初等函数定义域交集．
⑧求复合函数定义域问题般步骤：已知定义域复合函数定义域应等式解出．
⑨含字母参数函数求定义域根问题具体情况需字母参数进行分类讨．
⑩实际问题确定函数定义域函数意义外符合问题实际意义．
（4）求函数值域值
求函数值常方法求函数值域方法基相．事实果函数值域中存（）数数函数（）值．求函数值值域实质相提问角度．求函数值域值常方法：
①观察法：较简单函数通观察直接值域值．
②配方法：函数解析式化成含变量方式常数然根变量取值范围确定函数值域值．
③判式法：函数化成系数含关二次方程时实数必须确定函数值域值．
④等式法：利基等式确定函数值域值．
⑤换元法：通变量代换达化繁简化难易目三角代换代数函数值问题转化三角函数值问题．
⑥反函数法：利函数反函数定义域值域互逆关系确定函数值域值．
⑦数形结合法：利函数图象方法确定函数值域值．
⑧函数单调性法．
122函数表示法
（5）函数表示方法
表示函数方法常解析法列表法图象法三种．
解析法：数学表达式表示两变量间应关系．列表法：列出表格表示两变量间应关系．图象法：图象表示两变量间应关系．
（6）映射概念
①设两集合果某种应法集合中元素集合中唯元素应样应（包括集合应法）做集合映射记作．
②定集合集合映射．果元素元素应元素做元素象元素做元素原象．
〖13〗函数基性质
131单调性（）值
（1）函数单调性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
单调性
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象升增）
（4）利复合函数
果属定义域I某区间意两变量值x1x2x1< x2时f(x1)>f(x2)说f(x)区间减函数．
（1）利定义
（2）利已知函数单调性
（3）利函数图象（某区间图
象降减）
（4）利复合函数
②公定义域两增函数增函数两减函数减函数增函数减减函数增函数减函数减增函数减函数．
③复合函数令增增增减减增增减减减增减．
y
x
o
（2）√函数图象性质
分增函数分减函数．
（3）（）值定义
①般设函数定义域果存实数满足：（1）意
（2）存．称函数值记作．
②般设函数定义域果存实数满足：（1）意（2）存．称函数值记作．
132奇偶性
（4）函数奇偶性
①定义判定方法
函数
性 质
定义
图象
判定方法
函数
奇偶性
果函数f(x)定义域意xf(－x)－f(x)函数f(x)做奇函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关原点称）
果函数f(x)定义域意xf(－x)f(x)函数f(x)做偶函数．
（1）利定义（先判断定义域否关原点称）
（2）利图象（图象关y轴称）
②函数奇函数处定义．
③奇函数轴两侧相称区间增减性相偶函数轴两侧相称区间增减性相反．
④公定义域两偶函数（奇函数）（差）偶函数（奇函数）两偶函数（奇函数）积（商）偶函数偶函数奇函数积（商）奇函数．
〖补充知识〗函数图象
（1）作图
利描点法作图：
①确定函数定义域 ②化解函数解析式
③讨函数性质（奇偶性单调性） ④画出函数图象．
利基函数图象变换作图：
准确记忆次函数二次函数反例函数指数函数数函数幂函数三角函数等种基初等函数图象．
①移变换
②伸缩变换
③称变换
（2）识图
定函数图象图象左右分范围变化趋势称性等方面研究函数定义域值域单调性奇偶性注意图象函数解析式中参数关系．
（3）图
函数图象形象显示函数性质研究数量关系问题提供形直观性探求解题途径获问题结果重工具．重视数形结合解题思想方法．
第二章 基初等函数(Ⅰ)
〖21〗指数函数
211指数指数幂运算
（1）根式概念
①果做次方根．奇数时次方根符号表示偶数时正数正次方根符号表示负次方根符号表示0次方根0负数没次方根．
②式子做根式里做根指数做开方数．奇数时意实数偶数时．
③根式性质：奇数时偶数时 ．
（2）分数指数幂概念
①正数正分数指数幂意义：．0正分数指数幂等0．
②正数负分数指数幂意义：．0负分数指数幂没意义． 注意口诀：底数取倒数指数取相反数．
（3）分数指数幂运算性质
① ②
③
212指数函数性质
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数做指数函数
图象
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越高第二象限越图象越低．
〖22〗数函数
221数数运算
（1） 数定义
①做底数记作中做底数做真数．
②负数零没数．
③数式指数式互化：．
（2）重数恒等式
．
（3）常数然数
常数：然数：（中…）．
（4）数运算性质 果
①加法： ②减法：
③数： ④
⑤ ⑥换底公式：
222数函数性质
（5）数函数
函数
名称
数函数
定义
函数做数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
定点
图象定点时．
奇偶性
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
函数值
变化情况
变化 图象影响
第象限越图象越低第四象限越图象越高．
(6)反函数概念
设函数定义域值域式子中解出式子．果中值通式子中唯确定值应式子表示函数函数做函数反函数记作惯改写成．
（7）反函数求法
①确定反函数定义域原函数值域②原函数式中反解出
③改写成注明反函数定义域．
（8）反函数性质
①原函数反函数图象关直线称．
②函数定义域值域分反函数值域定义域．
③原函数图象反函数图象．
④般函数反函数必须单调函数．
〖23〗幂函数
（1）幂函数定义
般函数做幂函数中变量常数．
（2）幂函数图象
（3）幂函数性质
①图象分布：幂函数图象分布第二三象限第四象限图象．幂函数偶函数时图象分布第二象限(图象关轴称)奇函数时图象分布第三象限(图象关原点称)非奇非偶函数时图象分布第象限．
②定点：幂函数定义图象通点．
③单调性：果幂函数图象原点增函数．果幂函数图象减函数第象限图象限接轴轴．
④奇偶性：奇数时幂函数奇函数偶数时幂函数偶函数．（中互质）奇数奇数时奇函数奇数偶数时偶函数偶数奇数时非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数时图象直线方图象直线方时图象直线方图象直线方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式三种形式
①般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式方法
①已知三点坐标时宜般式．
②已知抛物线顶点坐标称轴关（）值关时常顶点式．
③已知抛物线轴两交点横线坐标已知时选两根式求更方便．
（3）二次函数图象性质
①二次函数图象条抛物线称轴方程顶点坐标．
②时抛物线开口函数递减递增时时抛物线开口函数递增递减时．
③二次函数时图象轴两交点．
（4）元二次方程根分布
元二次方程根分布二次函数中重容部分知识初中代数中涉尚够系统完整解决方法偏重二次方程根判式根系数关系定理（韦达定理）运面结合二次函数图象性质系统分析元二次方程实根分布．
设元二次方程两实根．令四方面分析类问题：
①开口方： ②称轴位置： ③判式： ④端点函数值符号．
①k＜x1≤x2
②x1≤x2＜k
③x1＜k＜x2 af(k)＜0
④k1＜x1≤x2＜k2
⑤仅根x1（x2）满足k1＜x1（x2）＜k2 f(k1)f(k2)0时考虑f(k1)0f(k2)0两种情况否符合
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
结直接⑤推出．
（5）二次函数闭区间值
设区间值值令．
（Ⅰ）时（开口）
① ② ③
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
(Ⅱ)时(开口)
① ② ③
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
① ②．
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
p
q
f(p)
f(q)
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数成立实数做函数零点
2函数零点意义：函数零点方程实数根函数图象轴交点横坐标：
方程实数根函数图象轴交点函数零点．
3函数零点求法：
求函数零点：
（代数法）求方程实数根
（法）求根公式方程函数图象联系起利函数性质找出零点．
4二次函数零点：
二次函数．
１）△＞０方程两等实根二次函数图象轴两交点二次函数两零点．
２）△＝０方程两相等实根（二重根）二次函数图象轴交点二次函数二重零点二阶零点．
３）△＜０方程实根二次函数图象轴交点二次函数零点．
高中数学 必修2知识点
第章 空间体
11柱锥台球结构特征
（1）棱柱：定义：两面互相行余面四边形相邻两四边形公边互相行面围成体
分类：底面边形边数作分类标准分三棱柱四棱柱五棱柱等
表示：顶点字母五棱柱角线端点字母五棱柱
特征：两底面应边行全等边形侧面角面行四边形侧棱行相等行底面截面底面全等边形
（2）棱锥
定义：面边形余面公顶点三角形面围成体
分类：底面边形边数作分类标准分三棱锥四棱锥五棱锥等
表示：顶点字母五棱锥
特征：侧面角面三角形行底面截面底面相似相似等顶点截面距离高方
（3）棱台：定义：行棱锥底面面截棱锥截面底面间部分
分类：底面边形边数作分类标准分三棱态四棱台五棱台等
表示：顶点字母五棱台
特征：①底面相似行边形 ②侧面梯形 ③侧棱交原棱锥顶点
（4）圆柱：定义：矩形边直线轴旋转余三边旋转成曲面围成体
特征：①底面全等圆②母线轴行③轴底面圆半径垂直④侧面展开图矩形
（5）圆锥：定义：直角三角形条直角边旋转轴旋转周成曲面围成体
特征：①底面圆②母线交圆锥顶点③侧面展开图扇形
（6）圆台：定义：行圆锥底面面截圆锥截面底面间部分
特征：①底面两圆②侧面母线交原圆锥顶点③侧面展开图弓形
（7）球体：定义：半圆直径直线旋转轴半圆面旋转周形成体
特征：①球截面圆②球面意点球心距离等半径
12空间体三视图直观图
1 三视图：
正视图：前 侧视图：左右 俯视图：
2 画三视图原：
长齐高齐宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法步骤：
（1）行坐标轴线然行坐标轴
（2）行y轴线长度变半行xz轴线长度变
（3）画法写
5 斜二测画法画出长方体步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
13 空间体表面积体积
（ ）空间体表面积
1棱柱棱锥表面积： 面面积
2 圆柱表面积 3 圆锥表面积
4 圆台表面积 5 球表面积
（二）空间体体积
1柱体体积 2锥体体积
3台体体积 4球体体积
第二章 直线面位置关系
21空间点直线面间位置关系
211
1 面含义：面限延展
2 面画法表示
（1）面画法：水放置面通常画成行四边形锐角画成450横边画成邻边2倍长（图）
（2）面通常希腊字母αβγ等表示面α面β等表示面行四边形四顶点者相两顶点写字母表示面AC面ABCD等
3 三公理：
D
C
B
A
α
（1）公理1：果条直线两点面条直线面
符号表示
L
A
·
α
A∈L
B∈L > L α
A∈α
B∈α
公理1作：判断直线否面
C
·
B
·
A
·
α
（2）公理2：条直线三点面
符号表示：ABC三点线 > 面α
A∈αB∈αC∈α
公理2作：确定面
（3）公理3：果两重合面公点条该点公直线
P
·
α
L
β
符号表示：P∈α∩β >α∩βLP∈L
公理3作：判定两面否相交
212 空间中直线直线间位置关系
1 空间两条直线三种关系：
面直线
相交直线：面公点
行直线：面没公点
异面直线： 面没公点
2 公理4：行条直线两条直线互相行
符号表示：设abc三条直线
>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质说行具传递性面空间性质适
公理4作：判断空间两条直线行
3 等角定理：空间中果两角两边分应行两角相等互补
4 注意点：
① a＇b＇成角ab相互位置确定O选择关简便点O般取两直线中条
② 两条异面直线成角θ∈(0 )
③ 两条异面直线成角直角时说两条异面直线互相垂直记作a⊥b
④ 两条直线互相垂直面垂直异面垂直两种情形
⑤ 计算中通常两条异面直线成角转化两条相交直线成角
213 — 214 空间中直线面面面间位置关系
1直线面三种位置关系：
（1）直线面 —— 数公点
（2）直线面相交 —— 公点
（3）直线面行 —— 没公点
指出：直线面相交行情况统称直线面外a α表示
a α a∩αA a∥α
22直线面行判定性质
221 直线面行判定
1直线面行判定定理：面外条直线面条直线行该直线面行
简记：线线行线面行
符号表示：
a α
b β > a∥α
a∥b
222 面面行判定
1两面行判定定理：面两条交直线面行两面行
符号表示：
a β
b β
a∩b P β∥α
a∥α
b∥α
2判断两面行方法三种：
（1）定义
（2）判定定理
（3）垂直条直线两面行
223 — 224直线面面面行性质
1定理：条直线面行条直线面面交线该直线行
简记：线面行线线行
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β b
作：利该定理解决直线间行问题
2定理：果两面时第三面相交交线行
符号表示：
α∥β
α∩γ a a∥b
β∩γ b
作：面面行出直线直线行
23直线面垂直判定性质
231直线面垂直判定
1定义
果直线L面α意条直线垂直说直线L面α互相垂直记作L⊥α直线L做面α垂线面α做直线L垂面图直线面垂直时唯公点P做垂足
L
p
α
2判定定理：条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
注意点： a)定理中两条相交直线条件忽视
b)定理体现直线面垂直直线直线垂直互相转化数学思想
232面面垂直判定
1二面角概念：表示空间直线出发两半面组成图形
A
梭 l β
B
α
2二面角记法：二面角αlβαABβ
3两面互相垂直判定定理：面面垂线两面垂直
233 — 234直线面面面垂直性质
1定理：垂直面两条直线行
2性质定理： 两面垂直面垂直交线直线面垂直
章知识结构框图
面（公理1公理2公理3公理4）
空间直线面位置关系
直线直线位置关系
面面位置关系
直线面位置关系
第三章 直线方程
31直线倾斜角斜率
31倾斜角斜率
1直线倾斜角概念：直线lx轴相交时 取x轴作基准 x轴正直线l方间成角α做直线l倾斜角特直线lx轴行重合时 规定α 0°
2 倾斜角α取值范围： 0°≤α＜180° 直线lx轴垂直时 α 90°
3直线斜率
条直线倾斜角α(α≠90°)正切值做条直线斜率斜率常写字母k表示 k tanα
⑴直线lx轴行重合时 α0° k tan0°0
⑵直线lx轴垂直时 α 90° k 存
知 条直线l倾斜角α定存斜率k定存
4 直线斜率公式
定两点P1(x1y1)P2(x2y2)x1≠x2两点坐标表示直线P1P2斜率：
斜率公式 ky2y1x2x1
312两条直线行垂直
1两条直线斜率重合果行斜率相等反果斜率相等行
注意 面等价两条直线重合斜率存前提成立缺少前提结成立．果k1k2 定L1∥L2
2两条直线斜率果互相垂直斜率互负倒数反果斜率互负倒数互相垂直
321 直线点斜式方程
1 直线点斜式方程：直线点斜率
2直线斜截式方程：已知直线斜率轴交点
322 直线两点式方程
1直线两点式方程：已知两点中 yy1yy2xx1xx2
2直线截距式方程：已知直线轴交点A轴交点B中
323 直线般式方程
1直线般式方程：关二元次方程（AB时0）
2种直线方程间互化
33直线交点坐标距离公式
331两直线交点坐标
1出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y20 L1：2x+y +20
解：解方程组
x2y2
L1L2交点坐标M（22）
332 两点间距离
两点间距离公式
333 点直线距离公式
1．点直线距离公式：
点直线距离：
2两行线间距离公式：
已知两条行线直线般式方程：
距离
第四章 圆方程
411 圆标准方程
1圆标准方程：
圆心A(ab)半径r圆方程
2点圆关系判断方法：
（1）>点圆外 （2）点圆
（3）<点圆
412 圆般方程
1圆般方程：
2圆般方程特点：
(1)①x2y2系数相等0． ②没xy样二次项．
(2)圆般方程中三特定系数DEF求出三系数圆方程确定．
(3)圆标准方程相较种特殊二元二次方程代数特征明显圆标准方程指出圆心坐标半径特征较明显
421 圆圆位置关系
1点直线距离判断直线圆位置关系．
设直线：圆：圆半径圆心直线距离判直线圆位置关系点：
（1）时直线圆相离（2）时直线圆相切
（3）时直线圆相交
422 圆圆位置关系
两圆位置关系．
设两圆连心线长判圆圆位置关系点：
（1）时圆圆相离（2）时圆圆外切
（3）时圆圆相交
（4）时圆圆切（5）时圆圆含
423 直线圆方程应
1利面直角坐标系解决直线圆位置关系
2程方法
坐标法解决问题步骤：
第步：建立适面直角坐标系坐标方程表示问题中元素面问题转化代数问题
第二步：通代数运算解决代数问题
第三步：代数运算结果翻译成结．
431空间直角坐标系
1点M应着唯确定序实数组分PQR轴坐标
2序实数组应着空间直角坐标系中点
3空间中意点M坐标序实数组表示该数组做点M空间直角坐标系中坐标记M做点M横坐标做点M坐标做点M竖坐标
432空间两点间距离公式
1空间中意点点间距离公式
高中数学 必修3知识点
第章 算法初步
111 算法概念
1算法概念：
数学现代意义算法通常指计算机解决某类问题程序步骤程序步骤必须明确效够限步完成
2 算法特点
(1)限性：算法步骤序列限必须限操作停止限
(2)确定性：算法中步应该确定效执行确定结果应模棱两
(3)序性正确性：算法初始步骤开始分干明确步骤步骤确定继步骤前步步前提执行完前步进行步步准确误完成问题
(4)唯性：求解某问题解法定唯问题算法
(5)普遍性：具体问题设计合理算法解决心算计算器计算限事先设计步骤加解决
112 程序框图
1程序框图基概念：
（）程序构图概念：程序框图称流程图种规定图形指线文字说明准确直观表示算法图形
程序框图包括部分：表示相应操作程序框带箭头流程线程序框外必文字说明
（二）构成程序框图形符号作
程序框
名称
功
起止框
表示算法起始结束流程图少
输入输出框
表示算法输入输出信息算法中需输入输出位置
处理框
赋值计算算法中处理数需算式公式等分写处理数处理框
判断框
判断某条件否成立成立时出口处标明Y成立时标明否N
学部分知识时候掌握图形形状作规画程序框图规：
1标准图形符号2框图般左右方画3判断框外数流程图符号进入点退出点判断框具超退出点唯符号4判断框分两类类判断框否两分支判断仅两结果类分支判断种结果5图形符号描述语言非常简练清楚
（三）算法三种基逻辑结构：序结构条件结构循环结构
1序结构：序结构简单算法结构语句语句间框框间序进行干次执行处理步骤组成算法离开种基算法结构
序结构程序框图中体现流程线程序框
连接起序执行算法步骤示意图中A框B
框次执行执行完A框指定操作接着执
A
B
行B框指定操作
2条件结构：
条件结构指算法中通条件判断
根条件否成立选择流算法结构
条件P否成立选择执行A框B框P条件否成立执行A框B框时执行A框B框A框B框执行判断结构判断框
3循环结构：算法中常会出现某处开始定条件反复执行某处理步骤情况循环结构反复执行处理步骤循环体显然循环结构中定包含条件结构循环结构称重复结构循环结构细分两类：
（1）类型循环结构左图示功定条件P成立时执行A框A框执行完毕判断条件P否成立果然成立执行A框反复执行A框直某次条件P成立止时执行A框离开循环结构
（2）类直型循环结构右图示功先执行然判断定条件P否成立果P然成立继续执行A框直某次定条件P成立止时执行A框离开循环结构
A
成立
成立
P
成立
P
成立
A
型循环结构 直型循环结构
注意：1循环结构某条件终止循环需条件结构判断循环结构中定包含条件结构允许死循环2循环结构中计数变量累加变量计数变量记录循环次数累加变量输出结果计数变量累加变量般步执行累加次计数次
121 输入输出语句赋值语句
1输入语句
图形计算器格式
INPUT提示容变量
INPUT 提示容变量
（1）输入语句般格式
（2）输入语句作实现算法输入信息功（3）提示容提示户输入什样信息变量指程序运行时值变化量（4）输入语句求输入值具体常数函数变量表达式（5）提示容变量间分号隔开输入变量变量变量间逗号隔开
2输出语句
PRINT提示容表达式
图形计算器格式
Disp 提示容变量
（1）输出语句般格式
（2）输出语句作实现算法输出结果功（3）提示容提示户输入什样信息表达式指程序输出数（4）输出语句输出常量变量表达式值字符
变量＝表达式
图形计算器格式
表达式变量
3赋值语句
（1）赋值语句般格式
（2）赋值语句作表达式代表值赋变量（3）赋值语句中＝称作赋值号数学中等号意义赋值号左右两边换赋值号右边表达式值赋赋值号左边变量（4）赋值语句左边变量名字表达式右边表达式数常量算式（5）变量次赋值
注意：①赋值号左边变量名字表达式：2X错误②赋值号左右换ABBA含义运行结果③利赋值语句进行代数式演算（化简式分解解方程等）④赋值号数学中等号意义
1．2．2条件语句
1条件语句般格式两种：（1）IF—THEN—ELSE语句（2）IF—THEN语句2IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句般格式图1应程序框图图2
否
满足条件？
语句1
语句2
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
图1
图2
分析：IF—THEN—ELSE语句中条件表示判断条件语句1表示满足条件时执行操作容语句2
表示满足条件时执行操作容END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN面语句1条件符合执行ELSE面语句2
3IF—THEN语句
满足条件？
语句
否
（图4）
IF—THEN语句般格式图3应程序框图图4
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）
注意：条件表示判断条件语句表示满足条件时执行操作容条件满足时结束程序END IF表示条件语句结束计算机执行时首先IF条件进行判断果条件符合执行THEN边语句条件符合直接结束该条件语句转执行语句
1．2．3循环语句
循环结构循环语句实现应程序框图中两种循环结构般程序设计语言中型（WHILE型）直型（UNTIL型）两种语句结构WHILE语句UNTIL语句
1WHILE语句
满足条件？
循环体
否
（1）WHILE语句般格式 应程序框图
WHILE 条件
循环体
WEND
（2）计算机遇WHILE语句时先判断条件真假果条件符合执行WHILEWEND间循环体然检查述条件果条件符合次执行循环体程反复进行直某次条件符合止时计算机执行循环体直接跳WEND语句接着执行WEND语句型循环时称前测试型循环
2UNTIL语句
（1）UNTIL语句般格式 应程序框图
满足条件？
循环体
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
（2）直型循环称测试型循环UNTIL型循环结构分析计算机执行该语句时先执行次循环体然进行条件判断果条件满足继续返回执行循环体然进行条件判断程反复进行直某次条件满足时执行循环体跳LOOP
UNTIL语句执行语句先执行循环体进行条件判断循环语句
分析：型循环直型循环区：（先学生讨纳）
（1） 型循环先判断执行直型循环先执行判断
WHILE语句中条件满足时执行循环体UNTIL语句中条件满足时执行循环
例题： （见课）
u v w
x y
z {
颜老师友情提醒：
1 定清题意题目干什写出算法求写出伪代码题目写出算法画出流程写出伪代码
2 具体做题时学感觉先画流程图较简单算法伪代码较写草稿纸思路先做出然根题目求作答般先写算法画流程图写伪代码
3 书写程序时定规范化统符号教材致新教材原加种版学会种参考书书写格式样时会碰没见语言希家课铺天盖资料淹没
131辗转相法更相减损术
1辗转相法欧里德算法辗转相法求公约数步骤：
（1）：较数m较数n商余数（2）：＝0nmn公约数≠0数n余数商余数（3）：＝0mn公约数
≠0数余数商余数…… 次计算直＝0时求公约数
2更相减损术
国早期求公约数问题算法更相减损术九章算术中更相减损术求公约数步骤：半者半半者副置分母•子数少减更相减损求等等数约
翻译：（1）：意出两正数判断否偶数2约简执行第二步（2）：较数减较数接着较数差较数减数继续操作直数相等止数（等数）求公约数
例2 更相减损术求9863公约数
分析：（略）
3辗转相法更相减损术区：
（1）求公约数方法计算辗转相法法更相减损术减法计算次数辗转相法计算次数相较少特两数字区较时计算次数区较明显
（2）结果体现形式辗转相法体现结果相余数0更相减损术减数差相等
132秦九韶算法排序
1秦九韶算法概念：
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0求值问题
f(x)anxn+an1xn1+…+a1x+a0( anxn1+an1xn2+…+a1)x+a0 (( anxn2+an1xn3+…+a2)x+a1)x+a0
(( anx+an1)x+an2)x++a1)x+a0
求项式值时首先计算层括号次项式值v1anx+an1
然外逐层计算次项式值
v2v1x+an2 v3v2x+an3 vnvn1x+a0
样n次项式求值问题转化成求n次项式值问题
2两种排序方法：直接插入排序泡排序
1直接插入排序
基思想：插入排序思想读排第１数放入数组第１元素中读入数已存入数组数进行较确定排列中应处位置．该位置元素推移位置读入新数填入空出位置中．（算法简单举例说明）
2泡排序
基思想：次较相邻两数放前面放面首先较第1数第2数数放前数放然较第2数第3数直较两数第趟结束定沉重复程第1数开始第2数
排序程中总数前数相气泡升泡排序
133进位制
1概念：进位制种记数方式限数字位置表示数值数字符号数称基数基数n称n进位制简称n进制现常十进制通常10阿拉伯数字09进行记数数进位制表示：十进数57二进制表示111001八进制表示71十六进制表示39代表数值样
般k整数k基数k进制表示：
表示种进位制数般数字右脚加注表示111001(2)表示二进制数34(5)表示5进制数
第二章 统计
211简单机抽样
1．总体样
统计学中 研究象全体做总体．
研究象做体．
总体中体总数做总体容量．
研究总体关性质般总体中机抽取部分：
研究称样．中体数称样容量．
2．简单机抽样纯机抽样总体中加分组划类排队等完全
机抽取调查单位特点：样单位抽中性相（概率相等）样单位完全独立彼间定关联性排斥性简单机抽样种抽样形式基础通常总体单位间差异程度较数目较少时采种方法
3．简单机抽样常方法：
（1）抽签法⑵机数表法⑶计算机模拟法⑷统计软件直接抽取
简单机抽样样容量设计中考虑：①总体变异情况②允许误差范围③概率保证程度
4．抽签法
（1）调查象群体中象编号
（2）准备抽签工具实施抽签
（3）样中体进行测量调查
例：请调查学校学生做喜欢体育活动情况
5．机数表法：
例：利机数表班级中抽取10位学参加某项活动
212系统抽样
1．系统抽样（等距抽样机械抽样）：
总体单位进行排序计算出抽样距离然固定抽样距离抽取样第样采简单机抽样办法抽取
K（抽样距离）N（总体规模）n（样规模）
前提条件：总体中体排列研究变量说应机存某种研究变量相关规分布调查允许条件样开始抽样次样特点果明显差说明样总体中分布承某种循环性规律种循环抽样距离重合
2．系统抽样等距抽样实际中常抽样方法抽样框求较低实施较简单更重果某种调查指标相关辅助变量供总体单元辅助变量序排队话系统抽样提高估计精度
213分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先总体中单位某种特征标志（性年龄等）划分成干类型层次然类型层次中采简单机抽样系抽样办法抽取子样子样合起构成总体样
两种方法：
1．先分层变量总体划分干层层总体中例层中抽取
2．先分层变量总体划分干层层中元素分层序整齐排列系统抽样方法抽取样
2．分层抽样异质性较强总体分成质性较强子总体抽取子总体中样分代表该子总体样进代表总体
分层标准：
（1）调查分析研究变量相关变量作分层标准
（2）保证层部质性强层间异质性强突出总体结构变量作分层变量
（3）明显分层区分变量作分层变量
3．分层例问题：
（1）例分层抽样：根种类型层次中单位数目占总体单位数目重抽取子样方法
（2）例分层抽样：层次总体中重太样量会非常少时采该方法便层次子总体进行专门研究进行相互较果样资料推断总体时需先层数资料进行加权处理调整样中层例数恢复总体中层实际例结构
222样数字特征估计总体数字特征
1均值：
2．样标准差：
3．样估计总体时果抽样方法较合理样反映总体信息样信息会偏差机抽样中种偏差避免
然样数分布均值标准差总体真正分布均值标准差估计种估计合理特样量时确实反映总体信息
4．（1）果组数中数加减常数标准差变
（2）果组数中数常数k标准差变原k倍
（3）组数中值值标准差影响区间应
掉高分掉低分中科学道理
232两变量线性相关
1概念
（1）回直线方程（2）回系数
2．二法
3．直线回方程应
（1）描述两变量间存关系利直线回方程定量描述两变量间存数量关系
（2）利回方程进行预测预报子（变量x）代入回方程预报量（变量Y）进行估计体Y值容许区间
（3）利回方程进行统计控制规定Y值变化通控制x范围实现统计控制目标已空气中NO2浓度汽车流量间回方程通控制汽车流量控制空气中NO2浓度
4．应直线回注意事项
（1）做回分析实际意义
（2）回分析前先作出散点图
（3）回直线外延
第三章 概 率
311 —312机事件概率概率意义
1基概念：
（1）必然事件：条件S定会发生事件相条件S必然事件
（2）事件：条件S定会发生事件相条件S事件
（3）确定事件：必然事件事件统称相条件S确定事件
（4）机事件：条件S发生发生事件相条件S机事件
（5）频数频率：相条件S重复n次试验观察某事件A否出现称n次试验中事件A出现次数nA事件A出现频数称事件A出现例fn(A)事件A出现概率：定机事件A果着试验次数增加事件A发生频率fn(A)稳定某常数常数记作P（A）称事件A概率
（6）频率概率区联系：机事件频率指事件发生次数nA试验总次数n值具定稳定性总某常数附摆动着试验次数断增种摆动幅度越越常数做机事件概率概率数量反映机事件发生性频率量重复试验前提似作事件概率
313 概率基性质
1基概念：
（1）事件包含事件交事件相等事件
（2）A∩B事件A∩Bф称事件A事件B互斥
（3）A∩B事件A∪B必然事件称事件A事件B互立事件
（4）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
2概率基性质：
1）必然事件概率1事件概率00≤P(A)≤1
2）事件AB互斥时满足加法公式：P(A∪B) P(A)+ P(B)
3）事件AB立事件A∪B必然事件P(A∪B) P(A)+ P(B)1P(A)1—P(B)
4）互斥事件立事件区联系互斥事件指事件A事件B次试验中会时发生具体包括三种情形：（1）事件A发生事件B发生（2）事件A发生事件B发生（3）事件A事件B时发生立事件指事件A 事件B仅发生包括两种情形（1）事件A发生B发生（2）事件B发生事件A发生立事件互斥事件特殊情形
321 —322古典概型机数产生
1（1）古典概型条件：试验结果限性结果等性
（2）古典概型解题步骤
①求出总基事件数
②求出事件A包含基事件数然利公式P（A）
331—332概型均匀机数产生
1基概念：
（1）概率模型：果事件发生概率构成该事件区域长度（面积体积）成例称样概率模型概率模型
（2）概型概率公式：
P（A）
（2） 概型特点：1）试验中出现结果（基事件）限2）基事件出现性相等．
高中数学 必修4知识点
第章 三角函数
2角顶点原点重合角始边轴非负半轴重合终边落第象限称第象限角．
第象限角集合
第二象限角集合
第三象限角集合
第四象限角集合
终边轴角集合
终边轴角集合
终边坐标轴角集合
3角终边相角集合
4长度等半径长弧圆心角做弧度．
5半径圆圆心角弧长角弧度数绝值．
6弧度制角度制换算公式：．
Pv
x
y
A
O
M
T
7扇形圆心角半径弧长周长面积．
8设意角终边意点坐标原点距离．
9三角函数象限符号：第象限全正第二象限正弦正
第三象限正切正第四象限余弦正．
10三角函数线：．
11角三角函数基关系：．（3） 倒数关系：
12函数诱导公式：
．
．
．
．
口诀：函数名称变符号象限．
．．
口诀：正弦余弦互换符号象限．
13①图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
②数图象点横坐标伸长（缩短）原倍（坐标变）函数
图象函数图象点左（右）移单位长度函数图象函数图象点坐标伸长（缩短）原倍（横坐标变）函数图象．
14函数性质：
①振幅：②周期：③频率：④相位：⑤初相：．
函数时取值 时取值．
15正弦函数余弦函数正切函数图象性质：
函
数
性
质
ycotx
图象
定义域
值域
值
时
时．
时
时．
值值
值值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
增函数
减函数．
增函数
减函数．
增函数．
称性
称中心
称轴
称中心
称中心
称中心
称轴
称轴
称轴
第二章 面量
16量：方量． 数量：没方量．
线段三素：起点方长度． 零量：长度量．
单位量：长度等单位量．
行量（线量）：方相相反非零量．零量量行．
相等量：长度相等方相量．
17量加法运算：
⑴三角形法特点：首尾相连．
⑵行四边形法特点：起点．
⑶三角形等式：．
⑷运算性质：①交换律：
②结合律：③．
⑸坐标运算：设．
18量减法运算：
⑴三角形法特点：起点连终点方指减量．
⑵坐标运算：设．
设两点坐标分．
19量数运算：
⑴实数量积量运算做量数记作．
①
②时方方相时方方相反时．
⑵运算律：①②③．
⑶坐标运算：设．
20量线定理：量线仅唯实数．
设中仅时量线．
21面量基定理：果面两线量面意量实数．（线量作面量组基底）
22分点坐标公式：设点线段点坐标分时点坐标．（
23面量数量积：
⑴．零量量数量积．
⑵性质：设非零量①．②时反时．③．
⑶运算律：①②③．
⑷坐标运算：设两非零量．
． 设．
设非零量夹角．
知识链接：空间量
空间量许知识面量知识类面空间量立体中证明求值应进行总结纳
1直线方量面法量
⑴．直线方量：
AB直线意两点直线方量行意非零量直线方量
⑵．面法量：
量直线垂直面称量垂直面记作果量做面法量
⑶．面法量求法（定系数法）：
①建立适坐标系．
②设面法量．
③求出面两线量坐标．
④根法量定义建立方程组
⑤解方程组取中组解面法量
（图）
1 量方法判定空间中行关系
⑴线线行
设直线方量分证明∥需证明∥
：两直线行重合两直线方量线
⑵线面行
①（法）设直线方量面法量证明∥需证明
：直线面行直线方量该面法量垂直直线面外
②（法二）证明条直线面行面找量已知直线方量线量
⑶面面行
面法量面法量证∥需证∥证
：两面行重合两面法量线
3量方法判定空间垂直关系
⑴线线垂直
设直线方量分证明需证明
：两直线垂直两直线方量垂直
⑵线面垂直
①（法）设直线方量面法量证明需证明∥
②（法二）设直线方量面两相交量分
：直线面垂直直线方量面法量线直线方量面两条线直线方量垂直
⑶面面垂直
面法量面法量证需证证
：两面垂直两面法量垂直
4利量求空间角
⑴求异面直线成角
已知两异面直线ACBD分意两点成角
⑵求直线面成角
①定义：面条斜线面射影成锐角做条斜线面成角
②求法：设直线方量面法量直线面成角夹角 余角补角
余角：
⑶求二面角
①定义：面条直线面分两部分中部分做半面条直线出发两半面组成图形做二面角条直线做二面角棱半面做二面角面
二面角面角指二面角棱取点O分两半面作射线二面角面角
图：
O
A
B
O
A
B
l
②求法：设二面角两半面法量分设夹角二面角面角二面角夹角补角
根具体图形确定锐角钝角：
◆果锐角
◆ 果钝角
5利法量求空间距离
⑴点Q直线距离
Q直线外点直线直线方量点Q直线距离
⑵点A面距离
点P面外点点M面点
面法量P面距离等法量方投影绝值
⑶直线面间距离
条直线面行时直线点面距离相等知直线面距离转化求直线点面距离转化点面距离
⑷两行面间距离
利两行面间距离处处相等两行面间距离转化求点面距离
⑸异面直线间距离
设量两异面直线垂直两异面直线间距离量方投影绝值
6三垂线定理逆定理
⑴三垂线定理：面条直线果面条斜线射影垂直条斜线垂直
推理模式：
概括：垂直射影垂直斜线
⑵三垂线定理逆定理：面条直线果面条斜线垂直条斜线射影垂直
推理模式：
概括：垂直斜线垂直射影
7三余弦定理
设AC面条直线AD条斜线AB射影BD⊥AD垂足D设AB (AD)成角 ADAC成角 ABAC成角．
8 面积射影定理
已知面边形面积面射影图形面积面面成二面角锐二面角
9结
长度线段三条两两互相垂直直线射影长分夹角分
（立体中长方体角线长公式特例）
第三章 三角恒等变换
24两角差正弦余弦正切公式：
⑴⑵
⑶⑷
⑸ （）
⑹ （）．
25二倍角正弦余弦正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式．
26
．
27
（两判断符号更加）
28合变形两三角函数差化三角函数角次方 形式中．
29三角变换运算化简程中运较变换提高三角变换力学会创设条件灵活运三角公式掌握运算化简方法技．常数学思想方法技巧：
（1）角变换：三角化简求值证明中表达式中出现较相异角根角角间差倍半互补互余关系运角变换沟通条件结中角差异问题获解角变形：
①二倍二倍二倍二倍
②问：
③④
⑤等等
（2）函数名称变换：三角变形中常常需变函数名称名函数三角函数中正余弦基础通常化切弦变异名名
（3）常数代换：三角函数运算求值证明中时需常数转化三角函数值例常数1代换变形：
（4）幂变换：降幂三角变换时常方法次数较高三角函数式般采降幂处理方法常降幂公式： 降幂非绝时需升幂理式常升幂化理式常升幂公式：
（5）公式变形：三角公式变换应熟练掌握三角公式逆变形应
：
（中 ）
（6）三角函数式化简运算通常：角名形幂四方面入手
基规：见切化弦异角化角复角化单角异名化名高次化低次理化理特殊值特殊角三角函数互化
：
高中数学 必修5知识点
第章 解三角形
（）解三角形：
1正弦定理：中分角边
(外接圆半径)
2正弦定理变形公式：①
②③
3三角形面积公式：．
4余弦定理：中推：
第二章 数列
1数列中间关系：
注意通项否合
2等差数列：
⑴定义：果数列第2项起项前项差等常数－d （n≥2n∈N）
数列做等差数列
⑵等差中项：三数成等差数列
⑶通项公式：
⑷前项公式：
⑸常性质：
①
②标等差数列项组成等差数列
③数列（常数）等差数列
④等差数列 (非零常数)…成等差数列
⑤单调性：公差：
ⅰ）递增数列
ⅱ）递减数列
ⅲ）常数列
⑥数列{}等差数列（pq常数）
⑦等差数列前项… 等差数列
3等数列
⑴定义：果数列第2项起项前项等常数数列做等数列
⑵等中项：三数成等数列（号）反定成立
⑶通项公式：
⑷前项公式：
⑸常性质
①
②等数列公(标成等差数列应项成等数列)
③数列（等零常数）公等数列正项等数列公差等差数列
④等数列
等数列公次
⑤单调性：
递增数列递减数列
常数列
摆动数列
⑥等差数列等数列数列常数列
⑦等数列前项… 等数列
4非等差等数列通项公式求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前干项求该数列通项时般项观察分析寻找规律根规律写出数列通项
类型Ⅱ 公式法：已知数列前项关系求数列通项公式
构造两式作差求解
公式时注意结两种种分二分段式种合二合表达（先分两种情况分进行运算然验证否统）
类型Ⅲ 累加法：
形型递推数列（中关函数）构造：
述式子两边分相加：
①关次函数累加转化等差数列求
② 关指数函数累加转化等数列求
③关二次函数累加分组求
④关分式函数累加裂项求
类型Ⅳ 累法：
形型递推数列（中关函数）构造：
述式子两边分相：
时直接变形成种形式然种方法求解
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形（中均常数）型递推式：
（1）时数列{}等差数列
（2）时数列{}等数列
（3）时数列{}线性递推数列通项通定系数法构造等数列求方法两种：
法：设展开移项整理题设较系数（定系数法）构成
首项公等数列利等数列通项公式求出通项整理
法二：两式相减整理构成首项公等数列求出通项转化类型Ⅲ（累加法）便求出
㈡形型递推式：
⑴次函数类型（等差数列）时：
法：设通定系数法确定值转化成首项公等数列利等数列通项公式求出通项整理
法二：公差时递推式：两式相减：令：转化类型Ⅴ㈠求出 类型Ⅲ（累加法）便求出
⑵指数函数类型（等数列）时：
法：设通定系数法确定值转化成首项公等数列利等数列通项公式求出通项整理
法二：公时递推式：——①两边时——②①②两式相减转化类型Ⅴ㈠便求出
法三：递推公式（中pq均常数）（中pq r均常数）时先原递推公式两边时：引入辅助数列（中）：应类型Ⅴ㈠方法解决
⑶意数列时通法：
两边时令转化
类型Ⅲ（累加法）求出
类型Ⅵ 数变换法：
形型递推式：
原递推式两边取数令：化型求出（注意：底数定取10根题意选择）
类型Ⅶ 倒数变换法：
形（常数）递推式：两边转化形式化型求出表达式求
形递推式采取倒数方法转化成形式化型求出表达式求
类型Ⅷ 形型递推式：
定系数法化特殊数列形式求解方法：设较系数解公等数列样化型
总求数列通项公式根数列特点采方法求解转化方法求解数列纳猜想证明方法求出数列通项公式
5非等差等数列前项公式求法
⑴错位相减法
①数列等差数列数列等数列数列求采法
②数列项分公然错位相减进数列前项
法推导等数列前项公式时方法
⑵裂项相消法
般数列通项 时变成两项差采裂项相消法求
定系数法进行裂项：
设通分整理原式相较根应项系数相等
常见拆项公式：
①
②
③
④
⑤
⑶分组法求
类数列等差数列等数列类数列适拆开分等差等常见数列然分求合般分两步：①找通项公式②通项公式确定分组
⑷倒序相加法
果数列首末两项等距两项等首末两项正着写倒着写两式相加常数列种求方法称倒序相加法特征：
⑸记住常见数列前项：
①
②
③
第三章 等式
§31等关系等式
1等式基性质
①（称性）
②（传递性）
③（加性）
（加性）
（异减性）
④（积性）
⑤（正数性）
（异正数性）
⑥（方法）
⑦（开方法）
⑧（倒数法）
2重等式
①（仅时取号） 变形公式：
②（基等式） （仅时取等号）
变形公式：
基等式求值时（积定定积）注意满足三条件正二定三相等
③（三正数算术—均等式）（仅时取等号）
④
（仅时取等号）
⑤
（仅时取等号）
⑥（仅ab时取等号）
（仅ab时取等号）
⑦
中
规律：1加变1加变
⑧
⑨绝值三角等式
3著名等式
①均等式：
（仅时取号）
（调均均算术均方均）
变形公式：
②幂均等式：
③二维形式三角等式：
④二维形式柯西等式： 仅时等号成立
⑤三维形式柯西等式：
⑥般形式柯西等式：
⑦量形式柯西等式：
设两量仅零量存实数时等号成立
⑧排序等式（排序原理）：设两组实数排列（反序乱序序）
仅时反序等序
⑨琴生等式（特例凸函数凹函数）
定义某区间函数定义域中意两点
称f(x)凸（凹）函数
4等式证明种常方法
常方法：较法（作差作商法）综合法分析法
方法：换元法反证法放缩法构造法函数单调性法数学纳法等
常见等式放缩方法：
①舍加项
②分子分母放（缩）
等
5元二次等式解法
求元二次等式
解集步骤：
化：化二次项前系数正数
二判：判断应方程根
三求：求应方程根
四画：画出应函数图象
五解集：根图象写出等式解集
规律：二次项系数正时取中间取两边
6高次等式解法：穿根法
分解式根标数轴右方次穿（奇穿偶切）结合原式等号方写出等式解集
7分式等式解法：先移项通分标准化
（时理）
规律：分式等式等价转化整式等式求解
8理等式解法：转化理等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
规律：理等式等价转化理等式诀窍边分析求解
9指数等式解法：
⑴时
⑵时
规律：根指数函数性质转化
10数等式解法
⑴时
⑵时
规律：根数函数性质转化
11含绝值等式解法：
⑴定义法：
⑵方法：
⑶解变形法解定理：
①
②
③
④
规律：关键掉绝值符号
12含两（两）绝值等式解法：
规律：找零点划区间分段讨绝值段中取交集取段集
13含参数等式解法
解形含参数等式时参数进行分类讨分类讨标准：
⑴讨0
⑵讨0
⑶讨两根
14恒成立问题
⑴等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑵等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15线性规划问题
⑴二元次等式表示面区域判断：
法：取点定域法：
直线侧点坐标代入实数符号相实际判断时需直线某侧取特殊点（原点）正负判断出表示直线侧面区域
：直线定边界分清虚实选点定区域常选原点
法二：根观察符号等式开口符号号表示直线方区域异号表示直线方区域：号方异号方
⑵二元次等式组表示面区域：
等式组表示面区域等式表示面区域公部分
⑶利线性规划求目标函数常数）值：
法：角点法：
果目标函数 （公区域中点横坐标坐标）值存值该公区域边界角点处取角点坐标代入目标函数组应值数目标函数值数目标函数值
法二：画——移——定——求：
第步面直角坐标系中画出行域第二步作直线 移直线（行域直线行移动）确定优解第三步求出优解第四步优解代入目标函数求出值值
第二步中优解确定方法：
利意义：直线截距
①目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
②目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
⑷常见目标函数类型：
①截距型：
②斜率型：
③距离型：
求该三型目标函数值时结合线性规划代数式意义求解问题简单化
数学选修2－1
第章：命题逻辑结构
知识点：
1命题：语言符号式子表达判断真假陈述句
真命题：判断真语句假命题：判断假语句
2形式命题中称命题条件称命题结
3两命题果命题条件结分命题结条件两命题称互逆命题中命题称原命题称原命题逆命题原命题逆命题
4两命题果命题条件结恰命题条件否定结否定两命题称互否命题中命题称原命题称原命题否命题原命题否命题
5两命题果命题条件结恰命题结否定条件否定两命题称互逆否命题中命题称原命题称原命题逆否命题原命题否命题
6四种命题真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四种命题真假性间关系：
两命题互逆否命题相真假性
两命题互逆命题互否命题真假性没关系．
7充分条件必条件．
充条件（充分必条件）．
8联结词命题命题联结起新命题记作．
真命题时真命题两命题中命题假命题时假命题．
联结词命题命题联结起新命题记作．
两命题中命题真命题时真命题两命题假命题时假命题．
命题全盘否定新命题记作．真命题必假命题假命题必真命题．
9短语意逻辑中通常称全称量词表示．
含全称量词命题称全称命题．
全称命题中意成立记作．
短语存少逻辑中通常称存量词表示．含存量词命题称特称命题．
特称命题存中成立记作．
10全称命题：否定：全称命题否定特称命题
特称命题：否定：特称命题否定全称命题
第二章：圆锥曲线
知识点：
1求曲线方程（点轨迹方程）步骤：建设限代化
①建立适直角坐标系
②设动点点
③找出满足限制条件等式
④点坐标代入等式
⑤化简方程验证（查漏杂）
2面两定点距离等常数（）点轨迹称椭圆两定点称椭圆焦点两焦点距离称椭圆焦距
3椭圆性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
第定义
两定点距离等常数2（）
第二定义
定点距离定直线距离常数
范围
顶点
轴长
长轴长 短轴长
称性
关轴轴称关原点中心称
焦点
焦距
离心率
准线方程
焦半径
左焦半径：
右焦半径：
焦半径：
焦半径：
焦点三角形面积
通径
焦点垂直长轴弦通径：
（焦点）弦长公式
4设椭圆点点应准线距离点应准线距离
5面两定点距离差绝值等常数（）点轨迹称双曲线两定点称双曲线焦点两焦点距离称双曲线焦距
6双曲线性质：
焦点位置
焦点轴
焦点轴
图形
标准方程
第定义
两定点距离差绝值等常数（）
第二定义
定点距离定直线距离常数
范围
顶点
轴长
实轴长 虚轴长
称性
关轴轴称关原点中心称
焦点
焦距
离心率
准线方程
渐线方程
焦半径
右支
左支
支
支
焦点三角形面积
通径
焦点垂直长轴弦通径：
7实轴虚轴等长双曲线称等轴双曲线
8设双曲线点点应准线距离点应准线距离
9面定点条定直线距离相等点轨迹称抛物线．定点称抛物线焦点定直线称抛物线准线．
10抛物线焦点作垂直称轴交抛物线两点线段称抛物线通径．
11焦半径公式：
点抛物线焦点
点抛物线焦点
点抛物线焦点
点抛物线焦点．
12 抛物线性质：
图形
标准方程
定义
定点条定直线距离相等点轨迹做抛物线(定点定直线)
顶点
离心率
称轴
轴
轴
范围
焦点
准线方程
焦半径
通径
抛物线焦点垂直称轴弦称通径：
焦点弦长
公式
参数意义
参数表示焦点准线距离越开口越阔
关抛物线焦点弦结：
设抛物线焦点弦直线倾斜角
⑴ ⑵
⑶ 直径圆准线相切
⑷ 焦点准线射影张角
⑸
第三章：
空间量知识点：
1空间量概念：
（1）空间具方量称空间量．
（2）量条线段表示．线段长度表示量箭头指方表示量方．
（3）量称量模（长度）记作．
（4）模（长度）量称零量模量称单位量．
（5）量长度相等方相反量称相反量记作．
（6）方相模相等量称相等量．
2空间量加法减法：
（1）求两量运算称量加法遵循行四边形法．：空间点起点两已知量邻边作行四边形起点角线种求量方法称量加法行四边形法．
（2）求两量差运算称量减法遵循三角形法．：空间取点作．
3实数空间量积量称量数运算．时方相时方相反时零量记．长度长度倍．
4设实数空间意两量数运算满足分配律结合律．
分配律：结合律：．
5果表示空间线段直线互相行重合量称线量行量规定零量量线．
6量线充条件：空间意两量充条件存实数．
7行面量称面量．
8量面定理：空间点位面充条件存序实数空间定点四点面．
9已知两非零量空间取点作称量夹角记作．两量夹角取值范围：．
10两非零量量互相垂直记作．
11已知两非零量称数量积记作．．零量量数量积．
12等长度方投影积．
13非零量单位量
．
14量数积运算律：
．
15空间量基定理：三量面空间量存实数组．
16三量面空间量组成集合．集合作量生成称空间基底称基量．空间意三面量构成空间基底．
17设公起点三两两垂直单位量（称单位正交基底）公起点原点分方轴轴轴正方建立空间直角坐标系．空间意量定移起点原点重合量．存序实数组．称作量单位正交基底坐标记作．时量坐标点空间直角坐标系中坐标．
18设
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）非零量．
（6）．
（7）．
（8）．
（9）．
19空间中取定点作基点空间中意点位置量表示．量称点位置量．
20空间中意条直线位置定点定方确定．点直线点量表示直线方量直线意点样点量仅确定直线位置具体表示出直线意点．
21空间中面位置两条相交直线确定．设两条相交直线相交点方量分．面意点存序实数样点量确定面位置．
22直线垂直取直线方量量称面法量．
23空间重合两条直线方量分
．
24直线方量面法量
．
25空间重合两面法量分．
26设异面直线夹角方量夹角．
27设直线方量面法量成角夹角．
28设二面角两面法量量夹角（补角）二面角面角．二面角面角．
29点点间距离转化两点应量模计算．
30直线找点定点垂直直线量定点直线距离．
31点面外点面定点面法量点面距离．
数学选修22
导数应
导数概念引入
1 导数物理意义：
瞬时速率般函数处瞬时变化率
称函数处导数记作
2 导数意义：
曲线切线通图出点趋时直线曲线相切容易知道割线斜率点趋时函数处导数切线PT斜率k
3 导函数：x变化时便x函数称导函数 导函数时记作
二导数计算
基初等函数导数公式
1(c常数) 2
3 4
5 6
7 8
导数运算法
1 2
3
复合函数求导 称表示成函数复合函数
三导数研究函数中应
1函数单调性导数
般函数单调性导数正负关系： 某区间
(1)果函数区间单调递增(2)果函数区间单调递减
2函数极值导数
极值反映函数某点附情况
求函数极值方法（1）果附左侧右侧极值（2）果附左侧右侧极值
4函数()值导数
求函数值值步骤： （1）求函数极值
（2） 函数极值端点处函数值较中值值
推理证明
考点 合情推理类推理
根类事物部分象具某种性质退出类事物象具种性质推理做纳推理纳特殊般程属合情推理
根两类事物间具某类似(致)性推测中类事物具外类事物类似性质推理做类推理
类推理般步骤
(1) 找出两类事物相似性致性
(2) 类事物性质推测类事物性质出明确命题(猜想)
(3) 般事物间性质孤立存相互制约果两事物某性质相相似写性质相类似类结真
(4) 般情况果类相似性越相似性质推测性质间越相关类出命题越
考点二 演绎推理(俗称三段)
般性命题推出特殊命题程种推理称演绎推理
考点三 数学纳法
1 递推数学证方法
2 步骤A命题n1（）时成立递推基础B假设nk时命题成立 C证明nk+1时命题成立
完成两步断定然数(n>)结成立
考点三 证明
1 反证法 2分析法 3综合法
数系扩充复数概念
复数概念
(1) 复数形数做复数分实部虚部
(2) 分类复数中实数 做虚数时做纯虚数
(3) 复数相等果两复数实部相等虚部相等说两复数相等
(4) 轭复数两复数实部相等虚部互相反数时两复数互轭复数
(5) 复面建立直角坐标系表示复数面做复面x轴做实轴y轴原点部分做虚轴
(6) 两实数较两复数果全实数较
复数运算
1复数加减法进行
设
（1） （2） （3）
2重结
(1) (2) (3)虚数
3运算律
(1) (2) (3)
4关虚数单位i固定结：
（1） （2） （3） （2）
数学选修2－3
第章 计数原理
知识点：
1分类加法计数原理：做件事情完成N类办法第类办法中M1种方法第二类办法中M2种方法……第N类办法中MN种方法完成件事情M1+M2+……+MN种方法
2分步法计数原理：做件事完成需分成N步骤做第 步m1种方法做第二步M2方法……做第N步MN方法完成件事 NM1M2MN 种方法
3排列：n元素中取m(m≤n)元素定序排成列做n元素中取出m元素排列
4排列数：
5组合：n元素中取m(m≤n)元素成组做n元素中取出m元素组合
6组合数：
7二项式定理：
8二项式通项公式
第二章 机变量分布
1 机变量：果机试验出现结果变量X表示X着试验结果变化样变量做机变量． 机变量常写字母XY等希腊字母 ξη等表示
2 离散型机变量：面射击产品检验等例子中机变量X取值定次序列出样机变量做离散型机变量．
3离散型机变量分布列：般设离散型机变量X取值x1x2 xi xn
X取值 xi(i12）概率P(ξxi）＝Pi称表离散型机变量X 概率分布简称分布列
4分布列性质① pi≥0 i 12 … ② p1 + p2 +…+pn 1．
5二点分布：果机变量X分布列：
中0
中
7 条件概率：意事件A事件B已知事件A发生条件事件B发生概率做条件概率记作P(B|A)读作A发生条件B概率
8 公式：
9 相互独立事件：事件A(B)否发生事件B(A)发生概率没影响样两事件做相互独立事件
10 n次独立重复事件：等条件进行次间相互独立种试验
11二项分布： 设n次独立重复试验中某事件A发生次数A发生次数ξ机变量．果次试验中某事件发生概率p事件A发生概率q1pn次独立重复试验中 （中 k01 ……nq1p ）
机变量ξ概率分布：
样机变量ξ服二项分布记作ξ～B(np) 中np参数
12数学期：般离散型机变量ξ概率分布
称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… ξ数学期均数均值数学期简称期．离散型机变量
13方差D(ξ)(x1Eξ)2·P1+（x2Eξ)2·P2 ++（xnEξ)2·Pn 机变量ξ均方差简称方差
14集中分布期方差览：
期
方差
两点分布
Eξp
Dξpqq1p
二项分布ξ ～ B（np）
Eξnp
DξqEξnpq（q1p）
15正态分布：
概率密度曲线似函数
图中解析式中实数参数分表示总体均数标准差．
分布正态分布f( x )图象称正态曲线
16基性质：
①曲线x轴方x轴相交．
②曲线关直线x称x时位高点
③时曲线升时曲线降．曲线左右两边限延伸时x轴渐线限．
④定时曲线形状确定．越曲线越矮胖表示总体分布越分散越曲线越瘦高表示总体分布越集中．
⑤σ相时正态分布曲线位置期值μ决定
⑥正态曲线总面积等1
17 3原：
表正态总体 外取值概率 46 外取值概率03 概率通常称情况发生概率事件说通常认情况次试验中发生
第三章 统计案例
独立性检验
假设两分类变量XY值域分{x1 x2}{y1 y2}样频数列联表：
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
推断述H1：XY关系利独立性检验考察两变量否关系较精确出种判断程度具体做法表中数算出机变量K^2值（K方） K2 n (ad bc) 2 [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]中na+b+c+d样容量K2值越说明XY关系成立性越
K2≤3841时XY关 K2>3841时XY95性关K2>6635时XY99性关
回分析
回直线方程
中
高中数学选修41知识点总结
行线等分线段定理
行线等分线段定理：果组行线条直线截线段相等直线截线段相等
推理1：三角形边中点边行直线必分第三边
推理2：梯形腰中点底边行直线分腰
分线分线段成例定理
分线分线段成例定理：三条行线截两条直线应线段成例
推：行三角形边直线截两边（两边延长线）应线段成例
相似三角形判定性质
相似三角形判定：
定义：应角相等应边成例两三角形做相似三角形相似三角形应边值做相似（相似系数）
定义出发判断两三角形否相似需考虑6元素三组应角否分相等三组应边否分成例显然较麻烦出判定两三角形相似简单方法：
（1）两角应相等两三角形相似
（2）两边应成例夹角相等两三角形相似
（3）三边应成例两三角形相似
预备定理：行三角形边直线两边（两边延长线）相交构成三角形三角形相似
判定定理1：意两三角形果三角形两角三角形两角应相等两三角形相似简述：两角应相等两三角形相似
判定定理2：意两三角形果三角形两边三角形两边应成例夹角相等两三角形相似简述：两边应成例夹角相等两三角形相似
判定定理3：意两三角形果三角形三条边三角形三条边应成例两三角形相似简述：三边应成例两三角形相似
引理：果条直线截三角形两边（两边延长线）应线段成例条直线行三角形第三边
定理：（1）果两直角三角形锐角应相等相似
（2）果两直角三角形两条直角边应成例相似
定理：果直角三角形斜边条直角边三角形斜边直角边应成例两直角三角形相似
相似三角形性质：
（1）相似三角形应高应中线应分线等相似
（2）相似三角形周长等相似
（3）相似三角形面积等相似方
相似三角形外接圆直径周长等相似外接圆面积等相似方
直角三角形射影定理
射影定理：直角三角形斜边高两直角边斜边射影例中项两直角边分斜边射影斜边例中项
圆周定理
圆周角定理：圆条弧圆周角等圆周角半
圆心角定理：圆心角度数等弧度数
推1：弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等
推2：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径
圆接四边形性质判定定理
定理1：圆接四边形角互补
定理2：圆接四边形外角等角角
圆接四边形判定定理：果四边形角互补四边形四顶点圆
推：果四边形外角等角角四边形四顶点圆
圆切线性质判定定理
切线性质定理：圆切线垂直切点半径
推1：圆心垂直切线直线必切点
推2：切点垂直切线直线必圆心
切线判定定理：半径外端垂直条半径直线圆切线
弦切角性质
弦切角定理：弦切角等夹弧圆周角
圆关例线段
相交弦定理：圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等
割线定理：园外点引圆两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等
切割线定理：圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
切线长定理：圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线分两条切线夹角
选修44数学知识点
选考容坐标系参数方程高考考试纲求：
1．坐标系：
① 理解坐标系作
② 解面直角坐标系伸缩变换作面图形变化情况
③ 极坐标系中极坐标表示点位置理解极坐标系面直角坐标系中表示点位置区进行极坐标直角坐标互化
④ 极坐标系中出简单图形（极点直线极点圆心极点圆）方程通较图形极坐标系面直角坐标系中方程理解方程表示面图形时选择适坐标系意义
2．参数方程：① 解参数方程解参数意义
② 选择适参数写出直线圆圆锥曲线参数方程
二知识纳总结：
1．伸缩变换：设点面直角坐标系中意点变换作点应点称面直角坐标系中坐标伸缩变换简称伸缩变换
2极坐标系概念：面取定点做极点极点引条射线做极轴选定长度单位角度单位(通常取弧度)正方(通常取逆时针方)样建立极坐标系
3．点极坐标：设面点极点点距离做点极径记极轴始边射线终边做点极角记序数做点极坐标记
极坐标表示点极点坐标
4规定点点关极点称表示点
果规定极点外面点唯极坐标表示时极坐标表示点唯确定
5．极坐标直角坐标互化：
6圆极坐标方程：
极坐标系中极点圆心半径圆极坐标方程
极坐标系中 圆心 半径圆极坐标方程
极坐标系中 圆心半径圆极坐标方程
7极坐标系中表示极点起点条射线表示极点条直线
极坐标系中点垂直极轴直线l极坐标方程
8．参数方程概念：面直角坐标系中果曲线意点坐标某变数函数 允许值方程确定点条曲线方程做条曲线参数方程联系变数变数做参变数简称参数
相参数方程言直接出点坐标间关系方程做普通方程
9．圆参数方程表示
椭圆参数方程表示
抛物线参数方程表示
点倾斜角直线参数方程表示（参数）
10．建立曲线参数方程时注明参数参数取值范围参数方程普通方程互化中必须取值范围保持致
高中数学选修45知识点
1等式基性质
①（称性）
②（传递性）
③（加性）
（加性）
（异减性）
④（积性）
⑤（正数性）
（异正数性）
⑥（方法）
⑦（开方法）
⑧（倒数法）
2重等式
①（仅时取号） 变形公式：
②（基等式） （仅时取等号）
变形公式：
基等式求值时（积定定积）注意满足三条件正二定三相等
③（三正数算术—均等式）（仅时取等号）
④
（仅时取等号）
⑤
（仅时取等号）
⑥（仅ab时取等号）
（仅ab时取等号）
⑦（中
规律：1加变1加变
⑧
⑨绝值三角等式
3著名等式
①均等式：仅时取号）
（调均均算术均方均）
变形公式：
②幂均等式：
③二维形式三角等式：
④二维形式柯西等式：
仅时等号成立
⑤三维形式柯西等式：
⑥般形式柯西等式：
⑦量形式柯西等式：
设两量仅零量存实数时等号成立
⑧排序等式（排序原理）：
设两组实数排列（反序乱序序）仅时反序等序
⑨琴生等式（特例凸函数凹函数）
定义某区间函数定义域中意两点
称f(x)凸（凹）函数
4等式证明种常方法
常方法：较法（作差作商法）综合法分析法
方法：换元法反证法放缩法构造法函数单调性法数学纳法等
常见等式放缩方法：
①舍加项
②分子分母放（缩）
等
5元二次等式解法
求元二次等式
解集步骤：
化：化二次项前系数正数
二判：判断应方程根
三求：求应方程根
四画：画出应函数图象
五解集：根图象写出等式解集
规律：二次项系数正时取中间取两边
6高次等式解法：穿根法
分解式根标数轴右方次穿（奇穿偶切）结合原式等号方写出等式解集
7分式等式解法：先移项通分标准化
（时理）
规律：分式等式等价转化整式等式求解
8理等式解法：转化理等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
规律：理等式等价转化理等式诀窍边分析求解
9指数等式解法：
⑴时
⑵时
规律：根指数函数性质转化
10数等式解法
⑴时
⑵时
规律：根数函数性质转化
11含绝值等式解法：
⑴定义法：
⑵方法：
⑶解变形法解定理：
①
②
③
④
规律：关键掉绝值符号
12含两（两）绝值等式解法：
规律：找零点划区间分段讨绝值段中取交集取段集
13含参数等式解法
解形含参数等式时参数进行分类讨分类讨标准：
⑴讨0
⑵讨0
⑶讨两根
14恒成立问题
⑴等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑵等式解集全体实数（恒成立）条件：
①时
②时
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15线性规划问题
⑴二元次等式表示面区域判断：
法：取点定域法：
直线侧点坐标代入实数符号相实际判断时需直线某侧取特殊点（原点）正负判断出表示直线侧面区域
：直线定边界分清虚实选点定区域常选原点
法二：根观察符号等式开口符号号表示直线方区域异号表示直线方区域：号方异号方
⑵二元次等式组表示面区域：
等式组表示面区域等式表示面区域公部分
⑶利线性规划求目标函数常数）值：
法：角点法：
果目标函数 （公区域中点横坐标坐标）值存值该公区域边界角点处取角点坐标代入目标函数组应值数目标函数值数目标函数值
法二：画——移——定——求：
第步面直角坐标系中画出行域第二步作直线 移直线（行域直线
行移动）确定优解第三步求出优解第四步优解代入目标函数求出值值
第二步中优解确定方法：
利意义：直线截距
①目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
②目标函数表示直线截距角点处取值直线截距角点处取值
⑷常见目标函数类型：
①截距型：
②斜率型：
③距离型：
求该三型目标函数值时结合线性规划代数式意义求解问题简单化
附：高中数学常公式常结
1 元素集合关系
2德摩根公式
3包含关系
4容斥原理
5．集合子集数 真子集–1非空子集 –1非空真子集–2
6二次函数解析式三种形式
(1)般式
(2)顶点式
(3)零点式
7解连等式常转化形式
8方程实根等价前者者必充分条件特 方程实根等价
9闭区间二次函数值
二次函数闭区间值处区间两端点处取具体：
(1)a>0时
(2)a<0时
10元二次方程实根分布
：方程区间少实根
设
（1）方程区间根充条件
（2）方程区间根充条件
（3）方程区间根充条件
11定区间含参数二次等式恒成立条件
(1)定区间子区间（形）含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(2)定区间子区间含参数二次等式(参数)恒成立充条件
(3)恒成立充条件
12真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐｑ
ｐｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13常见结否定形式
原结
反设词
原结
反设词
少
没
少两
少
（）
少（）
成立
存某
成立
成立
存某
成立
14四种命题相互关系
原命题 互逆 逆命题
ｐｑ ｑｐ
互 互
互 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
非ｐ非ｑ 互逆 非ｑ非ｐ
15充条件
（1）充分条件：充分条件
（2）必条件：必条件
（3）充条件：充条件
注：果甲乙充分条件乙甲必条件反然
16函数单调性
(1)设
增函数
减函数
(2)设函数某区间导果增函数果减函数
17果函数减函数公定义域函数减函数 果函数应定义域减函数复合函数增函数
18．奇偶函数图象特征
奇函数图象关原点称偶函数图象关y轴称反果函数图象关原点称函数奇函数果函数图象关y轴称函数偶函数．
19函数偶函数函数偶函数
20函数()恒成立函数称轴函数两函数 图象关直线称
21函数图象关点称 函数周期周期函数
22．项式函数奇偶性
项式函数奇函数偶次项(奇数项)系数全零
项式函数偶函数奇次项(偶数项)系数全零
23函数图象称性
(1)函数图象关直线称
(2)函数图象关直线称
24两函数图象称性
(1)函数函数图象关直线(轴)称
(2)函数函数图象关直线称
(3)函数图象关直线yx称
25函数图象右移移单位函数图象曲线图象右移移单位曲线图象
26．互反函数两函数关系
27函数存反函数反函数函数反函数
28常见函数方程
(1)正例函数
(2)指数函数
(3)数函数
(4)幂函数
(5)余弦函数正弦函数
29函数方程周期(约定a>0)
（1）周期Ta
（2）
周期T2a
(3)周期T3a
(4)周期T4a
(5)
周期T5a
(6)周期T6a
30分数指数幂
(1)（）
(2)（）
31．根式性质
（1）
（2）奇数时
偶数时
32．理指数幂运算性质
(1)
(2)
(3)
注： a＞0p理数ap表示确定实数．述理指数幂运算性质理数指数幂适
33指数式数式互化式
34数换底公式
( )
推 ( )
35．数四运算法
a＞0a≠1M＞0N＞0
(1)
(2)
(3)
36设函数记定义域值域情形需单独检验
37 数换底等式推广
函数
(1)时增函数
(2)时减函数
推设
（1）
（2）
38 均增长率问题
果原产值基础数N均增长率时间总产值
39数列项公式前n项关系
( 数列前n项)
40等差数列通项公式
前n项公式
41等数列通项公式
前n项公式
42等差数列通项公式
前n项公式
43分期付款(揭贷款)
次款元(贷款元次清期利率)
44．常见三角等式
（1）
(2)
(3)
45角三角函数基关系式
46正弦余弦诱导公式
(n偶数)
(n奇数)
(n偶数)
(n奇数)
47角差角公式
(方正弦公式)
(辅助角象限点象限决定 )
48二倍角公式
49 三倍角公式
50三角函数周期公式
函数x∈R函数x∈R(Aω常数A≠0ω＞0)周期函数(Aω常数A≠0ω＞0)周期
51正弦定理
52余弦定理
53面积定理
（1）（分表示abc边高）
（2）
(3)
54三角形角定理
△ABC中
55 简单三角方程通解
特
56简单三角等式解集
57实数量积运算律
设λμ实数
(1) 结合律：λ(μa)(λμ)a
(2)第分配律：(λ+μ)aλa+μa
(3)第二分配律：λ(a+b)λa+λb
58量数量积运算律：
(1) a·b b·a （交换律）
(2)（a）·b （a·b）a·b a·（b）
(3)（a+b）·c a ·c +b·c
59面量基定理
果e1e 2面两线量面量实数λ1λ2aλ1e1+λ2e2．
线量e1e2做表示面量组基底．
60．量行坐标表示
设abb0ab(b0)
53 ab数量积(积)
a·b|a||b|cosθ．
61 a·b意义
数量积a·b等a长度|a|ba方投影|b|cosθ积．
62面量坐标运算
(1)设aba+b
(2)设abab
(3)设AB
(4)设aa
(5)设aba·b
63两量夹角公式
(ab)
64面两点间距离公式
(AB)
65量行垂直
设abb0
A||bbλa
ab(a0)a·b0
66线段定分公式
设线段分点实数
（）
67三角形重心坐标公式
△ABC三顶点坐标分△ABC重心坐标
68点移公式
注图形F意点P(xy)移图形应点坐标
69量移结
（1）点量a移点
(2) 函数图象量a移图象函数解析式
(3) 图象量a移图象解析式函数解析式
(4)曲线量a移图象方程
(5) 量m量a移量然m
70 三角形五心量形式充条件
设面点角边长分
（1）外心
（2）重心
（3）垂心
（4）心
（5）旁心
71常等式：
（1）(仅a＝b时取号)．
（2）(仅a＝b时取号)．
（3）
（4）柯西等式
（5）
72极值定理
已知正数
（1）积定值时值
（2）定值时积值
推广 已知
（1）积定值时
时
（2）定值时
时
73元二次等式果号解集两根外果异号解集两根间简言：号两根外异号两根间
74含绝值等式
a> 0时
75理等式
（1）
（2）
（3）
76指数等式数等式
(1)时
(2)时
77斜率公式
（）
78直线五种方程
（1）点斜式 (直线点斜率)．
（2）斜截式 (b直线y轴截距)
（3）两点式 ()( ())
(4)截距式 (分直线横截距)
（5）般式 (中AB时0)
79两条直线行垂直
(1)
①
②
(2)A1A2B1B2零
①
②
80夹角公式
(1)
()
(2)
()
直线时直线l1l2夹角
81 角公式
(1)
()
(2)
()
直线时直线l1l2角
82．四种常直线系方程
(1)定点直线系方程：定点直线系方程(直线)中定系数 定点直线系方程中定系数．
(2)点直线系方程：两直线交点直线系方程()中λ定系数．
(3)行直线系方程：直线中斜率k定b变动时表示行直线系方程．直线行直线系方程()λ参变量．
(4)垂直直线系方程：直线 (A≠0B≠0)垂直直线系方程λ参变量．
83点直线距离
(点直线：)
84 表示面区域
设直线表示面区域：
号时表示直线方区域异号时表示直线方区域简言号异号
号时表示直线右方区域异号时表示直线左方区域 简言号右异号左
85 表示面区域
设曲线（）
表示面区域：
表示面区域两部分
表示面区域两部分
86 圆四种方程
（1）圆标准方程
（2）圆般方程 (＞0)
（3）圆参数方程
（4）圆直径式方程 (圆直径端点)
87 圆系方程
(1)点圆系方程
中直线方程λ定系数．
(2)直线圆交点圆系方程λ定系数．
(3) 圆圆交点圆系方程λ定系数．
88点圆位置关系
点圆位置关系三种
点圆外点圆点圆
89直线圆位置关系
直线圆位置关系三种
中
90两圆位置关系判定方法
设两圆圆心分O1O2半径分r1r2
91圆切线方程
(1)已知圆．
①已知切点圆切线条方程
圆外时 表示两切点切点弦方程．
②圆外点切线方程设利相切条件求k时必两条切线注意漏掉行y轴切线．
③斜率k切线方程设利相切条件求b必两条切线．
(2)已知圆．
①圆点切线方程
②斜率圆切线方程
92椭圆参数方程
93椭圆焦半径公式
94．椭圆外部
（1）点椭圆部
（2）点椭圆外部
95 椭圆切线方程
(1)椭圆点处切线方程
（2）椭圆外点引两条切线切点弦方程
（3）椭圆直线相切条件
96双曲线焦半径公式
97双曲线外部
(1)点双曲线部
(2)点双曲线外部
98双曲线方程渐线方程关系
(1）双曲线方程渐线方程：
(2)渐线方程双曲线设
(3)双曲线公渐线设（焦点x轴焦点y轴）
99 双曲线切线方程
(1)双曲线点处切线方程
（2）双曲线外点引两条切线切点弦方程
（3）双曲线直线相切条件
100 抛物线焦半径公式
抛物线焦半径
焦点弦长
101抛物线动点设P P中
102二次函数图象抛物线：（1）顶点坐标（2）焦点坐标（3）准线方程
103抛物线外部
(1)点抛物线部
点抛物线外部
(2)点抛物线部
点抛物线外部
(3)点抛物线部
点抛物线外部
(4) 点抛物线部
点抛物线外部
104 抛物线切线方程
(1)抛物线点处切线方程
（2）抛物线外点引两条切线切点弦方程
（3）抛物线直线相切条件
105两常见曲线系方程
(1)曲线交点曲线系方程
(参数)
(2)焦点心圆锥曲线系方程中时表示椭圆 时表示双曲线
106直线圆锥曲线相交弦长公式
（弦端点A方程
消y直线倾斜角直线斜率）
107圆锥曲线两类称问题
（1）曲线关点成中心称曲线
（2）曲线关直线成轴称曲线
108四线方程
般二次曲线代代代代代方程
曲线切线切点弦中点弦弦中点方程均方程
109．证明直线直线行思考途径
（1）转化判定面二直线交点
（2）转化二直线第三条直线行
（3）转化线面行
（4）转化线面垂直
（5）转化面面行
110．证明直线面行思考途径
（1）转化直线面公点
（2）转化线线行
（3）转化面面行
111．证明面面行思考途径
（1）转化判定二面公点
（2）转化线面行
（3）转化线面垂直
112．证明直线直线垂直思考途径
（1）转化相交垂直
（2）转化线面垂直
（3）转化线线射影垂直
（4）转化线形成射影斜线垂直
113．证明直线面垂直思考途径
（1）转化该直线面直线垂直
（2）转化该直线面相交二直线垂直
（3）转化该直线面条垂线行
（4）转化该直线垂直行面
（5）转化该直线两垂直面交线垂直
114．证明面面垂直思考途径
（1）转化判断二面角直二面角
（2）转化线面垂直
115空间量加法数量运算运算律
(1)加法交换律：a＋bb＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋ca＋(b＋c)．
(3)数分配律：λ(a＋b)λa＋λb．
116面量加法行四边形法空间推广
始点相面三量等三量棱行六面体公始点始点角线表示量
117线量定理
空间意两量ab(b≠0 )a∥b存实数λaλb．
三点线
线线线
118面量定理
量p两线量ab面存实数．
推 空间点P位面MAB存序实数
空间定点O序实数
119空间点线三点ABC满足（）时空间点总PABC四点面时面ABCPABC四点面面ABCPABC四点面．
四点面面
（面ABC）
120空间量基定理
果三量abc面空间量p存唯序实数组xyzp＝xa＋yb＋zc．
推 设OABC面四点空间点P存唯三序实数xyz
121射影公式
已知量a轴e方单位量作A点射影作B点射影
〈ae〉a·e
122量直角坐标运算
设a＝b＝
(1)a＋b＝
(2)a－b＝
(3)λa＝ (λ∈R)
(4)a·b＝
123设AB
124．空间线线行垂直
设
125夹角公式
设a＝b＝
cos〈ab〉
推 三维柯西等式
126 四面体棱成角
四面体中 成角
127．异面直线成角
（中（）异面直线成角分表示异面直线方量）
128直线面成角
(面法量)
129面面成角两边面成角分两角
特时
130面面成角两边面成角分两角
特时
131二面角面角
（面法量）
132三余弦定理
设ACα条直线BC⊥AC垂足C设AOAB成角ABAC成角AOAC成角．
133 三射线定理
夹面角二面角间线段二面角两半面成角二面角棱成角θ
(仅时等号成立)
134空间两点间距离公式
AB
135点直线距离
(点直线直线方量a量b)
136异面直线间距离
(两异面直线公垂量分点间距离)
137点面距离
（面法量面条斜线）
138异面直线两点距离公式
（）
(两条异面直线ab成角θ公垂线段长度h直线ab分取两点EF)
139三量方公式
140 长度线段三条两两互相垂直直线射影长分夹角分
（立体中长方体角线长公式特例）
141 面积射影定理
(面边形射影面积分面成锐二面角)
142 斜棱柱直截面
已知斜棱柱侧棱长侧面积体积分直截面周长面积分
①
②
143．作截面
三面两两相交三条交线三条交线交点互相行
144．棱锥行截面性质
果棱锥行底面面截截面底面相似截面面积底面面积等顶点截面距离棱锥高方（应角相等应边应成例边形相似边形相似边形面积等应边方）相应棱锥棱锥侧面积等顶点截面距离棱锥高方．
145欧拉定理(欧拉公式)
(简单面体顶点数V棱数E面数F)
（1）面边形边数半特面边数边形面数F棱数E关系：
（2）顶点引出棱数顶点数V棱数E关系：
146球半径R
体积
表面积．
147球组合体
(1)球长方体组合体
长方体外接球直径长方体体角线长
(2)球正方体组合体
正方体切球直径正方体棱长 正方体棱切球直径正方体面角线长 正方体外接球直径正方体体角线长
(3) 球正四面体组合体
棱长正四面体切球半径外接球半径
148．柱体锥体体积
（柱体底面积柱体高）
（锥体底面积锥体高）
149分类计数原理（加法原理）
150分步计数原理（法原理）
151排列数公式
(∈N*)．
注规定
152排列恒等式
(1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
153组合数公式
(∈N*)
154组合数两性质
(1)
(2) +
注规定
155组合恒等式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
156排列数组合数关系
157．单条件排列
条前提元素中取元素排列
（1）位位
①某（特）元必某位种②某（特）元某位（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种
（2）紧贴插空（相邻相邻）
①定位紧贴：元固定位排列种
②浮动紧贴：元素全排列k元排起排法种注：类问题常捆绑法
③插空：两组元素分kh（）合起作全排列k组互挨排列数种
（3）两组元素相插空
球球排成列球必分开问少种排法？
时解时种排法
（4）两组相元素排列：两组元素mn组元素分相排列数
158．分配问题
（1）(均分组属问题)相异物件等分件分配方法数
（2）(均分组属问题)相异·物体等分记号序堆分配方法数
（3）(非均分组属问题)相异物体分物件必须分完分…件…数彼相等分配方法数
（4）(非完全均分组属问题)相异物体分物件必须分完分…件…数中分abc…相等分配方法数
（5）(非均分组属问题)相异物体分意…件记号堆…数彼相等分配方法数
（6）(非完全均分组属问题)相异物体分意…件记号堆…数中分abc…相等分配方法数
（7）(限定分组属问题)相异（）物体分甲乙丙……等物体必须分完果指定甲件乙件丙件…时…等数否全相异全相异分配方法数恒
159．错位问题推广
贝努利装错笺问题信封信信封全部错位组合数
推广 元素位置中少元素错位组合总数
160．定方程解数
(1)方程（）正整数解
(2) 方程（）非负整数解
(3) 方程（）满足条件()非负整数解
(4) 方程（）满足条件()正整数解
161二项式定理
二项展开式通项公式
162等性事件概率
163互斥事件AB分发生概率
P(A＋B)P(A)＋P(B)．
164互斥事件分发生概率
P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165独立事件AB时发生概率
P(A·B) P(A)·P(B)
166n独立事件时发生概率
P(A1· A2·…· An)P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
167n次独立重复试验中某事件恰发生k次概率
168离散型机变量分布列两性质
（1）
（2）
169数学期
170数学期性质
（1）
（2）～
(3) 服分布
171方差
172标准差
173方差性质
(1)
(2）～
(3) 服分布
174方差期关系
175正态分布密度函数
式中实数μ（>0）参数分表示体均数标准差
176标准正态分布密度函数
177取值x概率
178回直线方程
中
179相关系数
|r|≤1|r|越接1相关程度越|r|越接0相关程度越
180特殊数列极限
（1）
（2）
（3）（穷等数列 ()）
181 函数极限定理
182函数夹逼性定理
果函数f(x)g(x)h(x)点x0附满足：
（1）
（2）（常数）
定理单侧极限情况然成立
183常极限
（1）（）
（2）
184两重极限
（1）
（2）(e2718281845…)
185函数极限四运算法
(1)
(2)
(3)
186数列极限四运算法
(1)
(2)
(3)
(4)( c常数)
187处导数（变化率微商）
188瞬时速度
189瞬时加速度
190导数
191 函数点处导数意义
函数点处导数曲线处切线斜率相应切线方程
192种常见函数导数
(1) （C常数）
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
193导数运算法
（1）
（2）
（3）
194复合函数求导法
设函数点处导数函数点处应点U处导数复合函数点处导数写作
195常似计算公式（充时）
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)（弧度）
(6)（弧度）
(7)（弧度）
196判极（）值方法
函数点处连续时
（1）果附左侧右侧极值
（2）果附左侧右侧极值
197复数相等
（）
198复数模（绝值）
199复数四运算法
(1)
(2)
(3)
(4)
200复数法运算律
交换律
结合律
分配律
201复面两点间距离公式
（）
202量垂直
非零复数应量分
实部零纯虚数
(λ非零实数)
203实系数元二次方程解
实系数元二次方程
①
②
③实数集没实数根复数集仅两轭复数根
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